TEMA I.5 Velocidad de una Onda Transversal Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronom´ıa Universidad de Guanajuato DA-UG (M´ exico) [email protected]

Divisi´on de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta

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Ejercicio: Definir funciones de onda que contengan: a) κ y ν, b) λ y f , c) λ y T , d) f y ν, y e) ω y ν.

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Ejercicio: Demostrar expl´ıcitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuaci´on de onda: a) y (x, t) = (x + νt)3 ; √ b) y (x, t) = A e iκ(x−νt) , en donde A y κ son constantes e i = −1; c) y (x, t) = ln κ(x + νt). Ejercicio: Demostrar que la funci´ on y = A sen(κx)cos(ωt) satisface la ecuaci´on de onda.

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Velocidad de una Onda Transversal Derivando la funci´on de onda en funci´ on de t y manteniendo x = cte, deducimos la velocidad transversal de cualquier part´ıcula en una onda senosoidal en una cuerda.



∂y

νy =

∂t = +ω A sen(κx − ωt) y Esto implica que la velocidad m´axima ser´a: νy = ωA. Derivando una segunda vez deducimos la aceleraci´ on transversal: ay (x, y ) =

∂ 2 y (x, y ) = −ω 2 A sen(κx − ωt) ∂t 2 = −ω 2 y (x, t)

Este resultado es el mismo que el del MAS. TEMA I.5:

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Velocidad de una Onda Transversal Tambi´en podemos derivar en funci´ on de x, y manteniendo t = cte. ∂y ∂x = pendiente de la cuerda. 2 derivada ∂∂xy2 = curvatura de la onda.

Primera derivada Segunda

La raz´on de ambas es igual a: ∂ 2 y (x, t)/∂t 2 ω2 = = ν2 ∂ 2 y (x, t)/∂x 2 κ2 De esta relaci´on, deducimos la ecuaci´ on de onda: 1 ∂ 2 y (x, t) ∂ 2 y (x, t) = ∂x 2 ν 2 ∂t 2

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Deducci´on de la velocidad de una onda transversal La densidad de masa lineal se denota con µ, y tiene las siguientes unidades [µ] = kg m. Consideramos una cuerda perfectamente flexible (ver Figura I.5.1a). En la posici´on de equilibrio la tensi´ on es FT . Si aplicamos una fuerza constante Fy al extremo opuesto (en el extremo izquierdo de la cuerda, ver Figura I.5.1b). Una onda se formar´a, la cual viaja a una velocidad ν (en el sentido x > 0). Seg´ un el teorema impulso-cantidad de movimiento obtenemos: Fy t = mνy

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Deducci´on de la velocidad de una onda transversal

Figura I.5.1: Propagaci´ on de una onda transversal en una cuerda. (a) Cuerda en equilibrio; (b) parte de la cuerda en movimiento. TEMA I.5:

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Deducci´on de la velocidad de una onda transversal

A partir del teorema impulso-cantidad de movimiento se deduce que: Fy t = m νy [Fy t] = [m νy ] [Fy t] = [N · s] = [kg [Fy t] = [kg ·

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m · s] s2

m ] = [m · v ] s

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Deducci´on de la velocidad de una onda transversal En el instante t, el punto del extremo izquierdo tiene una altura νy t, y el frente de la perturbaci´on (en el punto P) ha avanzado una distancia νt. La fuerza total para estirar la cuerda (la tensi´ on aumenta un poco) tiene 2 las componentes FT y Fy , y una amplitud (FT − Fy2 ). Por lo tanto: νy t νy Fy = ≈ Fy = FT FT νt ν El impulso transversal es: Fy t = FT νy ν t. m La masa desplazada es m = µ · L = µνt ([m] = [ kg m · s · s] = [kg ]) de modo que la cantidad de movimiento transversal es mνy = µνtνy .

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Deducci´on de la velocidad de una onda transversal

Igualando esta expresi´on al impulso transversal obtenemos: FT

νy t = µνtνy ν

Deducimos la velocidad de la onda: s ν=

F µ

La velocidad de la onda (propagaci´ on de la perturbaci´on) aumenta con la tensi´on (la fuerza que restablece el equilibrio) y disminuye con la masa (la inercia).

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Ejemplo: Tensi´on en una cuerda I La densidad de masa es:

kg m ¿Para producir una velocidad ν = 12.0 m/s? ¿Qu´e tensi´on necesitamos? µ = 0.250

F = µν 2 = 0.250

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m 2 m kg  · 12.0 = 36.0 kg · 2 = 36.0 N m s s

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Velocidad de una Onda Transversal Ejemplo: Tensi´on en una cuerda II Una cuerda es tensada por un peso de 20.0 kg , dentro de un pozo que tiene 80.0 m de profundidad, y la masa de la cuerda es de 6.0 kg . El ge´ ologo abajo manda se˜ nales por la cuerda hacia su colega arriba a una frecuencia de f = 2.0 1/s. Ignorando la variaci´on de tensi´ on a lo largo de la cuerda. a) ¿Cu´al es la tensi´on de la cuerda? F = 20.0 kg · 9.8

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m = 196 N s2

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Figura I.5.2: Env´ıo de se˜ nales mediante ondas transversales en una cuerda vertical. TEMA I.5:

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Velocidad de una Onda Transversal b) ¿Cu´al es la masa por unidad de longitud de la cuerda? µ=

6.0 kg kg = 0.075 80.0 m m

c) ¿Cu´al es la velocidad con la que viaja la se˜ nal? s s F 196 N m = = 51.1 ν= kg µ s 0.075 m

d) ¿Cu´al es la longitud de onda? λ =

ν f

=

51.1 m/s 2.0 s −1

= 25.6 m

Si consideramos el peso de la cuerda, la rapidez aumentara (FT aumenta) y la longitud de onda aumentara (si no cambia la frecuencia). Podemos comprobar que la velocidad de la onda arriba es de ν = 58.3 m/s. TEMA I.5:

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Ejercicio: Tensi´on en una cuerda II Si en FT (0 m) = 192 N y en FT (80 m) = 255 N. Deducir una ecuaci´on para la tensi´on de la siguiente forma FT (x) = a · x + b.

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