CORPORACION UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR CUN DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS: MATEMATICAS ACTIVIDAD ACADEMICA: FUNDAMENTOS MATEMATICOS DOCENTE: LIC- ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA UNIDAD N°3: FACTORIZACION

FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como la multiplicación de dos o más expresiones algebraicas. Para facilitar la comprensión de estos se clasifican en tres casos fundamentales: factorización de binomios, de trinomios y de polinomios.

CASO I: FACTORIZACION DE BINOMIOS Recuérdese que un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos 1. 1 DIFERENCIA DE CUADRADOS En algebra un cuadrado es un término que tiene raíz cuadrada o está elevado a una potencia par. Una diferencia de cuadrado se asemeja a una expresión de la forma a 2 b.

b 2 , cuyas respectivas raíces son a y

Características: Tienen dos términos El signo que los separa siempre es menos Las potencias de letras están elevadas con números pares 2, 4, 6… Tiene raíz cuadrada exacta el primer término Tiene raíz cuadrada exacta el segundo término Para factorizar una diferencia de cuadrado se toma el producto de la suma por la diferencia de dichas raíces. 2 Simbólicamente: a

b2

2 Ejemplo: Factorizar 16 x

(a

b )( a

b)

9 Solución

9 3 Extraigo la raíz cuadrada a ambos términos 16 x 2 4x Luego se escriben la suma y la diferencia de estas raíces entre paréntesis (4x+3)(4x-3). 2 Luego 16 x

9

(4x

3 )( 4 x

3)

1. 2 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS En el lenguaje algebraico un cubo es una expresión que tiene raíz cúbica o está elevada a una potencia múltiplo de 3. Características: Tienen dos términos El signo que los separa puede ser + ó Las potencias de letras están elevadas con números múltiplos de 3, 6, 9… Tiene raíz cúbica exacta el primer término Tiene raíz cúbica exacta el segundo término

Una suma o diferencia de cubo tienen la forma a 3 factoriza así

a3

b3

(a

b )( a 2

ab

b2 )

a3

b3

(a

b )( a 2

ab

b2 )

Ejemplo: Factorizar 8 x 3

b 3 o a3

b 3 . Una expresión de este tipo se

125 Solución 3

Se extrae la raíz cúbica de os términos 8 x 3 2x Aplico la fórmula de factorización para una resta de cubos

a3 8x

b3

(a

b )( a 2

ab

3

125

( 2x

5) ( 2x )

8x 3

125

( 2x

5 )( 4 x 2

Ejemplo: Factorizar 64 x

b 2 ) para este caso a = 2x 2 x.5

2

10 x

y

125

5

b=5

2

25 )

y

6

5

3

3

Solución Se extrae la raíz cúbica de os términos

3

64x 6

4x 2

3

y3

y

Aplico la fórmula de factorización para una suma de cubos

a3

b3

64 x

6

64 x

6

(a

b )( a 2

y

3

y

3

b 2 ) en este caso a = 4x2

ab

(4x

2

y ) (4x )

(4x

2

y )( 16 x

4 x .y

2 2

y

2

4 xy

4

b=y

2

y ) 2

1.3 SUMA O DIFERENCIA DE n POTENCIAS Se tendrán en cuenta tres situaciones específicas n A. a

bn

(a

b )( a n 1

an 2 b

an 3 b 2

...

ab n 2

bn 1 )

n par o impar

n B. a

bn

(a

b )( a n 1

an 2 b

an 3 b 2

...

ab n 2

bn 1 )

n par

n C. a

bn

(a

b )( a n 1

an 2 b

an 3 b 2

...

ab n 2

bn 1 )

n impar

7 Ejemplo: Factoriza x

128

Solución La potencia es 7, se busca una cantidad que elevada a la séptima potencia sea igual a 128, en este caso es 2, luego:

x7

128

x7

an

bn

(a

x7

128

x7

x7

128

x7

27 , los exponentes son impares se compara con b )( a n 1

an 2 b

an 3 b 2

27

(x

2 )( x 6

x 5 .2

27

(x

2 )( x 6

2x 5

...

ab n 2

bn 1 )

x 4 .2 2

x 3 .2 3

x 2 .2 4

4x 4

8x 3

16 x 2

32x

x.2 5

26 )

64 )

CASO II: FACTORIZACION DE TRINOMIOS Recuerdes que un trinomio es una expresión algebraica que consta de tres términos 2.1 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio es cuadrado perfecto cuando cumple dos condiciones: Dos de sus términos son cuadrados El otro término corresponde al doble producto de las dos raíces

x2

Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma

2.x .y

y 2 , para su factorización, se toman las

raíces x e y, y su suma o diferencia se eleva al cuadrado 2 Simbólicamente: x

2.x.y

Ejemplo: Factorizar x 2

y2

10 x

(x

y )2

25

Solución Se ordena al polinomio. Se observa si dos de sus términos tienen raíz cuadrada, este caso x

25

2

y 25,

analiza

x2

x

5 2,

Veamos si el segundo término 10x corresponde al doble producto de las dos raíces. Se 2 2 multiplican estas dos raíces 5. x = 5x , este resultado se multiplica por 2, 2 2 o sea 2. 5x = 10x , que efectivamente corresponde al segundo término ya mencionado Con esto ya se confirma que el trinomio es cuadrado perfecto y se procede a factorizar según su caso 2 Luego x

10 x

(x

5)2

2.2 TRINOMIO DE LA FORMA x 2

bx

25

c

Características: Tienen tres términos -

No tiene numero delante del término x 2

Para factorizar un trinomio de esta forma, se buscan dos números m y n que multiplicados den como resultado el valor c y sumados algebraicamente den la cantidad b 2 Simbólicamente: x

bx

2 Ejemplo: Factorizar x

Debe

ordenarse

trinomio x

2

4x

el

c

4x

(x

m )( x

n)

12

trinomio

en

12 , corresponde a x

Se le extrae la raíz a la parte literal

Solución descendente.

forma

x2

bx

2

Luego

se

si

la

forma

del

c

x , se colocan paréntesis (x +

+, es el signo del segundo término y el signo

observa

-,

)(x -

), en donde el signo

resulta de aplicar la ley del signo entre el segundo y

tercer término +.-=Ahora se buscan divisores del término independiente en este caso 12 (1,2,3,4,6,12), se toman dos de ellos que sumados algebraicamente den 4 y multiplicados den -12 Los números que cumplen esta condición son 6 y 2, observe 6 - 2 = 4 Luego x

2

4x

12

(x

6 )( x

(6). (-2)=-12

2)

NOTA: se hace necesario colocar el mayor de los números en el primer paréntesis. 2 2.3 TRINOMIO DE LA FORMA ax

Características:

bx

c

-

Tienen tres términos

-

Si tiene numero delante del x 2

En este trinomio se observa la presencia del coeficiente a en el término cuadrado, la idea central es llevarlo a uno de la forma x 2

ax 2

bx

a x 2

c

bx

b.ax a

2

Ejemplo: Factorizar 6 x 2 Solución

c , multiplicando y dividiendo por el coeficiente a

a.c

7x

2

Se multiplica y se divide al mismo tiempo al trinomio por el coeficiente 6

6x2

7x

6(6 x 2

2

7x

2)

36 x 2

7.( 6 x ) 6

6

12

, el segundo término se deja indicado.

se extrae raíz cuadrada a 36 x 2 6 x y se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7, dichos números son 3 y 4

6x2

7x

6(6 x 2

2

7x

2)

36 x 2

6

7.( 6 x ) 6

12

(6 x

4 )( 6 x 6

3)

,

Se observa que 6x+4, tienen un divisor común que es 2 y que 6x+3, tienen por divisor común a 3, se dividen cada expresión de estas entre su divisor común y se obtiene 6x+4 ÷ 2 = 3x+2 y de otro lado 6x+3÷3=2x+1 Ahora se elimina al 6, escribiéndolo como el producto de dos números

(6 x

2 Luego 6 x

4 )( 6 x 6 7x

2

3)

2( 3x

2 ) .3( 2 x 2 3

( 3x

2 )( 2 x

1)

1)

( 3x

2 )( 2 x

1)

2. 4. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION. Este caso lo que pretende es que un trinomio con una característica especifica, que aparentemente no es cuadrado perfecto, mediante una suma y resta se le convierta en este. 4 Ejemplo: factorizar 4 x

8x 2y 2

9y 4 Solución

Se observan que los términos 4x 4 , tiene por raíz cuadrada 2x 2 2 2 doble producto es 2.2 x .3y

4 2 y 9y , tiene raíz cuadrada 3y , el

12x 2 y 2 ; luego este trinomio no es cuadrado perfecto porque su segundo

2 2 término es 8 x y . 2 2 2 2 2 2 Para que 8 x y se convierta en 12 x y , se le suma 4 x y y para que el trinomio no varíe le restamos

4 x 2 y 2 y se tiene:

Se factoriza al trinomio cuadrado perfecto

(4x 4

12x 2 y 2

9y 4 )

4x 2y 2

( 2x 2

3y 2 ) 2

4x 2y 2

3y 2 ) 2

4x 2y 2

Se factoriza la diferencia de cuadrado

(4x 4

12x 2 y 2

9y 4 )

4x 2y 2

( 2x 2

( 2x 2

3y 2

2 xy )( 2 x 2

3y 2

2 xy )

4 Luego 4 x

8x 2y 2

9y 4 = ( 2 x 2

3y 2

2 xy )( 2 x 2

3y 2

2 xy )

CASO III: FACTORIZACION DE POLINOMIOS

Recuerde que un polinomio es una expresión formada por varios términos 3. 1. FACTOR COMUN Un factor común es un elemento que aparece al mismo tiempo en varios términos. El factor común puede ser una(s) letra(s), un número o ambos. Ejemplo: factorizar x 6

5x 5

2x 4

7x 3

Solución En este caso el elemento común es la letra x, se toma como factor común la de menor exponente, en 2 este caso x , luego se colocan como factores y se divide cada término del polinomio entre el factor común

x6

5x 5

2x 4

7x 3

x2(x4

8 3 Ejemplo: factorizar 12x y

5x 3

6 x7 y 5

2x 2

7x)

36 x 6 y 6

24 x 4 y 7 Solución

Se observa que el factor común es un número y una letra, el número es el máximo común divisor M.C.D 4 3 de los coeficientes 12, 6, 36, 24, que en este caso es 6; y el factor literal son las letras x y Luego al factorizar queda

12x 8 y 3

6 x7 y 5

36 x 6 y 6

24 x 4 y 7

6 x 4 y 3 ( 2x 4

x 3y 2

6 x 2y 3

4y 4 )

3.2. FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS En ocasiones se tienen polinomios en los que no se observa el factor común en cada uno de ellos, pero si se agrupan algunos entre si es posible encontrar términos comunes. 2 Ejemplo: factorizar 2 x

3 xy

4x

6y

Solución Se observa que los dos primeros términos tienen el factor literal numérico 2

2x 2

3 xy

4x

6y

x( 2 x

3y )

2( 2 x

2x 2

3 xy

4x

6y

x( 2 x

3y )

2( 2 x

Luego 2 x

2

3 xy

4x

6y

( 2x

3y )( x

común x y los dos últimos el factor

3y ) , intercambiando los signos en el segundo factor 3y ) , se observa el factor común 2x – 3y 2)

3.3 FACTORIZACION POR DIVISION SINTÉTICA 4

3

Ejemplo: Factorizar 2x + x − 8x

2

−x+6 Solución

1. Se toman los divisores del término independiente 6: ±1, ±2, ±3. 2. Aplicando el teorema del resto se buscan para que valores la división es exacta. En este caso para x = 1 P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0 3. Se aplica división sintética

4. Por ser la división exacta, 3 2 (x −1) · (2x + 3x − 5x − 6 ) Se continúa realizando las mismas operaciones al segundo factor. Se vuelve a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5 · 1 − 6≠ 0 P(−1) = 2 · (− 1)3 + 3 ·(− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

2

(x −1) · (x +1) · (2x +x −6) El tercer factor se puede encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como se ha venido haciendo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras. El 1 lo se descarta y se sigue probando por − 1. P(−1) = 2 · (−1)2 + (−1) − 6 ≠ 0 P(2) = 2 · 22 + 2 − 6 ≠ 0 P(−2) = 2 · (−2)2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x + 2) · (2x −3 ) Luego la factorización del polinomio queda:

2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = (x −1) · (x +1) · (x + 2) · (2x −3)