TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

1. UN REPASO DE LOS NÚMEROS REALES

CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números naturales (también llamados enteros positivos) IN = {1, 2, 3, 4, 5, ...}. La suma a + b y el producto a × b de dos números naturales cualesquiera también es un número natural. El conjunto IN de los números naturales es cerrado para las operaciones suma y producto de números. Sin embargo en el conjunto de los números naturales IN: No puedo quitarle (restar) 5 a 2 No puedo dividir 2 en 5 partes

CONJUNTOS NUMÉRICOS Los enteros negativos y el cero surgen para resolver ecuaciones tales como x + 5 = 2 no resolubles para números naturales. El conjunto de los enteros positivos, los enteros negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros. Z = {...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...}. El conjunto Z es cerrado para la suma, para la resta y para el producto. N ⊂ Z. Sin embargo, en el conjunto de los números enteros Z: No puedo dividir 2 en 5 partes

CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números racionales surgen para permitir resolver ecuaciones como 5x = 2; o ,en general, bx = a con b ≠ 0 que no se pueden resolver en el conjunto de los números enteros. Podemos definir el conjunto de los números racionales como:

⎧a ⎫ Q = ⎨ : a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0 ⎬ ⎩b ⎭ Q ⇔ conjunto de los números decimales periódicos. 2 = 0,4; 5 3 0,3 = 10

2 = 0,6666...; 3 12 0,121212.. . = ; 99

16 = 1,230769230769230769... 13

13 1,857142857142... = 7

El conjunto Q es cerrado para la suma, para la resta, para el producto y para la división.

N ⊂ Z ⊂ Q.

CONJUNTOS NUMÉRICOS Los números irracionales tales como:

2, π, 3 5, e,L

son números que NO pueden expresarse como a/b para a ∈ Z, b∈ Z, b ≠ 0. Escribiremos este conjunto de números como II: II ⇔ conjunto de los números decimales no periódicos. Por ejemplo:

2 = 1,41421356237309504880168872420L; π = 3,1415926535897932384626433832795...; e = 2,7182818284590452353602874713527...; ...

CONJUNTOS NUMÉRICOS La unión disjunta del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales IR = Q ∪ II

Reales = Racionales ∪ Irracionales

Los números reales se pueden representar en una recta sin dejar agujeros, que llamaremos la recta real.

Hay una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los puntos de la recta geométrica. A cada número real le corresponde un punto de la recta geométrica y a cada punto de la recta geométrica un número real.

DEFINICIÓN DE IR En IR hay dos operaciones internas la suma y el producto. (una operación interna hace corresponder a cada par de números reales otro número real) IR con dichas operaciones presenta estructura de cuerpo conmutativo puesto que verifica las siguientes propiedades: Propiedades de la suma: 1) Conmutativ a ∀α , β ∈ IR; α + β = β + α

2) Asociativa ∀α , β , γ ∈ IR ; (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) 3) Existencia de un elemento neutro : ∃0 ∈ IR, ∀α ∈ IR; α + 0 = 0 + α = α 4) Para cada número real existe un opuesto : ∀α ∈ IR, ∃ − α ∈ IR; α + ( −α ) = ( −α ) + α = 0

DEFINICIÓN DE IR Propiedades de la multiplicación:

5) Conmutativa ∀α , β ∈ IR; αβ = βα

6) Asociativa ∀α , β , γ ∈ IR; (αβ )γ = α ( βγ ) 7) Existencia de un elemento unidad : ∃1∈ IR, ∀α ∈ IR; α 1 = 1α = α 8) Todo número real distinto de 0 tiene inverso : ∀α ∈ IR, α ≠ 0, ∃

1

α

∈ IR; α

1

α

=

1

α

α =1

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma

∀α , β , γ ∈ IR; α ( β + γ ) = αβ + αγ

ORDEN EN IR El conjunto de números reales a la derecha de 0 son los números positivos (P). El conjunto de números a la izquierda de 0 son los números negativos. El número 0 no es ni positivo ni negativo (o es ambas cosas). a > b ⇔ a – b ∈ P (a está situado a la derecha de b)

a < b ⇔ b > a (b está situado a la derecha de a)

a≥b⇔ a >bóa =b

a≤b⇔ a b ó a = b ó a < b 2) a > b y b > c ⇔ a > c 3) a > b ⇔ a ± c > b ± c para cualquier c ∈ IR

4 α) a > b y c > 0 ⇔ a ⋅ c > b ⋅ c 4β) a > b y c < 0 ⇔ a ⋅ c < b ⋅ c

a b a >b yc > 0 ⇔ > c c a b a >b yc < 0 ⇔ < c c

INTERVALOS EN IR Sean a, b ∈ IR con a < b Intervalo ABIERTO de extremos a y b ∈ IR:

(a, b) = {x ∈ IR : a < x < b}

a

b

Intervalo CERRADO de extremos a y b ∈ IR:

[a, b] = {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b}

a

b

a

b

a

b

Intervalo CERRADO en a y ABIERTO en b:

[a, b) = {x ∈ IR : a ≤ x < b} Intervalo ABIERTO en a y CERRADO en b:

(a, b] = {x ∈ IR : a < x ≤ b}

INTERVALOS DE LONGITUD INFINITA EN IR

(a,+∞ ) = {x ∈ IR : a < x}

a

[a,+∞ ) = {x ∈ IR : a ≤ x}

a

(- ∞, a ) = {x ∈ IR : x < a}

a

(- ∞, a] = {x ∈ IR : x ≤ a}

a

(− ∞,+∞ ) = IR

EJEMPLO: RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES

¿Para qué valores de x es x +3 (2 - x) ≥ 4 – x? x + 6 - 3x ≥ 4 - x x - 3x + x ≥ 4 - 6 - x ≥ -2 x≤2

Solución: (-∞,2]

¿Para qué valores de x es x2 -3x -2 < 10 – 2x? x2 - 3x + 2x - 2 - 10 < 0 x2 - x - 12 < 0

(x + 3)(x - 4 ) < 0

+

Solución: (-3,4)

-3

+ 4

a) (x + 3) > 0 y (x - 4 ) < 0 ⇔ x > -3 y x < 4 ⇔ - 3 < x < 4

b) (x + 3) < 0 y (x - 4 ) > 0 ⇔ x < - 3 y x > 4 ⇔ Imposible

VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS REALES Sea a ∈ IR, definimos : ⎧- a si a < 0 a = máximo{− a, a} = ⎨ ⎩ a si a ≥ 0

Propiedades:

1) a ≥ 0 y a = 0 ⇔ a = 0

2) - a ≤ a ≤ a

3) a + b ≤ a + b

EJEMPLOS

Entorno de centro 0 y radio 3

1) x ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ [− 3,3]

-3

0

3

2) x - 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x - 2 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ [1,3]

1

2

Entorno de centro 2 y radio 1

3

⎧ x +3≥2 ⎧ x ≥ -1 ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ó ⇔ x ∈ (− ∞,−5] ∪ [− 1,+∞ ) 3) x + 3 ≥ 2 ⇔ ⎨ ó ⎪− (x + 3) ≥ 2 ⎪x ≤ −5 ⎩ ⎩

-5

-1

VALOR ABSOLUTO DE LOS NÚMEROS REALES

4) ab = a b a a 5) = si b ≠ 0 b b 6) a = a 2

7) a = a n

n

DISTANCIA ENTRE NÚMEROS REALES Distancia entre los números reales a y b: 0

a

b

d(a, b) = b - a = a − b Longitud del intervalo de extremos a y b = d(a,b) Distancia entre a y el origen 0:

d(a,0) = a = a − 0 Interpretación geométrica del valor absoluto de un número

CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES Sea S ⊆ IR, S ≠ ∅ K ∈ IR es cota superior de S si x ≤ K para todo x ∈ S. -2

-1

0

1

2

k ∈ IR es cota inferior de S si x ≥ k para todo x ∈ S. -2

-1

0

1

2

S está acotado superiormente si existe una cota superior de S. S está acotado inferiormente si existe una cota inferior de S. S está acotado si está acotado superior e inferiormente.

CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES Llamamos supremo del conjunto S, acotado superiormente, a la menor cota superior de S.

⎧ 1) x ≤ K para todo x ∈ S ⎪⎪ K es supremo de S ⇔ ⎨ 2) Para cualquier ε > 0 ⎪ ⎪⎩∃x0 ∈ S tal que K − ε < x0 Llamamos ínfimo del conjunto S, acotado inferiormente, a la mayor cota inferior de S.

⎧ 1) x ≥ k para todo x ∈ S ⎪⎪ K es ínfimo de S ⇔ ⎨ 2) Para cualquier ε > 0 ⎪ ⎪⎩∃x0 ∈ S tal que x0 < k + ε

CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES K es un máximo del conjunto S, acotado superiormente, ⇔ K es un supremo de S y K ∈ S. k es un mínimo del conjunto S, acotado inferiormente, ⇔ k es un ínfimo de S y k ∈ S.

⎧ 1 1 1 1 ⎫ S = ⎨1, , , , ,...⎬ ⎩ 2 3 4 5 ⎭ 2 es una cota superior de S.

Ejemplo 1:

-1 es una cota inferior de S. S es acotado. 1 es la menor cota superior de S, es el supremo de S, y es el máximo de S. 0 es la mayor cota inferior de S, es el ínfimo de S. 0 no es el mínimo de S, porque 0 ∉ S.

CONJUNTOS ACOTADOS DE NÚMEROS REALES

Ejemplo 2:

⎧ 1 2 3 4 ⎫ T = ⎨0, , , , ,...⎬ ⎩ 2 3 4 5 ⎭

2 es una cota superior de T. -1 es una cota inferior de T. T es acotado. 1 es la menor cota superior de T, 1 es el supremo de T; pero 1 no es el máximo de T. 0 es la mayor cota inferior de T, es el ínfimo de T y es el mínimo de T. AXIOMA: Todo conjunto no vacío de IR, acotado superiormente, tiene extremo superior. Consecuencia: Todo conjunto no vacío de IR, acotado inferiormente, tiene extremo inferior.

2. SUCESIONES. PROGRESIONES

SUCESIONES

Como acabamos de ver es frecuente encontrar conjuntos numéricos finitos o infinitos ordenados. Ejemplos: ⎧ 1 1 1 1 ⎫ S = ⎨1, , , , ,...⎬ ⎩ 2 3 4 5 ⎭

A = {1, - 1, 1, - 1, 1, - 1,...};

⎧ 1 2 3 4 ⎫ T = ⎨0, , , , ,...⎬ ⎩ 2 3 4 5 ⎭ B = {6, 9, 12, 15, 18, ...};

C = {4, 1, - 2, - 5, - 8, ...};

D = {1, 2, 4, 8, 16, ...};

⎫ ⎧ 1 1 1 1 E = ⎨1, , , , , ...⎬; ⎩ 2 4 8 16 ⎭

F = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...};

Una sucesión es una regla que a cada número natural n de IN le asigna un único número real s(n) = sn.

s : IN → IR n a s(n) = sn

EJEMPLOS DE SUCESIONES ⎧ 1 1 1 1 ⎫ S = ⎨1, , , , ,...⎬ ⎩ 2 3 4 5 ⎭ s(1) = s1 = 1 1 s(2) = s2 = 2 1 s(3) = s3 = 3

⎧ 1 2 3 4 ⎫ T = ⎨0, , , , ,...⎬ ⎩ 2 3 4 5 ⎭ t(1) = t1 = 0 1 2 2 t(3) = t3 = 3

t(2) = t2 = .......... .......

.......... .......

1 s(n ) = sn = n

t(n ) = tn =

n −1 n

A = {1, - 1, 1, - 1, 1, - 1,...};

B = {6, 9, 12, 15, 18, ...};

a(1) = a1 = 1

b(1) = b1 = 6

a(2) = a2 = −1

b(2) = b2 = 9

a(3) = a3 = 1

b(3) = b3 = 12

.......... .......

a(n ) = an = (- 1)

n +1

.......... .......

b(n ) = bn = 3n + 3

Término general de una sucesión

SUCESIONES Una sucesión de números reales {xn:n∈IN} se dice creciente si xn ≤ xn+1, para todo n∈IN Una sucesión de números reales {xn:n∈IN} se dice estrictamente creciente si xn < xn+1, para todo n∈IN Una sucesión de números reales {xn:n∈IN} se dice decreciente si xn ≥ xn+1, para todo n∈IN Una sucesión de números reales {xn:n∈IN} se dice estrictamente decreciente si xn > xn+1, para todo n∈IN En cualquiera de los casos anteriores decimos que la sucesión es monótona.

.

⎧ 1 1 1 1 ⎫ S = ⎨1, , , , ,...⎬ es estrictamente decreciente ⎩ 2 3 4 5 ⎭

⎧ 1 2 3 4 ⎫ T = ⎨0, , , , ,...⎬ es estrictamente creciente ⎩ 2 3 4 5 ⎭

EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e El número e desempeña en finanzas y economía el mismo papel fundamental que π en geometría. Problema: Crecimiento de la inversión en una cuenta de ahorro. A principio de año, depositamos 1€ a un tipo de interés compuesto anual r. 1) Después de una año la cuenta tendrá: (1 + r) €. 2) Al final del segundo año habrá el capital del año anterior más los intereses que habrá generado ese capital: (1 + r) + r (1 + r) = (1 + r) (1 + r) = (1 + r)2 €. 2) Al final del tercer año habrá el capital del segundo año más los intereses que habrá generado ese capital: (1 + r)2 + r (1 + r)2 =(1 + r) (1 + r)2 = (1 + r)3 €. 3) Después de t años, habrá (1 + r)t € en la cuenta.

EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e Supongamos que el banco abona intereses cuatro veces al año (capitaliza trimestralmente). Al final de cada trimestre, pagará el r/4 del principal actual. 1) Después de un trimestre, la cuenta tendrá

2) Después de medio año, dos trimestres, dos acumulaciones, la cuenta tendrá.

⎛1 + r ⎞ € ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝ 2

⎛1 + r ⎞ + r ⎛1 + r ⎞ = ⎛1 + r ⎞ € ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 4⎠ 4⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4

3) Después de un año, cuatro ⎛1 + r ⎞ € ⎟ acumulaciones, la cuenta tendrá. ⎜⎝ 4⎠ 4) Después de t años, la cuenta crecerá hasta

4t

⎛1 + r ⎞ € ⎜ ⎟ 4⎠ ⎝

EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e Supongamos ahora que el banco abona intereses n veces al año. 1) Después del primer ⎛1 + r ⎞ € ⎜ ⎟ período, la cuenta tendrá: n⎠ ⎝ n 2) Después de un año, n ⎛1 + r ⎞ € ⎜ ⎟ acumulaciones, la cuenta tendrá: n⎠ ⎝

3) Después de t años, la cuenta crecerá hasta:

nt

⎛1 + r ⎞ € ⎜ ⎟ n⎠ ⎝

Muchos bancos dicen que abonan intereses diariamente. Teóricamente se podría pedir que lo hiciesen continuamente. ¿Por qué factor hay que multiplicar el dinero en el banco a la tasa de interés r si el interés se compone muy frecuentemente, esto es, si n es muy grande?

EJEMPLO DE SUCESIONES: EL NÚMERO e Para simplificar el cálculo comenzamos suponemos una tasa de interés anual del 100 por 100; esto es r = 1. Entonces se forma la sucesión: 1⎞ ⎛ sn = ⎜ 1 + ⎟ n⎠ ⎝

n

Como vemos la tabla se va estabilizando en torno a un número irracional que llamamos e. e = 2.7182818… con siete decimales exactos.

n

(1+1/n)n

1

2.0

2

2.25

4

2.4414

10

2.59374

100

2.704814

1000

2.7169239

10000

2.7181459

100000

2.71826824

1000000

2.718281693

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Una progresión aritmética es una sucesión tal que cada término se obtiene sumando al anterior un número constante, la diferencia d de la progresión. B = {6, 9, 12, 15, 18, ...}; a ; a ; a ; ...; a ; ... 1

2

3

a1 ; a2 = a1 + d;

n

a3 = a2 + d = a1 + 2d; .......... .......... .......... .......

an = an −1 + d = a1 + (n − 1)d;

b1 = 6;

d = 3;

bn = 6 + (n − 1)3;

bn = 3n + 3; C = {4, 1, - 2, - 5, - 8, ...}; c1 = 4;

d = −3;

cn = 4 + (n − 1)(- 3);

cn = −3n + 7;

SUMA n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Observar que:

a2 + an-1 = (a1 + d) + (an − d) = a1 + an ; a3 + an-2 = (a2 + d) + (an-1 − d) = a2 + an-1 = a1 + an ; .......... .......... .......... .......

a1+k + an-k = a1 + an ; para todo k = 1, 2, …, n-1 Entonces:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an Sn = an + an-1 + an-2 + ... + a2 + a1

2Sn = (a1 + an ) + (a2 + an-1 ) + ... + (an −1 + a2 ) + (an + a1 )

2Sn = n(a1 + an ) a1 + an Sn = n 2

SUMA n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA Hallar la suma de los 14 primeros términos de la progresión aritmética B = {6, 9, 12, 15, 18, …} b1 = 6;

b14 = b1 + (n − 1)d = 6 + (14 - 1)3 = 45;

6 + 45 b1 + b14 14 = 357 S14 = 14 = 2 2 Hallar la suma desde el término 10 al 20 de la progresión aritmética C = {4, 1, -2, -5, -8, …} c1 = 4;

S10..20

c10 = c1 + (10 − 1)d = 4 + (10 - 1)(- 3) = -23;

c20 = c1 + (20 − 1)d = 4 + (20 - 1)(- 3) = -53;

c10 + c20 − 23 + (− 53) = 11 = 11 = −418 2 2

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS Una progresión geométrica es una sucesión tal que cada término se obtiene del anterior multiplicándolo por un número constante, la razón r de la progresión.

a1 ; a2 ; a3 ; ...; an ; ...

a1 ; a2 = a1 ⋅ r; a3 = a2 ⋅ r = a1 ⋅ r2 ; .......... .......... .......... .......

an = an −1 ⋅ r = a1 ⋅ rn −1 ;

D = {1, 2, 4, 8, 16, ...};

d1 = 1; r = 2; dn = d1 ⋅ rn −1 = 1 ⋅ 2n −1 = 2n −1 ⎫ ⎧ 1 1 1 1 E = ⎨1, , , , , ...⎬; ⎩ 2 4 8 16 ⎭

e1 = 1;

1 r= ; 2

en = e1 ⋅ r

n −1

1 ⎛ = 1 ⋅ ⎜ ⎞⎟ ⎝2⎠

n −1

= 21−n

SUMA n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a2 ⋅ r + a3 ⋅ r + ... + an-1 ⋅ r + an ⋅ r Restamos a la segunda igualdad la primera teniendo en cuenta que an r = an+1:

⎧Sn ⋅ r = a1 ⋅ r + a2 ⋅ r + a3 ⋅ r + ... + an-1 ⋅ r + an ⋅ r ⎨ ⎩ - Sn = − a1 − a2 − a3 − ... − an-1 − an Sn ⋅ r − Sn = an ⋅ r − a1 Sn ⋅ (r − 1) = an ⋅ r − a1 an ⋅ r − a1 a1 - an ⋅ r a1 - a1 ⋅ rn = = Sn = 1−r 1−r r −1

SUMA n TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Hallar la suma de los 20 primeros términos de la progresión geométrica D = {1, 2, 4, 8, 16, …} d1 = 1;

S20

a1 - a1 ⋅ rn a1 ⋅ rn − a1 1 ⋅ 220 − 1 = = = = 1048576 1−r r −1 2 −1

Hallar la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica E = {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …} e1 = 1;

⎛1⎞ 1 -1⋅⎜ ⎟ n a1 - a1 ⋅ r 2⎠ ⎝ S10 = = 1 1−r 1− 2

10

=

⎛1⎞ 1 -1⋅⎜ ⎟ ⎝2⎠ 1 1− 2

10

= 1,998046876

3. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

FUNCIONES EN IR Es muy frecuente en geometría, física, economía, …, hablar de ciertas magnitudes que dependen del valor de otras. Por ejemplo, el área de un cuadrado depende de la longitud del lado; el espacio recorrido por un ciclista depende del tiempo que lleva pedaleando; el consumo de una economía depende del PIB de la misma; … Sea D ⊆ IR1 = IR. Una función es una regla que a cada número real x de D le asigna un único número real f(x), que llamamos la imagen de x por f.

f : D ⊆ IR → IR

x a f(x) x es la “variable independiente” y = f(x) es la “variable dependiente” (depende del valor que se asigne a x)

FUNCIONES EN IR

Ejemplo 1: Sea una función que asigna a cada número el

cuadrado del mismo. Por ejemplo, al número 2 le asignamos el 4; y a -3/2 el número 9/4. Escribimos f(2) = 4 y f(-3/2) = 9/4. En general, representamos la función por la fórmula f(x) = x2.

Ejemplo 2: La función que asigna a cada número su inverso.

Escribiremos g(4) = ¼ y g(-2) = -1/2. Representamos, en este caso la función por la fórmula g(x) = 1/x . D es el dominio de f: D ⊆ IR → IR.

Dom(f) = D = {x ∈ IR : ∃f(x) ∈ IR} ⊆ IR

Dom(f) = IR

Dom(g) = IR − {0}

f(D) es la imagen o recorrido de f: D ⊆ IR → IR.

Im(f) = f(D) = {y ∈ IR : ∃x ∈ D tal que f(x) = y } ⊆ IR

Im(f) = IR+ ; Im(g) = IR − {0}

La gráfica de una función f: D ⊆ IR → IR es:

Graf(f) = {(x, f(x) )∈ IR × IR : x ∈ D}

f(x )

Dom(f) = IR Im(f) = IR+ x

La gráfica de una función f: D ⊆ IR → IR es:

Graf(f) = {(x, f(x) )∈ IR × IR : x ∈ D}

f(x )

x

Dom(f) = IR − {0} Im(f) = IR − {0}

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Hay dos tipos de razones por las que el dominio de una función puede estar restringido: 1) De índole matemática: Las más comunes son que no se puede dividir por cero, que no se puede hallar la raíz cuadrada de un número negativo y que sólo los positivos tienen logaritmo. 1 es IR \ {- 1,1}. Dominio de h1 (x) = 2 x −1

Dominio de h2 (x) = x − 7 es [7,+∞ ).

Dominio de h3 (x) = ln(x − 3) es (3,+∞ ) 2) De índole económica: El dominio de una función puede estar restringido por la aplicación económica en la cual surge la función. Por ejemplo, si C(x) es el coste de producir x coches, x es naturalmente un entero positivo. Para las funciones que surgen en aplicaciones económicas IR+, el conjunto de los números reales positivos, es un dominio muy frecuente.

FUNCIONES CONSTANTES Y LINEALES Las funciones más sencillas posibles son los polinomios de grado 0: las funciones constantes f(x) = b. Son demasiado simples para ser interesantes. Las funciones interesantes más simples son los polinomios de grado 1: f(x) = mx + b. Se llaman funciones lineales porque sus gráficas son líneas rectas. y=mx+b Pendiente de la recta

Ordenada en el origen

Observar que: x0

y0 1

m

m y0 m= = = pendiente de la recta 1 x0

FUNCIONES CONSTANTES Y LINEALES

y=4 y = -3x + 1 y = x +1

y = (1 2)x - 1

FUNCIONES LINEALES: ECUACIÓN DE LA RECTA 1) la recta cuya pendiente es m y cuya intersección con el eje de ordenadas es (0, b) tiene la ecuación y = m x + b. 2) la recta que tiene como pendiente m y que pasa por el punto (x0, y0) cumple que su pendiente es:

y − y0 m= x − x0

y − y0 = m(x - x0 )

3) la recta que pasa por (x0, y0) y (x1, y1), tiene como pendiente:

y1 − y 0 m= x1 − x0

y − y0 y1 − y0 = x − x0 x1 − x0

y1 − y0 (x − x0 ) y − y0 = x1 − x0

FUNCIONES LINEALES EN ECONOMÍA

Sea C = C(q) = m q + b la función de coste lineal que da el coste total C resultado de manufacturar q unidades de output. La gráfica es:

La pendiente mide el aumento en el coste total debido a la producción de una unidad más. Coste marginal = Coste de hacer una unidad más.

FUNCIONES LINEALES EN ECONOMÍA El consumo C es proporcional a la Renta Nacional Y. Podemos, suponer que la relación Consumo/Renta Nacional es lineal: C = C0 + b Y siendo 0 < b < 1, y C0 constantes positivas La gráfica es:

b: propensión marginal al consumo La pendiente es > 0; es decir el consumo aumenta con la renta.

FUNCIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO funciones parabólicas f(x) = ax2 + bx + c. Vértice de la Parábola V =(-b/2a , _) V = (2, -1)

FUNCIONES POLINÓMICAS DE 2º GRADO funciones parabólicas f(x) = ax2 + bx + c. Vértice de la Parábola V =(-b/2a , _) V = (2, 1)

FUNCIONES RADICALES

y= x Dom f = [0,+∞ )

FUNCIONES RADICALES

y = 2x − 0.5 Dom f = [0.25,+∞ )

FUNCIONES RADICALES

y = 4x − 4

Dom f = [1,+∞ )

FUNCIONES POLINÓMICAS

FUNCIONES RACIONALES

x2 + 1 y= x −1

FUNCIONES EXPONENCIALES

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

y = tg(x )

3π − 2

π − 2

π 2

3π 2

FUNCIONES EN ECONOMÍA El modelo que describe la oferta y demanda del mercado para un bien determinado relaciona el precio (p) por unidad del bien con la cantidad (q) de dicho bien existente en el mercado.

Conjunto de demanda D = {(q, p) ∈ IR+ × IR+ : q + 5p = 40}

Función de demanda q = qD (p) = 40 − 5p

40 − q Función inversa de demanda p = p (q) = 5 Conjunto de oferta S = {(q, p) ∈ IR+ × IR+ : 2q − 15p = −20} D

15p - 20 Función de oferta q = q (p) = 2 S

2q + 20 Función inversa de oferta p = p (q) = 15 S

FUNCIONES LINEALES DE OFERTA Y DEMANDA

FUNCIONE INVERSAS DE OFERTA Y DE DEMANDA

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES f es creciente si su gráfica se desplaza hacia arriba cuando nos movemos de izquierda a derecha.

f creciente ⇔

x1 < x2 ⇒ f(x1 ) ≤ f(x2 ) f estrictamente creciente ⇔ x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 )

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES f es decreciente si su gráfica se desplaza hacia abajo cuando nos movemos de izquierda a derecha.

f decreciente ⇔

x1 < x2 ⇒ f(x1 ) ≥ f(x2 )

f estrictamente decreciente ⇔ x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 )

FUNCIONES ACOTADAS

Sea f : D ⊆ IR → IR f está acotada superiormente ⇔ el conjunto f(D) está acotado superiormente ⇔ ∃ K ∈ IR tal que ∀x ∈ D, f(x) ≤ K. K es una cota superior de f(D). La menor de las cotas superiores es el supremo de f(D). Cuando hay un x0 tal que f(x0) ∈ f(D) es el supremo de f(D) decimos que f alcanza un máximo global o absoluto en x0. f(x0) es el valor máximo global o absoluto de f.

FUNCIONES ACOTADAS

Sea f : D ⊆ IR → IR f está acotada inferiormente ⇔ el conjunto f(D) está acotado inferiormente ⇔ ∃ k ∈ IR tal que ∀x ∈ D, f(x) ≥ k. k es una cota inferior de f(D). La mayor de las cotas inferiores es el ínfimo de f(D). Cuando hay un x0 tal que f(x0) ∈ f(D) es el ínfimo de f(D) decimos que f alcanza un mínimo global o absoluto en x0. f(x0) es el valor mínimo global o absoluto de f. f está acotada ⇔ el conjunto f(D) está acotado superior e inferiormente. ⇔ ∃K ∈ IR : f(x ) ≤ K para todo x ∈ D

FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE

FUNCIÓN ACOTADA INFERIORMENTE

FUNCIÓN ACOTADA

MÁXIMOS LOCALES Si una función f cambia de creciente a decreciente en un punto (x0, f(x0)) se dice que f alcanza un máximo local en el punto x0.

∀ x en un entorno de x0 la función f verifica que: f(x) ≤ f(x0).

MÍNIMOS LOCALES Si una función f cambia de decreciente a creciente en un punto (x0, f(x0)) se dice que f alcanza un mínimo local en el punto x0.

∀x en un entorno de x0 la función f verifica que: f(x) ≥ f(x0).

TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y = f (x-c) es una traslación horizontal de la gráfica de f (x) en c unidades a la derecha

y=x

2

y = (x - 2)

2

TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y = f (x+c) es una traslación horizontal de la gráfica de f (x) en c unidades a la izquierda

y = (x + 2)

2

y = x2

TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y = f (x)+c es una traslación vertical de la gráfica de f (x) en c unidades hacia arriba.

y = x2 + 2

y = x2

TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y = f (x)-c es una traslación vertical de la gráfica de f (x) en c unidades hacia abajo.

y = x2

y = x2 − 2

TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y = -f(x) es una reflexión de f(x) respecto del eje OX.

y = x2

y = −x 2

TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y = f(-x) es una reflexión de f(x) respecto del eje OY.

y = x + 2x + 2 2

y = x2 − 2x + 2

TIPOS BÁSICOS DE TRANSFORMACIONES y = -f(-x) es una reflexión de f(x) respecto del origen.

y = −x2 − 2x − 2

y = x2 − 2x + 2

FUNCIÓN PAR f es PAR si f(-x) = f(x) para todo x∈D.(hay un eje de simetría) f(x)=x4-3x2+2

f(-x)=(-x)4-3(-x)2 +2 = x4-3x2+2 = f(x)

FUNCIÓN IMPAR f es IMPAR si f(-x) = -f(x) para todo x ∈ D. (hay un centro de simetría) f(x)=x3-3x

f(-x)=(-x)3-3(-x) = -x3+3x = -f(x)

OPERACIONES CON FUNCIONES

Sea F(D, IR) = {f : D ⊆ IR → IR} Definimos en F(D,IR): 1) La suma de funciones:

Si f, g ∈ F(D, IR) entonces f + g ∈ F(D, IR)

(f + g)(x ) = f(x ) + g(x )

2) El producto de un número por una función:

Si α ∈ IR y f ∈ F(D, IR) entonces αf ∈ F(D, IR)

(αf)(x ) = αf(x )

3) El producto de funciones:

Si f, g ∈ F(D, IR) entonces fg ∈ F(D, IR)

(fg )(x ) = f(x )g(x )

VISUALIZACIÓN GRÁFICA

Suma de funciones

Producto de un número por una función

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

g

f : D1 ⊆ IR → IR g : D2 ⊆ IR → IR con f(D1 ) ⊆ D2

D1 →

Definimos la composición de f y g (que se escribe g ° f) como:

(g ° f) (x) = g(f(x))

f

D2

→ IR

x a f(x) a g(f(x))

Ejemplo Sean f(x) = x2 + 2;

g(x) = 1/(x-2)

(g ° f)(x) = g(f(x)) = g(x2+2) = 1/x2 Aunque pueda calcularse la composición al revés, f °g el resultado no tiene por qué ser el mismo: (f ° g)(x) = f(g(x)) = f(1/(x-2)) = 1/(x-2)2 +2

FUNCIONES INVERSAS La función inversa de una función dada tiene el efecto de ‘deshacer’ lo hecho por la otra. f x

y f-1

Dominio de f = Recorrido de f-1. Recorrido de f = Dominio de f-1.

Dada una función f: A → B estamos interesados en encontrar una función f-1: B → A tal que para cada y ∈ B el valor f-1 (y) = x es el único número de A tal que f(x) = y.

f-1 (y ) = x ⇔ y = f(x )

(x ∈ A, y ∈ B)

f tiene inversa si y sólo si f es inyectiva

FUNCIONES INVERSAS La gráfica de f contiene al punto (a, b) si y sólo si la gráfica de f-1 contiene al punto (b, a).

FUNCIONES INVERSAS Una función g es la inversa de la función f si:

(f o g)(x ) = f (g(x )) = x (g o f)(x ) = g (f(x )) = x

(∀x ∈ D( g ) )

(∀x ∈ D( f ) )

La función g se escribe f-1 y se denomina función inversa de f.

Ejemplo:

Función de demanda q = qD (p) = 40 − 5p

40 − q Función inversa de demanda p = p (q) = 5 qD o pD (q) = qD pD (q) = qD ⎛⎜ 40 - q ⎞⎟ = 40 - 5 40 - q = q 5 ⎝ 5 ⎠ D

(

)

(

)

40 − (40 − 5p ) =p (p o q )(p) = p q (p) = p (40 - 5p) = 5 D

D

D

(

D

)

D

FUNCIONES INVERSAS

FUNCIONES INVERSAS

FUNCIONES INVERSAS: EJEMPLOS

f(x ) = x2 + 1; f-1 (x) = x − 1

(f

-1

o f)(x ) = f-1 (f(x )) = f −1 (x2 + 1) = x2 + 1 − 1 = x

(f o f )(x ) = f(f (x )) = f( -1

-1

) (

x -1 =

x −1 +1

g(x ) = e x ; g-1 (x) = ln(x)

(g

-1

o g)(x ) = g-1 (g(x )) = g−1 (e x ) = ln(e x ) = x

(g o g )(x ) = g(g (x )) = g(lnx ) = e -1

-1

lnx

)

2

=x

EJEMPLO FUNCION INVERSA: ARCO SENO

π 2

π − 2

EJEMPLO FUNCION INVERSA: ARCO TANGENTE