Capítulo 7 Números Reales Desigualdades e Inecuaciones 7.1 Números reales. Suponemos la existencia de un conjunto ‘ a cuyos elementos se llaman números reales Axiomas de suma En ‘, se define una operación que se llama suma que verifica a Bß C , D reales arbitrarios los siguientes axiomas: S"

ÐB  CÑ − ‘

S#

BC œCB

S$ S%

B  aC  D b œ aB  C b  D

El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 0 y que verifica B  ! œ B

S&

El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por  B y que verifica B  a  Bb œ !

Axiomas de multiplicación Análogamente, en ‘ definimos una segunda operación llamada multiplicación que verifica a Bß C y D reales arbitrarios los siguientes axiomas: M"

aB Cb − ‘

BC œ CB

M#

B aC D b œ aB Cb D

M$

El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por " y

M%

que verifica B " œ B El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por B" con B Á ! y que verifica B B" œ "

M&

Axioma de distribución Para todo Bß C y D reales arbitrarios se tiene

B aC  D b œ B C  B D

Nota 1. Asi ‘, con estas operaciones definidas y axiomas constituye un cuerpo. A partir de estos axiomas se fundamentan los reglas del álgebra elemental de reales, que expondremos a continuación como teoremas.

Teorema 1 1)

El elemento neutro 0 es único.

2)

El opuesto Ð  BÑ para cada real Bß es único.

4)

Si B  D œ C  D Ê B œ C

5)

Dados Bß C existe un único D tal que B  D œ Cß el cual se acostumbra a

3) El opuesto de Ð  BÑ es Bß es decir  a  Bb œ B

denotar D œ C  B 6)

B a  Cb œ  aB Cb œ a  Bb C

() B aC  D b œ B C  B D )) ! B œ !

*) B C œ ! Ê B œ ! ” C œ ! "!Ñ El elemento neutro " es único 11) El inverso B" de B Á ! es único 12) El inverso de B" es Bß es decir ÐB" Ñ" œ B "$Ñ Si B D œ C D Ê B œ C 14) Dados Bß C existe un único D tal que B D œ Cß el cual se acostumbra a denotar por

C B

o C B" con B Á !

15) a Bß C Á ! à aB C b" œ B" C " 16) a Bß C Á ! à Š BC ‹

"

œ

C B

17) a B Á ! à a  Bb" œ  ÐB" Ñ œ  B" Nota 2. Algunas de las demostraciones de este teorema se encuentran en ejercicios resueltos y el resto se dejan como ejercicios propuestos.

7.2 Orden en los realesÞ Sea un ‘ un subconjunto de ‘ llamado conjunto de los reales positivos, cuyos elementos satisfacen los siguientes axiomas

Axiomas de orden ! Á ‘

O"

a Bß C − ‘ ß ÐB  CÑ − ‘ y aB C b − ‘

O#

a B − ‘ß con B Á ! à B − ‘ ”  B − ‘

O$

Teorema 2 1)

" − ‘ Ð ‘ Á gÑ

#Ñ ‘ Á g $Ñ !  ‘ %Ñ ‘  ‘ œ g &Ñ ‘  Ö!×  ‘ œ ‘ Observe que &Ñ garantiza que cada real es: negativo, nulo o es positivo es decir a B − ‘ À B − ‘  ” B œ ! ” B − ‘ Nota 3. Algunas de las demostraciones del teorema 2 se encuentran en ejercicios resueltos y el resto se dejan como ejercicios propuestos

Definición 1. a Bß C − ‘ se definen las relaciones; "  "(mayor que), "  "(menor que), "   "(mayor o igual que) y "  "(menor o igual que) por: i)

B  C Í aB  Cb − ‘

ii) B  C Í C  B

iii) B   C Í aB  Cb − ‘ ” aB œ C b iv) B Ÿ C Í C   B

Observación 1. A partir de los axiomas de orden y de la definición 1 se derivan todas las reglas para operar con desigualdades, las cuales se expondran en el teorema 3. Teorema 3

"Ñ a Bß C − ‘ se tiene una y solo una de las siguientes relaciones: BC ” BœC ” BC 2)

Si B  C • C  D Ê B  D

$Ñ

BC ÍBD CD

4)

Si B  C • D  ! Ê B D  C D

&Ñ

Si B  C • D  ! Ê B D  C D

'Ñ Si B Á !, a B − ‘ß Ê B#  ! (Ñ Si B C  ! Ê ÐB  ! • C  !Ñ ” ÐB  ! • C  !Ñ )Ñ Si B  C • D  A Ê B  D  C  A 9)

Si B  ! Ê B"  !

10) Si B  C  ! Ê C"  B" ""Ñ Si B  C  ! • D  A  ! Ê B D  C A 12) a Bß C − ‘ se tiene À B#  C #   # B C 13) Si B  Cß existe D − ‘ß tal que B  D  C "%Ñ Si B   C • C   B Ê B œ C

Nota 4.

Algunas de las demostraciones del teorema 3 se encuentran en ejercicios resueltos y el resto se dejan como ejercicios propuestos Tambien hacemos notar que ahora el cuerpo de los reales, es ordenado. Desigualdades notables I. QE   QK   QL Ô " 8 B B † † † B È " # 8   8 aB"  B#  † † †  B8 b  

8

" " " B"  B# ††† B8

II. De Cauchy-Schwarz Si +" ß +# ß Þ Þ Þ ß +8 y ," ß ,# ß Þ Þ Þ ß ,8 son números reales arbitrarios, entonces # # Œ ! +5 Œ ! ,5    Œ ! +5 ,5  8

8

8

5œ"

5œ"

5œ"

#

Valor absoluto

El valor absoluto o módulo de un número real B se define por Ú

B si B  ! ! si B œ ! lBl œ Û Ü  B si B  ! Teorema 4.

a Bß C − ‘ , se tiene: 1)

lBl   !

2)

lBl=l  Bl

3)

lBl# œ lB# l œ B#

4)

lBCl œ lBllCl

5)

¸ B ¸ œ llBCll ß a C Á ! C

6)

lBl Ÿ +ß +  ! Í  + Ÿ B Ÿ +

7)

lBl   + Í B Ÿ  + ” B   +

8)

lB  Cl Ÿ lBl  lCl

Nota 5. Como es habitual algunas de las demostraciones del teorema 4 se encuentran en ejercicios resueltos y el resto se dejan como ejercicios propuestos.

7.3. Ejercicios Resueltos. 1. Si +  , œ ! • +  - œ ! Ê , œ Demostración.

Por S$ y S# se tiene À ,  a+  - b œ a,  +b  - Ê ,  a+  - b œ a+  , b  de donde utilizando las hipótesis dadas ,  ! œ !  - Ê , œ -

2. Demuestre que si B  + œ , entonces B œ ,  + Demostración.

B  + œ , Í B  +  a  +b œ ,  a  +b Í B  Ò +  a  +bÓ œ ,  + Í B  ! œ ,  + luego B œ ,  +Þ

3. Demuestre que el elemento neutro ! es único Demostración. Supongamos que en ‘ß además del ! hay otro elemento ! w tal que: B  ! w œ Bß a B − ‘ entonces ! w œ ! w  ! œ !  ! w œ ! por tanto el ! es único.

4.

Demuestre que:

a)  a  Bb œ B

b) a  Bb  a  Cb œ  aB  Cb Demostración.

a) Se tiene que B  a  Bb œ !ß donde esta ecuación nos indica que B es el opuesto de a  Bb esto es, B œ  a  Bb como se quería.

b) Para evitar acumulación de paréntesis sea B w œ  B y C w œ  Cà luego aB  Cb  aB w  C w b œ ÒÐ B  CÑ  B w Ó  C w œ Ò B  aC  B w bÓ  C w œ

Ò B  aB w  C bÓ  C w œ ÒaB  B w b  C Ó  C w œ a!  C b  C w œ C  C w œ ! ahora como B w  C w œ a  Bb  a  Cb es el inverso de la suma de B  Cß entonces concluímos que  aB  Cb œ a  Bb  a  CbÞ

5.

Demuestre que: a) ! B œ !

b) B a  Cb œ  aB Cb œ Ba  Cb c) aB Cb" œ B" C" ß a Bß C Á ! Demostración.

a) ! B œ ! B Í a!  !b B œ ! B Í ! B  ! B œ ! B Í ! B œ ! B  ! B œ !

b) Previamente haremos ver que a  "b B œ Ð  BÑß

B  a  "b B œ " B  a  "b B œ Ò "  a  "bÓ B œ ! B œ ! y como B  a  Bb œ !, se concluye que a  "b B œ Ð  BÑ, entonces tenemos

B a  Cb œ B Òa  "bCÓ œ Ò B a  "bÓ C œ Òa  "b BÓ C œ a  "baB C b œ  aB C b análogamente se prueba que Ba  Cb œ  aB Cb con lo que B a  Cb œ a  Bb C

c) Notemos que aB CbaB" C" b œ ÒaB Cb B" Ó C " œ Ò B" aB C bÓ C " œ ÒaB" Bb CÓ C" œ C C" œ " con lo que el inverso de aB Cb resulta ser aB" C" b, y como también el inverso de aB Cb es aB Cb" ß tenemos que por unicidad del inverso aB Cb" œ B" C" 6. Demuestre que À a) BC • CD Ê BD b) B  C • D  ! Í BD  CD c) B  C  ! • D  A  ! Ê BD  CA Demostración.

a) ÐB  C • C  DÑ Í ÖaB  C b − ‘ • aC  D b − ‘ ×ß por axioma 1 la suma está en ‘ , por tanto aB  D b − ‘ Í B  DÞ

b) ÐB  C • D  !Ñ Í ÖaB  C b − ‘ • Ð  DÑ − ‘ ×, por axioma 2 el producto está en ‘ , luego aB  Cba  D b − ‘ Í aCD  BD b − ‘ Í BD  Cz

c) aB  C  ! • D  A  ! b Í

ÖaB  Cb − ‘ • Bß C − ‘ × • ÖaD  Ab − ‘ • Dß A − ‘ ×ß por axioma 2 se tiene: aB  CbD − ‘ • aD  AbC − ‘ y ahora por axioma 1 se tiene B D  C A 7. Demuestre que: a)

lBCl œ lBllCl

b)

lBl Ÿ +ß +  ! Í  + Ÿ B Ÿ +

Demostración. a) Si Bß C   ! Í lBCl œ BC œ lBllClß

si Bß C  ! Í lBCl œ BC œ a  Bba  C b œ lBllClß finalmente si B  ! e C  ! Í lBCl œ  aBC b œ B Ð  CÑ œ lBllClÞ

b) Si B   ! Ê lBl œ B Ÿ +ß +  ! a"b

si B  ! Ê lBl œ  B Ÿ + Í B    +ß a#b  + Ÿ B Ÿ +Þ

luego por a"b y a#b se tiene

8. Demuestre que: lB  Cl   llBl  lCll Demostración. Sea B  C œ D Ê B œ D  C Ê lBl œ lD  Cl Ÿ lDl  lCl Ê lBl Ÿ lB  Cl  lCl Ê lB  Cl   lBl  lClß de aquí  lB  Cl Ÿ lCl  lBl Ÿ lC  Bl œ lB  Clß como lB  Cl   0 entonces lB  Cl   llBl  lCll # 9. Si +  ,  ! demuestre que +  "# a+  , b   È+,  "  "  , + ,

Demostración.

+  , Í #+  +  , Í +  "# a+  , b

a"b, por otra parte

a+  ,b#   ! Í +#  , #   #+, Í a+  , b#   %+, Í "# a+  , b   È+, a#bß ahora como a+  ,b#   %+, Í a+  , b# +,   %+# , # Í a+  , b È+,   #+, # Í È+,  "  a3b, tambien como +  , Í +,  , # Í #+,  , #  +, " +

Í

#+, +,

pedido.

,Í

,

#

" " +,

 , a%bÞ

Finalmente por

a"bß a#bß a$b y a%b se tiene lo

10. Demuestre que para todo +ß , positivos se tiene +$  ,$   +# ,  +, # Demostración.

Analizando la tesisß induce a partir de a+  ,b# a+  ,b   ! Ê

a+#  ,# ba+  ,b   ! Ê +$  ,$   +# ,  +, # 11. Para todo +ß ,ß - reales positivos demuestre

a) +#  ,#  - #   +,  ,-  -+

b) a+  ,  - b#   $ Ð+,  ,-  -+Ñ

Demostración.

a) Como a+  ,b#   ! Í +#  , #   #+,ß analogamente

,#  - #   #,- y - #  +#   #+-ß y sumando miembro a miembro estas desigualdades y simplificando se obtiene +#  ,#  - #   +,  ,-  -+ b) Sumando pedido.

#+,  #,-  #-+ a la desigualdad demostrada en a) se tiene lo

12. Si +#  ,# œ B#  C # œ "ß demostrar que +B  ,C Ÿ " Demostración.

a+  Bb#   ! Í +#  B#   #+B a,  Cb#   ! Í , #  C #   #,C

sumando miembro a miembro +#  B#  ,#  C #   #+B  #,C ahora ocupando la hipótesis y simplificando se llega a +B  ,C Ÿ ".

13. Si +ß ,ß - reales demuestre

,# - #  - # +#  +# , #   +,- a+  ,  - b

Demostración.

Como a+  ,b#   ! Í +#  , #   #+,à análogamente ,#  - #   #,- y - #  +#   #+-

de donde:

a +#  ,# b- #   #+,- # à

a, #  - # b+#   #,- +# y a- #  +# b, #   #+-, # ß

sumando miembro a miembro estas 3 expresiones, obtenemos: #a,# - #  - # +#  +# , # b   #+,- a+  ,  - b Í

,# - #  - # +#  +# , #   +,- a+  ,  - b

14. Si +ß ,ß - reales positivos y distintos entre si, demuestre que " +,+,  ,-  -+ # Œ   a+,- b $ $ $ "

Demostración. Como: +#  ,#  #+, ; , #  - #  #,- y - #  +#  #+Sumando miembro a miembro y simplificando se obtiene +#  ,#  - #  +,  ,-  -+ Í +#  ,#  - #  #+,  #,-  #-+  $Ð+,  ,-  -+Ñ Í +,+,  ,-  -+ # a+  ,  - b  $Ð+,  ,-  -+Ñ Í Œ  $ $ "

#

a"b

Ahora, de la desigualdad notable Q ÞEÞ   Q ÞKÞ se tiene " +,  ,-  -+ È +,  ,-  -+ # $  +# , # - # Í Œ   a+,- b $ $ $ "

finalmente de a"b y a#b se obtiene

a#b

" +,+,  ,-  -+ # Œ   a+,- b $ $ $ "

15. Si +ß ,ß - son cantidades positivas, demostrar +#  , # ,#  - # - #  +#    +,+, ,-+ Demostración. Como: +#  ,#   #+, Í #a+#  , # b   a+  , b# Í

+#  , # +,   a"b +, #

analogamente:

,#  - # ,  ,#

a#bà

- #  +# -+   -+ #

sumando miembro amiembro a"bß a#b y a$b se obtiene

a$b

+#  , # ,#  - # - #  +#    +,+, ,-+

16. Si +ß ,ß - son reales positivos y distintos, demuestre

a) a+  ,  - ba+,  ,-  -+b  *+,-

b) +# a,  - b  , # a-  +b  - # a+  , b  '+,Demostración. a) Aplicando la desigualdad notable Q E  Q K  Q Lß se tiene:

$ $  ,  -b  È +,- y "$ a+,  ,-  -+b  È +, ,- -+ multiplicando miembro a miembro se tiene lo pedido.

" 3 a+

b) Aplicando la misma desigualdad notable se tiene de inmediato lo pedido.

17. Demostrar para +ß ,ß Bß C reales positivos cualquiera, que a+,  BCba+B  ,C b   %+,BC

Demostración. a) Aplicando la desigualdad notable Q E   Q K   Q Lß tenemos: +,  BC È   +,BC #

y

+B  ,C È   +B,C #

multiplicando miembro a miembro se tiene a+,  BCba+B  ,C b   %+,BC 18. Si B  C  D œ 'ß demostrar que:

B#  C #  D #   "#

Demostración. Como ya sabemos: B#  C#   #BCà C#  D #   #CDà D #  B#   #DB ahora sumando miembro a miembro

B#  C#  D #   BC  CD  DB

a"b

Por otra parte de B  C  D œ ' Í B#  C #  D #  #BC  #CD  #DB œ $' Í

BC  CD  DB œ ")  "# aB#  C #  D # b finalmente remplazando en a"b se obtiene

B#  C#  D #   "#

19. Si +ß ,ß - son reales positivos y distintos, demuestre que

#a+$  ,$  - $ b  ,- a,  - b  -+a-  +b  +, a+  , b

Demostración.

De a+  ,b#  ! Í +#  , #  +,  +, Í +$  , $  +, a+  , b de igual modo À ,$  - $  ,- a,  - b

a#b; - $  +$  +- a+  - b

a"bß

sumando miembro a miembro a"bß a#b y a$b se obtiene

a$b

#a+$  ,$  - $ b  ,- a,  - b  -+a-  +b  +, a+  , b

20. Si +ß ,ß -ß Bß Cß D − ‘ ß demostrar que

ŠBÈ+  CÈ,  D È- ‹ˆ+ÈB  , ÈC  - ÈD ‰   *È+,-BCD

Demostración. Aplicando la desigualdad notable Q E   Q K   Q Lß obtenemos: BÈ+CÈ,D È$

  ÉBCD È+,- y $

+ÈB,ÈC- ÈD $

$  É +,- ÈBCD

Multiplicando miembro a miembro estas dos expresiones

$ +,-BCD È+,-BCD œ ŠBÈ+  CÈ,  D È- ‹ˆ+ÈB  , ÈC  - ÈD ‰   * É $ ÈÐ+,-BCDÑ$ œ * È+,-BCD *É

21. Si +ß ,ß - son reales positivos y distintos, demuestre que * # # # " " "       +,+, ,-+ + , Demostración. Aplicando Q ÞEÞ  Q ÞLÞ se tiene: a+  ,b  a,  - b  a-  +b  $

$ " +,



" ,-



" -+

Í

#Œ

" " " *   Í  +, ,-+ +,a"b

* # # #    +,+, ,-+ +, Por otra parte:  # " ,

 #

" -

" +

# 

" ,

#  ,-

sumando a#bß a$b y a%b À

Í

" +

a$bà

 #

" ,

" -

  #

# a#bß y también +, " +



# -+

a%b

# # # " " "      +, ,-+ + , -

Finalmente de a"b y a&b y por la propiedad transitiva, se concluye

a&b

* # # # " " "       +,+, ,-+ + , -

22. Si +ß ,ß - son los lados de un triángulo, demostrar que " " " " " "       +,,-+ -+, + , Demostración. Por hipótesis À +  ,  - Ê +  ,  - œ B  !à ,  -  + œ C  !à -  +  , œ D  ! Por ejercicio anterior y considerando que los lados de un triángulo puede ser iguales, se tiene: " B



" C



luego:

" D

 

# BC



# CD



# DB

ß pero B  C œ #,à C  D œ #-à D  B œ #+

" " " # # # " " "       œ   +,,-+ -+, #, ##+ + , -

23. Si + y , son reales positivos con +#  , # œ %ß demostrar: a) +# ,# Ÿ % b) +% 

" " "(  ,%  %   % + , #

Demostración. a) Como +#  ,#   #+, y +#  ,# œ % Ê 4   #+, Í

+# , # Ÿ %

" " " " # # b) Sea E œ +  ,  %  % œ ˆ+#  , # ‰  #+# , #  Œ #  #   # # + , + , + , #

%

%

Ahora por a) #+# ,# Ÿ )ß como al restar una cantidad positiva mayor a8 en lugar de #+# ,# b la expresión E se hace mayor, luego # E   ˆ+ #  , # ‰  )  Œ

" " #  #  # #; # + , + , #

# además ˆ+#  ,# ‰ œ "' y Œ

" "   es positivo y al eliminarlo E se hace +# ,# #

aún mayor, por tanto " E   "'  )  , con lo que #

+% 

" " "( %  ,    +% ,% #

24. Si +ß ,ß -ß . son números reales positivos, demostrar

ŠÈ+  È,  È- ‹È.  È+,  È,-  È-+ Ÿ $# a+  ,  -  . b

Demostración. Aplicando Q ÞEÞ   Q ÞKÞ se tiene:

+, È ,-+ È +. È   +, à   È,- à   -+ à   +. à # # # #

,. È -. È   ,. à   -.ß # #

sumando miembro a miembro estas 6 expresiones y factorizando convenientemente obtenemos ŠÈ+  È,  È- ‹È.  È+,  È,-  È-+ Ÿ $# a+  ,  -  . b

25. Demostrar para Bß Cß D reales positivos y distintos entre si, que: a) aB  C  D b$   #(aB  C  D baC  D  BbaD  B  C b b) BCD   aB  C  D baC  D  BbaD  B  C b Demostración.

a) Préviamente demostraremos a+  ,  - b$   #( +,lo que resulta de inmediato pués

+,$

a"b

$  È +,- Í a+  ,  - b$   #( +,-

Ahora haciendo + œ B  C  Dà , œ C  D  Bà - œ D  B  C en a"b resulta aB  C  D b$   #(aB  C  D baC  D  BbaD  B  C b.

b) Préviamente demostraremos a+  ,ba,  - ba-  +b   ) +,que también resulta de aplicar Q ÞEÞ   Q ÞKÞß pués para +ß ,ß - positivos +, È ,-+ È   +, à   È,- à   -+ # # #

multiplicando miembro a miembro, se tiene a+  ,ba,  - ba-  +b   ) +,- a#b Ahora de la parte a) +  , œ #Cà ,  - œ #D y -  + œ #Bß finalmente en a#b y simplificando, se tiene

BCD   aB  C  D baC  D  BbaD  B  C b.

26. Si B  C  D  !ß demuestre que la expresión

E œ B# aB  CbaB  D b  C # aC  D baC  Bb  D # aD  BbaD  C b es positiva.

Demostración.

E œ aB  CbÒ B# aB  D b  C # aC  D b Ó  D # aD  BbaD  Cb œ aB  CbÒB$  C $  B# D  C # D Ó  D # aD  BbaD  C b

œ aB  Cb# Ò B#  BC  C #  BD  CD Ó  D # aB  D baC  D b

œ aB  Cb# Ò BaB  D b  CaC  D b  BC Ó  D # aB  D baC  D b

Expresión que resulta positiva pués por hipótesis se tiene B  C  D  !.

27. Si +ß ,ß - − ‘ ß demostrar que

#a+  ,  - ba+#  , #  - # b   +$  , $  - $  "& +,-

Demostración. Aplicando Q ÞEÞ   Q ÞKÞ es fácil demostrar que:

+# a,  - b  , # a-  +b  - # a+  , b   '+,- y +$  , $  - $   $+,-ß de donde #+# a,  - b  #, # a-  +b  #- # a+  , b   "#+,- y

#Ð+$  ,$  - $ Ñ   +$  , $  - $  $+,-ß ahora sumando miembro a miembro

#a+$  ,$  - $  +# a,  - b  , # a-  +b  - # a+  , bb   +$  ,$  - $  "& +,finalmente de aquí, #a+  ,  - ba+#  , #  - # b   +$  , $  - $  "& +,28. Si +ß ,ß - − ‘ distintos entre si, demostrar que

a+  ,  - ba+$  , $  - $ b   Ð+#  , #  - # Ñ#

Demostración. Aplicando la desigualdad de Cauchy- Schwarz a los números: B" œ È + ß B # œ È , ß B $ œ È - à C " œ È + $ ß C # œ È , $ ß C $ œ È- $ ß se tiene de inmediato

a+  ,  - ba+$  , $  - $ b   Ð+#  , #  - # Ñ#

29. Si +" ß +# ß Þ Þ Þ Þ ß +8 son reales positivos tales que, +" † +# † † † † +8 œ " demostrar que a"  +" ba"  +# b † † † † a"  +8 b   #8

Demostración. Como:

"+3 #

  È+3 ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8 de aquí a"  +3 b   #È+3

multiplicando miembro a miembro estas 8 desigualdades, se tiene

a"  +" ba"  +# b † † † † a"  +8 b   #8 È+" +# † † † † +8 œ #8

30. Si +$  +#  +" demostrar l B  +" l  l B  + # l  l B  + $ l   + $  + " ¿Para que valores de B se cumple la igualdad? Demostración. l B  +" l  l + #  B l   l + #  + " l l B  +# l  l + $  B l   l + $  + # l l B  +$ l  l +"  B l   l +"  +$ lß sumando miembro amiembro:

#al B  +" l  l B  +# l  l B  + $ lb   l +#  +" l  l +$  +# l  l +"  +$lß aplicando las hipótesis se tiene:

#al B  +" l  l B  +# l  l B  + $ lb   +#  +"  +$  +#  Ð+"  +$ Ñ œ #a+$  +" b luego l B  +" l  l B  +# l  l B  + $ l   +$  +"

La igualdad se cumple para B œ +# Þ

31. Si 8 − ß 8  "à demostrar que a) a8  "b8  #8 8x

‰ b) a8xb$  88 ˆ 8" #

#8

Demostración. a) Aplicando la desigualdad notable Q ÞEÞ  Q ÞKÞ a los 8 primeros números pares, se tiene #  %  '  † † †  #8 È  8 # † % † ' † † † #8 Í 8 8 8 #a"  #  † † †  8b  8 È #8 a" † # † † † † 8b Í a8  "b  È #8 † 8x Í a8  "b8  #8 8x

b) Analogamente

"$  # $  † † †  8$ " " 8 8  È"$ † #$ † † † 8$ Í Ò 8a8  "bÓ#  Éa8xb$ 8 8 # #8 " 8" 8 8Ò a8  "bÓ#  Éa8xb$ Í a8xb$  88 Œ  Þ # #

32. Si 8 − ß 8  "à demostrar que "

" " " "  #  † † †  #  # # # $ 8 8

Demostración. Observando que: se tiene:

" " " "  œ  ß8" # 8 8a8  "b 8" 8 " " " # # # " " "   # $ # $ † † † † † † † " " "   # 8 8" 8

sumando miembro a miembro y agregando " a ambos miembros, se recibe

"

" " " "  #  † † †  #  # # # $ 8 8

33. Si +ß , − ‘ ß + Á ,à demuestre que:

8" 8 È +8  ,8  È+8"  , 8"

Demostración. a+8  ,8 b

8" 8

œ a+8  , 8 b 8 a+8  , 8 b œ a+8  , 8 b 8 +8  a+8  , 8 b 8 , 8 "

"

"

 a+8 b 8  a,8 b 8 œ +8"  , 8" "

por tanto a+8  ,8 b

"

8" 8  +8"  , 8" Í È +8  , 8  È+8"  , 8"

8" 8

34. Si 8 − ß 8  "à demostrar que

a8  "b8"  #8" 88

Demostración. Tomando la sucesión: +" œ

" " " " ß +# œ ß Þ Þ Þ Þ Þ ß + 8 œ y +8" œ 8 8 8 8

y aplicando Q ÞEÞ  Q ÞKÞ ˆ 8" 

Í

" 8

 † † †  8"

" 8

 "‰

 Ê 8"

8 † 8"  " 8" " " " " † † † † Í  Ê 8 8 8 8 8" 8

# " #8" " 8"  Ê 8 Í  8 Í a8  "b8"  #8" 88 8" 8" 8 8 a8  "b

35. Si 8 − ß demostrar que

#8   "  8È#8"

Demostración. Como es habitual aplicamos Q ÞEÞ   Q ÞKÞ a la sucesión: "ß #ß ## ß Þ Þ Þ ß #8" "  #  ##  † † †  #8" 8   È" † # † ## † † † #8" Í 8 " " " " 8 a#  "b   Ò#"# † † † Ð 8"Ñ Ó 8 Í #8  "   8Ò # # 8a8"b Ó 8 Í #

#8  "   8 # # a8"b Í #8   "  8È#8" "

36. Si 8 − ß demostrar que

" 8 " † $ † & † † † a#8  "b ŸÊ " # # † % † ' † † † #8

Demostración. Para 8   " Í 8  "   ! Í #8  "   8 Í

por otra parte "  ! Í #8  "  #8 Í #8  #8  " Í "  De a"b y a#b se tiene:

a"b

#8  " "   #8 #

#8  " #8

a#b

" #8  " Ÿ  "ß ahora dando valores a 8ß obtenemos: # #8 " # " # † " #

" " # $ Ÿ " # † † † † † † #8  " Ÿ " #8 Ÿ

multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se obtiene

" " † $ † & † † † a#8  "b " 8 " † $ † & † † † a#8  "b " Í ŸÊ " Œ  Ÿ # # † % † ' † † † #8 # # † % † ' † † † #8 8

37. Si 8   #ß demostrar que

Ò "# a8  "bÓ8  8x

Demostración.

" "# † † † † 8 8" 8 È "†#† † † †8 Í  a8xb 8 8 # " 8 Í Ò # a8  "bÓ  8x

De inmediato

38. Si 8ß 5 −  y 8   5   "ß demostrar que a8xb#   88 Demostración.

8   5 • 5  "   ! Ê 8a5  "b   5 a5  "b Í 85  8   5 #  5 Í 85  5 #  5   8 Í 5 a8  5  "b   8ß

de donde dando valores a 5 obtenemos:

"†8 8

# † a8  "b   8 $ † a8  #b   8

† † † † † † † † † † 8" 8 multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se obtiene

(" † # † † † † 8) 8a8  "ba8  #b † † † # † "   8 † 8 † † † † 8 Í 8x 8x   88 Í a8xb#   88 Þ

39. Si 8ß < − ™ ß demostrar que

ˆ"  8< ‰8  ˆ" 

< ‰8" 8"

Demostración. Sea la sucesión: +" œ "ß +# œ +$ œ ß Þ Þ Þ Þ Þ ß +8" œ " 

< 8

y aplicando Q ÞEÞ  Q ÞKÞ se tiene

"  ˆ"  8< ‰  ˆ"  8< ‰  † † †  ˆ"  8< ‰ 8" < < <  ÊŠ"  ‹Š"  ‹ † † † Š"  ‹ 8" 8 8 8

"  8ˆ"  8< ‰ 8" < 8 "  8  < 8" < 8 Í  ÊŠ"  ‹ Í  ÊŠ"  ‹ 8" 8 8" 8 < < 8 < 8 < 8" Í"  ÊŠ"  ‹ Í Š"  ‹  Œ"   8" 8 8 8"

8"

40. Sean +" ß +# ß Þ Þ Þ Þ Þ ß +#! reales positivos y W su suma. Demuestre que " #!

"*W Ÿ  %!! + W 3œ" 3

Demostración. Aplicando Q ÞEÞ   Q ÞKÞ, como sigue a continuación W+" W



W+# W

 † † † †  #!

W+#! W

 

W W+"



W W+#

#!  † † † † 

W W+8

#!W  Ð+"  +#  Þ Þ Þ Þ Þ  +#! Ñ   #!W

"*W   #!W

"

"

#!

#!

W W  +3 3œ"

Í "

#! W %!! "*W   Í " Ÿ  %!! W  + "* +  W 3 3 3œ" 3œ" #!

#!

#!

W W  +3 3œ"

7.4. Ejercicios Propuestos 1. Para + y , números reales, averiguar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones a) Si + œ #, Ê

" %

+#  , #  +,

c) Si +  ! • ,  ! Ê "# a+  , b   È+,

b) Si +  , Ê +  "% a$+  , b  , d) +#  , #   # +,

Respuesta. a) Falsa; b), c) y d) Son verdaderas. 2. Si +ß ,ß -ß . so reales positivos tales que

+ + + . Demuestre que   , . , ,. .

3. Si +ß , − ‘ , demuestre que È+  , Ÿ È+  È, 4. Si +ß , − ‘ y distintos, demuestre +%  ,%  +$ ,  +, $ 5. Sean +ß ,ß - reales positivos, demuestre que: a)

+ ,   # , +

b) +$ 

" "  +  # $ + +

c) a+  ,  - b#   %a+,  ,-  -+b d) a+  ,  - ba,  -  +b Ÿ - # 6. a +  !ß demuestre que +$  7. a + − ‘, demuestre que:

" "   +#  # $ + +

a)

+#  # # È +#  "

b)

+# " Ÿ % "+ #

c)

+%

a+  "b

#

Ÿ

" #

8. Si +ß ,ß - reales positivos, demuestre que: a) a+  ,ba,  - ba-  +b   )+,-

b) a+  ,  - b#   $a+,  ,-  -+b

c) a+  ,  - b#  a,  -  +b#  a-  +  , b#   +,  ,-  -+ d) +# a"  ,# b  ,# a"  - # b  - # a"  +# b   '+,-

e) +,a+  ,b  ,- a,  - b  -+a-  +b Ÿ #a+$  , $  - $ b f) a+  ,  - ba+,  ,-  -+b   *+,g) +  ,  -  

#+, #,#-+   +, ,-+

9. Si +ß ,ß -ß . reales positivos, demuestre que: a)

+ , .     % , . +

b) -. a+  ,b# Ÿ a+.  ,- ba+-  ,. b c) +%  ,%  - %  . %   %+,-.

d) a+  ,  -  . b$ Ÿ "'a+$  , $  - $  . $ b e) a+#  ,#  - #  . # b   )"+,-. #

10. Si +ß ,ß -ß . son reales positivos tales que, W œ +  ,  -  . demuestre que )" +,-. Ÿ aW  +baW  , baW  - baW  . b

11. Si +#  ,#  - # œ B#  C #  D # œ "ß demuestre que +B  ,C  -D Ÿ " 12. Si + y , son reales positivos tales que +  , œ ", demuestre que i)

%+, Ÿ "

i) +%  ,%  

" )

" " #& iii) Œ+    Œ,     + , # #

#

13. Si +  !ß demostrar que

8 691 + Ÿ 8ˆÈ +  "‰

14. Si Si +ß , − ‘ , demuestre que

#a+*  ,* b   a+%  , % ba+&  , & b

15. Si +ß ,ß - reales positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 8, entonces +$  ,$  - $   "'É #$ 16. Si +ß ,ß - reales positivos tales que la suma de dos de ellos es mayor que el tercero, demuestre a+  ,  - ba,  -  +ba-  +  , b   +,-

17. Demostrar que para todo 8 − ß se tiene que: 8 a) " † # † † † † 8 Ÿ ( 8" # )

b) " † # † † † † 8 Ÿ # Ð 8# Ñ8"

18. Demostrar que para todo entero positivo se tiene: a) È8  "  È8  b) #È8  #  " 

" #È 8

" È#

 È8  È8  "

 † † † † 

" È8

 #È 8  "

19. Si +ß ,ß - están en T ÞLÞß demostrar [

+, -,  Ó% #+  , #-  ,

20. Pruebe las siguientes desigualdades, para todo Bß C reales: a) B#  BC  C#   ! b) B#8  B#8" C  † † † †  B C #8"  C #8   !ß 8 −  c) aB  Cb( Ÿ '% aB(  C ( b

21. Si la suma de 8 números positivos es constante, demostrar que su producto es máximo cuando dichos números son iguales. 22. Si +  ,  - œ " con +ß ,ß - reales positivos. Demuestre que a) a"  +ba"  ,ba"  - b   )+,-

b) el mínimo valor de

" " "   es *Þ + , -

23. Sea 8 − ß 8  "à demuestre que

# " " 8a8"b a8  "b  Ð"" † ## † † † † 88Ñ  a#8  "b # $

Ayuda: Aplique Q ÞEÞ  Q ÞKÞ  Q ÞLÞ a los números "ß #ß #ß $ß $ß $ß Þ Þ Þ Þ ß 8ß 8ß Þ Þ Þ Þ ß 8 24. Sea 8 − ß 8  "à demuestre que ##8  $8 † #8"  " Ayuda: aplique Q ÞEÞ  Q ÞKÞ a los números %ß %# ß %$ ß Þ Þ Þ Þ ß %8 25. Sea 8 − ß demuestre

a#8bx  ##8 a8xb#

Ayuda: ocupe el teorema del binomio

7.5. Inecuaciones Definición " Una inecuación es una relación de desigualdad para una o más variables reales, que puede ser verdadera o falsa según sean los valores que puedan tomar dichas variables. Nota ". En este texto solo abordaremos las inecuaciones con una variable real, eventualmente lo haremos también con dos variables.

Notación. Una inecuación de una variable real la denotaremos por:

0 aBb   ! ” 0 aBb  ! ” 0 aBb Ÿ ! ” 0 aBb  !

De la solución. Supongamos una inecuación de la forma

0 aBb   !

a"b

Resolver esta inecuación es, determinar un conjunto de números reales para los cuáles a"b sea verdadera. Por tanto B œ +ß con + − ‘ es solución de a"b si y solo si 0 a+b   !

Definición 2 Dos inecuaciones son equivalentes si y solo si toda solución de una de ellas es solución de la otra. Teorema 1 Las inecuaciones:

a) 0 aBb   1aBb • 0 aBb  2aBb   1aBb  2aBb

b) 0 aBb   1aBb • 0 aBb 2aBb   1aBb 2aBbß con 2aBb  !ß a B − ‘

c) 0 aBb   1aBb • 0 aBb 2aBb Ÿ 1aBb 2aBbß con 2aBb  !ß a B − ‘ d) l0 aBbl Ÿ 1aBb •  1aBb Ÿ 0 aBb Ÿ 1aBbß con 1aBb  !ß a B − ‘

e) l0 aBbl   1aBb •

Ö 0 aBb Ÿ  1aBb ” 0 aBb   1aBb ×

son equivalentes. Demostración. Se dejan propuestas. Observación 1 En general, tal como para las ecuaciones no hay un método único para resolver una inecuación, todo depende de la destreza algebraica y de la aplicación adecuada de los teoremas y definiciones precedentes. Nota 2. Las inecuaciones conteniendo módulos se resuelven aplicando la definición de módulo y en algunos casos aplicando el teorema precedente incisos d) o e).

Método de los puntos críticos. Una gran parte de las inecuaciones que resolveremos lo haremos por el siguiente método, el cuál hemos llamado método de los puntos críticos para el que, daremos el siguiente algoritmo. Resolver: 0 aBb   ! ” 0 aBb  ! ” 0 aBb Ÿ ! ” 0 aBb  !

1) Se determinan los puntos críticos de 0 aBbÞ

Se dice que B! es un punto crítico de 0 aBb si y solo si 0 aB! b œ ! ” 0 aB! b no existe. 2) Se ordenan todos los puntos críticos obtenidos en el eje real.

Si es el caso de un punto crítico de: 0 aBb   ! ” 0 aBb Ÿ ! tal que 0 aB! b œ ! dicho punto debe considerarse en la solución.

Si es el caso de un crítico de: 0 aBb  ! ” 0 aBb  ! , estos aparecen en el eje real como referencia, no deben estar en la solución.

Si es un punto crítico tal que 0 aB! b no existe, dicho punto en ningún caso debe considerarse en la solución.

3) Se determinan los signos de 0 aBbß en los intervalos determinados entre puntos críticos. 4) Si la inecuación en cuestión es: 0 aBb   ! ” 0 aBb  ! la solución se encuentra en los intervalos señalados con signo a  bÞ

Si la inecuación en cuestión es: 0 aBb Ÿ ! ” 0 aBb  ! la solución se encuentra en los intervalos señalados con signo a  bÞ

Debe considerarse para la solución lo expuesto en el inciso 2). Inecuaciones de 2° grado

Sea 0 aBb œ +B#  ,B  -ß + Á ! y su discriminante ? œ , #  %+-

y sean también B" y B# sus raíces reales. aB"  B# b I) +  ! • ?  !à

i) 0 aBb  ! Í B  B" ” B  B#

II) +  ! • ? œ !à

i) 0 aBb  ! Í a B − ‘ß B Á B" œ B#

III) +  ! • ?  !à

i) 0 aBb  ! Í a B − ‘

IV) +  ! • ?  !à

i) 0 aBb  ! Í B"  B  B#

ii) 0 aBb  ! Í B"  B  B#

ii) 0 aBb  ! Í Ningún BÞ ii) 0 aBb  ! Í Ningún BÞ

ii) 0 aBb  ! Í B  B" ” B  B#

V) +  ! • ? œ !à

i) 0 aBb  ! Í Ningún BÞ

VI) +  ! • ?  !à

i) 0 aBb  ! Í Ningún BÞ

ii) 0 aBb  ! Í a B − ‘ß B Á B" œ B#

ii) 0 aBb  ! Í a B − ‘.

7.6. Ejercicios Resueltos 1. Resolver en ™, (B  # #B  & " B % # Solución. (B  #  %  %B  "!  %B Í (B  #  )B  "! Í B   "# luego la solución en ™, resulta: Ö  ""ß  "!ß  *ß Þ Þ Þ ×

2. Resolver en ‘, el sistema: )B  & 

a"b

"&B  ) #

#a#B  $b  &B 

$ %

a#b

Solución.

Resolvemos a"b y a#b en forma independiente y sus soluciones se intersecan entre si, en efecto: a"b À

a#b À

"'B  "!  "&B  ) Í B  # Ê W" œ ÖB − ‘ Î B  # × "'B  #%  #!B  $ Í B  

#" %

Ê W# œ ÖB − ‘ Î B  

luego Sol. œ W"  W# œ g

3. Resolver en ‘, el sistema de & inecuaciones: " $  B B

B B "# $ # " "  aB  "b  ! & " " !  aB  "b  aB  "b ( * ( $  BŸ B $ (

a"b

a#b

a$b

a%b

a&b

#" %

×

Solución. a"b À

a#b À

" $  Í B  $B Í B  !à note que se ha multiplicado por B#  ! B B B B ")  "  #  Í #B  '  "#  $B Í B  $ # &

" a$b À "  aB  "b  ! Í &  B  "  ! Í B   % & a%b À !  a&b À 

" " aB  "b  aB  "b Í !  *B  *  (B  ( Í B  ) ( *

( $ * B Ÿ  B Í  %*B Ÿ *  #"B Í B    $ ( (!

luego intersecando estas solucionesß resulta W œ ÖB − ‘ Î 

* (!

Ÿ B  !×

4. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones: a) ÐB#  $B  %ÑaB#  "b   ! b) lB#  "la#B  B# b Ÿ !

c) d) e)

B#

#B #  %  $B B

#B  " "  $ Ÿ! B" B "

B#

B#  $ $  " Ÿ B#  %B  & "B

Solución. a) Como B#  "  ! esto obliga a que ÐB#  $B  %Ñ   0 sus puntos críticos son  "y 4 Ê

  ì   ì   "

Ê Sol. œ Ð  _ß  " Ó  Ò %ß _Ñ.

%

b) Tambien como lB  "l   0 Ê a#B  B# b Ÿ ! Ê   ì   ì   0 2 Sol. œ Ð  _ß ! Ó  Ò #ß _Ñ  Ö"× #

Notemos que en la solución hemos incluído al "ß pués el módulo tambien se se anula para él y en la solución indicada no está indicado. # c) Efectuando operaciones algebraicas se obtiene %B B"#B&  ! sus puntos # $B críticos son À  $ß  5# ß  "# y 0 Ê   ‰   ‰   ‰   ‰  

$



& " Ê Sol. œ Œ  $ß    Œ  ß ! # # d) Efectuando operaciones algebraicas se obtiene críticos son: !ß

" y " Ê #



" # ß "Ñ.

" #

!

BÐ#B  "Ñ Ÿ ! sus puntos B$  "

  ì   ì   ‰   0

Sol. œ Ð  _ß ! Ó  Ò

& #

" #

Ê

1

B#  $ $ e) Primero resolvemos #  " y luego " Ÿ , para luego B  %B  & "B intersecar sus solucionesÞ De la primera inecuación se tiene

#a#B  "b "  ! único crítico  , B#  %B  & #

" pues B#  %B  & es siempre positivo a?  !b por tantoß Sol.a"b œ Ð  ß _Ñ # Para la segunda inecuación

Sol.a#b œ Ò  #ß "Ñ

B#  ! Ê   ì   ‰   "B #

Ê

"

" Finalmente intersecando la solución a"b y a#b se obtiene, Sol. œ (  ß ")Þ #

5. Resolver en ‘, el sistema:

B  "  ÈB  " ( '  # Ÿ& B" B "

a"b

a#b

Solución.

a"b À Las condiciones previas antes de elevar al cuadrado son:

ÐB  "  ! • B  "  !Ñ Í ÐB  " • B   "Ñ Í B  "

a‡b

Bajo esta condición y elevando al cuadrado resulta B#  #B  "  B  " Í

BaB  $b  ! Ê   ‰   ‰   Ê ÐB  ! ” B  $Ñ intersecando con ! $ a‡b resulta W" œ ÖB − ‘ Î B  $ × a#b À Después de las simplificaciones correspondientes obtenemos

aB  #ba&B  $b  ! Ê  ‰ ñ ‰ ñ  Ê aB  "baB  "b  "  $& " # W# œ ÖB − ‘ Î B   " ” 

$ Ÿ B  " ” B   #× &

De donde Sol. œ W"  W# œ ÖB − ‘ Î B  $ ×Þ

6. Determine los signos de

Solución.

Note que 0 aBb œ

0 aBb œ

% "  B# B"

$aB  #b los signos de 0 se refiere a; para que valores de aB  #baB  "b

B: 0 aBb  ! o bien 0 aBb  ! por tanto se tiene de

  ‰   ‰   ñ   Ê 0 aBb   ! Í Ð  #  B  " ” B   #Ñà # " # 0 aBb  ! Í ÐB   # ” "  B  #Ñ

7. Resolver #B  " ¸œ% a) ¸ 6B #B  " ¸Ÿ% b) ¸ 6B c) l B  " l  #B  l B  $ l Solución. a)

#B  " #B  " #& #$ œ% ” œ  % de donde se obtiene B œ ” Bœ 6B 6B ' #

b) ¸

#B  " #B  " ¸Ÿ% Í %Ÿ Ÿ% Ê 6B 6B

#B  " 'B  #& #& Ÿ%Í Ÿ ! Ê Sol.a"b œ Ð  _ß Ó  Ð'ß _Ñ 6B 'B ' %Ÿ

#B  " #$  #B #$ Í   ! Ê Sol.a#b œ Ð  _ß 'Ó  Ð ß _Ñß luego 6B 'B #

Sol œ Sola"b  Sol.a#b œ Ð  _ß

#& #$ Ó  Ð ß _Ñ. ' #

c) Puntos críticos de los módulos  $ y 1, luego

a B Ÿ  $ Ê  aB  "b  #B   aB  $b Ê B  # , luego aB Ÿ  $ • B  #b Ê Sol.a"b œ Ð  _ß  $Ó

" a  $  B Ÿ " Ê  aB  "b  #B  B  $ Ê B   ß luego # " " Œ  $  B Ÿ " • B    Ê Sol.a#b œ Ð  $ß  Ó # #

a B  " Ê aB  "b  #B  aB  $b Ê B   #ß luego la intersección de éste tramo es vacía.

Finalmente la solución es Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  _ß 

8. Hallar los reales Bß tales que

"¸

" ÓÞ #

B& ¸$ B#

Solución. I.

¸

B& B& B& B& ¸$ Í $ $ÍÐ $ • $ Ñ B# B# B# B#

a"b À

B& B#

 ! Ê   ‰   ñ   Ê ÐB  # ” B  "" aW" b # Ñ "" # # %B" Í B#  ! Ê   ‰   ‰   Ê ÐB  %" ” B  # Ñ aW# b " # %

$ Í

a#b À  $ 

B& B#

""#B B#

" "" luego: Sol.aIb œ W"  W# œ Ð  _ß Ñ  Ð ß _Ñ % #

II. ¸ a$b À

B& B& B& ¸" ÍÐ  " ”  "Ñ B# B# B#

B& #B  $ $  "Í  ! Ê   ‰   ‰   Ê Ð   B  #Ñ B# B# #  $# # B& ( a%b À " Í  ! Ê ÐB  # Ñ aW% b B# B# $ Por tanto: Sol.aIIb œ W$  W% œ Ð  ß #Ñ  Ð#ß _Ñß #

aW$ b

$ " "" Finalmente Sol. Final œ Sol.aIb  Sol.aIIb œ Ð  ß Ñ  Ð ß _ÑÞ # % #

9. Resolver el sistema: ¹

B# B# "  ¹ # B  $ $B  B $ a#B  "bB  " "  # B  &B  ' B#

Solución.

a"b À ¹

I.

a"b

a#b

B# B# " " B# B# "    de donde ¹ Í   # # B  $ $B  B $ $ B  $ $B  B $

B# B# " #ÐB#  $B  $Ñ   Í  !ß puntos críticos: B  $ $B  B# $ $BaB  $b

 $ß  !Þ(*ß ! y $Þ(* luego;   ‰   ‰   ‰   ‰   Ê  $  !Þ(* ! $Þ(* Sol.aIb œ Ð  $ß  !Þ(*Ñ  Ð!ß $Þ(*ÑÞ II.



" B# B# %B#  ' $   Í  !ß puntos críticos:  $ß  Ê ß # $ B  $ $B  B $BaB  $b #

!ß É $# luego;   ‰   ‰   ‰   ‰   Ê $

 É $#

!

É $#

Sol.aIIb œ Ð  _ß  $Ñ  Ð  É $# ß !Ñ  ÐÉ $# ß _Ñ $ $ Así: Sol. a"b œ Sol.aIb  Sol.aIIb œ Ð  Ê ß  !Þ(*Ñ  ÐÊ ß $Þ(*ÑÞ # #

a#B  "bB  " " #aB#  "b  Í  ! Ê aB  #baB  $b  ! B#  &B  ' B# aB  #baB  $b pués B#  "  ! por tanto   ‰   ‰   Ê Sol.a#b œ Ð  _ß #Ñ  Ð$ß _Ñ # $

a#b À

Luego: Sol.Final œ Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  É $# ß  !Þ(*Ñ  ÐÉ $# ß #Ñ  Ð$ß $Þ(9).

10. Probar que la inecuación lB  &l  l"  Bl  % no tiene solución.

Prueba. Aplicando la definición de módulo, considerando los puntos críticos 1 y &ß se tiene: Si B  " Ê  ÐB  &Ñ  Ð"  BÑ  % Í  #B  '  % Í B  " con lo que en este caso no hay solución posible pués se contradice con la condición inicial. Si " Ÿ B Ÿ & Ê  ÐB  &Ñ  Ð"  BÑ  % Í %  %ß que no es posible. Si B  & Ê ÐB  &Ñ  Ð"  BÑ  % Í #B  "0 Í B  &ß también contradicción. luego se h a probado que la inecuación no tiene solución.

11. Hallar los valores de 5ß que hacen reales las raíces de la ecuación 5B#  #a5  "bB  5  " œ !

Solución. Para obtener raíces reales, debe cumplirse que ? œ ,#  %+-   !ß de donde 4a5  "b#  %a5  "b5   ! Í $5  "   ! Í 5   

" $

12. Determine los valores de 7 de modo que: 0 aBb œ 7B#  7a7  "bB  #7ß sea negativo a B − ‘Þ

Solución.

0 aBb  !ß a B − ‘ Í Ð +  ! • ?  !Ñß si 0 aBb œ +B#  ,B  - por tanto: 7  ! a"bß • 7# a7  "b#  )7#  ! Í 7# a7#  #7  (b  !ß como 7#  ! Ê 7#  #7  (  ! puntos críticos: "  #È# y "  #È# luego   ‰   ‰   Ê Ð "  #È#  7  "  #È# Ñ a#bß "  #È #

"  #È #

Intersecando a"b y a#b obtenemos { 7 − ‘ Î "  #È#  7  ! ×Þ

13. Hallar los valores de 7 para que la expresión

a7  "bB#  #a7  $bB  7  $

se cumpla a B − ‘Þ Solución.

Se debe tener que a7  "bB#  #a7  $bB  7  $  !ß a B − ‘Þ

Si 0 aBb œ a7  "bB#  #a7  $bB  7  $ entonces (+  ! • ?  !Ñ luego

7  "  ! Í 7  " a"bß • %a7  $b#  %a7  "ba7  $b  ! Í  #a7  $b  ! Í 7  $ a#bß

Intersecando a"b y a#b obtenemos { 7 − ‘ Î 7  $ ×Þ "%Þ Resolver el sistema: B#  " Ÿ " a"b B#  'B  "!

691"! ˆB#  #B  #‰  "

a#b

Solución. a"b À

B#  " 'B  * Ÿ " Í Ÿ! Ê B#  'B  "! B#  'B  "! $ puntos críticos:  ß $  È"*ß $  È"* Ê   ñ    ‰   ‰   Ê #

$ Sol.a"b œ Ð  _ß  Ó  Ð$  È"*ß $  È"*Ñ #



$ #

$  È"*

$  È"*

a#b À 691"! aB#  #B  #b  " Í B#  #B  #  "! solo si B#  #B  #  ! B#  #B  #  "! Í B#  #B  )  ! Ê puntos críticos:  #ß % luego

  ‰   ‰   Ê Ð  #ß %Ñ a!bà y B#  #B  #  !, a B − ‘ a" b pués # % (+  ! • ?  !Ñ por tanto Sol.a#b œ a!b  a" b œ Ð  #ß %ÑÞ

$ finalmente Sol. œ Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  #ß  Ó  Ð$  È"*ß %ÑÞ #

15. Para que valores de 5ß la ecuación

a5  #bB#  #a5  #bB  #5  " œ !

tendrá al número "ß en el intervalo determinado por sus raíces. Solución.

Sea 0 aBb œ a5  #bB#  #a5  #bB  #5  " concretamente se pueden dar dos casos: I)

5  #  ! • 0 a"b  !

II) 5  #  ! • 0 a"b  !

I) 5  # • &5  (  ! Í 5  # • 5  (& ß caso que no da solución.

II) 5  # • &5  (  ! Í

( &

 5  #ß que és la solución.

16. Resolver a)

B#  &B  ' B%   # B  (B  "# B$ B$ ˆB#  "( ‰

Ba(B#  "b b)  È#aB#  "b  B%  B# aB#  "bŠB#  È#‹ Solución. a)

B#  &B  ' B% B  "!   Í   !ß puntos críticos:  "!ß  $ß % # B  (B  "# B$ aB  %baB  $b

Ê  ñ ‰ ‰  Ê  "!

b)

$

B$ ˆB#  "( ‰

%

È#aB#  "b  B%  B#



Sol. œ Ò  "!ß  $Ñ  Ð%ß _Ñ

BaB#  (bÐB#  "( Ñ Ba(B#  "b Í ! aB#  "bŠB#  È#‹ aB#  "bŠB#  È#‹

Puntos críticos: !ß  È(ß  É "( ß É "( ß È( por tanto resulta

 ‰ ‰ ‰ ‰ ‰  Ê  È(

 É "(

!

É "(

È(

Sol. œ Ð  _ß  È(Ñ  Ð  É "( ß !Ñ  ÐÉ "( ß È( Ñ

17. Para que valores de 7 las raíces de la ecuación

B#  $B 7" œ tiene: #B  " 7"

a) Raíces reales y distintas. b) Raíces reales y ambas positivas. c) Raíces reales de signo contrario, siendo negativa la mayor en valor absoluto. Solución.

a) Notemos que la ecuación es igual a: a7  "bB#  a&7  "bB  a7  "b œ ! Para que la ecuación dada tenga raíces reales y distintas se debe tener Ð+ Á !

• ?  !Ñß por tanto:

+ œ 7  " Á ! Í 7 Á  "à ? œ a&7  "b#  %a7#  "b  ! Í

#"7#  "!7  & œ ! Ê ? œ  $#! Ê La ecuación siempre tiene raíces reales, luego solo 7 Á  ". b) Sean B" y B# las raíces de la ecuación, considerando a) se tiene 7 Á  " 7" &7  "  ! • B"  B # œ  !Ñ de donde se obtienen: 7" 7"

y ÐB" B# œ

(7   " ” 7  "Ñ • Ð7   " ” 7  

" Ñ Í (7   " ” 7  "Ñ &

c) Además de 7 Á  ", siendo B" ß B# las raíces de la ecuación, entonces: B" † B # œ

7" !Ê "7" 7"

B"  B # œ

&7  " " "  ! Ê  "  7   ß así resulta:  "  7   7" & &

18. Resolver el sistema: lB  "l  l#B  $l  ! $B  % lB#  Bl  B  "

a#b

a"b

Solución.

a"b À Podemos considerar dos casos: i) lB  "l  l#B  $l   0 • $B  %  !

ii) lB  "l  l#B  $l Ÿ 0 • $B  %  !

i) Notemos que si $B  %  ! Í B 

% Ê ÐB  "Ñ  Ð#B  $Ñ   0 Í B Ÿ  % $

% • B Ÿ  %Ñ Ê g por tanto Solaib œ gÞ $ ii) lB  "l Ÿ l#B  $l elevando al cuadrado se recibe $B#  "%B  )   !, ÐB 

puntos críticos  % y 

# $

Ê   ñ   ñ   Ê ÐB Ÿ  % ” B    #$ Ñ %  #$

% # % resulta Solaiib œ Ð  _ß  %Ó  Ò  ß Ñ $ $ $ # % Luego Sol.a"b œ Solaib  Solaiib œ Ð  _ß  %Ó  Ò  ß ÑÞ $ $ intersecando con B 

a#b À lB#  Bl  B  " Í lB#  Bl  "  B Í

ÐB#  B  B  " ” B#  B  "  BÑ Í Ò ÐB  "Ñ#  ! ” B#  "  ! Ó la

primera inecuación conduce a g, y la segunda a ÐB   " ” B  "Ñß por tanto: Sol.a#b œ Ð  _ß  "Ñ  Ð"ß _Ñ.

% Finalmente, Sol. Final œ Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  _ß  %Ó  Ð"ß ÑÞ $ 19. Para que valores de B los trinomios 0 aBb œ B#  B  ' y 1aBb œ B#  &B  % tienen distinto signo. Solución.

Se debe tener 0 aBb 1aBb  ! Ê ÐB#  B  'ÑÐB#  &B  %Ñ  ! Í

aB  #baB  $baB  "baB  %b  !ß puntos críticos:  #ß "ß $ y 4 Ê   ‰   ‰   ‰   ‰   Ê Sol. œ Ð  #ß "Ñ  Ð$ß %ÑÞ #

"

$

%

20. Sean 0 aBb œ ÈlBl  B y Encuentre el dominio de 1 ‰ 0 Þ

1aBb œ ÈB  " dos funciones definidas en ‘.

Solución.

De inmediato a1 ‰ 0 baBb œ 1a0 aBbb œ 1ˆÈlBl  B‰ lo ÈlBl  B   ! Ê lBl  B   ! Í lBl   B Ê a B − ‘ß luego

que

exige,

que

1ˆÈlBl  B‰ œ ÉÈlBl  B  " ß de aquí se debe tener ÈlBl  B  "   0 Í

ÈlBl  B   "ß como ambos términos son positivos podemos elevar al cuadrado, obteniendose lBl   "  B Í (B Ÿ  a"  Bb ” B   "  B), de la primera

inecuación se tiene B Ÿ 

" #

y la segunda inecuación no aporta más soluciones,

por tanto el Dom.0 œ ÖB − ‘ Î B Ÿ  "# ×Þ

#"ÞDetermine el recorrido de la función 0 ß definida por

0 aBb œ

# ß aB Á „ " lBl  "

Solución. Como, C œ

# #C Í lBl œ ß pero como lBl   0, a B − ‘; entonces lBl  " C

#C   0, puntos críticos:  #ß ! Ê   ñ   ‰   Ê C

#

!

Rec.0 œ ÖC − ‘ Î C Ÿ  # ” C  ! ×Þ

22. Resolver lB#  Bl  lBl  lB  "l   ! Solución. La inecuación se puede expresar como lBllB  "l  lBl  lB  "l   !, puntos críticos para aplicar la definición de módulo, son: 0 y 1.

Para B Ÿ ! Ê a  BbÒ  aB  "bÓ  B  aB  "b   ! Í B#  B  "   ! Ê   ñ   ñ   Ê ÐB Ÿ "È& #

"È& #

queda B Ÿ

"È& #

"È& #

” B 

"È& # Ñ

pero como B Ÿ ! entonces

a"bà

Para !  B Ÿ " Ê Ba"  Bb  B  B  "   ! Í B#  $B  " Ÿ ! Ê

  ñ   ñ   Ê Ò "# Ð$  È& Ñ  B  "# Ð$  È&ÑÓ pero como !  B Ÿ " $È& #

$È& #

entonces queda

" # Ð$

 È& Ñ Ÿ B Ÿ 1 a#bà

Para B  " Ê BÐB  "Ñ  B  ÐB  "Ñ   ! Í B#  B  "   ! lo que es verdad

a B − ‘, pués + œ "  ! • ˜  !ß luego solo queda B  " a$bÞ È

È

Finalmente uniendo a"bß a#b y a$b se tiene Sol. œ Ð  _ß "# & Ó  Ò $# & ß _ÑÞ 23. Determinar para que valores de 5ß se verifica $

B#  5B  #  #ß a B − ‘ B#  B  "

Solución.

a"b À  $ 

B#  5B  # %B#  Ð5  $ÑB  " Í  !ß ahora como B#  B  " B#  B  "

B#  B  "  !ß a B − ‘ Ê %B#  Ð5  $ÑB  "  !, se debe tener Ð +  ! •

?  !Ñ esto es + œ %  ! • ? œ Ð5  $Ñ#  "'  ! Í a5  (ba5  "b  !ß

de donde se obtiene Sol.a"b œ Ö5 − ‘ Î  "  5  ( ×Þ

a#b À

B#  5B  #  # Ê B#  a5  #bB  %  !ß se debe tener también B#  B  "

Ð +  ! • ?  !Ñ por tanto + œ "  ! • ? œ a5  #b#  "'  ! Í a5  #ba5  'b  ! de donde

#

œ Ö5 − ‘ Î  '  5  # ×Þ

Finalmente Sol. Final œ Sol.a"b  Sol.a"b œ Ö5 − ‘ Î  "  5  # ×Þ 24. Sean 0 aBb œ œ

B B#  "

si si

BŸ" y B"

Encuentre a0 ‰ 1baBb y a1 ‰ 0 baBbÞ

Solución.

Ú Ý Ý Ý 0 ÐÈB  "Ñ a0 ‰ 1baBb œ Û Ý Ý Ý 0 ÐB  #Ñ Ü

1aBb œ œ

ÈB  " B#

si si

!ŸBŸ" B! ” B"

ÈB  " si ÈB  " Ÿ 1  B si ÈB  "  " B# si B  # Ÿ " si B  ! ” B  " œ # aB  #b  " si B  #  " si

0ŸBŸ"

Ahora: (0 Ÿ B Ÿ " • ÈB  " Ÿ 1) Ê B œ !

(0 Ÿ B Ÿ " • ÈB  "  1) Ê !  B Ÿ "

ÐB  ! ” B  " • B  # Ÿ "Ñ Ê B Ÿ  " ÐB  ! ” B  " • B  #  "Ñ Ê  "  B  ! ” B  " Luego queda;

Ú Ý Ý" B a0 ‰ 1baBb œ Û Ý Ý B# # Ü B  %B  $

si B œ ! si 0  B Ÿ " si B Ÿ  " si  "  B  ! ” B  "

Procediendo en forma análoga para a1 ‰ 0 bß se obtiene

Ú B# Ý Ý ÝÈ B" a1 ‰ 0 baBb œ Û B Ý Ý Ý # ÜB  "

si si si si

B! !ŸBŸ" "  B Ÿ È# B  È#

25. Hallar el dominio de definición de cada una de las funciones siguientes:

a) 0 aBb œ È%  l"  lB  "l  Bl b) 0 aBb œ ÈE