CONAMET/SAM-SIMPOSIO MATERIA 2002

CARACTERIZACION FRACTOMECANICA PROBABILISTICA DE ALEACIONES BASE COBRE G. Díaz, E. Donoso y A. Varschavsky

Universidad de Chile, Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas, Núcleo de Ingeniería de los Materiales, IDIEM, Casilla 1420, Santiago, Chile, e-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

RESUMEN Se presenta un modelo de caracterización fractomecánica probabilística aplicable a materiales que presentan un comportamiento dúctil a la fractura, como es el caso de gran número de aleaciones base cobre. Se emplean como variables aleatorias las tensiones de fractura, las tensiones de fluencia, el límite elástico y el factor de intensidad crítico de tensiones en modo I. como variable aleatoria. Cuando el tratamiento probabilístico se hace sobre las tensiones de fractura de materiales dúctiles hay que estudiar qué tipo de función de distribución de probabilidad se ajusta a los datos experimentales. Se emplearon las funciones de distribución de probabilidad acumulativa de Weibull. Se estimaron los parámetros de Weibull mediante mínimos cuadrados. Se estudió además el efecto de tamaño. Se estimaron las dispersiones de los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad usando la matriz de información de Fischer. Finalmente, la caracterización probabilística queda definida a través de los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad y de sus respectivas dispersiones. Palabras claves: Fractura, Weibull, Probabilidad de fractura, Aleaciones. 1. INTRODUCCION El tratamiento probabilístico de materiales o la Resistencia Probabilística de Materiales obedece a la imposibilidad de caracterizar unívocamente a un material considerando valores de propiedades características con dispersión nula. Como propiedades características pueden mencionarse las tensiones de fractura, las tensiones de fluencia, el factor de intensidad crítico de tensiones en sus diversos modos, entre otros. Aun cuando los métodos de medición han adquirido gran sofistificación y refinamiento mejorando la precisión y la exactitud de las medidas experimentales, no deja de estar presente el fenómeno de la dispersión de los resultados. Tomando cuenta de ello Weibull [1] propuso el análisis estadístico de los resultados experimentales de fractura de materiales frágiles, el cual se extendió posteriormente a los materiales que presentan comportamiento dúctil a la fractura. En el primero de éstos, es decir, en los materiales frágiles, la variable aleatoria a cons iderar es la tensión de fractura, mientras que en los segundos se ha empleado como variable aleatoria las tensiones de fluencia. De esta forma, los resultados experimentales quedan descritos a través de funciones de distribución de probabilidad. Estas funciones de distribución de probabilidad están

definidas por medio de un determinado número de parámetros y será la evidencia experimental la que señale cuántos correspondan para cada caso particular. La diversidad de aplicaciones y los métodos de determinación de parámetros pueden encontrarse en Kittl y Díaz [2]. Para una solicitación cualquiera, en un cierto material, la rapidez de aplicación de las cargas externas también tiene influencia sobre las funciones de distribución de probabilidad. En [3] se discut e respecto de la aplicabilidad de modelos que utilizan las funciones de distribución de Weibull cuando las cargas externas se aplican paulatinamente. En la estimación de los parámetros que describen a las funciones de distribución de probabilidad se han ut ilizado tanto métodos analíticos como métodos gráficos, estos últimos presentan la ventaja de la sencillez de su aplicación según mostraran León y Kittl [4]. Junto a lo anterior, el efecto del tamaño de las muestras ensayadas sobre las variables aleatorias características también ha sido tratado, considerando diversas funciones de distribución de probabilidad [5]. Desde un punto de vista experimental son variados los materiales que se han caracterizado mediante un análisis estadístico, entre ellos puede mencionarse a los morteros de cemento [6] y a los vidrios [7,8] los cuales presentan un comportamiento frágil a la fractura,

determinándose en ellos la forma de las funciones de distribución de probabilidad con sus respectivos parámetros. En el caso de los vidrios se desarrolló un método simplificado para determinar el factor de intensidad crítico de tensiones en modo I, sin generar por fatiga la grieta inductora de la fractura [7]. No basta con estimar los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad, hay que estimar, además, sus respectivas dispersiones [2]. Mediante la matriz de información de Fischer es posible estimar tales dispersiones. Luego, no sólo hay variabilidad en las tensiones o propiedades características de los materiales, que podemos representar mediante sus valores medios y sus respectivas dispersiones, sino que también los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad presentan dispersión. Para que tengan validez estadística los resultados obtenidos a partir del ensayo de una cierta cantidad de probetas es necesario contar con un cierto número mínimo de ellas. Lo anterior impone, en ocasiones, severas restricciones a la ejecución de ensayos. Por tal razón se han desarrollado métodos de simulación que permiten la est imación de los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad junto a sus respectivas dispersiones [9]. En el caso de materiales como las aleaciones base cobre, con comportamiento dúctil a la fractura, además de considerar como propiedad aleatoria las tensiones de fluencia, con sus valores superior e inferior, es posible también emplear otras propiedades para ser analizadas desde un punto de vista probabilístico, entre ellas las tensiones de fractura, las tensiones de pasaje desde el rango lineal elástico al rango plástico y el factor de intensidad crítico de tensiones en modo I. Un trabajo previo [10] mostró que el factor de intensidad crítico de tensiones en modo I en láminas de cobre 99.99% y en láminas de cobre con 15% de zinc seguían funciones de distribución de probabilidad acumulativa de Weibull.

2. FUNDAMENTOS

El objetivo de este trabajo es la formulación de un modelo teórico que permita la caracterización fractomecánica probabilística de aleaciones base cobre sometidas a ensayos de tracción uniaxial constante, determinar los valores medios con sus dispersiones de propiedades características como fractura, fluencia, límite elástico y factor de intensidad crítico de tensiones en modo I, determinar el efecto de tamaño, determinar los parámetros de las funciones de distribución de probabilidad acumulativa y sus respectivas dispersiones y determinar modificaciones en los parámetros al incorporar niveles de tolerancia admisibles en las probabilidades acumulativas.

 σ   φ( σ) =    σ0 

Sea un sólido homogéneo y de geometría arbitraria sometido a un sistema de cargas externas que generan un campo de tensión constante al interior del material. La probabilidad de que no ocurra un cierto evento aleatorio, que puede ser o la tensión de fractura, o la tensión de fluencia, o el límite elástico de tensión o el factor de intensidad crítico de tensiones en modo I, se determina a partir del teorema del producto de las probabilidades de eventos independientes. Para ello considérese una división arbitraria del volumen total del sólido, V, en dos volúmenes disjuntos V1 y V2. Sin perder generalidad utilicemos σ para representar al evento aleatorio. Luego, la probabilidad de que no ocurra el evento aleatorio σ en el volumen V es igual al producto de las probabilidades de que no ocurra el evento aleatorio ni en V1 ni en V2, es decir:

~F(V = V + V , σ) = ~F(σ, V ) ~ 1 2 1 F(σ, V2 ) ~F = 1 − F

(1)

~ F es

donde la probabilidad acumulativa de que no ocurra el evento aleatorio σ. La ecuación (1) es la ecuación fundamental de la resistencia probabilística de materiales y su solución, para el caso de un campo de tensiones uniaxial constante está dada por: F (σ, V) = 1 − e xp {−

V φ(σ)} Vo

(2)

donde V0 es la unidad de volumen y φ es la función riesgo específico de Weibull. La ecuación (2) es la función de distribución de probabilidad acumulativa de Weibull. Generalmente, los datos experimentales se ajustan bastante bien a funciones riesgo específico de dos y de tres parámetros: m

 σ − σL m ) φ( σ) = ( σ  o φ( σ) = 0 

σ ≥0 σL < σ ≤ ∞

(3)

(4)

0 ≤ σ ≤ σL

donde los parámetros m, σ0, σL son parámetros que se determinan a partir de los datos experimentales y son representativos del proceso de génesis o del proceso de fabricación de los materiales.

3. VALORES MEDIOS Y DISPERSIONES Al disponer de una muestra de N valores experimentales de las variables aleatorias se

pueden determinar sus valores medios respectivas dispersiones σ=

1 N

σ

y sus

N

σi ∑ i=1 1 N

∆σ =

∆σ :

(5)

N

(σi − σ) 2 ∑ i =1

(6)

Para el caso de una función riesgo específico de Weibull de dos parámetros las expresiones que se obtienen para el valor medio y para la dispersión cuando N → ∞ son: ∞

−

∫ (σ − σ)

ln ξ 2 ( σ) = lnξ1 ( σ) + ln

1/ 2

2 1  2 Γ(1 + m ) − Γ (1 + m )   

∞

m−1 −x

e

dx = Γ(m)

(9)

0

Luego, la dispersión respecto de la media tiene la siguiente expresión:

∆σ = σ

(Γ(1 +

2 1 1/2 ) − Γ 2 (1 + )) m m 1 Γ(1 + ) m

(10)

Ahora, para el caso de una función riesgo específico de tres parámetros el valor medio y la dispersión son, respectivamente 1

σ = σo (

(14)

(8)

donde Γ es la función gamma de Euler:

∫x

1 V = φ (σ) 1 − F(σ ) V0

dσ

1  V  m

 = σ0    V0 

ξ( σ) = ln

Cualquiera sea la forma de la función riesgo específico de Weibull, de dos o de tres parámetros, si se tienen dos conjuntos de muestras de volúmenes V1 y V2, se obtiene:

2 dF dσ =

0

−

La ecuación (2) puede rescribirse de la siguiente manera:

(7)

∞

∆σ =

Se denomina efecto de tamaño a la posibilidad de inferir el comportamiento mecánico de un material de volumen V2 si se conoce su comportamiento para un volumen V1. En este caso, conocer el comportamiento mecánico significa conocer los parámetros de la función de distribución de probabilidad acumulativa de Weibull.

1

 V  m dF 1  σ = σ dσ = σ0  Γ(1 + )  dσ m  V0 

∫0

4. EFECTO DE TAMAÑO

V −m 1 ) Γ(1 + ) + σ L Vo m

(11)

1

V −  2 1 1 / 2 ∆σ = σ0 ( ) m Γ(1+ ) − Γ2 (1 + ) Vo m m  

(12)

Mientras que la dispersión respecto del valor medio está dada por: 2 1  1/2  2 Γ(1 + m ) − Γ (1 + m )  ∆σ  = 1 σ − σL Γ(1 + ) m

(13)

V2 V1

(15)

Si se grafica lnξ(σ) versus lnσ se obtiene el diagrama de Weibull. Luego, la ecuación (15) muestra que si se conoce el diagrama de Weibull para la muestra de volumen V1 se puede obtener el diagrama de Weibull para la muestra de volumen V2 mediante una traslación paralela del primero de ellos.

5. ESTIMACION DE PARAMETROS El primer método de estimación de los parámetros de la función de Weibull fue propuesto por él mismo. En este método, Weibull hacía pasar la recta que mejor se ajustara a los datos experimentales dispuestos en un diagrama, diagrama que posteriormente pasó a llamarse diagrama de Weibull. De este modo, con la recta de mejor ajuste pudo estimar los parámetros m y σ0 , para el caso particular de una función de riesgo de dos parámetros. Un segundo método, que puede emplearse en la estimación de parámetros, es el método de mínimos cuadrados. Es un método más general por cuanto permite estimar parámetros en funciones de riesgo específico de Weibull de dos y tres parámetros, a partir de un ajuste mínimo cuadrático a los datos experimentales dispuestos en un diagrama de Weibull. Se presentan dos variantes para este método, mínimos cuadrados lineales y mínimos cuadrados no lineales. Para simplificar la exposición sólo se tratará el primero. La función de Weibull de tres parámetros puede escribirse de la siguiente manera:

 1  V y = ln ξ( σ) = ln l n )  = m ln ( σ − σ L ) + ln ( Voσ mo  1 − F( σ) 

(16) A partir de un conjunto de datos experimentales de valores del evento aleatorio para un material similarmente fabricado y sometido a un estado de tensión constante éstos deben ordenarse ascendentemente. Si, a continuación, se utiliza como estimador de la probabilidad acumulativa del evento aleatorio aquél que ha demostrado tener menor sesgo, entonces el modelo lineal es:   1 V y i = ln  ln = m l n ( σ i − σ L ) + ln ( ) + εi (i −0. 5 )  Vo σ mo  1 − n 

(17) donde E(εi) = 0, E es el operador esperanza matemática y εi es el error producto de la diferencia entre el valor observado de F(σi) y el valor esperado. Luego, los estimadores de mínimos cuadrados que maximizan el coeficiente de correlación ρ son

m ˆS=

∑

ˆ S , σˆ 0S y σˆ LS . Por lo tanto: m

y il n (σi − σˆ LS ) − 1 n

i

∑ i

∑ ∑ yi

 ∂ 2 ln f (σ ; m, σ , σ )  i 0 L  rij = − E  ∂θi ∂θ j   {θ} = {m, σ0 , σ L }

(19) ∞

∫0

E( g) = g(σ)

En esta matriz, posterior a su inversión, quedan las varianzas, en la diagonal, y las covarianzas de los estimadores, expresadas como (1/n) R-1. Para el caso particular de un material sometido a un estado de tensión constante con función riesgo específico de Weibull de tres parámetros, los elementos de la matriz de Fischer son: 1 V V (1.82379 − 0.84555 l n( ) + ln 2 ( )) V0 V0 m2 1 V r12 = − (0.42277− l n( )) σ0 V0 r11 =

1 1 V m r13 = ( ) σ0 V0 2

r22 =

l n (σi − σˆ LS )

dF dσ dσ

1 1 1 1 1 V   Γ(1 − ) − Γ' (2 − ) + (1 − )Γ (1 − ) l n( ) m m m m V0   m

m

σ 20

i

  l n 2 (σi − σˆ LS ) − 1  n 

 1  V σˆ 0S =  exp[ − V n 0 

∑

∑ i

i

1

2

  l n (σi − σˆ LS ) 

m ˆ yi + S n

∑

(18)

σˆ 0 S , σˆ LS )

m 2 1 V 1 ) (1− )( ) m Γ(1− ) σ m V0 m

r33 = (

m −1 2 V m 2 ) ( ) Γ(1 − ) σ0 V0 m

2

 1  m l n( σ i − σ ˆ LS)] ˆ S  i

σˆ LS = σˆ LL

ˆ S, donde ρ( m

r23 = (

(20)

Las ecuaciones anteriores (20) permiten determinar la dispersión de cada uno de los parámetros. Este método exige que la matriz de Fischer sea semidefinida positiva e invertible.

es máximo. Bajo el

supuesto de un modelo lineal los estimadores de mínimos cuadrados que se obtienen son insesgados de varianza mínima.

6. DISPERSION DE LOS PARAMETROS Una vez estimados los parámetros de la función riesgo específico de Weibull pueden estimarse las dispersiones asociadas a cada uno de ellos, de tal forma que cada parámetro se exprese en términos de su valor medio estimado más la dispersión del mismo. Cuando se tiene grandes muestras, o muestras estadísticamente válidas para estimar los parámetros, los estimadores de máxima verosimilitud se distribuyen aproximadamente a través de una distribución normal multivariada con valores medios m, σ0 y σL. Esta última función tiene una matriz de información de Fischer R, simétrica, que es una forma cuadrática, cuyos elementos están dados por:

7. DISEÑO PROBABILISTICO En diseño probabilístico no basta con conocer la probabilidad acumulativa F de un cierto evento aleatorio, hay que asignarle, además, una tolerancia ∆F. Aquí se considerará sólo cambios en el parámetro m producto de la incorporación de la tolerancia en el diseño. A fin de simplificar y sin perder generalidad, consideremos una función riesgo específico de Weibull de sólo un parámetro, m, es decir, φ( σ) = σ m . Por lo tanto, un incremento ∆F>0 en la probabilidad acumulativa F del evento aleatorio implica un incremento ∆m para m. Luego, la expresión de la probabilidad acumulativa queda:

{

F + ∆F = 1 − exp − σ m + ∆m

}

Al considerar lo anterior la tasa de variación ∆m/m está dada por:

(21)

∆m = m

 1  l nln ( )  1 − ( F + ∆F)  − 1 1   l n l n ( )  1 −F 

(22)

De manera análoga se obtienen las tasas de variación para los otros parámetros.

8. RESULTADOS PRELIMINARES El formalismo aquí descrito permite la caracterización probabilística, ya iniciada, en aleaciones base cobre. Se ha observado, para cobre puro y para cobre con 15% de zinc, funciones de distribución de Weibull al considerar como evento aleatorio el factor de intensidad crítico de tensiones en modo I. El método expuesto presenta la ventaja adicional de ser extensible a otro tipo de aleaciones.

AGRADECIMIENTOS Los autores agradecen al Fondo Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico, FONDECYT, por el proyecto Nº 1020127.

REFERENCIAS 1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9.

Weibull, W.: Ing. Vetenskap Akad. Handl., 151(1939) 1-45. Kittl, P. and Díaz, G.: Res Mechanica, 24(1988) 99-207. Kittl, P., Díaz, G. and Martínez, V.: Applicability of a Weibullian model of fracture by application of a slowly gradual load. Probabilities and Materials. Test, Models and Applications. Edited by D. Breysse. NATO ASI Series E, Kluwer Academic Publishers, London, 1994, pp. 439449. León, M. and Kittl, P.: Journal of Materials Science, 20(1985) 3778-3782. Kittl, P. and Díaz, G.: Reliability Engineering and System Safety, 28(1990) 9 - 21. Díaz, G. and Carracedo, M. I.: Ciencia Abierta, 5(1999) (http://tamarugo.cec.uchile.cl/~cabierta/revista /5/mortero.htm) Kittl, P., Díaz, G. and Martínez, V.: Journal of Materials Science, 31(1996) 3675-3678. Díaz, G., Kittl, P., Martínez, V. H. and Henríquez, R.: Journal of Materials Science.37(2002)1437-1441. Kittl, P., Rosales, M. y Díaz, G.: Ciencia Abierta, 11(2001) (http://www.cec.uchile.cl/~cabierta/revista/13/ articulos/pdf/13_7.pdf)

10. Meneses, C., Kittl, P., Díaz, G. and Martínez, V.: Determination of the critical fracture toughness KIC , in paper, copper and bronce laminas. Applied Mechanics in the Americas. Edited by H.I. Weber, P.B. Goncalvez, I. Jasiuk, D. Pamplona, C. Steele and L. Bevilacqua, Published by AAA and ABCM. Río de Janeiro, 6(1999) 473-476.