CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N2

5.1. Introducción Una ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una función con sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo

(

) (

La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos:

)

5.2. Reducción de orden Este método consiste en reducir el problema de resolver una ecuación diferencial de segundo orden a un problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden. Casos a considerar

5.2.1. Ecuaciones que no contienen la variable y. Sea la ecuación

se deduce

(

)=0. Haciendo

,

. Por tanto la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación diferencial de

primer orden

f x,p, p'  0

Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde finalmente, se tiene

y   px dx  y  Φx,C1 ,C 2  5.2.2. Ecuaciones que no contiene la variable x. Sea la ecuación (

se tiene

y 

d y dp dy dp  p dx dy dx dy

La ecuación dada se transforma en

 dp  f  y ,p, p   0 dy   Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde posteriormente se obtiene

1

)=0. Haciendo

,

y  Φx,C1 ,C 2 

5.3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

La ecuación lineal general de segundo orden puede escribirse en la forma estándar

yPx yQx y  Rx  En la cual P(x) , Q(x) , R(x) son funciones conocidas

Teorema 1.De existencia y unicidad para el problema del valor inicial Sean P, Q, R funciones

continuas en un intervalo I y sea x 0  I . Sean y 0 , y 0 dos números reales cualesquiera. El problema del valor inicial

y Px yQx y R x  , yx 0   y 0 , yx 0   y 0 tiene solución única definida en I

5.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden

La ecuación lineal general de segundo orden

yPx yQx y  Rx 

es homogénea , si R(x) = 0 ,

xI

y Px y Qx y  0

Teorema 2. Sean

y1 , y 2 soluciones de la ecuación lineal homogénea en un intervalo I. Entonces se

verifica

1.

y1  y 2 es una solución en I

2. Para cualquier constante c,

c y1 es una solución en I

2

Las relaciones (1) y (2) se pueden combinar de la forma siguiente. Si y1 , y 2 son dos soluciones de la ecuación anterior c1 y1 c 2 y 2 es una solución para dos constantes cualesquiera

Definición 1. Las soluciones

y1 , y 2 son linealmente dependientes en un intervalo I si existen dos

números reales no todos nulos tales que c1 y1+c2 y2 =0 Si la relación anterior solamente se verifica si c1=c2 =0 entonces y1, y2 son linealmente independientes. Las soluciones y1, y2 forman un sistema fundamental de soluciones si son linealmente independientes Teorema 3. Estudio del wronskiano para la independencia lineal

( )

Sea la ecuación homogénea de segundo orden

( )

, y sean y1, y2 soluciones de la

ecuación diferencial dada en el intervalo I . Se demuestra que si el Wronskiano de [y1 , y2] que viene dado por el determinante

W y1 ,y 2  

y1 x  y 2 x 

y1 x  y 2 x 

es distinto de cero , entonces y1 , y2 son linealmente independientes ( )

Teorema 4. Sean y1, y2 soluciones independientes de:

( )

en un intervalo I. Se

demuestra que toda solución de la ecuación diferencial es de la forma y = c1 y1+c2 y2, siendo c1 ,c 2 constantes. La combinación lineal: c1 y1+c2 y2 es la solución general de la ecuación diferencial si y1 , y2 son linealmente independientes . Esta solución contiene todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial

5.4.1. Obtención de una segunda solución a partir de una solucion conocida. Sea la ecuación lineal

homogénea de segundo orden ( )

( )

Supongamos que se conoce una solución y1 de la ecuación diferencial. Se trata de buscar una segunda solución linealmente independiente de la forma

y2(x)= u(x) y1(x) 3

Calculemos y 2 , y 2 y sustituyamos en la ecuación diferencial, se tiene entonces



 



y 1 u' ' 2y 1  Py 1 u' y 1  Py 1  Qy 1 u 0 Como y1  Py1  Qy1  0 . La nueva ecuación diferencial será

u  y1  2y1  Py1 u  0 Haciendo

, la ecuación diferencial dada se transforma en

 2y   p  1 P p  0  y1  Ecuación lineal de donde obtenemos p. A continuación se calcula u en función de p, con lo cual y2(x)= u(x) y1(x) es una solución de

la

ecuación

diferencial

original, siendo y1 , y2 linealmente

independientes ya que u(x) no es constante. Por tanto y1, y2 forman un

conjunto fundamental de

soluciones de la ecuación original. La solución general es de la forma y = c1 y1+ c2 y2

5.5. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes Esta ecuación es de la forma ( ) Supongamos q (x) = 0. Esta ecuación tiene siempre soluciones del tipo exponencial de la forma y= e r x . La sustitución de esta solución en la ecuación diferencial nos da

r Como e

rx

2

a r be r x  0

0, x, se tiene que

. Esta ecuación se llama ecuación característica de la

ecuación diferencial. Las raíces dan valores de r para los cuales e r x es una solución de la ecuación. Estas raíces son

r

 a  a 2  4b 2

Las raíces pueden ser: Dos raíces reales distintas. Una raíz real doble. Raíces complejas conjugadas 4

1. La ecuación característica tiene dos raíces

reales distintas. Sean r1 y r2 estas raíces, por tanto

y1  e r 1 x , y 2  e r 2 x son soluciones de la ecuación

diferencial. Estas soluciones son linealmente

independientes en cualquier intervalo por ser el wronskiano 0 , luego y1 ,y2 forman un conjunto fundamental de soluciones, por tanto la solución general de la ecuación homogénea es

y c1 e r x1 c 2 e r 2 x 2

2. La ecuación característica tiene dos raíces reales iguales. En este caso: a -4 b=0. Una solución de esta

ecuación diferencial es: y  e ( )

( )

a  x 2

Para obtener una segunda solución buscamos soluciones de la forma :

. La solución general de la ecuación diferencial será

yx   c1 c 2 x e

a  x 2

3. La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas. En este caso: a2 - 4 b< 0 . Sean

4b a 2 a . m   , n 2 2 Las raíces son: r1= m +i n, r2= m – i n . La solución general de esta ecuación diferencial será: y= e m x (C1 cos n x+ C2 sen n x)

5. 6. Ecuación diferencial de Euler Esta ecuación es de la forma

, x >0

Para resolver esta ecuación se hace el cambio t = L x , con lo cual la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación de coeficientes constantes (

)

5

5.7. Ecuaciones de segundo orden no homogéneas Sea la ecuación diferencial lineal ( )

( )

( )

(1)

Teorema 5. Sean y1, y2 un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y sea y p una

solución cualesquiera de la ecuación (1). Entonces toda solución de la ecuación (1) es de la forma

y  c1 y1  c 2 y 2  y p

Por tanto el teorema nos dice que conocemos todas las soluciones de la ecuación dada,

si podemos

hallar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea junto con una solución particular cualesquiera de la ecuación no homogénea

La ecuación

( )

( )

, es la ecuación homogénea asociada de la ecuación (1)

La solución c1 y1+c2 y2 la denotamos por y h. La solución

es la solución general de la

ecuación diferencial

5.8. Principio de superposición Sea la ecuación diferencial ( )

( )

( )

Siendo R(x) la suma de un numero finito de funciones R(x)= f1(x)+f2(x) +…….+f n(x) y supongamos que podemos hallar una solución particular y j de cada uno de los problemas ( )

( )

( )

Se demuestra que la suma de estas soluciones particulares es una solución particular de ( )

( ) 6

( )

Es decir

es una solución de la ecuación diferencial:

( )

( )

( )

5.9. Método de variación de los parámetros Sea la ecuación diferencial ( )

( )

( )

(2)

P(x), Q(x) , R(x) son funciones continuas en un intervalo I . Supongamos que podemos hallar dos soluciones linealmente independientes y1 , y2 de la ecuación homogénea, el método de variación de los parámetros intenta obtener una solución particular de la ecuación dada en la forma

y p= u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)

Se necesitan dos ecuaciones para calcular u(x) y v(x). Para ello vamos a operar en la ecuación (2) de la siguiente forma

y p u y1 vy 2 uy1 vy 2

Por otra parte de u y v exigimos que deben satisfacer la ecuación

uy1  vy 2  0      Ahora bien y p  u' y 1 v' y 2 uy 1 vy 2 . Por tanto la ecuación

y p  Px y p  Qx y p  R x  se transforma en

uy1  vy 2  u y1  vy 2  Pu y1  vy 2  Q u y1  vy 2   R(x) Esta ecuación se puede escribir como

uy1  Py1  Qy1 vy 2 Py 2  Qy 2 uy1  vy 2  R x  7

(3)

Como y1, y2 son soluciones de la ecuación homogénea, los términos entre paréntesis son cero, con lo cual se tiene

uy1 vy 2  R x 

(4)

De las ecuaciones (3 y 4) se tiene

y1 u  y 2 v  0 y1 u  y 2 v R El determinante de los coeficientes es distinto de cero por ser el wronskiano [y1,y2]  0 , al ser y1,y2 linealmente independientes . Por tanto

u' 

0

y2

y1

0

R

 2

 1

R

y W



y2 R W

v' 

y

W



y1 R W

Posteriormente se calculan u y v. Finalmente se obtiene y p=u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)

5.10. Ecuaciones diferenciales de orden n Definiciones. Se define el problema del valor inicial de la ecuación diferencial lineal de orden n de la

forma ( )

( )

(x)

yx 0   y 0 , y' x 0   y 0 ,...........y n 1 x 0   y 0n 1 Siendo a1(x)….a n(x) funciones continuas en un intervalo abierto I. Este problema tiene solución única en I

5.11. Ecuación lineal homogénea de orden n Sea la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n ( )

(x)

8

( )

Sean y1…….y n soluciones de la ecuación homogénea. Entonces se verifica 1. y1 + y2 +………y n es una solución de la homogénea

2. c y i es una solución para cualquier numero c

Prueba del Wronskiano. Sean

y1 ,.........y n soluciones de la ecuación diferencial ( )

(x)

en un intervalo abierto I . Entonces se verifica 1. W(x)= 0 xI

o bien W(x)0 xI

2 .y1 , y2 ,………y n son linealmente independientes en I si y solo si W(x0)0 para algún x0 en I Teorema 6. Sean y1, y2,………y n soluciones linealmente independientes de

( )

(x)

en un intervalo abierto I .Entonces c1y1 +……+c

n

y

n

es la solución general de la ecuación diferencial

homogénea.

5.12. Ecuación lineal no homogénea de orden n Sea la ecuación lineal no homogénea ( )

(x)

( )

( )

(x)

( )

y sea y p cualquier solución de

Sean y1,………y

n

soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Cualquier solución

de la ecuación no homogénea se puede escribir en la forma y =c1y1+c2y2+……..+c n y n + y p

9

Por tanto se tiene y =y h + y p

5.13. Ecuación homogénea con coeficientes constantes Sea la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes

Supongamos que y=e r x es una solución de la ecuación diferencial, al sustituir en dicha ecuación se tiene e r x ( r n+a1 r n-1+……+a n-1 r +a n )=0

La ecuación característica adopta la forma raíces, para cada raíz r de esta ecuación, e

. Esta ecuación tiene n rx

es una solución de esta ecuación.

5.14. Método de los coeficientes indeterminados Sea la ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes: ( )

La solución general de esta ecuación diferencial es y h + y solución particular y

p

p

(5)

. Por tanto necesitamos obtener una

de la ecuación (5). Para aplicar el método de los coeficientes indeterminados la

función f(x) ha de ser una suma algebraica de funciones tipo f i(x)= e a x [P n cos b x+ Q m (x) sen b x] Donde a , b R y P n (x) , Qm(x) son polinomios de grado n y m respectivamente . Por tanto, para cada una de las funciones f i (x) se busca una solución particular tal y como se indica en la tabla siguiente en función de la forma de f i (x)

Forma de f i (x)

P n (x)

Raíces del polinomio

Forma de la solución

Característico.

Particular siendo: k= Max [m, n]

El 0 no es una raíz del

Pn x 

Polinomio característico. 10

P n (x)

x s Pn (x)

El 0 es una raíz del polinomio Característico de multiplicidad s

P n (x) e a x (a real)

e a x Pn (x)

El número a no es una raíz del Polinomio característico.

P n (x) e a x (a real)

x s e a x Pn x 

El número a es raíz del polinomio Característico de multiplicidad s

Pn x  cos bx 

Q m x sen bx

Pn x cos bx 

Los números i b no son

Q m x sen bx

Raíces del polinomio característico

 P x  cos bx    e a x  n   Q x sen b x  m 

 Pn x cos bx    eax    Q x sen b x   m 

 i b son raíces del polinomio Característico de multiplicidad s

 Pn x cos bx    e     Q x sen b x  m  ax

 Pn cos bx    x e    Q sen bx   m 

a  ib Son raíces del polinomio

s

ax

Característico de multiplicidad s

Donde

Pn  A 0  A1 x  .........  A k x k

Q n  B 0  B1 x  .........  B k x k

Son polinomios de coeficientes a determinar cuyo grado k, es el máximo entre los valores m y n. Observación: Este método no es aplicable a una ecuación del tipo: y’’-y = Tang x

Ejercicios resueltos

 

1. Integrar la ecuación diferencial: y''  y

' 3

 Ly

Ecuación diferencial en la que falta la x: Cambio: y''  p  y'' 

11

dp dy dp  y' dy dx dy

La ecuación diferencial se transforma en

dp dp  p 2 Ly   2   Ly dy dy p 1 1  y Ly  y  C 1   y Ly  y  C 1 dy p dx

  dx   y Ly  y  C dy 1

x  C1y  C2 

3 2 1 2 y  y Ly 4 2

2. Integrar la ecuación diferencial y''3 y'2 y  e sen x x

a) Ensayando una solución particular b) Hallando la integral general de la incompleta y aplicando el método de variación de los parámetros Solución de la homogénea

r2  3r  2  0  r  2 ,r  1 yH  C1 e2 x  C2 e x Para hallar integral general, ensayamos una solución particular de la completa

y p  e x a cos x  b sen x Sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene

1 1  y p  e x  cos x  sen x  2 2  Solución general de la ecuación diferencial

y  C1 e2 x  C2 ex 

b) Método de variación de los parámetros

12

ex cos x  sen x 2

y  C 1 e x  C 2 e 2x

e x C '1  e x C '2  0 e x C '1  2 C '2 e x  e x sen x

C  ' 1

0

ex

e x sen x

2 ex x

ex

e

ex

2 ex

 sen x

, C '2  e x sen x

C 1  cos x  K 1  cos x  sen x  C 2  e  x    K2 2  

cos x  sen x  K  e 2 x   y  cos x  K 1  e x    e x 2  2  

cos x  sen x  K  e 2 x   y  cos x  K 1  e x    e x 2  2   y  K1 ex  K2 e2x 

3. Integrar la ecuación diferencial y''

1 x e (cos x  sen x) 2

y'  4 x 2 y  4 x 2 sen x 2 x

Conociendo dos soluciones de la incompleta y 1  sen x 2 , y 2  cos x 2 Integral de la incompleta o homogénea

y  C 1 sen x 2  C 2 cos x 2 Apliquemos el método de variación de los parámetros ' 2 2    C 1  2 x sen x cos x     ' 2 2  2 x cos x 2 C '1  2 x C '2 sen x 2  4 x 2 sen x 2  C   2 x sen x   2

C '1 sen x 2

 C '2 cos x 2  0

13

sen 2 x 2  K1 2  x 2 sen x 2 cos x 2 C2    K2 2 2

C1 

Integral general

y

sen 3 x 2 sen x 2 cos 2 x 2 x2  K 1 sen x 2  cos x 2  K 2 cos x 2  2 2 2

4. Integrar la ecuación diferencial

y'' y'  x cos x

a) A través del método general b) Conociendo una solución particular de la incompleta y 1  e  x

a) Solución de la homogénea

y H  C 1  C 2 e x Solución particular de la completa, ensayo una solución del tipo

y p  a x  bsen x  c x  d cos x Solución general de la ecuación diferencial

1 1 1  y  C 1  C 2 e x   x   sen x   x  1  cos x 2 2  2  b) y(x)= u (x) e –x Sustituyendo en la ecuación diferencial y, y’, y’’ se obtiene

u' 'u'  e x x cos x Haciendo u’=p , se obtiene la ecuación diferencial lineal

p'p  e x x cos x Cuya solución es

p  e x x sen x  cos x  K 1  De donde se obtiene

14

dy  e x x sen x  e x cos x  K 1 e x dx De donde se obtiene

y  K 1  K 2 e x 

1 sen x  2 cos x  x sen x  x cos x 2

5. Sea la ecuación diferencial de coeficientes variables x  1y''x y' y  x  .1 e 2

2x

Se conocen dos soluciones particulares de la ecuación incompleta y 1  x , y 2  e x Aplicar el método de variación de las constantes para obtener la integral general de la completa Solución: y  C 1 x  C 2 e x

C '1 x  C '2 e x  0 C '1

 C '2 e x  x  1 e 2 x

Sistema en C '1 , C '2 , que resolvemos por Cramer C '1  e 2 x , C '2  x e x Integrando obtenemos C1, C2

C 1    e 2 x dx  

e2x  K1 2

C 2   xe x dx  e x x  1  K 2

  e2x   K 1 x  e x x  1  K 2 e x  2 

Solución general y  





y  K1x  K 2 ex  6. Integrar la ecuación diferencial y''3 y'2 y  4 x

1 2x e x  e2x 2

2

y hallar una solución particular que pase por el origen , tal que la tangente en el tenga pendiente y '0  1 Solución de la homogénea y  C 1 e 2 x  C 2 e x

15

Solución particular de la completa, para ello ensayamos una solución del tipo y p  a x 2  b x  c Solución general de la completa:

y  C1 e 2 x  C2 e x  2 x2  6 x  7 Calculemos ahora una solución particular con las condiciones dadas

y(0)  0  C 1  C 2  7    C 1  2 , C 2  9 y ' (0)  1  C 2  2 C 1  6 Solución particular: y(x)  2 e 2 x  9 e x  2 x 2  6 x  7 7. Integrar la ecuación diferencial y'' y  x e

x

Solución de la homogénea y H  C 1 cos x  C 2 sen x Para calcular una integral particular de la completa, ensayamos una solución del tipo y p1  a x  b e x Solución general de la ecuación diferencial

1 1 y G  C 1 cos x  C 2 sen x   x   e x 2 2 8. Integrar la ecuación diferencial y''2 y' y  e

x

sen x  4 e x

Solución de la homogénea

y h  C 1  C 2 xe x Solución particular de y''2 y' y  e  x sen x x x Ensayo una solución del tipo y p1  e a sen x  e b cos x

De donde se obtiene y p1

e x 4 cos x  3 sen x  25

Solución particular de y''2 y' y  4 e x 16

Ensayo una solución del tipo: y p2  K x 2 e x De donde obtenemos y p2  2 x 2 e x

Integral general y  e x C 1 x  C 2  

ex (4 cos x  3 sen x)  2 x 2 e x 25

9. Integrar la ecuación diferencial de coeficientes variables x y''2 y  x e obteniendo previamente 2

3

x

una solución particular de la incompleta de la forma y  x m . Calculemos a continuación una solución particular tal que para y(1) = 0 e y’(1)=1 Solución: Veamos primeramente la solución de la homogénea Sustituyendo y, y’, y’’ en la ecuación homogénea

m 1  2 x 2 mm  1 x m 2  2 x m  0   m 2  1





yh  C1 x2 

C2 x

Método de variación de los parámetros para calcular la solución particular de la completa

1  0   x3 ex ex x ' ; C '2     C1  3 3 ' ' 1 x  2 C1 x  C2 2  e x  x

C '1 x 2  C '2

C1 

ex ex   K1 ; C2   x 3  3 x 2  6 x  6  K 2 3 3

 ex  2  ex 1  y    K 1  x    x 3  3 x 2  6x  6  K 2   3   3 x





Solución general

17

y  K1x2 

K2 2    ex  x   2 x x  

Integral particular

 y1  0  K 1  K 2  e 1  2  2   '  y 1 (1)  1  2 K 1  K 2  e  e Integral particular

y

10. Integrar la ecuación diferencial

1  e 2 1  2 e  2   x   ex  x   2 3 3x x  

y'' y'  x cos x

Solución de la homogénea y  C 1  C 2 e  x Solución particular de la completa

y p  a x  bsen x  c x  dcos x  a 

1 1 1 ,b  , c  ,d  1 2 2 2

Solución general

y  C 1  C 2 e x 

11. Integrar la ecuación diferencial

1 sen x  x sen x  x cos x  2 cos x 2

1  x3 y'''(1  x) 2 y''1  x y'8 y 

x

1  x2

La ecuación diferencial es de Euler. Hacemos el cambio L(1+x)=t  (1+x)=e t , de donde se obtiene (1+x) y’= y’(t) ; (1+x)2 y’’=y’’(t) - y’(t) (1+x)2 y’’’=y’’’(t) – b2 y’’(t)+b1 y’(t)

b 2  r(r  1)....(r  n  1)

18

Ecuación característica rr  1r  2   rr  1  3 r  8  0

r3  2 r2  4 r  8  0 Que se corresponde con la ecuación diferencial homogénea

y''' (t)  2 y'' (t)  4 y'(t)  8 y  0 La ecuación diferencial completa será

y'' ' (t)  2 y'' (t)  4 y'(t)  8 y 

et  1 e2t

Solución de la homogénea

y(t)  C 1 e 2 t  C 2 cos 2 t  C 3 sen 2 t Solución particular y 1  K 1 e  t  K 1  

1 15

Solución particular y 2  K 1 e 2 t  K 1 

1 32

Solución general

y(t)  C 1 e 2 t  C 2 cos 2 t  C 3 sen 2 t -

1 t 1 2 t e  e 15 32

Deshaciendo el cambio t = L (1+x)

y(x)  C 1 e 2 L(1  x)  C 2 cos 2 L(1  x)  C 3 sen 2 L1  x  -

1 L(1  x) 1 2 L(1  x) e  e 15 32

y(x)  C 1 (1  x) 2  C 2 cos L(1  x) 2  C 3 sen L1  x  -

1 1  151  x  321  x 2

3

12. Resolver la ecuación diferencial

y''9y  10 x sen 2 x

Solución de la homogénea

y  C 1 e 3 x  C 2 e 3 x 19

Solución particular de la completa

y p  a x  b sen 2 x  c x  d cos 2 x  a 

- 10  40 , b  0 , c  0 ,d  13 169

Solución general

y  C 1 e 3 x  C 2 e 3 x 

10 40 x sen 2 x  cos 2 x 13 169





13. Resolver la ecuación diferencial y''3 y'2 y  x  x e 2

3x

Solución de la homogénea

yh  C1 ex  C2 e 2 x Solución particular de la completa





yp  a x2  b x  c e3x Ensayando esta solución se tiene

1  y p   x 2  x  1 e 3 x 2  Solución general de la completa

1  y  C 1 e x  C 2 e 2 x   x 2  x  1 e 3 x 2  14. Resolver la ecuación diferencial

y''4 y'4 y  cos 2 x sen x

Solución de la homogénea

y  C 1  C 2 xe 2 x Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:

cos 2 x sen x 

1 sen 3 x  sen x 2

20

Por tanto, y p = y p1+y p2

Para

1 sen 3 x ensayamos soluciones del tipo: A sen 3 x+ B cos 3 x, obteniéndose la solución 2

y p1 

Para 

5 6 sen 3 x  cos 3 x 338 169

1 sen x ensayamos soluciones del tipo: A sen x + B cos x , obteniéndose la solución 2

y p2  

3 2 sen x  cos x 50 25

Solución general:

y  C 1 x  C 2  e 2 x 

15. Resolver la ecuación diferencial

5 6 3 2 sen 3x  cos 3 x  sen x  cos x 338 169 50 25

y''3 y'2 y  sen 2 x sen x

Solución de la homogénea

y  C1 e x  C2 e2 x Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:

sen 2 x sen x 

1 cos x  cos 3 x 2

Por tanto, y p = y p1+y p2

Para

1 cos x ensayamos soluciones del tipo: a cos x + b sen x 2

Para 

1 cos 3 x ensayamos soluciones del tipo: a cos 3 x + b sen 3 x 2

Solución general

y  C1 ex  C2 e3x 

3 1 9 7 sen x  cos x  sen 3 x  cos 3 x 20 20 260 260 21

16. Resolver la ecuación diferencial y''4y'13 y  sen x  e

3x

5

Solución de la homogénea

y  e 2 x (C 1 cos 3 x  C 2 sen 3 x) Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente:

sen 2 x sen x 

Solución particular, y p = y p1+y p2

1 cos x  cos 3 x 2

+ y p3

Para yp1 ensayamos soluciones del tipo y p1  a sen 3 x  b cos 3 x Para yp2 ensayamos soluciones del tipo y p2  k e 3 x Para yp3 ensayamos soluciones del tipo y p3  k Solución general de la ecuación diferencial

y  e 2 x C 1 cos 3 x  C 2 sen 3 x 

3 1 1 5 sen x  cos x  e 3 x  40 40 10 13

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