Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático

Capitulo III Métodos analí analíticos de aná análisis cinemá cinemático.

1 R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica

Cinemática y Dinámica de Máquinas. III.2 Métodos analíticos de análisis cinemático

Capí Capítulo III Aná Análisis cinemá cinemático de mecanismos

III.1 III.2 1. 2. 3. 4. III.3

Aná Análisis cinemá cinemático de mecanismos. Mé Métodos grá gráficos. Métodos analí analíticos de aná análisis cinemá cinemático. Introducció Introducción. Mecanismo cuadrilá cuadrilátero articulado. Mecanismo bielabiela-manivela. Ejercicios propuestos. Métodos numé numéricos de aná análisis cinemá cinemático.

2 R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica

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Capí Capítulo III: Tema 2 Métodos analí analíticos de aná análisis cinemá cinemático 1. Introducci Introducció ón. cuadrilá átero articulado. 2. Mecanismo cuadril 1. Problema de posició posición. 2. Problema de velocidades. 3. Problema de aceleració aceleración. 3. Mecanismo bielabiela-manivela. 1. Problema de posició posición. 2. Problema de velocidades. 3. Problema de aceleraciones. 4. Ejercicios propuestos. 3

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Capí Capítulo III: Tema 2 Métodos analí analíticos de aná análisis cinemá cinemático

1. Introducció Introducción.

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Introducció Introducción Los métodos analíticos tratan de llegar a una expresión matemática de las variables cinemáticas de posición, velocidad y aceleración, en función de los parámetros que definen las dimensiones del mecanismo analizado y las variables cinemáticas de entrada. Normalmente estos métodos se basan en tres tipos de enfoques matemáticos: trigonométrico, números complejos y análisis vectorial. En cualquiera de los casos se trata de plantear las denominadas ecuaciones de cierre o ecuaciones de lazo. lazo Estas ecuaciones representan las restricciones del movimiento del mecanismo de forma matemática empleando cualquiera de los tres enfoques mencionados. En este apartado se estudiará el método analítico de Raven, uno de los más utilizados, y que permite obtener con relativa facilidad las ecuaciones analíticas del mecanismo cuadrilátero articulado y bielamanivela. 5 R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica

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Capí Capítulo III: Tema 2 Métodos analí analíticos de aná análisis cinemá cinemático 2. Mecanismo cuadrilá cuadrilátero articulado. 1. Problema de posició posición. 2. Problema de velocidades. 3. Problema de aceleració aceleración.

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Problema de posició posición Mecanismo cuadrilá cuadrilátero articulado: Para la determinación de la posición inicial se plantea la ecuación de cierre del mecanismo que tiene la siguiente expresión vectorial: θ4

ω2

r1e

iθ 1

= r2e

iθ 2

+ r3e

r3

A

r1 = r2 + r3 + r4

iθ 3

+ r4 e

iθ 4

B

θ3

α2

r4

r2 θ2

r1 cos θ1 = r2 cos θ 2 + r3 cos θ 3 + r4 cos θ 4   r1senθ1 = r2senθ 2 + r3 senθ3 + r4 senθ 4 

B0

r1

A0

θ1

Sistema algebraico que puede ser resuelto para obtener los valores de θ3 y θ4 en función de los valores conocidos de θ1, θ2, r1, r2, r3 y r4. Se puede utilizar un método numérico para su resolución o métodos trigonométricos para la resolución de este tipo de ecuaciones. 7 R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica

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Problema de posició posición

Para obtener la posición inicial se puede emplear un procedimiento trigonométrico s=

r42

r12

+ r22

− 2r1r2 cos θ 2

2

r32

− 2sr3 cos φ

=s +

s senβ = r2senθ 2 r4senδ = r3senφ

A

φ = a cos

− r42 + s 2 + r32

r β = asen( 2 senθ 2 ) s

δ = asen(

r3 senφ ) r4

2sr3 A0

β r2

B θ4

r3

θ3

φ

α r4

s δ

θ2 r1

β

B0

Ahora podemos obtener los ángulos que definen las posiciones de las barras como,

θ3 = φ − β

θ 4 = 360 º −( β + δ )

Hay que tener en cuenta que las expresiones planteadas pueden variar en función de la posición relativa de los elementos. Así por ejemplo, si el ángulo θ2 es mayor que 180º o si se considera la solución cruzada frente a la solución abierta. 8 R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica

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Problema de posició posición Para establecer la posición de un punto cualquiera sobre un eslabón cualquiera es necesario plantear formulación adicional. En el caso del elemento 2 se tendrá, h2 = g2 = g 2e

i λ2

λ2 = θ 2 + φ 2

x p2 = g 2 cos λ2 = g 2 cos (θ 2 + φ2 )   y p2 = g 2 sin λ2 = g 2 sin (θ 2 + φ2 ) 

En el caso del punto P3 y P4 sobre el P2 elemento 3 y 4 respectivamente, h2 =g2 h3 = r2 + g 3 e

i λ3

λ3 = θ 3 + φ 3

Y

x p3 = r2 cos θ 2 + g 3 cos(θ 3 + φ3 ) y p3 = r2senθ 2 + g 3 sen(θ 3 + φ3 )

h4 = r1 + g 4 e

i λ4

λ4 = θ 4 − φ4 + 180

P3

g3 φ3

A

r3

α2 ω2 φ2

r2

θ4

θ3 r4

h3

P4 φ4

h4

θ2

A0

B

g4

r1

B0

X

x p4 = r1 + g 4 cos(θ 4 − φ4 + 180) y p4 = g 4sen(θ 4 − φ4 + 180)

En esta expresión se ha considerado un signo (-) afectando al ángulo φ4 dado su sentido. Este signo puede ser positivo en otros casos. 9 R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica

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Problema de velocidades Para la determinación de las velocidades se considera de nuevo la ecuación de cierre, r1e iθ 1 = r2e iθ 2 + r3e iθ 3 + r4 e iθ 4

Sin pérdida de generalidad se puede considerar que el elemento fijo forma un ángulo θ1=0. Entonces, reordenando la ecuación queda como, r2e iθ2 + r3e iθ3 + r4 e iθ4 − r1 = 0

θ4

Derivando con respecto al tiempo,

A

dθ dθ dθ ir2 2 e iθ2 + ir3 3 e iθ3 + ir4 4 e iθ4 = 0 dt dt dt

ω2

θ3

α2

B r4

r2

ir2ω2e iθ2 + ir3ω3e iθ3 + ir4ω 4e iθ 4 = 0 r3ω3senθ 3 + r4ω 4senθ 4 = −r2ω2senθ 2   r3ω3 cos θ 3 + r4ω4 cos θ 4 = −r2ω2 cos θ 2 

r3

θ2 A0

r1

B0

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Problema de velocidades r3ω3 senθ 3 + r4ω4senθ 4 = −r2ω2senθ 2   r3ω3 cos θ 3 + r4ω4 cos θ 4 = −r2ω2 cos θ 2 

que es un sistema de ecuaciones donde las únicas incógnitas son ω3 y ω4, y por tanto puede resolverse empleando, por ejemplo, la regla de Cramer, − r2ω2senθ 2 r4senθ 4 − r2ω2 cos θ 2 r4 cos θ 4 − r ω senθ 2 r4 cos θ 4 + r4senθ 4 r2ω2 cos θ 2 = 2 2 r3 senθ 3 r4senθ 4 r3senθ 3 r4 cos θ 4 − r4senθ 4 r3 cos θ 3 r3 cos θ 3 r4 cos θ 4

ω3 =

Operando, ω3 =

−r2sen(θ 2 − θ 4 ) ω2 r3sen(θ3 − θ 4 )

e igualmente para ω4, ω4 =

r2sen(θ 2 − θ 3 ) ω2 r4sen(θ 3 − θ 4 ) 11

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Problema de velocidades En el caso de un punto cualquiera sobre el eslabón 2 será necesario formular, g2 = g 2e iλ2

Derivando respecto del tiempo se obtiene la velocidad. Es decir, VP2 =

dg2 dλ = ig 2 2 e iλ2 dt dt

donde, dλ2 d (θ 2 + φ2 ) = = ω2 dt dt

Por tanto,

h2 =g2 Y

A0

VP2 = ig 2ω2e i (θ 2 +φ2 )

φ3

A

P2

P3

g3 r3

α2 ω2 φ2

θ2

θ4

θ3 r4

h3 r2

B

P4 φ4

h4 r1

g4 B0

X

Separando en parte real e imaginaria, VP2 x = −g 2 ω 2 sen(θ 2 + φ 2 ) VP2 y = g 2 ω 2 cos(θ 2 + φ 2 )

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Problema de velocidades En el caso del punto P3 la velocidad será, VP3 =

dg3 = ir2ω2e iθ 2 + ig 3ω3e i (θ 3 +φ 3 ) dt

Separando en parte real e imaginaria, VP3x = −r2ω2senθ 2 − g 3ω3sen(θ 3 + φ3 )

VP4

h2 =g2 Y

dg 4 dr1 dλ = = + ig 4 4 e iλ4 = ig 4ω 4 e iλ4 dt dt dt

Separando parte real e imaginaria,

A0

φ3

A

P2

VP3y = r2ω2 cos θ 2 + g 3ω3 cos(θ 3 + φ3 )

De la misma forma para el punto P4,

P3

g3 r3

α2 ω2 φ2

B

θ4

θ3 r4

h3 r2 θ2

VP4 x = −g 4ω4sen(θ 4 − φ4 + 180)

P4 φ4

h4 r1

g4 B0

X

VP4 y = +g 4ω4 cos(θ 4 − φ4 + 180)

Las velocidades de cada punto se pueden obtener determinado el módulo y argumento. Esto es, Vi = Vix2 + Viy2

ϕ i = a tan

Viy Vix

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Problema de aceleraciones Considerando de nuevo la expresión, ir2

dθ d θ 2 iθ 2 dθ 4 iθ4 e + ir3 3 e iθ3 + ir4 e =0 dt dt dt

Derivando otra vez respecto del tiempo, 2

2

2

d 2θ 2 iθ2 d 2θ 3 iθ3 d 2θ 4 iθ4  dθ   dθ   dθ  − r2  2  e iθ2 − r3  3  e iθ3 − r4  4  e iθ 4 + ir2 e + ir3 e + ir4 e =0 dt 2 dt 2 dt 2  dt   dt   dt 

O en forma compacta,

− r2ω2 2e iθ2 − r3ω3 2e iθ3 − r4ω4 2e iθ 4 + ir2α 2e iθ2 + ir3α 3e iθ3 + ir4α 4e iθ4 = 0 Reordenando y separando en parte real e imaginaria se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas, − r3α 3senθ 3 − r4α 4 senθ 4 = r2ω2 2 cos θ 2 + r3ω3 2 cos θ 3 + r4ω4 2 cos θ 4 + r2α 2senθ 2   r3α 3 cos θ 3 + r4α 4 cos θ 4 = r2ω2 2senθ 2 + r3ω3 2sen θ 3 + r4ω 4 2senθ 4 − r2α 2 cos θ 2 

donde las incógnitas son α3 y α4. 14 R Sancibrián y A. de Juan. Ing. Mecánica

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Problema de aceleraciones Resolviendo por Cramer se obtiene, 2

α3 =

2

2

r2ω 2 cos θ 2 + r3ω3 cos θ 3 + r4ω 4 cos θ 4 + r2α 2senθ 2 2 2 2 r2ω 2 senθ 2 + r3ω 3 senθ 3 + r4ω 4 senθ 4 − r2α 2 cos θ 2 − r3 senθ 3 r3 cos θ 3

− r4 senθ 4 r4 cos θ 4

− r4senθ 4 r4 cos θ 4

=

=

(r2ω 2 2 cos θ 2 + r3ω3 2 cos θ 3 + r4ω 4 2 cos θ 4 + r2α 2senθ 2 )r4 cos θ 4 + − r3senθ 3 r4 cos θ 4 + r4 senθ 4 r3 cos θ 3

+

r4senθ 4 (r2ω 2 senθ 2 + r3ω 3 senθ 3 + r4ω 4 senθ 4 − r2α 2 cos θ 2 ) = − r3senθ 3 r4 cos θ 4 + r4senθ 4 r3 cos θ 3

=

r2ω 2 cos θ 2 cos θ 4 + r3ω3 cos θ 3 cos θ 4 + r4ω 4 cos 2 θ 4 + r2α 2senθ 2 cos θ 4 + r3sen(θ 4 − θ 3 )

+

r2ω 2 2senθ 2senθ 4 + r3ω3 2senθ 3 senθ 4 + r4ω 4 2sen 2θ 4 − r2α 2 cos θ 2senθ 4 = r3 sen(θ 4 − θ 3 )

=

r2ω 2 2 cos(θ 2 − θ 4 ) + r3ω 3 2 cos(θ 3 − θ 4 ) + r4ω 4 2 + r2α 2sen(θ 2 − θ 4 ) = r3sen(θ 4 − θ 3 )

=

r2ω 2 2 cos(θ 2 − θ 4 ) + r3ω 3 2 cos(θ 3 − θ 4 ) + r4ω 4 2 α 2r2sen(θ 2 − θ 4 ) − = r3sen(θ 4 − θ 3 ) r3sen(θ 3 − θ 4 )

=

α ω r2ω 2 cos(θ 2 − θ 4 ) + r3ω 3 cos(θ 3 − θ 4 ) + r4ω 4 + 2 3 r3sen(θ 4 − θ 3 ) ω2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

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Problema de aceleraciones Reordenando, α3 =

r ω 2 cos(θ 2 − θ 4 ) + r3ω32 cos(θ 3 − θ 4 ) + r4ω42 ω3 α2 − 2 2 r3 sen(θ 3 − θ 4 ) ω2

De la misma forma para α4, α4 =

r ω 2 cos(θ 2 − θ 3 ) + r4ω 42 cos(θ 3 − θ 4 ) + r3ω32 ω4 α2 − 2 2 r4 sen(θ 3 − θ 4 ) ω2 A

ω2

θ4 r3

θ3

α2

B r4

r2

θ2 A0

r1

B0

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Problema de aceleraciones Para el punto P2 la aceleración será, A P2 = ig 2α 2e i (θ 2 +φ2 ) − g 2ω22e i (θ 2 +φ2 )

Separando parte real e imaginaria,

P3

g3 P2 h2 =g2

AP2x = −g 2α 2sen (θ 2 + φ2 ) − g 2ω22 cos(θ 2 + φ2 )

Y

φ3

A

B

r3

θ3

α2 ω2 φ2

θ4

r4

h3 r2

AP2y = g 2α 2 cos(θ 2 + φ2 ) − g 2ω 22sen (θ 2 + φ2 ) A0

φ4

h4

θ2

P4 g4

r1

B0

X

En el caso del punto P3, A P3 = ir2α 2e iθ 2 − r2ω22e iθ 2 + ig3α 3e i (θ 3 +φ3 ) − g3ω32e i (θ 3 +φ3 )

Separando en parte real e imaginaria, AP3 x = −r2 (α 2senθ 2 + ω22 cos θ 2 ) − g 3 (α 3sen (θ 3 + φ3 ) + ω32 cos(θ 3 + φ3 )) AP3 y = r2 (α 2 cos θ 2 − ω22senθ 2 ) + g 3 (α 3 cos(θ3 + φ3 ) − ω32sen(θ 3 + φ3 ))

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Problema de aceleraciones Finalmente, para el punto P4 se obtiene, A P4 = ig 4α 4e iλ4 − g 4ω42e iλ4

Separando parte real e imaginaria, 2

AP4 x = −g 4α 4 sen (θ 4 − φ4 + 180 ) − g 4ω4 cos (θ 4 − φ4 + 180 ) 2

AP4 y = + g 4α 4 cos (θ 4 − φ4 + 180 ) − g 4ω4 sin (θ 4 − φ4 + 180 ) P2

Las componentes globales de aceleración se determinan de la h2 =g2 α2 misma forma que en el caso de las Y ω2 φ2 velocidades, esto es, r

2

Ai =

Aix2

ϕ i = a tan

+

Aiy2

A0

θ2

P3

g3

φ3

A

r3

B

θ4

θ3 r4

h3

P4

φ4

h4 r1

g4 B0

X

Aiy Aix

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Capí Capítulo III: Tema 2 Métodos analí analíticos de aná análisis cinemá cinemático 3. Mecanismo bielabiela-manivela. 1. Problema de posició posición. 2. Problema de velocidades. 3. Problema de aceleraciones.

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Problema de posició posición Mecanismo bielabiela-manivela: Únicamente se considera en este apartado la velocidad y aceleración del elemento 3 y la deslizadera. No se ha incluido el caso de un punto cualquiera. Si fuese necesario obtener la velocidad y aceleración de un punto cualquiera de un elemento del mecanismo se procederá como en el caso anterior en el mecanismo cuadrilátero articulado. Para el análisis de la posición se parte de la ecuación vectorial de lazo cerrado siguiente.

θ3

r1 + r4 = r2 + r3 r1e iθ 1 + r4e iθ 4 = r2e iθ 2 + r3e iθ 3 r 4 = r2 cos θ 2 + r3 cos θ 3   r1 = r2 senθ 2 + r3 senθ 3  θ 3 = asen(

r3 r2

θ2

r1 r2 − senθ 2 ) r3 r3

  r r r4 = r2 cos θ 2 + r3 cos asen( 1 − 2 senθ 2 ) r3 r3  

r1

r4

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Problema de velocidades Para la obtención de las velocidades se deriva la ecuación de lazo cerrado expresada en forma compleja respecto del tiempo. Es decir, V4e iθ 4 = ir2ω2e iθ 2 + ir3ω3e iθ 3

que separada en parte real e imaginaria produce el siguiente sistema de ecuaciones, V4 = −r2ω 2sen θ 2 − r3ω3 sen θ 3 0 = r2ω 2 cos θ 2 + r3ω3 cos θ 3

Su resolución conduce a, ω3 =

−r2ω2 cos θ 2 r3 cos θ 3

V4 = −r2ω2senθ 2 + r2ω2 cos θ 2 tan θ 3

que son las velocidades del mecanismo en función de la velocidad de entrada.

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Problema de aceleraciones De nuevo se toma la ecuación de lazo cerrado expresada en forma compleja y se deriva esta vez dos veces respecto del tiempo obteniendo la siguiente expresión, A4 e iθ 4 = −r2ω 22 e iθ2 + ir2α 2 e iθ2 − r3ω32 e iθ3 + ir3α 3 e iθ3

Expresando es expresión compleja en forma algebraica produce, A4 = −r2ω22 cos θ 2 − r2α 2 senθ 2 − r3ω32 cos θ 3 − r3α 3senθ 3   0 = −r2ω22senθ 2 + r2α 2 cos θ 2 − r3ω32senθ 3 + r3α 3 cos θ 3 

que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas cuya solución produce, α3 =

r2ω22senθ 2 − r2α 2 cos θ 2 + r3ω32senθ3 r3 cos θ 3

A4 = −r2ω22 cos θ 2 − r2α 2senθ 2 − r3ω32 cos θ 3 − ( r2ω 22senθ 2 − r2α 2 cos θ 2 + r3ω32senθ 3 ) tan θ 3

Con lo que queda resuelto el problema de aceleraciones.

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4. Ejercicios propuestos.

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Ejercicios propuestos Considerando como elemento de entrada el elemento 2, determinar empleando el método de Raven la posición, velocidad y aceleración de P.

r5

θ3

P

ϕ r3 r2

θ2 r1 r4

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Ejercicios propuestos Considerando como elemento de entrada el elemento 2 (coordenada r1), determinar empleando el método de Raven la posición, velocidad y aceleración de los puntos A, B y P, y la velocidad angular del triángulo ABC.

2 A r1

1

θ3 r4 ϕ

3

r3

C

C

4

B

r2

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