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CARTAS DE CONTROL Las cartas de control son la herramienta más poderosa para analizar la variación en la mayoría de los procesos. Han sido difundidas exitosamente en varios países dentro de una amplia variedad de situaciones para el control del proceso. Estas gráficas fueron desarrolladas por el Dr. Shewhart son gráficas poligonales que muestran en el tiempo el estado de un proceso. Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas especiales de variación cuando estas aparecen y reflejan la magnitud de la variación debida a las causas comunes (Las causas comunes o aleatorias se deben a la variación natural del proceso). Las causas especiales o atribuibles son por ejemplo: un mal ajuste de máquina, errores del operador, defectos en materias primas. Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico cuando presenta causas comunes únicamente. Cuando ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible. Cuando existen causas especiales el proceso está fuera de Control Estadístico; las gráficas de control detectan la existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo cual permite que podamos tomar acciones al momento. Las gráficas de control se usan entre otras cosas: • • •

Para verificar que los datos obtenidos poseen condiciones semejantes. Para observar un proceso productivo, a fin de poder investigar las causas de un comportamiento anormal. Al distinguir entre las causas especiales y las causas comunes de variación, dan una buena indicación de cuándo un problema debe ser corregido localmente y cuando se requiere de una acción en la que deben de participar varios departamentos o niveles de la organización.

Existen diferentes gráficas de control en función de la variable a observar y del proceso a controlar. El proceso a controlar puede depender de una variable o de características llamadas atributos. Recordemos la diferencia entre una variable y un atributo. En Control de Calidad mediante el término variable se designa a cualquier característica de calidad “medible” tal como una longitud, peso, temperatura, etc. Mientras que se denomina atributo a las características de calidad que no son medibles y que presentan diferentes estados tales como conforme y disconforme o defectuoso y no defectuoso. Según sea el tipo de la característica de calidad a controlar así será el correspondiente tipo de Gráfico de Control a obtener: Preparado por: IQI María Guadalupe cadenas Trejo

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• •

Cartas de control por variables Cartas de control por atributos

Las Gráficas de control más utilizadas son las siguientes: Por variables

Carta X −R X −S

X-Rm

Descripción Campo de aplicación. Medias y Rangos Control de características individuales. Medias y desviación estándar. Control de características individuales. Control de un proceso con datos variables que no Mediciones y rangos móviles pueden ser muestreados en lotes o grupos.

Por atributos Carta p np c u

Descripción Proporción Número de defectuosos Defectos Promedio de defectos por unidad

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Campo de aplicación. Control del porcentaje de unidades defectuosas. Control del número de piezas defectuosas. Control de número global de defectos por unidad. Control del promedio de defectos por unidad.

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CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES Cartas de control X -R (Medias y rangos)

Paso 1: Colectar los datos. Variables a considerar. La elección se basa en el propósito de reducir o impedir los rechazos, los costos, el desperdicio, el reproceso, etc. Elegir algo que pueda ser medido y expresado en números: dimensiones, dureza, fragilidad, resistencia, peso, etc. Elección del tamaño y la frecuencia de la obtención de los datos representativos. Los datos son el resultado de la medición de las características del producto, los cuales deben de ser registrados y agrupados de la siguiente manera: •

Se toma una muestra (subgrupo) de 2 a 10 piezas consecutivas (Shewhart sugiere 4) sin embargo es muy común utilizar 5 y se anotan los resultados de la medición. Durante un estudio inicial, los subgrupos pueden ser tomados consecutivamente o a intervalos cortos para detectar si el proceso puede cambiar o mostrar inconsistencia en breves periodos de tiempo. Algunos recomiendan que el intervalo sea de ½ a 2 hrs., ya que más frecuentemente puede representar demasiado tiempo invertido, y si es menos frecuente pueden perderse eventos importantes que sean poco usuales.

Elección de cuantos subgrupos tomar. Mientras menor sea el número de subgrupos que tomemos, más pronto tendremos una idea para actuar, pero menor será la seguridad de que esta base sea confiable. Es conveniente tener al menos 25 subgrupos; la experiencia indica que las primeras muestras pueden no ser representativas de lo que se mide posteriormente. Paso 2: Calcular el promedio Xiy Ri para cada subgrupo n

Xi =

∑ Xi i =1

n

Xi= promedio de un subgrupo

Xi= Valor de la variable medida. n = Tamaño de la muestra

Ri = Valor max − Valor min

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Paso 3: Calcular el promedio de rangos

X=

∑X

i

Ry el promedio de promedios

R=

k

∑R

.X

i

k

Paso 4: Calcular los límites de control. Los límites de control son calculados para determinar la variación de cada subgrupo, están basados en el tamaño de los subgrupos y se calculan de la siguiente forma: Límites de control para X

Límites de control para R

UCLx = X + A 2 R

Línea Central = X

UCLR = D 4 R Línea Central = R

LCLX = X − A 2 R

LCLR = D 3 R

Paso 5: Trazar la gráfica de control. Una carta de control X-R nos presenta dos gráficos en una hoja, la grafica superior es la de las medias X y la grafica inferior es la de rangos R. En el eje de las “x” se representa el número de subgrupos (se anotan los números cardinales que representan las muestras sucesivas). En el eje de las “y” se representan los valores de las medias ó rangos según corresponda a la gráfica que estemos trazando. Para la gráfica para las medias La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLx, línea central CLx y límite de control superior UCLx. La línea central es el promedio de promedios y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar. Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor X.i Para la gráfica de Rangos La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLRm, línea central CLRm y límite de control superior UCLRm. La línea central es el promedio de los rangos y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar. Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor Ri. Preparado por: IQI María Guadalupe cadenas Trejo

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1.- En la producción de porta engranes se tomaron 30 muestras de tamaño 5 y se midió el diámetro a continuación se muestran los datos. Construya la Carta de Control X-R e interprete la misma.

No de muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Datos en 1/10000 in A

B

C

D

E

583 584 584 584 583 582 583 583 582 583 583 584 583 585 586 584 583 583 583 582 584 583 584 583 583 583 583 582 583 583

584 583 583 584 583 583 583 583 582 582 583 583 582 582 583 583 584 583 583 585 584 583 583 583 583 583 582 582 583 584

584 584 583 584 583 583 584 584 584 583 583 585 585 585 584 583 583 584 585 584 584 582 585 583 584 582 582 583 585 583

584 583 583 583 585 583 583 583 583 583 584 585 585 585 584 584 585 585 583 585 583 583 586 582 583 582 583 583 584 583

584 583 584 585 582 583 584 583 583 583 585 585 585 585 583 585 583 583 583 583 582 583 584 584 583 583 582 584 584 584

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2.- Construya la Carta de Control X-R e interprete la misma.

Datos según escala

No de muestra

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2.5 0.0 1.5 0.0 0.0 1.0 1.0 0.0 -2.0 -0.5 0.0 0.0 -1.0 0.5 1.0

0.5 0.0 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -1.5 3.5 1.5 -2.0 -0.5 1.0 0.0

2.0 0.5 1.0 -2.0 0.0 0.0 -1.0 -0.5 1.5 0.0 0.0 -0.5 -0.5 -1.0 1.5

-1.0 1.0 -1.0 0.0 -0.5 0.0 -1.0 1.5 1.5 -1.0 0.0 0.0 -1.0 -0.5 1.5

1.0 1.5 0.0 -1.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.5 2.0 -0.5 0.0 -2.0 1.0

-1.0 1.0 -1.5 1.5 1.0 0.5 1.5 0.0 0.0 -1.5 -1.5 2.0 0.5 -1.0 -1.0

0.5 -1.0 -1.0 -1.5 -0.5 -1.0 0.0 0.0 0.5 -1.0 0.5 1.5 0.5 -1.5 0.0

1.5 1.0 -1.0 0.0 -0.5 1.0 1.0 -1.0 1.0 -1.0 -0.5 0.0 -1.5 0.0 1.0

0.5 1.5 1.0 -2.0 0.0 -2.0 0.0 0.5 0.0 1.0 2.0 0.5 -1.0 1.5 -2.0

-1.5 -1.0 -1.0 -1.5 0.0 1.0 0.0 -0.5 1.0 0.5 -1.0 -1.0 -1.0 1.5 -1.5

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Cartas de control

X

-s

(Medias y desviaciones estándar) El procedimiento para realizar las cartas de control X - s es similar al de las cartas de X -R la diferencia consiste en que el tamaño de la muestra puede variar y es mucho más sensible para detectar cambios en la media o en la variabilidad del proceso. La grafica X monitorea el promedio del proceso para vigilar tendencias y la grafica s monitorea la variación en forma de desviación estándar. Paso 1: Colectar los datos En este paso se siguen las mismas consideraciones que en la construcción de los gráficos, solo que aquí el tamaño de muestra n es recomendable que sea mayor a 9. Paso 2: Calcular el promedio Xi y la desviación estándar (si) para cada subgrupo n

Xi =

∑X

Xi= promedio de un subgrupo i

i =1

Xi= Valor de la variable medida.

n n = Tamaño de la muestra

n

∑ (X

si =

− X)

2

i

si = Desviación estándar de un subgrupo

i =1

n −1

Paso 3: Calcular la desviación estándar promedio

X=

∑X k

k

X

X = Promedio de promedios

i

∑s s=

sy el promedio de promedios

X i = Promedio del subgrupo i k = Número de subgrupos i

s = Desviación estándar promedio si = Desviación estándar del subgrupo i

Paso 4: Calcular los límites de control. Límites de control para X

Límites de control para s

UCLx = X + A 3 * s Línea Central = X LCLx = X − A 3 * s Preparado por: IQI María Guadalupe cadenas Trejo

UCLs = B 4 * s Línea Central = s LCLs = B3 * s

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Paso 5: Trazar la gráfica de control. Una carta de control X -s nos presenta dos gráficos en una hoja, la grafica superior es la de las medias X y la grafica inferior es la de las desviaciones estándar. En el eje de las “x” se representa el número de subgrupos (se anotan los números cardinales que representan las muestras sucesivas). En el eje de las “y” se representan los valores de las medias ó desviaciones estándar según corresponda a la gráfica que estemos trazando. Para la gráfica para las medias La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLx, línea central CLx y límite de control superior UCLx. La línea central es el promedio de promedios y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar. Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor X. i Para la gráfica de desviaciones estándar La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLs, línea central CLs y límite de control superior UCLs. La línea central es el promedio de los rangos y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar. Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor si .

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3.- Construya la Carta de Control X-S e interprete la misma. Datos según escala

No de muestra

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2.5 0.0 1.5 0.0 0.0 1.0 1.0 0.0 -2.0 -0.5 0.0 0.0 -1.0 0.5 1.0

0.5 0.0 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -1.5 3.5 1.5 -2.0 -0.5 1.0 0.0

2.0 0.5 1.0 -2.0 0.0 0.0 -1.0 -0.5 1.5 0.0 0.0 -0.5 -0.5 -1.0 1.5

-1.0 1.0 -1.0 0.0 -0.5 0.0 -1.0 1.5 1.5 -1.0 0.0 0.0 -1.0 -0.5 1.5

1.0 1.5 0.0 -1.0 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 -1.5 2.0 -0.5 0.0 -2.0 1.0

-1.0 1.0 -1.5 1.5 1.0 0.5 1.5 0.0 0.0 -1.5 -1.5 2.0 0.5 -1.0 -1.0

0.5 -1.0 -1.0 -1.5 -0.5 -1.0 0.0 0.0 0.5 -1.0 0.5 1.5 0.5 -1.5 0.0

1.5 1.0 -1.0 0.0 -0.5 1.0 1.0 -1.0 1.0 -1.0 -0.5 0.0 -1.5 0.0 1.0

0.5 1.5 1.0 -2.0 0.0 -2.0 0.0 0.5 0.0 1.0 2.0 0.5 -1.0 1.5 -2.0

-1.5 -1.0 -1.0 -1.5 0.0 1.0 0.0 -0.5 1.0 0.5 -1.0 -1.0 -1.0 1.5 -1.5

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Cartas de Control (X-Rm) (Mediciones individuales y rangos móviles) En muchas situaciones el tamaño de la muestra para monitorear el proceso es n=1; es decir la muestra consta de una unidad individual. Algunos ejemplos de estas situaciones son: Las mediciones repetidas del proceso difieren únicamente por el error de laboratorio o de análisis, como en muchos procesos químicos. En otras palabras cuando la característica a medir es relativamente homogénea. El principal objetivo de este tipo de grafico es estimar la variabilidad debida a causas especiales cuando se presentan lecturas individuales que constituyen tendencias. Procedimiento para la construcción del gráfico. Paso 1: Colectar los datos Paso 2: Calcular el promedio de los datos. k

X=

∑X

i

i =1

Xi= Valor de la medición en el lote o tanda. k= Numero de subgrupo (lote o tanda)

k

Paso 3: Calcular los rangos móviles.

Rmi = Xi − Xi − 1

Xi= Valor de la medición i en el lote ( i es un contador) Xi-1= Valor de la medición i-1 en el lote

Paso 4: Calcular el promedio de los rangos móviles. k

Rm =

∑ Rm

i

i=2

k

Paso 5. Calcular los límites de control Para el grafico de mediciones individuales  

Rm     d2 

UCL = X + 3 *  CL = X

 

Rm     d2 

LCL = X − 3 * 

Para el grafico de rangos móviles

UCLRm = D 4 * Rm CLRm = Rm LCLRm = D 3 * Rm

Nota: Los valores de las constantes d2, D3 y D4 se toman para n=2

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Paso 6: Trazar la gráfica de control. La gráfica superior es la de observaciones individuales y la grafica inferior es la de rangos móviles Rm. En el eje de las “x” se representa el número de subgrupos (se anotan los números cardinales que representan las muestras sucesivas). En el eje de las “y” se representan los valores individuales ó rangos móviles según corresponda a la gráfica que estemos trazando. Para la gráfica de valores individuales La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLx, línea central CLx y límite de control superior UCLx. La línea central es el promedio de las mediciones individuales y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar. Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor Xi . Para la gráfica de Rangos móviles La grafica consiste en tres líneas de guía: Límite de control inferior LCLRm, línea central CLRm y límite de control superior UCLRm. La línea central es el promedio de los rangos móviles y los dos límites de control son fijados más o menos a tres desviaciones estándar. Cada subgrupo se identifica en la gráfica como un punto, un círculo o una cruz según se establezca, cada punto corresponde a un valor Rmi . (Nota: solo tomamos desde el valor del segundo lote o tanda ya que el primero no genera rango móvil).

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Ejemplo en con el uso de excel.

Paso 3

Rmi = Xi − Xi − 1 k

Paso 4

Rm =

∑ Rm

i

i=2

k

 

Rm    d 2  

UCL = X + 3 *  CL = X

k

Paso 2

X=

∑X

i

i =1

Paso 5

k

 

Rm     d2 

LCL = X − 3 * 

UCLRm = D 4 * Rm CLRm = Rm LCLRm = D 3 * Rm

Nota: Los valores de las constantes son los correspondientes a n=2 Paso 6 Seleccionar las columnas de UCLx CLx, y LCLx y la columna de los valores individuales Xi e insertar un grafico de líneas 2 D. Seleccionar las columnas de UCLRm CLRm, y LCLRm y la columna de los valores de rangos móviles Rmi e insertar un grafico de líneas 2 D.

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5.- Se mide la pureza de un producto químico en cada lote. Las determinaciones de la pureza para 20 lotes sucesivos se muestran abajo. Elaborar un gráfico de control de Mediciones individuales y rangos móviles Lote

Pureza

1

0.81

2

0.82

3

0.81

4

0.82

5

0.82

6

0.83

7

0.81

8

0.8

9

0.81

10

0.82

11

0.81

12

0.83

13

0.81

14

0.82

15

0.81

16

0.85

17

0.83

18

0.87

19

0.86

20

0.84

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6.- Se desea controlar la concentración (g/ml) de un ingrediente activo de un blanqueador líquido producido con un proceso químico. Elaborar un gráfico de control de Mediciones individuales y rangos móviles. Observación

Concentración (g/ml)

1

60.4

2

69.5

3

78.4

4

72.8

5

78.2

6

78.7

7

56.9

8

78.4

9

79.6

10

100.8

11

99.6

12

64.9

13

75.5

14

70.4

15

68.1

16

99.9

17

59.3

18

60

19

74.7

20

75.8

21

76.6

22

68.4

23

83.1

24

61.1

25

54.9

26

69.1

27

67.5

28

69.2

29

87.2

30

73

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