Capítulo 5: Resonadores en microondas Los circuitos resonantes (en baja y alta frecuencia)son muy utilizados en ingeniería electrónica en una gran variedad de aplicaciones: filtros, osciladores, medidores de frecuencia y amplificadores sintonizados. El capítulo comienza recordando d d la l teoría í básica bá i de d circuitos i i resonantes, siendo i d la l tecnología l í la l que diferencie los circuitos resonantes en las distintas bandas frecuencia. Las tecnologías g expuestas p para p realizar circuitos resonantes en microondas serán: líneas de transmisión, guías de onda formando cavidades resonantes y guías dieléctricas constituyendo resonadores dieléctricos. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 6: Resonadores en microondas

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ÍNDICE •

Introducción – Ci Circuito it resonante t serie. i – Circuito resonante paralelo. – Definiciones: factor de calidad cargado y descargado de un circuito.

• •

Circuitos resonantes en alta frecuencia Resonadores basados en líneas de transmisión. – R Resonancia i serie i – Resonancia paralelo

•

Cavidades resonantes. – Cavidades rectangulares. – Cavidades cilíndricas.

• •

Resonadores R d dieléctricos di lé t i Excitación de resonadores

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INTRODUCCIÓN I: CIRCUITO RESONANTE SERIE •

Definición: – R Resonancia i serie i o circuito i it resonante: t en sus bornes b hay h mínimo í i de d voltaje lt j y máximo á i de corriente lo que supone mínimo del módulo de la impedancia. – Resonancia paralelo o circuito antirresonante: en sus bornes hay máximo de voltaje y mínimo í i de d corriente i lo l que supone máximo á i del d l módulo ód l de d la l impedancia. i d i

•

Configuración del circuito serie y representación del módulo de su impedancia

RS

V

LS

I

||Zin((ω)| )|

CS

BW

R/0.707

Zin

R

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ω/ ω0 Microondas-6- 3

INTRODUCCIÓN II: CIRCUITO RESONANTE SERIE • •

Impedancia de entrada al circuito resonante B l Balance energético éi Pin =

•

1 Z in = R s + jω ⋅ Ls − j ⋅ ω ⋅ Cs

1 1 2 ⎛ ⋅ I ⋅ ⎜⎜ Rs + jω ⋅ Ls − j ⋅ 2 ω ⋅ Cs ⎝ 1 2 Ploss = ⋅ R s ⋅ I 2 1 2 Wm = ⋅ I ⋅ Ls 4 1 1 1 2 2 We = ⋅ Vc ⋅ C s = ⋅ I ⋅ 2 4 4 ω ⋅ Cs

1 1 ⋅ V ⋅ I * = ⋅ Z in ⋅ I 2 2

2

=

⎞ ⎟⎟ = Ploss + 2 jω ⋅ (Wm − We ) ⎠

Un circuito U i it resuena cuando d la l energía í media di almacenada l d por ell campo magnético éti coincide con la almacenada por el campo eléctrico. Esto supone que la impedancia de entrada a dicha frecuencia de resonancia es real. Z in ==

Ploss + 2 jω ⋅ (Wm − We ) I

2

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INTRODUCCIÓN III: CIRCUITO RESONANTE SERIE, DEFINICIONES •

Pulsación de resonancia: aquella a la que se cumple la condición de resonancia. ωo =

•

Factor de calidad o de sobretensión: relación existente entre la energía media almacenada en el circuito y la energía perdida por segundo. Q =ω ⋅

•

1 Ls ⋅ C s

W + We energía media almacenada =ω ⋅ m energía disipada por segundo Ploss

Definición en función del margen de frecuencias Z in (ω ) = Rs + jω ⋅ Ls − j ⋅

1 = Rs + j ⋅ f (ω ) ω ⋅ Cs

⎛ ( ω − ω o )2 df 1 ⎞ df ⎟⎟ + j ⋅ (ω − ω o ) ⋅ + j⋅ ⋅ Z in (ω ) = Rs + ⎜⎜ jω o ⋅ Ls − j ⋅ 2! ω o ⋅ Cs ⎠ dω ω =ω o dω ⎝ Z in (ω ) = Rs + j ⋅ (ω − ω o ) ⋅ 2 Ls = Rs + j ⋅ (Δω ) ⋅ 2 Ls Z in (ω ) = Rs + j ⋅ (Δω ) ⋅ 2 ⋅

Rs ⋅ Q

ωo

= Rs ⋅ (1 + j ⋅ Q ⋅ α )

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(Δω ) ⋅ 2 = α ωo

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2

+ ... ω =ω o

INTRODUCCIÓN IV: CIRCUITO RESONANTE PARALELO •

Definición: – R Resonancia i paralelo l l o circuito i it antirresonante: ti t en sus bornes b hay h máximo á i de d voltaje lt j y mínimo de corriente lo que supone máximo del módulo de la impedancia.

•

Configuración del circuito serie y representación del módulo de su impedancia – Las expresiones que rigen su funcionamiento son las duales de las del circuito serie. |Zin(ω)| R I V Vg

R*0.707 RP

LP

BW

CP

Zin

ω/ ω0 Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 6: Resonadores en microondas

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FACTOR DE CALIDAD CARGADO, AISLADO Y EXTERIOR GO

GO GP

• •

CP

LP

GL

Circuito resonante de factor Q

GP

GL

CP

LP

La energía almacenada es única por lo que la variación del factor de calidad irá ligada a la variación en las pérdidas que pueda haber. Si pudieran separarse los efectos de las pérdidas dependiendo de si la causa fuera interna o externa al circuito tendríamos: – Factor de calidad aislado o en vacío, Q: las pérdidas se deben exclusivamente al circuito resonador. – Factor de calidad exterior, Qex, las pérdidas se deben a los circuitos exteriores a que se conecta el resonador – Factor de calidad cargado: g incluye y todos los efectos de ppérdidas,, internos y externos,, y es el que realmente se puede medir, QL. Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 6: Resonadores en microondas

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FACTOR DE CALIDAD: CONEXIÓN DE RESONADORES •

Hay tantos factores de calidad externos cuantas conexiones del resonador tengamos al exterior. Así se pueden clasificar los resonadores por su conexión: – Resonadores a reflexión: solo existe un terminal que aporta energía al resonador. Tiene una configuración tipo dipolo y hay un solo Qext – Resonadores a transmisión: se aporta energía al resonador por un terminal y se extrae por otro. Tiene una configuración tipo cuadripolo y hay dos Qext: Qext1 y Qext2

•

•

Si la energía almacenada es común y las pérdidas han podido separarse el factor de calidad cargado, que es el que se puede medir, viene dado por: 1 1 1 1 = + + Q L Q Qex1 Qex 2 Si las resistencias exteriores son Rex1 y Rex2 Q = ω o ⋅ Ls = ω o ⋅ Ls ⋅ Rs = Q ⋅ Rs ; ex1

Qex 2 =

•

Que para el circuito

paralelo resulta: Qex1 =

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ωo ⋅ C p Gex1

=

Rex1 ⋅ R s

Rex1

ω o ⋅ Ls

=

Rex 2

ωo ⋅ C p ⋅ G p Gex1 ⋅ G p

Rex1

ω o ⋅ Ls ⋅ Rs Rex 2 ⋅ R s =Q⋅

Gp Gex1

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=

=Q⋅

Rs Rex 2

Rex1 R = Q ⋅ ex1 ωo ⋅ Lp Rp

FACTOR DE ACOPLAMIENTO •

•

Relación entre los factores de calidad externo e interior: s 1 2 ⎧ ⋅ I ⋅ Rex ⎪ Rex 2 serie : = ⎪ 1 2 Rs ⎪ ⋅ I ⋅ Rs Q Pérdidas en el circuito exterior ⎪ 2 s= = =⎨ 1 Qex Pérdidas en el resonador 2 ⎪ ⋅ V ⋅ Gex Gex R p ⎪ paralelo : 2 = = ⎪ 1 2 G p Rex ⋅ V ⋅Gp ⎪ 2 ⎩

Si se normaliza la resistencia exterior a un valor 1 resulta: – Resonador serie: s= 1/rs – Resonador R d paralelo: l l s=1/g 1/ p

•

Clasificación de resonadores atendiendo al factor de acoplamiento: – Resonador subacoplado: s1 →Q>Qext (pérdidas en el resonador menores que en el circuito exterior) – Acoplmiento crítico: s=1 Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 6: Resonadores en microondas

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REPRESENTACIÓN DE LOS FACTORES DE ACOPLAMIENTO j1 j0.5

j2

Cavidad sobreacoplada: RSZO

j0.2

0

0.2

0.5

1

2

-j0.2

-j0.5

-j2 -j1

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Acoplamiento crítico: RS = ZO Microondas-6- 10

RESONADORES EN ALTA FRECUENCIA •

Inconvenientes en alta frecuencia: – El aumento t de d la l frecuencia f i de d resonancia i supone reducir d i la l inductancia i d t i o capacidad: id d caso límite, reducción a un hilo, concepto de línea de transmisión. – Una bobina acaba siendo auto resonante: capacidades parásitas y resistencias parásitas – En un circuito no cerrado el efecto de la radiación se hace no despreciable.

•

Conclusiones sobre alta frecuencia: – Una sección de línea de transmisión puede resonar en determinadas circunstancias. circunstancias – Se puede reducir las pérdidas cerrando la estructura y pasando al concepto de cavidad resonante. – Los L conceptos t de d resonancia i serie i y paralelo l l siguen i siendo i d válidos álid pero se repiten it cada media longitud de onda.

•

Tipos de resonadores en alta frecuencia: – Basados en líneas de transmisión – Cavidades resonantes – Resonadores dieléctricos Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 6: Resonadores en microondas

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LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES

Zo, β, α Zin z=l

CONDICIÓN DE RESONANCIA n=1 SERIE

z=0

l= n λ/2

n=2

CONDICIÓN DE RESONANCIA PARALELO

l Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 6: Resonadores en microondas

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ANÁLISIS DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN RESONANTES •

Valores de voltaje y corriente en cualquier punto de la línea: I (z ) =

•

Vo Zo

− jβ ⋅ z

− Γ ⋅ e jβ ⋅ z

) )

Supongamos que está acabada en cortocircuito

( ⋅ (e

) ) = 2ZV

V ( z ) = Vo ⋅ e − jβ ⋅ z − ⋅e jβ ⋅ z = −2 j ⋅ Vo ⋅ sen β ⋅ z I (z ) =

•

( ⋅ (e

V ( z ) = Vo ⋅ e − jβ ⋅ z + Γ ⋅ e jβ ⋅ z

Vo Zo

C di ió de Condición d resonancia: i

1 WH = ⋅ L ⋅ 4

− jβ ⋅ z

+ ⋅e jβ ⋅ z

o

⋅ cos β ⋅ z

o

I o2 ⋅ L ⋅ l I (z ) ⋅ I (z ) = 0 2

∫

l

*

l I o2 ⋅ L ⋅ l 1 * WE = ⋅ C ⋅ V (z ) ⋅ V (z ) = 0 4 2

∫

Ploss =

•

1 ⋅R⋅ 2

∫

l

0

I (z ) ⋅ I * (z ) +

sen(2 β ⋅ l ) = 0 ⇒ l = n ⋅

4

⎡ sen (2 β ⋅ l ) ⎤ ⋅ ⎢1 − ⎥ 2β ⋅ l ⎦ ⎣

l ⎡ ⎤ sen (2 β ⋅ l ) 1 ⋅ G ⋅ V ( z ) ⋅ V * ( z ) = I o2 ⋅ l ⋅ ⎢ R + G ⋅ Z o2 + ⋅ R − G ⋅ Z o2 ⎥ 0 2 2β ⋅ l ⎣ ⎦

Frecuencias de resonancia λ

⎡ sen (2 β ⋅ l ) ⎤ ⋅ ⎢1 + ⎥ 2β ⋅ l ⎦ ⎣

(

∫

; n = 1,2,3,...

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l =n⋅

λ 4

=n⋅

)

vp 4 f on

=n⋅

(

c 4 f on ⋅ ε eff

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; ⇒ f on = n ⋅

)

c 4 ⋅ l ⋅ ε eff

RESONANCIA SERIE (I)

Zo, β, α Zin z=l

z=0

RS

l n λ/2 l= V

n=1

Zin

l/2 l Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 6: Resonadores en microondas

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LS

I

CS

RESONANCIA SERIE (II) •

•

Valor de la impedancia: Z + Z o ⋅ tgh (γ ⋅ l ) Z in = Z o L Z o + Z L ⋅ tgh (γ ⋅ l ) Z

= Z o ⋅ tgh ((α + jβ ) ⋅ l ) = Z o L =0

Considerando una línea de bajas pérdidas: ⎛ Δω ⋅ π tg(β ⋅ l ) = tg⎜⎜ π + ωo ⎝

tgh (α ⋅ l ) ≅ α ⋅ l •

⎞ ⎛ Δω ⋅ π ⎟ = tg⎜ ⎟ ⎜ ω o ⎠ ⎝

⎞ Δω ⋅ π ⎟≈ ⎟ ωo ⎠

Valor de la impedancia: Z in ≈ Z o

α ⋅ l + j ⋅ ⎛⎜ Δω ⋅ π ω ⎞⎟ ⎝

o

⎠

⎞ 1 + j ⋅ α ⋅ l ⋅ ⎛⎜ Δω ⋅ π ω o ⎟⎠ ⎛ Δω ⋅ ⎝ α ⋅l ⋅⎜ ⎝

•

tgh (α ⋅ l ) + j ⋅ tg (β ⋅ l ) 1 + j ⋅ tgh (α ⋅ l ) ⋅ tg (β ⋅ l )

Parámetros del resonador

⎞ ≈ Z o ⋅ ⎛⎜α ⋅ l + j ⋅ Δω ⋅ π ω o ⎟⎠ ⎝ ⎞

ω o ⎟⎠