CAPITULO 7 LUGARES GEOMETRICOS

7.1 INTRODUCCION Si tenemos elementos que pueden variar sus valores en un circuito, ya sea una resistencia una reactancia o la frecuencia de la señal de entrada, las respuestas impedancia, torsión o control del circuito variarán. Cuando analizamos a la impedancia compleja Z ; la cual es dependiente en su modulo de la frecuencia ya que esta puede aumentar o disminuir la parte imaginaria de la impedancia. Por ejemplo:

Z  R  jX L  X L  jWL , si 0  W    R  Z   De ahí también observamos que cuando mayor sea la velocidad angular (W) la reactancia inductiva predominará comportándose en forma inductiva pura cuando

X L  R

W   y para esta frecuencia   90 concluimos que: 

Z  f (W ) la impedancia es una función de la frecuencia. Figura 1

Entonces observamos que las respuestas irán tomando diferentes valores según se varíe uno de los elementos. Para la figura 2 se tiene una resistencia variable de desplazando el fasor tensión sobre una curva.

0  R   . Vamos a representar en forma fasorial como se va

XC

Figura 2

191

Podemos ver el comportamiento del circuito que al variar la resistencia desde cero hasta esta se va incrementando y la tensión sobre

R   el valor de la tensión sobre

X C va disminuyendo, y vemos como el punto A se desplaza sobre la curva de la

semicircunferencia hasta cuándo R   que el circuito se comporta como resistivo puro cayendo toda la tensión de la fuente sobre la resistencia variable.

7.2 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS IMPEDANCIAS Y ADMITANCIAS PARA R VARIABLE a)

Para la impedancia: Z  R  jX , como la reactancia es fija, es decir tendrá un solo punto sobre el eje imaginario, el par ordenado (R, X) que representa a la impedancia se irá desplazando sobre la recta paralela al eje de las abscisas (real) así tendremos una idea más general del comportamiento de la impedancia cuando 0  R   y para sus valores limites R  0  Z  jX  R   Z  R

W =constante jX =constante 0 R

b)

Para las admitancias: debemos tener en cuenta que las escalas de la admitancia es diferente a la escala con que hemos graficado el lugar geométrico de las impedancias.

Z  R  jX

Y



Y  G  jB

1 ………. (1) R  jX

A partir de la ecuación (1) podemos obtener los valores limites para la grafica de las admitancias

R  0Y 

1 1 j jX X

y cuando

R Y  0

192

Sería muy tedioso si comenzamos a trabajar punto por punto por lo que haremos las siguientes operaciones hasta encontrar una expresión adecuada que me represente al conjunto de todos los valores de las admitancias.

*

1 Y Z  Z  * Y YY G B   Z  R  jX  2  j 2 2 2  G B  G B  B B X  2  G2  B2   0 2 G B X

2

Lugar geométrico de las impedancias

2

B  1   1  2 B      G  0 X  2X   2X 

Lugar geométrico de las

2

admitancias

2

1    1  2 B  G    2X    2X  7.3 LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS ADMITANCIAS E IMPEDANCIAS PARA X AJUSTABLE

Z  R  jX Igual que el caso anterior Cuando X Cuando

0

0  X   , solo que ahora el elemento a variar es la reactancia de cero a infinito

Z  R resistivo

X   Z  inductivo

Aquí R permanece constante junto con la frecuencia, solo estamos variando es el valor de la inductancia o del capacitor. El lugar geométrico de las impedancias será la línea paralela al eje de las ordenadas (Im). El segmento de la recta positiva representa para todas las soluciones en que Z es inductivo y el segmento de recta negativo en el que la impedancia se comporta capacitivamente Para el caso de la admitancia que es la inversa de la impedancia compleja, por lo tanto a partir de la expresión Y 

1 encontramos los valores Z

mínimos y máximos.

Y

1 R  jX

1 R

X 0

Y

X 

Y 0

193

Para encontrar todos los puntos del lugar geométrico, trabajamos:

Z

1 G B    2  j 2  R  jX 2 2  Y G B  G B 

Como R es constante

R

G G  G2  B2   0 2 G B R 2

2

2

G  1   1  2 G      B 0 R  2R   2R  2

2

1    1  2  G   B   2R    2R 

X 

2

X 0

Podemos observar que el lugar geométrico de las admitancias es un semicírculo de radio

1 2R

Podemos observar que el lugar geométrico para los casos analizados impedancia y admitancia hay una transformación de un segmento de recta en el eje positivo o negativo a una semicircunferencia situada en el eje negativo y positivo respectivamente.

7.4 ADMITANCIA EN FUNCIÓN DE LA VARIACIÓN A SUS ELEMENTOS En los siguientes gráficos se puede ver que los ejes cartesianos son G y B, en la cual podemos determinar el lugar geométrico de la admitancia. Hay dos casos: con resistencia variable y reactancia variable. Con resistencia variable. En el circuito que se representa en la figura N° 3, se observa con una impedancia con resistencia variable la cual se convierte a admitancia.

Figura N° 3.Circuito de impedancia a admitancia

194

Sabemos: Z= Entonces:

Z = R + JX … (α) Y = G + JB … (β)

De (α)y (β):

G B R + JX = ( ) − J( ) G +B G +B

Racionalizando e igualando las partes reales e imaginarias, tenemos: G … (I) G +B X=− … (II) R=

De la ecuación (II)

B G +B =− X B G +B + =0 X

Dando forma:

B 1 1 + = X 2X 2X 1 1 G + B+ = 2X 2X

G +B +

Bueno llegamos a una ecuación de una circunferencia de Despejando B: B=  Si:

1 2X

−G −

1 2X

Para una impedancia inductiva: Z⃗ = Zθ G = 0 → B = 0 o′ B = − G=

→B=−

195

Grafico N° 3. Admitancia con comportamiento inductivo en resistencia variable



Si:

Para una impedancia capacitiva: Z⃗ = Z−θ G=0 →B=0 ; B= G=

→B=

;

Grafico N° 4. Admitancia con comportamiento capacitivo en resistencia variable

196

Con Reactancia variable: En el circuito que se representa en la figura N° 4, se observa con una impedancia con reactancia variable la cual se convierte a admitancia.

Figura N° 4.Circuito de impedancia a admitancia Ahora trabajamos con la ecuación (I): Dándole forma:

Entonces:

Llegamos a una ecuación de circunferencia de radio Despejando:



Para una impedancia inductiva:

Si:

197

En el plano Y⃗:

Grafico N° 5. Admitancia con comportamiento inductivo en reactancia variable



Para una impedancia capacitiva Z⃗ = Z−θ Si:

B=0 →G=

B=

→G=

yG= 0

Grafico N° 5. Admitancia con comportamiento capacitivo en reactancia variable

198

LUGARES GEOMETRICOS PROBLEMAS RESUELTOS PROBLEMA N° 01 Encontrar el lugar geométrico de las impedancias y admitancias para el circuito mostrado:

Resolución: Podemos observar que cuando el valor de la resistencia va de cero a infinito la admitancia toma sus valores límites, siendo una línea paralela a las abscisas su lugar geométrico, de lo estudiado anteriormente podemos decir que su lugar geométrico de las impedancias será un semicírculo en el eje negativo

0R Z

1 1  Y 1  jWC R 1 Y   jWC  G  jB R

PROBLEMA N°02 En el siguiente circuito determine usted si existe algún valor de

RL para la condición de resonancia, además trazar el lugar

geométrico de admitancia del circuito.

199

Resolución: Para la rama R-C es una admitancia de valor fijo que podemos representarla en el plano complejo como un vector cuyo modulo y argumento lo podemos calcular

Z1  4  5 j

Fijo

Y  0.0975  0.122 j

Y1  0.156 51.34º Para la rama R-L como R varia su lugar geométrico de las admitancias será un semicírculo de radio 0.05 y este se calcula cuando R = 0

Y1

Y2

0.122

Lugar geométrico de las admitancias

jB

0.05

1 R  j10  1  Es una semicircunferencia de radio    2X  1   j 0.05 20 Z 2  R  j10 Variable Y2 

0.05

YT  Y1  Y2

YT 51.34º 0.0975

0.022 G

Como no hay cruce con el eje real no hay resonancia ¿Qué es la resonancia? Se denomina resonancia de un circuito serie o paralelo cuando la reactancia de la impedancia total se anula es decir que el circuito se comporta resistivo puro.

Z  R  jX  R  jX  0 Esto se da para una determinada frecuencia o cuando se varia uno de los elementos del circuito. Es decir, el circuito esta en fase y se dice que tiene un factor de potencia unitario. PROBLEMA N° 03 Del circuito de la figura se pide: Dibujar el diagrama de impedancias a los terminales A-B del circuito. Para que condiciones el circuito tiene un factor de potencia unitaria.

200

Resolución: La impedancia 1 tiene un valor fijo y la podemos representar en el plano en el eje positivo superior, en cambio la impedancia 2, su lugar geométrico es un semicírculo de radio

RC 2

Z total  Z 1  Z 2 Z 1  R  jX L Z2 1 Y2   jWC RC

Para

las condiciones para que el circuito sea resonante usted debe analizar del gráfico y sacar sus conclusiones

PROBLEMA N° 04 Trazar el lugar geométrico de la intensidad de corriente que circula por el circuito mostrado y hallar el valor de RC para el que diferencia de fase entre V e I sea 45⁰.

Resolución: La admitancia de la rama fija es de 1/R=0.1. El diámetro de la semicircunferencia del lugar geométrico de la rama RC será en Rc=0 es decir D=1/|XC| y el radio:

El grafico será:

201

Diagramas del lugar geométrico

Se observa que la intensidad esta adelantada respecto a la tensión un ángulo de 45⁰ en le que los putos real e imaginario de Yt deben ser iguales:

punto indicado esto significa

De:

De donde: RC=2Ω

PROBLEMA N° 05 El circuito de la fig. Debe resonar a 455KHz. Para este caso el valor de X, impedancia del circuito, el factor de calidad y además tiene un lugar geométrico de la admitancia con escala adecuada.

Resolución: 202