Capítulo 5. Ondas estacionarias. Introducción. En este Capítulo estudiaremos aquellos fenómenos ondulatorios en donde las ondas se hallan confinadas en una determinada región del espacio. Un ejemplo típico de ondas confinadas lo constituyen las ondas producidas en los instrumentos musicales, pero el tema resulta mucho más general, con aplicaciones en física del sólido, atómica, nuclear y subnuclear. Cuando las ondas están confinadas en el espacio como, por ejemplo ocurre con las ondas en una cuerda de piano, éstas viajan de un lado al otro reflejándose en los extremos fijos y, por ende, en todo momento existen ondas propagándose en los dos sentidos. Dependiendo de la longitud y características de la cuerda, existen ciertas frecuencias (modos normales de vibración) para las cuales la superposición, de las ondas que se propagan en ambos sentidos, resulta constructiva produciendo un esquema vibratorio estacionario denominado onda estacionaria, y estas frecuencias corresponden a las frecuencias de resonancia del sistema (fundamental o 1er armónico, 2 do armónico, 3er armónico, etc.), ver figura 1. Si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia del sistema, las ondas se desfasan en cada reflexión (respecto de la onda inicial). El proceso de reflexión en los extremos fijos se produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre sí, por lo cual, la amplitud de vibración resulta baja (frecuencia fuera de la resonancia). En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia, la onda al reflejarse sale con la fase adecuada, igual a la de la onda incidente, por lo cual, se suman constructivamente. Cada reflexión produce una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por consiguiente, el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilación estacionarios (modos normales). Cuando en el Capítulo 4 estudiamos ondas armónicas propagándose sobre una cuerda, observamos que aunque todos los puntos de la cuerda oscilan con la misma frecuencia no lo hacen con la misma fase. Esto puede verse si analizamos detenidamente como evoluciona en el tiempo el desplazamiento de diferentes puntos de la cuerda. Como sabemos, en una onda de propagación, el desplazamiento puede ser descripto por una función de onda armónica como, por ejemplo, π ⎛π ⎞ donde hemos tomado y ω=2 Ψ ( x, t ) = A sen ⎜ x − 2t ⎟ k= 2 ⎝2 ⎠ Si analizamos la evolución del punto x = 0 , vemos que se mueve armónicamente siguiendo la ley, Ψ (0, t ) = A sen(− 2t ) , mientras que si analizamos la evolución del punto x = 1 , obtenemos,

112

⎛π ⎞ Ψ (1, t ) = A sen ⎜ − 2t ⎟ ⎝2 ⎠ Comparando los movimientos, vemos que ambos puntos oscilan con la misma frecuencia ω = 2 , pero difieren en una fase, que en este ejemplo, resulta ser π radianes . 2 Esto que hemos determinado para un ejemplo resulta válido en general, en las ondas armónicas de propagación todos los puntos oscilan con la misma frecuencia pero no necesariamente todos tienen la misma fase, la fase depende del punto en cuestión. Este desfasaje se manifiesta en el hecho de que los puntos de la cuerda no pasan por el punto de equilibrio simultáneamente, como sucedía en los sistemas estudiados en el Capítulo 3 cuando se hallaban en un modo normal de vibración. En cambio en una onda estacionaria cada partícula de la cuerda oscila con la misma frecuencia y fase que las demás, es decir, corresponde a un modo normal de vibración o armónico. Una partícula que en un instante forma parte de la cresta de la onda, oscila permanentemente con la mayor amplitud. Una partícula que está en reposo en un instante, permanece en reposo por el resto del tiempo (nodo). Por consiguiente los máximos de amplitud de vibración y los nodos (reposo), están ubicados siempre en los mismos lugares, para una dada frecuencia de vibración. Cada partícula vibra permanentemente con la misma amplitud, dependiente de su posición, mientras que la frecuencia y la fase son iguales para todas las partículas, por lo cual, toda la cuerda pasa por la posición de equilibrio simultáneamente.

Para fijar ideas mostramos un dibujo (que usted repetirá en el ej. 2) en donde se muestra las posiciones sucesivas de una cuerda que oscila en los primeros tres modos normales de vibración:

Primer Armónico

Segundo Armónico

Tercer Armónico Figura.1: Esquema de las posiciones sucesivas de una cuerda que oscila, en los primeros tres modos normales de vibración:

Para cualquiera de los tres modos normales mostrados, existe un instante en que toda la cuerda en su conjunto pasa por la posición de equilibrio. Estos conceptos no difieren mucho de los estudiados en el Capítulo 3, cuando estudiamos modos normales de vibración. La diferencia fundamental consiste en que, en esos problemas, teníamos un número finito de partículas, mientras que aquí tenemos

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un continuo (idealización de cuerda continua). Por lo cual, en lugar de tener un cierto número finito de frecuencias de resonancia, tenemos un numero infinito pero discreto de frecuencias resonantes. A estas frecuencias, ordenadas de menor a mayor, comúnmente se las denomina, fundamental o 1er armónico , 2 do armónico, 3er armónico, etc.. El número infinito de frecuencias resulta de una idealización, que consiste en considerar a la cuerda continua y no formada por pequeñas partículas, separadas a distancias del orden del tamaño atómico. En realidad hay un número muy grande de frecuencias pero finito. Cuando se puntea la cuerda de una guitarra se escucha un sonido que, en general, no corresponde a un armónico puro sino que resulta ser una superposición de muchos modos de vibración. Dependiendo de donde se puntea y del tipo de instrumento, es posible excitar mucho el fundamental, quizás nada el segundo armónico, poco el tercero, nada el cuarto y así siguiendo. O podría no excitarse para nada el fundamental y si el segundo armónico, etc.. Algo parecido pero aún más complicado ocurre con el sonido que emitimos al hablar, nos resulta imposible emitir un sonido puro, siempre corresponde a una superposición de muchos posibles armónicos, cada uno de ellos con una intensidad determinada por la forma en que construimos el sonido en nuestras cuerdas vocales y en nuestra boca (¡con perdón de la palabra!). En este Capítulo estudiaremos esencialmente ondas estacionarias y concluiremos con el estudio del espectro de frecuencias que se genera en un caso simple como el punteo de una guitarra (análisis de Fourier). Los ejercicios recomendados son el 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 14 , 16, 17 y 18. 1. Guía teórica. Ondas estacionarias armónicas transversales en una cuerda fija en sus extremos. Para introducir el concepto de onda estacionaria, comenzaremos con el ejemplo simple de pequeñas oscilaciones transversales en una cuerda, pero la idea resulta completamente general y fácilmente extrapolable a otros fenómenos físicos donde se presenten ondas estacionarias. Ejemplo: Una cuerda de longitud L = 1m y masa m = 100 g , está fija en ambos extremos y sometida a una tensión F0 = 10 N . Suponga que, acercando un diapasón, se hace vibrar a la cuerda armónicamente (sinusoidalmente): Fig.2

x=0

x=L

Verifique que, en la aproximación de pequeñas oscilaciones (medio lineal), la velocidad de propagación de las ondas transversales resulta, v = 10 m / seg . La onda se propaga a través de la cuerda reflejándose en los extremos fijos. Comprobaremos que si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia de la cuerda, la onda en cada reflexión, se desfaza respecto de la onda inicial, por lo cual, comienzan a superponerse entre sí las múltiples reflexiones, interfiriendo no constructivamente. El proceso de reflexión en los extremos fijos se

114

produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre sí, por lo cual, su amplitud de vibración resulta baja (frecuencia fuera de la resonancia). En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia, la onda al reflejarse, sale con la fase adecuada, igual a la de la onda inicial, sumándose constructivamente a ésta. Cada reflexión produce una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por lo cual el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilación estacionarios, como comprobaremos luego. Luego en la guía teórica 15 y en el ejercicio 3 comprobaremos que una onda estacionaria puede representarse por la suma de dos ondas armónicas, de propagación, viajando en sentidos opuestos, es decir, A A ΨTotal ( x, t ) = sen (kx − ωt ) + sen (− kx − ωt + π ) 2 2 obtenida a partir de sumar una onda de propagación hacia la derecha más otra hacia la izquierda (desfasada en π al reflejarse). Por el momento comenzaremos estudiando a las ondas estacionarias en base al concepto ya aprendido de modo normal de vibración del sistema (frecuencia de resonancia). Modo normal: Supondremos que la cuerda oscila en un modo normal, por consiguiente, todas las partes de la cuerda oscilan con movimiento armónico, con la misma frecuencia ω y fase ϕ , por lo cual, cada punto de la cuerda oscila con su amplitud propia (característica del modo), pero todos ellos evolucionan armónicamente con la misma dependencia temporal, del tipo, cos(ωt + ϕ ) , La amplitud con que vibra cada punto de la cuerda, depende de la coordenada del punto estudiado, cada punto oscila con una amplitud distinta característica del modo de oscilación. Por ejemplo, un punto que se halla en un nodo de vibración, permanece siempre quieto, por lo cual su amplitud de oscilación resulta cero, mientras que un punto que se halla en una cresta, oscila con el máximo de amplitud. Definimos una función Ampl (x ) , la cual, determina la amplitud de vibración del punto ubicado en una posición x cualquiera. Esta función, depende del modo de oscilación, es decir, cada modo tiene una función Ampl (x ) diferente, ya que su forma de oscilación resulta diferente (recordar la figura 1). Entonces podemos escribir la expresión general para una onda estacionaria, como, Ψ ( x, t ) = Ampl ( x) cos(ωt + ϕ) . (1) Note la diferencia entre una onda estacionaria como la 1 y una onda de propagación como, (2) ΨPropagación ( x, t ) = A sen (kx − ωt ) Mientras que en la ecuación 1 se han desacoplado la dependencia funcional de la coordenada x y t (onda estacionaria), en la onda de propagación se hallan acopladas, por lo cual, las partículas no se mueven en fase..

115

Nos proponemos ahora determinar la función Ampl (x ) , y su dependencia con el modo de vibración. Si consideramos pequeñas oscilaciones, la función de onda estacionaria 1 debe satisfacer la ecuación lineal de ondas, ∂ 2 Ψ( x , t ) 1 ∂ 2 Ψ( x , t ) (3) = v2 ∂ t 2 ∂ x2 Reemplazando la función Ψ ( x, t ) = Ampl ( x) cos(ωt + ϕ) en la ecuación de ondas, y simplificando a la función coseno, encontramos que Ampl (x ) debe cumplir (verificar): d 2 Ampl ( x) ω2 Ampl ′′( x) = − k 2 Ampl ( x) (4) = − 2 Ampl ( x) = − k 2 Ampl ( x) . o 2 dx v La ecuación 4 es una ecuación diferencial del tipo oscilador armónico, pero en lugar de una derivada segunda respecto del tiempo tenemos una derivada segunda respecto de x , por consiguiente, la solución de esta ecuación resulta semejante a la obtenida en el caso del oscilador armónico (función armónica), pero en lugar de la variable t aparece la variable x , por lo cual, podemos proponer como solución, Ampl( x) = A sen(kx ) + B cos(kx ) (5) donde k =

2π y λ es la longitud de onda y A y B son constantes a determinar. λ

De acuerdo a 5, podemos afirmar que la amplitud de la oscilación varía armónicamente con la posición, repitiéndose su forma periódicamente cada longitud λ (ver figura 3). Por consiguiente la solución para una onda estacionaria resulta, ⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞⎤ Ψ ( x, t ) = cos(ωt + ϕ) ⎢ A sen⎜ x ⎟ + B cos⎜ x ⎟⎥ (6) ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠⎦ ⎣ Condiciones de contorno: La solución anterior es, hasta cierto punto, general. Pero aún no están contempladas las condiciones de contorno, que en nuestro ejemplo son los extremos fijos de la cuerda. En lo que sigue incorporaremos está información: La cuerda tiene longitud L , y se encuentra fija en x = 0 y x = L (ver figura 2 y 3). Esto significa que en esos puntos la cuerda no se desplaza en ningún momento, es decir, Ψ( x = 0, t ) = 0 y Ψ( x = L, t ) = 0 ∀t . (7) Con estas dos condiciones podremos hallar relaciones entre las constantes A y B , pero además, éste hecho condiciona fuertemente los modos en que puede vibrar la cuerda. No todas las longitudes de onda están permitidas en un modo estacionario, sólo aquellas que aseguren que la función de onda se anule en x = 0 y x = L (nodos), ver figura 3.

116

n=1 λ1=2L

n=2 λ2=L

n=3 λ3=2L/3

n=4 λ4=L/2

Figura.3: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, de una cuerda fija en ambos extremos.

Ahora usemos las condiciones de contorno 7 en la ecuación 6, Condición en el origen x = 0 : ⎡ ⎛ 2π ⎞⎤ ⎛ 2π ⎞ Ψ( x = 0, t ) = ⎢ A sen⎜ 0 ⎟ + B cos⎜ 0 ⎟⎥ cos(ωt + ϕ) = B cos(ωt + ϕ) = 0 ⎝ λ ⎠⎦ ⎝ λ ⎠ ⎣

∀t

⇒

B=0

⎛ 2π ⎞ x⎟ cos(ωt + ϕ) ⎝ λ ⎠

⇒ Ψ( x , t ) = A sen⎜

(Importante)

(8)

Condición en x = L : ⎛ 2π ⎞ L⎟ = 0 ∀t ⇒ 0 = Ψ( x = L, t ) = cos(ωt + ϕ) A sen⎜ ⎝ λ ⎠ 2π L = nπ con n ∈Ζ >0 ⇒ λ 2L λ= con n ∈Ζ >0 (Importante) n

⎛ 2π ⎞ sen⎜ L⎟ = 0 ⎝ λ ⎠

⇒

(9)

Esta última expresión nos esta diciendo que si la cuerda tiene dos puntos fijos (nodos), distantes una longitud L , no todas las longitudes de onda estacionarias están permitidas, sólo están permitidas aquellas que garantizan que la función de onda se anule en x=0 y x = L = 1m , y estas longitudes de onda son (como puede apreciarse en la figura 3): λ 1 = 2 L = 2m , λ 2 = L = 1m , λ 3 =

) 2 1 2L L = 0,66m , λ 4 = L = 0,5m ,........., λ n = ,......... 3 2 n

Cada modo tiene asociado una configuración diferente, determinada por la ⎛ 2π ⎞ amplitud Ampl( x) = A sen⎜ x ⎟ y caracterizada por la longitud de onda λ . Pero en ⎝ λ ⎠ cada modo, todas las partículas que forman parte de la cuerda oscilan con la misma frecuencia ω y fase ϕ . La amplitud A, queda determinada una vez conocido el estado inicial o la energía de la onda. Frecuencias de resonancia. Las frecuencias que producen estos esquemas se denominan frecuencias de resonancia. Podemos hallar las frecuencias a partir de la

117

relación entre k y ω , v = equivalente a ( v = 10 m / seg .):

f =

v , λ

ω (relación de dispersión para la aproximación lineal) que es k

por consiguiente las frecuencias de resonancia son

f =n

v 2L

con n ∈Ζ >0

Si llamamos a la frecuencia más baja f 1 =

(10)

v = 5Hz (frecuencia fundamental o primer 2L

armónico), entonces las frecuencias más altas se pueden obtener como múltiplos de ésta (secuencia armónica, caso ideal), es decir: f n = n f1

con n ∈Ζ > 0

(Importante)

(11)

de esta forma: v v v f 2 = 2 f 1 = = 10 Hz , f 3 = 3 f1 = 3 = 15Hz , = 5Hz , L 2L 2L 2v f 4 = 4 f1 = = 20 Hz ,........................................, f n = n f 1 con n ∈ Ζ > 0 L f1 =

La frecuencia más baja f1 se denomina frecuencia fundamental mientras que las demás se llaman armónicos, f2 es el segundo armónico, f3 es el tercer armónico, etc., y sus frecuencia resultan múltiplos de la frecuencia fundamental, en el caso ideal de medio no dispersivo. Ley de dispersión para una cuerda de piano real. La ley de dispersión dada por la ecuación v =

ω es la más simple que podemos encontrar, esta ley nos está indicando k

que la velocidad de propagación de la onda no depende de la longitud de onda, todas las ondas se propagan con la misma velocidad. En general las cuerdas reales se apartan levemente de esta ley lineal (fuera de la aproximación de pequeñas oscilaciones). Las longitudes de onda permitidas seguirán siendo λ =

2L , ya que esto depende n

de la existencia de los puntos fijos, pero las frecuencias no tienen la dependencia armónica tan simple dada en 11. Ejemplo, si la frecuencia fundamental es f1 , la frecuencia f 2 no será f 2 = 2 f1 , en un piano será levemente más alta (más aguda). 2. Recomendado. Con ayuda del Mathematica grafique los primeros 3 armónicos correspondientes a la cuerda del ejercicio anterior, suponiendo que la amplitud de la onda estacionaria es de A = 0,001m . Anímelos para observar la evolución de la cuerda, prestando atención a que en algún instante toda la cuerda pasa por el equilibrio. L=1; v=10; n=1; (modo fundamental, luego pruebe con n=2 y n=3) lambda=2*L/n; k=2*Pi/lambda; w=k*v; T=2*Pi/w; a=0.001; psi[x_,t_ ]=a*Sin[k*x]*Cos[w*t]; 118

Do[ Plot[psi[x,t],{x,0,L},PlotRange->{-a,a},Axes->None,AspectRatio->0.2, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}], {t,0,T,T/10}] Si une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará la evolución de la onda estacionaria. 3. Recomendado. Hemos dicho que una onda estacionaria resulta de la superposición de dos ondas armónicas propagándose en sentido contrario. La demostración formal de esta afirmación la haremos en la guía teórica 13, aquí sólo pretendemos obtener una primera idea gráfica con la ayuda del Mathematica. Por ello, grafique y anime a la función, A A ΨTotal ( x, t ) = sen (kx − ωt ) + sen (− kx − ωt + π ) 2 2 obtenida a partir de sumar una onda de propagación hacia la derecha más otra hacia la izquierda (desfasada en π al reflejarse). Use los mismos datos que en el problema anterior. L=1; v=10; n=1; (modo fundamental, luego pruebe con n=2 y n=3) lambda=2*L/n; k=2*Pi/lambda; w=k*v; T=2*Pi/w; a=0.001; psi[x_,t_ ]=(a/2)*Sin[k*x-w*t]+(a/2)*Sin[-k*x-w*t+π]; Do[ Plot[psi[x,t],{x,0,L}, PlotRange->{-a,a},Axes->None,AspectRatio->0.2, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}], {t,0,T,T/10}] Si une todos los gráficos en una misma celda y los anima, observará la evolución de la onda estacionaria. 4. Recomendado. Un hilo de acero de 5 g y 1,4m está fijo por ambos extremos y tiene una tensión de 968N . a) Hallar la velocidad de fase de las ondas transversales. Resp. v = 520 m / seg . b) Hallar la longitud de onda y la frecuencia del modo fundamental de oscilación. Resp. λ1 = 2,8m y f1 = 185,93Hz . c) Sabiendo que la amplitud de oscilación del primer modo es de 0,001m y que en el instante inicial ( t = 0 ) la cuerda justo está pasando por la posición de equilibrio, halle la función de onda correspondiente (determine la fase). d) Importante. Dibujar la posición de la cuerda en los instantes t = 0 , t = T / 4 , t = T / 2 donde T = 1 / f es el período de vibración. e) Hallar las frecuencias del segundo y tercer armónicos. Haga un esquema del modo de oscilación. Resp. f 2 = 371,86 Hz y f 3 = 557,79 Hz . f) Importante. La función de onda estacionaria puede formarse como la suma de dos ondas viajeras, de mitad de amplitud, una viajando hacia la derecha y otra viajando

119

hacia la izquierda (debido a la reflexión en los extremos). Escriba las dos funciones de onda viajeras para la onda estacionaria fundamental. 5. Guía teórica. Energía de una onda estacionaria. En Capítulo 4 (guía teórica 8, ec. 24), demostramos que la energía de un segmento de cuerda, vibrando transversalmente, es: 1 1 ⎛ ∂ Ψ ( x, t ) ⎞ ⎛ ∂ Ψ ( x, t ) ⎞ (1) ∆E = ∆E c + ∆E p = µ ∆x ⎜ ⎟ + F0 ∆x ⎜ ⎟ , 2 2 ⎝ ∂t ⎠ ⎝ ∂x ⎠ Para hallar la energía de toda la cuerda debemos integrar: L L ⎡1 ⎛ ∂ Ψ ⎞2 1 ⎛ ∂ Ψ ⎞2 ⎤ E = ∫ dE dx = ∫ ⎢ µ ⎜ (2) ⎟ ⎥ dx ⎟ + F0 ⎜ 2 t 2 x ∂ ∂ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ 0 0 ⎢ ⎦ ⎣ reemplazando la función de onda estacionaria, 2

2

⎛ 2π ⎞ Ψ( x, t ) = A sen⎜ x⎟ cos(ωt + ϕ) , ⎝ λ ⎠

(3)

integrando y luego de un calculo tedioso llegamos a (verificar), E=

1 m ω 2 A 2 = 2π 2 m f 2 A 2 2

(Para una onda estacionaria).

(4)

Comentario: Notar que la energía, de una onda estacionaria, no depende del tiempo (estado resonante). Si llamamos E1 a la energía del modo fundamental E1 = 2 π 2 m A12 f 12 y sabiendo que f n = n f1 ⇒ Para un modo n cualquiera se cumple,

(

E n = n 2 2 π 2 m f 12 An 2

)

= n2

An2 A12

E1

(5)

donde A1 y An son las amplitudes de los modos 1 y n respectivamente. Comentario: De la expresión 4 podemos ver que, a igual amplitud, la energía se incrementa para modos más altos (como n2). Esto es lógico ya que mientras mayor es el modo, más deformada está la cuerda, y por consiguiente acumula mayor energía potencial. Además, la frecuencia es mayor y, por ende, la velocidad de las partículas que forman la cuerda es mayor, con lo cual la energía cinética resulta mayor. 6. Recomendado. La función de onda Ψ ( x, t ) correspondiente a una onda estacionaria de una cuerda fija en ambos extremos viene dada por Ψ( x , t ) = 0,3 sen(0,2 x ) cos(300t ) , con Ψ y x en centímetros y t en segundos. a) ¿Cuál es la longitud de onda y cuál la frecuencia? b) ¿Cuál es la velocidad de propagación de las ondas transversales?. c) Si la función de onda dada es la correspondiente al cuarto armónico, ¿cuál es la longitud de la cuerda? d) Dibujar la posición de la cuerda en los instantes t = 0 , t = T / 4 , t = T / 2 donde T = 1 / f es el período de vibración. e) Halle la energía de la onda. Ayuda: use la expresión 4 de la guía teórica 5. f) Importante. La función de onda estacionaría puede formarse como la suma de dos ondas viajeras, de mitad de amplitud, una viajando hacia la derecha y otra viajando

120

hacia la izquierda (debido a la reflexión en los extremos). Escriba las dos funciones de onda viajeras, para el modo fundamental. 7. Recomendado. Una cuerda de longitud 3 metros y densidad másica 0,0025 kg / m está sujeta por ambos extremos. Suponga que con un oscilador electrónico, con salida por parlante, intenta hallar las frecuencias resonantes del sistema (piense como lo haría). Variando la frecuencia del oscilador usted determina que una de las frecuencias de resonancia es 252Hz (no necesariamente es la del fundamental). Luego, continua subiendo la frecuencia del oscilador, y observa que la siguiente frecuencia de resonancia resulta 336Hz . A partir de esta información halle: a) La frecuencia del modo fundamental. Resp. f1 = 84 Hz . b) La tensión del hilo. Resp. F0 = 635 N . c) A que modos de vibración corresponden las frecuencias medidas, haga un esquema del modo de vibración para ellas. d) Si para el modo de oscilación correspondiente a la frecuencia de 336Hz , la cuerda oscila con una amplitud de A = 0,001m , y en el instante inicial pasa por su posición de equilibrio, determine la función de onda de este estado y su energía. 8. Actividad: Si le sobran unos mangos, compre en una juguetería un Slinky (resorte muy largo y estirable, que baja las escaleras). Sujete los extremos con sus manos, y trate excitar los primeros modos estacionarios. Compruebe que puede lograr una gran amplitud cuando el sistema oscila en alguno de los modos. Discuta. 9. Guía teórica. Cuerda fija sólo en un extremo. En esta guía continuaremos el estudio de los estados estacionarios, pero ahora asociados a sistemas que poseen un extremo fijo y otro completamente libre. Un ejemplo clásico de estos sistemas son los instrumentos de viento (ondas sonoras longitudinales). Por simplicidad, primero analizaremos el ejemplo de una cuerda con un extremos libre. Una cuerda de longitud L = 1m y masa de m = 100 g , está fija en x = 0 y libre en el otro extremo (desliza sobre una varilla sin rozamiento). Está sometida a una tensión de F0 = 10 N .

Libre

Figura.4: Cuerda con un extremo libre.

También se producen ondas estacionarias sobre una cuerda con un extremo libre, en lugar de tener ambos extremos fijos. El esquema de las ondas estacionarias para dicha cuerda, en los primeros 4 modos de vibración, se indican en la figura 5,

121

n=1 λ1=4L

n=3 λ3=4L/3

n=5 λ5=4L/5

n=7 λ7=4L/7

Figura.5: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, de una cuerda con un extremo libre.

Observe que el extremo libre de la cuerda es siempre un vientre (amplitud de vibración máxima). Esto lo podemos entender si recordamos la guía teórica 10 del Capítulo 4, en esa guía encontramos que la fuerza ejercida sobre un segmento de la ∂Ψ cuerda (desde el lado izquierdo), es proporcional a , por consiguiente, si el borde de ∂x la cuerda está libre no existe fuerza externa ejercida en ese punto, por lo cual,

∂Ψ =0 ∂x

que justifica plenamente lo observado en la figura 5, ya que, en los vientres la pendiente de la recta tangente a la cuerda se anula. Condiciones de contorno. En el ejercicio 2 hallamos la solución para las funciones de onda estacionarias: ⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎤ Ψ( x , t ) = cos(ωt + ϕ ) ⎢ A sen⎜ x⎟ + B cos⎜ x⎟ ⎝ λ ⎠ ⎝ λ ⎠ ⎥⎦ ⎣

(1)

De plantear la condición de que el desplazamiento es nulo en el origen obtuvimos que B=0, y entonces la función de onda nos quedo: ⎛ 2π ⎞ Ψ( x , t ) = A sen⎜ x⎟ cos(ωt + ϕ) ⎝ λ ⎠

(2)

Ahora tenemos que plantear la nueva condición de contorno en x = L , que ya no corresponde a que el desplazamiento se anula en x = L . La condición de contorno adecuada en x = L , es que se anule la derivada con respecto a x (vientre) para todo tiempo, o sea, ∂Ψ ( x , t ) ∂x

=0

∀t .

(3)

x =L

Entonces, ∂Ψ( x, t ) ∂x

= x =L

2π ⎛ 2π ⎞ A cos⎜ L⎟ cos(ωt + ϕ) = 0 ⎝ λ ⎠ λ

2π π L=n , λ 2

∀t

⎛ 2π ⎞ L⎟ = 0 ⎝ λ ⎠

⇒ cos⎜

⇒

(4)

donde n debe ser entero positivo, pero además, impar, ya que si n fuera par n

π 2

nos

daría un múltiplo de π y el coseno no se anularía. Entonces, en una cuerda con un extremo libre, las longitudes de onda permitidas son:

122

λ=

4L con n impar n

(5)

es decir, λ 1 = 4 L = 4m , λ 2 =

) 4 4 L = 1,33m , λ 3 = L = 0,8m ,.. 3 5

.., λ n =

4 L n

con n impar,

Notar que la longitud de onda fundamental es el doble de la que obtuvimos en el caso de la cuerda fija en ambos extremos. Frecuencias de resonancia: Hallamos las frecuencias de resonancia a partir de la relación f =

v (relación de dispersión lineal), por consiguiente, las frecuencias de λ

resonancia son: f =n

v 4L

con n impar

Si llamamos a la frecuencia más baja f 1 =

(6)

v (frecuencia fundamental), entonces las 4L

frecuencias más altas se pueden obtener como múltiplos impares de f1 (secuencia armónica, caso ideal), es decir: f n = n f 1 con n impar (7) de esta forma: f1 =

v = 2,5Hz , 4L

f 3 = 3 f 1 = 7,5Hz ,

f 5 = 5 f 1 = 12,5Hz ,......, f n = n f 1

con n impar

Notar que hemos perdido los armónicos pares, y que la frecuencia fundamental es la mitad de la que obtuvimos en el caso de la cuerda fija en ambos extremos. 10. Una cuerda de 160 g y 4m de largo está fija por un extremo y está ligada a una cuerda muy ligera por el otro (suponga que está casi libre). Su tensión es de 400 N . a) ¿Cuáles son las longitudes de onda del modo fundamental y los dos armónicos siguientes?. b) ¿Cuáles son las frecuencias de estos modos?. 11. Recomendado. Acertijo: Suponga que dentro de una caja se halla una cuerda que usted no puede ver. Le piden que adivine si la cuerda está fija en ambos extremos o si tiene un extremo libre. Como ayuda le informan el valor de tres frecuencias de resonancia sucesivas de la cuerda 75 , 125 y 175Hz , donde la frecuencia de 75Hz no necesariamente corresponde al modo fundamental. a) ¿Cómo podría saberse si estas frecuencias corresponden a una cuerda fija por ambos extremos o por un sólo extremo?. Ayuda: Hallar los cocientes entre cada par de frecuencias sucesivas de resonancia. b) ¿Cuál es la frecuencia correspondiente al fundamental?. Resp. 25Hz . c) ¿A qué armónicos pertenecen las tres frecuencias dadas?. d) Si la velocidad de propagación en esta cuerda es de 400 m / seg . , halle la longitud de la cuerda. Resp. 4m .

123

12. Guía teórica. Ondas sonoras (longitudinales) estacionarias. Gran parte de lo aprendido en ondas estacionarias en cuerdas se aplica a ondas sonoras (longitudinales) estacionarias. En la figura 6 se ve un tubo de aire cerrado por su extremo derecho, con un pistón móvil en el extremo izquierdo, Fig.6

Aire Si la amplitud de desplazamiento del pistón es pequeña, puede suponerse que en ese extremo el desplazamiento longitudinal del aire es nulo (aproximadamente un nodo). Entonces la condición de onda estacionaria es la misma que en una cuerda con ambos extremos fijos, salvo que la velocidad de propagación es la velocidad del sonido v ≅ 345 m seg (a presión y temperatura normal). Si el extremo derecho del tubo no está cerrado sino abierto a la atmósfera, este extremo es, aproximadamente, un vientre de desplazamiento (también es un nodo de presión ya que la presión está fija a la presión atmosférica). Por consiguiente la condición de onda estacionaria, en este caso, es la misma que la correspondiente a una cuerda con un extremo fijo y otro libre x = L . En la realidad, el vientre de desplazamiento (o nodo de presión) cae ligeramente fuera del extremo abierto del tubo, por consiguiente, la longitud efectiva del tubo es un poco mayor que la longitud real, si L es la longitud del tubo y ∆L es la corrección (del orden del radio del tubo), la longitud efectiva es Lef = L + ∆L y, por ende, el tubo resuena cuando las longitudes de onda cumplan λ =

4 Lef n

con n impar .

Un tubo de órgano y las flautas de todo tipo se comportan como tubos abiertos en ambos extremos, en estos casos, en ambos extremos existe un vientre de desplazamiento. Las frecuencias de resonancia son las mismas que para un tubo cerrado en ambos extremos, excepto por una pequeña corrección de la longitud. Por consiguiente la longitud de onda del fundamental resulta igual a dos veces la longitud del tubo y se encuentran presentes todos los armónicos (pares e impares), ver figura 7,

Fig.7

Tubo cerrado en ambos extremos:

124

λ1=2L

λ2=L

λ3=2L/3

λ4=L/2

Tubo cerrado en el extremo izquierdo:

λ1=4L

λ3=4L/3

λ5=4L/5

λ7=4L/7

Tubo abierto en ambos extremos:

λ1=2L

λ2=L

λ3=2L/3

λ4=L/2

Figura.7: Esquema de los primeros 4 modos de vibración, correspondientes a: a) Tubo cerrado en ambos extremos. b) Tubo abierto en un extremo. c) Tubo abierto en ambos extremos.

13. Recomendado. Experimento para hacer en el aula. Deje caer varias tizas enteras, observe y anote el número de trozos en que se parte la tiza. Estudie detenidamente los lugares en donde se parte. Trate de explicar lo observado. ¿En cuantos pedazos se parte en la mayoría de los casos? ¿por qué?. Discuta. 14. Recomendado. Aparato para determinar la velocidad del sonido en el aire. En la figura 8 se muestra un esquema del aparato,

125

Fig.8

L

La longitud de la columna de aire en el tubo del lado izquierdo puede regularse modificando el nivel del agua del lado derecho, agregando o quitando agua. Se excitan ondas sonoras con un diapasón. La columna de aire del lado izquierdo (longitud L) resuena cuando la frecuencia del diapasón concuerda con alguna de las frecuencias naturales del sistema. Esto puede comprobarse acercando el oído al tubo y notando como se logra amplificar el sonido cuando el sistema se halla en resonancia. Una forma de medir la velocidad del sonido, es modificando la altura del nivel de agua hasta que la frecuencia natural del diapasón concuerde con las frecuencias de oscilación del sistema. Ejemplo: Cuando encima del tubo de la figura se mantiene un diapasón de 500Hz de frecuencia, aparecen resonancias (sucesivas) cuando el nivel del agua está a distancias de 16 , 50.5 , 85 y 119.5cm de la parte superior del tubo (¡ojo!, estas resonancias corresponden a una frecuencia fija de 500Hz que excita diferentes armónicos dependiendo de la longitud L). a) Suponiendo que en 16cm se excita el fundamental, determine cual es el armónico que se excita en las demás distancias. b) Grafique la longitud L en función del número de armónico n. c) De acuerdo al gráfico, ¿Cuál es la velocidad del sonido?. d) ¿Qué corrección ∆L le haría a las longitudes medidas? 15 Optativo. Guía Teórica. Superposición de ondas, Onda estacionaria. En este ejercicio queremos comprobar que una onda estacionaria puede visualizarse como la combinación de dos ondas moviéndose en sentidos contrarios, producto de las reflexiones en los puntos fijos. Los resultados concuerdan con los de la guía teórica 1, simplemente este ejercicio ofrece otra manera de entender el mismo fenómeno físico. Supongamos que una cuerda de longitud L , y masa m , está fija en ambos extremos y sometida a una tensión F0 . El extremo izquierdo de la cuerda ( x = 0 ) se hace vibrar armónicamente. La onda se propaga hacia la derecha con velocidad v, cuya función de onda podemos describir como, A A (1) ΨI ( x, t ) = sen (kx − ωt ) = sen[k ( x − vt )] , 2 2 (le hemos puesto una amplitud A 2 por comodidad ya que, cuando se le sume la onda reflejada, la onda total tendrá amplitud A ). Cuando llega al extremo derecho fijo, en x = L , la onda se refleja.

126

Onda reflejada: La onda reflejada ΨR tiene la misma longitud de onda, frecuencia y amplitud, que la onda incidente ΨI (conservación de energía y momento, relacionarlo con el choque elástico de una pelota contra una pared), pero se propaga en sentido inverso y presenta un desfasaje respecto de la onda incidente. Proponemos que la función de onda reflejada es, A (2) ΨR ( x, t ) = sen (− kx − ω t + ϕ) . 2 La onda reflejada ΨR , se propaga hacia la izquierda, y al incidir sobre el lado izquierdo fijo, se vuelve a reflejar. Si la frecuencia de la onda no concuerda con ninguna de las frecuencias de resonancia de la cuerda, esta nueva onda se desfaza respecto de la onda inicial, por lo cual, su superposición no necesariamente resulta constructiva. El proceso de reflexión en los extremos fijos se produce indefinidamente, tendiendo a interferir todas las ondas entre sí, por lo cual, su amplitud de vibración resulta baja (frecuencia fuera de la resonancia). En cambio, si la frecuencia de la onda armónica concuerda con alguna de las frecuencias de resonancia, la onda que vuelve a reflejarse del lado izquierdo, sale con la fase adecuada, igual a la de la onda incidente, sumándose constructivamente a ésta. Cada reflexión produce una nueva onda que se vuelve a sumar constructivamente con las existentes, por lo cual el sistema oscila con gran amplitud (frecuencia de resonancia). Estas frecuencias de resonancia corresponden a modos de oscilación estacionarios, como comprobaremos luego. El desplazamiento de un segmento de la cuerda viene dado por la superposición de ambas ondas. En la aproximación de pequeñas oscilaciones (medio lineal), la función de onda total viene dada simplemente por la suma de la onda incidente más la reflejada (principio de superposición), ΨTotal ( x, t ) = ΨI ( x, t ) + ΨR ( x, t ) (3) A A (4) ΨTotal ( x, t ) = sen (kx − ωt ) + sen (− kx − ω t + ϕ) 2 2 Hallaremos el desfasaje ϕ, de la onda reflejada, usando las condiciones de contorno. Condiciones de contorno en el origen: En el punto x = 0 la cuerda está fija, por ende el desplazamiento total debe anularse en ese punto para todo tiempo, es decir: ΨTotal ( x = 0, t ) = ΨR ( x = 0, t ) + ΨI ( x = 0, t ) = 0 ∀t ⇒

ΨR ( x = 0, t ) = −ΨI ( x = 0, t ) ∀t (5) Empleando está condición de contorno obtenemos ϕ, como sigue: A A ΨR (0, t ) = sen (− ω t + ϕ) = − sen (− ωt ) = − ΨI (0, t ) ∀t 2 2 sen(− ω t + ϕ) = − sen(− ωt ) = sen(− ωt + π) ⇒ ϕ≡π (6) como ya sabíamos del capítulo 4. Con lo cual la función de onda reflejada resulta, A ΨR ( x, t ) = sen (− kx − ω t + π ) (7) 2

127

⇒

La Función de onda Total resulta una Onda Estacionaria: Ahora estamos interesados en obtener la función de onda total, suma de dos ondas viajeras la incidente y la reflejada y comprobar que resulta ser una onda estacionaria, A A (8) ΨT ( x, t ) = ΨI ( x, t ) + ΨR ( x, t ) = sen (kx − ω t ) + sen (− kx − ω t + π ) 2 2 Podemos reescribir la expresión anterior utilizando la siguiente identidad trigonométrica: ⎛ θ − θ1 ⎞ ⎛ θ + θ1 ⎞ sen (θ1 ) + sen (θ 2 ) = 2 cos⎜ 2 (9) ⎟ sen⎜ 2 ⎟, ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ con θ1 = kx − ωt y θ 2 = −kx − ωt + ϕ . Usando esto, la función de onda total nos queda: π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ (10) ΨT ( x, t ) = A cos⎜ − kx + ⎟ sen⎜ − ω t + ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ y usando que cos⎜ − kx + ⎟ = − sen (kx ) y que sen ⎜ − ωt + ⎟ = − cos(ωt ) (verifique), 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ entonces, ΨT ( x, t ) = A sen(kx ) cos(ω t ) (11) La expresión 11 corresponde a una función de onda estacionaria. Hemos logrado desacoplar la dependencia espacial de la temporal, esto significa que un punto de la cuerda, que se halla en la posición x, oscila armónicamente con frecuencia ω y amplitud que depende armónicamente de la posición, es decir, Ampl( x) = A sen(kx ) (12) y, ΨT ( x, t ) = Ampl( x) cos(ω t ) (13) Esto significa que la superposición de las ondas, incidente y reflejada (viajeras), no representa una onda viajera sino una onda estacionaria, ya que todos los puntos de la cuerda oscilan con la misma frecuencia y fase. Como antes, planteando la condición de contorno en el extremo derecho hallaremos las frecuencias y longitudes de onda de los modos normales: Condición de contorno en el extremo derecho. Hasta el momento impusimos sólo una condición de contorno aquella que indica que en x = 0 la cuerda está fija y, por ende, el desplazamiento en ese punto es nulo para todo tiempo, es decir ΨT ( x = 0, t ) = 0 ∀t . Ahora, como hicimos en la guía teórica 1, queremos imponer la otra condición de contorno, que indica que en x = L la cuerda también está fija, es decir ΨT ( x = L, t ) = 0 ∀t . Como ya sabemos, este hecho condiciona fuertemente los modos en que puede vibrar la cuerda. No todas las longitudes de onda estarán permitidas, sólo aquellas que aseguren que la función de onda se anule en x = 0 y x = L (nodos). Podemos calcular analíticamente las longitudes de onda λ , usando, ΨT ( x = L, t ) = A sen(k L ) cos(ω t ) = 0 ∀t ⇒ sen(kL ) = 0 k L ≡ n π con n ∈ Ζ > 0 ⇒ ⇒ k =

n π 2π = L λ

con

n ∈Ζ > 0

λ=

o

128

2L n

con

n ∈Ζ > 0

(14)

Esta expresión es la misma hallada en la guía teórica 1, nos esta diciendo que si la cuerda tiene dos puntos fijos (nodos), distantes una longitud L , no todas las longitudes de onda están permitidas para una onda estacionaria, sólo están permitidas aquellas que garanticen que la función de onda se anule en x = 0 y x = L . 16. Guía teórica. Análisis de Fourier. Cuando se puntea la cuerda de una guitarra se escucha un sonido que, en general, no corresponde a un armónico puro sino que resulta ser una superposición de muchos modos de vibración. Dependiendo de donde se puntea (y del tipo de instrumento) es posible excitar mucho el fundamental, quizás nada el segundo armónico, poco el tercero, nada el cuarto y así siguiendo. O podría no excitarse para nada el fundamental y si el segundo armónico, etc.. Algo parecido pero aún más complicado ocurre con el sonido que emitimos al hablar, nos resulta imposible emitir un sonido puro, siempre corresponde a una superposición de muchos posibles armónicos, cada uno de ellos con una intensidad determinada por la forma en que construimos el sonido en nuestras cuerdas bocales y en nuestra boca. El objetivo de este ejercicio teórico es el de estudiar las amplitudes (y fases) con que cada armónico aparece cuando una cuerda es excitada. Si el sistema es lineal (no dispersivo), el estado de movimiento más general de una cuerda continua, con ambos extremos fijos y vibrando sólo transversalmente, puede obtenerse como una superposición de todos los modos posibles (armónicos), numerados 1,2,3,...., con amplitudes A1 , A2 , A3 , ....., y constantes de fase ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 ,......, que dependen como, ya veremos, de la deformación inicial de la cuerda. De esta forma, la función de onda más general correspondiente a una cuerda vibrante resulta, ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ Ψ( x, t ) = A1 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω1t + ϕ1 ) + A2 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω2 t + ϕ 2 ) + ⎝ λ2 ⎠ ⎝ λ1 ⎠

⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ A3 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω3t + ϕ3 ) + A4 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω4 t + ϕ 4 ) + ........... = ⎝ λ4 ⎠ ⎝ λ3 ⎠ ∞ ⎛ 2π ⎞ = ∑ An sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ωn t + ϕi ) i =n ⎝ λn ⎠

(1)

donde,

2π (2) λn es el número de onda, y se relaciona con la frecuencia ωn a través de la relación de dispersión kn =

v=

ωn kn

.

(3)

Note que la velocidad de propagación es igual para todas las frecuencias (medio lineal no-dispersivo). Las constantes An y las fases ϕ n son determinadas por las condiciones iniciales ∂Ψ( x , t ) de la cuerda, los desplazamientos Ψ( x, t ) y las velocidades para cada x a ∂t

129

t = 0 , correspondientes a la deformación inicial de la cuerda. Para fijar ideas resolveremos un ejemplo particular. Ejemplo: Si inicialmente (a t = 0 ) la cuerda se desplaza de la posición de equilibrio y luego se suelta (desde el reposo), la velocidad inicial de todos los puntos de la cuerda ∂Ψ( x , t ) ∂Ψ( x , t ) resulta nula. Como resulta ser resulta cero, por lo cual, la derivada ∂t ∂t una suma de términos que contienen sen (ω n t + ϕ n ) (verifique derivando Ψ( x , t ) ), la única manera de que toda la suma se anule cuando t = 0 es que todas las fases valgan cero, o sea, ϕ n = 0 ∀n (verifíquelo). Por lo tanto, para cuerdas que inicialmente parten del reposo, los desplazamientos pueden expresarse como: ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ x ⎟⎟ cos(ω1t ) + A2 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω 2 t ) + Ψ ( x, t ) = A1 sen⎜⎜ ⎝ λ2 ⎠ ⎝ λ1 ⎠

⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ A3 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω3 t ) + A4 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω 4 t ) + ........... = (4) ⎝ λ4 ⎠ ⎝ λ3 ⎠ ∞ ⎛ 2π ⎞ = ∑ An sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω n t ) n =1 ⎝ λn ⎠ Sólo nos queda determinar las amplitudes con que participa cada modo, es decir los valores de A1 , A2 , A3 , ......,etc. (fundamental, segundo armónico, etc.). Para hallar estas constante resulta necesario conocer cuál es la deformación inicial de la cuerda. Supongamos que a t = 0 obligamos a la cuerda a tener una forma determinada dada por una función f ( x ) , por ejemplo la forma dada en la figura 8 (diente de sierra simétrico de amplitud A ).

A

Figura 8: Cuerda inicialmente desplazada, con forma de diente de sierra.

Esta deformación no es muy agradable para la física ya que es picuda (no derivable, lo que implica una gran deformación), pero por su simplicidad la vamos a estudiar como ejemplo. A simple vista, vemos que está deformación se parece mucho al modo fundamental, por consiguiente, es de esperar que la amplitud A1 sea mayor que las demás amplitudes, es decir, el modo fundamental será el más intenso (más excitado). Otra cosa que podemos intuir es que el segundo armónico no se excitará, ya que este modo tiene un nodo en el centro de la cuerda ( Ψ = 0 no se mueve), y además, si consideramos como que ese nodo (en mitad de la cuerda) es el origen de coordenadas, la función f ( x ) (diente de sierra) es una función par (respecto a ese nodo) mientras que el segundo armónico es una función impar, e intuimos que para aproximar a f ( x ) necesitamos funciones que posean su misma paridad, por consiguiente esperamos que

130

A2 = 0 . Lo mismo va a pasar con todos los armónicos pares, ya que todos tienen un nodo en el centro y son impares respecto a ese punto, cosa que no es compatible con la deformación inicial, por ende, podemos intuir que, An = 0 para todo n par. (5) Comprobemos lo anterior analíticamente. A t = 0 cada parte de la cuerda tiene un desplazamiento correspondiente a la forma de diente de sierra, que corresponde a decir que Ψ( x , t = 0) = f ( x ) , o sea, ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ Ψ( x, t = 0) = A1 sen⎜⎜ x ⎟⎟ + A2 sen⎜⎜ x ⎟⎟ + A3 sen⎜⎜ x ⎟⎟ + ..... = f( x) . (6) ⎝ λ2 ⎠ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ3 ⎠ Veremos que, la forma de f ( x ) determina las amplitudes. Necesitamos primero definir a la función f ( x ) en un intervalo que va desde x = 0 a x = λ1 = 2 L (aunque la cuerda sólo llega hasta L ), y la forma adecuada es definirla de tal forma que sea periódica con período λ1 = 2 L . Esto resulta conveniente ya que, como inmediatamente veremos, aprovecharemos fuertemente el hecho de que si integramos una función armónica (seno o coseno) en un período o un múltiplo de período la integral se anula. De acuerdo a lo anterior, redefinimos a la función f ( x ) de tal forma que sea una función periódica con período λ1 = 2 L , esto lo logramos agregando una imagen especular, como muestra la figura, f(x)

Fig.9

A x 1 2

L

3 2

L

L

2L

-A

De acuerdo a la figura 9 su expresión analítica es (verificar): ⎧ +m x ⎪ f( x ) = ⎨− m x + 2 A ⎪ ⎩+ m x − 4 A

si

0≤ x≤ L / 2

si

L / 2 < x ≤ 3 L / 2 donde la pendiente es m =

si

3L / 2 < x ≤ 2 L

2A L

(7)

Una vez redefinida la función nos abocamos a hallar el valor de las amplitudes de cada modo. Primero tratemos de hallar el valor de A1 . Para ello usamos el viejo truco de que las funciones armónicas se anulan si las integramos sobre un período (una longitud de onda), o un múltiplo de un período, ya que tienen tantos tramos positivos como negativos. ⎛ 2π ⎞ Multipliquemos a Ψ( x, t = 0) , o f ( x ) , por sen⎜⎜ x ⎟⎟ e integremos desde x = 0 ⎝ λ1 ⎠ hasta x = λ1 , es decir :

131

∫

λ1

0

⎛ 2π ⎞ f( x) sen⎜⎜ x ⎟⎟ dx = ⎝ λ1 ⎠

∫

λ1

⎛ 2π ⎞ A1 sen ⎜⎜ x ⎟⎟ dx + ⎝ λ1 ⎠ 2

0

∫

λ1

0

⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ A2 sen⎜⎜ x ⎟⎟ sen⎜⎜ x ⎟⎟ dx + ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ 2 ⎠

(8) ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ ∫0 A3 sen⎜⎜⎝ λ1 x ⎟⎟⎠ sen⎜⎜⎝ λ 3 x ⎟⎟⎠ dx + ........... Sabemos que en una longitud de onda del modo fundamental λ 1 caben 2 λ 2 , 3 λ 3 , etc., usando este hecho es muy simple demostrar que la única integral que no se anula es la primera, ya que las demás tienen tantos tramos positivos como negativos. Entonces obtenemos: λ1 λ1 ⎛ 2π ⎞ λ1 2 ⎛ 2π ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ f ( x ) sen x dx A sen x dx = A1 , = (9) 1 ∫0 ∫ ⎜λ ⎟ ⎜λ ⎟ 2 ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ 0 λ1

y de aquí podemos despejar A1

A1 =

2 λ1

∫

λ1

0

⎛ 2π ⎞ f ( x) sen⎜⎜ x ⎟⎟ dx ⎝ λ1 ⎠

(10)

De igual forma, podemos hallar el resto de las amplitudes integrando (verificar):

2 An = λ1

∫

λ1

0

⎛ 2π ⎞ f ( x) sen⎜⎜ x ⎟⎟ dx ⎝ λn ⎠

(11)

Las expresiones 10 y 11 son completamente generales y valen para cualquier función f ( x ) periódica. Para el caso particular del diente de sierra las amplitudes se obtienen integrando ambas expresiones, resultando (verificar): ⎧ 0 n es par si ⎪⎪ (12) An = ⎨ n es impar si ⎪ 8 A (−1) ( n − 1)/ 2 ⎪⎩ π 2 n 2 Como esperábamos las amplitudes correspondientes a los modos pares se anulan. En base a esto podemos reescribir la función f ( x ) como,

f( x) = Ψ( x, t = 0) =

⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 1 ⎛ 2π ⎞ 1 8A ⎡ ⎜⎜ x ⎟⎟ − ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ x x − sen sen + 1 sen ⎢ ⎜λ ⎟ 9 ⎜ λ ⎟ 25 π 2 ⎢⎣ ⎝ 1 ⎠ ⎝ λ5 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎤ ⎛ 2π ⎞ 1 − sen⎜⎜ x ⎟⎟ + ............⎥ 49 ⎝ λ7 ⎠ ⎦⎥

(13)

Por consigiente, la función de onda que describe la evolución subsiguiente de la cuerda es,

132

Ψ( x, t ) =

⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 8A ⎡ 1 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω3 t ) + 1 sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω1t ) − 2 ⎢ 9 π ⎣⎢ ⎝ λ1 ⎠ ⎝ λ3 ⎠ ⎤ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ 1 1 x ⎟⎟ cos(ω7 t ) + ............⎥ sen⎜⎜ sen⎜⎜ x ⎟⎟ cos(ω5 t ) − 49 25 ⎥⎦ ⎝ λ7 ⎠ ⎝ λ5 ⎠

(14)

donde, ω n = 2πf n

y

f n = nf 1 = n

v λ1

(15)

Notar que hemos hecho un desarrollo (serie de Fourier), en el cual, una función diente de sierra se ha descompuesto en una suma de infinitos término armónicos. Para tener una mejor visión de lo hecho se recomienda graficar la función f ( x ) en base a la expresión 13, y verificar que ha medida que mejoramos la aproximación, teniendo en cuenta mayor cantidad de armónicos, obtenemos una mejor aproximación a la función diente de sierra. Con ayuda del programa Mathematica grafique en un mismo gráfico las funciones: 8 A ⎛ 2π ⎞ f( x) ≈ f1 ( x) = 2 sen⎜⎜ x ⎟⎟ π ⎝ λ1 ⎠ f( x) ≈ f 3 ( x) =

⎛ 2 π ⎞ 1 ⎛ 2π ⎞ ⎤ 8A ⎡ 1sen⎜⎜ x ⎟⎟ − sen⎜⎜ x ⎟⎟⎥ 2 ⎢ π ⎢⎣ ⎝ λ1 ⎠ 9 ⎝ λ 3 ⎠⎥⎦

f( x) ≈ f 5 ( x) =

⎛ 2π ⎞ ⎤ ⎛ 2 π ⎞ 1 ⎛ 2π ⎞ 1 8A ⎡ 1sen⎜⎜ x ⎟⎟ − sen⎜⎜ x ⎟⎟ + sen⎜⎜ x ⎟⎟⎥ 2 ⎢ π ⎢⎣ ⎝ λ1 ⎠ 9 ⎝ λ 3 ⎠ 25 ⎝ λ 5 ⎠⎥⎦

f( x) ≈ f 7 ( x) =

⎛ 2π ⎞ 1 ⎛ 2π ⎞ ⎤ ⎛ 2π ⎞ 1 ⎛ 2π ⎞ 1 8A ⎡ x ⎟⎟⎥ 1sen⎜⎜ x ⎟⎟ − sen⎜⎜ x ⎟⎟ + sen⎜⎜ x ⎟⎟ − sen⎜⎜ 2 ⎢ π ⎣⎢ ⎝ λ 1 ⎠ 9 ⎝ λ 3 ⎠ 25 ⎝ λ 5 ⎠ 49 ⎝ λ 7 ⎠⎦⎥

etc.

En la figura 10 mostramos el gráfico obtenido para f1 ( x ) , f 3 ( x) , f5 ( x) , f 7 ( x ) , f 9 ( x ) y f 21 ( x ) (donde hemos usado A = 1 y L = 10 ), f3 (x)

f1 (x)

f5 (x)

f7 (x)

133

f9 (x)

f21 (x)

Figura 10: Desarrollo de Fourier de la función f ( x ) Gráfico de las funciones f 1 ( x ) ,

f 3 ( x ) , f 5 ( x ) , f 7 ( x ) , f 9 ( x ) y f 21 ( x ) .

Observe como a medida que agregamos más modos más se parece, el desarrollo en serie, al diente de sierra. El gráfico de f 9 ( x ) ya resulta una muy buena aproximación, salvo el redondeo del borde, y mejora notablemente en el gráfico de f 21 ( x ) . Una forma habitual en que puede manejarse la información obtenida, respecto a la amplitud con que contribuye cada modo a la oscilación total, es con el gráfico mostrado en la figura 11. En donde en el eje x hemos identificado las frecuencias, mientras sobre el eje y hemos identificado la amplitud correspondiente a cada modo. Amplitud

ω1

ω3

ω5

ω7

frecuencia

Figura 11: Espectro de frecuencias del desarrollo de Fourier de la función f ( x ) .

Puede verse que el modo fundamental es el que contribuye en mayor intensidad, mientras que ya el noveno armónico puede llegar a despreciarse en alguna aproximación. Notar que la amplitud es menor para modos más altos, esto resulta lógico desde el punto de vista energético, ya que según vimos en la guía teórica 5, la energía de una onda estacionaria crece a medida que aumenta la frecuencia de oscilación y la amplitud. La energía de cada modo es, E n = 2π 2 m f n2 An2 8A donde f n = n f 1 , usando que An = 2 2 (−1) ( n − 1)/ 2 , entonces la energía de cada modo π n resulta, ⎛ 128 m f 12 A 2 ⎞ 1 En = ⎜ ⎟ 2, π2 ⎝ ⎠ n lo que nos está indicando que la energía que le corresponde a cada modo (en el diente de sierra) disminuye como la inversa del cuadrado del número del modo.

134

Timbre y consonancia. En base a lo aprendido podemos entender algunos conceptos utilizados frecuentemente en música, como por ejemplo, el timbre de una nota, la consonancia de notas y la disonancia. El timbre de una nota musical lo determina la amplitud relativa con que participa cada armónico en el sonido total. Una nota con el primer armónico, solamente, es una nota pura, mientras que una nota con muchos armónicos es una nota rica. Un violín produce una proporción de armónicos diferente de la que produce un oboe, para la misma nota, es decir, producen notas con diferente timbre. El tamaño y la forma de la caja de resonancia caracterizan el sonido que emite cada instrumento. En los gráficos de la figura 12 se muestra el espectro de frecuencias correspondiente a un violín y a un diapasón. Vemos que muchas son las frecuencias que conforman el sonido de una dada nota de violín. Se observan cuatro frecuencias que participan con mayor amplitud, pero vemos también que aparece un continuo de frecuencias. Más aún, los picos no son líneas como las que vimos en el desarrollo de Fourier de la cuerda, aquí aparecen picos con un cierto ancho, o entorno de frecuencias, cercanas a la de mayor amplitud. En cambio, en el caso del diapasón hay una frecuencia dominante, la nota es casi pura, aunque no del todo, ya que vemos que no es una línea, sino un pico, con un cierto ancho. Nivel de sonido

Violín

440Hz

880Hz

1320Hz

1760Hz

Frecuencia en Hz

Nivel de sonido

Diapasón

Frecuencia en Hz

Figura 12: Espectro de frecuencias del sonido de una nota de violín y de un diapasón. Mientras que la nota del violín es rica en frecuencias, la nota del diapasón es “casi” pura.

Podemos “fabricar” diversas notas si conectamos osciladores a un altoparlante (que generan frecuencias casi puras). Deberíamos escoger las frecuencias de los osciladores de manera que tengan los valores f 1 , 2 f 1, 3 f 1 , etc. (armónicos). Ajustando entonces el control de volumen de cada oscilador, podemos seleccionar la amplitud con que participa cada armónico, y por consiguiente producir notas de diferente timbre (piano, violín, guitarra, etc.).

135

Decimos que dos notas son consonantes cuando tienen armónicos de la misma frecuencia, por ejemplo, que el primer armónico de una nota concuerde con el segundo armónico de la otra (por supuesto si esto se cumple concordarán muchos más armónicos, verifique). Dos notas son disonantes si sus armónicos superiores (primer armónico, segundo, tercero, etc.) tienen frecuencias cercanas, pero lo bastante separadas como para que haya pulsaciones rápidas entre las dos (el tema pulsaciones o batidos se estudia en el capítulo siguiente). Por alguna razón que no conocemos, las notas consonantes resultan agradables a nuestros sentidos, mientras que las disonantes no. 17. Recomendado. Repita los cálculos hechos, en la guía anterior, pero para el caso de una deformación inicial (de la cuerda de longitud L) del tipo onda cuadrada, como la mostrada en la figura 13. Discuta sobre su realidad física. ¿Se excita el modo fundamental?. Discuta. Aproxime a la función cuadrada por su desarrollo de Fourier para diferentes ordenes, grafique la función aproximada y compare con la original. f(x)

Fig.13

A

L

x

2L

-A

Resp. donde

f( x) =

⎤ 4 A ⎡ ⎛ 2π ⎞ 1 ⎛ 2 π ⎞ 1 ⎛ 2π ⎞ ⎢sen⎜⎜ x ⎟⎟ + sen⎜⎜ x ⎟⎟ + sen⎜⎜ x ⎟⎟ + ....⎥ π ⎢⎣ ⎝ λ 1 ⎠ 3 ⎝ λ 3 ⎠ 5 ⎝ λ 5 ⎠ ⎥⎦

λ1 = 2L

λn =

y

λ1 n

18. Recomendado. Suponga que posee un generador de audio, cuya frecuencia de salida es posible variar, dentro de cierto rango. Suponga además que el generador tiene dos opciones, las cuales pueden seleccionarse por medio de una perilla, genera una onda sinusoidal o una onda cuadrada. Con el generador de audio desea excitar el modo resonante de un sistema masa2π resorte de frecuencia natural f 0 = = 60 Hz . ω0 a) Si el generador funciona en el modo sinusoidal, cual debería ser la frecuencia de salida para que el sistema masa-resorte resuene. Resp. f = f 0 = 60 Hz b) Muestre que si el generador entrega una onda cuadrada de frecuencia f f = 0 = 20 Hz el sistema masa-resorte resuena. Discuta. 3 Ayuda: Analice detenidamente el desarrollo de Fourier de una onda cuadrada dado en el problema anterior. Discuta.

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Bibliografía :

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