Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capitulo II Teoría de curvatura

1 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capitulo II Movimiento Plano

II.1 Aspectos generales del movimiento plano. II.2 Teoría de la curvatura. 1. Teorema de Hartman. 2. Euler-Savary. 3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia de Bresse. 4. Construcciones gráficas. 5. Teorema de Bobillier y construcción de Aronhold. 6. Generalización de la fórmula de Euler-Savary. 7. Aplicaciones de la fórmula de Euler-Savary. II.3 Estudio del mecanismo cuadrilátero articulado. 2 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

1

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capitulo II: Tema 2 Teoría de curvatura

1. Teorema de Hartman. 1. Aspectos previos del Teorema de Hartman. 2. Enunciado y demostración del Teorema de Hartman. 2. Euler-Savary. 1. Fórmula de Euler-Savary. 2. Criterio de signos. 3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia de Bresse. 1. Circunferencia de las inflexiones. 2. Circunferencia de Bresse y polo de aceleraciones. 4. Construcciones gráficas. 1. Construcción gráfica 1. 2. Construcción gráfica 2. 5. Teorema de Bobillier y construcción de Aronhold. 1. Teorema de Bobillier. 2. Teorema de Aronhold. 6. Generalización de la fórmula de Euler-Savary. 1. Introducción. Perfiles conjugados. 2. Euler-Savary generalizado. 3. Fórmula de E-S generalizado. 7. Aplicaciones de la fórmula de Euler-Savary.

3

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2

1. Teorema de Hartman. 1. Aspectos previos del Teorema de Hartman. 2. Enunciado y demostración del Teorema de Hartman.

4 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

2

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman

En este apartado vamos a estudiar el teorema de Hartman que nos permitirá obtener la relación entre un punto del plano móvil, el polo de dicho plano móvil y el centro de curvatura de la trayectoria recorrida por el punto. Pero antes introducimos en el teorema de Hartman existen algunas cuestiones preliminares que nos ayudarán a entender dicho teorema. En esta introducción al teorema de Hartman vamos a considerar 3 planos en el movimiento: • • •

El plano fijo (0). El plano móvil (1) que contiene el punto A el cual recorre la trayectoria m sobre el plano fijo (0). El plano móvil (2) compuesto por la normal (n) y la tangente (t) a la trayectoria y que tiene un punto de coincidencia con el plano (1) que es el punto A. 5

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman El plano fijo (0)

El plano móvil (2)

El plano móvil (1)

n

A

t

t

m

(2) (0)

(1)

n

6 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

3

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman Movimiento del plano 1 sobre el plano 0

Condición: que el punto A del plano 1 recorra la trayectoria m del plano 0. A continuación se muestran dos casos y se comparan.

7 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman VA

VA

A

m

P10

A

m

P10

ω1

ω=0 (1)

(1) (0)

(0)

8 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

4

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman VA

A

A

VA

m

P10

m

P10

ω1

ω=0 (1)

(1)

(0)

(0)

9 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman A

VA

A

VA

m

m

P10

ω1

P10

ω=0

(1 )

(0)

(1)

(0)

10 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

5

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman A

VA

A

VA

m

P10

m

P10

ω1

ω=0

(1)

(1)

(0)

(0)

11 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman A

A

VA

VA

m

P10

m

P10

ω1

ω=0

(1 )

(1)

(0)

(0)

12 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

6

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman

A

A

ω1

m

VA

P10

m

VA

P10

(1)

ω=0 (1) (0)

(0)

13 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman

A m

A

m

ω1

P10

VA

P10

VA

(1)

ω=0 (1) (0)

(0)

14 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

7

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman

Movimiento del plano 1 sobre el plano 0: 1. La condición de que un solo punto, el A, recorra la trayectoria m no condiciona completamente el movimiento del plano 1 sobre el cero, ya que pueden darse infinitos desplazamientos entre posiciones cumpliendo con esta condición. 2. Por tanto, la posición del polo P10 no está definida. Sin embargo, sí conocemos la dirección en la que se encuentra este polo, ya que debe estar situado en la normal a la trayectoria. La condición de que el punto A recorra la trayectoria define la dirección de la normal.

15 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman Movimiento del plano 2 sobre el plano 0

Condiciones:

1. El punto de corte entre tangente y normal debe coincidir con el movimiento del punto A. 2. La recta t debe ser siempre tangente a la trayectoria y la recta n debe ser normal a la misma.

16 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

8

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

n

t

Aspectos previos del teorema de Hartman

(2 )

n

t

m

(0)

17 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n t

m

t

( 2)

n

(0)

18 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

9

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

t t

m

(2)

n

(0)

19 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

t t

m

(2) n

(0)

20 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

10

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

t

m

t

(2 ) n

(0)

21 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman t n

m

t

) (2 n

(0)

22 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

11

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman

Movimiento del plano 2 sobre el plano 0: •

•

En este caso, la condición de normal y tangente a la trayectoria restringe completamente el movimiento y, por tanto, la posición del plano 2 con respecto al plano 0 es conocida en cualquier instante. Al estar completamente restringido el movimiento la posición del polo P20 también lo está.

23 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

n t

t

t

ds n

t

n

(2) (2)

P20 = cdc

24

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

12

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

n

n

n

n

t

t

t

t

t

t

n

t

t

m

t

t

) (2

t

t

(2 )

Evoluta de la trayectoria

n

n

(2) (2) ) n (2

(2 )

n n

n

(0)

25 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

n

t

Aspectos previos del teorema de Hartman

(2 )

P201

n

t

m

(0)

26 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

13

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n t

m

t

P202 ( 2)

n

(0)

27 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

t t

m

P203 (2)

n

(0)

28 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

14

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

t t

m

P204 (2) n

(0)

29 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

t

m

(2 )

t

P205

n

(0)

30 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

15

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman t n

Ruleta

t

) (2

P20

m

6

Base n

(0)

31 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman

Conclusiones sobre el movimiento del plano 2 sobre el plano 0: • • • •

El movimiento está perfectamente definido. El polo P20 puede determinarse como intersección de dos rectas normales separadas por un ds. El polo P20 es a la vez el centro de curvatura de la trayectoria para esa posición. La base del movimiento del plano 2 sobre el plano 0 coincide con la evoluta de la trayectoria.

32 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

16

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman Movimiento de los tres planos. • •

Ahora hacemos coincidir el movimiento de los tres planos: el plano fijo (1), el móvil (1) y el móvil (2). Durante el movimiento se mantendrán las condiciones anteriormente citadas y además el punto de corte de las rectas n y t coincidirá con el punto A.

La última de estas condiciones implica que el polo del movimiento del plano 1 con respecto al (2) coincide con el punto A, ya que tiene que tener las misma velocidad en el plano (1) y (2).

33 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

n

t

Aspectos previos del teorema de Hartman

A m

P101

(2 )

P201

n

t

P211

(1) (0)

34 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

17

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n t

A

P212 t

m

P102 P202 ( 2)

n

(1)

(0)

35 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

A

t

P213

t

m

P103 P203 (2)

(1)n

(0)

36 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

18

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

t

A

P214

t

m

P104 P204 (2) n

(1)

(0)

37 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman n

t

A

(2 )

P205

P215

P105

m

t

n

(1)

(0)

38 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

19

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman t n

A

P216 m

P106 t

) (2

P20

6

n

(1)

(0)

39 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Aspectos previos del teorema de Hartman

Conclusiones generales: • Como puede observarse, los tres polos: P10, P12 y P20 están permanentemente alineados (lo que está de acuerdo con el teorema de Aronhold). • Con los datos del problema, de los tres polos se conoce la posición exacta de dos de ellos (P21, P20) y la dirección en la que se encuentra el tercero (P10). • Además, el centro de curvatura de la trayectoria que recorre un punto A es el polo del plano asociado a la normal y tangente a la trayectoria en la que se mueve dicho punto. • La evoluta de la trayectoria es la base del movimiento del plano (2) con respecto al plano (0). 40 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

20

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Teorema de Hartman

Enunciado del teorema de Hartman: Hartman: El extremo del vector velocidad de un punto, el centro de curvatura de la trayectoria y la componente paralela a la velocidad del punto del vector velocidad de cambio de polo, están alineados.

A

P

Para demostrar este teorema veremos dos demostraciones: A y B. La primera de ellas, la A, es una demostración más intuitiva y la segunda, la B, más matemática.

u

cdc

41 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Teorema de Hartman Demostración A

A VA

VB

VC B

C

P 42 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

21

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Teorema de Hartman VB VAperp

A

VBrel

VBBarra VCperp B C

P 43 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Teorema de Hartman A

P

u

cdc

44 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

22

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Teorema de Hartman np

ρ

A

O1

VA

Ψ ω (1)

Ap P

tp

tp

u (0)

C

np O0

45

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Teorema de Hartman np

r1

ρ

A

O1

VA

Ψ ω (1)

Ap P

tp

tp

u (0)

C

np O0

r0 46

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

23

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Enunciado y demostración del Teorema de Hartman np

r1

ρ

A

O1

VA

A

VA

Ψ ω (1)

Ap P

tp

Ψ

P

tp

u

u’

(0) C

C

np

r0

O0

47

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2

2. Euler-Savary. 1. Fórmula de Euler-Savary. 2. Criterio de signos.

48 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

24

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Fórmula de EulerEuler-Savary (E(E-S) np

O1

r1

VO1 ω

(1) P

tp

tp

u

(0)

r0

1 1 ω + = = cte ro r1 u

O0 np 49

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Fórmula de EulerEuler-Savary (E(E-S) np

r1

A

O1

VO1 ω

(1) P

tp

u’

1  1 1 ω  1 +   senφ = + = = cte ro r1 u  PA CP 

VA

ϕ

tp

u

(0)

C

r0 O0 np

50

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

25

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Criterio de signos np r1

O1

ϕ

np

P

tp

r1

A

O1

ϕ P

tp

tp

tp

A C

C

r0 np

r0

O0

np

1  1 1  1 +   senφ = + PA CP r r1   o

O0

1  1 1  1 +   senφ = + ro r1  − PA CP 

51 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Criterio de signos O0

r0

r1

np O1

O0

r0

r1

A

ϕ

O1

ϕ P

tp

np

tp

P

tp

tp

A C

np

1  1 1  1 + +   senφ = PA CP − r r   o 1

C

np

1  1 1  1 + +   senφ = − ro r1  − PA CP 

52 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

26

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Criterio de signos np

np

A ϕ P

tp

C

tp

P A

O1 r1

r0

ϕ tp

O0 np

1  1 1  1 +   senφ = + ro − r1  PA CP 

C

tp O1 r1

r0

O0 np

1  1 1  1 +   senφ = + ro − r1  − PA CP 

53 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2 3. Circunferencia de inflexiones y circunferencia de Bresse. 1. Circunferencia de las inflexiones. 2. Circunferencia de Bresse y polo de aceleraciones.

54 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

27

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Circunferencia de las inflexiones (circunf. circunf. de Hire) Hire) I

A δ

r

Definición: los puntos del plano móvil (1) que no tienen aceleración normal por estar en un punto de inflexión de la trayectoria (curvatura ∞).

ω

ϕ

r = δ senφ

u P

∞ A w

δ ω

ϕ

2

PA = WA ⋅ CA

u P C ∞55

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Circunferencia de Bresse. Bresse. Polo de aceleraciones

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que tienen aceleración tangencial nula.

A ψ

Q

Ap r u b

P

r = − b cosψ 56 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

28

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2 4. Construcciones gráficas. 1. Construcción gráfica 1. 2. Construcción gráfica 2.

57 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1 A

Enunciado: Dada la circunferencia de las inflexiones y conocido el polo, calcular el cdc de la trayectoria del punto A:

P

58 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

29

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1 A

Paso 1: Se trazan por A y B dos rectas arbitrarias que se cortan en el punto B.

P

B

59 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1 A

Paso 2: Se obtiene el punto W como intersección de la recta AP con la circunferencia de las inflexiones, y se une dicho punto con el punto B.

W

P

B

60 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

30

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1 A

Paso 3:

W

Se traza una recta paralela a WB por el punto P, obteniendo el punto D en el punto de corte con la recta AB.

P

B

D

61 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1 A

Paso 4:

W

Finalmente se traza por el punto D una recta paralela a la recta PB, y donde corta a la recta AP se obtiene el punto C, cdc de la trayectoria de A.

P

B

C D

62 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

31

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 1 A W

PA DA = WA BA

CA DA = PA BA

PA CA = WA PA

P

B

PA 2 = WA ⋅ CA C D

63 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 Enunciado: Hallar tres puntos de la circunferencia de las inflexiones, conocidos dos puntos (A y B) y sus respectivos centros de curvaturas (OA y OB).

B

A

OB

OA

64 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

32

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 Paso 1:

B

El polo P es el primer punto de la circunferencia de las inflexiones, ya que puede obtenerse directamente en la intersección de las dos rectas que unen los puntos con sus centros de curvatura.

A

P

OB

OA

65 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 Paso 2:

B

Se obtiene el punto Q como intersección de las rectas AB y OAOB.

A

P

Q

OB

OA

66 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

33

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 Paso 3:

B

Se obtiene el Eje de Colineación uniendo el punto Q con el polo P.

A c P Eje de

ón olineaci

(EC AB)

Q

OB

OA

67 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 Paso 4: Se traza por P una recta paralela a OAOB hasta que corte a la recta AB en el punto H. A continuación se traza otra recta por este punto paralela al eje de colineación. Los puntos de corte con AOA y BOB son puntos de la circunferencia de las inflexiones.

B

A

WA WB

H

ción colinea P Eje de

(EC AB)

Q

OB

OA

68 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

34

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 Conocidos tres puntos de la circunferencia de las inflexiones se puede obtener dicha circunferencia.

B

A

WA WB

H

P

c Eje de

ón olineaci

(EC AB)

Q

OB

OA

69 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 A W

B

A

WA WB

P

P

OB

OA

70 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

35

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 A W

B

A P

WA WB

H

B

P

OB

OA

71 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción gráfica 2 A W

B

A P

WA WB

H

B

P

ción colinea Eje de

(EC AB)

Q

OB

OA

C D

72 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

36

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2

5. Teorema de Bobillier y construcción de Aronhold. 1. Teorema de Bobillier. 2. Teorema de Aronhold.

73 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Bobillier “La bisectriz del ángulo que forman las normales a la trayectoria de dos puntos coincide con la bisectriz del ángulo que forman la dirección de la velocidad de cambio de polo (o tangente polar) y el eje de colineación”.

74 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

37

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Bobillier B A

OB

OA

75 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Bobillier EC

AB

P

B

A

Q

OA

OB

76 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

38

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Bobillier EC

AB

P

B

A WB Q

OB

OA

WA

77

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Bobillier EC

AB

P

B

A WB Q

OA

OB

tp

WA

78

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

39

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Bobillier EC

AB

P

β

β B

A WB OA

Q

OB

tp

β

WA

79

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Bobillier

= =

=

=

80 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

40

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Teorema de Bobillier EC

AB

P

β

β B

A WB Q

OB

OA

Bisec triz

tp

β

WA

81

R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción de Aronhold Enunciado: Dados dos puntos, A y B, y sus respectivos centros de curvatura, OA y OB, se desea hallar el centro de curvatura de un tercer punto C del mismo plano móvil.

C

B A

OA OB

Paso 1: determinamos el polo P. P 82 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

41

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción de Aronhold C

Paso 2: determinamos el eje de colineación con los puntos A y B, y a continuación obtenemos la tangente polar QAB empleando el teorema de Bobillier.

B A

tp

OA

EC

OB

AB

β

β

P 83 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción de Aronhold C

Paso 3: Aplicando de nuevo el teorema de Bobillier se determina el eje de colineación AC.

B A

tp

QAB

OB

AC

AB

OA

EC

EC

α

α β

β

P 84 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

42

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Construcción de Aronhold C

B A

tp

QAC

EC

OB

AC

AB

OA

EC

Paso 4: Uniendo el punto QAC con el centro de curvatura de la trayectoria de A de obtiene el centro de curvatura de la QAB trayectoria de C como punto de corte de esta recta con la recta PC.

α

α

OC β

β

P 85 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Capítulo II: Tema 2

6. Generalización de la fórmula de Euler-Savary. 1. Introducción. Perfiles conjugados. 2. Euler-Savary generalizado. 3. Fórmula de E-S generalizado.

86 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Introducción. Perfiles conjugados Hasta ahora hemos considerado que la base es una curva fija (nuestro sistema de referencia). Esto implica que en el polo P existan 3 puntos:

A

• P0: punto del plano fijo (Base) y por tanto de velocidad nula. • P1: punto del plano móvil (ruleta) y velocidad nula por condición de polo. • P: punto matemático que representa las sucesivas posiciones del polo sobre el plano fijo. Sus velocidad u, se denomina velocidad de cambio de polo.

ω P0 P1 P

tp

Ruleta (1)

P

tp

u

Base (0) = Fija

C 87

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Introducción. Perfiles conjugados Posición 1

Ahora consideramos un plano fijo (0) y otro móvil (1) en el que tenemos en todo instante una tangente en común t. Pero a diferencia del caso anterior en el contacto existe rodadura y deslizamiento.

n

Perfil (0)

Perfil (0) t

Posición 2 n

t

t

t

Envolvente (0)

n

n

Envolvente: se dice que una curva en un plano fijo es la envolvente de otra curva en el plano móvil (denominada perfil) perfil si en todo instante tienen una tangente en común. A ambas curvas (perfil y envolvente) se las denomina perfiles conjugados. conjugados

88

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Introducción. Perfiles conjugados En el punto H de nuevo existen tres puntos: • H0: Perteneciente a la envolvente (plano fijo) y de velocidad nula.

Posición 1 n

• H1: Perteneciente al perfil (1) y de velocidad la velocidad de deslizamiento del perfil sobre la envolvente (VHdes).

Perfil (0)

• H: Punto matemático de contacto. Su velocidad es distinta de cero.

t

El polo del movimiento relativo de una curva y su envolvente está situado sobre la normal a la tangente en el punto de contacto (H), ya que la velocidad de H1 debe estar en la dirección de la tangente (de lo contrario el perfil penetra o se aleja de la envolvente).

VHdes

H

t

Envolvente (0) P10 n

89 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

EulerEuler-Savary Generalizado De forma similar a como se realizó en el teorema de Hartman vamos a considerar 3 planos en el movimiento: • • •

El plano (0): es el plano fijo y en el se encuentran situados tanto la envolvente como la base. El plano (1): es el plano móvil al que pertenecen la ruleta, el perfil y el punto A. El plano (2): que es el segundo plano móvil compuesto por la normal (n) y la tangente (t) al perfil y la envolvente en el punto de contacto entre ambas curvas.

A continuación se seguirán los pasos siguientes: • • •

Localización de los 3 polos del movimiento relativo. Velocidades de cambio de polo en los tres casos. Bases y ruletas en los movimientos relativos.

90 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

45

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

n (2)

VA A

Perfil (1) t (2)

t (2) Envolvente (0)

P10: como se ha explicado anteriormente este polo debe estar situado sobre la recta normal en el punto de contacto entre perfil y evolvente. Suponemos su localización así como las curvas Base y Ruleta.

n (2) ϕ

ω

Ruleta (1)

P10

tp

tp

u10

Base (0) = Fija

La velocidad de cambio de polo u10 debe estar sobre la tangente polar.

91 R. Sancibrián, Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

VA

n (2) A

Perfil (1) t (2)

P20: Como se ha demostrado (teorema de Hartman) un plano móvil formado por tangente y normal a una trayectoria tiene su polo en el centro de curvatura de la trayectoria. En este caso la trayectoria es la superficie de la curva evolvente.

t (2) Envolvente (0) n (2) ϕ

ω P10

tp

u10

Ruleta (1) tp Base (0) = Fija

Además, la base del movimiento 20 será la evoluta de la envolvente y por tanto la velocidad de cambio de polo u20 tendrá la dirección de la recta normal.

u20 Evoluta de la envolvente (2) P20

92

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46

Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

VA

P21: Si invertimos el movimiento y la curva fija es el perfil y la móvil la envolvente, siendo el perfil la trayectoria descrita por el punto de corte entre normal y tangente. Por la misma razón que en el caso anterior el polo P21 debe estar situado en el cdc del perfil. Además, igual que antes, la base del movimiento relativo 21 será la evoluta del perfil y la velocidad de cambio de polo u21 será tangente a esta curva.

Perfil (1)

n (2)

Evoluta del perfil (1) A = P21

u21 u21rel

t (2) t (2) Envolvente (0) n (2) ϕ

Ruleta (1)

ω P10

tp

tp

u10

Sin embargo, esta velocidad será relativa, es decir u21rel, ya que es la velocidad que observa el observador situado sobre el perfil.

Base (0) = Fija

Para obtener la velocidad de cambio de polo total es necesario componerla con la velocidad del punto VA.

Evoluta de la envolvente (2) P20

93

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

VA

Como puede observarse, P20, P21 y P10 son tres puntos que se mueven permanentemente alineados.

Perfil (1)

A = P21

u21 u21rel

t (2) Envolvente (0) n (2) ϕ

ω P10

tp

u

Si los tres puntos están permanentemente alineados se puede aplicar el teorema de Hartman y la fórmula de Euler-Savary. En este caso se denomina a la fórmula: EulerSavary generalizado:

 1 1    senφ = cte +  P20 P10 P10 A 

Evoluta del perfil (1)

t (2)

Por tanto, como se demostró anteriormente, se debe cumplir que los extremos de la componentes de la velocidad perpendiculares a la recta que une los tres puntos deben estar alineadas. Conclusión:

n (2)

Ruleta (1) tp Base (0) = Fija

Evoluta de la envolvente (2) P20

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Cinemática y Dinámica de Máquinas. II.2 Teoría de la curvatura

Fórmula de EE-S Generalizado E-S Generalizado

E-S Estándar A

Perfil

n A1

t

t Envolvente P

u

ϕ tp

n P

Ruleta tp Base

C A0

1   1 +   senφ = cte  PA CP 

 1 1    senφ = cte +  A 0 P PA1 

A0: cdc de la envolvente. A1: cdc del perfil. P: Polo entre el plano del perfil y la envolvente. 95

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