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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
Capitulo IV - Inecuaciones Definición: Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnita) y que sólo se verifica para determinados valores de la incógnita o incógnitas. Ejemplo: La desigualdad: 2x + 1 > x + 5, es una inecuación por que tiene una incógnita “x” que se verifica para valores mayores que 4.
Intervalos: Los intervalos son sub-conjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real. Consideremos los siguientes tipos de intervalos: a)
Intervalo Cerrado.- a < b [ a,b ] = { x ∈ R / a < x < b }
b)
b
a
b
a
b
Intervalo Abierto en a y Cerrado en b.< a,b ] = { x ∈ R / a < x < b }
e)
a
Intervalo Cerrado en a y Abierto en b.[ a,b > = { x ∈ R / a < x < b }
d)
b
Intervalo Abierto.- a < b < a,b > = { x ∈ R / a < x < b }
c)
a
Intervalos Infinitos.[ a, +∞ > = { x ∈ R / x > a }
< a, +∞ > = { x ∈ R / x > a }
a
a
< -∞, b ] = { x ∈ R / x < b } < -∞, b> = { x ∈ R / x < b } < -∞, +∞ ] = { x / x ∈ R } Nota 1:
Si x ∈ [a,b] ÅÆ a < x < b
Ejemplo.- Demostrar que: si x ∈ [2,4] entonces 2x + 3 ∈ [7,11] Solución: x ∈ [2,4] Æ 2 < x < 4, multiplicando por 2 4 < 2x < 8, sumando 3 7 < 2x + 3 < 11 Si 7 < 2x + 3 < 11 Æ 2x + 3 ∈ [7,11] Por lo tanto, si x ∈ [2,4] Æ 2x + 3 ∈ [7,11] Nota 2:
Si x ∈ ÅÆ a < x < b
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b b
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Ejemplo.- Demostrar que: si 2x-6 ∈ Æ x ∈ Solución: 2x-6 ∈ Æ -4 < 2x – 6 < 4, sumando 6 2 < 2x < 10 dividiendo entre 2 1 < x < 5, entonces x ∈ Por lo tanto, si 2x – 6 ∈ Æ x ∈ Conjunto Solución de una Inecuación: Se llama conjunto solución de una inecuación a todos los números reales que la verifiquen, es decir, que dichos números reales dan la desigualdad en el sentido prefijado. Resolución de una Inecuación: El resolver una inecuación consiste en hallar un conjunto solución; es decir, encontrar el intervalo donde están los valores que puede tomar la incógnita para que verifique la inecuación. Inecuación de Primer Grado en una Incógnita: Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, son de la forma: ax + b > 0 ó
ax + b < 0, a ≠ 0
Para resolver estas inecuaciones se debe considerar a > 0, es decir , si a > 0, entonces: x>-
b a
ó
x
ó
x ∈ < - ∞, -b/a >
Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones. 1.
3x – 4 < x + 6 Solución: Las inecuaciones de primer grado en una incógnita, se resuelve, expresando la inecuación en la forma: En un solo miembro se pone la incógnita, en el otro miembro los números, es decir: 3x – x < 6 + 4, simplificando se tiene: x < 5. es decir: x ∈ 5 La solución es: x ∈
2.
3 (x – 4) + 4x < 7x + 2 Solución: Poniendo en un solo miembro la incógnita y en el otro miembro los números: 3x – 12 + 4x < 7x + 2 Æ 3x + 4x – 7x < 2 + 12 simplificando 0 < 14
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Esta desigualdad obtenida es cierta, entonces la solución de la inecuación dada, es el conjunto de todos los números reales (x ∈ R). 3.
5x – 4 (x + 5) < x – 24 Solución: En forma análoga a los ejemplos anteriores en un solo miembro ponemos las incógnitas y en el otro miembro los números. 5x – 4x – x < -24 + 20 simplificando 0 < -4 Como la desigualdad obtenida no es correcta, entonces no hay ningún valor de x, que verifique que la inecuación dada. Por lo tanto la solución es el vacío (φ).
4.
2 < 5 – 3x < 11 Solución: Aplicando la propiedad de transitividad: a 0
(1)
Al analizar el valor número de la ecuación (1) dando valores reales a x se presentan tres casos: 1º Caso: Si ∆ = b2 – 4ac > 0, entonces hay dos valores diferentes r1 < r2 que anulan el trinomio ax2 + bx + c = 0. Es decir: a (x – r1) (x – r2) = 0, si se hace variar x a lo largo de la recta real resulta: i)
Cuando x toma valores menores que r1, los factores (x - r1) y (x – r2) son negativos, luego el trinomio ax2 + bx + c, tiene el mismo signo del coeficiente de “a”.
ii)
Cuando x toma valores intermedio r1 y r2 ; entonces el factor (x - r1) es positivo y el factor (x – r2) es negativo, luego el trinomio ax2 + bx + c, tiene signo opuesto del coeficiente de “a”.
iii) Cuando x toma valores mayores que r2 ; entonces los factores (x - r1), (x – r2) son positivos, luego el trinomio ax2 + bx + c, tiene el mismo signo del coeficiente de “a”. 2º Caso: Si ∆ = b2 – 4ac = 0, entonces hay un solo valor real r1 = r2 = r, que anulan el trinomio ax2 + bx + c = 0, luego como (x – r)2 es positivo, el signo del trinomio ax2 + bx + c es el mismo del coeficiente de “a”. 3º Caso: Si ∆ = b2 – 4ac < 0, entonces se tiene dos valores no reales r1 = α - βi que anulan el trinomio ax2 + bx + c , y para cualquier valor de x, el trinomio: ax2 + bx + c tiene el mismo signo del coeficiente de “a”.
b)
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Para resolver una inecuación cuadrática de las formas ax2 + bx + c >0 ó ax2 + bx + c < 0, donde a,b,c ∈ R, a ≠ 0, por medio de la naturaleza de las raíces primero se resuelve la ecuación ax2 + bx + c = 0, y de acuerdo a la naturaleza de las raíces se presenta tres casos: 1º Caso: Si la ecuación ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces reales diferentes r1 < r2.
+
r1
+ r2
i)
Si la inecuación es de la forma ax2 + bx + c > 0, con a > 0, la solución es todos los valores de x que pertenecen al intervalo < -∞, r1 > ∪ < r1, + ∞ >.
ii)
Si la inecuación es de la forma ax2 + bx + c < 0, la solución es todos los valores de x que pertenecen al intervalo < r1 , r2 >.
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2º Caso: Si la ecuación ax2 + bx + c = 0, tiene una raíz real única r1 = r2 = r.
x
r
x
i)
Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0. La solución es todos los valores de x ≠ r, es decir: x ∈ ∪ . CS = x ∈ < -∞, r > U < r, +∞ >
ii)
Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c < 0, con a > 0. No se verifica para ningún valor real de x.
3º Caso: Si la ecuación ax2 + bx + c = 0, tiene dos raíces no reales. i)
Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0. La solución es todos los valores reales de x.
ii)
Si la inecuación es de la forma: ax2 + bx + c > 0, con a > 0. No se verifica para ningún valor real de x. RESUMIENDO EN EL SIGUIENTE CUADRO Raíces de la Ecuación
Forma de la Inecuación
Conjunto Solución 2
ax + bx + c = 0
Raíces diferentes ∪ < r2 ,+∞ > r 1 < r2 ax2 + bx + c > 0, a > 0 Raíz Real Única r
R – {r}
Raíces no reales
R
Raíces diferentes < r1 , r2 > r 1 < r2 2
ax + bx + c < 0, a > 0 Raíz Real Única
φ
Raíces no reales
φ
Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones: 1.
2x – x – 10 > 0 Solución: Resolveremos la inecuación usando propiedades de los números reales: a,b > 0 ÅÆ (a > 0 ∧ b > 0) ó (a < 0 ∧ b < 0)
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 2x2 – x – 10 > 0 Æ (x + 2) (2x – 5) > 0 (x+2) (2x–5) > 0 ÅÆ (x+2 > 0 ∧ 2x–5 > 0) ∨ (x+2 < 0 ∧ 2x–5 < 0) ÅÆ (x > -2 ∧ x > 5/2) ∨ (x < -2 ∧ x < 5/2)
-2
5 2
-2
5 2
La solución es: x ∈ < - ∞, -2 > ∪ < 5/2 , + ∞ > Otra forma de resolver esta inecuación, es por la naturaleza de sus raíces de la ecuación 2x2 – x – 10 = 0, de donde r1 = -2, r2 = 5/2, luego r1 < r2 y como 2x2 – x – 10 > 0, de acuerdo al cuadro la solución es: x ∈ < - ∞, -2 > ∪ < 5/2 , + ∞ > 2.
x2 + 8x – 65 < 0 Solución: Usando propiedades de los números reales: a2 < b, b > 0 ÅÆ
-
b < a <
b
Completando cuadrados en x2 + 8x – 65 < 0, se tiene: x2 + 8x + 16 < 65 + 16 Æ (x + 4) 2 < 81, aplicando la propiedad (x + 4) 2 < 81 ÅÆ - 81 < x + 4 < 81 ÅÆ -9 < x + 4 < 9 ÅÆ -13 < x < 5 La solución es x ∈ < -13 , 5 > Ahora resolveremos la inecuación por medio de la naturaleza de las raíces de x2 + 8x – 65 = 0, es decir: (x + 13) (x - 5) = 0 de donde r1 = -13, r2 = 5 de acuerdo al cuadro es: x ∈ < -13 , 5 > -13 3.
5
x2 + 20x + 100 > 0 Solución: Mediante propiedad de los números reales se tiene: x2 + 20x + 100 > 0
Æ (x + 10) 2 > 0 entonces:
∀ x ∈ R; x ≠ -10, (x+10)2> 0, por lo tanto la solución es: x ∈ R– {-10} Ahora veremos de acuerdo a la naturaleza de las raíces: x2 + 20x + 100 = 0 entonces r = -10, multiplicidad 2, y como x2 + 20x + 100 > 0, de acuerdo al cuadro de solución es: x ∈ R– {-10}. 4.
x2
+
3x 5
+
9 100
<
0
Solución: Aplicando la propiedad de los números reales: ∀ x ∈ R; x2 > 0, luego x2 Pero
x + 3 10
2
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>
+ 0
3x 5
+
9 100
<
0 Æ
x+ 3 10
2
0 a)
ó
P(x) = anxn + … + a1x + a0 < 0
RESOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN POLINÓMICAS Una inecuación polinómicas de la forma P(x) > 0 ó P(x) < 0, se resuelve de acuerdo a la naturaleza de sus raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, en una forma sencilla y rápida , considerando an > 0. Para esto hallaremos primero las raíces del polinomio P(x) = anxn + … + a1x + a0 = 0, y como éste polinomio es de grado n entonces tiene n raíces, lo cual pueden ser reales diferentes, reales de multiplicidad y no reales. 1º Caso: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0, son reales diferentes. Es decir: r1 < r2 < … < rn-1 < rn + ……
-
+
rn-3
rn-2
rn-1
+ rn
i)
En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio P(x) = 0, se alternan los signos “+” y “-“ reemplazando por asignar el signo (+) al intervalo < rn , ∞ >.
ii)
Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anxn + … + a1x + a0 > 0, an > 0; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo “+”.
iii)
Si la inecuación polinómica es de la forma: P(x) = anxn + … + a1x + a0 < 0, an > 0; el conjunto solución, será la unión de los intervalos a los cuales se le ha asignado el signo “-”.
Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes: 1.
x5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 + 4x + 12 > 0 Solución: Expresamos el 1º miembro de la inecuación en forma factorizada: (x + 3) (x + 2) (x – 1) (x + 1) (x – 2) = 0
1
3
-5
-15
4
12
1
4
-1
-16
-12
1
4
-1
-16
-12
0
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12
22
12
1
6
11
6
0
-1
-5
-6
1
5
6
0
-2
-6
3
0
1
-1 -2 -2
-3 1
0
Luego las raíces son: r1 = -3, r2 = -2, r3 = -1, r4 = 1, r5 = 2 -
+ -3
-
+
-2
-1
1
+ 2
Como P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+). Es decir: x ∈ < -3,-2 > ∪ < -1 , 1> ∪ < 2, +∞ > 2.
2x3 – 3x2 – 11x + 6 < 0 Solución: Hallaremos las raíces de la ecuación: 2x3 – 3x2 – 11x + 6 = 0 2 2 2
-3
-11
6
-4
14
-6
-7
3
0
6
-3
-1
0
-2 3 1/2
1 2
0
Luego las raíces del polinomio son: r1 = -2,
-
+ -2
r2 = ½, r3 = 3
½
+ 3
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-), es decir: x ∈ < - ∞ , -2 > ∪ < ½ , 3 > 2º Caso: Si algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0, son reales de multiplicidad de orden mayor que 1 se tiene: i)
Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0 es par, en este caso a la raíz no se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 1º caso.
ii)
Cuando el orden de la multiplicidad de una de las raíces del polinomio P(x) = 0 es impar, en este caso a la raíz se considera para la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo proceso del 1º caso.
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes. 1.
(x – 1)2 (x + 2) 8x + 4) > 0 Solución: Resolviendo la ecuación (x – 1)2 (x + 2) 8x + 4) = 0, de donde r1 = -4, r2 = -2, y r3 = 1, de multiplicidad 2. +
-
+
-4
-2
1
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: x ∈ ∪ < -2, +∞ > - {1} 2.
(2x + 1) (3x – 2)3 (2x - 5) < 0 Solución: Resolviendo la ecuación (2x + 1) (3x – 2)3 (2x - 5) = 0, de donde r1 = - 1/2, r2 = 2/3 de multiplicidad 3, r3 = 5/2. -
+
-
- 1/2
2/3
+ 5/2
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-). Es decir: x ∈ ∪ < 2/3, 5/2 > 3º Caso: Cuando alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0, no son reales, en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores. Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes. 1.
(x2 – 7) (x2 + 16) (x2 – 16) (x2 + 1) < 0 Solución: Resolviendo la ecuación: (x2 – 7) (x2 + 16) (x2 – 16) (x2 + 1) = 0, de donde: r1 = -4 , r2 = -
+
7, r3 =
7, r4 = 4, r5 = -4i, r6 = 4i , r7 = i, r8 = -i
-4
+ -
7
7
+ 4
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-), es decir: x ∈ < -4,2.
7 > ∪ <
(1 + x + x2) (2 – x – x2) > 0 Solución: La inecuación la expresamos así: (x2 + x + 1) (x2 + x – 2) < 0
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7, 4 >
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Ahora resolviendo la ecuación: (x2 + x + 1) (x2 + x – 2) = 0, de donde: r1 = -2,
r2 = 1,
r3 = -1 + 3i, 2
+
r4 = -1 - 3i 2
-2
+ 1
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (-), es decir: x ∈ [-2,1] Inecuaciones Fraccionarias: Una inecuación fraccionaria en un incógnita es de la forma: P(x) > 0 Q(x)
Q(x)
ó
P(x) < 0,
Q(x) ≠ 0
Donde P(x) y Q(x) son monomios o polinomios diferente de cero. Para resolver una inecuación fraccionaria debe tenerse en cuenta que las inecuaciones: P(x) > Q(x)
0
ó
P(x) < Q(x)
P(x), Q(x) > 0 ó
0, son equivalentes a las inecuaciones:
P(x), Q(x) < 0
Es decir: Si Q(x) ≠ 0 Æ Q2(x) > 0, de donde se tiene: Si
P(x) > Q(x)
0
Æ P(x) . Q2 (x) > Q(x)
0.Q2 (x) Æ P(x). Q(x) > 0
Si
P(x) < Q(x)
0
Æ P(x) . Q2 (x) < Q(x)
0.Q2 (x) Æ P(x). Q(x) < 0
Ejemplo: Resolver las inecuaciones siguientes : 1.
(x2 – 1) (x + 3) (x – 2) > 0 (x – 5) (x + 7 ) Solución: La inecuación (x2 – 1) (x + 3) (x – 2) > 0 (x – 5) (x + 7 ) Es equivalente a la siguiente inecuación: (x2 – 1) (x + 3) (x – 2) (x - 5) (x + 7) > 0, para x ≠ -7,5 Ahora hallaremos las raíces de la ecuación: (x2 – 1) (x + 3) (x – 2) (x - 5) (x + 7) = 0. De donde: r1 = -7, r2 = -3, r3 = -1, r4 = 1, r5 = 2, r6 = 5, que son reales diferentes.
+
-7
+ -3
-1
+ 1
2
+ 5
Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de Q(x) los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: x ∈ < - ∞, -7 > ∪ < -3, -1 > ∪ < 1 , 2 > ∪ < 5, +∞ >
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x–2 < x+3
x+1 x
Solución: La inecuación dada se expresa en la forma, mayor que cero o menor que cero, es decir: x – 2 x + 1 < 0 -Æ x (x-2) – (x+1) (x+3) x+3 x x (x + 3) de donde:
<
-6x – 3 < 0 Æ 2x + 1 , que es equivalente a: x (x+3) x (x+3) x (2x + 1) (x + 3) x > 0, para x ≠ -3,0 Ahora encontramos las raíces de la ecuación: (2x + 1) (x + 3) x = 0 De donde: r1 = -3, r2 = - ½ , r3 = 0 -
+ -3
-½
+ 0
Como la inecuación es de la forma (2x+1) (x+3) x > 0, la solución es la unión de los intervalos donde aparecen el signo (+), es decir: x ∈ < - 3, - ½ > ∪ < 0, +∞ > 3.
x x–1
+
x–1 x
<
2x x+1
Solución: La inecuación dada expresaremos en la forma: x + x–1 2x < 0 x–1 x x+1 x2 (x + 1) + (x – 1) (x – 1) (x + 1) – 2x2 (x – 1) < 0, simplificando (x – 1) x (x + 1) 2x2 – x + 1 < 0, (x – 1) x (x + 1)
que es equivalente a la inecuación.
(2x2 – x + 1) (x – 1) (x + 1) < 0, para x ≠ -1,0,1 Ahora encontramos las raíces de (2x2 – x + 1) (x – 1) (x + 1) = 0 De donde sus raíces son: r1 = -1, r2 = 0, r3 = 1, r4 = 1 + √7i, r5 = 1 – √7i 4 4 -
+
-
+
-1 0 1 Como la inecuación es de la forma P(x) < 0, la solución es la unión de Q(x) los intervalos donde aparecen el signo (-), es decir: x ∈ < - ∞, - 1> ∪ < 0, 1 >
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Inecuaciones Exponenciales: Las inecuaciones exponenciales en un incógnita son de la forma: af(x) > ag(x)
∨
af(x) < ag(x)
Donde f(x) y g(x) son expresiones en x, a ∈ R+ , a ≠ 1. Para resolver estas inecuaciones, se consideran dos casos: 1º Caso: Si a > 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en el mismo sentido prefijado, es decir: Si af(x) > ag(x) ÅÆ Si a
f(x)
g(x) f(x) < g(x)
2º Caso: Si 0 < a < 1, entonces los exponentes de la inecuación dada son desiguales en sentido contrario prefijado, es decir: Si af(x) > ag(x) ÅÆ Si a
f(x)
g(x)
Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones: 1.
3
3
(5x + 1)/3
<
9
3 (x+1)/5
Solución: La inecuación dada es equivalente a: 3(5x + 1)/9 < 9(3x + 1)/10
Æ
3(5x + 1)/9 < 3(6x + 6)/10
Como a = 3 > 1 entonces 5x + 1 < 6x + 6 9 10 5x + 10 < 54x + 54 Æ -44 < 4x Æ x > -11 Æ x ∈ < -11, + ∞ > ∴ La solución es: x ∈ < -11, + ∞ > 2.
[ (0,2)(x+1)(x-2) ]
1/(x-3)
>
(0.0128) 83x-1
3x-1
Solución: La inecuación dada se puede escribir en la forma: (0,2)(x+1) (x-2) / x-3 De donde: (0,2)
>
0.0128 8
(x+1) (x-2) / x-3
3x - 1
> (0,2)12x-4
Como a = 0.2 < 1, se tiene (x+1) (x-2) < x-3
12 - 4
Æ (x+1) (x-2) - 12 + 4 < 0 x–3 Efectuando operaciones y simplificando tenemos: 11x2 – 39x + 14 > 0, x-3 esta inecuación es equivalente a: (11x2–39x+14) (x–3) > 0 para x ≠ 3. Ahora hallando las raíces de: (11x2–39x+14) (x–3) = 0, de donde: r1 = 39 - 905, 22
r2 = 3,
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r3 = 39 + 905 22
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-
+
-
39 + 905 22
3
+ 39 +
905 22
Como la inecuación es de la forma P(x) > 0, la solución es la unión de Q(x) los intervalos donde aparece el signo (0), es decir: x∈
39 -
905 , 3 22
∪
39 +
905, ∞ 22
Inecuaciones Irracionales: Las inecuaciones irracionales en un incógnita son de la forma: F(x, F(x,
P2(x),
3
P3(x), ……
n
Pn(x) ) > 0
P2(x),
3
P3(x), ……
n
Pn(x) ) < 0
ó
Donde P2(x), P3(x), ……, Pn(x) son monomios o polinomios diferentes de cero. Para que la solución de la inecuación sea válida debe resolverse antes la condición Pi(x) > 0, i = 2,3,…, n en las expresiones con una radical par, cuyo conjunto solución constituirá el universo dentro del cual se resuelve la inecuación dada. Debe observarse que P(x), quiere decir, (+ P(x)) y si se desea la raíz negativa se escribirá expresamente como (- P(x)); es decir: i) ∀ P(x) > 0 ,
P(x)
> 0
ii)
P(x) = 0 ÅÆ P(x) = 0
Para resolver las inecuaciones radicales se debe tener en cuenta la siguientes propiedades: 1. 0 < x < y
ÅÆ 0 <
x <
y
2. 0 < x < y
ÅÆ 0 <
x <
y
3. 0 < x < y
ÅÆ 0 <
x <
y
4. i) Si n es un entero positivo par. a1) ∀ P(x) > 0 ∴
n
Pn(x)
> 0 ÅÆ P(x) > 0
a2)
n
P(x) = 0 ÅÆ P(x) = 0
a3)
n
P(x) <
n
Q(x)
ÅÆ
0 < P(x) < Q(x)
ii) Si n es entero positivo impar. b1)
n
b2)
n
P(x) < 0 ÅÆ P(x) < 0
b3)
n
P(x) <
P(x)
> 0 ÅÆ P(x) > 0
n
Q(x)
ÅÆ
P(x) < Q(x)
Las propiedades b1), b2) indican que
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n
P(x)
tienen el mismo signo que P(x) si n es impar.
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” OBSERVACIÓN.- Cuando en una expresión existen k radicales par entonces se calculan los universos relativos U1, U2, ……, Uk para cada radical y el universo general será U = U1 ∩ U2 ∩ …… ∩ Uk. Daremos algunos ejemplos de ilustración de estas propiedades, para después estudiar las diversas formas de inecuaciones irracionales. Ejemplos: Resolver las siguientes inecuaciones: 1.
x + 5 > -2 Solución: Como x + 5 > -2 es válida para todo x tal que x ∈ U: x + 5 > 0 Æ x > -5 Æ U = [-5 , + ∞ >, luego el conjunto solución es [-5 , + ∞ >
2.
x+7 >0 Solución: Como
x + 7 > 0 entonces el conjunto universal es x + 7
Además
> 0 Æ U = [-7,+ ∞>.
x + 7 > 0 ÅÆ x + 7 > 0 Æ x ∈ .
∴ x ∈ . 3.
x–5 < 0 Solución: Como x – 5 < 0, el conjunto universal es x – 5 > 0 Æ x > 5 Æ U= [5,+∞> y como 0 < 5 < 0 ÅÆ x – 5 = 0 Æ x – 5 = 0 Æ x = 5 ∈ U, luego el conjunto solución es {5}.
4.
x–
x–8 0 Solución: Como x + 9 > 0 es verdadero ∀ x ∈ U: x + 9 > 0, es decir solución es x ∈ [-9, +∞>.
6.
8 – 2x <
13
Solución: El conjunto universal es 8 – 2x > 0 Æ x < 4 de donde U = - 5/2
De donde x ∈ [- 5/2, +∞> Luego el conjunto solución es: U ∩ [- 5/2, +∞> = [- 5/2, 4]
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U=[-9, +∞>, luego el conjunto
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7.
x+3
+
4–x
> -3
Solución: Calculando los universo relativos. U1 : x + 3 > 0 Æ x > -3 Æ x ∈ [-3, +∞> U2 : 4 - x > 0 Æ x < 4 Æ x ∈ [-∞, 4> U = U1
∩ U2 = [ -3, + ∞ >
∩
-3
es válido ∀ x ∈ U = [-3, 4].
x–7 >3 Solución: Sea U: x – 7 > 0 Î x > 7 Æ x ∈ [7, +∞ > x – 7 > 3 ÅÆ x – 7 > 9 Æ x > 16 Æ x ∈ El conjunto solución es x ∈ U ∩ < 16, +∞ > = < 16, +∞ >
9.
-
x–5
>0
Solución: -
x–5
> 0 ÅÆ
x2 – x – 12
10.
-
x–5
< 0 el conjunto solución es φ.
x2 – 6x + 5
<
Solución: Calculando los universo relativos. U1 : x2 – x - 12 > 0 Æ (x – 4) (x + 3) > 0 U1 = < -∞ , -3 ] ∪ [ 4, +∞ > +
-
+
-3
4
U2 : x2 – 6x + 5 > 0 Æ (x – 5) (x - 1) > 0 U12 = < -∞ , 1 ] ∪ [ 5, + ∞ > +
-
+
1 U = U1
∩ U2 = < - ∞, -3 ]
x2 – x – 12
5 ∪
[ 5, +∞ >
x2 – 6x + 5
<
ÅÆ x2 – x – 12 < x2 – 6x + 5
de donde 5x < 17 Æ x < 17/5 Æ x ∈ < -∞ , 17/5 ] Luego el conjunto solución es: x ∈ U ∧ < -∞ , 17/5 ] =
0
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Solución: Como 3 x2 - 4 tiene el mismo signo que x2 – 4 y (x + 4) 3 tiene el mismo signo que x + 4 entonces la inecuación dada es equivalente. 3
x2 – 4 (x – 2)2 (x3 – 13x + 12)
>
0
ÅÆ
(x + 4)3 (x3 + 8x2 + 4x - 48) (x2 – 4) (x -2)2 (x3 – 13x + 12) (x + 4) (x3 + 8x2 + 4x - 48)
>
0
Como ∀ x ∈ R, (x - 2)2 > 0 entonces: (x2–4) (x -2)2 (x3 – 13x + 12) (x + 4) (x3 + 8x2 + 4x - 48)
>
(x + 2) (x - 2) (x – 1) (x2 + x - 12) (x + 4) (x – 2) (x + 6) (x + 4) (x + 2) (x - 1) (x + 4) (x - 3) (x + 6) -
+ -6
>
(x2 – 4) (x3 – 13x + 12) (x+4) (x3+8x2+4x-48)
0 ÅÆ >
0 , para x ≠ 2, -4
0 , para x ≠ 2, -4
-
+
-4
-
-2
+
1
3
Luego el conjunto solución es: x ∈ < -6 , -4 ] ∪ [ -2, 1 ] 12.
3
∪ [ 3 , +∞ >
5
x + 7 (x – 2)4 (x + 3)3
x2 – 7x + 12
4
6
x + 9 (x – 8)3 (x3 - 27) (x2 – 14x + 48)
10 - x
<
0
Solución: Los radicales pares nos da el universo U. 10 – x > 0 ∧ x + 9 > 0 Æ x < 10 ∧ x>-9 Æ x ∈ luego el conjunto solución es: x ∈ U ∩
( [ -7, -3 ] U [ 4, 6 >)
∴ x ∈ [ -7, -3 ] U [ 4, 6 > Ahora veremos como resolver diversas formas de la inecuación con radicales aplicando criterios de acuerdo a cada tipo de inecuación irracional. 1.
Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)
P(x) > Q(x). La solución se obtiene así: P(x) > Q(x) ÅÆ ( P(x) > 0 ∧
b)
P(x) > Q(x). La solución se obtiene así: P(x) > Q(x) ÅÆ ( P(x) > 0 ∧
2.
[ Q(x) < 0 ∨ (P(x) > 0 ∧ P(x) > Q2(x))])
Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)
P(x) < Q(x). La solución se obtiene así: P(x) < Q(x) ÅÆ ( P(x) > 0 ∧
b)
[ Q(x) < 0 ∨ (P(x) > 0 ∧ P(x) < Q2(x))])
P(x) < Q(x). La solución se obtiene así: P(x) < Q(x) ÅÆ ( P(x) > 0 ∧
3.
[ Q(x) < 0 ∨ (P(x) > 0 ∧ P(x) > Q2(x))])
[ Q(x) < 0 ∨ (P(x) > 0 ∧ P(x) < Q2(x))])
Para las inecuaciones irracionales de las formas: a)
P(x) +
Q(x) > 0. La solución se obtiene así:
P(x) + Q(x) > 0 Æ P(x) > 0 ∧ b)
P(x) +
Q(x) > 0. La solución se obtiene así:
P(x) + Q(x) > 0 Æ P(x) > 0 ∧ 4.
Q(x) > 0
Q(x) > 0
Para la inecuación irracional de la forma: P(x) +
Q(x) > K, K > 0. La solución se obtiene así:
P(x) + Q(x) > K Æ [ (P(x) > 0 ∧ Q(x) > 0 ) ∧ (P(x) > (k – 5.
Para las inecuaciones irracionales de la forma: P(x) +
Q(x) < 0 . La solución se obtiene así:
P(x) +
Q(x) < 0 Æ P(x) = 0 ∧ Q(x) = 0
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Q(x))2 ]
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” OBSERVACIÓN.Consideremos otros casos más generales. 1º Caso: Si n es impar positivo mayor que uno. a)
n
P(x)
Q(x) > 0
P(x). Q(x)
ÅÆ
R(x) b)
c)
R(x)
P(x) R(x) n
n
< 0
P(x)
ÅÆ
Q(x)
P(x) <
> 0
n
> 0
R(x) Q(x)
Q(x) ÅÆ P(x) < Q(x)
2º Caso: Si n es par positivo. a)
n
P(x) Q(x) > 0
ÅÆ
P(x) > 0 ∧ Q(x)
> 0
b)
n
P(x) Q(x) < 0
ÅÆ
P(x) > 0 ∧ Q(x)
< 0
c)
P(x)
ÅÆ
Q(x) > 0 ∧ P(x)
> 0
Q(x) R(x)
n
Q(x) R(x)
n
P(x) > Q(x) ÅÆ ( P(x) > 0 ∧ [ Q(x) < 0 ∨ ( P(x) > 0 ∧ Q(x) > 0 ∧
d)
e)
Qn (x)) ] f)
n
P(x) < Q(x) ÅÆ P(x) > 0 ∧ [(Q(x) < 0) ∧ P(x) < Qn(x)]
Ejemplo: Resolver la siguientes inecuaciones. 1.
x2 – 14x + 13
>
x–3
Solución: x2 – 14x + 13
ÅÆ ÅÆ ÅÆ ÅÆ ÅÆ ÅÆ
>
x – 3 ÅÆ x2 – 14x + 13 > 0 ∧ [x - 3 < 0 ∨ ( x2 – 14x + 13 > 0 ∧ x2 – 14x + 13 > (x-3)2)]
x2 – 14x + 13 > 0 ∧ [x < 3 ∨ ( x2 – 14x + 13 > 0 ∧ x < ½)] x2 – 14x + 13 > 0 ∧ [x < 3 ∨ x ∈ ∧ x < ½] x2 – 14x + 13 > 0 ∧ [x < 3 ∨ x < ½)] x2 – 14x + 13 > 0 ∧ x < 3 (x – 13) (x – 1) > 0 ∧ x < 3 x ∈ ∧ x < 3
∴ x ∈ 0) ∧ (x2 – 14x + 13 < ( x+1)2 ]) ((x – 13) (x- 1) > 0 ∧ [ x > -1) ∧ ((x – 13) (x – 1) < (x + 1)2 ]) ((x – 13) (x- 1) > 0 ∧ [ x > -1) ∧ x > ¾] x ∈ ∧ x > ¾ x ∈ < ¾ , 1] ∪ [13, +∞>
2x – 8 x–1
+
5–x x+3
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>
0
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Solución: Aplicando la parte b) del 3º caso: P(x) + 2x – 8 x–1
Q(x) > 0 ÅÆ P(x) > 0 ∧ Q(x) > 0 +
5 – x ÅÆ 2x – 8 > 0 ∧ 5 – x > 0 x+3 x–1 x+3
ÅÆ (x – 4) (x – 1) > 0, x ≠ 1 ∧ (5 – x) (x +3) > 0, x ≠ 3 ÅÆ (x – 4) (x – 1) > 0, x ≠ 1 ∧ (x - 5) (x +3) > 0, x ≠ -3
+
-
+
1
4
+
-
+
-3
5
x ∈ < - ∞, 1 > ∧ x ∈ < - 3, 5 >
-3
1
4
5
La solución es : x ∈ < - 3, 5 > ∪ [ 4, 5 ]
Valor Absoluto Al valor absoluto del número real x denotaremos por |x|, y se define por la regla. x si x > 0 |x| = -x si x < 0 Ejemplo: |7| = 7,
|-7| = - (-7) = 7
Propiedades del Valor Absoluto: 1.|a| > 0, ∀ a ∈ R 3.|a| =|-a|
2.|a| > a ∀ a ∈ R 4.|ab|=|a||b|
5. a =|a| , b ≠ 0 b |b|
6.|a+b| 0 ∧ (a = b ∨ a = -b) ] |a| = |b| ÅÆ a = b ∨ a = -b Si b > 0, entonces: i) |a| < b ÅÆ -b < a < b ii) |a| < b ÅÆ -b < a < b Si a,b ∈ R se verifica: i) |a| > b ÅÆ b > a > -b ii) |a| > b ÅÆ a > b ∨ a < -b i) |a| =
a2
ii) |a|2 =
a2
Ejemplos: 1.
Resolver la ecuación |4x + 3| = |7| Solución:
|4x+3|=|7| ÅÆ4x+3=7 ∨ 4x+3=-7 ÅÆ x=1 ∨ x =- 5/2 Luego para x = 1, x = - 5/2 son soluciones para la ecuación dada. 2.
Resolver la ecuación |2x + 2| = 6x - 18 Solución: |2x+2|=6x–18ÅÆ[6x–18>0∧(2x+2)=6x-18 ∨ 2x+2=-6x+18)] ÅÆ [ x > 3 ∧ (x = 5 ∨ x = 2) ]
2
3
5
Luego la solución de la ecuación es x = 5.
3.
Resolver la ecuación |x - 2| = |3 – 2x| Solución: |x - 2| = |3 – 2x| ÅÆ x – 2 = 3 – 2x ∨ x – 2 = -3 + 2x ÅÆ x = 5/3 ∨ x = 1, la solución es:
4.
{1,5/3}
Hallar el valor de la expresión |4x+1|-|x–1|,si x∈ x Solución: 4x + 1, x > - ¼ |4x + 1|=
x – 1 , x > 1 ,
|x-1| =
-4x – 1, x < - ¼
1 – x , x < 1
Si x ∈ Æ |4x + 1| = 4x + 1, |x - 1| = 1 – x Luego:
|4x+1|-|x-1| x
=
4x+1–(1- x) x
∴ |4x + 1| - |x - 1| x
=
5
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=
5x x
= 5
, para x ∈
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 5.
Resolver la inecuación
2x – 5 x – 6
< 3
Solución: 2x-5 0, x ≠ 6
+
-
+
23/5
+
6
6
13
x ∈ < -∞, 23/5 > ∪ < 6, +∞> ∧ < -∞, 6 > ∪ < 13, +∞>
23/5
6
13
La solución es: x ∈ < -∞, 23/5 > ∪ < 13, +∞>
M áx imo E nt e r o Si x es un número real, el máximo entero de x representaremos por [ |x| ] y es el mayor de todos los enteros menores o iguales a x, es decir: [ |x| ] = máx { n ∈ Z / x > n } Para calcular el máximo entero de un número real x, se observa todos los enteros que sea encuentran a la izquierda de x (o que coinciden con x, en caso que x sea entero) y el mayor de todos ellos es el máximo entero [|x|], por ejemplo: -1
0
1
2
x
3
4
5
3
3.7 4
5
De donde: [ |x| ] = 2 Ejemplo: Hallar [|3,7|] -1
0
1
2
De donde [|3,7|] = 3 Si x se encuentra entre dos enteros consecutivos de la forma:
n
x
n+1
Entonces: [|x|] = n ÅÆ n < x
< n + 1, n ∈ Z
Ejemplo: Si [|x|] = 5 ÅÆ 5 < x < 6 [|x|] = -5 ÅÆ -5 < x < -4
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
Propiedades del Máximo Entero: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.
[|x|] ∈ Z [|x|] = x ÅÆ x ∈ Z [|x|] < x < [|x|] + 1, ∀ x ∈ R 0 < x - [|x|] < 1, ∀ x ∈ R [|[|x|]|] = [|x|] [|x + n|] = [|x|] + n, n ∈ Z [|x|] < n ÅÆ x < n + 1, n ∈ Z [|x|] < n ÅÆ x < n, n ∈ Z [|x|] > n ÅÆ x > n, n ∈ Z Si y ∈ Z, [|x|] > y ÅÆ x > y Si y ∈ Z, [|x|] < y ÅÆ x < y + 1 ∀ x,y ∈ R, si x < y ÅÆ [|x|] < [|y|] - [|x + 1|]; x ∈ R - Z
13. [|x|] = - [|x|] = -x; x ∈ Z Ejemplos: 1.
Resolver la ecuación
x + 2 x + 3
=
2
Solución: Se conoce que [|x|] + n ÅÆ n < x x + 2 x + 3
=2ÅÆ 2 <
x + 2 < 3 x + 3
< n + 1
ÅÆ 2 < 1 -
ÅÆ 1 < - 1 0
2x + 7 x + 3
> 0
ÅÆ[(x+4)(x+3)0], x≠-3 ÅÆ x ∈ [-4,-3> ∧
x ∈ ∪
Luego la solución es: x ∈ [ -4 , - 7/2 >
2.
Resolver la inecuación
|x| - 1 5
> 4
Solución: Aplicando la propiedad siguiente: Si y ∈ Z, [|x|] > y ÅÆ x > y 4 ∈ Z,
|x| - 1 5
> 4ÅÆ |x| - 1 > 4 ÅÆ |x| - 1 > 20 5 ÅÆ |x| > 21 ÅÆ x > 21 ∨ x < -21
La solución es: x ∈
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3.
Resolver la inecuación [||x|-2x|] = 0 Solución: Por definición de máximo entero se tiene: [||x|-2x|]=0ÅÆ0 Caso:
la gráfica podemos observar: logaritmo positivo. logaritmo negativo, entonces para cualquier x1 < x2 ÅÆ logbx1 < logbx2
deducimos las relaciones siguientes: 0, b > 1; N ∈ R Æ logbx > N ÅÆ x > bn 0, b > 1; N ∈ R Æ logbx < N ÅÆ x < bn Cuando la base es 0 < b < 1, en la gráfica podemos observar:
Los números mayores que 1 tienen logaritmo negativo. Los números entre 0 y 1 tienen logaritmo positivo, entonces para cualquier x1,x2 de R+ se tiene: si 0 > b < 1 y 0 < x1 < x2 ÅÆ logbx1 > logbx2
De donde deducimos las relaciones siguientes: a) Si x < 0, 0 < b < 1 y b) Si x > 0, 0 < b < 1 y
N ∈ R Æ logbx > N ÅÆ 0 < x < bN E ∈ R Æ logbx < N ÅÆ x > bN
Ejemplo: Resolver la inecuación log1/3 (2x + 5) < -2 Solución: Aplicando la propiedad siguiente: x > 0, 0 < b < 1, N ∈ R, logbx < N
ÅÆ
x > bN
Para nuestro caso 2x + 5 > 0 Æ x > -5/2, tomando logaritmo log1/3 (2x + 5) < - 2 ÅÆ 2x + 5 > (1/3) -2 2x + 5 > 9 ÅÆ 2x > 4 Æ x > 2, la solución es: x ∈ Ejemplo: Resolver la inecuación log2 (|x – 2| - 1) > 1 Solución: Aplicando la propiedad siguiente: x > 0, b > 1, N ∈ R, logbx > N Para nuestro caso se tiene: |x – 2| - 1 > 0 |x – 2| > 1 ÅÆ x – 2 > 1 ∨ x – 2 < -1 ÅÆ x > 3 ∨ x < 1 log2 (|x – 2| - 1) > 1 ÅÆ |x – 2| - 1 > 2 |x – 2| > 3 ÅÆ x – 2 > 3 ∨ x – 2 < -3 ÅÆ x > 5 ∨ x < -1 La solución es: x ∈ ∪
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ÅÆ
x > bN
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Ejercicios Resueltos 1.
Resolver: 2x2 – 6x + 3 < 0 Solución: Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado. Recordemos: Si: ax2 + bx + c = 0 Entonces: x = -b ±
b2 – 4ac 2a
Luego, la desigualdad: 2x2 – 6x + 3 < 0 Se escribe como una ecuación: 2x2 – 6x + 3 = 0 De donde identificamos: a = 2, b = -6, c = 3 (-6)2 – 4(2)(3) 2(2)
Aplicando la fórmula: x = 6 ± x = 6 ±
36 - 24 4
x = 6 ± 12 4 x = 6 ±
(4) (3) 4
= 3± 2
3
Llevando los valores de x a la recta de los números reales. Graficando: +
-
-∞
3- 3 2
+ 3+ 3 2
+∞
Como la desigualdad es menor que cero, el intervalo solución son los negativos. Por lo tanto:
x
∈
32
2.
3 ;3+ 3 2
Resolver: 1 – x – 2x2 > 0 Solución: Como el término de mayor grado (-2x2) tiene coeficiente negativo, entonces multiplicamos por (-1) la inecuación. Se recomienda al estudiante emplear el método de la fórmula de la ecuación de segundo grado, el cual es el mejor: Así: 1 – x – 2x2 > 0 Multiplicando por (-1): 2x2 + x – 1 < 0 Fórmula de la ecuación de segundo grado: 2x2 + x – 1 < 0
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 2x2 + x – 1 = 0
Como ecuación:
Identificando: a = 2; b = 1; c = -1 (1)2 – 4(2)(1) 2(2)
Aplicando la fórmula: x = -1 ± x = -1 ±
1–8 4
x = -1 ± 9 4 De donde:
x1 = - 1 – 3 = -1 4
∧
= -1 ± 3 4 x2 = -1 + 3 4
= 1 2
Graficando y ubicando los valores en la recta: +
-
-∞
+
-1
1 +∞ 2 Como la desigualdad es menor o igual a cero, entonces el conjunto solución es el intervalo negativo: ∈
3.
-1 ,
1 2
Resolver: 4x2 + 9x – 9 < 0 Solución:
4x2 + 9x – 9 < 0 4x2 + 9x –9 = 0
Como la ecuación:
Factorizando por aspa: (4x – 3) (x + 3) = 0 Igualando a cero cada factor: 4x – 3 = 0 Æ x
=
3 4 x + 3 = 0 Æ x = -3 Ubicando estos valores en la recta de los reales. Graficando: x = 3 4
∧ x = -3
+
-
-∞ Luego: 4.
-1 x ∈
+ 3 4
+∞
- 3; 3 4
Resolver: 3 (x + 1) 2 < (x + 4) 2 - 12 Solución: Desarrollando la expresión:
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3 (x + 1) 2 < (x + 4) 2 - 12 3 (x2 + 2x + 1) < x2 + 8x + 16 - 12 3x2 + 6x + 3 < x2 + 8x + 4
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Transponiendo: 3x2 + 6x - x2 - 8x – 4 Reduciendo: 2x2 - 2x2 – 1 <
<
0
0
Como ecuación: 2x2 - 2x2 – 1 = 0, de donde a = 2, b = -2, c = -1 Por fórmula:
x = 2 ±
(-2)2– 4(2)(-1) 2(2)
= 2±2 12 4 4 x2 = 1 – 3 2
x = 2 ± De donde: x1 = 1 + 3 2
∧
3
Ubicando x1 ∧ x2 en la recta: +
-
-∞
De donde:
1- 3 2 x ∈
1– 2
5.
+ 1+ 3 2
+∞
3 ; 1+ 3 2
Resolver: x2 + 40x + 400 > 0 Solución: x2 + 40x + 400 > 0 Como ecuación:
x2 + 40x + 400 = 0 (x + 20)2 = 0
Factorizando por aspa: Extrayendo raíz:
x + 20 = 0
De donde:
x = -20
Ubicando en la recta: P + -∞
+ 20
+∞
Cuando el grado del factor es 2, entonces se repite el signo del intervalo. Luego: x ∈ R – {20}
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6.
x5 + 3x4 – 5x3 – 15x2 + 4x + 12 < 0 Solución: Aplicando la regla de Ruffini: 1 1 1 -1 1 -2 1 2 1 3
3
-5
-15
4
12
1
4
-1
-16
-12
4
-1
-16
-12
-
-1
-3
4
12
3
-4
-12
-
-2
-2
12
1
-6
-
2
6
3
-
-3 1
-
Æ (x – 1) (x + 1) (x - 2) (x + 3) < 0 -∞
+ -3
-2
+ -1
1
2
x ∈ < -∞; -3 > ∪ < -2 ; -1 > ∪ < 1; 2 > 7.
(2x - 7) (x2 - 9) (2x + 5) > 91 Solución: (2x - 7) (x2 - 9) (2x + 5) - 91 > (2x - 7) (x - 3) (x + 3) (2x + 5) - 91 > [ (2x - 7) (x + 3) ] [ (2x + 5) (x - 3) ] - 91 > (2x2 – x + 21) (2x2 – x - 15) – 91 >
0 0 0 0
α = 2x2 – x ……… (1) ∴ (α - 21) (α - 15) – 91 > 0 α2 – 36α + 315 – 91 > 0 α2 – 36α + 224 > 0 (α – 28) (α - 8 ) > 0 Para encontrar los valores de (α): α - 28 = 0 Æ α = 28 α- 8=0Æ α= 8 En (1): 28 = 2x2 – x Æ 2x2 – x – 28 = 0
x=4 x=-
8 = 2x2 – x Æ 2x2 – x – 8 = 0
7 2
x= 1-
65 4
x = 1 + 65 4
Página 95 de 167
+∞
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Llevando a la recta los valores de x: + -∞ ∴x∈
8.
-7 2
-∞; - 7 2
+ 1 - 65 4
∪
1 + 65 4
1 - 65 ; 1 + 65 4 4
+ 4
∪
+∞
< 4; ∞ >
12x5 – 35x4 – 53x3 + 53x2 + 35x – 12 < 0 Solución: Aplicando Ruffini: 12 1 12
-35
-53
53
35
-12
12
-23
-76
-23
12
-23
-76
-23
12
-
∴ 12x5–35x4–53x3+53x2+35x–12 = (x-1) (12x4–23x3–76x2–23x+12) ∴ Trabajando con: 12x4 – 23x3 – 76x2 – 23x + 12 Entre x2:
12x2 – 23x – 76 – 23 + 12 = 0 x x2 12
x2 + 1 x2
– 23
x+1 x
– 76 = 0
α = x + 1 Æ x2 + 1 = α 2 - 2 x x2 Æ 12 (α2 - 2) - 23α - 76 = 0 12α2 - 23α - 100 = 0 (12α + 25) (α - 4) = 0 ∴ 12 α = -25 Æ α = - 25 12 α-4=0Æα=4 α = x + 1 Æ - 25 = x + 1 Æ - 25 = x2 + 1 x 12 x 12 x - 25x = 12x2 + 12 12x2 + 25x + 12 = 0 (4x + 3) (3x + 4) = 0 x=- 3 , x=- 4 4 3 α=x+ 1 Æ x
4 = x + 1 Æ 4 = x2 + 1 x x 4x = x2 + 1 Æ x2 – 4x + 1 = 0 x = 2 + 3, x = 2 - 3
Llevando todos los valores de x a la recta:
-
Página 96 de 167
+
-
+
-
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” -∞ ∴x∈ 9.
-4 3 -∞; - 4 3
∪
- 3 4
2- 3
- 3 ;2- 3 4
∪
1
2+
1 ;2+ 3
x6 + 15x5 + 78x4 + 155x3 + 78x2 + 15x + 1 < 0 Solución: Entre x3: x3 +
x2 + 1 x2
1 + 15 x3
+ 78
x + 1 + 155 = 0 …… (I) x
Haciendo: α = x + 1 …… (1) x
Æ
α2 = x2 + 2 + 1 x2
Æ
α 2 – 2 = x2 + 1 x2
α3 =
x+ 1 x
α3 =
x3 +
1 + 3x2 1 + 3 1 x x x2 x3
α3 =
x3 +
1 + 3x + 3 x x3
α3 =
x3 +
1 +3 x3
…… (2)
3
x+ 1 x α
α3 =
x3 +
1 + 3α x3
α3 - 3α = x3 +
1 …… (3) x3
(1), (2) y (3) en (I): ∴ α3 - 3α + 15α2 – 80 + 78α + 155 = 0 (α + 5)3 = 0 Æ α=x+1 x
α+5=0
Æ
α = -5
Æ -5 = x + 1 x Æ x2 + 5x + 1 = 0
∴x = -5±
21 2
Llevando a la recta los valores de x: + -∞
-5 - 21 2
∴ x∈
Página 97 de 167
-5-
+ -5 + 21 2
21 ; -5+ 21
+∞
3
+∞
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 2
2
10. Resolver: 72x5 – 132x4 + 2x3 + 57x2 – 5x – 6 < 0 Solución: Para factorizar por Ruffini, cuando el coeficiente del primer término (a0) es diferente, se procede de la siguiente manera: 1)
Hallar las posibles raíces racionales: a.
Hallar los divisores de a0 = 72 div (72): + 1, + 2, + 3, + 4, + 6, + 8, + 9, + 12, + 18, + 24, + 36, + 72
b.
Hallar los divisores del término independiente (an): div (6): + 1, + 2, + 3, + 6
Las posibles raíces reales se obtienen dividiendo a cada divisor de a0 entre (término independiente).
+1, + 1, + 1, + 1, + 2, + 2, + 3, + 3, + 4, + 4, + 6, + 8, + 8, 2 3 6 3 2 3 3 + 9, + 9, + 12, + 18, + 24, + 36, + 72 2 2)
Factorizando por Ruffini: 72
-132
2
57
-5
6
108
-36
-51
9
6
72
-24
-34
6
4
0
36
-12
-17
3
2
24
8
-6
-2
36
12
-9
-3
0
12
4
-3
-1
6
5
1
10
2
0
3 2
2 3
1 2 12 6 -1
5
1
-2
-1
3 -1
6
3
2
1
2
0
2
Página 98 de 167
0
Sacando mitad a cada uno de los términos
Sacando tercia a cada uno de los términos
Sacando mitad a cada uno de los términos
Sacando tercia a cada uno de los términos
los divisores an
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” 3)
Escribiendo como producto de factores: x–3 x - 2 x–1 x+1 x+1 2 3 2 3 2 Puntos críticos: -∞
C.S.:
x∈
3, 2 , 1, - 1 , - 1 2 3 2 3 2
+ -1/2
-∞ ; 1 2
11. Resolver:
-
+
-1/3
∪
< 0
-
1/2
-1 ; 1 3 2
∪
+
2/3
3/2
+∞
2 ; 3 3 2
1 – 1 < x2 + x x2 – x
-1_ x2 - 1
Solución: 1 x2 + x
–
1 < -1_ x2 – x x2 - 1
Transponiendo:
1 x2 + x
Factorizando denominadores:
–
1 + -1_ x2 – x x2 - 1
12. Resolver:
x–3 x+4
>
x-2 x+2
Solución: x–3 x+4
>
x-2 x+2
Todo al primer miembro:
x–3 x+4
-
x–2 >0 x+2
m.c.m.: (x + 4) (x + 2) Luego:
(x – 3) (x + 2) – (x - 2) (x + 4) > 0 (x + 4) (x + 2) Efectuando en el numerador: x2 – x – 6 - (x2 + 2x - 8) > 0 (x + 4) (x + 2) x2 – x – 6 - x2 - 2x + 8 > 0
Página 99 de 167
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” (x + 4) (x + 2) Simplificando:
-3x + 2 (x + 4) (x + 2)
>
0
Multiplicando por (-1) la desigualdad:
3x - 2 > (x + 4) (x + 2)
0
Igualamos a cero el numerador y denominador: 3x – 2 = 0 Æ x = 2 3 x + 4 = 0 Æ x = -4 x + 2 = 0 Æ x = -2 Llevando los valores de x a la recta:
-∞
+ -4
-
+
2 +∞ 3 Por regla práctica los denominadores son abiertos y el numerador es cerrado. Por lo tanto:
x∈
-2
< -∞; 4 >
∪
> 1 x2 – 2x –15
13. Resolver:
- 2 ; 2 3
1 _ x2 – x –2
Solución: 1 x2 – 2x –15
>
1 x2 – x –2
Todo al primer miembro:
_ 1 x2 – 2x –15
-
1 x2 – x –2
> 0
m.c.m.: (x - 5) (x - 2) (x + 1) (x + 3) Efectuando:
(x - 2) (x + 1) - (x - 5) (x + 3) > 0 (x - 5) (x - 2) (x + 1) (x + 3)
Simplificando:
x2 – x – 2 – (x2 – 2x – 15) (x - 5) (x - 2) (x + 1) (x + 3)
>0
x2 – x – 2 – x2 + 2x + 15 (x - 5) (x - 2) (x + 1) (x + 3)
>0
x + 13 (x - 5) (x - 2) (x + 1) (x + 3)
>
0
Igualando a cero el numerador y denominador: x x x x x
+ 3 = 0 Æ x = -3 –5=0 Æx=5 –2=0 Æx=2 + 1 = 0 Æ x = -1 + 3 = 0 Æ x = -3
Llevando los valores de x a la recta y teniendo en cuenta que los numeradores son cerrados y el denominador es abierto. -
+
-
Página 100 de 167
+
-
+
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” -∞
-13
-3
-1
De donde: x ∈ [ -13; -3 > ∪ 14. Resolver: x – 1 x+4
<
2
5
+∞
< -1 ; 2 > ∪ < 5 ; ∞ >
x-3 x-2
Solución: x–1 x+4
<
x-3 x–2
Pasando al primer miembro:
x–1 x+4
-
x–3 4
Solución: 3x2 – 2x x2 - 1
> 4
Todo al primer miembro:
3x2 – 2x - 4 x2 - 1
Efectuando:
3x2 – 2x - 4 (x2 – 1) x2 - 1
Simplificando:
-x2 – 2x + 4 x2 - 1
> 0
Multiplicando por (-1):
x2 + 2x - 4 x2 - 1
> 0
> 0
Igualando a cero el numerador y denominador: x2 + 2x – 4 = 0, de donde a = 1; b = 2; c = -4
Página 101 de 167
> 0
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
(2)2– 4(1)(-4) 2(1)
Por fórmula: x = -2 ± Luego:
x1 = -2 + 2 2 x2 = -2 - 2 2
=
20
=
2
5 = -1 + 5 = -1 -
-2 ±
-2 ± 2 2
5 5
x2 – 1 = 0 Æ x2 = 1 Æ x = + 1
Llevando los valores de x a la recta: + -∞
-1 -
5
De donde: x ∈ [ -1 16. Resolver: 32
+
-
-1 5 ; -1 > ∪
1
-1 + 5
[ 1 ; -1 +
2x+1 < (42x . 8x-3)
+
5 ]
2/5
Solución: Pasando a base 2, eliminando el radical y el paréntesis: 32 2x+1 < (42x . 8x-3) 2/5 25 . 2(x+1)/2 < (24x . 23x-9) 2 (x+11)/2 < (27x-9) 2/5 2 (x+11)/2 < 2(14x-18) /5
2/5
Luego, por propiedad:
x + 11 < 2
Resolviendo:
5x + 55 < 28x – 36 -23x < -91 23x > 91
Por (-1):
23x > 91 x > 91 23
17. Resolver: 32x-3 . 34-x 35x-1 Solución:
<
(32x-1)
14x – 18 5
x-2
Aplicando las propiedades algebraicas: 32x-3 . 34-x 35x-1 3-4x + 2 < 2
<
(32x-1)
x-2
2 2x – 3x – 2
De donde:
-4x + 2 < 2x2 – 3x – 2
Resolviendo:
2x2 + x – 4 > 0
Por fórmula: x1 = -1 + 4
Página 102 de 167
33
+∞
5
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” x2 = -1 4 De donde:
18. Resolver:
x ∈
5
(x
33
-∞ ; -1 + 4 2
2 – 2x)
33
. 62510x
∪
>
2520
-1 -
33 ; ∞ 4
3
625x . 31257 1252x
2
Solución: Pasando a base 5 y efectuando las operaciones indicadas: 5
2 2 (x – 2x)
. 62510x
3
625x . 31257
>
2
2520 5
2 2 (x – 2x)
1252x
. 540x
3
54x . 535
>
2
540 5
56x
2 2 (x – 2x) + 40x - 40
>
3
54x
2 – 6x + 35
De donde:
(x2 – 2x)2 + 40x - 40
> 4x3 – 6x2 + 35
Efectuando:
x4 – 4x3 + 4x2 + 40x - 40 - 4x3 + 6x2 – 35 > 0 x4 – 8x3 + 10x2 + 40x - 75 > 0
Factorizamos por Ruffini: 3
1
5
1
1
-8
10
40
-75
3
-15
-15
75
-5
-5
25
0
5
0
-25
0
-5
0
x4 – 8x3 + 10x2 + 40x – 75 > 0
Luego:
(x - 3) (x - 5) (x2 - 5) > 0 Igualando a cada factor a cero: x–3=0 Æ x=3 x–5=0 Æ x=5 x2 – 5 = 0 Æ x = + 5 Graficando: + -∞
-5
De donde: x ∈ < - ∞; -
Página 103 de 167
+ 5 5> ∪
3 [ 7/2 ; ∞ >
+ 5
+∞
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
19. Resolver: (27) 3x
2
– 5x
< 81x . 92x-5
Solución: 2
27 . 3x 3
– 5x
< 81x . 92x-5
2 x – 5x
< 34 . 34x-10
3 . 3
2 x – 5x + 3
< 38x-10 3 x2 -5x + 3 < 8x – 10 x2 – 13x + 13 < 0 Por fórmula: x1 = -13- 3 13 2 x2 = 13+ 3 13 2 De donde:
x ∈
20. Resolver:
4
13 - 3 2
13 ; 13 + 3 2
(0.8)(3x-4)/4
>
8
13
(0.64)(2x-2)/5
Solución: 4
(0.8)(3x-4)/4
>
8
(0.64)(2x-2)/5
Eliminando radicales:
(0.8)(3x-4)/16
Expresando en la misma base: (0.8)(3x-4)/16 Luego por propiedad:
3x – 4 16
Factorizando:
3x – 4 16
Simplificando:
Efectuando:
< <
> >
(0.64)(2x-2)/40 (0.8)2 [ (2x-2)/40 ]
2 . 2x – 2 40 4 (x – 1) 40
3x – 4 < x–1 16 10 3x – 4 < x–1 8 5 5 (3x - 4) < 8 (x - 1) 15x – 20 < 8x - 8
Transponiendo y simplificando:
7x < 12 x < 12 7
∴ x ∈ < - ∞; 12/7 > 21. Resolver: (0.25)(6x-4)/3.(0.5) (2x-3)/4 6x – 8 + 4x – 2 3 4 3 3 48x – 32 + 6x – 9 > 24x – 32 + 16x – 8
Simplificando:
14x > 1 Æ x > 1/14 Æ x ∈ < 1/14, ∞ >
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
(x+1)(x-2)
22. Resolver: [ (0.2)
]
1/(x-3)
(0.0128)3x-1 83x-1
>
Solución: [ (0.2)
(x+1)(x-2)
]
1/(x-3)
>
(0.0128)3x-1 83x-1
……(I)
Aplicando propiedades: 0.0128 = 0.0128 x 104 = 128 = 16 = 24 = (0.2)4 en (I) 8 8 x 104 8 x 104 104 104
Por propiedad:
(0.2) [(x+1)(x-2)] / x-3
> [ (0.2)4 ]3x - 1
(0.2) [(x+1)(x-2)] / x-3
>
(0.2)12x - 4
Escribiendo adecuadamente: (x + 1) (x - 2) x-3 Resolviendo:
<
12x – 4
(12x – 4) (x - 3) – (x + 1) (x – 2) > 0 x–3 11x2 – 39x + 14 x–3
>0
Igualando a cero numerador y denominador: 11x2 – 39x + 14 = 0 Æ
(39)2 - 4(11) (14) 2(11)
x = 39 ±
De donde: x1 = 39 - 905 22 x2 = 39 + 905 22 Luego ubicando sobre la recta y graficando: -∞
+
-
39 - 905 22
De donde: 23. Resolver:
x
∈
3
39 - 905 ; 3 22
x2 – 5
∪
+
39 + 905 22 39 +
+∞
905; ∞ 22
> 2x + 3
Solución: x2 – 5 i)
> 2x + 3 x2 – 5 > 0 x2 > 5 Æ x >
P(x) > 0:
Luego: x ∈ < - ∞ ; - 5 ] ∪ [ ii)
5 ∪ x < -
5;∞>
5
…… (α)
Q(x) > 0 ∧ P(x) > Q2 (x) 2x + 3 > 0 x >- 3 2
∧ ∧
x2 – 5 > (2x + 3)2 x2 – 5 > 4x2 + 12x + 9
3x2 + 12x + 14 < 0 Luego su determinante es: ∆ = (12) 2 – 4(3)(14) = -24
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Entonces reemplazamos: 3x2 + 12x + 14 por 1. Así: 1 < 0, lo cual es falso ∴ x ∈ ∅ Entonces:
x >-3 ∧∅ Æ 2
x ∈ ∅ ………(β)
iii) Q(x) < 0 : 2x + 3 < 0 Æ x < - 2 ……… (γ) 3 iv) Finalmente: C.S.: α ∩ (β ∪ γ) ( < - ∞; - 5 ] ∪ [ 5; ∞ > ) ∩ (∅ ∪ < - ∞ ; - 3/2 > ) ( < - ∞; - 5 ] ∪ [ 5; ∞ > ) ∩ < - ∞ ; - 3/2 > De donde: x ∈ < - ∞ ; 24. Resolver:
2 + x – x2
5] >
x-4
Solución: i)
P(x) > 0:
2 + x - x2
> 0
Por (-1) :
x2 – x – 2
< 0
Factorizando:
(x – 2) (x + 1) < 0
Graficando: + -∞
-1
+ 2
De donde: x ∈ [ -1; 2 ] …… (α) ii)
Q(x) > 0 ∧ P(x) > Q2 (x) x-4>0 x >4
2 + x - x2 > (x - 4)2 2 + x - x2 > x2 - 8x + 16
2x2 - 9x + 14 < 0 Como el ∆ < 0, entonces: 1 < 0 Falso
Luego: x > 4 ∧ ∅ de donde x ∈ ∅ (β) iii) Q(x) < 0 : x - 4 < 0 x < 4 Æ x ∈ < - ∞ ; 4 > …… (γ) iv) C.S.: α ∩ (β ∪ γ) [ -1 ; 2 ] ∩ [ ∅ ∪ < - ∞ ; 4 > ] [ -1 ; 2 ] ∩ < - ∞ ; 4 > De donde: x ∈ [ -1 ; 2 ]
Página 106 de 167
+∞
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
x2 – 2x + 15
25. Resolver:
> x+1
Solución: i)
x2 – 2x - 15 > 0 (x – 5) (x + 3) > 0
P(x) > 0:
Graficando: + -∞
-1
5
De donde: x ∈ < -∞ ; -3 ] ii)
+ +∞
∪ [ 5 ; ∞ > …… (α)
Q(x) > 0 ∧ P(x) > Q2 (x) x2 - 2x – 15 > (x + 1)2 x2 - 2x – 15 > x2 + 2x + 1 4x < - 16 x < -4
x+1>0 x > -1
Luego: x > -1
∧ x < -4 nos da x ∈ ∅ ……(β)
iii) Q(x) < 0 : x + 1 < 0 x < -1 Æ x ∈ < - ∞ ; -1 > …… (γ) iv) C.S.: α ∩ (β ∪ γ) < - ∞ ; -3 ] ∪ [ 5 ; ∞ > ) ∩ ( ∅ ∪ < - ∞ ; -1 > ) < - ∞ ; -3 ] ∪ [ 5 ; ∞ > ) ∩ < - ∞ ; -1 > De donde: x ∈ < - ∞ ; -3 ] x2 – x - 2
26. Resolver:
< 5-x
Solución: i)
x2 – x - 2 > 0 (x – 2) (x + 1) > 0
P(x) > 0:
Graficando: + -∞
-1
De donde: x ∈ < -∞ ; -1 ] ii)
+ 2
+∞
∪ [ 2 ; ∞ > …… (α)
Q(x) > 0 ∧ P(x) > Q2 (x) x2 - x – 2 > (5 - x)2 x2 - x – 2 > 25 – 10x + x2 9x < 27 x 0 x >5
Luego: x < 3
∧ x ∈ < -∞ ; 3 >……(β)
iii) C.S.: α ∩ β: ( < -∞ ; -1 ] ∪ [ 2 ; ∞ > ) ∩ < -∞ ; 3 > De donde: x ∈ < - ∞ ; -1 ] ∪ [ 2 ; ∞ >
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x2 – 2x - 15
27. Resolver:
< 2x - 1
Solución: i)
x2 – x - 15 > 0 (x – 5) (x + 3) > 0
P(x) > 0: Graficando: + -∞
-3
De donde: x ∈ < -∞ ; -3 ] ii)
+ 5
+∞
∪ [ 5 ; ∞ > …… (α)
Q(x) > 0 ∧ P(x) > Q2 (x)
2x - 1 > 2x - 1 > x > Como ∆ < 0,
0 x2 - 2x – 15 < (2x - 1)2 0 x2 - 2x – 15 < 4x2 - 4x + 1 1/2 3x2 - 2x + 16 > 0 entonces 1 > 0 lo cual es verdadero.
Æ x∈R Luego: x > 1/2
∧ x ∈ R tenemos x ∈ [ ½ ; ∞ >……(β)
iii) C.S.: α ∩ β: ( < -∞ ; -3 ] ∪ [ 5 ; ∞ > ) ∩ < ½ ; ∞ > De donde: x ∈ [ 5 ; ∞ > 28. Resolver:
x2 – 9
< 4
Solución: i)
x2 – 9 > 0 x2 > 9 Æ x > 3 ∪ x < -3
P(x) > 0:
De donde: x ∈ < -∞ ; -3 ] ii)
Q(x) < Q2 (x);
∪ [ 3 ; ∞ > …… (α)
no es necesario hacer la restricción para Q(x) porque es un número positivo.
x2 – 9 < 16 x2 < 25 Æ -5 < x < 5 de donde x ∈ < -5; 5 > ……(β) iii) C.S.: α ∩ β: ( < -∞ ; -3 ] ∪ [ 3 ; ∞ > ) ∩ < -5 ; 5 > Entonces: x ∈ < -5 ; -3 ] ∪ [ 3 ; 5 > 29. Resolver:
2x – 5
> 4
Solución: i)
P(x) > 0:
2x – 5 > 0 x > 5/2
De donde: x ∈ [ 5/2 ; ∞ > …… (α) ii)
Q(x) < Q2 (x);
no es necesario hacer la restricción para Q(x) porque es un número positivo.
2x – 5 > 16 2x > 21 x > 21/2; de donde x ∈ < 21/2; ∞ > ……(β)
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” iii) C.S.: α ∩ β: [ 5/2 ; ∞ > ∩ < 21/2 ; ∞ > Entonces: x ∈ < 21/2 ; ∞ > 30. Resolver: | x – 4 |2 – 5 | x – 4 | + 6 = 0 Solución: Hacemos:
| x – 4 | = y; con y > 0
Entonces:
| x – 4 |2 – 5 | x – 4 | + 6 = 0
Nos queda:
y2 – 5y + 6 = 0
Factorizando:
(y – 3) (y – 2) = 0
De donde:
y = 3; y = 2
Reemplazando:
|x–4|=3
|x–4|=2
De donde: x–4=4 x=7
ó ó
x – 4 = -3 x=1
x–4=2 x=6
ó ó
x – 4 = -2 x=2
Luego: x = { 1 ; 2 ; 6 ; 7} 31. Resolver: ||x+2| - 1|2 – 5 ||x+2| -1 | -6 = 0 Solución: Hacemos:
|| x + 2 | -1 | = y;
Entonces:
|| x + 2 | – 1 |2 - 5 ||x+2|-1| -6= 0
Nos queda:
y2 – 5y - 6 = 0
Factorizando:
(y – 6) (y + 1) = 0
De donde:
y = 6; y = -1
Reemplazando: De donde:
|| x + 2 | - 1| = 6
|x + 2| - 1 = 6
ó
|x + 2| - 1 = -6
|x + 2| = 7
ó
|x + 2| = -5
x+2=7 x=5
ó
y>0
absurdo
x + 2 = -7 x = -9
Finalmente: x = { -9 ; 5} 32. Resolver: |x|+2|x- 1|– |2x-5| = 3 Solución: a. Se igualan a cero las cantidades que están dentro del valor absoluto y los valores de x hallados se llevan a la recta de los números reales: Así: x = 0; x –1 = 0 Æ x = 1; 2x – 5 = 0 Æ x = 5/2 Graficando: -∞
0
1
5/2
+∞
Los intervalos determinados se consideran de la siguiente forma:
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” < - ∞ ; 0 ] ∪ < 1 ; 5/2 ] ∪ < 5/2 ; ∞ > Se trabaja intervalos por intervalo empezando por el primer intervalo en este caso: < - ∞ ; 0 ], se toma un x entre - ∞ y 0, se reemplaza en el valor absoluto de la ecuación original, si resulta negativo se saca del V.A. tal como está: Para: < - ∞ ; 0 ] …… (α) Tomando un x del intervalo (x = -1), reemplazando en la inecuación inicial y aplicando la regla anterior resulta: - x + 2 (- x + 1) – (-2x + 5) = 3 - x – 2x + 2 + 2x – 5 = 3 -x=6 x = -6 Æ { -6 } ……… (β) Luego: α ∩ β: { -6 } ……… (I) Para: < 0 ; 1 ] …… (γ) Tomamos: x = 0.5 x + 2 (- x + 1) – (-2x + 5) = 3 x – 2x + 2 + 2x – 5 = 3 x = 6 ……… (ψ) Luego: γ ∩ ψ: ∅ ……… (II) Para: < 1 ; 5/2 ] …… (α) Tomamos: x = 2 x + 2 (x - 1) – (-2x + 5) = 3 x + 2x - 2 + 2x – 5 = 3 5x = 10 x = 2 Æ { 2 } ……… (β) Luego: α ∩ β: { 2 } ……… (III) Para: < 5/2; ∞] …… (γ) Tomamos: x = 3 x + 2 ( x + 1) – (2x + 5) = 3 x + 2x - 2 - 2x + 5 = 3 x = 0 Æ { 0 } ……… (ψ) Luego: γ ∩ ψ: ∅ ……… (IV) Finalmente: C.S. I ∪ II ∪ III ∪ IV {-6} ∪ ∅ ∪ {2} ∪ ∅ = { -6 ; 2 } 33. Resolver: |x2 – 9| + |x2 – 4| = 5 Solución: Análogamente al ejemplo anterior: x2 – 9 = 0 Æ x = + 3 x2 – 4 = 0 Æ x = + 2 -∞
-3
-2
2
Para: …… (α) Tomando: x = 0 2x-2 – (-2x+1 - 1) = 2x+1 + 1 2x+2 + 2x+1 + 1 = 2x+1 + 1 2x+2 = 2x-2 x+2=x+2 Æ
0= 0
Luego: x ∈ R …… (β) Luego: α ∩ β: < - 1 ; ∞ > ……… (III) Finalmente: C.S. I ∪ II ∪ III: [ -1 ; ∞ > ∪ { -3 } 35. Resolver: |3x – 1| < 5 Solución: i. ii. iii.
3x – 1 < 5 Æ 3x < 6 Æ x < 2 ……(α) 3x – 1 > 5 Æ 3x > -4 Æ x > - 4/3 ……(β) C.S.: α ∩ β x ∈ [ -4/3 ; 2 ]
36. Resolver:
3x + 7 x–1
<
5
Solución: 1)
3x + 7 < 5 x–1
2) 3x + 7 > -5 x-1
3x + 7 – 5 < 0 x–1
3x + 7 + 5 > 0 x–1
3x + 7 – 5x + 5 < 0 x–1 - 2x + 12 < 0 x–1 2x – 12 > 0 …… (I) x–1
3x + 7 + 5x - 5 > 0 x–1 8x + 2 > 0 …… (II) x–1
Graficando (I) + -∞
1
De donde: x ∈ < -∞ ; 1 ]
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+ 6
∪ [ 6 ; ∞ > …… (α)
+∞
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Graficando (II) +
-
+
-∞ -1/4 1 De donde: x ∈ < -∞ ; - 1/4 ] ∪ [ 1 ; ∞ > …… (β)
+∞
3) α ∩ β: C.S. ( < -∞ ; 1 > ∪ < 6; ∞> ) ∩ ( < -∞ ; -1/4 > ∪ < 1; ∞ > ) Finalmente: x ∈ < -∞ ; - 1/4 ] 37. Resolver:
∪[6;∞>
1 (x+1) (x-2)
< 1
Solución: 1)
1 (x+1) (x-2)
0 (x+1) (x-2)
1 – x2 + x + 2 < 0 (x+1) (x-2) x2 – x – 3 > 0 …… (I) (x+1) (x-2)
x2 - x – 1 > 0 …… (II) (x+1) (x-2)
Graficando (I) +
-
+
-1 1- 13 2 3 De donde: x ∈ -∞ ; 1 - 13 2
2
-∞
+ 1+ 13 2
∪ < -1 ; 2 > ∪
+∞
1 + 13 2
…… (α)
Graficando (II) +
-
-∞
-1
+ 1- 5 2
De donde: x ∈ ∪
1+ 5 2
+ 2
1- 5 ;1+ 5 2 2
+∞
∪
< 2 ; ∞ > …… (β)
3) C.S.: α ∩ β Finalmente: De donde: x ∈
-∞ ; 1 - 13 2
∪
1- 5;1+ 5 2 2
38. Resolver: | x + 1/x | < 6 Solución: Se puede escribir de la siguiente forma: x2 + 1 x
< 6
1) x2 + 1 < 6 x
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2) x2 + 1 > -6 x
∪
1 + 13; ∞ 2
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” x2 + 1 – 6 < 0 x
x2 + 1 + 6 > 0 x
x2 – 6x + 1 < 0…… (I) x
x2 + 1 + 6x > 0 …… (II) x
Graficando (I) -∞
+
-
0
3 –2
+
2
3+2 2
+∞
De donde: x ∈ < - ∞ ; 0 > ∪ [ 3 – 2 2; 3 + 2 2 ] …… (α) Graficando (II) -∞
0
+ - 3 –2
2
3+2 2
+ 0
+∞
De donde: x ∈ < - 3 –2 2 ; -3 + 2 2 ] ∪ < 0 ; ∞ > 3) C.S. 3) C.S.: α ∩ β Finalmente: x ∈ [ - 3 –2 2 ; -3 + 2 2 ] ∪ [ 3 –2 2 ; 3 + 2 2 ] 39. Resolver: |3x – 7| > x – 3 Solución: 3x – 7 > x – 3 2x > 4 x>2
ó
3x – 7 < - (x – 3) 4x < 10 x < 5/2
∴x ∈ R 40. Resolver: |x2 + 3x | + x2 – 2 > 0 Solución: |x2 + 3x | > x2 – 2 x2 + 3x > 2 - x2 2 2x + 3x - 2 > 0
+ -∞
x2 + 3x < - (2 - x2) 3x < -2 x < -2/3
ó
-
+
-2 x ∈ < - ∞ ; - 2/3 ] ∪ [ 1/2 ; ∞ >
41. Resolver:
½
+∞
3 – 2 (2x + 1) > 0 x+2
Solución: 3 – 2 (2x + 1) > 0 x+2 3
> 2x + 1
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ó
3
< -(2x+ 1)
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” x+2
x+2
3 – (2x + 1) 8x + 2) > 0 x+2
3 + (2x + 1) 8x + 2) < 0 x+2 ∆ 0 x+2
2x2 + 5x + 5) < 0 x+2
2x2 + 5x – 1 > 0 x+2
1 0 x
Solución: 5x + 2 > 2 x 5x + 2 - 2 x
ó
>0
5x + 2 < -2 x 5x + 2 + 2 < 0 x
5x + 2 – 2x > 0 x
5x + 2 + 2x < 0 x
3x + 2 > 0 x
7x + 2 < 0 x
x ∈ < - ∞ ; - 2/3 > ∪ < 0 ; ∞ > ∪ x ∈ < - 2/7 ; 0 > C.S. = x ∈ < - ∞ ; - 2/3 > ∪ < - 2/7 ; 0 > ∪ < 0 ; ∞ > 43. Resolver:
||||x2 + 1| - 1 | + 2 | - 3 | > 2x - 1
Solución: Como x2 + 1 > 0, entonces:
||||x2 + 1| - 1 | + 2 | -3 > 2x – 1
Se escribe así,
|||x2 + 1 - 1 | + 2 | -3| > 2x – 1
Reduciendo:
|||x2 | + 2 | -3 | > 2x – 1
Como x2 > 0, entonces:
||x2 + 2| - 3 | > 2x – 1
Como x2 + 2 > 0, entonces:
|x2 + 2 - 3 | > 2x – 1
Reduciendo:
|x2 - 1 | > 2x – 1
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Luego: x2 – 1 > 2x – 1 x2 – 2x > 0 x (x – 2) > 0
x2 – 1 < - (2x – 1) x2 – 1 < -2x + 1 x2 + 2x – 2 < 0
∨
Graficando
+ -∞
0
+ 2
3
+∞
De donde: x ∈ < ∞ ; 0 > ∪ < 2 ; ∞ > + -∞
-1- 3
+ -1+
De donde: x ∈ < -1 - 3 ; - 1 +
3
+∞
3>
Finalmente: C.S.: x ∈ < -∞ ; -1 + 3 > ∪ < 2 ; ∞ > 44. Resolver:
1 x+4
∈ [1/3 , 1]
Solución: 1/3 ≤
1 < 1 x+4
1 ≤ x+4 ≤3 => -3 ≤ x ≤ -1 luego la solucion es: x ∈ [-3 , -1] 45. Resolver:
5 ≥ 2x – 1
1 x-2
Solución: 5 2x – 1 se tiene:
≥
1 x–2
ÅÆ
5 ≥ 2x – 1
1 x-2
para x ≠ 1/2
5 |x-2| ≥ |2x-1| elevando al cuadrado 25 (x-2)2 ≥ (2x-1)2 efectuando y simplificando 7x2 – 32x + 33 ≥ 0 ÅÆ (7x-1)(x-3) ≥ 0 +
11/7
0
+ 3
Como (7x-1)(x-3) ≥ 0, se toma los intervalos donde aparece el signo (+), es decir: < -∞ , 11/7 ] U [ 3 , +∞ >
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46. Resolver:
2 2 – 10 |x| - 16 – x2 -3 + x – 2
- 9–x > 0 x-8
Solución: Efectuando las restricciones: x – 2 > 0 ∧ 10|x| - 16 – x2 > 0 ∧
A De A: x > 2
10 |x| - 16 – x2 > 0 -3 + x – 2
2 2–
B
C
De B: como: x > 2 Æ |x| = x 10|x| - 16 – x2 > 0 10x - 16 – x2 > 0 Por (-1):
x2 -10x – 16 < 0 (x - 8) (x - 2) < 0
De donde:
x–8=0Æx=8 x–2=0Æx=2
Graficando: + -∞
2
+ 8
+∞
Entonces: x ∈ [ 2 ; 8 ] ………(I) De C: como: x ∈ [ 2 ; 8 ] Æ
2<
x
2 2 10x – 16 – x2 > 8 x2 – 10x + 24 < 0 (x – 6) (x - 4) < 0
Graficando: + -∞ Entonces: x ∈ [ 4 ; 6 ]
4
Luego, la restricción es: x ∈ [ 4 ; 6 ] Trabajando en la expresión inicial:
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+ 6
+∞
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2 2 – 10 |x| - 16 – x2 -3 + x – 2
- 9–x > 0 x-8
……… (α)
De: x ∈ [ 4 ; 6] 4< x < 6 multiplicando por (-1); -6 < -x < -4 sumando 9 3 0 …… (I)
A Efectuando la restricción: x – 9 > 0 Æ x > 9 …… (α) De donde deducimos que: |x| |x + 2| |1 - x| |x - 1|
= = = =
x x+2 x–1 x–1
Reemplazando en A:
A = x |x – 1| - 12 x+2+1
|x – 1 – 3| x–1+4
A = x |x – 1| - 12 x+3
|x – 4| x+3
Como: x > 9, entonces: |x - 4| = x – 4 |x - 1| = x – 1
= x (x – 1) – 12 – (x – 4) x+3 = x2 - x – 12 – x + 4 x+3 = x2 - 2x – 8 x+3 = (x - 4) (x - 2) …… (II) x+3
Reemplazando (II) en (I): (x – 4) (x + 2) x+3 Elevando al cuadrado:
>
x-9
(x – 4) (x + 2) - x – 9 > 0 x+3 (x - 4) (x + 2) – (x – 9) (x + 3) > 0 x+3 x2 – 2x + 8 - (x2 – 6x – 27) > 0
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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” x+3 De donde:
4X + 19 = 0 Æ x+3=0 Æ
x = - 19/4 x = -3
Graficando: +
-
-∞
+
- 19/4
1
+∞
De donde: x ∈ < - ∞ ; - 19/4 ] ∪ < 1 ; ∞ > …… (β) Solución final: α ∩ β x∈[9;∞> 48. Resolver: | x | - 9 | 4 x | + 18 > 0 Solución: Restricción: x > 0 …… (α) x + 18 > 9 4 x Elevando al cuadrado: x + 36 x + 324 > 81 x x + 324 > 45 x (x + 324)2 > (45
Elevando al cuadrado:
x )2
x2 + 648x + 104.976 > 2025x x2 – 1377x + 104.973 > 0 x = 1377 ± 1215 2
Æ x = 1396; x2 = 81
+ -∞
81
+ 1396
De donde: x ∈ < - ∞ ; 81 ] ∪ [ 1396 ; ∞ > …… (β) C.S.: α ∩ β Æ x ∈ [ 0 ; 81 ] ∪ [ 1396 ; ∞ >
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+∞
UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI”
Problemas Propuestos 1.
Si x ∈ , entonces a)
2.
1 2x+3
pertenece a:
b)[7,11] c) d) e) N.A.
Resolver: 5x – 9 = 3 2x + 3 Dar como respuesta la suma de las soluciones: a) -18
3.
Resolver: a) 2
4.
b) 18
c) 0
d) 15
e) -15
|x – 1|2 + 2 |x – 1| + 1 = 0 b) 1
c) φ
d) Imposible
e) N.A.
Si x ∈ [ 1000, α > hallar “x” sabiendo que: |x–1|+|1–x|+|x–2|+|2–x|+|x–3|+|3–x| +…… + |x – 1000| + |1000 – x| = 106 a) 2001 6
5.
6.
Si
b) 1000
3 ∈ 3x – 4
c) 2001 2
d) 10000
e) N.A.
[ 1/15 , ¼ ], hallar el menor n
Tal que:
x + 2 x + 6
a) 43/67
b) 15/17
<
M c) 10/9
d) 13/16
Hallar el conjunto de: (x - 1)2 (x – 6) (x - 5)4
e) 15/19 < 0
a) b) - {5} c) - {1} d) - {1,5} e) N.A. 7.
Hallar el conjunto de |2x + 3| > |3x – 5|. Dar como respuesta la suma de los extremos solución. a) 42/5
8.
b) 27/5
c) 4/5
Hallar A si A’ = { x ∈ R /
d) 53/5
1/(x2+2x-13)
finitos
del
intervalo
e) 18/5 >
1/(x2+3x) }
Dar como respuestas la suma de los extremos finitos de los intervalos solución. a) 16 9.
b) -18
c) 18
d) -16
e) 10
Hallar la inecuación racional más simple que tiene por solución: < -1, -1/3 > ∪ < 7, ∞ > a) (x-2)(x+1/3) 0 c) (x+1)(3x–1)(x+7)>0 d)(x+1)(3x+1)(x–7)> 0 e) (x+1)(3x+1)(x+7)> 0
10. Resolver:
a) [4,2]
|3x – x2| - 4 4 - |x| b)
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>
-1
c) [-4,3>
d)