CAPITULO 6 DISEÑOS FACTORIALES 2K 6.1 Generalidades Los diseños factoriales 2K son una clase especial de los diseños factoriales en los que se tienen k factores de interés a dos niveles cada uno. Son especialmente útiles en las etapas iniciales de la investigación para determinar, de un gran número de factores candidatos, cuales son los que realmente influyen sobre la variable respuesta. Se llaman diseños factoriales 2k porque se quiere investigar la forma como influyen k factores sobre una variable respuesta y en cada factor se consideran dos niveles solamente. La réplica completa de un diseño de este tipo requiere 2 x 2 x… x 2 = 2k observaciones y recibe el nombre de diseño factorial 2k. El diseño 2k son muy útiles en las primeras etapas del trabajo experimental, cuando se investiguen muchos factores pero, probablemente todos ellos no influyen realmente sobre la variable respuesta. Esto diseño proporciona el número más pequeño de corridas para estudiar simultáneamente k factores en un diseño factorial completo. Dado que sólo existen dos niveles para cada factor, es necesario suponer que la respuesta es aproximadamente lineal sobre el rango de los niveles seleccionados para el factor. Así, este tipo de diseño experimental es la forma más económica de estudiar el efecto combinado de k factores. Los niveles de cada factor pueden ser cualitativos o cuantitativos y se denotan como Alto y Bajo o mas (+) y menos (-). A continuación se enumeran algunas de las razones por las cuales se estudian los diseños factoriales 2k por separado: •

Es la forma más económica y barata de estudiar el efecto de k factores de interés sobre una variable respuesta.

•

Existen procedimientos especiales que simplifican los cálculos matemáticos en los diseños 2k

•

Los diseños 2k se pueden fraccionar. Esta característica permite correr solo una fracción (la mitad, la cuarta parte, etc) del diseño completo y responder algunas inquietudes del fenómeno que se estudia.

•

Constituyen la base de otros diseños más complejos que se verán más adelante en el curso.

•

El modelo de regresión lineal para un diseño 2k es muy fácil de obtener a partir del ANOVA. Esto se verá detalladamente más adelante.

6.1.1 Definiciones y diseño 22 Es el tipo más sencillo de diseño experimental 2k. En este diseño se tienen dos factores A y B, cada uno con dos niveles. Lo usual es considerar estos niveles como los niveles bajo y alto del factor. El diseño 22 se suele representar por un cuadrado como el que se ilustra en la Figura 6.1

b

ab

Alto (+)

Bajo (-)

(1) Bajo (-)

a Alto (+)

Figura 6.1 Representación geométrica del diseño 22

A esta representación se le conoce como representación geométrica del diseño 22. Es esta representación, cada vértice del cuadrado corresponde a una combinación diferente de tratamientos (niveles) en el diseño factorial. En la Figura 6.1 se aprecia una notación especial para etiquetar las combinaciones de tratamiento en el diseño 22. Esta notación de letras minúsculas se utiliza, en general, para todos los diseños 2k y se conoce como notación de Yates. Si una letra está presente, el factor correspondiente se corre con el nivel alto en dicha combinación de tratamiento; si está ausente, el factor se corre con su nivel bajo. Por ejemplo, la combinación de tratamiento a indica que el factor A está en el nivel alto, y el factor B en el nivel bajo. La combinación de tratamiento donde ambos factores tienen el nivel bajo está representado por (1). Esta notación se emplea en todas las series de diseños 2k. Por ejemplo, la combinación de tratamiento en un diseño 24 con A y C en el nivel alto, y B y D en el nivel bajo, se denota por ac. Los efectos de interés en el diseño 22 son los efectos principales A y B, y la interacción entre los dos factores AB. Si suponemos que las letras (1), a, b y ab representan los totales de todas las n observaciones tomadas en los puntos de diseño, es sencillo estimar los efectos de estos factores. Para estimar el efecto principal de A, se promedian las observaciones del lado derecho del cuadrado de la Figura 6.1, donde A

tiene el nivel alto, y se resta de éste el promedio de las observaciones que están en el lado izquierdo del cuadrado, donde A tiene el nivel bajo, o

A = y A+ − y A− =

a + ab b + (1) 1 − = [a + ab − b − (1)] 2n 2n 2n

(6-1)

De igual forma, el efecto principal de B se obtiene al promediar las observaciones de la parte superior del cuadrado, donde B tiene el nivel alto, y se resta de éste el promedio de las observaciones que están en la parte inferior del cuadrado, donde B tiene el nivel bajo:

B = y B+ − y B− =

b + ab a + (1) 1 − = [b + ab − a − (1)] 2n 2n 2n

(6-2)

Finalmente, la interacción AB se estima tomando la diferencia en los promedios de la diagonal de la Figura 6.1, o

AB =

ab + (1) a + b) 1 = − [ab + (1) − a − b] 2n 2n 2n

(6-3)

Debido a que la cantidad dentro de corchetes cuadrados en las ecuaciones (6-1), (6-2) y (6-3) aparece con frecuencia en los diseños 22, resulta conveniente hacer las siguientes definiciones:

Contraste A = [a + ab − b − (1)]

(6-4)

ContrasteB = [b + ab − a − (1)]

(6-5)

Contraste AB = [ab + (1) − a − b]

(6-6)

La manera practica de calcular los contrastes de cualquier efecto (principal o de interacción) es a partir de la tabla de signos. Esta tabla, para el diseño 22 se muestra a continuación:

A

B

AB

Notación de Yates

-

-

+

(1)

+

-

-

a

-

+

+

b

+

+

-

ab

Tabla 6.1 Tabla de signos para el diseño 22 y notación de Yates

Observe que la tabla de signos (Tabla 6.1)

que la interacción AB se obtiene

multiplicando la columna con los signos de A por la columna con los signos de B y, el resultado son los signos del contraste AB [ver ecuación (6-6)].

Para generar un

contraste a partir de esta tabla, se multiplican los signos de la columna apropiada de la Tabla 6.1 por las combinaciones de tratamientos que aparecen en la columna de notación de Yates, y luego se suma. Por ejemplo, contrasteAB = [(1)] + [-a] + [-b] = ab + (1) – a – b. Los contrastes se emplean en el cálculo de las estimaciones de los efectos y en las sumas de cuadrados de A, B y la interacción AB. Las fórmulas para las sumas de cuadrados son

SC A

2 2 [ a + ab − b − (1)] [ Contraste A ] = =

(6-7)

[b + ab − a − (1)]2 = [ContrasteB ]2

(6-8)

SC B =

4n

SC AB =

4n

4n

4n

[ab + (1) − a − b]2 = [ContrasteAB ]2 4n

4n

(6-9)

Para los diseños 22, tal vez no se ve muy útil la tabla de signos. Sin embargo, en la medida que aumenta la cantidad de factores en el diseño 2k, la utilidad de la tabla de signos se hace más evidente. El Análisis de Varianza para el diseño 22 se completa con la suma de cuadrados totales:

2

2

n

SCT = ∑∑∑ yijk2 − i =1 j =1 k =1

y•2•• 4n

Y la suma de cuadrados de los errores que se obtiene por diferencia:

(6-10)

SCE = SCT − SC AB − SC A − SCB

(6-11)

El ANOVA completo para el diseño 22 se muestra en la Tabla 6.2 a continuación:

Fuente de Variación

Factor A

Factor B

Interacción AB

Grados de

Suma de Cuadrados

libertad

Media de

F0

cuadrados

Valor P

SC A =

[a + ab − b − (1)]2 = [Contraste A ]2

1

MC A =

SC A 1

F0 =

MC A MC E

Probabilidad

SC B =

[b + ab − a − (1)]2 = [ContrasteB ]2

1

MC B =

SC B 1

F0 =

MC B MC E

Probabilidad

SC AB =

[ab + (1) − a − b]2 = [Contraste AB ]2

1

MC AB =

SC AB 1

F0 =

MC AB MC E

Probabilidad

MC E =

4n

4n

4n

4n

4n

4n

Error

SCE = SCT − SC AB − SC A − SCB

4(n-1)

Total

y•2•• SCT = ∑∑∑ y − 4n i =1 j =1 k =1

4n-1

2

2

SC E 4(n − 1)

n

2 ijk

Tabla 6.2 Tabla ANOVA para un diseño factorial 22

6.1.2 Diseño 23 En los diseños factoriales 23 se tienen tres factores de interés A, B y C a dos niveles cada uno. Las ocho corridas o tratamientos del diseño 23 se pueden representar geométricamente como un cubo similar al que se muestra en la figura siguiente:

bc

abc

c Alto +

ac

Factor C

b ab

Alto + Factor B

Bajo −

Bajo − a

(1) − Bajo

Factor A

+ Alto

Figura 6.2 Representación geométrica del diseño 23

Cada arista del cubo corresponde a una corrida o combinación de tratamientos diferente. En la Figura 6.2 también se puede apreciar la notación de Yates para los diseños 23, en esta notación las ocho corridas se representan por (1), a, b, ab, c, ac, bc y abc. Al igual que el los diseños 22, el efecto principal A puede estimarse promediando las cuatro combinaciones de tratamiento de la cara derecha del cubo, donde el nivel A es alto, y después restando de esta cantidad el promedio de las cuatro combinaciones de tratamientos que están en la cara izquierda del cubo, donde A tiene el nivel bajo. Al hacer esto se tiene:

A = y A+ − y A−

a + ab + ac + abc (1) + b + c + bc − 4n 4n 1 [a + ab + ac + abc − (1) − b − c − bc] = 4n

=

(6-12)

De manera similar, el efecto de B se puede determinar como la diferencia en promedios entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara posterior del cubo (Figura 6.2) y las cuatro combinaciones de la cara anterior. Con esto se tiene que

B = y B+ − y B− =

1 [b + ab + bc + abc − (1) − a − c − ac] 4n

(6-13)

El efecto de C es la diferencia en la respuesta promedio entre las cuatro combinaciones de tratamientos de la cara superior del cubo (Figura 6.2) y las cuatro de la cara inferior, esto es,

C = y C+ − y C− =

1 [c + ac + bc + abc − (1) − a − b − ab] 4n

(6-14)

Los efectos de interacción también se pueden obtener con facilidad. La interacción entre A y B se puede obtener como la diferencia entre los promedios de los efectos de A en los dos niveles de B. Es decir:

Efecto de A promedio B alto (+)

EfectoAPara B + =

B bajo (-)

EfectoAPara B − =

[(abc − bc ) + (ab − b )] 2n

{(ac − c ) + [a − (1)]} 2n

Luego la interacción entre A y B es:

AB =

EfectoAPara B + − EfectoAPara B − [abc − bc + ab − b − ac + c − a + (1)] = 2 4n

(6-15)

De manera analoga se pueden obtener la interacción AC y BC

AC =

EfectoAPara C + − EfectoAPara C − [(1) − a + b − ab + c − ac + bc − abc ] = 2 4n

(6-16)

BC =

EfectoBPara C + − EfectoBPara C − [(1) + a − b − ab − c − ac + bc + abc ] = 2 4n

(6-17)

En la Figura 6.3 se ilustra gráficamente los terminos involucrados en el cálculo de los efectos principales y de interacción en un diseño factorial 23.

bc c

ac

−b

+

abc

ac

+

b

ab

ab

− a

(1)

a

(1)

abc

+

c

ac

−b

ab

a

(1)

bc

bc

abc c

Efectos principales A, B y C bc

bc

bc

abc

abc c

+

(1)

−

ac

b

c

ac

+

−

b

ab a

+

abc

ac

− b

ab (1)

a

(1)

+

c

ab a

Interacciones de dos factores: AB, AC y BC bc c

ac b

(1)

abc Corridas − Corridas + ab

a

Interacción de tres factores Figura 6.3 Calculo de los efectos principales y de interacción en un diseño 23

La Figura 6.3 muestra los vértices del cubo (tratamientos) que deben ir positivos y/o negativos para el cálculo de cada efecto. Estos signos concuerdan con los obtenidos anteriormente en las ecuaciones de la (6-12) a la (6-17) y los que se verán más adelante en la tabla de signos que se verá más adelante (Tabla 6.4).

Finalmente, la interacción ABC se obtiene como:

ABC=

[abc-bc -ac+c-ab+b+a-(1)] 4n

(6-18)

A pesar de que para los diseños factoriales 22 y 23 se puede representar geométricamente en un cuadrado y un cubo respectivamente, el cálculo de los contrastes y de los efectos se puede obtener más fácilmente a partir de la tabla de signos mostrada a continuación:

Tratamiento 1 2 3 4 5 6 7 8

Yates (1) a b ab c ac bc abc

A + + + +

B C AB AC BC ABC - - + + + - - + + + - + + + - + - + + + + - + + + + + + + + + + -

Tabla 6.3 Tabla de signos para el diseño 23 y notación de Yates

En la tabla de signos (Tabla 6.4) se puede obtener con facilidad los signos para los contrastes de interacción, multiplicando las columnas adecuadas de los efectos principales. Así, por ejemplo, la columna con los signos de interacción AC se puede obtener multiplicando la columna de A con la columna C renglón a renglón. Y el contraste AC, resulta simplemente de multiplicar la columna de Yates en la Tabla 6.4 por la columna de signos AC:

Contraste AC = [(1) − a + b − ab + c − ac + bc − abc ]

(6-19)

La suma de cuadrados y efectos para la construcción del ANOVA se pueden obtener a partir de las formulas:

Efecto =

SC =

Contraste 4n

(Contraste)2 8n

(6-20)

(6-21)

6.1.3 Diseño 2k Después de tratar los diseños 22 y 23 con cierto detalle, nos proponemos a explicar el caso general de los diseños 2k. En estos diseños, tenemos k factores de interés. La tabla de signos (para k ≤ 6) se muestra a continuación:

Tratamiento Yates 1 (1) 2 a 3 b 4 ab 5 c 6 ac 7 bc 8 abc 9 d 10 ad 11 bd 12 abd 13 cd 14 acd 15 bcd 16 abcd 17 e 18 ae 19 be 20 abe 21 ce 22 ace 23 bce 24 abce 25 de 26 ade 27 bde 28 abde 29 cde 30 acde 31 bcde 32 abcde

A + + + + + + + + + + + + + + + +

B + + + + + + + + + + + + + + + +

C + + + + + + + + + + + + + + + +

D + + + + + + + + + + + + + + + +

E + + + + + + + + + + + + + + + +

F -

Tratamiento 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64

Yates f af bf abf cf acf bcf abcf df adf bdf abdf cdf acdf bcdf abcdf ef aef bef abef cef acef bcef abcef def adef bdef abdef cdef acdef bcdef abcdef

A + + + + + + + + + + + + + + + +

B + + + + + + + + + + + + + + + +

C + + + + + + + + + + + + + + + +

D + + + + + + + + + + + + + + + +

E + + + + + + + + + + + + + + + +

Tabla 6.4 Tabla de signos para el diseño 2k k≤ 6 y notación de Yates

En la tabla de signos (Tabla 6.4 ) muestra un patrón de construcción bien definido: la columna del primer factor, A inicia alternando los signos más (+) y menos (-) iniciando con el signo menos; la segunda columna alterna dos signos menos con dos signos más, iniciando con dos signos menos; la tercera columna (la de C) alterna 4 signos menos con 4 signos más iniciando con 4 signos menos, y así sucesivamente.

En general, el procedimiento para hallar un contraste es el mismo que se empleo para los diseños 22 y 23. Por ejemplo, si se tienen 4 factores de interés en un diseño 24 se toman las 6 primeras columnas de la Tabla 6.4 para obtener la siguiente tabla:

F + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Tratamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Yates (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd

A + + + + + + + +

B + + + + + + + +

C + + + + + + + +

D AB + + + + + + + + + + + + + + + +

Tabla 6.5 Tabla de signos para el diseño 24

Si se desea el contraste AB, simplemente se multiplican los signos de la columna A por los signos de la B renglón a renglón y posteriormente el resultado de esta columna se multiplica por la columna de Yates. El resultado final es el siguiente:

Contraste AB = [(1) − a − b + ab + c − ac − bc + abc

(6-22)

+ d − ad − bd + abd + cd − acd − bcd + abcd ]

De la misma forma se pueden obtener los demás contrastes para el cálculo de efectos [Ecuación (6-23)] y la suma de cuadrados [Ecuación (6-24)]

para el Análisis de

Varianza.

Efecto =

SC =

Contraste n 2 k −1

(Contraste )2 n2 k

(6-23)

(6-24)

6.1.4 Modelo de Superficie de Respuesta para un diseño 2k Un aspecto interesante de los diseños factoriales 2k es que si se codifican las variables al intervalo [-1,1] entonces, se puede obtener el modelo de regresión correspondiente con relativa facilidad. Consideremos por ejemplo el diseño 22. En este diseño se tienen

dos efectos principales, A y B

y la interacción AB. El modelo de regresión

correspondiste es:

y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + β12 x1 x2

(6-25)

Donde x1 representa el factor A, x2 representa el factor B, y el producto entre x1 y x2 representa la interacción entre A y B. Los parámetros del modelo de regresión, β 1, β 2, β 12 se pueden demostrar que son iguales a la mitad de las estimaciones de los efectos

correspondientes, mientras que β 0 es igual a la gran media. En general, se tiene que:

Cualquier Parámetro en el modelo de Regresión =

Efecto en ANOVA 2

(6-26)

Y

β 0 = gran promedio = promedio de todas las observaciones

(6-27)

Se debe recordar que los valores de las variables en el modelo de regresión están codificadas al intervalo [-1, 1]. Esto quiere decir que si se quiere expresar el modelo en las unidades en las que realmente se mide la variable se debe hacer la transformación correspondiste. Esta transformación se ilustra en la figura siguiente:

Factor en escala normalizada

+1

Bajo

Factor en Alto

escala real

-1

Figura 6.4 Transformación usada para encontrar el modelo de regresión en un diseño 2k

Esto nos lleva a la ecuación de transformación:

xcod . =

2 x real − Bajo − Alto Alto − Bajo

(6-28)

La cual se puede utilizar para obtener el modelo de regresión en las unidades originales en las que se miden los factores de interés. Esto transforma la ecuación (6-25) en el modelo:

 2 x A − ABajo − AAlto y = β 0 + β1   AAlto − ABajo   2 x A − ABajo − AAlto + β12   AAlto − ABajo 

  2 x − BBajo − B Alto  + β2  B   B −B Alto Bajo  

 2 x B − BBajo − B Alto   B − B Alto Bajo 

 +  

   

(6-29)

Sin embargo, siempre se prefiere trabajar el modelo con las variables codificadas (en el intervalo [-1,1])

Si los factores son cuantitativos, el modelo de regresión, se puede utilizar, con toda confianza, para predecir el valor de la variable respuesta para cualquier punto entre -1 y 1 (si el factor o variable está codificado) o desde el valor bajo al alto si la variable o factor no está codificado. Es decir, el modelo de regresión se puede utilizar para interpolar cualquier valor intermedio de la variable respuesta sin problemas pero no se debe utilizar para extrapolar.

6.1.5 Proyección de diseños factoriales 2k Cualquier diseño 2k se contrae o se proyecta sobre cualquier otro diseño 2k con menos variables si se omiten uno o más de los factores originales. En ocasiones, esto puede proporcionar un conocimiento adicional de los demás factores. Si algún factor en un diseño factorial 2k no es significativo y todas sus interacciones son despreciables, entonces puede descartarse del experimento convirtiendo el diseño en un diseño 2K−1. En este caso se dice que el diseño 2k se ha proyectado en un diseño 2k−1 con el doble de réplicas denominadas réplicas ocultas. En general, si se tiene una sola réplica en un diseño 2K y si h (h