Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas

PROBLEMAS SOBRE ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez

PÁGINA LEGAL

374.852-Riq-P Riquenes Rodríguez, Milagros Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez; Raul Hernández Fidalgo; Salvador Ochoa Rodríguez. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria, 2011. -- ISBN 978-959-16-1956-3 . -- 77 pág. 1. Universidad “Vladimir Ilich Lenin” Las Tunas. 2. Matemáticas en la enseñanza media: libros de texto ISBN (obra completa) 978-959-16-1959-4 Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, ([email protected]) Depósito Legal: 9789591619563

Milagros Riquenes Rodríguez; Raúl Hernández Fidalgo; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, 2012 Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, 2012 La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas. Calle 23 entre F y G, No. 564. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP 10400, Cuba e-mail: [email protected] En acceso perpetuo: http://www.e-libro.com/titulos

TABLA DE CONTENIDO

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este capítulo). Ecuaciones Lineales. Ecuaciones Cuadráticas. Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Inecuaciones Lineales. Inecuaciones Cuadráticas 2. Sistema de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Método de adición algebraica. Método de Sustitución. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas. Ejercicios. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales 3. Trigonometría Ángulos y medición de ángulos Fórmulas de reducción Función Periódica Gráfico de la Función y = senx en [0, 2π] y sus propiedades Funciones de la forma y = a sen bx con a ∈ R y b∈ R y sus propiedades Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedades Algunas identidades trigonométricas Demostración de identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Ejercicios

PRÓLOGO DE LOS AUTORES

El libro: “Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior” tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos: • Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales (este capítulo). • Sistema de ecuaciones lineales y • Trigonometría. El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas.

Los autores, junio 2012

1. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales Milagros Riquenes Rodríguez, Raúl Hernández Fidalgo y Salvador Ochoa Rodríguez

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

Ecuaciones Lineales. Se denominan ecuaciones, las igualdades que contienen una o varias variables (o incógnitas) y solo se satisfacen para algunos valores de las variables. En este trabajo el dominio de las variables que se utilizan, es el de los números reales. Resolver una ecuación es determinar los valores de las variables que hacen cierta la igualdad o asegurarse de que no existen tales valores. Los valores que hacen cierta la igualdad se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Las ecuaciones de la forma ax + b = 0 (con a y b números reales a ≠ 0 ) se denominan lineales en una variable real y se resuelven despejando la variable x o sea x =

−b a

Ejemplos. Resolver las ecuaciones: a) 4 x − 3 = 2 1 1 3 5 x− = x+ 3 2 4 8 c) 2 x − 3 − ( x + 4 − 2 x) = 5 − ( x + 2)

b)

d)

3x + 1 2 x + 1 = 3x − 1 2 x − 3

Soluciones: a) 4 x − 3 = 2

Prueba :

2+3 4 5 x= 4

5 MI = 4  − 3 = 5 − 3 = 2  4 MD = 2

x=

5  MI = MD → S =   4

1 1 3 5 b) x − = x + 3 2 4 6

En este caso, la ecuación no está expresada en la forma ax + b = 0 ( c o n a ≠ 0 ) , debe reducirse la misma a ésta mediante las siguientes transformaciones algebraicas: • Agrupar todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo (MI) de la ecuación y los valores numéricos en el miembro derecho (MD): 1 3 5 1 x− x= + 3 4 6 2

• Hallar el común denominador de la ecuación que es el mínimo común múltiplo de los números: 3, 4, 6 y 2. MCM (3,4,6,2) = 2 2.3 = 12 3

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

• Multiplicar toda la ecuación por MCM 1 3 5 1 x − x = + /.(12) 3 4 6 2 4 x − 9 x = 10 + 6

• Reducir en cada miembro, los términos semejantes − 5 x = 16

Despejar la variable x x=−

16 5

Comprobación o prueba: 1  16  1 16 1 − 32 − 15 47 MI :  −  − = − − = =− 3 5  2 15 2 30 30 3  16  5 − 12 5 − 72 + 25 47 MD :  −  + = +6= =− 4 5  6 5 30 30

Como ambos miembros son iguales, la ecuación se satisface para el valor x = −

16 y el conjunto 5

 16  .  5

solución es S = −

Análogamente se resuelven los demás ejemplos. c) 2 x + 3 − ( x + 4 − 2 x) = 5 − ( x + 2) 2x + 3 − x − 4 + 2x = 5 − x − 2 2 x-x + 2 x + x = 5-2 + 4-3 4x = 4 x =1 S = {1}

Nota: La prueba queda para el estudiante. d)

3x + 1 2 x + 1 = 3x − 1 2 x − 3

Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma ax + b = 0 ( c o n a ≠ 0 ) . El común denominador de la ecuación es: (3x − 1)(2 x − 3)

4

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

3x + 1 2 x + 1 = 3x − 1 2 x − 3 3x + 1 2 x + 1 / ⋅ (3x − 1)(2 x − 3) = 3x − 1 2 x − 3 (3x + 1)(2 x − 3) = (2 x + 1)(3x − 1 ) 6 x 2 − 9 x + 2 x − 3 = 6 x 2 − 2 x + 3x − 1 6 x 2 − 9 x + 2 x − 6 x 2 + 2 x − 3 x = −1 + 3 − 8 x = 2 / : (−8) x=-

1 4

Nota: Comprobar la solución obtenida. Ecuaciones Cuadráticas. Las ecuaciones del tipo ax 2 + bx + c = 0 con a, b y c números reales y a ≠ 0 se denominan cuadráticas y se resuelven mediante la fórmula: x1, 2 =

− b ± b 2 − 4ac , donde D = b 2 − 4ac es el discriminante. 2a

Sí D > 0 → La ecuación tiene dos soluciones reales diferentes. Sí D = 0 → La ecuación tiene dos soluciones reales iguales. Sí D < 0 → La ecuación no tiene soluciones reales.

Cuando el trinomio ax 2 + bx + c tiene descomposición factorial racional se puede utilizar este procedimiento para reducir la ecuación de segundo grado a dos ecuaciones lineales. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones: a) x 2 − 5x + 6 = 0 b) y ( y − 3) = 5 y − 1 c)

x + 2 x −1 x2 − 2 + = x x − 2 x2 − 2x

d ) z 2 − 6 z + 10 = 0 e) x 4 − 3 x 2 − 4 = 0

5

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

Solución: a ) x 2 − 5 x + 6 = 0;

(a = 1, b = −5, c = 6) ;

− (−5) ± (−5) 2 − 4(1)(6) 5 ± 1 = 2(1) 2 x1 = 3, ó x2 = 2 x1, 2 =

Prueba para x1 = 3 MI = (3) 2 − 5(3) + 6 = 0 MD = 0 MI = MD Prueba para x2 = 2 MI = (2) 2 − 5(2) + 6 = 0 MD = 0

MI = MD → S = {3;2}

Observe que el trinomio a) x 2 − 5 x + 6 se descompone en ( x - 2)( x - 3) ( x - 2)( x - 3) = 0 , x - 2 = 0 ó x − 3 = 0 : x = 2 ó x = 3

por lo que

De esta forma el procedimiento para obtener las soluciones de la ecuación de segundo grado es más cómodo, por lo que se recomienda que se analice primeramente sí el trinomio tiene descomposición factorial racional por los métodos estudiados. En caso de no existir la descomposición factorial racional, se utiliza la fórmula. b) y ( y − 3) = 5 y − 1

En este caso se deben realizar transformaciones algebraicas hasta obtener la ecuación dada en la forma ax 2 + bx + c = 0 y2 − 3y − 5y +1 = 0 y2 − 8y +1 = 0

Como el trinomio del miembro izquierdo no tiene descomposición factorial, se debe utilizar la fórmula para resolver la ecuación de segundo grado. Para sustituir en la fórmula es necesario identificar el valor de a, de b y de c: a = 1 , b = −8 y c = 1 x1, 2 =

− (−8) ± (−8) 2 − 4(1)(1) 8 ± 60 8 ± 2 15 = = 2(1) 2 2

x1 = 4 + 15 , ó x2 = 4 − 15

Compruebe los resultados obtenidos.

{

S = 4 + 15 ; 4 − 15

c)

}

x+2 x −1 x2 − 2 + = 2 x x−2 x − 2x

Esta ecuación es fraccionaria, pero mediante transformaciones algebraicas sencillas como son: 6

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

multiplicar por el común denominador ambos miembros, efectuar los productos indicados y reducir términos semejantes en cada miembro es posible convertirla en una ecuación de la forma ax 2 + bx + c = 0 con a, b y c números reales y a ≠ 0 x + 2 x −1 x2 − 2 + = x x − 2 x( x − 2 ) x + 2 x −1 x2 − 2 + = /. x ( x - 2) → MCM. x x − 2 x( x − 2 ) ( x + 2)( x - 2) + x( x − 1) = x 2 − 2 x2 − 4 + x2 − x − x2 + 2 = 0 x2 − x − 2 = 0

( x + 1)( x − 2) = 0 x = −1 ó x = 2

Nota: El valor x = 2 no pertenece al dominio de la ecuación porque anula dos de los denominadores de la misma, por tanto, no es solución de la ecuación. Prueba para x = −1 : MI =

2 1 −1+ 2 −1−1 + = −1 + = − −1 −1− 2 3 3

1 3 MI = MD S = {- 1}

MD = −

Nota: Los valores de la variable de una ecuación que no pertenecen al conjunto solución por ser valores que indefinen la ecuación o por no satisfacer la misma se denominan raíces extrañas. d ) z 2 − 6 z + 10 = 0 (a = 1, b = −6 , c = 10 ) Como el discriminante D = b 2 − 4ac = ( −6 )2 − 4( 1 )( 10 ) = −4 < 0

la ecuación no tiene soluciones reales y S = { } ó S = φ e) x 4 − 3 x 2 − 4 = 0 reduzcamos la ecuación dada a la forma ax 2 + bx + c = 0 sustituyendo x 2 por y, o sea , x 2 = y ( x 2 ) 2 − 3( x 2 ) − 4 = 0

y2 − 3y − 4 = 0 ( y + 1)( y − 4) = 0 y = −1 ó y = 4 Sustituyendo en la ecuación x 2 = y se obtiene : x 2 = −1 y x 2 = 4 La igualdad x 2 = −1 es imposible en R , por lo que no genera

7

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

solución para la ecuación dada. En la igualdad Realice la prueba para estas raíces.

x 2 = 4 se cumple : x = ± 2

S = {2 ; − 2 }.

Ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Ecuaciones con radicales. Las ecuaciones que contienen la incógnita bajo el signo radical al menos una vez, se denominan irracionales o ecuaciones con radicales. Para resolver una ecuación con radicales es necesario realizar transformaciones para reducirlas a una ecuación lineal o cuadrática. En estas transformaciones se pueden introducir raíces extrañas por lo que se requiere comprobar los valores hallados en la ecuación original. Ejemplos. Resolver las siguientes ecuaciones: a)

x+4= 3

b) 3 + 5 x = 13

c)

x 2 + 5x + 1 + 1 = 2 x

d) x + 1 +

e) 16 + x + 4 = 5 4 2+ x

g)

2+ x + x =

i)

x + 3 − x − 2 = 4x +1

k)

2x

f) h)

=8

x − 4 + x + 24 = 14

3 x − 5 + 3x − 14

)

1/ 2

=3

j) 1 − x = 1 − x 4 − 7 x 2 l) 2 log x ⋅ 2 log( 2 x +7 ) = 4 log( x + 2 )

2

22 x

(

x =1

x −2

Solución: x+4 =3

a)

Racionalicemos la ecuación elevando al cuadrado ambos Comprobación: miembros.

(

x+4

)

2

MI = 5 + 4 = 9 = 3 MD = 3

= (3)

2

MI = MD

x+4=9

S={5}

x =9−4 x=5

Comprobación:

b) 3 + 5 x = 13 En este caso para racionalizar la ecuación aislemos 8

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

MI =3 + 5 4 = 3 + 5(2 ) = 13 MD = 13

primeramente el radical. 13 − 3 5 x = 2 Elevando al cuadrado

x=

( x)

2

MI = MD S = {4}

= (2) 2 x=4

c)

Comprobación Para

x 2 + 5x + 1 + 1 = 2 x

[ x + 5x + 1] = [2 x −1] 2

2

x 2 + 5x + 1 = 4 x2 − 4 x + 1 4 x − 4 x + 1 − x − 5x −1 = 0 2

(0)2 + 5(0) + 1 + 1 = 1 + 1 = 2 MD = 2(0 ) = 0 MI =

x 2 + 5x + 1 = 2 x − 1

2

x=0

2

3x − 9 x = 0 3x( x − 3) = 0 2

x=0

MI ≠ MD ⇒ 0 ∉ S Para

x=3

(3)2 + 5(3) +1 + 1 = 25 + 1 = 5 + 1 = 6 MD = 2(3) = 6 ∴ MI = MD ⇒ 3 ∈ S S = {3} MI =

x=3

d)

Comprobacion

x +1 + x = 1

[

x + 1 = 1 − x Aislando un radical

] [

]

2

2

x + 1 = 1 − x Elevando al cuadrado

x +1 = 1− 2 x + x x + 1 −1 − x = x Aislando el radical −2 x =0

( x ) = (0) 2

2

MI = 0 + 1 + 0 = 1; MD = 1 MI = MD S = {0}

Elevando nuevamente al cuadrado

x=0

e) 16 + x + 4 = 5

Comprobación :

4+ x+4 =5

MI = 16 + − 3 + 4 = 4 + 1 = 5 MD = 5

x + 4 = 5− 4 =1

(

x+4

)

2

= (1)

2

MI = MD S = {− 3}

x + 4 =1 x = 1 − 4 = −3

9

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

f)

[

x − 4 + x + 24 = 14

Comprobación :

x − 4 = 14 − x + 24

MI = 40 − 4 + 40 + 24 = 36 + 64 = 6 + 8 = 14 MD = 14

x−4

] = [14 − 2

x + 24

]

2

x − 4 = 196 − 28 x + 24 + x + 24

S = {40}

MI = MD ;

x − 4 − 196 − x − 24 = − 28 x + 24 − 224 = − 28 x + 24 / : (− 28 ) 8= 8 = 2

[

x + 24 x + 24

]

2

64 = x + 24 64 − 24 = x x = 40

[

4 2+ x

2+ x + x =

g)

]

2

2+ x + 2+ x+

/⋅ 2 + x

[x(2 + x )] = 4

(2 x + x ) = 4 (2 x + x ) = 4 − 2 − x

Comprobación :

(2 + 2 / 3) +

MI =

2/ 3 = 8/ 3 + 2/ 3

2 2/3+ 2/3 =3 2/3 =

3 2

2 2

[ 2 x + x ] = (2 − x) 2

2

2

2x + x 2 = 4 − 4x + x 2 2x + x 2 − 4 + 4x − x 2 = 0

2 2: 3

6x − 4 = 0 x = 2/3

=

2 3 2 2 2

2 6 = 6 2 MI = MD

=

S = {2 / 3}

h)

[

(

3 x − 5 + 3 x − 14

 3 x − 5 + 3x − 14 

]

)

1/ 2

1

2

=3

2

 = (3)2 

3 x − 5 + 3 − 14 = 9 3x − 14 = 9 − 3x − 5

3 2 3

3 6 = 6 3 4 4 4 MD = = = (2 + 2 / 3) 8 / 3 2 2 / 3

=

=

x = 4/6

3

=

Comprobaci ón : MI = =

(

(

3(10 ) − 5 + 3(10 ) − 14

25 + 16

)

1/ 2

= (5 + 4 ) 1 / 2 = 9 = 3 MD = 3 MI = MD S = {10}

10

)

1/ 2

3 3

=

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

[ 3x − 14 ] = [9 −

3x − 5

2

]

2

3 x − 14 = 81 − 18 3 x − 5 + 3x − 5 3 x − 14 − 81 − 3 x + 5 = −18 3 x − 5 − 90 = −18 3 x − 5

5 = 3x − 5

[5] 2 = [

3x − 5

]

/ : (− 18)

2

25 = 3x − 5 30 = 3x x = 30 / 3 x = 10

i)

(

x + 3 − x − 2 = 4x +1

) ( 2

x+3 − x−2 =

4x +1

Comprobación :

(6 + 3) − (6 − 2) = 3 − 2 = 1 MD : 4(6) + 1 = 25 = 5 MI ≠ MD → S = { } ó S = φ

)

MI :

2

x + 3 − 2 x2 + x − 6 + x − 2 = 4x + 1 − 2 x 2 + x − 6 = 4x + 1 − 2x − 1

En este caso decimos que x = 6

− 2 x 2 + x − 6 = 2x / : 2

es una raíz extraña de la ecuación

[−

− x2 + x − 6 = x x2 + x − 6

] =x 2

2

x2 + x − 6 = x2 x−6 = 0⇒ x = 6

Comprobación Prueba para x = 0 MI : 1 − 0 = 1

j) 1 − x = 1 − x 4 − 7 x 2

[1 − x]2 = 

1 − x 4 − 7 x 2   

2

MD : 1 − 0 4 − 7(0) = 1

1 − 2x + x = 1 − x 4 − 7x 2

1 − 2x + x − 1 = −x 4 − 7x 2

(

2

=1 MI = MD ⇒ 0 ∈ S

2

x( x − 2 ) = − x 4 − 7 x 2

)

x − 2 = − 4 − 7x2

11

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

[x − 2]2 = [−

4 − 7x2

]

Prueba para x = 1 / 2 MI : 1 − 1 / 2 = 1 / 2

2

x 2 − 4x + 4 = 4 − 7 x 2

MD : 1 − 1 / 2 4 − 7(1 / 2)

2

x 2 − 4x + 4 − 4 + 7x 2 = 0 8x 2 − 4x = 0 4 x(2 x − 1) = 0 4x = 0 ⇒ x = 0 2x − 1 = 0 ⇒ x = 1/ 2

k)

2x 2

= 1−1/ 2 4 − 7 / 4 = 1 − (1 / 2)(3 / 2) = 1 − 3 / 4 = 1/ 4 = 1/ 2 MI = MD ⇒ x = 1 / 2 ∈ S S = {0; 1 / 2}

2

2x

= 8 x − 2 . En este caso se trata de una ecuación exponencial, la cual debe estar expresada

mediante potencias de igual base a través de las propiedades de las operaciones con potencias. 2x 2

2

2x

= 8 x−2 ; 2 x

2

−2 x

= 23( x − 2 ) ⇒ x 2 − 2 x = 3( x − 2); x 2 − 2 x − 3x + 6 = 0; x 2 − 5 x + 6 = 0

x=2 → S = {2; 3} x = 3

(x − 2)(x − 3) = 0 

l) 2log x ⋅ 2log(2 x +7 ) = 4log( x + 2) Aplicando las propiedades de las operaciones con potencias obtenemos : 2log x +log( 2 x +7 ) = 2 2 log( x + 2) log( x ) + log(2 x + 7 ) = 2 log( x + 2 ) → Ecuación logarítmica y para su solución se aplican las propiedades de las operaciones con los logaritmos, expresados en la misma base. log[x(2 x + 7 )] = log( x + 2 )2 → x(2 x + 7 ) = ( x + 2 )2 ; 2 x 2 + 7 x = x 2 + 4 x + 4  x = −4 x 2 + 3 x − 4 = 0 → ( x + 4 )(x − 1) = 0 x = 1 Comprobación :

x = −4 ∉ S porque log(- 4 ), log(- 1), log(- 2 ) son expresiones no definidas MI = 2log1 ⋅ 2log(2(1)+ 7 ) = 20 ⋅ 2log 9 = 2log 9  Para x = 1 → MD = 4log(1+ 2) = 4log 3 = 2 2 log 3 = 2log 9 ∴ S = {1} MI = MD 

12

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

Ejercicios. 1.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4 + 4(4 x − 9) = 8( x − 1) + 4( x − 3)

b)

x+2 =2 x

c) 2 y − 5[3 y − 7(4 y − 9)] = 66

d) z − 2(1 − 3 z ) = 6 + 3(1 − z )

e) 0.7 x − 0.3 = 0.05 x + 1

f) 5(x + 1) − 3(x + 7 ) = 3x + 4

g) 3( x − 5) − 7(3 − 2 x) = 11 + 3(2 x − 12)

h) ( x + 1)(2 x + 1) = ( x + 3)(2 x + 3) − 4

i) ( x + 1)( x − 1) − ( x + 6) 2 = 1.5

j) 1 − ( x − 5) 2 − (4 + x) 2 = (1 + 2 x)( − x)

k) 2( x 2 − 2.5) = ( x + 1) 2 + ( x − 2) 2

l) (x − 2 )2 −

(2 − x 2 ) = x − 1 2

2

m)

3y − 2 1 = 4− y 5 2

n)

x −8 x −3 5 + =− 7 5 2

o)

x+4 x−4 = 2− 14 6

p)

0 ,75 − x 0,47 + 2 x 4 ,4 = − 3 5 1,5

q)

3x + 5 5 x + 4 x − = 1− 6 9 18

r) 3( x − 1) −

2.

2 x − 3 11 4 x − 1 1 + = +x+ 4 6 3 12

Halla el conjunto solución: a) x( x + 9) = 2 x − 12

b) ( x + 2)( x − 3) + 9 x = 3( x 2 − 5) − 1

1 x 2 3

5 2

c) ( x + )( + 2) = 0

d) 2( x 2 + x) = −2

e) 4 x( x + 2) − 5 = 12 − ( x − 4) 2

f) ( x + 2) 2 = 2 x( x + 2) + 12

g) 15 x = 3(2 − 3x 2 )

h) ( 3 x − 5 ) − ( 5 − 3x )2 = −20

i) 2 x(3x + 5) = −(2 x + 5) 2

j) 9(a − 1) 2 + (a + 1) 2 = 6(a 2 − 1)

k) (5 x − 4) 2 − (3 x + 5)(2 x − 1) = 20 x( x − 2) + 27

l) ( 2t − 3 )2 − ( t + 59 ) = −59

m) (2 x + 1) 2 − 5(2 x + 1) + 4 = 0

n) 9t + 1 = 3(t 2 − 5) − (t − 3)(t + 2)

( 2 − x2 ) 1 o) ( x − 2 ) − = x− 2 2

p)

2

3.

1 2

5( x − 1) = 2x + 1 (x + 1)(x − 1)

Para qué valores de x ∈ R se satisfacen las siguientes igualdades.

a)

2x − 3 = 3

b)

5x + 6 = 4

c)

x − 2 = −3

d)

x −5 −6 = 0

13

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

e) g)

2 + 3 2x + 1 = 5 3x + 1 − 7 x − 2 = 0

f)

5 x − 7 − 2 x + 10 = 0

h)

x 2 − 2 − 5x − 8 = 0

i)

x+ x−2 = 4

j)

x − 1 − x = −1

k)

x = 4 x + 16 − 4

l)

x2 + 5x + 1 + 1 = 2 x

m)

x 2 − x +1 = 0

n)

ñ) p)

r) t)

4.

o)

4x + 8 − 2 − 4x = 0

x−7 +

x =

x +3 − x =1 1 − x = 1 − x 4 − 7x2

21

q)

x+ x =6

2 x − 1 = 2( x − 3) : 2 x − 10 x +1 +

x−7 s) u)

2 = x+6 x +1

x − 9 − x x 2 − 12 = 3

(x + 1)1/ 2 = 2 + (x − 7 )1/ 2

Resuelva las siguientes ecuaciones y compruebe sus resultados:

a) ( x + 7) + 1 = 2 x

b) 2 ( x + 4) = x + 1 c) 2 + (7 − x) = x + 13 x−2 = x−4 f) 2x − 7

d) e)

x+5 + x =1 7+

x2 + 3 = 3

5. 6.

Calcula los ceros de la función h( x) = 5x − 1 − x − 1 Resuelve la ecuación: 2 x + 5 − 2 x = 2 x − 3

7.

Halla el conjunto solución de la ecuación 2 x + 6 x 2 + 1 = x + 1

Sean las funciones: f (x ) = 3 x 2 − 13 x + 4 y h (x ) = x − 4 8. Calcula las coordenadas de los puntos de intersección de los lados gráficos de las funciones f y h. 9.

Resuelve la ecuación:

x 2 + 5x x 2 + x − 12

+

x =1 x −3

10. Dadas las funciones definidas por las siguientes ecuaciones: f ( x ) = 3 − 1 − x 2 y g( x ) = 3 x + 3 − 3 . Determina los puntos de intersección de los gráficos de f y g cuyas abscisas son menores que las soluciones de la ecuación 3 3 x + 1 = 27 x + 5 ( 0,75− x ) 14

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

11. Halla los valores de x que satisfacen la ecuación: 9

(

1   + log9 x + 4  2 

− 3 (log3

x +1

)=5

)

12. Resuelve la ecuación: log3 x 16 x 2 + 13 x − 2 − log7 49 = 0 13. Sea: f(x) =

x + 1 . f (2t ) − f (t − 1) = f (t − 4 ) .

14. Resuelve la ecuación:

Halla todos los valores de t para los que se cumple:

log ( 1+ x+1 ) = 3 log 3 x- 4

15. Sean las funciones: f (x ) = 2 3 senx −cos los cuales se cumple que f (x ) = g(4 ) .

(

2

x

y

g(x ) = 3 x − 4 . Determina los valores de x para

)

(

)

k −1 k −1 16. Resuelve la ecuación: log2 3 − 11 = 1 + log2 3 − 1

17. Sean las funciones: f (x ) = 4 log 2 x +7 x −log x y g(x ) = 16 log para los cuales ambas funciones alcanzan el mismo valor. 2

18. Resuelve la ecuación:

x +2

. Determina los valores de x

4x + 16 - x = 1

19. Halle los valores de a para los cuales x = 18 es solución de la ecuación: 20. Resuelve:

x +1+

13 x +1

ax − a = 2

=6

21. Sea la función definida por f ( x) = log (32 x − A.3 x + 10 ) . a) Halla el valor de A para el cual se cumple f(1) = 0. b) Considerando que A = 10, halla todos los valores de x que satisfacen la ecuación f(x) = 0. 22. Determina los valores reales de x que satisfacen la ecuación: 23. Sean las funciones f ( x ) =

( −2 x ²)

3

.9

( −2 x ² −3)

 1  =   27 

6 x−2

( x − 1) x + 3 + 2x + 1 y g(x)=x . Encuentra los valores reales de x+2

x para los cuales se cumple la ecuación f(x )= g(x). 24. Dadas las funciones f y g definidas por f ( x ) = 6 − 4 x y g( x ) = x ³ − 3 x ² + x + 3 . Determina los valores reales de x tales que f(x) – g(x) = 0 25. Sean f y g dos funciones reales dadas por las ecuaciones f ( t ) = t − 2 + 10 log( t + 3 ) y g( t ) = ( t − 1)² − 21 + t + 3 . Determina para qué valores de t se cumple que f(t) = g(t) 26. Dada la función f de ecuación f ( x) = log a (2 x + 1) . a) Si el punto de coordenadas (62 ; 3) pertenece al gráfico de f , determinar el valor de a y escribe la ecuación de f .

15

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

1    , halle todos los valores reales de x para los cuales se cumple 2 x 5 x 3 + −   5 que f ( x) = g ( x) .

b) Si g ( x) = log 1 

Inecuaciones Lineales. En grados inferiores, a las desigualdades con variables se les denomina inecuaciones. Las inecuaciones de la forma ax + b < 0 ó ax + b ≤ 0 ó ax + b > 0 ó ax + b ≥ 0 con ( a ≠ 0 ) se denominan inecuaciones lineales en una variable y se resuelven despejando la variable, teniendo en cuenta que cuando se multiplica o divide en ambos miembros por un número negativo el sentido de la desigualdad se invierte. La inecuación lineal está expresada en sentido estrito si es de la forma ax + b < 0 ó ax + b > 0 y en sentido amplio si es de la forma ax + b ≤ 0 ó ax + b ≥ 0 . Ejemplos. Resolver las siguientes inecuaciones y representar gráficamente el conjunto solución. a) 5 x + 4 > 2 x + 6 1 b) − − 3 x > 4 2 c)(2 x + 5)( x − 1) ≤ 2 x( x − 6) + 10

Solución: En cada una de las inecuaciones dadas, se debe trasformar algebraicamente, es decir, agrupar y reducir todos los términos que contienen la variable x en el miembro izquierdo y los términos numéricos en el miembro derecho hasta obtener una inecuación de la forma ax + b < 0 ó ax + b ≤ 0 ó ax + b > 0 ó ax + b ≥ 0 con ( a ≠ 0 ) y posteriormente despejar la variable x. a) 5 x + 4 > 2 x + 6 5x − 2x > 6 − 4 3x > 2 / : 3 x>

b)−

-∝

2  → S = x ∈ R : x > 3 

2  3 9 / : ( −3 ) 2 9 1 x < ⋅( − ) 2 3 3 x 4 2 − 3x > 4 +

2 3

− 3x >

1 2

-∝

-

3 2

+∝

16

+∝

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

c )( 2 x + 5 )( x − 1 ) ≤ 2 x( x − 6 ) + 10

2 x 2 + 3x − 5 ≤ 2 x 2 − 12 x + 10 2 x 2 + 3 x − 2 x 2 + 12 x − 10 − 5 ≤ 0 15 x − 15 ≤ 0 15 15 x ≤1 x≤ S = {x ∈ R : x ≤ 1} -∝

Inecuaciones Cuadráticas. Toda inecuación 2

+∝

1

de

2

2

la 2

ax + bx + c < 0 ó ax + bx + c ≤ 0 ó ax + bx + c > 0 ó ax + bx + c ≥ 0

forma:

(con a ≠ 0 )

se denomina inecuación cuadrática. El trinomio ax 2 + bx + c es el miembro izquierdo de la inecuación (MI) y 0 es el miembro derecho (MD). Resolver una de estas inecuaciones es determinar para qué valores de x (x ∈ R ) y = ax 2 + bx + c con a , b y c números reales y a ≠ 0 (función cuadrática) es positiva ( y > 0) , no negativa ( y ≥ 0 ) , negativa ( y < 0) o no positiva ( y ≤ 0) . Para resolver una inecuación cuadrática se debe tener en cuenta lo siguiente: Los ceros de la función cuadrática determinan (si los tiene) varios intervalos en R (rayo numérico) y en cada uno el signo de la mismas es constante. A continuación se presenta la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados. a) Sí a > 0 y x1 < x2 . En este caso la gráfica de la y función y = ax 2 + bx + c con a ,b y c números reales y a ≠ 0 es una parábola (Fig.1) que abre hacia arriba siendo x1 y x2 las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática

ax 2 + bx + c = 0 , que son los ceros de la función y = ax 2 + bx + c

(abscisas de los interceptos de la parábola con el eje de las x) , los intervalos determinados son (− ∞; x1 ), (x1; x2 ) y (x2 ;+∞ ) y los signos constante de la función cuadrática son los mostrados en la siguiente figura , tomados de la Fig.1

-∝

(+)

x1

(-)

x2

(+) 17

+ O x1 -

Fig.1

+

x2

x

+∞

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

b) Sí en a) cambiamos solamente el signo del factor a (Fig. 2), entonces cada signo se cambia por su opuesto, es decir, los signos de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados son −, + ,− , dispuestos de derecha a izquierda en el rayo numérico.

y

-

+

x1

−∞ -∝

(-)

x1

(+)

x2

-

x2

x +∞

(-)

Fig.2

c) Si a > 0 (Fig.3) y x1 = x 2 . En este caso los ceros de la función cuadrática son iguales, por tanto. los intervalos determinados son (− ∞; x1 ) y ( x1 ;+∞ ) y los signos constante de la función son (+) y (+) como se muestra en la figura siguiente:

y

−∞ -∝

(+)

x1

(+)

+∝

+

O +

x1

x +∞

Fig.3

e) Sí a > 0 (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces no tiene solución la inecuación porque en la función y = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 , y > 0, ∀x ∈ R. f) Sí a > 0 (Fig.4), el trinomio no tiene ceros y la

Fig.4

desigualdad es mayor que cero, entonces el intervalo de signo constante (+ ) es todo R porque en la función y

y = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 , y > 0, ∀x ∈ R .

g) Sí a < 0 (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es mayor que cero, entonces no hay solución para la inecuación porque en la función

x

−∞

O

+∞

y = ax 2 + bx + c con a ≠ 0 , y < 0, ∀x ∈ R. h) Sí a < 0 (Fig.5), el trinomio no tiene ceros y la desigualdad es menor que cero, entonces el intervalo de signo constante (− ) es todo R porque en la función Fig.5 y = ax 2 + bx + c = 0 con a ≠ 0 , y < 0 , ∀x ∈ R. Como conjunto solución, se toman los intervalos de signo constante que coincidan con el sentido de la desigualdad. Nota: Por lo expuesto en la discusión de cada uno de los casos posibles en la determinación del signo constante de la función cuadrática en cada uno de los intervalos determinados, cuando la misma no tiene ceros, se puede concluir (*): 18

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

• Si el signo del coeficiente a coincide con el sentido de la desigualdad de la inecuación ( a > 0 y MI > 0 ó a < 0 y MI < 0 ) la solución de la inecuación es todo el conjunto de los números reales (R). • Si el signo del coeficiente a es opuesto al sentido de la desigualdad de la inecuación ( a > 0 y MI < 0 ó a < 0 y MI > 0 ) la solución de la inecuación es el conjunto nulo o vacío, es decir, la inecuación no tiene solución lo que se denota como S = { } ó S = φ Ejemplos. Resuelve las siguientes inecuaciones y represente gráficamente el conjunto solución. a ) x( x + 3) ≥ 5 x + 3 2

b ) 4 ( x + 3) − 8 x < 10 x c ) 3 x ( x − 2 ) − ( x − 6 ) < 23 ( x − 3 )

d ) x( x + 2) > −7 + x) Solución: En cada uno de los casos se debe seguir el siguiente procedimiento: Transformar algebraicamente en ambos miembros hasta reducir la inecuación a la forma:

ax 2 + bx + c < 0 ó ax 2 + bx + c ≤ 0 ó ax 2 + bx + c > 0 ó ax 2 + bx + c ≥ 0 (con a > 0 ) .Ig ualar a cero el miembro derecho y resolver la ecuación cuadrática resultante. Los valores obtenidos los denotaremos como x1 y x 2 Situar a x1 y a x 2 en el rayo numérico Como a > 0 el signo constante de la función en cada intervalo es de la forma: + , − , + (Fig.1) si x1 y x 2 son soluciones reales diferentes ó + , + (Fig.3) si x1 y x 2 son soluciones reales iguales. Para el caso de que no existan los valores reales x1 y x 2 no es necesario determinar los intervalos de signo constante y se debe concluir según (*). Dar el conjunto solución, tomando los intervalos que su signo coincida con el sentido de la desigualdad. Los límites de los intervalos (al menos uno) solo se incluyen en la solución si la desigualdad es en sentido amplio ( ≥ ó ≤ ) a )x( x + 3 ) ≥ 5 x + 3

x 2 + 3x − 5 x + 3 ≥ 0 -∝ (+) -1 x2 − 2x + 3 ≥ 0 ( x + 1 )( x − 3 ) ≥ 0, los ceros del S = {x ∈ R : x ≤ −1 ó x ≥ 3} trinomio son x 1= −1 ó x 2 = 3 S = x ∈ R : x ∈ (− ∞; − 1] ∪ [3; + ∞ )

(-)

3

(+) ó

b) 4( x 2 + 3) − 8 x < 10 x

4 x 2 + 12 − 8 x − 10 x < 0 4 x 2 − 18 x + 12 < 0 / : (2) 2 x2 − 9 x + 6 < 0 2 x 2 − 9 x + 6 = 0 a = 2, b = −9, c = 6

Como en este caso el trinomio no se descompone en factores racionales, utilizamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. 19

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

x1,2 = x1 =

9 ± 81 − 4( 2 )( 6 ) 2( 2 )

9 + 33 ó 4

x2 =

=

9 ± 81 − 48 9 ± 33 9 ± 5 .74 = ≈ 4 4 4

9 − 33 4

  9 − 33 9 + 33  9 − 33 9 + 33  , −(7 + x) x 2 + 2 x > −7 − x x 2 + 2x + 7 + x > 0 x 2 + 3x + 7 > 0

Este trinomio no tiene descomposición factorial racional por lo que aplicamos la fórmula:

x 2 + 3x + 7 = 0

a = 1, b = 3, c = 7

D = b 2 − 4ac = ( 3 )2 − 4( 1 )( 7 ) = 9 − 28 = −19 < 0 El trinomio no tiene descomposición factorial en R pero coincide el signo de a, (coeficiente de x 2 ) con el signo de la inecuación dada (>), la solución es todos los números reales S = R. Ejercicios. 1. Resuelve las inecuaciones siguientes: b) 3.2 x − 6 > 2 − 0.8 x 1 a) 5 x − 2 ≥

2

c) x( x − 3 ) + 5 < x( x − 5 ) + 3 e) 21 − 7( 2 x − 9 ) > 3 x

d) 2 x − 4 + 2( x + 3 ) > 3 + 2( x + 3 ) f) 5( 3 − x ) − 3( x − 4 ) < 16 x 20

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

2 5

3  2   3 x  3 x 3  j) x −  −  +  > 1  4  2 10 

h) 3x 2 + 2 x < 2 x  x − 1 + 4

g) x + ( x − 5 ) ≤ − x + 10 i)

2x − 1 5x 7 +1− < 4x + 3 6 2

k) ( x − 4 )( x + 7 ) − ( x − 0.5 ) ≥ x 2 + 10( x − 0.1 ) l)

1 1  1 3 − 2 x − ( 4 − 5 x  > 5 ( x + 4 ) − 16 3  6

2. Hallar los valores de x ∈ R que satisfacen las siguientes inecuaciones: a) x 2 − 4 x − 21 > 0 c) ( 2 x + 1 )( 2 − x ) ≥ 0 e)

b) 3 x 2 − 11x + 6 ≤ 0 d) x 2 − 4 ≤ 0

1 − x2 ≤ 0 4

f) 4 x 2 − 13 x > 17

g) 4 x 2 − 4 x + 1 ≤ 0

h) ( x + 5 )( x − 5 ) ≥ ( 3 x + 1 )2 − 9 x 2 − 25

1  1  i)  + x  −  − x  > 3  2  2

j) x 2 + ( x + 2 )( x − 2 ) ≥ ( x − 2 )2

k) ( x + 4 )2 − ( x − 5 )2 + ( x − 3 )2 > 17 x + 24

3  l) 4 x − 4  x −  > 2 2 

2

2

r)

o)

( 4 x − 1 )( x − 2 ) − ( 2 x − 1 )( 2 x + 1 ) ≤ 5

1 2 x < 3( x + 5 ) 2 x2 + x − 4 s) x( 5 − x ) (x > 0) 2

2

2x3 − x 2 2

2 x + 5x − 3

yC=

1 x

a) Para qué valores de x, el numerador de A y B es no negativo b) Para qué valores de x, el denominador de A es negativo c) Si B es positivo, ¿qué valores toma x? d) Para qué valores de x, C es positivo.

21

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

4. Dada la función definida por: p( x ) =

9x 2 + 4 4x 2 − 9

. Determina para qué valores de x los puntos

correspondientes al gráfico de “p” están por debajo del eje “X”. 5. Sea A( x ) =

x 3 − 3x 2 + 4

. Determina el conjunto de números reales no negativos para los

x2 − 4

cuales A( x ) ≤ 0. 1 x 3 - x 2 +x-1 6. Sean: A = y B = 4 . Halla el mayor número entero negativo x para el cual x+8 x -1 se cumple A ⋅ B ≤ 0 .

7. Dada la función f ( x ) =

x 3 + 5x 2 + 8x + 4 x2 − 4

se cumple que f ( x ) ≥ 0 .

. determina los valores reales de x para los cuales

2 8. Resuelve la siguiente inecuación: log3 5 ( x −3 )  ≥ log3 5 2 x −7 + log3 5 x + 2





9. Dadas f ( x ) = 3 x 2 − kx + 3 , g( x ) = 2 x − 4 y h( x ) = 1 − x a) Calcula los valores de k para los cuales la función f tiene dos ceros diferentes. b) Calcula los ceros de f para k = 7. ( 13 ≈ 3 ,6 ) c) Determina los valores de x que satisfacen la inecuación g(x) < h(x). 10. Dadas las expresiones: A = 36 − x 2 y B = x 2 − 3 x − 28 .Determina para qué valores de x están definidas simultáneamente ambas expresiones. 11. Resuelve la inecuación

1 x x − ≤ 2 . x − 5 x − 4 x − 9 x + 20

12. Dadas la funciones f ( x ) = log 2 ( x − 3) y g( x ) = log0,5

x . Halla los valores de x para los 4

cuales las imágenes de la función f son menores o iguales que las imágenes de la función g. 13. Sean las expresiones A =

m 3 + 4m 2 − 5m m 3 + 125

y B=

3 − 3m 2 m 3 − 4m 2 + 20m + 25

.

a) Prueba que para todos los valores admisibles de la variable se cumple que

A m =− . B 3

b) Halla todos los valores reales de la variable m para los cuales se cumple que: 4 2 A ≥ m2 + m − 3 3 B

14. Sean las funciones reales f, g y h, definidas por las ecuaciones: f (x ) = 3 2+ g( x ) = 4 3 x

g( x ) ≥ h ( x ) .

y

 1 h (x ) =   2

x +5

,

2

x +5

. Calcula los valores reales para los cuales se cumple que

22

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

15. Se tiene la expresión A(x ) =

x−4 . x +5

a) Resuelve la ecuación 4 A (x ) = 16 x

(x ∈ R) .

b) Determina para quévalores reales de la variable x se cumple que A(x ) ≥ x . 16. Sean f (x ) = 3 f (x ) ≥ 3 g(x ) .

2x − 5 x +5

y g( x ) =

1 . x −3

Determina para qué valores de x se cumple:

23

Ecuaciones e Inecuaciones lineales y cuadráticas.

BIBLIOGRAFÍA

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24