ANEXO 1

Carta de Presentación Director del Programa

Bogotá, 10 abril de 2013

Señores BIBLIOTECA GENERAL Pontificia Universidad Javeriana Ciudad

Respetados Señores, Me permito presentar el trabajo de grado titulado “Un posible método de agregación de preferencias individuales con capacidad de inclusión de información relevante“, elaborado por el estudiante Jhonnattan Snayder Galindo Gómez, identificado con la Cédula de Ciudadanía No. 1026262418, para que se incluya en el catálogo de consulta. Cordialmente,

Sebastián Líppez de Castro Director del programa de Ciencia Política

ANEXO 2 CARTA DE AUTORIZACIÓN DE LOS AUTORES (Licencia de uso) Bogotá, D.C., 10 de abril de 2013 Señores Biblioteca Alfonso Borrero Cabal S.J. Pontificia Universidad Javeriana Cuidad Los suscritos: Jhonnattan Snayder Galindo Gómez

, con C.C. No

1026262418

En mí calidad de autor exclusivo de la obra titulada: Un Método de agregación de preferencias individuales con capacidad de inclusión de información relevante Tesis doctoral Trabajo de grado X Premio o distinción: Si No X cual: presentado y aprobado en el año 2012 , por medio del presente escrito autorizo (autorizamos) a la Pontificia Universidad Javeriana para que, en desarrollo de la presente licencia de uso parcial, pueda ejercer sobre mi (nuestra) obra las atribuciones que se indican a continuación, teniendo en cuenta que en cualquier caso, la finalidad perseguida será facilitar, difundir y promover el aprendizaje, la enseñanza y la investigación. En consecuencia, las atribuciones de usos temporales y parciales que por virtud de la presente licencia se autorizan a la Pontificia Universidad Javeriana, a los usuarios de la Biblioteca Alfonso Borrero Cabal S.J., así como a los usuarios de las redes, bases de datos y demás sitios web con los que la Universidad tenga perfeccionado un convenio, son: AUTORIZO (AUTORIZAMOS) 1. La conservación de los ejemplares necesarios en la sala de tesis y trabajos de grado de la Biblioteca. 2. La consulta física o electrónica según corresponda 3. La reproducción por cualquier formato conocido o por conocer 4. La comunicación pública por cualquier procedimiento o medio físico o electrónico, así como su puesta a disposición en Internet 5. La inclusión en bases de datos y en sitios web sean éstos onerosos o gratuitos, existiendo con ellos previo convenio perfeccionado con la Pontificia Universidad Javeriana para efectos de satisfacer los fines previstos. En este evento, tales sitios y sus usuarios tendrán las

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SI X X X X X

NO

AUTORIZO (AUTORIZAMOS) mismas facultades que las aquí concedidas con las mismas limitaciones y condiciones 6. La inclusión en la Biblioteca Digital PUJ (Sólo para la totalidad de las Tesis Doctorales y de Maestría y para aquellos trabajos de grado que hayan sido laureados o tengan mención de honor.)

SI

NO

X

De acuerdo con la naturaleza del uso concedido, la presente licencia parcial se otorga a título gratuito por el máximo tiempo legal colombiano, con el propósito de que en dicho lapso mi (nuestra) obra sea explotada en las condiciones aquí estipuladas y para los fines indicados, respetando siempre la titularidad de los derechos patrimoniales y morales correspondientes, de acuerdo con los usos honrados, de manera proporcional y justificada a la finalidad perseguida, sin ánimo de lucro ni de comercialización. De manera complementaria, garantizo (garantizamos) en mi (nuestra) calidad de estudiante (s) y por ende autor (es) exclusivo (s), que la Tesis o Trabajo de Grado en cuestión, es producto de mi (nuestra) plena autoría, de mi (nuestro) esfuerzo personal intelectual, como consecuencia de mi (nuestra) creación original particular y, por tanto, soy (somos) el (los) único (s) titular (es) de la misma. Además, aseguro (aseguramos) que no contiene citas, ni transcripciones de otras obras protegidas, por fuera de los límites autorizados por la ley, según los usos honrados, y en proporción a los fines previstos; ni tampoco contempla declaraciones difamatorias contra terceros; respetando el derecho a la imagen, intimidad, buen nombre y demás derechos constitucionales. Adicionalmente, manifiesto (manifestamos) que no se incluyeron expresiones contrarias al orden público ni a las buenas costumbres. En consecuencia, la responsabilidad directa en la elaboración, presentación, investigación y, en general, contenidos de la Tesis o Trabajo de Grado es de mí (nuestro) competencia exclusiva, eximiendo de toda responsabilidad a la Pontifica Universidad Javeriana por tales aspectos. Sin perjuicio de los usos y atribuciones otorgadas en virtud de este documento, continuaré (continuaremos) conservando los correspondientes derechos patrimoniales sin modificación o restricción alguna, puesto que de acuerdo con la legislación colombiana aplicable, el presente es un acuerdo jurídico que en ningún caso conlleva la enajenación de los derechos patrimoniales derivados del régimen del Derecho de Autor. De conformidad con lo establecido en el artículo 30 de la Ley 23 de 1982 y el artículo 11 de la Decisión Andina 351 de 1993, “Los derechos morales sobre el trabajo son propiedad de los autores”, los cuales son irrenunciables, imprescriptibles, inembargables e inalienables. En consecuencia, la Pontificia Universidad Javeriana está en la obligación de RESPETARLOS Y HACERLOS RESPETAR, para lo cual tomará las medidas correspondientes para garantizar su observancia. NOTA: Información Confidencial: Esta Tesis o Trabajo de Grado contiene información privilegiada, estratégica, secreta, confidencial y demás similar, o hace parte de una investigación que se adelanta y cuyos resultados finales no se han publicado. Si No X

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En caso afirmativo expresamente indicaré (indicaremos), en carta adjunta, tal situación con el fin de que se mantenga la restricción de acceso. No. del documento de identidad

NOMBRE COMPLETO

Jhonnattan Snayder Galindo Gómez

1026262418

FACULTAD: Ciencias Políticas y Relaciones Internacionales PROGRAMA ACADÉMICO: Ciencia Política

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FIRMA

ANEXO 3 BIBLIOTECA ALFONSO BORRERO CABAL, S.J. DESCRIPCIÓN DE LA TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE GRADO FORMULARIO TÍTULO COMPLETO DE LA TESIS DOCTORAL O TRABAJO DE GRADO

UN MÉTODO DE AGREGACIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES CON CAPACIDAD DE INCLUSIÓN DE INFORMACIÓN RELEVANTE SUBTÍTULO, SI LO TIENE

AUTOR O AUTORES Apellidos Completos

Nombres Completos

Galindo Gómez

Jhonnattan Snayder

DIRECTOR (ES) TESIS DOCTORAL O DEL TRABAJO DE GRADO Apellidos Completos Nombres Completos

Abitbol

Pablo FACULTAD

Ciencias Políticas y Relaciones Internacionales

Pregrado

PROGRAMA ACADÉMICO Tipo de programa ( seleccione con “x” ) Especialización Maestría

Doctorado

X Nombre del programa académico

Ciencia Política Nombres y apellidos del director del programa académico

Sebastián Líppez de Castro TRABAJO PARA OPTAR AL TÍTULO DE:

Politologo PREMIO O DISTINCIÓN (En caso de ser LAUREADAS o tener una mención especial):

CIUDAD

AÑO DE PRESENTACIÓN DE LA TESIS O DEL TRABAJO DE GRADO

NÚMERO DE PÁGINAS

Bogotá

2012

64

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Dibujos

Pinturas

TIPO DE ILUSTRACIONES ( seleccione con “x” ) Tablas, gráficos y Planos Mapas Fotografías diagramas

Partituras

X SOFTWARE REQUERIDO O ESPECIALIZADO PARA LA LECTURA DEL DOCUMENTO Nota: En caso de que el software (programa especializado requerido) no se encuentre licenciado por la Universidad a través de la Biblioteca (previa consulta al estudiante), el texto de la Tesis o Trabajo de Grado quedará solamente en formato PDF.

Excel MATERIAL ACOMPAÑANTE TIPO

DURACIÓN (minutos)

CANTIDAD

FORMATO CD

DVD

Otro ¿Cuál?

Vídeo Audio Multimedia Producción electrónica Otro Cuál? DESCRIPTORES O PALABRAS CLAVE EN ESPAÑOL E INGLÉS ESPAÑOL INGLÉS

Teorema General de Posibilidad de Arrow Teoría de la elección racional Paradoja de condorcet Transitividad Agregación de preferencias

General Possibility Theorem Racional choice theory Condorcet's paradox Transitivity Preference aggregation

RESUMEN DEL CONTENIDO EN: ESPAÑOL E INGLÉS (Máximo 250 palabras - 1530 caracteres)

Este trabajo presenta el Teorema General de Posibilidad de Arrow de 1951/1963, como un aporte fundamental en el campo de la elección social. A su vez, se revisan aportes de otros autores respecto a las consecuencias del teorema y haciendo énfasis en los conceptos que generan centralidad en el debate académico. A partir de este recorrido teorico, se presenta un método de agregación de preferencias colectivas que pretende cumplir con todas las condiciones expuestas en el teorema. El método posteriormente se confronta con ejemplos de votación en los que no todas las condiciones podían ser cumplidas por otros métodos de agregación. Finalmente, se presentan algunas reflexiones a partir de los resultados, haciendo especial énfasis en el error detectado en el teorema según el cual la condición IIA es igual a la comparación entre pares.

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This work presents the Arrow’s General Possibility Theorem (1951/1963), as a fundamental contribution to the social choice field. It also presents an academic review to find other authors conceptual contributions on the subject, respecting the consecuquences of the theorem and emphasizing on the notions that generates the academic central debate. Taking into account this theoretical review, a preference aggregation method is develop with the intention to accomplish the conditions exhibit in the theorem. This method is evaluated in compare with some voting examples, where, at least one condition wasn’t achieved. Finally, the evaluation results, leads in some contributions to the social choice field, that principally identify a problem with the theorem, which presumes that condition IIA is the same to the pair comparison aggregation method.

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UN POSIBLE MÉTODO DE AGREGACIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES CON CAPACIDAD DE INCLUSIÓN DE INFORMACIÓN RELEVANTE

JHONATAN GALINDO GÓMEZ

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y RELACIONES INTERNACIONALES DEPARTAMENTO DE CIENCIA POLÍTICA BOGOTÁ, D. C. 2012

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UN MÉTODO DE AGREGACIÓN DE PREFERENCIAS INDIVIDUALES CON CAPACIDAD DE INCLUSIÓN DE INFORMACIÓN RELEVANTE

JHONATAN GALINDO GÓMEZ

Trabajo de grado para optar al título de Politólogo

DIRECTOR: PABLO ABITBOL

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y RELACIONES INTERNACIONALES DEPARTAMENTO DE CIENCIA POLÍTICA BOGOTÁ, D. C. 2012

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CONTENIDO INTRODUCCIÓN ………………………………………………………………………........................... 11

1. CONSIDERACIONES PREVIAS AL TEOREMA DE ARROW ……………..........................… 16 1.1 Asumiendo actores racionales ………………………………………………......................... 16 1.2 Paradoja de Condorcet ……………………………………………………..........................… 19 2 EL TEOREMA GENERAL DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW (TGIA) ……............................. 21 2.1 Condiciones mínimas de razonabilidad: dominio, rango, Pareto e independencia de las alternativas irrelevantes (condición IIA) ………….............................................................. 21

2.2 Teorema general de imposibilidad de Arrow (TGIA) ……………………............................. 24 2.3 Explicación de las condiciones y del teorema …………………………..........................…. 25 3 INTERPRETACIONES ……………………………………………………...........................…….. 34 3.1 La incompatibilidad de la condición IIA con la transitividad: el problema de la transmisión de información relevante en el método de agregación …..................................................… 34

3.1.1 Teorema de Saari: la condición IIIA y la proposición del nivel de intensidad ……………………………………………………….........................................……... 35

3.2 La defensa de la condición IIA como condición metodológica y no normativa………………………………………………………..........................………………. 37

3.3 La restricción del dominio mediante parámetros de homogenización ….......................... 39 4 El MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ALTERNATIVAS POR COMPARACIÓN DE PARES Y CASOS DE ESTUDIO ………………………………………....................................................… 43

4.1 Método de reducción de alternativas por comparación de pares (RAC) …………………………………………………………....................................………………... 44

4.2 Caso de estudio 1: Paradoja de votación con 3 alternativas y 5 votantes……………………………………………………………….........................………….49

4.2.1 Confrontación metodológica de las condiciones mínimas de razonabilidad del TGIA……………………………………………...................................................….. 50

4.3 Caso de estudio 2: Situación en la que la violación de la condición IIA puede ser racional………………………………………..........................................……………………...60

5 CONCLUSIONES……………………………..........................……………………………………..64 6 BIBLIOGRAFÍA………………………………..........................………………………………….…70

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INTRODUCCIÓN La ciencia política ha encontrado una fuente de conocimiento y de herramientas sólidas y de gran ayuda para la disciplina en las matemáticas, entre otras, con la participación de economistas y matemáticos como Kenneth Arrow y Donald Saari. A partir de este momento, no para pocas personas, la ciencia política ha tomado fuerza por la aplicación de herramientas de análisis que permiten llegar a conclusiones generales y con solidez similar a las teorías tradicionales de otros campos como la física y la química. El impulso de estas herramientas viene desde Estados Unidos, y uno de los grandes aportes durante el siglo

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fue el teorema

de la imposibilidad de Arrow, expuesto en 1951 y revisado en 1963 por el ganador del premio Nobel, Kenneth Arrow, quien desencadenó literalmente una explosión de propuestas académicas a raíz del teorema. La propuesta de Arrow también reformuló posiciones frente a la democracia y sus instituciones, y frente a otros temas como la comparación interpersonal de utilidades, la función de bienestar social y la regla de decisión colectiva. Se iniciaron corrientes de pensamiento como la teoría política positiva, cuyo mayor representante fue William H. Riker, quien fundó la escuela de Rochester. Riker introdujo en esta escuela textos que utilizaban el lenguaje matemático a los procesos políticos que se estudiaban, entre los que se encuentran los textos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, Duncan Black, Kenneth Arrow y Anthony Downs [Amadae, 1999, p. 273]. Últimamente, autores como Gerry Mackie han atacado al positivismo político, y afirman que han desarrollado una doctrina de irracionalismo democrático. Lo anterior se basa en general en que Riker y su escuela tienen una visión negativa

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de la democracia y de los procesos electorales. En cambio, Mackie [2003] intenta defender la democracia al observar y proponer salidas positivas, entre otras, a las consecuencias del teorema de Arrow. Este mismo teorema ha encontrado comparaciones en teoría de juegos con el famoso dilema del prisionero [Rusciano, 1990] y ha trascendido a otros campos como la geometría, siendo Donald Saari uno de sus representantes. Cada aporte académico y desarrollo del teorema en nuevos temas demuestran que la construcción de una teoría de elección social se ha reformulado y además que se han abierto potenciales puntos de investigación. El principal problema derivado del teorema de Arrow es su demostración de la imposibilidad de encontrar un método de agregación de preferencias colectivas que pueda cumplir 4 condiciones mínimas sobre las que se presume debe evaluarse cualquier método. En busca de comprender la demostración de Arrow y de evaluar cada una de las condiciones, se ha desarrollado un método denominado reducción de alternativas por comparación de pares (en adelante: método RAC). El método RAC es un ejercicio creativo por parte del desarrollador de este trabajo a partir del examen de algunos de los métodos presentados anteriormente para agregar preferencias. El desarrollo como tal del método se enfocó en identificar consensos y polémicas en relación a los principios de la racionalidad y regla de la mayoría, y las condiciones mínimas de Arrow, respectivamente. Por una parte, se identifico un consenso respecto a la agregación de preferencias de dos alternativas, con aplicación de la regla de la mayoría y en la que el resultado siempre es transitivo o racional. Por otra parte, algunas condiciones mínimas no eran ampliamente aceptadas por lo que se debía verificar que dichas condiciones,

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que se desarrollaran por completo mas adelante, en realidad fueran esenciales para la búsqueda del método de agregación. La búsqueda del método RAC por tanto, se concentró en encontrar una forma de llegar a dos alternativas antes de realizar una ‘votación final‘. Para llegar a la anterior situación, se debía evitar la restricción de las ordenaciones de preferencias y se debía decidir si la condición IIA era necesaria, y si así era, entonces cumplirla en todo momento. La intención de las condiciones mínimas es la preservación de información relevante para que el resultado de la agregación tenga sentido racional. En otras palabras, toda información es relevante si es necesaria para preservar las propiedades de la actuación racional. El problema es que esta información se elimina en el proceso de comparación entre pares de alternativas, y por tanto es imposible reconocer en el resultado, la relación entre las alternativas ordenadas por cada individuo. La agregación de preferencias puede compararse como las indicaciones para ir a la playa. Son necesarias las instrucciones como “diríjase a la derecha o a la izquierda“ pero es fundamental identificar la posición inicial, que en realidad es una relación de ubicación con uno o varios objetos. Lo mismo sucede con la agregación de preferencias, y las instrucciones de dirección se asemejan con la comparación entre pares de alternativas, mientras que la posición inicial es una relación de una alternativa con respecto a las demás. Ambos aspectos son importantes y como en el paseo a la playa, se deben tener en cuenta con cada paso que se realice.

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Para el caso en concreto del método RAC en el que se buscaba la reducción de alternativas, la información que se debe mantener es en efecto la relación de cada alternativa con las demás o en términos formales, la transitividad de la ordenaciones de las preferencias individuales. El objetivo de este trabajo es confrontar el método RAC con las propuestas teóricas y las posiciones (positivas y negativas) que se han generado a partir de los resultados del teorema de Arrow. Dicho método tiene la intención de generar una salida a las consecuencias negativas del teorema, por lo cual puede presentarse como una defensa de la regla de la mayoría y su papel en la elección social en las democracias. En el camino recién presentado deberán desarrollarse los siguientes objetivos específicos: 1. Entender la naturaleza y los resultados del teorema de Arrow. 2. Identificar las condiciones mínimas del teorema de Arrow alrededor de las cuales se presenta el mayor debate y en las que posiblemente se pueda encontrar una falla. 3. Presentar el método de reducción de alternativas por comparación de pares (RAC). 4. Confrontar el método RAC con los argumentos de varios autores y con los múltiples ejemplos en los que la votación es paradójica o el resultado paraliza la decisión y/o perjudica a la mayoría. 5. Generar conclusiones con respecto a la solidez o debilidad del método RAC, y cómo este puede ser una herramienta de defensa de la democracia. En cuanto a la metodología, Arrow realizó una presentación, demostración y confrontación de cada una de las condiciones, con el fin de presentarlas como

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universalmente aceptables. Luego de lograr este tipo de aceptabilidad, presenta su teorema y demuestra que ningún método de agregación de preferencias de más de 2 alternativas puede cumplir las cuatro condiciones, a excepción de la dictadura. Métodos que violan por lo menos una de las condiciones son el conteo de Borda y el método de Condorcet. Esta propuesta metodológica es útil para este trabajo, porque facilita el desarrollo de los ejemplos que servirán como base de las comparaciones. Por tanto, se revisarán ejemplos en los que se ha demostrado la violación de las condiciones mínimas, y se evaluará el comportamiento del método RAC, el cual se espera que supere cada uno de estos casos. Para llevar a cabo lo anterior, es necesario presentar el teorema general de imposibilidad de Arrow, sus condiciones y presupuestos, fundados en la teoría de elección racional. Luego de esta presentación, cuyo objetivo es dar a entender la propuesta teórica de Arrow, se procederá a presentar algunas de las posiciones que surgieron: unas que estaban en contra de las condiciones mínimas y otras que apoyaban la integridad del teorema pero lo rechazaban para su aplicación en la realidad. Por último, se realizarán algunas reflexiones en torno a los resultados del método RAC en las comparaciones y a las afirmaciones de autores estudiados, con el fin de encontrar conclusiones válidas a partir del ejercicio de la presentación del método RAC como una posible solución al teorema de Arrow.

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1. CONSIDERACIONES PREVIAS AL TEOREMA DE ARROW 1.1 ASUMIENDO ACTORES RACIONALES El enfoque de elección racional es la base de análisis en el teorema general de imposibilidad de Arrow (en adelante: TGIA) y en el presente trabajo. Este enfoque toma como una unidad de análisis al ser humano y supone que su actuación es racional. Este último término es necesario definirlo, con el fin de continuar hacia la actuación de los individuos en el proceso de toma de decisiones colectivas, el cual es el tema principal del TGIA. Para entender la racionalidad, es necesario hacer un recorrido sobre la forma en que el ser humano contiene preferencias, creencias y se desenvuelve con el exterior, sean eventos o seres humanos. Las preferencias se refieren a una serie de elementos tangibles o intangibles que un individuo quiere. Algunas pueden estar relacionadas con la reproducción y la supervivencia, que pueden tener una fuente biológica, mientras que otras pueden originarse por el ambiente social, en el que pueden intervenir los valores religiosos, los preceptos morales, las ideologías, entre otros [Shepsle, 2007, p. 16]. Sin embargo, entender por qué se origina una serie de preferencias frente a otras no es relevante para el enfoque de elección racional y, porque, en realidad, se presume que las preferencias ya están establecidas y los individuos no las cambian con facilidad, o por lo menos no en corto plazo. Algunos actores afirman que los individuos no muestran sus verdaderas preferencias y, por tanto, no es posible conocerlas, por lo que solo se tiene conocimiento de las preferencias reveladas; otros autores como Mackie en

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cambio, afirman que basándose en el contexto y en la consistencia interna (transitividad) es posible conocer las preferencias reales [Mackie, 2003, p. 36]. Para el presente estudio se toma una posición intermedia, que será abordada como uno de los temas principales del trabajo, pero, en forma breve, se asume que las preferencias que son relevantes conocer, es decir, las que intervienen en decisiones colectivas, rara vez son cuestionadas en el proceso, y en realidad la posibilidad de proponer unas preferencias por parte de un individuo depende de su peso político entre los votantes. Por tal razón, aunque es posible conocer las preferencias individuales reales, estas no son tenidas en cuenta. 5. Lo anterior significa que en una elección, las alternativas a ordenar han sido impuestas para una cantidad de votantes, por lo que la ordenación que se realice puede no ser la verdadera, sino una respuesta revelada ante la pregunta. Por ejemplo, en una elección presidencial los candidatos ya han sido expuestos y en realidad cualquier persona puede preferir a personas fuera de la votación. Esas preferencias de esta última persona nunca se conocerán o tendrán relevancia para la elección. Arrow y al igual que en este trabajo, toma las alternativas como dadas, sin el cuestionamiento sobre el origen de las alternativas a ordenar. Ahora bien, el individuo aun cuando tiene una serie de preferencias y las conoce a nivel interno, debe lograr estas en un mundo externo, el cual está caracterizado por la incertidumbre. En este escenario, un individuo actúa en busca de lograr sus preferencias sin la seguridad de que los medios para lograrlos sean los indicados y/o de que en realidad dependa de sus acciones. Aquí también es necesario separar las preferencias privadas de las que tienen interés en decisiones colectivas. Por lo general, las preferencias privadas son más fáciles de lograr, debido a que solo se necesita de la decisión de una persona, por ejemplo, al

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decidir comprar un libro o un celular. En cambio, la incertidumbre es mayor cuando las preferencias solo pueden ser cumplidas mediante acuerdo entre dos o más personas, como por ejemplo, una familia decidiendo a qué restaurante ir a almorzar el siguiente domingo. Por la

incertidumbre

del

mundo

exterior,

las

personas

deben

evaluar

constantemente la posibilidad que una preferencia sea lograda por un medio o instrumento en particular; a esta evaluación se le llama creencia. Así mismo, cuando un individuo actúa de acuerdo con sus preferencias y creencias, la evaluación se llama racionalidad instrumental [Shepsle, 2007, p. 18]. Sin embargo, no todas las preferencias son relevantes para la racionalidad, por lo tanto deben cumplir la propiedad de la comparabilidad y la transitividad. La primera propiedad exige que las preferencias puedan ser comparables, es decir, que se pueda establecer una relación entre pares de alternativas (fuerte, débil o de indiferencia). En general, el individuo debe preferir una alternativa a la otra. La notación se hace de esta forma: si el señor J prefiere estrictamente x a y, se escribe ; si en cambio la relación es de indiferencia, se debe escribir , y por último, si la relación es débil, se escribe . La segunda propiedad por su parte exige que exista una consistencia interna entre 3 o más alternativas, lo que significa que si , entonces x debe ser preferido a z: . Esto también aplica para una relación de indiferencia y de preferencia débil. Hay que tener en cuenta que pueden existir casos en que estas propiedades no se cumplen o al menos una de estas [Shepsle, 2007, p. 27], por lo que cualquier caso de elección racional deberá pasar por una prueba que verifique el cumplimiento de ambas propiedades.

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En conclusión, se puede afirmar que la actuación racional de un individuo se produce cuando es capaz de ordenar una serie de alternativas, asignándoles utilidades con base en sus preferencias; luego, determina las utilidades de cada acción posible teniendo en cuenta la probabilidad que cada acción derive en un resultado en particular (creencias), y finalmente, escoge la acción o alternativa con la mayor utilidad esperada (maximización) [Shepsle, 2007, p. 35]. 1.2 PARADOJA DE CONDORCET A partir de este breve recorrido por el proceso de elección racional de un individuo, se puede avanzar hacia la elección social, describiendo uno de los casos que muestra la complejidad de esta materia y es llamada la paradoja de Condorcet. En este caso, se presentan 3 ordenaciones de preferencias: A > B > C, B > C > A y C > A > B, y cada una de estas cumple las propiedades de comparabilidad y transitividad. Sin embargo, cuando estas se agregan mediante la comparación por pares como se muestra en la ecuación 1 [Saari, 2008, p. 29], el resultado social es una ordenación que cumple con la comparabilidad, pero no con la transitividad. Como se puede observar, el resultado es A > B > C > A, y por tanto pierde la consistencia interna. Ordenamient o A>B>C B>C>A C>A>B Resultado Ecuación 1

{A, B}

{B, C} {A, C}

A>B B>A A>B A>B

B>C B>C C>B B>C

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A>C C>A C>A C>A

La paradoja de Condorcet es relevante, porque presenta un caso en el que aun contando con individuos racionales la decisión colectiva puede no ser racional. Y algunas visiones afirman que este caso, que parece especial, es en realidad la generalidad en la elección social [Saari, 2008, p. 32]. De hecho, el TGIA, cuyo contenido es principal en este trabajo, parece ser una generalización formal de la paradoja de Condorcet.

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2. EL TEOREMA GENERAL DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW (TGIA) 2.1

CONDICIONES MÍNIMAS DE RAZONABILIDAD: DOMINIO, RANGO, PARETO E INDEPENDENCIA DE LAS ALTERNATIVAS IRRELEVANTES (CONDICIÓN IIA)

Kenneth Arrow [1963-1951] realiza el TGIA, el cual parte de unas suposiciones mínimas que, según él, no pueden ser controversiales y, por tanto, pueden soportar un teorema. Las condiciones mínimas son las siguientes [Arrow, 1963/1951]: 1. Axioma I [Arrow, 1963/1951, p. 32]: Para todo x y y, o xRy o yRx. Lo anterior significa que la relación entre dos alternativas debe ser conectante, en el sentido que deben poder relacionarse una con la otra. La R incluye cualquier relación de preferencia (fuerte, débil o de indiferencia). Este axioma retoma la propiedad de la comparabilidad de la actuación racional. 2. Axioma II [Arrow, 1963/1951, p. 32]: Para todo x, y, z, xRy y yRz implica xRz. Significa que la relación entre 3 o más alternativas debe ser consistente internamente, o lo mismo: debe ser transitiva. Este axioma retoma la propiedad de la transitividad en la actuación racional. 3. Condición 1’ [Arrow, 1963/1951, p. 168]: Son admisibles todas las ordenaciones lógicamente posibles de las situaciones sociales alternativas (que cumplan con las propiedades de la actuación racional). Esta condición reemplaza a la condición 1 de 1951, que establecía que toda ordenación individual que pudiera tenerse en cuenta debía poder originar una verdadera ordenación social. Igualmente, la condición 1’ reemplaza los

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axiomas I y II, puesto que incluye la estructura lógica a la admisibilidad de las alternativas. 4. Condición P (principio de Pareto) [Arrow, 1963/1951, p. 168]: Si para todo i, entonces . Conocida como la condición de Pareto; fue incluida en 1963, y como Arrow lo expresa, significa que si todo individuo prefiere x a y, la sociedad también lo prefiere. Esta condición se adhiere en 1963, con el fin de otorgar mayor comparabilidad al teorema respecto a otros postulados en el campo de la elección social, e igualmente reemplaza la condición 2 de 1951, que trataba lo mismo, pero aceptaba relaciones débiles (es decir, también de indiferencia, y nótese que ahora solo se aceptan consensos en relación a relaciones de preferencia fuerte). 5. Condición de independencia de las alternativas irrelevantes o IIA, por sus siglas en inglés [Arrow, 1963/1951, p. 54]: inicialmente llamada condición 3; exige que la elección entre x y y solo esté determinada por las preferencias respecto a x y y. Ahora bien, Donald Saari [2008, pp. 21-23] presenta estas condiciones de otra forma, que parecen más convenientes, puesto que ya han sido consolidadas con todas las correcciones hechas por Arrow o por otros autores. Gracias a su conveniencia, serán utilizadas las condiciones interpretadas por Saari, sin que este último haya cambiado el sentido de las mismas: 1. Dominio (Axiomas I y II y condición 1 reemplazadas por la condición 1’): Se refiere a los inputs o al espacio que tiene permitido el ingreso para participar en la elección social. Específicamente, se trata de todas las ordenaciones de preferencias que son admitidas y que de hecho deben ser las ordenaciones de preferencias posibles de todos los individuos que

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participan. Esta propiedad es importante y absolutamente razonable, puesto que, en una elección, los individuos pueden demostrar cualquier tipo de preferencias y ser tenidas en cuenta, aun cuando sean extrañas para los demás. No obstante, la racionalidad es obligatoria en el sentido que dichas preferencias deben ser transitivas, esto es que si en el caso en que al individuo Juan, prefiera X que Y; y Y a Z, entonces este individuo debe preferir X a Z. Mientras que la ordenación de la preferencia sea transitiva, se acepta cualquier tipo de preferencias. 2. Rango (Axiomas I y II y condición 1 reemplazadas por la condición 1’): Indica el espacio de las salidas o elecciones posibles, después de haber ordenado colectivamente las preferencias. De nuevo, es fundamental que el resultado de la votación sea transitivo, es decir que colectivamente se puedan ordenar las preferencias sin ciclos. Esta propiedad es al igual que el dominio una aplicación de racionalidad y coherencia a las reglas de decisión, y por tanto se apoyan completamente en la teoría de la elección racional. 3. Pareto: Esta es una propiedad de la regla de decisión que obliga a que si todos los votantes ordenan un par de alternativas de la misma forma, entonces el resultado de la elección será el mismo orden para ese par de alternativas. Esta condición simplemente exige que la unanimidad se respete. 4. Independencia de alternativas irrelevantes (condición IIA): Esta condición exige que el ordenamiento referente a un par de alternativas dependa entera y únicamente de las preferencias de los votantes respecto a ese par de alternativas, y por ende las preferencias que tengan los votantes frente a otra alternativa no debe ser tenida en cuenta.

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Como se puede observar, el trabajo de Saari se fundamenta en crear dos condiciones a partir de la condición 1’, que a su vez condensa los axiomas I y II y la condición 1. La razón de crear 2 condiciones en una sola es el de separar las ordenaciones individuales de las ordenaciones sociales (resultado), y gracias a esto el análisis en adelante se facilita al identificar y referir problemas que afectan específicamente al dominio o al rango. Las condiciones de Pareto y IIA, en cambio, permanecen intactas al planteamiento de Arrow. 2.2 TEOREMA GENERAL DE IMPOSIBILIDAD DE ARROW (TGIA) El teorema de Arrow [1963/1951, p. 109] dice: “Si hay al menos tres alternativas que puedan ordenar de cualquier manera los miembros de la sociedad, entonces toda función de bienestar social que satisfaga las condiciones 2 […reemplazada por la condición P] y 3 […nombre inicial de la condición IIA] y dé lugar a una ordenación social que satisfaga los axiomas I y II, tendrá que ser impuesta o dictatorial”. El anterior es el primer enunciado del teorema, realizado en 1951, y contenía las condiciones que después fueron reemplazadas en 1963. Por tal razón, el nuevo teorema puede enunciarse así: Si hay al menos tres alternativas que puedan ordenar de cualquier manera los miembros de la sociedad, entonces toda función de bienestar social que satisfaga el principio de Pareto, la condición IIA y la condición 1 tendrá que ser impuesta o dictatorial. Como se mencionó, se utilizarán las condiciones presentadas por Saari, por lo que el teorema de Arrow también puede entenderse como la imposibilidad de encontrar una regla de decisión que cumpla las 4 condiciones (dominio, rango, Pareto y condición IIA) y que no sea la dictadura. Y la consecuencia directa de este teorema es que la regla de la mayoría, es decir, la votación sobre la que se

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sostiene la democracia y la mayoría de elecciones en el mundo, se realiza sin cumplir por lo menos una de las condiciones, las cuales se pueden considerar como mínimas para aceptar una u otra regla de decisión (aunque también existen los autores y las razones que rechazan una u otra condición). 2.3 EXPLICACIÓN DE LAS CONDICIONES Y DEL TEOREMA Ahora bien, cada condición de razonabilidad se debe desarrollar con mayor amplitud, con el propósito de permitir una conexión con los aportes que diversos autores han hecho sobre el TGIA. La primera condición hace referencia a la aceptabilidad de las preferencias y exige que para cada individuo sean aceptadas tantas preferencias como desee. Esto es relevante, debido a que todas las opciones pueden llegar a ser elegidas en la agregación colectiva, aun cuando resulten extrañas para la elección. Así mismo, gracias a que el dominio de preferencias es completamente abierto, este funciona como un mecanismo contra la votación estratégica, en tanto que los individuos podrían estar tentados a excluir ciertas preferencias, con el fin de modificar la ordenación de los individuos y, por tanto, el resultado final. De todas formas, para la primera condición existe un límite que se aplica solamente en el enfoque de actor racional, que corresponde a la transitividad. Esta se refiere en particular a que todas las preferencias que el individuo decidió incluir en una elección o votación en particular deben poder ser ordenadas de forma transitiva, y por ende presentar una ordenación coherente en la acción racional. La transitividad en el dominio de las preferencias, sin embargo, puede resultar difícil de ejecutar por los individuos, en tanto que el ejercicio de la ordenación

25

coherente es costoso por los recursos de información y tiempo necesarios. Al considerar la cantidad de decisiones colectivas por las que un solo individuo participa cotidianamente, una ordenación juiciosa en cada evento de votación, aun si se trata de una votación sobre temas que parezcan irrelevantes, requerirá de más tiempo y recursos de los que vale la pena gastar en la mayoría de veces. Esto significa que la ordenación o la exigencia de transitividad debe contraponerse a la estimación de recursos que cada individuo desea invertir y, por tanto, en la realidad, dicha ordenación es limitada. Este último punto es importante, puesto que en las elecciones democráticas, la cantidad de votantes abre el rango de preferencias a miles o millones de alternativas, y resulta casi imposible ordenar todas las preferencias aun cuando cada individuo sea capaz de hacerlo. Sin embargo, en la teoría, no existe este problema, porque solo se necesita conocer que los individuos tienen la capacidad racional en cuestión, y en la búsqueda de modelos de explicación con rigidez científica, una teoría como la presentada por Arrow cumple con todo tipo de situaciones (x número de votantes y x número de preferencias). La segunda condición corresponde al rango de preferencias válidas en el resultado de las elecciones. De forma similar al dominio, en el resultado se permite todo tipo de preferencias, siempre que estén ordenadas de forma transitiva. Al unir la primera condición con la segunda, se pueden hacer algunas observaciones que son necesarias confrontar. La primera observación podría ser que un resultado transitivo solo puede generarse a partir de una previa ordenación de cada una de las preferencias de los individuos de forma transitiva, en otras palabras: solamente de actores racionales se pueden derivar decisiones colectivas racionales. No obstante, esto no es cierto y por medio de la ecuación 2 es posible demostrarlo:

26

Ordenamiento A>B>C>A B>A>C>B C>B>A>C Resultado Ecuación 2

{A, B} A > B, B > A B > A, B > A B>A B>A

{B, C} B>C B > C, C > B C > B, B > C B>C

{A, C} A > C, C > A A>C C > A, A > C A>C

En la ecuación 2, se puede observar que tres individuos con ordenaciones cíclicas pueden generar un resultado transitivo por medio del método de comparación por pares. Ahora bien, una segunda observación muestra que también puede encontrarse un ejemplo en el que las preferencias transitivas de individuos generan un resultado cíclico, del cual se trata precisamente la paradoja de Condorcet. Por tanto, se pueden expresar 4 situaciones en las que las dos condiciones estudiadas hasta hoy presentan diferentes comportamientos: 1. Actores racionales y un resultado social racional 2. Actores irracionales y un resultado social irracional 3. Actores racionales y un resultado social irracional 4. Actores irracionales y un resultado social racional En el caso del TGIA, se exige la primera situación como parte de las condiciones para que una elección sea admisible. Sin embargo, formalizar esta situación para todos los casos, con cualquier número de votantes y alternativas es el problema por el cual se plantea el teorema de Arrow. Luego, al pasar a la siguiente condición, reflejada en la exigencia de Pareto, se establece que un consenso en el ordenamiento de las preferencias por parte de los individuos debe conducir a un resultado con el mismo ordenamiento reflejado en el consenso. Esta condición parece ser intuitiva y no tener problemas, puesto

27

que simplemente establece que la voluntad de los participantes en la elección debe coincidir con el resultado social. En efecto, si existe un consenso sobre una ordenación de un par de preferencias, el resultado social debe ser el mismo. Un caso fácil para ejemplificar Pareto es un ordenamiento consensual de este tipo: A > B > C, y si todos comparten este ordenamiento, el resultado será necesariamente A > B > C. Pero, es importante resaltar que en el ejemplo anterior se presentan tres consensos, por lo que hay que separarlos para tener mayor claridad. Por un lado, se encuentra el consenso A > B; por otro, el consenso B > C, y por último, el consenso A > C. Al respecto, la condición de Pareto en el TGIA se refiere a la comparación entre pares, y puede mantenerse el consenso A y B sin que tenga que permanecer el consenso respecto a las demás combinaciones. Por ejemplo, se pueden recrear las siguientes preferencias y el consenso entre A y B se mantiene: A > C > B, A > B > C, C > A > B. Se puede observar por tanto que el resultado para las ultimas preferencias cambia a A> C > B respecto al primer caso de A > B > C, pero el consenso se mantiene en los resultados. La última condición es la independencia de alternativas irrelevantes. Esta condición plantea la necesidad de tener en cuenta para una comparación entre dos alternativas únicamente las preferencias que el individuo tiene respecto a este par, sin importar las demás alternativas presentes en la elección. De esta forma, la preferencia entre A y B no puede estar condicionada por C o D como alternativas restantes en una elección, y aun si son modificadas las preferencias de entre otras alternativas, la preferencia entre A y B debe mantenerse. Javier Guillot [2011, p. 10] menciona una diferenciación importante al tratar de comprender la condición de independencia de alternativas irrelevantes (IIA). Existe

28

una condición que tiene el mismo nombre y fue creada por Radner y Marschak en 1954; trata sobre la contracción de las alternativas y cómo la función de bienestar social debía mantenerse consistente. Un ejemplo de la anterior es cuando en una elección uno de los candidatos muere, evento tras el cual se afirma que las preferencias respecto a los candidatos vivos deben ser determinadas de manera independiente de los candidatos que no pertenecen a este grupo, excluyendo por supuesto al candidato muerto. Guillot observa que el ejemplo del candidato muerto fue utilizado por Arrow para demostrar la condición IIA en su presentación del TGIA en 1951/1963, por lo que se creó una confusión en lo que realmente significa la condición IIA. Guillot insiste por tanto en que un mejor ejemplo para demostrar tal condición se presenta cuando las preferencias de un individuo cambian respecto a otras alternativas, por ejemplo, cuando las preferencias cambian desde A > B > C > D a A> C > D > B. En este caso, para la agregación social de las preferencias del individuo solo es importante que él prefiera A frente a B, sin notar que ahora parece que la opción B es su peor opción. La condición IIA es la más polémica en los debates respecto a la aceptabilidad de las condiciones como mínimas o razonables en cualquier método de agregación de preferencias colectivas. Por un lado, autores como Saari [2008, p. 44] demuestran que la condición IIA exige ignorar la transitividad en la ordenación de las preferencias de cada individuo para llevar a cabo la agregación por cualquier método o regla de decisión. Por lo anterior, la consecuencia más importante del TGIA sobre la imposibilidad de agregar colectivamente 3 o más alternativas, sin que se generen ciclos, se puede inferir de forma fácil, y esto es debido a que la transitividad se filtra en el proceso de comparación entre pares.

29

Sin embargo, autores que atacan la condición IIA, como Saari, no pueden desconocer que su existencia se justifica, porque evita otros problemas que pueden dificultar la búsqueda de una regla de decisión efectiva; uno de los principales problemas es la posibilidad de manipulación de la elección o del comportamiento estratégico. Un caso ejemplar se observa por la violación de la condición IIA en la regla de decisión conocida como conteo de Borda, en la cual se asignan puntos a cada alternativa según la ordenación que cada individuo ha hecho. Así, a la alternativa ordenada al final o la ‘peor’ alternativa para el individuo no recibe puntos, y aumenta un punto a cada alternativa hasta llegar a la alternativa ordenada en el primer lugar. En el caso A > B > C, A recibe dos (2) puntos; B un (1) punto, y C cero (0) puntos. El comportamiento estratégico se puede observar en el conteo de Borda en el siguiente ejemplo

descrito por Guillot [2011, p. 13]: En una elección de 3

alternativas (A, B y C) y 5 votantes, 2 individuos ordenan las preferencias de esta forma: A > B > C, otros dos ordenan: B > C > A, y uno las ordena así: C > A > B. En la siguiente ecuación se pueden observar las ordenaciones y el resultado según el conteo de Borda:

1.ª

Vot. 1

Vot. 2

Vot. 3

Vot. 4

Vot. 5

A(2pt)

A(2pt)

B(2pt)

B(2pt)

C(2pt)

30

posició n:

2

puntos 2.ª posició n:

1

B(1pt)

B(1pt)

C(1pt)

C(1pt)

A(1pt)

C(0pt)

C(0pt)

A(0pt)

A(0pt)

B(0pt)

punto 3.ª posició n:

0

puntos Resultado

B(6pt) > A(5pt) > C(4pt)

Ecuación 3 En la ecuación anterior se observa que la preferencia ganadora es B con 6 puntos. Ahora bien, en este mismo ejemplo, los votantes 3 y 4 deciden cambiar sus preferencias respecto a C, y la cambian desde B > C > A a C > B > A. Así, tales votantes aumentan su preferencia por C, pero mantienen la preferencia entre A y B (B > A). Esta es la ecuación resultante:

31

Vot. 1

Vot. 2

Vot. 3

Vot. 4

Vot. 5

A(2pt)

A(2pt)

C(2pt)

C(2pt)

C(2pt)

B(1pt)

B(1pt)

B(1pt)

B(1pt)

A(1pt)

C(0pt)

C(0pt)

A(0pt)

A(0pt)

B(0pt)

1.ª posició n:

2

puntos 2.ª posició n:

1

punto 3.ª posició n:

0

puntos Resultado

C(6pt) > A(5pt) > B(4pt)

Ecuación 4 En la ecuación 4 se observa que el resultado cambia y C es la nueva alternativa ganadora. Sin embargo, la ordenación entre A y B también cambia y de hecho se revierte. Lo curioso de este fenómeno es que ningún votante cambió sus preferencias respecto a estas dos alternativas, por lo que se presenta una violación de la condición IIA. En efecto, el cambio en el resultado se generó por un cambio en las preferencias respecto a una tercer alternativa, C, y por tanto esta última alternativa se hace relevante frente a A y B, y, sin lugar a duda, esto sucede porque la asignación de puntos de una forma ordinal depende del total de alternativas y la distancia entre alternativas se vuelve importante, por lo que se hacen relevantes todas las alternativas en la ordenación de un solo par. Entonces, si los votantes conocen el funcionamiento del método de agregación, de acuerdo con en el último caso, con el conteo de Borda es posible que ordenen sus

32

preferencias no de manera sincera, sino pensando en la forma en que pueden afectar el resultado a su favor. Al fin y al cabo, siempre habrá una alternativa que no recibirá puntos y allí puede ubicarse la alternativa, no necesariamente la peor, sino la que tiene más oportunidad de ganar pero que no es la preferida por cada individuo en particular. Entonces, como afirma Saari [2008, p. 46], la estructura de la información determinará el resultado, mas no lo hará el método. Para finalizar el debate respecto a aceptar la condición IIA, se puede generalizar que esta condición tiene como principal problema que exige ignorar la transitividad en la ordenación de las preferencias de cada individuo. Pero por otro lado, eliminar la condición IIA supone abrir las puertas a la votación estratégica, de forma que al conocer las alternativas y la ordenación de preferencias de cada votante, se puede seleccionar una u otra regla de decisión que hará ganar a cualquiera de las alternativas. Elegir por incluir o no la condición IIA parece más importante que el teorema de Arrow en sí mismo.

3. INTERPRETACIONES

33

Diversas interpretaciones se han realizado sobre el TGIA, y los autores se han centrado usualmente en estudiar cada una de las condiciones, con el fin de someterlas en estudios formales o prácticos. Donald Saari demuestra que existe una incompatibilidad entre la condición IIA y los supuestos del actor racional [Saari 2008, p. 44]. Por su parte, Gerry Mackie desarrolla dos análisis: uno alrededor de la restricción en la realidad de las preferencias o del dominio (en términos de Saari) y el otro en defensa de la condición IIA. Estos análisis serán abordados a continuación, puesto que representan avances importantes en la discusión del TGIA. 3.1 LA INCOMPATIBILIDAD DE LA CONDICIÓN IIA CON LA TRANSITIVIDAD: EL PROBLEMA DE LA TRANSMISIÓN DE INFORMACIÓN RELEVANTE EN EL MÉTODO DE AGREGACIÓN En primer lugar, Donald Saari [2008, p. 44] demuestra que el teorema es incorrecto, puesto que la condición IIA es incompatible con uno de los supuestos de la teoría de elección racional, según la cual el individuo puede ordenar sus preferencias de forma transitiva. Este supuesto es fundamental para el TGIA, debido a que explícitamente se exige en la condición de dominio y rango, y por tanto es un requisito mínimo de racionalidad. Saari observó que mediante la comparación entre pares, que permite agregar las preferencias entre 3 o más alternativas, no se puede obtener información relativa a la transitividad demostrada por los individuos que participan en la agregación. Esto se debe a que la transitividad es una condición que se genera a partir del total de las alternativas y en la comparación de un par se pierde la información acerca de cómo los individuos ordenan otros pares. Entonces, se crea un conflicto, puesto

34

que la condición IIA precisamente plantea la independencia de la preferencia sobre un par respecto a los demás, mientras que la transitividad es una ordenación que depende de todos los pares posibles entre las alternativas. Debido al método de comparación entre pares, se privilegia la condición IIA sobre el supuesto de transitividad y como Saari lo expresa, “la conclusión de Arrow ya no es una sorpresa” [2008, p. 45]. En efecto, si las ordenaciones de preferencias de los individuos pueden ser transitivas o no, porque la información de dicho supuesto se filtra en el proceso de agregación, el resultado es un promedio de dichas preferencias y este puede ser transitivo o no. 3.1.1 TEOREMA DE SAARI: LA CONDICIÓN IIIA Y LA PROPOSICIÓN DEL NIVEL DE INTENSIDAD Ahora bien, como se observó, Saari muestra que la exigencia de la condición IIA filtra información importante en el proceso de agregación de preferencias colectivas, por lo que propone un teorema en el que reemplaza la condición IIA por una nueva condición IIIA. Esta última se define como la intensidad de la independencia de las alternativas irrelevantes, y agrega nueva información a la ordenación de preferencias de un individuo, que se puede observar con el ejemplo siguiente: A una ordenación A > B > C se le puede determinar el nivel de intensidad, observando la distancia entre las alternativas. En este caso, entre A y B no existen alternativas que las separen, por lo que su nivel de intensidad o separación es de 0; en cambio, entre A y C existe B, por lo que están separadas por una alternativa y su nivel de intensidad será de 1 [Saari, 2008, pp. 58-59]. Con esta nueva información, Saari formula un teorema desarrollado en 1995/2001 [Saari, 2008, p. 59], en el que utiliza el conteo de Borda como regla de decisión y

35

añade la información de intensidad. Para la presentación de este teorema, se obtienen las preferencias de cuatro individuos respecto al par A y B, y la alternativa ganadora de cada ordenación obtiene un punto más del número resultante del nivel de intensidad. Suponiendo las ordenaciones [A > B, 0], [A > B, 3], [B > A, 1] y [B > A, 1], los resultados son los siguientes: en la primera ordenación, A es preferido sobre B, pero no tiene nivel de intensidad, porque no hay una alternativa que los separe, por lo que se le suma un punto quedando en uno; en la segunda ordenación, A gana tres más un punto, quedando en 4 y finalmente queda con 5 puntos. Realizando la misma observación en B, este queda con 4 puntos. La conclusión es que A es preferida a B, porque logra mayor puntaje, y sin el nivel de intensidad, habrían quedado empatados. Con el anterior teorema de Saari, la condición IIA es eliminada por completo de la regla de decisión, debido a que el nivel de intensidad considera relevantes la posición de cada alternativa respecto a las demás, y un cambio en la ordenación de las preferencias de alternativas distintas de un par en particular puede generar un cambio en las preferencias colectivas del mismo par. Este trae a mención el mismo problema del conteo de Borda, pero Saari realiza este teorema, con el fin de presentar la ineficiencia de la condición IIA y, por tanto, invita a no utilizarla. No obstante, este mismo autor reconoce que el uso de la condición IIA en reglas de decisión se conoce en todo el mundo y en todas las disciplinas, por lo que las consecuencias del teorema de Arrow permanecen centrales para el estudio contemporáneo [Saari, 2008, p. 64]. 3.2 LA DEFENSA DE LA CONDICIÓN IIA COMO CONDICIÓN METODOLÓGICA Y NO NORMATIVA

36

Uno de los autores que defienden la condición IIA es GerryMackie y lo lleva a conclusiones que destinan esta condición al campo únicamente teórico y al caso especial del TGIA. En otras palabras, Mackie [2003, p. 156] pretende limitar la condición IIA al teorema de Arrow y, así mismo, limitar el teorema como un caso especial. Y mediante este ejercicio, intenta disminuir las repercusiones del teorema sobre la democracia. En primer lugar, Mackie explica que el teorema de Arrow presenta una inconsistencia en un caso en especial: cuando se busca un orden social teniendo en cuenta las 4 condiciones anteriormente explicadas (dominio, rango, principio de Pareto e independencia de alternativas irrelevantes) [Mackie, 2003, p. 130]. Todas estas condiciones, por tanto, son metodológicas, gracias a que sirven para llevar un proceso al final del cual se genera una conclusión con fuerza de teorema. Sin embargo, ninguna de estas condiciones tiene fuerza normativa y, por ende, no tomar en cuenta la condición IIA, que claramente es la más debatida, no tiene consecuencias indeseables en las reglas de decisión. Lo verdaderamente relevante para Mackie es entender qué debilidades tiene cada método de elección y aplicar medidas de ingeniería que permitan crear resultados más o menos justos [Mackie, 2003, p. 157]. Otra prueba de la aplicabilidad de la condición IIA en el TGIA pero no en todos los casos es la afirmación de Mackie [2003, p. 133], según la cual, en algunas situaciones, la violación de la condición IIA puede ser racional. En el siguiente ejemplo, el seguimiento de la condición IIA deriva en un resultado que parece no ser óptimo socialmente: 5 estudiantes ordenan 5 tipos de bebidas: cerveza > café > agua > té > leche > soda. Otros cuatro estudiantes lo hacen así: café > agua > té > leche > soda > cerveza. Mediante el método de Condorcet que no viola la condición IIA, el resultado da como ganador a la cerveza. Sin embargo, el

37

segundo grupo de estudiantes (4) practica la abstención de bebidas alcohólicas, por lo que el resultado, para ellos, es el peor de todos. En cambio, mediante el conteo de Borda, el ganador es el café, el cual no desagrada del todo a ninguno de los dos grupos. Es claro, por lo menos en este caso en particular, que violar la condición IIA habría sido una buena decisión. El ejercicio de Mackie termina por favorecer la condición IIA, porque encierra su alcance casi al único ámbito del TGIA. Si se sigue el ejercicio anterior, esta condición ya no debe enfrentarse a la innumerable cantidad de casos en los que la violación de la condición se confrontaba con la transitividad o con la votación estratégica. No obstante, esta condición como mínima a cualquier regla de decisión pierde toda su fuerza desde el punto de vista de Mackie, y en efecto para este autor parece más importante pasar de la física constitucional hacia la ingeniería constitucional [Mackie, 2003, p. 157], o en otras palabras, el autor prefiere terminar los esfuerzos por encontrar consistencia en las condiciones de Arrow y pasar a crear reglas de decisión cada vez más sofisticadas. Y Mackie defiende esto, porque sus observaciones en la práctica lo han llevado a analizar que las consecuencias del TGIA son de menor o nula magnitud [Mackie, 2003, p. 97].

3.3

LA

RESTRICCIÓN

DEL

DOMINIO

HOMOGENIZACIÓN

38

MEDIANTE

PARÁMETROS

DE

Una de las condiciones que demuestran más debilidad en la realidad es la condición del dominio, en la que se establece la apertura a cualquier tipo de ordenación de las preferencias por parte de los individuos, por rara y única que parezca. Esto se debe a que algunas ordenaciones entre pares de alternativas parecen generar consensos, como por ejemplo, la preferencia entre la riqueza personal y una guerra nuclear suicida [Mackie, 2003, p. 387]. Al respecto, se han realizado estudios que comprueban un alto nivel de homogeneidad en la ordenación de preferencias. La metodología de estas investigaciones ha sido la comparación entre escenarios de cultura imparcial y escenarios con parámetros de homogeneidad. Estos dos últimos términos, cultura imparcial y parámetros de homogeneidad, hacen referencia a la capacidad de influencia que tiene un ordenamiento de preferencias de un individuo, sobre la decisión de los demás al ordenar sus preferencias personales. En el caso de la cultura imparcial, según Nurmi, cualquier ordenación de alternativas tiene la misma probabilidad de suceder [Mackie, 2003, p. 96], es decir que no hay influencia alguna entre los individuos, mientras que al agregar los parámetros de homogeneidad, se posibilitan los intercambios de influencia. Ahora bien, en la realidad, los individuos pueden influir en los demás y se crean ordenaciones de preferencias compartidas por la mayoría de la población, por lo que las elecciones son distintas tanto del escenario teórico como de la cultura imparcial. El primer punto de partida es la observación de la probabilidad de generar un ganador de Condorcet en un contexto de cultura imparcial y con ordenaciones de preferencias fuertes.

39

Tabla 1. Comportamiento electoral y evidencia de ciclos. Alternativas

3

5

7

9

49

Límite

3

0.944

0.931

0.925

0.922

0.914

0.912

5

0.840

0.800

0.785

0.776

0.752

0.749

7

0.761

0.704

0.682

0.670

0.638

0.631

25

0.475

0.379

0.345

0.327

0.281

0.270

Límite

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

0.000

Votantes

La tabla 1, desarrollada por Mackie [2003, p. 96] y adaptada por Gehrlein [1983, p. 174], muestra el clásico comportamiento de unas elecciones en el aspecto teórico y, por tanto, son los resultados previstos por el TGIA. En efecto, con 3 votantes y 3 alternativas ya se puede observar un margen en el que se producirán los ciclos y en la que cabe la paradoja de Condorcet, estudiada anteriormente. Mientras exista una probabilidad de ciclo, hay una violación lógica de algunos de los mínimos establecidos en el TGIA, y por esta razón es que Arrow defiende que solo la dictadura funciona como regla de decisión. Lo anterior ya se había desarrollado en este trabajo, pero lo más relevante de la tabla 1 es que mientras va aumentando el número de votantes y de alternativas, la posibilidad de que el resultado sea un ciclo y, por tanto, intransitivo, es mayor, y con tan solo 49 votantes y 25 alternativas, dicha posibilidad es del 73 %. Al considerarse la cantidad de alternativas en muchos procesos democráticos y la cantidad de votantes en las circunscripciones actuales, con la información de la tabla 1, se puede asegurar que todas las votaciones son cíclicas. Sin embargo, no ocurre lo mismo a medida que aumenta la homogeneidad entre el ordenamiento

40

de las preferencias. Una forma de medir el impacto de la homogeneidad la presenta Mackie [2003, p. 98], quien realiza un modelo de probabilidad de un ganador de Condorcet, aplicando niveles de homogeneidad crecientes. En el ejemplo presentado por Mackie [2003:98], se considera una urna con galletas de 6 clases distintas que corresponden a 6 ordenamientos de preferencias fuertes resultantes de 3 alternativas. Cuando el parámetro de homogeneidad no es aplicado, se le conoce como cultura imparcial, y sucede cuando el votante retira las galletas de la urna, pero no las restituye. Cuando el parámetro es 1, significa que cuando un votante retira una galleta, una del mismo tipo es devuelta a la urna. Cuando el parámetro es 2, significa que se ha retirado una galleta y se devuelven dos del mismo tipo. El parámetro avanza de tal forma que a mayor cantidad de galletas retiradas, más galletas de la misma clase ingresarán, y por tanto mayor será la influencia del votante sobre el resto. La siguiente tabla muestra la probabilidad de obtener un ganador de Condorcet con respecto a distintos parámetros de homogeneidad:

Tabla 2. Probabilidad de un resultado con un ganador de Condorcet con distintos parámetros de homogeneidad. Parámetro

de

homogeneidad

0

¼

½

1

2

3

10

0.9643

0.9750

0.9815

0.9952

# de votantes 3

0.9444

41

5

0.9306

0.9524

0.9665

0.9602

7

0.9250

0.9470

0.9626

0.9690

Gran cantidad

0.91226

0.93750

0.95493

0.91919

0.92578

0.9938

Como se puede observar, mientras mayor es el parámetro de homogeneidad, mayor es la probabilidad de encontrar un ganador de Condorcet como resultado de una elección. Lo anterior se convierte en una prueba de que si en la realidad la gente tiende a homogenizar sus preferencias, entonces los ciclos tal vez nunca aparezcan. Este proceso en realidad restringe el dominio, a medida que la influencia de aspectos culturales e institucionales ignora los ordenamientos de preferencias, y porque teórica y lógicamente es una clara violación de la condición de dominio del TGIA. De todas formas, estas observaciones de Mackie permiten de forma práctica desechar algunas de las consecuencias previstas por el TGIA.

4. El MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ALTERNATIVAS POR COMPARACIÓN DE PARES Y CASOS DE ESTUDIO En el capítulo anterior se observaron algunas de las interpretaciones y el análisis de algunos autores que si bien desarrollan puntos de vista propios, también han logrado consolidar varias de las salidas al teorema más populares. Ahora mismo,

42

Saari y su demostración de la inconsistencia entre las 4 condiciones por los problemas de la condición IIA parece crear un punto de quiebre en el estudio del TGIA. Así mismo, Mackie ha estudiado desde un punto comparativo con la realidad tanto la condición IIA como la de dominio, y Guillot ha ayudado a clarificar el entendimiento de la condición IIA, que en un primer momento parece intuitiva. Dos intenciones justifican el ejercicio anterior. Por un lado, cada interpretación del teorema permite estandarizar el TGIA en términos y definiciones en los que cualquier autor puede trabajar su análisis, y a su vez que él mismo sea parte de los debates. Arrow en la revisión de su teorema [1963], precisamente, trató de reemplazar algunas de sus condiciones por otras ya existentes y cuya aceptación es universal en la academia. Por otro lado, e igualmente relevante, los diversos análisis permiten entender que aun cuando se trate de un teorema con validez matemática, existen múltiples puntos de debate que intuitivamente no se perciben, y generan una idea más clara del alcance y desarrollo metodológico de Arrow. Adicionalmente, el debate de los autores permite centrar el trabajo en las condiciones IIA y de dominio que parecen ser controversiales o tener fallos en la racionalidad o en la realidad, respectivamente. En concreto, se pueden destacar dos visiones o tipos de análisis del TGIA: uno, el estudio desde el punto de vista lógico de las condiciones mínimas establecidas por Arrow y dos, la presentación de dichas condiciones en experimentos que tratan de modelar la realidad, con el objetivo de observar el comportamiento del teorema fuera de la lógica. Ambas visiones merecen ser desarrolladas con el fin de aportar en cada frente del debate, sin embargo se hará especial énfasis en la visión lógica del teorema.

43

En primer lugar, se desarrollará el método RAC, una propuesta de regla de decisión que cumpla con los mínimos de razonabilidad del teorema de Arrow. En este mismo punto, se tratará de confrontar el método RAC con una paradoja de votación foco de estudio de los demás autores, y con el fin de comparar los resultados con otros métodos de votación. En segundo lugar, se desarrollará una reflexión sobre las observaciones y salidas propuestas por autores con respecto a la aplicación del TGIA en la realidad. Esto último permitirá crear algunas novedades o consideraciones que fortalezcan las ideas referentes a la agregación de preferencias colectivas. Por último, se concluirá de tal manera que se invite a experimentar formalmente con el método RAC y que se tengan en cuenta las reflexiones generadas en este trabajo. 4.1 MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ALTERNATIVAS POR COMPARACIÓN DE PARES (RAC) El método de reducción de alternativas por comparación de pares (RAC) es un intento técnico de agregación de preferencias colectivas, que tiene por objeto principal el cumplimiento de las 4 condiciones mínimas de razonabilidad del TGIA. En este punto, cuando se han observado las críticas a diversas condiciones, principalmente a la condición IIA, el método RAC es una propuesta que respeta la metodología y el sentido de cada condición y que, también, en su conjunto conduce a la conclusión del teorema. De esta misma forma, si el método propuesto puede superar cada una de las condiciones e integralmente, entonces este se podrá proponer como una regla de decisión que al igual que la dictadura puede agregar preferencias individuales.

44

De manera adicional a las condiciones del TGIA, el método RAC debe cumplir la siguiente condición: el mínimo número de votantes en una elección debe ser como mínimo el siguiente número primo al número de alternativas. La razón de esta condición es la posibilidad de ordenaciones de preferencias que bloqueen el proceso de votación, y un ejemplo es presentado en el anexo 1. La presentación del método procede a continuación: 1. Se determina el número de alternativas mayor que 2. 2. Se determina la cantidad de combinaciones pares posibles entre las alternativas. Para las alternativas A, B y C, las combinaciones posibles son: {AB}, {BC} y {AC}. 3. Se determina el siguiente número primo mayor al número de alternativas, como el número mínimo de participantes en la votación. Por tanto, para 3 alternativas, el siguiente número primo es el 5, pudiendo participar en la votación este número de votantes o los siguientes primos: … 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…, etc. Explicación: los números primos tienen la característica de solo tener dos divisores: el mismo número y el 1. Gracias a esto, nunca puede haber empates en una elección con un número de votantes igual a un número primo. No sucede lo mismo con los números impares y alternativas mayores a 2. Por ejemplo, con 3 alternativas, impares que pueden generar empates son los siguientes: 9, 15, 21, 27…, es decir, todos los múltiplos impares de 3. El no cumplimiento de esta condición no conduce necesariamente a un bloqueo del proceso, pero puede suceder (ver anexo 1).

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4. Se determinan las preferencias de los votantes. Por ejemplo: Carlos:

A>B>C

Ana:

B>C>A

Juana:

C>A>B

Andrés:

A>B>C

Claudia:

B>C>A

5. Se escoge una sola combinación ganadora fundada en el ordenamiento de las dos primeras alternativas de cada votante. Esto quiere decir que para Carlos, cuya ordenación de preferencias es A > B > C, su voto será por la combinación {A, B}, debido a que A y B son sus dos primeras opciones. Así se realiza la primera ronda, y la combinación perdedora se elimina de la siguiente ronda. Primera ronda: {AB}: 2 votos (votos de Carlos y Andrés) {BC}: 2 votos (votos de Ana y Claudia) {AC}: 1 voto (voto de Juana) Nota: Como se puede observar, Juana vota por la combinación {A, C} y sus preferencias son C > A > B, por lo que no importa el orden de las dos primeras alternativas (si una es primera o la otra). Esto se debe a que la combinación {A, C} es igual a la condición {C, A}, por lo que el orden en la combinación no importa.

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6. En las siguientes rondas, la elección de los votantes cuyas combinaciones permanecen en el proceso se mantienen. Por su parte, las elecciones de los votantes cuyas combinaciones se eliminaron cambian su voto a la combinación que mejor favorezca su primera alternativa. Segunda ronda: {AB}: 2 votos {BC}: 3 votos Explicación: La combinación {A, C} fue eliminada en la primera ronda por obtener menos votos que las dos combinaciones restantes. Por lo tanto, Juana cambia su voto a la combinación {B, C} que contiene a la mejor alternativa para Juana, la C. Se escoge la combinación {BC}. Explicación: La combinación {B, C} obtiene la mayoría de votos, y por lo tanto es la ganadora. La victoria se obtiene por mayoría simple, lo que significa que solo se necesitan más votos que el resto. Nota 2: Aunque se presenten múltiples votaciones hasta llegar a la combinación ganadora, esto no significa que haya intervención de los votantes, en el sentido que puedan cambiar su voto en cada ronda. El voto de cada individuo depende exclusivamente de la ordenación de sus preferencias. 7. Se realiza la ordenación entre el par de alternativas de la combinación ganadora. Finalizando el ejemplo: Preferencias de los votantes entre B y C:

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Carlos:

B>C

Ana:

B>C

Juana:

C>B

Andrés:

B>C

Claudia:

B>C

Resultado:

B>C

La decisión ganadora es B. Lo anterior significa que B es preferible para una mayoría de los votantes: para algunos como la mejor opción y para otros como la segunda mejor opción. Lo importante es que para una mayoría la alternativa B no es la peor de las situaciones. El resultado de la agregación es, por tanto, B > C > A. La presentación anterior del método RAC corresponde a su ejecución en un caso en particular, que se escogió, porque genera un resultado cíclico utilizando el método de Condorcet. Este mismo ejemplo se analizará a continuación, pero confrontando otras reglas de decisión y la condición del TGIA. Los métodos a comparar serán el método de Condorcet y el conteo de Borda. No obstante, deben hacerse algunas observaciones respecto a la labor de comparación de resultados. En primer lugar, el método de Condorcet cumple 3 de las 4 condiciones mínimas del TGIA. Estas condiciones son: dominio, Pareto y condición IIA. La condición por tanto que se puede violar es la condición de rango transitivo, que se ejemplifica fácilmente mediante la paradoja de Condorcet, explicada anteriormente. En segundo lugar, el conteo de Borda como se estudió puede violar la condición IIA.

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Por lo anterior, se harán anotaciones a medida que las violaciones de estos métodos se cometan. 4.2 CASO DE ESTUDIO 1: PARADOJA DE VOTACIÓN CON 3 ALTERNATIVAS Y 5 VOTANTES El caso a estudiar genera la paradoja de Condorcet y es planteado por Mackie [2003, p. 128]. Es el mismo caso que se utilizó para presentar inicialmente el método RAC y corresponde a las preferencias de 5 individuos respecto a 3 alternativas. Las preferencias son las siguientes: A > B > C, B > C > A, C > A > B, A > B > C y B > C > A. Los resultados para los tres métodos son presentados en la siguiente ecuación: Resultados

Ordenamiento de

Pepe

preferencias A>B>C

Juan

B>C>A

Ana

C>A>B

Claudia

A>B>C

Luis

B>C>A

Condorcet

A>B>C>A

C. de Borda

B(6) > A(5) > C(4)

RAC

B>C>A

Ecuación 5 Se puede observar que se genera un resultado cíclico con el método de Condorcet y un resultado transitivo con el conteo de Borda y el método RAC. En el anexo 2

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se puede examinar la derivación del resultado de cada método. Ahora bien, metodológicamente, se debe hacer un análisis de confrontación de los resultados contra cada uno de las condiciones de Arrow. 4.2.1

CONFRONTACIÓN

METODOLÓGICA

DE

LAS

CONDICIONES

MÍNIMAS DE RAZONABILIDAD DEL TGIA La primera condición es el dominio. En el ejemplo anterior no se excluye ninguna de las preferencias de los 5 individuos y cada una de estas es transitiva. En cuanto al dominio, los tres métodos cumplen sus exigencias. También se entiende que las ordenaciones de preferencias han sido creadas lógicamente y ya han sido dadas o demostradas por cada individuo. Referente al rango, se pueden observar diferencias notables. En primer lugar, el método de Condorcet viola el rango para este ejemplo, debido a que ha generado un resultado cíclico o irracional. En cuanto al conteo de Borda y al método RAC, se generan resultados transitivos, por lo que cumplen la condición del dominio sin problemas. No obstante, debe hacerse una aclaración respecto al método RAC. Como puede observarse en el punto 5 del proceso de ejecución del método RAC, las combinaciones son sometidas a votación y la alternativa A es eliminada de la competencia, por lo que esta nunca se somete a comparación entre pares. Dos posibles consecuencias excluyentes pueden generarse de lo anterior: la primera es que no se pueda afirmar que B > A y que C > A, debido a que esta comparación nunca se hizo, y por lo cual no se puede generar el resultado de B > C > A; la segunda consecuencia es definir que la aprobación de la combinación {B, C}

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supone que cada una de estas alternativas en la combinación es preferida a las alternativas eliminadas. De todas formas, este análisis se realizará en el paso de confrontación con la condición IIA, en el que se tendrá un mejor espacio de estudio. La siguiente condición, de Pareto, se puede observar modificando las preferencias del presente ejemplo, respecto a la votante Ana. Esta votante es la única que prefiere a C respecto a B, mientras que los demás votantes prefieren a B frente a C. Si Ana modifica su preferencias frente al par B, C entonces la preferencia del grupo debe ser B > C. Hay varias opciones para cambiar la preferencia de Ana, pero cualquiera debe funcionar, por lo que ahora la ordenación de esta votante es B > A > C. La siguiente ecuación muestra los resultados para cada método: Resultados

Ordenamiento de

Pepe

preferencias A>B>C

Juan

B>C>A

Ana

B>A>C

Claudia

A>B>C

Luis

B>C>A

Condorcet

B>A>C

C. de Borda

B(8) > A(5) > C(2)

RAC

B>A>C

Ecuación 6 Los resultados muestran, al pensarse solamente en la condición de Pareto, que en los tres métodos el consenso del grupo respecto a B y C se mantiene en el

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resultado agregado, por lo que todos los métodos cumplen esta condición. Curiosamente, el resultado es el mismo en los tres métodos, que a su vez, en términos generales, parece ser el mejor resultado, debido a que 3 votantes (la mayoría) tienen como su mejor opción a la alternativa B, y así mismo C es la peor de las alternativas para 3 votantes (de nuevo, la mayoría). Ahora bien, resta por comprobar la condición IIA frente al ejemplo de la ecuación 5. Mackie [2003, p. 128], que desarrolló este ejemplo con el objeto de demostrar la violación de la condición IIA por el conteo de Borda, plantea cambios en las preferencias de dos votantes. Específicamente, Juan y Luis cuyas preferencias son B > C > A cambian a C > B > A, y los resultados se pueden observar en la siguiente ecuación: Resultados

Ordenamiento de

Pepe

preferencias A>B>C

Juan

C>B>A

Ana

C>A>B

Claudia

A>B>C

Luis

C>B>A

Condorcet

C>A>B

C. de Borda

C(6) > A(5) > B(4)

RAC

C>B>A

Ecuación 7 Como Mackie realiza el análisis, es necesario concentrarse en un solo par y en las preferencias respecto a este, sin importar los cambios en las preferencias de las

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alternativas del par en estudio respecto al resto de alternativas. Las alternativas a estudiar son A y B. Nótese que en la ecuación 5 que compone el ejemplo principal, según el método de Condorcet, se crea una paradoja, y en la ecuación 7, se pasa a un resultado transitivo. Esto no genera ningún interés para el estudio de la condición IIA, debido a que esta se había comprobado desde el ejemplo principal, pero se entiende que la comparación estrictamente entre pares ofrece información exclusivamente del par en cuestión. En cambio, el resultado del conteo de Borda demuestra que este método viola la condición IIA. Concentrándose en el par A y B, se puede notar que las preferencias en cuanto a este par no cambiaron en la ecuación 5 (ejemplo principal) y la ecuación 7 (cambio en las preferencias de Juan y Luis), pero el resultado en la agregación sí cambio. Este cambio se generó por el sistema de puntos que otorga el conteo de Borda, según la posición relativa que ocupa en la ordenación de cada individuo, y esta información influye en la comparación entre A y B, cuando la condición IIA exige que no sea así. Precisamente, lo que pretende la condición IIA es que ante cambios en las preferencias de dos alternativas, sean A y C, la preferencia por otro par A y B no cambie. El método RAC cumple en este sentido con la condición IIA, puesto que el resultado cambió desde B > C > A a C > B > A, pero la preferencia respecto a A y B se mantuvo, siendo efectivamente B > A. Adicionalmente, los cambios en las preferencias de Juan y Luis favorecían a C respecto a B y le agregaron una carga suficiente sobre la agregación que desplazó a B y eligió a C. Ahora bien, resta la cuestión mencionada sobre el método RAC, el cual no hace explícitas las comparaciones con las alternativas que van perdiendo en la

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selección de la mejor combinación (paso 5, en la demostración del método RAC). En ninguna de las ecuaciones se realiza estas comparaciones entre pares, y de hecho solo se realiza una comparación al final, que busca definir la alternativa ganadora entre la combinación ganadora. La cuestión, por tanto, es definir si la comparación entre pares es una práctica obligatoria para no violar las condiciones de razonabilidad del TGIA o, en cambio, se presenta más como un proceso metodológico sin carga normativa. La comparación entre pares ciertamente cumple con la condición IIA, puesto que utiliza información de las preferencias de un individuo exclusivamente sobre el par en cuestión. Tanto así, que filtra cualquier tipo de información relevante o irrelevante en relación con el total de alternativas o en relación con las preferencias de las alternativas en el par en cuestión con las demás alternativas. Arrow defiende la comparación entre pares diciendo: … una de las consecuencias del supuesto de racionalidad es que la elección que ha de hacerse dentro de un conjunto de alternativas viene determinada por las elecciones realizadas entre pares de alternativas. Supongamos, sin embargo, que la situación sea tal que el individuo que elige nunca se enfrente con pares de alternativas, sino que el entorno encierre siempre muchas alternativas. Por cierto esta es precisamente la situación en la teoría de la elección del consumidor bajo competencia perfecta; el entorno real es siempre una línea o un plano. Pero, bajo ciertas condiciones admisibles, podemos decir que las elecciones hechas en entornos reales pueden explicarse como si se derivasen de elecciones entre pares de alternativas, y, al menos conceptualmente, tiene sentido

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imaginar las elecciones como si realmente se hubieran hecho entre pares de alternativas [1963/1951, p. 43]. Si el método RAC es confrontado con las palabras de Arrow, se pueden generar dos observaciones. Una primera observación es la que hace Mackie [2003, p. 137] en la que asegura que la condición IIA se podría llamar de mejor forma la condición de comparación entre pares, debido a que requiere que las elecciones entre varias alternativas sean resultado de la información generada en elecciones entre pares. Sin embargo, en una segunda observación, Mackie y Arrow coinciden en que lo más importante es que las preferencias entre dos alternativas se mantengan fuera de los cambios del entorno. Esta última es la observación más relevante, y aunque la comparación entre pares es la forma más sencilla de encerrar una preferencia entre dos alternativas a información única entre estas dos, esto no quiere decir que sea la única forma. Lo relevante es, entonces, que ante cambios en las preferencias de los individuos que involucren a alternativas distintas de un par en particular, la preferencia sobre este par se mantenga, demostrando así, precisamente, independencia frente a alternativas irrelevantes. Y por irrelevantes, la condición IIA se refiere a todas las que participen en la elección, sin diferenciar entre las llamadas alternativas ordinarias relevantes y las ordinarias irrelevantes. Mackie [2003, p. 137] afirma que no importa si en una elección para una construcción en una universidad, un misil nuclear es una alternativa (ordinaria irrelevante) o un estadio (ordinaria relevante), lo importante es que todas estas son irrelevantes si por ejemplo se define la preferencia entre el museo y un laboratorio.

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Teniendo en cuenta lo anterior, el método RAC puede no realizar comparaciones entre pares, pero no por tanto está violando la condición IIA. En la ecuación 7, cuyo caso se utiliza para demostrar la violación de la condición por parte del conteo de Borda, se puede observar que las preferencias respecto a A y B se mantienen en el método RAC. No obstante, no es posible comparar entre pares para comprobar la preferencia entre A y B, debido a que A fue eliminada en la combinación con menos respaldo de los votantes. La cuestión, por tanto, es definir si la eliminación de una alternativa en la eliminación de las combinaciones es explicación suficiente para determinar que la alternativa eliminada no es preferida sobre las alternativas que aún se mantienen en la elección. Una posible explicación se refiere a la existencia de al menos dos combinaciones en las que una alternativa se repite. Dado que el caso de la ecuación 5 es el mínimo caso posible en que se puede aplicar el método RAC, es decir que como hay 3 alternativas y 5 votantes se puede afirmar que una alternativa está por lo menos en dos combinaciones, por ejemplo A se encuentra en la combinación {AB} y {AC}, y así con todas las alternativas. Lo anterior genera dos oportunidades para cada alternativa de ser seleccionada, con lo cual de hecho está ocurriendo una comparación. Cuando un individuo escoge la combinación {AB} y no {AC} está discriminando entre la alternativa que acompaña a A, por lo que si no elige C, esto significa que prefiere a B sobre C. Asimismo, puesto que al final solo se escogerá una alternativa de la combinación ganadora, un voto por una combinación que no contenga a C, siguiendo este caso, es una declaración sobre la no preferencia de la misma. Continuando, debido a que cualquier alternativa se encuentra en una combinación con las demás alternativas, esto elimina la influencia que tiene una alternativa

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sobre su pareja, es decir que la comparación no se realiza con la información de la pareja, puesto que existe por lo menos otra combinación en la que la alternativa preferida no se encuentra con la misma pareja. Siguiendo con el ejemplo, si A es la alternativa preferida, y la peor opción es B, el individuo puede escoger la combinación {AC} y, por tanto, no interferirá la influencia de la combinación {AB}. Si para A solo existiera la combinación {AB}, entonces definitivamente B influiría en la decisión respecto al par A y C, pero esto se soluciona con el método RAC. Dadas las razones anteriores, se puede afirmar que en la ecuación 5 se cumple con la condición IIA y, además, que el resultado es transitivo y posible. Sin embargo, hay otros casos en los que no necesariamente se puede saber sobre la preferencia fuerte respecto a algunas alternativas. El siguiente caso ejemplifica una situación en la que surgen dificultades para aplicar la argumentación anterior sobre la preferencia de las alternativas eliminadas: Resultado

Ordenamiento

de

preferencias

Vot. 1

A>B>C>D>E

Vot. 2

A>B>C>D>E

Vot. 3

A>B>C>D>E

Vot. 4

A>B>C>D>E

Vot. 5

A>B>C>D>E

Vot. 6

A>B>C>D>E

Vot. 7

C>D>E>A>B

RAC

A>B>C>D>E

Ecuación 8

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Al seguir el proceso del método RAC, en la votación por la combinación ganadora, la combinación {AB} obtiene 6 votos de 7 y la combinación {CD} obtiene el voto restante. Avanzando en el proceso, la comparación entre A y B genera el resultado A > B, por lo que la alternativa que gana es A. Sin embargo, debido a que la votación por las combinaciones no fue escalonada, es decir que no fue saliendo una alternativa cada vez, sino que C, D y E fueron eliminadas en una sola ronda, surge el problema sobre cómo definir la ordenación después de B. El problema en concreto es solucionar la forma en que después de B sigue C, después D y, por último, E; como se muestra en el resultado de la ecuación 8. La solución proviene precisamente de la condición IIA, que en el método RAC no es cuestionable, y en cambio tiene un papel fundamental. Teniendo en cuenta la condición IIA, se puede afirmar que las preferencias entre C y D, C y E y D y E no dependen de A y B. Por tal razón, las combinaciones que contengan las alternativas A y B pueden ser eliminadas, con el objeto de encontrar la consistencia en el resultado. Sin estas combinaciones, que es lo mismo que esconder temporalmente A y B, el resultado es C > D > E, que se obtiene en este caso, curiosamente, por el principio de Pareto. El proceso de ‘esconder temporalmente’ las alternativas que pertenecen a la combinación ganadora puede crear una confusión con la condición IIA de Radner y Marschak [llamada condición IIA(RM)] que ya fue mencionada. Retomando, esta condición exige la consistencia después de una contracción en el número de alternativas. Un ejemplo utilizado por equivocación por Arrow, tratando de justificar su condición IIA, dice:

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Supongamos que se celebra una elección en la que toman parte cierto número de candidatos, haciendo su lista de preferencias cada individuo, y ocurre que muere uno de los candidatos. Seguramente la elección social se llevaría a efecto borrando el nombre del candidato fallecido de las listas de preferencias y tomando solamente en cuenta al hacer el escrutinio los nombres restantes. Es decir, la elección dentro del conjunto S de candidatos supervivientes debería ser independiente de las preferencias que tengan los individuos por candidatos no incluidos en S. Suponer otra cosa sería vincular el resultado de la elección a la circunstancia fortuita de que muera algún candidato antes o después del día de la votación [1963/1951, p. 54]. Este ejemplo en realidad explica la condición IIA(RM) o de Radner y Marschak. Pero en el método RAC no hay una contracción de las alternativas, de hecho, dado el proceso, de las alternativas que se ‘esconden’ en un primer momento, se genera un orden que se integra con el orden sucesivo, y lo hace estableciéndose en los dos primeros lugares. Ciertamente, el método RAC cumple la condición IIA de Arrow y, a su vez, la condición IIA(RM), pero la intención principal de este trabajo es demostrar que el método RAC cumple la condición IIA como las demás planteadas por Arrow. Mackie [2003, p. 129] explica que el TGIA exige que tanto la condición IIA de Arrow como la IIA(RM) se satisfagan, pero que gracias a una demostración de Sen en 1993, la condición IIA(RM) no es la que crea la inconsistencia, sino la IIA de Arrow.

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4.3. CASO DE ESTUDIO 2: SITUACIÓN EN LA QUE LA VIOLACIÓN DE LA CONDICIÓN IIA PUEDE SER RACIONAL El presente ejercicio de confrontación del método RAC no puede ignorar el ejemplo presentado por Mackie [2003, p. 133] que fue presentado anteriormente como un caso en que la violación de la condición IIA puede ser racional. Este caso es relevante, porque si el resultado del método RAC es el mismo al de Condorcet, entonces el método RAC podría ser cuestionado racionalmente. Recordando el ejemplo, dos grupos de estudiantes, uno de administración de empresas, compuesto por 5 personas; y el otro de derecho, compuesto por 4 personas, deben ordenan una serie de bebidas para determinar cuál será la única que se servirá en un congreso. Sin embargo, el mesero solo tendrá en cuenta la decisión respecto a la cerveza y al café. La ecuación 9 muestra los resultados:

Resultados

Ordenamiento de preferencias

Admón. 5 personas

cerveza > café > agua > té > leche > soda

Derecho. 4 personas

café > cerveza > agua > té > leche > soda

Condorcet

cerveza > café

RAC

cerveza > café Ecuación 9

El ganador de Condorcet y con el método RAC es la cerveza. Mackie, entonces, agrega que los estudiantes de derecho cancelaron su asistencia y, en cambio, que asistirán 4 estudiantes de teología que no ingieren bebidas alcohólicas, y sus preferencias son: café > agua > té > leche > soda > cerveza. Los resultados son los siguientes:

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Resultados

Ordenamiento de preferencias

Admón. 5 personas

cerveza > café > agua > té > leche > soda

Teología. 4 personas

café > agua > té > leche > soda > cerveza

Condorcet

cerveza > café

RAC

cerveza > café

Conteo de Borda

café > agua > cerveza > té > leche > soda

Ecuación 10 Los resultados son los mismos, pero Mackie muestra que dado la abstinencia que tienen los estudiantes de teología frente al alcohol, el mesero probablemente sería despedido por no notar que la bebida elegida era la peor para el nuevo grupo. En cambio, al utilizar el conteo de Borda y violar la condición IIA, la opción ganadora es el café, que se comporta como una bebida promedio. La reflexión de Mackie afecta también al método RAC, porque el resultado es el mismo al del método de Condorcet. En términos reales, lo que se observa en este caso es que la mayoría pasa a percibirse como tiránica que no tiene en cuenta las preferencias de la minoría y, en efecto, que no hay forma alguna de no violar la condición IIA y elegir una bebida distinta de la cerveza. Sin embargo, la reflexión de Mackie es limitada por tres posibilidades que se abren si se escoge el conteo de Borda: el mismo resultado y el despido del mesero, la votación estratégica y la tiranía de la minoría. Siguiendo el mismo caso, se puede suponer que los estudiantes de administración al enterarse de que el grupo de derecho se iba, también cancelaron, por lo que esto permitió que llegara un grupo de 5 estudiantes de comunicación social. Sus preferencias y los resultados se muestran a continuación:

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Resultados

Ordenamiento de preferencias

Com. Social. 5 personas

cerveza > soda > leche > té > agua > café

Teología. 4 personas

café > agua > té > leche > soda > cerveza

Condorcet

cerveza > café

RAC

cerveza > café

Conteo de Borda

cerveza > café

Ecuación 11 En la ecuación 11 se observa que en los tres métodos se obtiene el mismo resultado, y aun violando la condición IIA o no, el mesero habría sido despedido debido a que la bebida promedio en el conteo de Borda es la cerveza. Estos resultados prueban que el conteo de Borda y la presentación de la violación de la condición IIA como algo racional solo dependen de la estructura del método y del uso de la posición de las alternativas. Incluso cuando la ordenación de los estudiantes de comunicación social fue sincera, no se pudo evitar el enojo de los de teología, puesto que en promedio la cerveza es preferida, aun cuando perjudica gravemente a los abstinentes. A su vez, el conteo de Borda posibilita la votación estratégica, debido a que los estudiantes de administración de empresas pueden en lugar de cancelar (porque su intención real en el congreso era embriagarse y no mantenerse despiertos en las conferencias) simplemente cambiar sus preferencias y aprovechar que siendo mayoría, siempre podrán ubicar a la cerveza como bebida elegida. Con lo anterior, se puede afirmar que el único resultado a que va a tender el caso anterior, es

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hacia el resultado del método RAC o de Condorcet, y que resultados distintos pueden suceder en escenarios de cambio social. Surge la anterior posibilidad, que en realidad es parte de una situación más general. Cuando las ordenaciones de preferencias se estudian en un momento dado, como en el caso en que a los estudiantes de administración se les impidiera cancelar su visita o cambiar sus preferencias, se pueden producir fenómenos sociales que solo son temporales, como lo es la situación de Mackie en la que el café es la bebida elegida. En este mismo caso, la minoría es tiránica o se puede denominar así, porque este fue el último grupo en organizar sus preferencias. Gracias a esta ventaja, y por conocer las ventajas del grupo mayoritario, aseguran su victoria posicionando en la peor situación a la cerveza. Y bueno, esta posición respecto a la cerveza parece ser sincera, pero es posible que el grupo de teología hubiera preferido sobre todas las bebidas la soda, pero al considerar imposible que esta ganara, decidieron posicionar en primer lugar al café. Si se considera, entonces, que una decisión colectiva nunca es definitiva y, por el contrario, constantemente se decide sobre los mismos temas (orden público, movilidad, áreas comunes, servicios públicos), se podría afirmar que reglas de decisión que violan la condición IIA generaran resultados que no son óptimos socialmente, aunque de manera definitiva esta cuestión queda abierta a futuras investigaciones.

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5. CONCLUSIONES El recorrido que ha tenido el presente trabajo tiene importantes consecuencias relativas a las reflexiones de algunos de los autores citados, pero que igualmente comprenden gran parte de las posiciones al respecto del TGIA; asimismo, consecuencias relativas a la propuesta del método RAC como una posible solución al teorema de Arrow. Estos dos grupos de consecuencias se desarrollarán para permitir que este trabajo pueda ser de utilidad para investigaciones posteriores, no obstante se mencionarán algunas debilidades y potencialidades en la argumentación utilizada en esta investigación. En primer lugar, son dos reflexiones principales las que surgen de las posiciones de los autores estudiados principalmente, Mackie y Saari. Empezando con Saari, resalta que el método RAC rivaliza con la demostración de Saari sobre la incompatibilidad de la condición IIA con la transitividad. Según él, la comparación entre pares impide que información relevante avance en el proceso de agregación de preferencias, no solamente sobre la transitividad en las ordenaciones de los individuos, sino cualquier otro tipo de información que se tenga en cuenta al momento de elección. Saari [2008, pp. 29-31] muestra algunos ejemplos en los que información que los electores pensaban que era valiosa es filtrada por la comparación entre pares, y peor aún, los electores desconocían esto. No obstante, esta demostración contiene un error, debido a que Saari iguala la condición IIA con la comparación entre pares. Esta igualación no es exclusiva del autor, y parece ser una cuestión aceptada por varios autores, incluyendo a Arrow y Mackie, como se mencionó anteriormente. Sin embargo, la comparación entre pares es un método de agregación que es metodológico y no normativo, por lo que

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aun cuando se desconozcan otros métodos que cumplan la condición IIA, no se les puede conceptualizar como lo mismo, es decir que la condición IIA es una condición de razonabilidad, mientras que la comparación entre pares es un modo de proseguir conceptualmente. Teniendo en cuenta lo anterior, una conclusión válida acerca del problema de la eliminación de información en la agregación de preferencias es que el método de comparación entre pares es incompatible con la transitividad en elecciones con más de 2 alternativas. Por tanto, utilizar este método significa abandonar los supuestos de racionalidad y, por tanto, ya no es sorpresiva la conclusión del TGIA. Ahora bien, la condición IIA es una forma de proceder antes de considerar la comparación entre pares, pero no es la comparación como tal. Esta forma en concreto requiere que cambios en las preferencias respecto a otras alternativas no afecten la preferencia respecto a dos alternativas en particular. Si este posible efecto se controla, o lo mismo, si la información irrelevante se controla, entonces se puede proceder a agregar las preferencias sin violar la condición IIA. Hasta ahora la comparación entre pares ha sido el siguiente paso (que ahora se sabe que no es el mismo), pero es posible que el método RAC pueda sustituirlo por generar resultados sin transitividades. Lo anterior desde luego es apenas una invitación a estudiar más a fondo el proceso del método RAC y, sobretodo, a formalizarlo. Por ahora, se han realizado avances al confrontar el método con la paradoja de Condorcet, pero como Saari, supo dar cuenta mediante los diccionarios de votación [2008, pp. 74-122] que existen billones de casos con resultados muchas veces controversiales.

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Sin embargo, el ejercicio de evaluar el método RAC con la paradoja de Condorcet no es menos relevante. Saari [2008, p. 24] comprueba que todas las paradojas de votación, algunas como la lista de List o Anscombe, son en realidad modificaciones o casos especiales de la misma pregunta con la que se originó la paradoja de Condorcet: ¿qué justificación existe para que una decisión en una elección social sea irracional si las preferencias de los votantes son transitivas, o en otras palabras, por qué actores racionales no pueden tomar decisiones colectivas racionales? Si un método como RAC puede solucionar esta pregunta en alguna de las paradojas de votación, sin violar las 4 condiciones mínimas de razonabilidad de Arrow, se puede afirmar que se va por un buen camino. La siguiente reflexión surge a partir de los aportes de Mackie. Este autor está comprometido con la defensa de la democracia, y por tanto afirma que la violación de la condición IIA no es algo que temer, debido a que su violación no ha sido establecida como normativamente indeseable y, aún más, si la única opción que soluciona la inconsistencia es la dictadura [Mackie, 2003, p. 156]. En su argumento, es preferible la mala representación estratégica de las preferencias, que parecen compartir todos los métodos de votación, según un teorema de Gibbard-Satterthwaite [Mackie, 2003, p. 156]. Y así mismo, el autor presenta un ejemplo en que parece ser racional la violación de la condición IIA. Lo que parece explicar Mackie es que no siempre es racional aplicar la condición IIA, y cuando es racional, es preferible violar esta condición y mejorar los métodos de votación para disminuir los efectos de la votación estratégica. Sin embargo, ninguna de las dos observaciones de Mackie es compartida, y en cambio se afirma que nunca es racional violar la condición IIA y lograr cumplirla es garantía de eliminación de la votación estratégica. En la ecuación 11 se encuentra la

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prueba sobre la no recomendación de violar la condición IIA bajo ningún motivo. Básicamente, se explica que al utilizar una regla de decisión que viola la condición IIA, se somete la decisión absolutamente a la estructura de la información, de forma tal que ya no es necesaria hacer la votación, y, en realidad, el resultado se obtiene de la organización de las alternativas de la manera en que más convenga para el último grupo en organizar. En otras palabras, en lugar de hacer la votación es más fácil definir quién será el último en determinar sus preferencias, y preguntarle qué opción desea que gane. Por otra parte, cumplir la condición IIA es garantía para bloquear la votación estratégica simplemente porque la reorganización de las preferencias no afectará la preferencia respecto a un par de alternativas en particular. Si la decisión entre un par depende solamente de las preferencias sobre dicho par, los votantes deben organizar sinceramente sus preferencias respecto a este par, con el fin de otorgar peso en la agregación y obtener un triunfo por mayoría. Este tema, no obstante, no ha sido abordado plenamente en este trabajo, por lo que requiere de más profundización. Ahora, la siguiente parte de las conclusiones aborda la posibilidad de considerar el método RAC como una posible solución al TGIA. Aunque este ha sido el objeto principal del trabajo, hay que hacer algunas aclaraciones. En primer lugar, el método es limitado, porque exige que el número de votantes sea un número primo. Esto no quiere decir que el método no funcione con otros números de posibles votantes, pero es posible que el proceso se bloquee por un empate en la votación de las combinaciones. Por ahora, no se ha encontrado forma de avanzar en el caso que solo resten dos combinaciones y haya un empate (ver anexo 1) para observar un caso en el que el proceso se bloquea.

67

Adicionalmente, el método RAC no puede solucionar la tripleta de Condorcet que es la paradoja clásica de votación. Esta paradoja es presentada en la ecuación 1 y el resultado mediante el método RAC es un empate en cada una de las combinaciones posibles: {AB,1}, {BC,1}, {AC,1}. Lo que es seguro es que el método no genera un resultado intransitivo como el método de Condorcet, sino que muestra que ningún votante tiene un incentivo para desplazarse hacia otra combinación, sencillamente porque la que ya eligió es la única que le permitiría que su alternativa favorita ganara, y también precisamente porque cumple la condición IIA. Esta podría ser una conclusión de la tripleta de Condorcet, en la que el resultado no es irracional, pero que tampoco es racional (no hay resultado, por lo tanto tampoco es transitivo). Una potencialidad del método RAC es que a mayor número de votantes que no cumplan con el número primo, mayor es la posibilidad que se genere un resultado, que se sabe es transitivo y satisfactorio. Se dice que lo anterior es una potencialidad, puesto que no se ha podido probar formalmente, pero intuitivamente se espera que los empates sean más difíciles de encontrar debido a la masa de votantes. Por ejemplo, un empate entre las dos últimas combinaciones entre 10.000.000 votantes puede ser tan difícil de encontrar como un empate entre dos candidatos a la presidencia. Por último, resta mencionar algunos temas en los que el método RAC podría incluirse e influenciar en un debate. El principal puede ser la defensa de la democracia. El TGIA había puesto en duda el sistema democrático, porque aseguraba que todos sus resultados debían ser inconsistentes y si no lo eran, tampoco había forma de identificar la inconsistencia, mientras que el método RAC puede ser la regla de decisión que solucione este problema. Un segundo tema

68

tiene que ver con el papel de la discusión de la agenda, o concretamente con el efecto del método RAC en la teoría de la agenda-setting. Un último tema, y solo por mencionar entre incontables más, tiene relación con la teoría de números, y la oportunidad de conocer concretamente las capacidades de los números primos y las posibles aplicaciones a la demostración del método RAC. Todos estos temas, sin duda, componen una invitación a justificar o contradecir cada una de las reflexiones de este trabajo.

69

6.

BIBLIOGRAFÍA

Amadae, S. M., & Bueno de Mesquita, B. (1999). The Rochester School: The Origins of Positive Political Theory. Annual Reviews. Arrow, K. J. (1951/1963). Social Choice and Individual Values (2nded.). Monograph 12, Cowles Foundation for Research in Economics at Yale University. New York: John Wiley and Sons. Guillot, J. (2009). On the Reasonableness of Arrow’s Independence of Irrelevant Alternatives: Removing Obscurities, Pinpointing Consequences. (Inédito). Mackie, G. (2003). Democracy Defended. Cambridge: Cambridge University Press. McGann, A. (2006). The Logic of Democracy,Michigan Studies in Political Analysis. Ann Arbor: University of Michigan Press. Rusciano, F. L. (1990). The Prisoner’s Dilemma as an Extended Arrow Problem.The Western Political Qarterly, 43, 495-510. Saari, D. (2008). Disposing Dictators, Demystifying Voting Paradoxes. Cambridge: Cambridge University Press. Sen, A. K. (1970). Collective Choice and Social Welfare. San Francisco: HoldenDay.

70

Shepsle, K. A., &Bonchek M. S. (1997).Analyzing Politics.Rationality, Behavior, and Institutions.New York: W. W. Norton &Company.

71

Anexo 1 En este anexo se presenta un caso en el que el método RAC se bloquea, debido a un empate por la participación de un número de votantes impar, no primo. 9 votantes tienen ordenamientos de preferencias organizados respecto a 3 alternativas A, B y C de la siguiente forma: -

3 votantes organizan así: A > B > C

-

3 votantes organizan así: B > C > A

-

3 votantes organizan así: A > C > B Combinaciones

Vot. primera ronda

Resultado

A,B

3 votos

Empate

B,C

3 votos

Empate

A,C

3 votos

Empate

Como se puede observar, la votación por combinaciones genera un empate en la primera ronda sobre el total de alternativas, con tres votos para cada combinación. En este punto, el método se bloquea, porque no existe una forma de elegir una combinación ganadora. De hecho, este ejemplo si se simplifica y se toma a cada

72

grupo de votantes con ordenamientos de preferencias iguales como un individuo, el ejemplo se convierte en la tripleta de Condorcet. Posiblemente, la exigencia de utilización de un número primo para elecciones con más de 2 alternativas sea benéfica hasta para el método de Condorcet, que se utiliza masivamente en la realidad, puesto que puede eliminar un gran número de resultados cíclicos, aunque no todos como se puede observar en el anexo 2.

73

Anexo 2 El caso a estudiar genera la paradoja de Condorcet y es planteado por Mackie [2003, p. 128]. Es el mismo caso utilizado para presentar inicialmente el método RAC y corresponde a las preferencias de 5 individuos respecto a 3 alternativas. Las preferencias son las siguientes: A > B > C, B > C > A, C > A > B, A > B > C y B > C > A. Los resultados para los tres métodos son presentados en la siguiente ecuación:

Resultados

Ordenamiento de

Pepe

Preferencias A>B>C

Juan

B>C>A

Ana

C>A>B

Claudia

A>B>C

Luis

B>C>A

Condorcet

A>B>C>A

C. de Borda

B(6) > A(5) > C(4)

RAC

B>C>A

Ecuación 5

74

A continuación se realizará la derivación de cada uno de los resultados en los tres métodos estudiados. Método RAC La derivación del método RAC es la misma que se hizo para presentar el método. Por tal razón, el proceso se puede analizar en tal presentación, y a continuación se realizará una tabla en la que se puede observar este método de forma más conveniente y operacional. Tabla 3. Método RAC en forma secuencial Combinaciones

Vot. primera ronda

Vot. segunda

Resultado

A,B

2 (Pepe y Claudia)

ronda 2 (Pepe y

Eliminada

2 (Juan y Luis)

Claudia) 3 (Juan, Luis y

B>C>A

1 (Ana)

Ana) Eliminada

Eliminada

B,C A,C

Conteo de Borda En el conteo de Borda debe sumarse puntos a las alternativas en cada ordenación dependiendo de la posición en que se encuentran. La última posición recibe cero puntos y aumenta 1 punto hasta llegar a la primera posición, que debe obtener el número de alternativas menos un punto. Luego, las alternativas se organizan según el mayor puntaje obtenido.

75

Resultados

Ordenamiento

de

Pepe

preferencias A(2) > B(1) > C(0)

Juan

B(2) > C(1) > A(0)

Ana

C(2) > A(1) > B(0)

Claudia

A(2) > B(1) > C(0)

Luis

B(2) > C(1) > A(0)

Conteo

A = 5, B = 6 y C = 4

C. de Borda

B(6) > A(5) > C(4)

Método de Condorcet En el método de Condorcet se realizan comparaciones entre las combinaciones de pares posibles y se genera un ganador en cada par. El resultado da como ganador a quien gane a las demás alternativas en cada comparación. Como se puede observar, aunque A le gana a B y B a C, C le gana a A, por lo que se genera un resultado cíclico, y no hay un ganador: Votantes

Ordenamient

{A,B}

{B,C}

{A,C}

Pepe

os A>B>C

A>B

B>C

A>C

Juan

B>C>A

B>A

B>C

C>A

Ana

C>A>B

A>B

C>B

C>A

76

Claudia

A>B>C

A>B

B>C

A>C

Luis

B>C>A

B>A

B>C

C>A

Resultado

A>B

B>C

C>A

Resultado

A>B>C>A

agregado

77

Anexo 3. El método RAC en una elección de 7 alternativas y 97 votantes. El presente ejercicio presenta la elaboración del método RAC en una elección masiva con mas alternativas de las estudiadas en el trabajo. Las alternativas son A, B, C, D, E F y G. La cantidad de ordenaciones transitivas de preferencias con 7 alternativas es de 5040, y un votante puede seleccionar cualquiera. La elección de las ordenaciones utiliza la herramienta en Internet para distribuir palabras o letras en este caso de forma aleatoria, y que se puede encontrar en esta dirección: http://www.random.org/lists/ Las ordenaciones se presentan en la siguiente tabla. Para cada votante se ha elegido una ordenación aleatoria, siendo posible que las mismas se repitan. Tabla 4. Ordenación de preferencias de 97 votantes. Electo

Ordenación

r 1

Electo

Ordenación

Elect

Ordenación

preferencias G>F>B>E>D>A>

r 34

preferencias B>C>D>F>G>A>

or 67

preferencias F>B>D>G>C>A>

2

C F>C>G>A>D>B>

35

E E>G>B>C>D>F>

68

E B>D>F>A>G>C>

3

A D>F>B>C>A>E>

36

A F>A>D>B>E>G>

69

E D>E>B>A>G>F>

4

G D>C>E>A>F>G>

37

C B>F>G>D>A>C>

70

A G>F>D>B>A>C>

5

B D>F>C>B>E>G>

38

E B>E>F>A>D>C>

71

E A>D>C>G>E>F>

6

A D>G>A>E>F>B>

39

G C>E>B>F>A>G>

72

B F>E>D>B>A>C>

7

C B>G>E>A>D>F>

40

D G>E>F>B>A>D>

73

G D>E>F>C>B>A>

8

C A>E>F>B>C>G>

41

C C>G>D>B>A>E>

74

G A>E>D>C>G>B>

D

de

F

de

F

78

de

9

D>G>E>B>C>F>

42

F>B>A>G>D>E>

75

B>G>C>F>A>D>

10

A E>G>F>A>D>C>

43

C F>A>E>G>B>C>

76

E C>F>A>B>G>E>

11

B E>G>A>D>B>C>

44

D E>F>C>B>D>A>

77

D D>G>A>C>F>E>

12

F E>A>B>G>D>C>

45

G C>A>F>B>G>E>

78

B A>G>B>E>F>D>

13

F D>G>A>E>B>C>

46

D D>G>C>A>F>E>

79

C A>C>E>D>G>B>

14

F A>F>B>E>G>D>

47

B F>C>D>G>A>B>

80

F C>A>F>G>E>B>

15

C G>D>E>B>F>A>

48

E A>B>G>F>E>C>

81

D D>B>A>F>E>G>

16

C C>B>F>D>E>G>

49

D E>F>B>A>C>G>

82

C D>E>G>B>A>C>

17

A D>A>C>F>E>B>

50

D B>A>D>C>F>G>

83

F D>E>B>C>A>G>

18

G E>A>C>D>F>G>

51

E F>D>E>B>G>A>

84

F B>C>E>A>D>G>

19

B E>G>C>D>A>B>

52

C C>B>E>G>D>F>

85

F D>B>E>C>G>A>

20

F A>D>F>G>E>B>

53

A D>A>G>C>F>B>

86

F B>F>A>E>C>G>

21

C B>F>E>D>A>C>

54

E E>A>B>C>F>D>

87

D F>B>C>E>D>A>

22

G E>G>D>A>B>C>

55

G D>G>B>F>A>E>

88

G F>D>A>C>G>B>

23

F E>C>D>F>A>B>

56

C D>B>F>G>E>A>

89

E F>E>G>D>B>C>

24

G A>G>F>D>E>B>

57

C C>D>A>G>E>F>

90

A F>C>A>D>E>B>

25

C C>G>A>B>D>E>

58

B E>G>F>C>A>B>

91

G E>C>B>D>G>F>

26

F E>D>C>F>B>G>

59

D C>E>D>F>B>A>

92

A G>B>F>E>D>C>

27

A F>G>A>C>D>B>

60

G C>D>F>A>E>B>

93

A A>C>G>B>E>D>

E

G

F

79

28

B>A>F>C>D>E>

61

A>G>F>D>C>E>

94

D>C>F>E>B>G>

29

G E>C>D>F>B>A>

62

B G>D>B>A>E>C>

95

A D>B>F>A>E>G>

30

G C>F>D>E>G>A>

63

F B>D>C>E>F>A>

96

C D>G>F>B>C>E>

31

B F>B>D>E>C>G>

64

G F>A>G>B>E>D>

97

A G>B>D>E>C>A>

32

A C>D>E>G>A>F>

65

C E>C>F>B>G>A>

33

B B>G>F>C>E>A>

66

D C>F>G>A>B>D>

D

F

E

Ahora se procede a ordenar las votaciones teniendo en cuenta la columna del ordenamiento de preferencias y ordenando en este caso por orden alfabético, con el fin de identificar las votaciones por las combinaciones de forma fácil. Tabla 5. Ordenación de preferencias de 97 votantes organizada alfabéticamente. Elector

Ordenación

48

de

Elector

Ordenación

preferencias A>B>G>F>E>C>

76

79

D A>C>E>D>G>B>

93

Elector

Ordenación

preferencias C>F>A>B>G>E>

26

preferencias E>D>C>F>B>G>

30

D C>F>D>E>G>A>

49

A E>F>B>A>C>G>

F A>C>G>B>E>D>

66

B C>F>G>A>B>D>

44

D E>F>C>B>D>A>

71

F A>D>C>G>E>F>

25

E C>G>A>B>D>E>

11

G E>G>A>D>B>C>

20

B A>D>F>G>E>B>

41

F C>G>D>B>A>E>

35

F E>G>B>C>D>F>

74

C A>E>D>C>G>B>

17

F D>A>C>F>E>B>

19

A E>G>C>D>A>B>

8

F A>E>F>B>C>G>

53

G D>A>G>C>F>B>

22

F E>G>D>A>B>C>

14

D A>F>B>E>G>D>

81

E D>B>A>F>E>G>

10

F E>G>F>A>D>C>

80

de

de

78

C A>G>B>E>F>D>

85

C D>B>E>C>G>A>

58

B E>G>F>C>A>B>

61

C A>G>F>D>C>E>

95

F D>B>F>A>E>G>

36

D F>A>D>B>E>G>

24

B A>G>F>D>E>B>

56

C D>B>F>G>E>A>

43

C F>A>E>G>B>C>

50

C B>A>D>C>F>G>

4

C D>C>E>A>F>G>

64

D F>A>G>B>E>D>

28

E B>A>F>C>D>E>

94

B D>C>F>E>B>G>

42

C F>B>A>G>D>E>

34

G B>C>D>F>G>A>

69

A D>E>B>A>G>F>

87

C F>B>C>E>D>A>

84

E B>C>E>A>D>G>

83

A D>E>B>C>A>G>

31

G F>B>D>E>C>G>

63

F B>D>C>E>F>A>

73

F D>E>F>C>B>A>

67

A F>B>D>G>C>A>

68

G B>D>F>A>G>C>

82

G D>E>G>B>A>C>

90

E F>C>A>D>E>B>

38

E B>E>F>A>D>C>

3

F D>F>B>C>A>E>

47

G F>C>D>G>A>B>

86

G B>F>A>E>C>G>

5

G D>F>C>B>E>G>

2

E F>C>G>A>D>B>

21

D B>F>E>D>A>C>

77

A D>G>A>C>F>E>

88

A F>D>A>C>G>B>

37

G B>F>G>D>A>C>

13

B D>G>A>E>B>C>

51

E F>D>E>B>G>A>

75

E B>G>C>F>A>D>

6

F D>G>A>E>F>B>

72

C F>E>D>B>A>C>

7

E B>G>E>A>D>F>

55

C D>G>B>F>A>E>

89

G F>E>G>D>B>C>

33

C B>G>F>C>E>A>

46

C D>G>C>A>F>E>

27

A F>G>A>C>D>B>

45

D C>A>F>B>G>E>

9

B D>G>E>B>C>F>

97

E G>B>D>E>C>A>

80

D C>A>F>G>E>B>

96

A D>G>F>B>C>E>

92

F G>B>F>E>D>C>

52

D C>B>E>G>D>F>

54

A E>A>B>C>F>D>

62

A G>D>B>A>E>C>

81

16

A C>B>F>D>E>G>

12

G E>A>B>G>D>C>

15

F G>D>E>B>F>A>

57

A C>D>A>G>E>F>

18

F E>A>C>D>F>G>

40

C G>E>F>B>A>D>

32

B C>D>E>G>A>F>

91

B E>C>B>D>G>F>

1

C G>F>B>E>D>A>

60

B C>D>F>A>E>B>

23

A E>C>D>F>A>B>

70

C G>F>D>B>A>C>

39

G C>E>B>F>A>G>

29

G E>C>D>F>B>A>

59

D C>E>D>F>B>A>

65

G E>C>F>B>G>A>

G

E

D

A continuación se realiza la votación por combinaciones. El método tiene dos variantes. La primera es elegir a la combinación si gana por mayoría simple y en este caso, en la primera ronda la combinación {D,G} gana. Otra variante es determinar que la combinación debe ganar por mayoría absoluta por lo cual deben hacerse mas rondas para determinar la ganadora. En las votaciones por mayoría absoluta, la combinación ganadora es {C,D} y la alternativa escogida es C > D. Para poder observar la solución del método es necesario tener en cuenta unas notaciones que se utilizaron para abreviar los pasos. Al menos una combinación es eliminada en cada votación. Cuando la combinación es eliminada es marcada y se rellena con un color. Para la siguiente votación, se necesitan distribuir los votos de las combinaciones eliminadas y se hacen teniendo en cuenta a la mejor combinación para la preferencia en el primer lugar en el ordenamiento de cada individuo. Por ejemplo, en la segunda votación, la combinación {B,E} fue eliminada y marcada con color amarillo. Esta había obtenido un voto en la primera ronda, y el

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mismo se distribuye a la combinación {B,F} que corresponde a la segunda mejor opción para ese votante. Como se puede observar, la notación en la segunda ronda para la combinación {B,F} es 8 {B,E,1,38}, lo cual significa en su orden, 8 votos, B,E es la combinación de la que obtuvo el ultimo voto, luego el numero 1 significa que obtuvo 1 voto de esta combinación, y el numero 38 corresponde al numero del votante. Así, se puede observar que la combinación ganadora fue {C,D} porque acumulo 50 votos hasta la ultima ronda, obteniendo la mayoría absoluta. Para desarrollar la totalidad del método, solo es necesario separar las alternativas de la combinación ganadora y realizar el mismo proceso con el resto de alternativas, y de esta forma, ganaran combinaciones que se organizaran justo después de la última combinación ganadora. Con una comparación entre pares es suficiente para saber que alternativa sobre una combinación ganadora es la preferida.

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