TEMA I.13 Ondas Estacionarias Longitudinales

Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronom´ıa Universidad de Guanajuato DA-UG (M´ exico) [email protected]

Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

TEMA I.13:

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Ondas Estacionarias Longitudinales

El fen´omeno de reflexi´on de onda, tambi´en se aplica a una onda en un fluido dentro de un tubo de longitud finita. Las ondas estacionarias en un fluido son ondas de sonido (Ej. voz humana o instrumentos de viento). Las ondas estacionarias en un fluido son desplazamientos del fluido o variaci´on de presi´on: modo de desplazamiento. El tubo de Kundt es un aparato para demostrar ondas longitudes en un gas y medir su velocidad (ver Figura I.13.01).

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Figura I.13.1: Tubo de Kundt para determinar la velocidad del sonido en un gas. Los N y A son los nodos y antinodos de desplazamiento. TEMA I.13:

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Ondas Estacionarias Longitudinales En este tubo, el polvo se acumula entre nodos separados de

λ 2.

Como la frecuencia f es conocida, podemos determinar la velocidad de la onda: ν = λ f . Las part´ıculas en ambos lados opuestos del nodo, vibran en oposici´on de fase. Como las part´ıculas se acercan, la presi´ on aumenta. En el nodo de desplazamiento, el gas experimenta compresi´ on y expansi´on m´axima (ver Figura I.13.2). Las part´ıculas en ambos lados opuestos a un antinodo de desplazamiento, vibran en fase. La distancia es constante y no hay variaci´on de presi´on. TEMA I.13:

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Figura I.13.2: Las part´ıculas en los lados opuestos de un nodo de desplazamiento vibran en oposici´ on de fase, creando un antinodo de presi´ on. TEMA I.13:

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Esto define un nodo de presi´ on: donde la presi´ on y densidad no var´ıan. El antinodo de desplazamiento es, por tanto, un nodo de presi´on. Y el nodo de desplazamiento, es un antinodo de presi´on. En el extremo de un tubo cerrado, el desplazamiento es cero, pero la presi´ on var´ıa de manera m´axima: nodo de desplazamiento = antinodo de presi´ on. En el extremo de un tubo abierto, el desplazamiento es m´aximo, pero la presi´ on no var´ıa: antinodo de desplazamiento = nodo de presi´on.

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Ondas Estacionarias Longitudinales Ejemplo: Altavoz direccional La frecuencia del altavoz es: f = 200 Hz. Dirigido a una pared, hay una distancia donde no se escucha nada. Esto se pasa en un antinodo de desplazamiento (ver Figura I.13.3). Como la pared debe ser un nodo de desplazamiento, la distancia entre nodo y antinodo de desplazamiento adyacente es λ4 . Usando ν = 344 m/s (a una temperatura de 20 o C ), deducimos la longitud de la onda: λ=

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344 m/s ν = 1.72 m = f 200 s −1

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Figura I.13.3: Si dirigimos una onda sonora a una pared, interfiere con la onda reflejada creando una onda estacionaria. TEMA I.13:

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La posici´on del pr´oximo antinodo de desplazamiento: El segundo antinodo ser´a a: d = El tercero: d =

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3λ 4

+

λ 2

=

5λ 4

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λ 4

+

λ 2

=

3λ 4

λ 4

=

1.72 m 4

= 0.43 m.

= 1.29 m

= 2.15 m

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Tubos de ´organos e instrumentos de viento

En un ´organo, un soplador, alimenta en aire a una presi´on de 103 Pa (10−2 atm) al extremo inferior de los tubos (ver Figura I.13.4). El corriente de aire entra por la abertura estrecha (boca) del tubo. La columna de aire vibra en el tubo a la frecuencia fundamental + arm´ onicos. Hay dos tipos de tubos: 1. extremo abierto: nodos de presi´ on 2. extremo tapado: antinodo de presi´ on

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Tubos de ´organos e instrumentos de viento

Figura I.13.4: Cortes seccionales de un tubo de ´ organo en dos instantes separados medio periodo. TEMA I.13:

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Tubos de ´organos e instrumentos de viento Tubo tapado

Tubo abierto f1 λn con n fn

=

ν 2L

(I.13.1)

f1

=

2L (I.13.2) n = 1, 2, 3, ...

λn

=

con n

=

=

nν 2L = n f1

=

fn (I.13.3)

ν 4L

(I.13.4)

4L (I.13.5) n 1, 3, 5, ...

nν 4L = n f1 =

(I.13.6)

Ver Figura I.13.5

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Tubos de ´organos e instrumentos de viento

Figura I.13.5: En el panel izquierdo corte seccionales de un tubo abierto que muestra los tres primeros modos normales. En el panel derecho corte seccionales de un tubo tapado que muestra los tres primeros modos normales. TEMA I.13:

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Tubos de ´organos e instrumentos de viento ´ Ejemplo: Organo Un d´ıa cuando νsonido = 345 m/s, la frecuencia fundamental de un ´organo con tubo tapado da: f1 = 220 Hz. La longitud del tubo es, por tanto: L=

345 m/s ν = = 0.392 m 4 f1 4 · (220 Hz)

La frecuencia del primero sobretono es f3 = 3f1 = 660 Hz y del segundo f5 = 5f1 = 1100 Hz. Para un tubo abierto, si λ es igual, por tanto, f es tambi´en igual y una frecuencia de 1100 Hz es la frecuencia del tercero arm´onico: TEMA I.13:

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Tubos de ´organos e instrumentos de viento Pero como f3 = 3f1 =

3ν 2L

= 1100 Hz ⇒ Labierto =

3·(345 m/s) 2·(1100 Hz)

= 0.470 m

En un ´organo siempre est´an presentes varios modos. Al igual que una cuerda vibrante, las ondas estacionarias son complejas en el tubo. Est´an ondas producen ondas viajeras con mismo contenido arm´onico. Los tubos estrechos producen ondas ricas en arm´ onicas superiores. Los tubos gruesos producen ondas principalmente del modo fundamental. El contenido arm´onico depende de la forma de la boca. TEMA I.13:

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Tubos de ´organos e instrumentos de viento Para un instrumento de viento, el principio es el mismo. En una flauta, al taparse y destaparse los agujeros con los dedos, se cambia la longitud L de la columna de aire y por tanto el tono. La flauta es similar a un tubo abierto. El clarinete es similar a un tubo tapado. Las frecuencias de cualquier instrumento de viento siempre son proporcionales a la velocidad del sonido νsonido . Como νsonido depende de la temperatura, los tonos de estos instrumentos var´ıan con la temperatura. En general, como νsonido ∝ Taire , el tono de un instrumento de viento aumentar´a con la temperatura. TEMA I.13:

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Tubos de ´organos e instrumentos de viento

Ejercicio: Calcular la frecuencia fundamental de un tubo de ´organo de 10 m de longitud que est´a (a) abierto por sus extremos y (b) cerrado por un extremo. Ejercicio: A 16o C la frecuencia fundamental de un tubo de ´organo es 440.0 Hz. ¿Cu´al ser´a la frecuencia fundamental de tubo si la temperatura aumenta a 32 o C? ¿Ser´ıa preferible construir el tubo con un material que se dilatara sustancialmente cuando aumente la temperatura o con un material que mantuviera su longitud a todas las temperaturas normales?

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