Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada Geovany Sanabria

Contenido 1 Concepto de Diferencial

89

2 Variables Relacionadas 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Problemas de variables relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 93 98

3 Regla de L’ Hopital

99

3.1 3.2 3.3 3.4

0 ∞ Cocientes indeterminados: , . . . 0 ∞ Productos indeterminados: 0 · ∞ . . . Diferencias indeterminadas: ∞ − ∞ . Potencias indeterminadas: 00 , ∞0 , 1∞

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. 99 . 101 . 102 . 102

4 Teorema del valor medio y Teorema de Rolle

104

5 Valores máximos y mínimos 5.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Cálculo de extremos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Cálculo de extremos absolutos en un intervalo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 107 111 114

6 Graficación 6.1 Monotonía de una función . . . . . . . . . . 6.2 Concavidad de una función . . . . . . . . . 6.3 Rectas Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Recta horizontal y = b . . . . . . . . 6.3.2 Rectas verticales x = a . . . . . . . . 6.3.3 Rectas Oblicuas y = mx + b . . . . . 6.4 Estudio de una función y construcción de su

118 118 122 126 126 128 129 132

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . gráfica .

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7 Problemas de Optimación 140 7.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

88

Apuntes Cálculo ..., ITCR - 5. Aplicaciones de la Derivada

1

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Concepto de Diferencial

Recuerde que si y = f (x) se dice que y es la variable dependiente y x es la variable independiente. Dado que y depende del valor de x tienen sentido determinar la rapidez de cambio de y con respecto x: dy f 0 (x) = dx en un determinado momento. Así en x = a recordemos que geométricamente f 0 (a) es la pendiente de la recta tangente Ta (x) = mT · x + bT , y si dx = 4x con x1 = a y x2 = a + 4x se debe cumplir, por la definición de pendiente, que dy = Ta (x2 ) − Ta (x1 ) , pues: Ta (x2 ) − Ta (x1 ) dy = mT = x2 − x1 dx Geométricamente:

Ta

f(x2) Ta(x2) f(x1)=Ta(x1)

y dy

(a,f(a)) dx

f

x

a

a+ x

x1

x2

Recuerde además que 4y = f (x2 ) − f (x1 ) . Note que si 4x se acerca a 0 entonces 4y se acerca dy. Esto nos permite tener una definición de los diferenciales dx y dy. Definición 1 (Diferencial) Si y = f (x) es derivable, (note que x es la variable independiente, y es la variable dependiente de x). Se definen: 1. El diferencial de x : dx como una variable independiente. 2. El diferecial de y : dy = f 0 (x) dx como una variable dependiente de los valores de x y dx. Si dx = 4x (un cambio de x muy pequeño) entonces el diferencial de y aproxima al cambio en y es decir: dy ≈ 4y.

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¡ ¢ Ejemplo 1 Determine el diferencial de y = tan−1 x3 . Se tiene que y 0 =

1 · 3x2 , por lo tanto: 1 + x6

3x2 dx. 1 + x6 Ejemplo 2 Para determinar el valumen de un cubo se encontró que su lado es de 30 cm con un error de medición de 0.1 cm. Estime usando diferenciales el posible error al calcular este volumen. dy =

El volumen de un cubo depende de su lado: V (L) = L3 , por lo tanto: dV · dL. dL Por otro lado el error de medición equivale a un cambio en L : 4L = 0.1, asi se debe determinar el error al calcular el volumen: 4V. dV =

Si dL = 4L = 0.1 entonces dV ≈ 4V. Por lo tanto el error al calcular el volumen es 2

dV = 3L2 · dL = 3 · (30cm) · 0.1cm = 270cm3 .

Ejemplo 3 la función posición en metros de una objeto en el tiempo t en minutos es 4t − t2 + 146. Halle una función que aproxime el desplazamiento del objeto para 4t = 2 min.

La variable posición y depende de la variable tiempo t. Así la velocidad del objeto es

dy = −2t + 4 m/min dt Note que el desplazamiento esta dado 4y. Así si dt = 4t = 2 entonces dy ≈ 4y, por lo tanto la función que aproxime el desplazamiento del objeto es dy = (−2t + 4) dx = 2 (−2t + 4) m. Ejemplo 4 Considere la siguiente situación: “un avión va a una velocidad de 300km/h”. ¿Que pasa si y = f (x) es una función lineal? Note que si f (x) = mx + b entonces f 0 (x) = m (es una función constante).El recíproco también es cierto si f 0 (x) = m entonces f (x) = mx + b. En este caso la recta tangente será la misma función: T (x) = mx + b, por lo tanto si dx = 4x entonces dy = 4y.

f(x2)=T(x2) f(x1)=T(x1)

dy= y

(a,f(a)) dx x

f=T

90

a

a+ x

x1

x2

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Teorema 1 (la función lineal y su diferencial) y = f (x) es una función lineal si y solo si f 0 (x) es constante. Además si f es una función lineal y dx = 4x entonces dy = 4y. Ejemplo 5 Un avión va a una velocidad de 300km/h. En 87 minutos, ¿cuánta distancia ha recorrido? La velocidad es una razón instantánea de la función posición y con respecto al tiempo t, por lo tanto: dy km = 300 dt h 87 (note que entonces y depende x) Además 4t = 87 min = h. Como la derivada es constante y si 60 87 dt = 4t = h entonces la distancia recorrida es 60 4y = dy =

2

dy km 87 · dt = 300 · h = 435km. dt h 60

Variables Relacionadas

2.1

Preliminares

Ejemplos como el anterior, en la práctica, se realizan más automáticamente. Observe el ejemplo siguiente. Ejemplo 6 El volumen de una esfera aumenta con respecto a su radio a una razón de 100cm3 /cm. 1. Explicite las variables involucradas y si son dependientes e independientes. Se tienen las siguientes variables: V : r: Así se tiene que

volumen de la esfera en cm3 radio de la esfera en cm

(variable dependiente de r) (variable independiente)

dV cm3 = 100 . dr cm

2. Cuando el radio pasa de 1m a 1.5m, ¿Cuánto ha cambiado el volumen?. Observe que 4r = 0.5m = 50cm, como 4V = dV =

dV es constante entonces dr

cm3 dV · dr = 100 · 50cm = 5000cm. dr cm

Se concluye que el volumen ha aumentado 5000cm (pues 4y > 0). Ejemplo 7 Dos vehículos se acercan a una intersección de una calle y una avenida . El primero se desplaza a una velocidad de 40 km/h hacia el este y el segundo a 45km/h. hacia el sur. Una persona los observó cuando el primero estaba a una distancia de 250m del punto de intersección y el segundo a una distancia de 190m. 91

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1. Explicite las variables involucradas y si son dependientes e independientes. Se tienen las siguientes variables: t: x: y:

tiempo trascurrido en horas distancia del 1◦ vehículo al punto donde fue observado en km distancia del 2◦ vehículo al punto donde fue observado en km

Entonces

(variable independiente) (variable dependiente de t) (variable dependiente de t)

dx dy = 40 km/h y = 45km/h. dt dt

y 190m x

dy dt

=45

Punto de intersección

dx

=40 dt 250m Note que si se dice x es la distancia del 1◦ vehículo al punto de intersección, sería incorrecto dx suponer que = 40 km/h, pues x decrecería antes de que el vehículo pase el punto de interdt dx dx sección ( < 0) y luego crece ( > 0). dt dt 2. A que distancia se encuentran los vehículos del punto de intersección después de 16 segundos de ser observados por la persona. Se tiene que 1h 1 = h 3600s 225 Note que cuando el tiempo es cero, por la definición de las variables, se tiene que x (0) = y (0) = 0,entonces 4x = x y 4y = y (pues si x1 = 0 y x2 = x entonces 4x = x). Como las velocidades son constantes, la distancia recorrida por el primer y segundo vehículo es: 4t = 16s = 16s

dx km 1 · dt = 40 · h= dt h 225 dy km 1 = 4y = · dt = 45 · h= dt h 225

x = 4x = y

8 km = 177.7m 45 1 km = 200m 5

Como 250 − 177.7 = 72. 2

y

190 − 200 = −10,

el primer vehículo se encuentra a 72. 2 m del punto de intersección y el segundo a 10 m de ese punto. 92

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En los siguientes ejemplos se recuerda la derivación implícita necesaria para resolver problemas de tasas relacionadas. Ejemplo 8 Sean x, y, z variables de pendientes de t. Si x2 + y 2 = z 2 entonces derivando a ambos lados con respecto a t se tiene que: 2xx0 + 2yy 0 = 2zz 0 o más explícitamente 2x

dx dy dz + 2y = 2z . dt dt dt

dx dy Ejemplo 9 Sean x, y variables dependientes de z. Si 2x + 3y = z 2 y = 5, determine cuando dz dz z = 3. Derivado con respecto a z a ambos lados de la igualdad 2x + 3y = z 2 se obtiene que 2 Sustituyendo

dx dy +3 = 2z. dz dz

dx = 5 y z = 3 se tiene que dz 10 + 3

De donde se concluye que:

dy =6 dz

dy −4 = cuando z = 3. dz 3

dv dr 4πr3 y = 200, determine cuando 3 dt dt 3 4πr se obtiene que r = 13. Derivado con respecto a t a ambos lados de la igualdad v = 3

Ejemplo 10 Sean v, r variables dependientes de t. Si v =

dr dr 4π dv dv = · 3r2 · , es decir . = 4πr2 · dt 3 dt dt dt Sustituyendo

dv = 200 y r = 13 se tiene que dt 200 = 4π · 132

De donde se concluye que:

2.2

dr dt

dr 50 = cuando r = 13. dt 169π

Problemas de variables relacionadas

Seguidamente se presentan la resolución de algunos problemas con tasas relacionadas. Ejemplo 11 Se bombea aire a un globo esférico a razón de 200cm3 /s. ¿Con qué rapidez aumenta el radio del globo cuando el diámetro es de 26 cm?

93

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1. Identificar las variables: t: V : r:

tiempo en segundos volumen de la esfera en cm3 radio de la esfera en cm

2. Datos:

(variable independiente) (variable dependiente de t) (variable dependiente de t)

dV = 200cm3 /s dt dr Hallar cuando r = 13cm dt

3. Determinar una ecuación que relacione al menos las variables dependientes. Se utilizará la fórmula del volumen del cubo: V =

4πr3 . 3

4. Derivando a ambos lados con respecto a t : dr dr 4π dv = · 3r2 · = 4πr2 · dt 3 dt dt 5. Sustituir datos: se tiene que 200 = 4π · 132 De donde se concluye que:

dr dt

dr 50 cm = ≈ 0.0941 cuando r = 13. dt 169π s

El ejemplo anterior tiene explícito algunos pasos generales para resolver problemas de tasas relacionadas: 1. Identificar y definir las variables. Se deben indicar las unidades de cada variable y si son dependientes o no. Cada razón instantánea involucra dos variables, por ejemplo si el volumen aumenta a 200m3 /s significa que una variable volumen en m3 y una variable tiempo en segundos. 2. Expresar los datos utilizando las variables definidas. 3. Determinar una ecuación que relacione al menos las variables dependientes. Esta se puede obtener aplicando: Pitágoras, una fórmula de área o volumen, ley de senos o cosenos, una razón trigonométrica,... 4. Derivar a ambos lados de la ecuación obtenida. 5. Sustituir los datos y dar la respuesta. Ejemplo 12 Dos vehículos se acercan a una intersección de una calle y una avenida . El primero se desplaza a una velocidad de 40 km/h hacia el este y el segundo a 45km/h. hacia el sur. Una persona los observó cuando el primero estaba a una distancia de 250m del punto de intersección y el segundo a una distancia de 190m.¿A qué velocidad se acercan o alejan los vehículos después de 10 segundos de ser observados por la persona. 94

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1. Identificar las variables: t: x: y: z:

tiempo trascurrido en horas distancia del 1◦ vehículo al punto donde fue observado en km distancia del 2◦ vehículo al punto donde fue observado en km distancia entre los vehículos

2. Datos:

(variable (variable (variable (variable

independiente) dependiente de t) dependiente de t) dependiente de t)

dx dy = 40km/h, = 45km/h dt dt Cuando t = 0 el vehículo 1 esta a 250m del punto de intersección y el vehículo 2 esta a 190m dz cuando t = 16s Hallar dt

3. Determinar una ecuación que relacione al menos las variables dependientes.

dy

y

dt

190m

=45

z

x

Punto de intersección

dx

=40 dt 250m Utilizando Pitágoras se tiene que: 2

2

(250 − x) + (190 − y) = z 2 . 4. Derivando a ambos lados con respecto a t : 2 (250 − x) · −

dx dy dz + 2 (190 − y) · − = 2z dt dt dt

1 5. Sustituir datos y dar respuesta. Cuando t = 10s = h la distancia recorrida por lo vehículos 360 es km 1 1 1000 dx · dt = 40 · h = km = m dt h 360 9 9 dy km 1 1 = 4y = · dt = 45 · h = km = 125m dt h 360 8

x = 4x = y

95

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Por lo tanto, al sustituir en la ecuación hallada en (3): z

2

z

µ ¶2 1000 1904 725 = 250 − + (190 − 125)2 = =⇒ 9 81 r 1904 725 = ≈ 153. 35, cuando t = 10s 81

Sustituyendo en la ecuación derivada: µ ¶ 1000 dz −2 250 − · 40000 + −2 (190 − 125) · 45000 = 2 · 153.35 9 dt dz ≈ −55300 m/h = −55.3 km/h cuando t = 10s. Por lo tanto los dt dz vehículos se acercan (pues < 0) a una velocidad aproximada de 55.3 km/h. dt De donde se obtiene que

Ejemplo 13 Un tren y un avión parten de un “mismo punto” simultáneamente. El avión va en ascenso con un ángulo de 60◦ hacia el este con una velocidad promedio de 300 km/h. Mientras el tren va hacia el oeste a una velocidad promedio de 50 km/h. Suponiendo la velocidad promedio como la velocidad en cada momento, ¿A qué velocidad se alejan el avión y el tren después de 6 minutos? 1. Identificar las variables: t: x: y: z:

tiempo trascurrido en horas distancia del tren al punto de partida en km distancia del avión al punto de partida en km distancia entre el tren y el avión en km

2. Datos:

(variable (variable (variable (variable

independiente) dependiente de t) dependiente de t) dependiente de t)

dx dy = 50km/h, = 300km/h dt dt dz cuando t = 6 min Hallar dt

3. Determinar una ecuación que relacione al menos las variables dependientes.

Utilizando la Ley de Cosenos: z 2 = x2 + y 2 − 2xy cos (120◦ ) , 96

es decir

z 2 = x2 + y 2 + xy.

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4. Derivando a ambos lados con respecto a t : 2z

dz dx dy dy dx = 2x + 2y +x +y dt dt dt dt dt

1 5. Sustituir datos y dar respuesta. Cuando t = 6 min = h las distancias recorridas por el tren y 10 el avión son km 1 dx · dt = 50 · h = 5km dt h 10 dy km 1 = 4y = · dt = 300 · h = 30km dt h 10

x = 4x = y

Por lo tanto, al sustituir en la ecuación hallada en (3): z 2 = 52 + 302 + 150

=⇒

z=

√ 1075

Sustituyendo en la ecuación derivada: √ dz 2 1075 = 10 · 50 + 60 · 300 + 5 · 300 + 30 · 50 dt √ dz 10 750 = 50 43 cuando t = 6 min . Por lo tanto el tren y el = √ dt 1075 √ dz avión se alejan (pues > 0) a una velocidad de 50 43 km/h. dt De donde se obtiene que

Ejemplo 14 Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido, con radio de la base igual a 3m y 6m de altura. Inicialmente el tanque esta lleno de agua y se deja salir agua a una velocidad de 100π cm3 /s. Calcule la velocidad con que baja el nivel de agua después de 5 segundos de iniciarse la salida del agua. 1. Identificar las variables: t: V : h: r: 2. Datos:

tiempo trascurrido en segundos volumen de agua en el tanque en cm3 /s altura o nivel del agua en cm radio superior del volumen de agua en cm

(variable (variable (variable (variable

dV = −100π cm3 /s dt r (0) = 300 cm h (0) = 600 cm dh cuando t = 5 segundos Hallar dt

97

independiente) dependiente de t) dependiente de t) dependiente de t)

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3. Determinar una ecuación que relacione al menos las variables dependientes. πr2 h La fórmula de volumen de un cono es V = 3 r 3 h Además, por semenjanza de triángulos: = =⇒ r = h 6 2 πh3 Por lo tanto: V = 12 4. Derivando a ambos lados con respecto a t : 3πh2 dh dV = dt 12 dt 5. Sustituir datos y dar respuesta. Inicialmente V = V = por lo tanto

y como

π3002 600 y después de 5 segundos 3

π3002 600 − 500π = 17 999 500π, 3

πh3 = 17 999 500π, y entonces el nivel del agua a los 5 segundos es 12 √ 3 h = 215 994 000,

dV = −100π dt

cm3 /s sustituyendo nen la ecuación hallada se obtiene 3πh2 dh dV = dt ¡ √ 12 dt ¢2 3π 3 215 994 000 dh −100π = 12 dt

√ dh de donde = − 5391985 3 215 994 000 ≈ −1. 111 1 × 10−3 cm/s. Así, la velocidad con que baja el dt nivel de agua después de 5 segundos de iniciarse la salida del agua es aproximadamente de −1. 111 1 × 10−3 cm/s.

2.3

Ejercicios

1. En un paralelepípedo de base cuadrada, el lado de la base crece a una velocidad de 2cm/s y su altura decrece a una velocidad de 3cm/s. ¿A qué velocidad cambia su volumen, cuando su altura es de 10 cm y su volumen de 90cm3 ? R/ 93 cm3 /s 2. Un hombre rema en línea recta a una velocidad de 2 km/h hacia un Punto C de la costa ( la cual se supone recta). Al mismo tiempo una mujer camina por la orilla de la costa hacia el punto C a una velocidad de 5 km/h. ¿Determine la velocidad con que se acercan el hombre y la mujer, cuando están a una distancia de 10km y la mujer se encuentra a 6km de C?

98

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cm2 .Determine 3. Si una bola de nieve al rodar en una cuesta su área superficial aumenta a una tasa de 1 min la tasa con que aumenta el diámetro en el momento en que mide 10 cm. 4. Un diamante de beisbol es un cuadrado de 90 pies de lado. Un bateador le pega a la bola y corre pies ¿Con que velocidad disminuye su distancia a hacia la primera base a una velocidad de 24 s la segunda base cuando esta a la mitad del camino de la primera. 5. Una lancha es remolcada hacia un muelle con una cuerda fija a su proa que pasa por una polea en el muelle. Esa polea es 1m más alta que la proa del bote. Si se corre la cuerda a una velocidad m de 1 , ¿Con qué velocidad se acerca la lancha al muelle cuando está a 8m de distancia de él? s 6. Dos lados de un triángulo tienen longitudes de 12m y 15m. El ángulo que forman aumenta con 2◦ una velocidad de ¿Con qué rapidez crece el tercer lado cuando el ángulo entre los lados de min longitud fija es de 60 grados? km y pasa 1km de altura sobre un radar 7. Un avión vuela a una velocidad constante de 300 h terrestre. La nave va en ascenso con un ángulo de elevación de 30◦ .¿Con qué velocidad aumenta la distancia del aeroplano a la estación del radar después de un minuto? 8. Un tanque de agua tiene forma de cono circular invertido, con radio de la base igual a 2m y 4m de altura. Si se bombea agua a una velocidad de 2m3 / min, calcule la velocidad con que sube el nivel de agua cuando la profundidad alcanza 3m. 9. Se tiene un cilindro en el que la altura crece y el radio disminuye de tal manera que el volumen cm del cilindro se mantiene constante. Si el radio disminuye a razón de 2 , calcule la rapidez con s que aumenta la altura cuando el radio es 5cm en términos del volumen. cm3 , al mismo 10. De un tanque en forma de cono invertido se deja salir agua a razón de 9000 min tiempo se bombea agua al interior del tanque a una velocidad constante. El tanque tiene 7m de altura y el diámetro en la parte superior es de 5m. Si el nivel de agua esta aumentado a razón cm cuando la altura del agua es de 3m, encuentre la velocidad a la que se bombea agua de 22 min al interior del tanque.

3 3.1

Regla de L’ Hopital Cocientes indeterminados:

Recuerde que si

0 ∞ , 0 ∞

lim f (x) = 0 y

x→b

99

lim g(x) = 0,

x→b

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entonces se dice que lim

x→b

f (x) 0 tiene una forma indeterminada . Similarmente, si g(x) 0 lim f (x) = ±∞ y

x→b

entonces se dice que lim

x→b

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lim g(x) = ±∞,

x→b

∞ f (x) tiene una forma indeterminada . g(x) ∞

Teorema 2 (Regla de L’ Hopital) Si se cumplen las siguientes hipótesis: 1. f (x) y g(x) son derivables. 2. g(x) 6= 0 cerca de b. 3. lim

x→b

0 ∞ f (x) es una forma indeterminada , g(x) 0 ∞

f 0 (x) existe (da como resultado un número real +∞ o −∞). x→b g 0 (x)

4. lim

Entonces:

f (x) f 0 (x) = lim 0 . x→b g(x) x→b g (x) lim

Ejemplo 15 Observe los siguientes ejemplos: L0 H : 2 ↓ x + 3x − 4 = 1. lim x→1 x−1 ln x x→1 x − 1

2. lim

√ x 3. lim x→∞ ln x

L0 H : ↓ = L0 H : ↓ =

2e x→∞ x2

5. lim

L0 H : ↓ =

L0 H : ↓ sen x = 6. lim x→0 x

lim

x→1

0 0

lim

x→1 ∞ ∞

L0 H : ↓ x2 + 2 = 4. lim x x→∞ 3 x

0 0

∞ ∞

1 x

1

2x + 3 = 5. 1

=1

1 √ √ x x 2 x lim = lim √ = lim = +∞. 1 x→∞ x→∞ 2 x x→∞ 2 x ∞ ∞

2x 3x ln 3

L0 H : ↓ =

x

∞ ∞

lim

x→∞

x

2e e = lim x→∞ 2x x→∞ x lim

L0 H : ↓ =

0 0

lim

x→0

2 3x

cos x =1 1 100

2

(ln 3)

∞ ∞

= 0.

ex = +∞ x→∞ 1 lim

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ln x . x→∞ xn

Ejemplo 16 Sea n > 0, calcule lim Se tiene que:

L0 H : ↓ ln x lim = x→∞ xn

3.2

∞ ∞

1 x x→∞ nxn−1

lim

= lim

x→∞

1 = 0. nxn

Productos indeterminados: 0 · ∞

Recuerde que si

lim f (x) = 0 y

lim g(x) = ±∞,

x→b

x→b

entonces se dice que lim [f (x)g(x)] tiene una forma indeterminada (FI) 0 · ∞. Esta forma se puede x→b 0 ∞ transformar a la forma indetermina o para aplicar L’ Hopital. En efecto: 0 ∞ Opción 1. FI : 0 · ∞ ↓ ∞ g(x) = lim 1 (Tiene la F I : lim [f (x)g(x)] ) x→b x→b ∞ f (x) Opción 2. FI : 0 · ∞ ↓ 0 f (x) = lim 1 (Tiene la F I : ) lim [f (x)g(x)] x→b x→b 0 g(x) ¿Cuál opción escoger? Se escoge la que más convenga, puede suceder que la opción escogida no permita calcular el límite. Además se debe tratar de que las expresiones a derivar sean simples derivar. √ Ejemplo 17 Calcule lim+ x ln x. x→0

Se tiene que FI : 0 · ∞ ↓ √ = lim+ x ln x

x→0

L0 H : ↓ ln x lim+ 1 =

x→0

∞ ∞

√ x

lim+

x→0

1 x −1 √ 2 x3

= lim+ x→0

√ √ −2 x3 = lim+ −2 x = 0 x x→0

√ Note que si se pasa el ln x para abajo en lugar de x al aplicar L’ Hopital se obtiene un limite muy similar al inicial, es decir ¡No hay un avance en el calculo del limite! Ejemplo 18 Calcule lim x · 2x . x→−∞

Se tiene que

lim x · 2x

x→−∞

FI : 0 · ∞ ↓ =

x

lim x→−∞ 1x 2

x = lim ¡ 1 ¢x x→−∞

2

L0 H : ↓ =

∞ ∞

lim ¡ 1 ¢x

x→−∞

2

1 1 ¡1¢ = =0 +∞ ln 2

Si en lugar de x se pasa 2x para abajo, al aplicar L’ Hopital ¡no hay un avance en el calculo del limite! 101

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3.3

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Diferencias indeterminadas: ∞ − ∞

Recuerde que si

lim f (x) = ∞ y

lim g(x) = ∞,

x→b

x→b

entonces se dice que lim [f (x) − g(x)] tiene una forma indeterminada ∞ − ∞. x→b

Se debe intentar convertir la diferencia en un cociente para poder aplicar L’ Hopital. Para realizar esta conversión se debe realizar una manipulación algebraica. Ejemplo 19 Calcule limπ (sec x − tan x) . x→ 2

Se tiene que FI : ∞ − ∞ ↓ = limπ (sec x − tan x)

x→ 2

limπ

x→ 2

µ

1 sen x − cos x cos x

¶

L0 H : ↓ 1 − sen x = = limπ x→ 2 cos x

0 0

limπ

x→ 2

Ejemplo 20 Calcule lim [2x − ln (x − 1)] . x→∞

Se tiene que FI : ∞ − ∞ ↓ = lim [2x − ln (x − 1)]

x→∞

Como x

e2 x→∞ x − 1 lim

L0 H : ↓ =

x i h x e2 lim ln e2 − ln (x − 1) = lim ln , x→∞ x→∞ x−1

∞ ∞

x

e2 · 2x ln 2 = +∞. x→∞ 1 lim

Por lo tanto lim [2x − ln (x − 1)] = +∞. x→∞

3.4

Potencias indeterminadas: 00 , ∞0 , 1∞

Al límite lim f (x)g(x) se le asocian las siguientes formas indeterminadas: x→b

lim f (x)

x→b

0 ∞ 1

lim g (x)

Forma indeterminada

0 0 ±∞

00 ∞0 1∞

x→b

g(x)

Para calcular estos límites se suele utilizar la identidad: f (x)

102

= eg(x) ln f (x) .

cos x =0 − sen x

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1

Ejemplo 21 Calcule lim x x . x→∞

Note que F I : ∞0 ↓ =

1

lim x x

x→∞

además

1

lim e x ln x = lim e

x→∞

L0 H : ↓ ln x = lim x→∞ x

ln x x

x→∞

∞ ∞

,

1 x lim = 0. x→∞ 1

1

Por lo tanto lim x x = e0 = 1. x→∞

³ a ´x . 1+ x→∞ x

Ejemplo 22 Calcule lim Note que

³ a ´x lim 1 + x→∞ x

además

³ a´ lim x ln 1 + x→∞ x

L0 H : 0 · ∞ ↓ = 1

= lim

x→∞

1+

F I : 1∞ ↓ =

lim

x→∞

lim e

x→∞

 a ln 1+

1 x

x

 a x ln 1+

x ,

L0 H : ↓ =

a ·a=a x

0 0

µ ¶0 1 · a a x 1+ xµ ¶ lim 0 x→∞ 1 x 1

³ a ´x = ea . 1+ x→∞ x µ ¶x x−1 Ejemplo 23 Calcule lim . x→∞ x + 1

Por lo tanto lim

Note que lim

x→∞

µ

x−1 x+1

¶x

F I : 1∞ ↓ =

103

x ln

lim e

x→∞

#

$

x−1 x+1 ,

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además 1 (x + 1) − (x − 1) $ L0 H : 0 · 2 x − 1 x − 1 0 (x + 1) µ ¶ ln ↓ x−1 x+1 lim = lim x + 1 lim x ln 1 −1 x→∞ x→∞ x→∞ x+1 x x2 L0 H : ∞ (x + 1) − (x − 1) 2 ∞ ↓ 2−1 2−1 −2x2 −4x x x = lim = lim = lim −1 = lim 2 = −2. −1 x→∞ x→∞ x→∞ x − 1 x→∞ 2x x2 x2 µ ¶x x−1 = e−2 . Por lo tanto lim x→∞ x + 1 L0 H : 0 · ∞ ↓ =

4

#

Teorema del valor medio y Teorema de Rolle

Teorema 3 (Teorema de Rolle) Bajo las hipótesis: 1. f es continua en [a, b] 2. f es diferenciable en ]a, b[ (es decir, f 0 (x) esta definida para todo x entre a y b) 3. f (a) = f (b) Entonces existe un número c ∈ ]a, b[ tal que f 0 (c) = 0

f f(a)=f(b)

c

a

b

Ejemplo 24 Note que, de acuerdo a su gráfica las funciones representados no satisfacen el teorema

104

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de Rolle por que no cumplen una de sus hipótesis: f(b)

g f(a)=f(b)

h

f(a)

c

a

b

a

b

La función g no cumple la hipótesis 2 pues f 0 (c) no existe. La función h no cumple la hipótesis 3, ya que f (a) 6= f (b) Como ejercicio dibuje una función que no cumpla la hipótesis 1. Ejemplo 25 Pruebe que la ecuación 2x3 + x − π = 0 tiene una única solución. 1. Existencia de la solución. Sea f (x) = 2x3 + x − π como f (3) < 0 < f (4) y f es continua en [3, 4] entonces por el Teorema del Valor Intermedio existe c ∈ ]3, 4[ tal que: f (c) = 0 El valor c es una solución de la ecuación. 2. Unicidad de la solución. Se debe mostrar que c es la única solución de la ecuación. Supongamos que otro solución d de la ecuación. Entonces f (c) = f (d) = 0. Como f es continua en [c, d] , f 0 (x) = 6x2 + 1 esta definida en ]c, d[ y f (c) = f (d) , por el teorema de Rolle existe un valor m ∈ ]c, d[ tal que f 0 (m) = 0, pero f 0 (m) = 6m2 +1 es positivo y por lo tanto no puede ser cero. Entonces no hay otra solución, pues si la hay el teorema de Rolle diría que f 0 (m) es cero y no puede serlo. Ejemplo 26 Sea f (x) = (x − 1)−2 , note que f (−1) = f (1) , sin embargo no existe un valor c que cumpla que f 0 (c) = 0. ¿Contradice lo anterior el Teorema de Rolle? No, ya que f (x) =

1 (x − 1)2

no es continua en [−1, 1] , pues f (0) no esta definida.

Teorema 4 (Teorema del Valor Medio) Bajo las hipótesis: 105

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1. f es continua en [a, b] 2. f es diferenciable en ]a, b[ (es decir, f 0 (x) esta definida para todo x entre a y b) Entonces existe un número c ∈ ]a, b[ tal que f 0 (c) =

f (b) − f (a) b−a

1 = tan−1 (2) − tan−1 (1) tiene al menos una solución. 1 + x2 1 Sea f (x) = tan−1 (x) , como f es continua en [1, 2] y además f 0 (x) = esta definida para 1 + x2 x ∈ ]1, 2[ , entonces por el teorema del Valor Medio existe c ∈ ]1, 2[ tal que Ejemplo 27 Pruebe que la ecuación

f 0 (c) = es decir

f (2) − f (1) = f (2) − f (1) 2−1

1 = tan−1 (2) − tan−1 (1) , por lo que c es una solución de la ecuación. 1 + c2

Ejemplo 28 Pruebe que si f 0 (x) = 0 para todo x en [a, b] entonces f es constante en ese intervalo. Hay que mostrar que para cualesquiera x1 y x2 en [a, b] la función f “no cambia” es decir f (x1 ) = f (x2 ). Note que: 1. f es continua en [x1 , x2 ] , pues derivabilidad implica continuidad y la derivada esta definida (f 0 (x) = 0) 2. f 0 esta definida en ]x1 , x2 [ : f 0 (x) = 0. Por el teorema del valor intermedio existe c entre x1 y x2 tal que f 0 (c) = como f 0 (c) = 0 entonces

f (x2 ) − f (x1 ) , x2 − x1

f (x2 ) − f (x1 ) = 0 =⇒ f (x2 ) − f (x1 ) = 0 =⇒ f (x2 ) = f (x1 ) . x2 − x1

El recíproco del enunciado del ejemplo anterior ya se había mostrado: “Si f es constante en [a, b] su derivada es f 0 (x) = 0 en [a, b] ”. Esto nos permite enunciar el siguiente teorema: Teorema 5 (Función Constante) f 0 (x) = 0 para todo x en [a, b] si y solo si f es constante en ese intervalo. Ejemplo 29 Pruebe la identidad sen2 x + cos2 x = 1. Sea f (x) = sen2 x + cos2 x, se debe probar f es la función constante f (x) = 1. Como f 0 (x) = 2 sen x · cos x + 2 cos x · − sen x = 2 sen x cos x − 2 cos x sen x = 0, 106

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entonces por el Teorema de la Función Constante f es constante f (x) = c. Se debe mostrar que c = 1, note que f (0) = c, pero también f (0) = sen2 0 + cos2 0 = 02 + 12 = 1. Entonces c = 1 y f (x) = 1, es decir sen2 x + cos2 x = 1 EN RESUMEN: En este apartado se trabajo con igualdades de naturaleza distinta: 1. LA ECUACIÓN. En esta expresión la variable x se le llama incógnita. Solo uno o unos valores de x satisfacen la igualdad y son llamados soluciones de la ecuación. Así no interesa saber si una ecuación: (a) Tiene al menos una solución (existencia de una solución). Para esto se utilizó el Teorema del Valor Intermedio (ver ejemplo 25, parte 1) o, en caso de que sea muy evidente el Teorema del Valor Medio (ver ejemplo 27). (b) Tiene una única solución. Primero se debe determinar la existencia de una solución (ver (a)) y luego que esta solución sea única. Para mostrar la unicidad de la solución se utilizó el Teorema de Rolle (ver ejemplo 25, parte 2). 2. La IDENTIDAD. Esta igualdad, a diferencia de la ecuación, es satisfecha por todos los valores de x. Para mostrar que una identidad se cumple se utilizó el Teorema de la Función Constante (ver ejemplo 25).

5 5.1

Valores máximos y mínimos Definiciones

Definición 2 (Máximo absoluto o global) f tiene un máximo absoluto en x = M si f (M ) ≥ f (x), para todo x en Df . En tal caso se dice que el máximo absoluto se alcanza en M y es f (M ) . Definición 3 (Mínimo absoluto o global) f tiene un mínimo absoluto en x = m si f (m) ≤ f (x), para todo x en Df . En tal caso se dice que el mínimo absoluto se alcanza en m y es f (m) . Definición 4 (Máximo relativo o local ) f tiene un máximo relativo en x = M si existe un intervalo abierto ]a, b[ , tal que: f (M ) ≥ f (x), para todo x en ]a, b[ . En tal caso se dice que el máximo relativo se alcanza en M y es f (M ) . 107

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Definición 5 (Mínimo relativo o local) f tiene un mínimo relativo en x = m si existe un intervalo abierto ]a, b[ , tal que: f (m) ≤ f (x), para todo x en ]a, b[ . En tal caso se dice que el mínimo relativo se alcanza en m y es f (m) . Ejemplo 30 Considere la representación de la función F :

Función F

f

b a

c

d

e

g

Note que los máximos relativos se alcanzan en: a, c, e, g y son:F (a) , F (c) , F (e) , F (g) . Los mínimos relativos se alcanzan en: b, d, f y son: F (b) , F (d) , F (f ) . El máximo absoluto se alcanza en x = g y es F (g) . El mínimo relativo es F (f ) y se alcanza en f. Definición 6 Se dice que f alcanza tienen un extremo relativo (o absoluto) en x = c y es f (c) si f alcanza un máximo o mínimo relativo (o absoluto) en x = c Ejemplo 31 (No siempre un extremo absoluto es relativo) Considere la gráfica de la función

108

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f de dominio Df = [a, b] :

f(b)

f

f(a)

a

c

d

b

f alcanza un máximo relativo solo en x = c, este es f (c) . También alcanza un mínimo relativo solo en x = d y es f (d) . Sin embargo, los extremos absolutos no son relativos: el máximo absoluto es f (b) (se alcanza en x = b) y el mínimo absoluto se alcanza en x = a (este es f (a)). Ejemplo 32 Determine el máximo absoluto de la función f (x) = 4x − x2 − 1. Note que la gráfica de f es una parábola cóncava hacia abajo por lo que el máximo se alcanza en el vértice: µ ¶ µ µ ¶¶ −b −4 −b −b , = ,f = (2, 3) . 2a 4a 2a 2a

Por lo tanto el máximo absoluto es 3.

Ejemplo 33 Sea g : R → R. Suponga que el máximo absoluto de g es M = 3 y el mínimo absoluto de g es m = −2. Determine el conjunto solución de la ecuación: (g (x) + 4) (g (x) − 5) = 0. Note que si (g (x) + 4) (g (x) − 5) = 0 entonces g (x) = −4 o g (x) = 5. Además como el máximo de g es 5, el mínimo es −2 y su dominio es Dg = R, entonces: −2 ≤ g (x) ≤ 3, para todo x ∈ R. Por lo tanto g (x) no puede ser −4 ni 5, entonces el conjunto solución de la ecuación es S = φ. Definición 7 Dada una función f , se dice que el número c es un valor crítico si: 1. La función f esta definida en x = c, es decir c ∈ Df . 2. f 0 (c) = 0 o f 0 (c) no existe. Si c es un valor crítico se dice que (c, f (c)) es un punto crítico. 109

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Ejemplo 34 Determine los puntos críticos de f (x) =

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x3 − 4x. 3

1. Dominio de f : Df = R. 2. Valores Críticos. Se tiene que: f 0 (x) = x2 − 4 (a) f 0 (x) = 0. La derivada se hace cero si x = ±2.

(b) f 0 (x) no existe. No hay valores en Df para los cuales f 0 (x) no exista. Como −2 y 2 están en el dominio de f entonces son valores críticos.

8 16 16 3. Puntos críticos: Como f (2) = − 8 = − y f (−2) = . Por lo tanto los puntos críticos 3 3 3 son: µ ¶ µ ¶ 16 16 2, − y −2, . 3 3 √ Ejemplo 35 Determine los puntos críticos de f (x) = x2 − 1. 1. Dominio de f : Para que f este definida se debe cumplir que x2 − 1 ≥ 0 : x−1 x+1 x2 − 1

−∞ < x < −1 − − +

−1 < x < 1 − + −

1 0 para todo x en [a, b] entonces f es cóncava hacia arriba en [a, b] . 2. Si f 00 (x) < 0 para todo x en [a, b] entonces f es cóncava hacia abajo en [a, b] . Ejemplo 49 Determine los intervalos en los que la gráfica de f (x) es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión, a partir de la gráfica de f 00 :

1

f'' -2

2

-1

Se tiene que: −∞ −1 1 3 f 00 − + − f ∩ ∪ ∩ 123

+∞ + ∪

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f es cóncava hacia arriba en ]−1, 1[ , ]3, +∞[ y cóncava hacia abajo en ]−∞, −1[ , ]1, 3[ . Los puntos de inflexión son (−1, f (1)), (1, f (1)) y (3, f (3)) . Ejemplo 50 Determine los intervalos en los que la gráfica de f (x) = 3x5 +25x4 −90x3 −1350x2 +2x es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión. 1. Concavidad. Dado que f 0 (x) = 15x4 + 100x3 − 270x2 − 2700x + 2 y además: ¡ ¢ f 00 (x) = 60x3 + 300x2 − 540x − 2700 = 60 x3 + 5x2 − 9x − 45 ¤ £ = 60 x2 (x + 5) − 9 (x + 5) = 60 (x + 5) (x − 3) (x + 3) .

Entonces:

−∞ x+5 x−3 x+3 f 00 f

− − − − ∩

−5

+ − − + ∪

−3

3 + − + − ∩

+∞ + + + + ∪

Por lo tanto f es cóncava hacia arriba en ]−5, −3[ , ]3, +∞[ y cóncava hacia abajo en ]−∞, −5[ , ]−3, 3[ . 2. Puntos de inflexión. Como f (−5) = −16 260, f (−3) = −8430 y f (3) = −11 820, los puntos de inflexión son: (−5, −16260) ,

(−3, −8430)

y

(3, −11820) .

Se entenderá por análisis de la segunda derivada de una función determinar los intervalos en los que la gráfica es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo y los puntos de inflexión. q 2 Ejemplo 51 Realice el análisis de la segunda derivada de la función f (x) = 3 x (x − 1) . 1. Concavidad.

124

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3x − 1 , por lo tanto Por el ejemplo (47), se tiene que f 0 (x) = p 3 3 x2 (x − 1) f 00 (x) =

=

= Entonces:

p £ ¤ 1 3 · 3 3 x2 (x − 1) − (3x − 1) · 3 q · 2x (x − 1) + x2 2 3 3 [x2 (x − 1)] ³p ´2 9 3 x2 (x − 1)

p 9x (x − 1) − (3x − 1) (3x − 2) (3x − 1) (3x − 2) q 9 3 x2 (x − 1) − q 3 2 3 2 x (x − 1) x (x − 1) = ³p ´2 ³p ´2 9 3 x2 (x − 1) 9 3 x2 (x − 1) −2 q 2 3 x (x − 1) −2 q q = 2 4 9x 3 x (x − 1) 9x 3 x2 (x − 1) −2 9x

−∞

q 4 3 x2 (x − 1) f 00 f

0

1

+∞

− −

− +

− +

+ + ∪

+ − ∩

+ − ∩

Por lo tanto f es cóncava hacia arriba en ]+∞, 0[ y cóncava hacia abajo en ]0, 1[ , ]1, +∞[ . 2. Puntos de inflexión. Como f (0) = f (1) = 0 entonces los puntos de inflexión son (0, 0) y (1, 0) . Ejemplo 52 Considere la gráfica de f (4) :

Determine los intervalos donde: 125

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1. f 00 es cóncava hacia arriba en y cóncava hacia abajo. Intervalo ]−∞, 2[ ]2, 7[ ]7, 12[ ]12, +∞[

f (4) (x) + − + −

f 00 (x) ∪ ∩ ∪ ∩

Intervalo ]−∞, 2[ ]2, 7[ ]7, 12[ ]12, +∞[

f (4) (x) + − + −

f´(x) % & % &

2. f 000 crece y decrece.

3. f (5) (x) es positiva y negativa. Intérvalo ]−∞, 5[ ]5, 9[ ]9, +∞[

6.3

f (4) (x) & % &

f (5) (x) es + o − − + −

Rectas Asíntotas

Intuitivamente, podemos decir que la gráfica de una función f (x) es asíntota a una recta, si la función se acerca indefinidamente a la recta. Esta recta puede ser horizontal, vertical o oblicua.

6.3.1

Recta horizontal y = b

En este caso, la función y = f (x) y la recta y = b son "idénticas" en el infinito, es decir: lim f (x) = lim b o

x→+∞

x→+∞

lim f (x) = lim b.

x→−∞

x→−∞

Por lo tanto, se obtiene la siguiente definición de asíntota horizontal. Definición 13 (Asíntota horizontal) La recta y = b es una asíntota horizontal a la gráfica de f (x) si lim f (x) = b o lim f (x) = b. x→+∞

x→−∞

126

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Ejemplo 53 Considere la gráfica de f (x) :

M

N

Como

lim

x−→−∞

f (x) = N y

horizontales.

lim f (x) = M entonces las rectas y = N , y = M son asíntotas

x−→∞

3

Ejemplo 54 Determine las asíntotas horizontales, si las hay, de la función f (x) = (x + ex ) x . 1. AH en +∞. Note que 3 x x lim (x + e )

x→∞

como x

ln (x + e ) lim 3 x→∞ x

L0 H : ↓ =

∞ ∞

L0 H : ↓ =

∞ ∞

F I : ∞0 ↓ =

3 ln(x+ex ) lim e x ,

x→∞

1 · (1 + ex ) x 1 + ex x + e lim 3 = lim 3 x→∞ x→∞ x + ex 1 L0 H : ∞ ∞ ↓ ex ex = lim 3 = lim 3 x = 3 x x→∞ 1 + e x→∞ e

3 Por lo tanto lim (x + e ) x = e3 . x

x→∞

3 2. AH en −∞. De manera similar se obtiene que lim (x + e ) x = e3 . x

x→−∞

3

Por lo tanto y = e es asíntota horizontal en +∞ y en −∞

  

6x si x < 1 x−2 Ejemplo 55 Determine las asíntotas horizontales, si las hay, de la función g (x) = . 3x − 5   si x ≥ 1 4x + 1 1. AH en +∞. Note que

3 3x − 5 = , x→∞ 4x + 1 4

lim g (x) = lim

x→∞

3 Por lo tanto y = es asíntota horizontal en +∞. 4 127

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2. AH en −∞. Note que

lim g (x) = lim

x→−∞

x→−∞

Por lo tanto y = 6 es asíntota horizontal en −∞. 6.3.2

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6x = 6, x−2

Rectas verticales x = a

Este caso sucede cuando x se acerca a, f (x) tiende a +∞ o −∞. Definición 14 (Asíntota vertical) La recta x = a se llama asíntota vertical de la curva y = f (x) si por lo menos unas de las siguientes afirmaciones es verdadera: lim f (x) = ∞

x→a+

lim f (x) = ∞

lim f (x) = −∞

x→a+

x→a−

lim f (x) = −∞

x→a−

Ejemplo 56 Considere la gráfica de f (x) : 10

8

6

Como lim f (x) = +∞

4

x−→b

entonces x = b es una asíntota vertical.

2

b

5

Por ambos lados de b, la función va a +∞.

-2

Ejemplo 57 Determine las asíntotas verticales f (x) = cerca de las asíntotas.

x3

3x y analice el comportamiento de f − 4x

Note que la función se indefine cuando x3 − 4x = 0 es decir cuando x = 0 o x = ±2. 1. AV en x = 0. Como lim

x→0

x3

3 3x 3 = lim 2 = − , no hay asíntotas verticales en este punto. x→0 − 4x x −4 4

2. AV en x = −2.

128

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Se tiene que: 3x x3 − 4x 3x lim x→−2+ x3 − 4x lim

x→−2−

3 3 = + = +∞, x2 − 4 0 3 3 = lim = − = −∞, 0 x→−2+ x2 − 4 =

lim

x→−2−

entonces x = −2 es una asíntota vertical a la curva de f. Cuando x se acerca por la izquierda a −2, la función va a +∞, y por la derecha a −∞. 3. AV en x = 2. Se tiene que: 3x − 4x x→2 3x lim x→2+ x3 − 4x lim−

x3

3 3 = − = −∞, −4 0 x→2 3 3 = lim+ 2 = + = +∞, 0 x→2 x − 4 =

lim−

x2

entonces x = 2 es una asíntota vertical a la curva de f. Cuando x se acerca por la izquierda a 2, la función va a −∞, y por la derecha a +∞. En la gráfica se aprecian las asíntotas verticales encontradas: 6

4

2

-5

5

-2

-4

-6

6.3.3

Rectas Oblicuas y = mx + b

En este caso, la función y = f (x) y la recta y = mx + b son "idénticas" en el infinito, es decir: lim f (x) = lim (mx + b)

x→+∞

x→+∞

o

129

lim f (x) = lim (mx + b) .

x→−∞

x→−∞

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Definición 15 (Asíntota oblicua) La recta y = mx + b es una asíntota oblicua a la gráfica de f (x) si lim f (x) = lim (mx + b) o lim f (x) = lim (mx + b) . x→+∞

x→+∞

x→−∞

x→−∞

Ejemplo 58 Considere la gráfica de f (x) :

y=x-1 5

-10

10

-5

-10

La recta y = x − 1 es asíntota oblicua a curva de f (x) en +∞ y −∞.

 3x3 + 4x2 − 5   x2 + x Ejemplo 59 Determine las asíntotas oblicuas, si las hay, a la función g (x) = 2 + 4x + 3 x   x+4 1. AO en +∞. Note que

µ 2 ¶ x + 4x 3 x2 + 4x + 3 = lim + x→∞ x→∞ x+4 x+4 x+4 µ µ ¶ ¶ x (x + 4) 3 3 = lim + = lim x + = x, x→∞ x→∞ x+4 x+4 x+4

lim g (x) =

x→∞

lim

Por lo tanto y = x es asíntota oblicua en +∞. 2. AO en −∞. Realizando la división de polinomios se tiene que:

x+5 3x3 + 4x2 − 5 = 3x + 1 − x2 + x x + x2

por lo tanto µ ¶ x+5 3x3 + 4x2 − 5 3x + 1 − = lim (3x + 1) , = lim x→−∞ x→−∞ x→−∞ x2 + x x + x2

lim g (x) = lim

x→−∞

Por lo tanto y = 3x + 1 es asíntota oblicua en −∞. 130

si

x < −3

si

x≥1

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Si se dividen ambas igualdades entre x :

µ ¶ b f (x) mx + b lim m+ = lim = lim =m x→+∞ x x→+∞ x→+∞ x x

f (x) = m. Esto nos permite obtener el siguiente resultado. x Teorema 12 La recta y = mx + b es una asíntota oblicua a la gráfica de f (x) si o similarmente lim

x→−∞

f (x) x f (x) lim x→−∞ x lim

x→+∞

= my = my

lim [, f (x) − mx] = b,

x→+∞

o

lim [, f (x) − mx] = b

x→−∞

Ejemplo 60 Determine, si las hay, las rectas asíntotas a la función f (x) =

q 2 3 x (x − 1) .

1. Asíntotas horizontales: Como lim f (x) = +∞ y lim f (x) = −∞, entonces no hay asíntox→+∞

x→−∞

tas horizontales.

2. Asíntotas verticales : No hay pues la función es continua R. 3. Asíntotas oblicuas: (a) En +∞ : f (x) = lim m = lim x→+∞ x x→+∞ b = lim [, f (x) − mx]

q 3 x (x − 1)2 x

= lim

x→+∞

s 3

x (x − 1)2 = lim x→+∞ x3

x→+∞

¶2 µq q 3 2 3 2 ¶ µq x (x − 1) + x x (x − 1) − x2 3 x (x − 1)2 − x · µ q = lim ¶2 q x→+∞ 3 2 x (x − 1) + x 3 x (x − 1)2 − x2 2

=

=

x (x − 1) − x3 lim µ q ¶2 q x→+∞ 2 2 3 x (x − 1) + x 3 x (x − 1) − x2 lim  s x→+∞

−2x2 + x 2 s

µ µ ¶2 ¶2  3 x3 1 − 1  + x 3 x3 1 − 1 − x2 x x µ ¶ 1 x2 −2 + −2 x  s = = lim .  x→+∞ 3 µ ¶2 2 sµ ¶2 1  1   x2  3 1 − + 3 1− − 1 x x 131

r 3

x2 − 2x + 1 =1 x2

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2 es asíntota oblicua en +∞. 3 2 (b) En −∞. De manera similar y = x − es asíntota oblicua en −∞. 3 Por lo tanto y = x −

6.4

Estudio de una función y construcción de su gráfica

Para realizar el estudio de una función f (x) y construcción de su gráfica se seguirán los siguientes pasos: 1. Dominio de la función. 2. Puntos de intersección con los ejes. Recuerde que los puntos de intersección con el eje X son de la forma (x, 0) y se obtienen a partir de la ecuación f (x) = 0. El punto de intersección con el eje Y es (0, f (0)) . 3. Análisis de la primera derivada Se debe determinar: (a) Los puntos críticos. (b) Intervalos de Monotonía (de crecimiento y decrecimiento) (c) Extremos relativos. 4. Análisis de la segunda derivada. Se debe determinar: (a) Los intervalos de concavidad. (b) Puntos de inflexión. 5. Rectas asíntotas. Si debe hallar, si existen, las rectas: (a) Horizontales (b) Vérticales (c) Oblicuas. 6. Resumen. Se debe realizar: (a) Un cuadro de variación. Es un cuadro resumen de la primera y segunda derivada. (b) Resumen de los puntos encontrados. (c) Ecuaciones de las rectas asíntotas. 7. Gráfica. Se deben seguir los siguientes pasos: (a) Trazar los ejs coordenados. Tomar en cuenta los puntos encontrados para definir su escala. (b) Dibujar las rectas asíntotas. (c) Ubicar los puntos encontrados. (d) Hacer la gráfica de f utilizando el cuadro de variación. 132

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Ejemplo 61 Grafique la función f (x) = 1. Dominio Df = R.

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q 3 x (x − 1)2

2. Puntos de intersección con los ejes. (a) Eje X : (0, 0) , (1, 0) pues q 3 2 x (x − 1) = 0, si x = 0 o x = 1 (b) Eje Y : (0, 0) . 3. Análisis de la primera derivada Del ejemplo (47) se obtuvo que: Ã √ ! 1 34 (a) Los puntos críticos: (0, 0) , (1, 0) y , 3 3 (b) Intervalos de Monotonía: −∞

3x − 1 x−1 x2 f0 f

0 − − + + %

− − + + %

1 3

1 + − + − &

+∞ + + + + %

√ 3 4 1 (c) Extremos relativos. En x = se alcanza un máximo relativo, este es , y alcanza un 3 3 mínimo relativo en x = 1 que es 0. 4. Análisis de la segunda derivada. Del ejemplo (51) se obtuvo que: (a) Los intervalos de concavidad: −2 9x

−∞

q 4 3 x2 (x − 1) f 00 f

(b) Puntos de inflexión: (0, 0) y (1, 0) .

133

0

1

+∞

− −

− +

− +

+ + ∩

+ − ∪

+ − ∩

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5. Rectas asíntotas. Del ejemplo (60) se obtuvo que, solo hay una recta asíntota a la curva: 2 y = x − en +∞ y −∞. 3 6. Resumen. (a) Un cuadro de variación. −∞ 0

f f 00 f

1 3

0 + + %∪

+ − %∩

1 − − &∩

traza:

(b) Puntos encontrados: (0, 0) ,

(1, 0)

Ã

y

(c) Ecuaciones de las rectas asíntotas: y = x −

√ ! 1 34 , 3 3 2 3

7. Gráfica. f ( x)= 3 x( x-1 ) 2 0,5

1

-0,5

y=x-

-1

Ejemplo 62 Grafique la función f (x) =

2 + x − x2 2

(x − 1)

1. Dominio Df = R − {1} . 134

2 3

+∞ + − %∩

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2. Puntos de intersección con los ejes. (a) Eje X : (−1, 0) , (2, 0) , pues 2 + x − x2 (x − 1)

2

= 0 =⇒ x = −1, 2

(b) Eje Y : (0, 2) , ya que y = f (0) = 2 3. Análisis de la primera derivada 0

f (x) = =

¡ ¢ 2 (1 − 2x) (x − 1) − 2 (x − 1) 2 + x − x2 4

(x − 1) ¢ ¡ (1 − 2x) (x − 1) − 2 2 + x − x2 3

(x − 1)

(a) Puntos críticos. i. f 0 (x) = 0 solo si

=

x−5

(x − 1)

3

x−5

3 = 0 =⇒ x = 5. (x − 1) ii. f 0 no se indefinine wn ningún valor del dominio. (Se indefine en 1 pero 1 ∈ / Df ).

Valor crítico: 5 µ ¶ 9 , pues f (5) = − 98 iii. Puntos críticos: 5, − 8 (b) Intervalos de Monotonía −∞ 1 5 +∞ x−5 − − + 3 (x − 1) − + + 0 f + − + f % & % (c) Extremos relativos. En el punto

µ ¶ 9 9 5, − se alcanza un mínimo, este es − . 8 8

4. Análisis de la segunda derivada f 00 (x) = (a) Intervalos de Concavidad

(x − 1)3 + 3 (x − 1)2 (x − 5) 6

(x − 1)

−∞ 2 (7 − x) 4 (x − 1) f0 f

135

1 + + + ∪

7 + + + ∪

=

2 (7 − x)

+∞ − + − ∩

4

(x − 1)

Apuntes Cálculo ..., ITCR - 5. Aplicaciones de la Derivada ¡ ¢ (b) Puntos de inflexión: 7, − 10 9 :

f (7) = −

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10 9

5. Rectas asíntotas (a) Horizontales: y = −1, pues lim f (x) = −1,

lim f (x) = −1

x→∞

x→−∞

(b) Vérticales: x = 1 lim f (x) = +∞,

x→1+

lim f (x) = +∞

x→1−

(c) Oblicuas: Como hay asíntotas horizontales a ambos lados (+∞ y −∞) no puede haber asíntotas oblicuas 6. Resumen. (a) Un cuadro de variación. −∞ 1 5 7 +∞ f0 + − + + f 00 + + + − f %∪ &∪ %∪ %∩ traza:

(b) Puntos encontrados: (0, 0) ,

(1, 0)

y

Ã

√ ! 1 34 , 3 3

(c) Ecuaciones de las rectas asíntotas: y = −1, x = 1.

136

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7. Gráfica 0,5

-10

10

-0,5

-1

Punto de inflexión Punto donde se alcanza el minimo

-1,5

Ejemplo 63 Suponga que el dominio de f (x) es R y considere la siguiente gráfica de f 0 (x) 8 6

Gráfica de f'(x)

4 2

11.8 5

10

18.8 15

20

-2 -4 -6

1. Determine los valores críticos de f (x) . R/

1, 2, 10, 15, 20

2. ¿Cuáles son los valores de las abscisas donde f (x) alcanza sus extremos relativos? R/

1, 2, 10, 20 137

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3. Halle los intervalos donde f es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo. f 0 (x) f 00 (x) f (x)

−∞ < x < 2 2 < x < 11.8 11.8 < x < 15 15 < x < 18.8 18.8 < x < +∞ & & % & % − − + − + ∩ ∩ ∪ ∩ ∪

Ejemplo 64 Grafique la función f (x) =

x2 − 2x + 4 x−2

1. Dominio Df = R − {2} . 2. Puntos de intersección con los ejes. (a) Eje X : NO HAY f (x) = 0 =⇒ S = φ (b) Eje Y : (0, −2) , ya que

y = f (0) = −2

3. Análisis de la primera derivada f 0 (x) =

x (x − 4) 2

(x − 2)

(a) Puntos críticos. i. f 0 (x) = 0 solo si

x (x − 4)

= 0 =⇒ x = 0 o x = 4. (x − 2)2 ii. f 0 no se indefinine en ningún valor del dominio. (Se indefine en 2 pero 2 ∈ / Df ). Valores críticos: 0 y 4. iii. Puntos críticos: (0, −2) , (4, 6) , pues f (0) = −2 y f (4) = 6. (b) Intervalos de Monotonía x x−4 2 (x − 2) 0 f (x) f (x)

]−∞, 0[ − − + + %

]0, 2[ + − + − &

]2, 4[ + − + − &

(c) Extremos relativos. i. Máximo relativo: f (0) = −2 se alcanza en x = 0. ii. Mínimo relativo: f (4) = 6 se alcanza en x = 4

138

]4, ∞[ + + + + %

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4. Análisis de la segunda derivada f 00 (x) =

8 (x − 2)3

(a) Intervalos de Concavidad (x − 2) f 00 (x) f (x)

3

]−∞, 2[ − − ∩

]2, ∞[ + + ∪

(b) Puntos de inflexión: NO HAY. 5. Rectas asíntotas (a) Horizontales: NO HAY, pues lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞

x→∞

x→−∞

(b) Vérticales: x = 2 lim f (x) = −∞,

x→2−

lim f (x) = ∞

x→2+

(c) Oblicuas: y = x, pues realizando la división: f (x) =

x2 − 2x + 4 4 =x+ x−2 x−2

6. Resumen. (a) Un cuadro de variación. f 0 (x) f 00 (x) f (x)

]−∞, 0[ + − %∩

]0, 2[ − − &∩

traza (b) Puntos encontrados: (0, −2)

y

(4, 6)

(c) Ecuaciones de las rectas asíntotas: x = 2, y = x.

139

]2, 4[ − + &∪

]4, ∞[ + + %∪

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7. Gráfica 10

y=x (4,6 )

5

10

(0,-2 )

x=2

-5

-10

7

Problemas de Optimación

Este problemas se desea hallar el valor óptimo (valor máximo o mínimo) de una determinada variable que esta en función de otra. Para resolver estos problemas se suelen seguir los siguientes pasos: 1. Identificar y definir las variables. Se deben indicar cuál es la variable a optimizar. 2. Determinar una o varias ecuaciones que relacione las variables identificadas. Esta se puede obtener aplicando: Pitágoras, una fórmula de área o volumen, ley de senos o cosenos, una razón trigonométrica,... 3. Expresar la variable y a optimizar en función de una sola variable x (y = f (x)). Para ello se utilizan las ecuaciones hallada y los datos del problema. 4. .Optimizar f (x) Se debe determinar si lo que se busca es un extremo relativo o absoluto y utilizar los criterios vistos para cada caso. Ejemplo 65 Una fábrica desea realizar vasos de plástico en forma de cilindro. Estos envases deben de tener un volumen de 200cm3 . Determine la altura de los vasos de manera que se gaste el menor material posible para elaborarlos. 1. Variables: h : altura del vaso r : radio del vaso A : área del vaso (variable a minimizar) 140

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2. Ecuaciones que relacione las variables identificadas A = πr2 + 2πrh 3. Expresar la variable a optimizar en función de una sola variable. Se sabe que V = πr2 h = 200 =⇒ h = Por lo tanto: A (r) = πr2 + 2πr

200 πr2

200 , así πr2 A (r) = πr2 +

400 r

4. .Optimizar A (r) . (a) Dominio de A : DA = R+ , pues el radio es mayor a cero 400 (b) Putos críticos:2πx − 2 = 0, x r3 − 200 400 2πr3 − 400 π A0 (r) = 2πr − 2 = = 2π 2 r r r2 µ q ´ q ³ q ´2 ¶ ³ 3 200 3 200 3 200 2 r + r− π π r+ π = 2π 2 r r 200 i. A0 (r) = 0 si r = 3 −→valor crítico. π 0 ii. A se indefine en 0 pero 0 ∈ / DA . Ãr Ãr !! 3 200 3 200 iii. Puntos críticos: ,A . Note que no nos interesa hallar ningún valor π π del área. (c) Mínimo absoluto.

q ´ ³ r − 3 200 π r2 µ q ³ q ´2 ¶ 3 200 3 200 2 r + π r+ π 0

f f

141

r 3

0 − +

200 π + +

+

+

− &

+ %

+∞

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Prof. Geovany Sanabria r

200 se alcanza un mínimo relativo, π además como rf decrece y luego crece indefinidamente, entonces este mínimo es absoluto en 200 entonces DA . Si r = 3 π

Por el criterio de la primera derivada se tiene que en

h=

200 = πr2

3

200 Ãr !2 ≈ 3. 992 9 3 200 π π

Así el área se minimiza cuando la altura es aproximadamente 3. 992 9 cm.

7.1

Ejercicios

1. Doble un trozo de alambre de 1, 5m,de manera que se forme un rectángulo con la mayor área posible 2. Un sector circular central de ángulo α ha sido cortado de un círculo, al enrollar el sector circular se obtiene una superficie cónica. Si el radio del círculo es 7cm, ¿cuál debe ser el valor de α para que el cono tenga el mayor volumen posible. 3. Tres ciudades A, B y C se hallan situadas de modo que m∠ABC = 60◦ . Un automóvil sale de A y en el mismo momento un tren sale de B, el automóvil avanza hacia B a una velocidad de km km 80 y el tren se dirige a C con una velocidad de 50 .Si se sabe que la distancia AB es h h de 200km,¿en qué momento, al iniciar el movimiento, la distancia entre el tren y el auto será mínima? 4. Un hombre esta en un bote en un punto C a una distancia de 5 km de la costa (que se supone km y caminar a recta) y desea llegar a un punto A que esta a 13km de C. Él puede remar a 2 h km .¿En qué punto B de la playa debe desembarcar para llegar al punto A en el menor tiempo 4 h posible?

142