2009 CETis 63 Ing. Gerardo Sarmiento Díaz de León

[FACTORIZACION DE POLINOMIOS] Documento que enseña como factorizar polinomios

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Para factorizar polinomios hay varios métodos: 1. Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice: a.( x  y)  a.x  a. y

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión a.x  a. y , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que a.x  a. y  a.( x  y)

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión 36 x 2  12 x 3  18x , será 36 x 2  12 x 3  18x  6 x(6 x  2 x 2  3) donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18 Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda. 2 2 Otro ejemplo: Factorizar 4a b  2ab  6ab

4a 2 b  2ab  6ab 2  2ab(2a  1  3b) ¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto 4a 2 b  2ab  6ab 2  2ab(2a  3b) y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da 2ab(2a  3b)  4a 2 b  6ab 2 pero no 4a 2 b  2ab  6ab 2 como me tendría que haber dado. 2 2 Sin embargo si efectúo 2ab(2a  1  3b)  2ab.2a  2ab.1  2ab.3b  4a b  2ab  6ab

Otros ejemplos:





3x 2  6 x  9 x 4  3x x  2  3x 2 4 2   2 x 3  x 2  2 x  2 x x 2  x  1 3 3  

2. Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia. Se basa en la siguiente fórmula

a  ba  b  a 2  b 2 2 2 Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice a  b escribo

a 2  b 2  a  ba  b

Otros ejemplos de factorización por este método: 4 x 2  1  2 x  12 x  1





x 4  16  x 2  4 x 2  4



a 4b  a 2b  a 2b         4 9  2 3  2 3  2

2

3. Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio Se basa en las siguientes fórmulas

a  b2  a 2  2ab  b 2

y

a  b2  a 2  2ab  b 2

2 2 Así si nos dicen que factoricemos: a  2ab  b , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

a 2  2ab  b 2  a  b

2

Otros ejemplos de factorización por este método: 4 x 2  9  12 x  2 x  3

2

x 2  10 x  25  ( x  5) 2 1 1   2x  4x 2    2x  4 2 

2

4. Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo ax  bx  c , siendo a, b y c números 2

 b  b 2  4ac x 2 2a Se iguala el trinomio a cero ax  bx  x  0 , se resuelve la ecuación , y si tiene dos 2 soluciones distintas, x1 y x 2 se aplica la siguiente fórmula: ax  bx  c  ax  x1 x  x2  2 Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio 2 x  5x  3 2 Igualamos a cero 2 x  5x  3  0

x

 5  25  24  5  7 2 1  x1   4 2, 4 4 , y separando las dos soluciones

Resolvemos la ecuación  12 x2   3 4 , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2 1  2 x 2  5 x  3  2 x  x  3 2 

5. Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero. 4 3 2 Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado ax  bx  cx  dx  e tiene cuatro raíces enteras, x1 , x 2 , x3 y x 4 se factoriza así:

ax 4  bx 3  cx 2  dx  e  ax  x1 x  x2 x  x3 x  x4 

Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini 4 3 2 Ejemplo: Factorizar x  4 x  x  16 x  12 Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12

Probemos con uno Se copian los coeficientes del polinomio: 1

-4

-1

16

-12

Y se escribe en una segunda línea el número uno

1

-4

-1

16

-12

16

-12

1

El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea 1

-4

-1

1 1 Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4 1 1

-4 1

-1

16

-12

1 Se suma –4+1=-3 1

-4 -1 16 1 1 1 -3 Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1

-12

1

-4 1 1 -3 Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente 1

-1 -3

16

-12

1

-4 -1 16 -12 1 -3 -4 12 1 1 -3 -4 12 0 Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar. Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12. Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división. Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que Dividendo=Divisor x Cociente+Resto







3 2 3 2 x 4  4 x 3  x 2  16 x  12 = x  1 x  3x  4 x  12  0 = x  1 x  3x  4 x  12



De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini. Aplicando sucesivas veces esta regla queda: 1 1 1 2 1 -2 1

-4 1 -3 2 -1 -2 -3

-1 -3 -4 -2 -6 6 0

16 -4 12 -12 0

-12 12 0

Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3 La factorización final es: x 4  4 x 3  x 2  16 x  12 = x  1x  2x  2x  3

Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales. EN RESUMEN Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, sobre todo, si se puede sacar factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno de los factores se puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica.

EJEMPLOS: Factorizar los siguientes polinomios 3 2 1.- x  2 x  x

Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común x 3  2x 2  x  x x 2  2x  1 El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda: 2 x 3  2 x 2  x  x x 2  2 x  1 = xx  1









5 2.- 3x  48x



5 4 Primero sacamos factor común: 3x  48x  3x x  16











5 4 2 2 Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y queda: 3x  48x  3x x  16 = 3x x  4 x  4 Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método: 3x 5  48x  3x x 2  4 x 2  4 = 3xx  2x  2 x 2  4













El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si probamos el cuarto 2 método, igualando a cero y resolviendo la ecuación queda x  4  0 x 2  4 x    4 que no tiene solución real. 3 2 3.- x  12 x  41x  30

Sólo podemos aplicar el quinto método, o sea Ruffini: 1

-12 1 -11 5 -6

1 1 5 1

41 -11 30 -30 0

-30 30 0

x 3  12 x 2  41x  30 = x  1x  5x  6 2 4.- 3x  15x  18

Primero sacamos factor común



2 3x 2  15x  18 = 3 x  5x  6

 x

Igualamos a cero el paréntesis y resolvemos la ecuación: –2, por tanto la factorización completa es: 3x 2  15x  18 = 3x  3x  2

 5  25  24 2 que origina dos soluciones, -3 y

Factorizar y calcular las raíces de los polinomios x3 + x2 2x4 + 4x2 x2 − 4 x4 − 16 9 + 6x + x2 x4 − 10x2 + 9 x4 − 2x2 + 3 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 2x3 − 7x2 + 8x − 3 x3 − x2 − 4 x 3 + 3 x 2 −4 x − 1 2 6x3 + 7x2 − 9x + 2 Fa c t o r iz a r lo s po lino m io s 1 9x4 − 4x2 = 2 x5 + 20x3 + 100x = 3 3x5 − 18x3 + 27x = 4 2x3 − 50x = 5 2x5 − 32x = 6 2x2 + x − 28 = D esc o m p o ner e n fa c t o r es lo s p o lino mio s

xy − 2x − 3y +6 = 25x2 − 1= 36x6 − 49 = x2 − 2x +1 = x2 − 6x +9 = x2 − 20x +100 = x2 + 10x +25 = x2 + 14x +49 = x3 − 4x2 + 4x = 3x7 − 27x = x2 − 11x + 30 3x2 + 10x +3 2x2 − x −1