Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

POLINOMIOS. OPERACIONES. FORMULAS DE NEWTON. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS. FRACCIONES ALGEBRAICAS. Índice 1. INTRODUCCIÓN.......................................................................................................................................................................................1 2. EL ANILLO DE POLINOMIOS..................................................................................................................................................................2 Anillo de polinomios de r indeterminadas con coeficientes en un anillo A..............................................................................................2 Valoración polinomial...............................................................................................................................................................................3 Polinomio de una variable o indeterminada..............................................................................................................................................4 Operaciones con polinomios de una variable............................................................................................................................................4 El espacio vectorial de los polinomios de una variable.............................................................................................................................7 Formula de Newton...................................................................................................................................................................................7 3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS..........................................................................................................................................................8 División entera de polinomios...................................................................................................................................................................8 Ideales de polinomios..............................................................................................................................................................................10 Máximo común múltiplo y mínimo común múltiplo..............................................................................................................................11 Polinomios primos entres si.....................................................................................................................................................................13 Polinomios irreducibles...........................................................................................................................................................................14 Ceros de polinomios................................................................................................................................................................................16 Los anillos K[x] / p(x)............................................................................................................................................................................18 4. Fracciones algebraicas.............................................................................................................................................................................19 El cuerpo de las fracciones del anillo de polinomios..............................................................................................................................19 Fracciones propias y fracciones simples. Descomposición en fracciones simples.................................................................................20 5. CONCLUSIÓN..........................................................................................................................................................................................22

1. INTRODUCCIÓN. La utilización de los polinomios tiene sus antecedentes en la resolución de ecuaciones algebraicas, que a pesar de su profundización y estudio por los matemáticos italianos a partir del siglo XV, el estudio de ecuaciones sencillas es muy antiguo, puesto que se conocen problemas propuestos en papiros y tablillas de las antiguas civilizaciones griegas y babilónicas. El simbolismo usado en los polinomios y ecuaciones se ha ido elaborando a lo largo de la historia y no tomo su forma actual hasta el siglo XIX. Desde el siglo XVI, se conocen fórmulas para resolver algebraicamente ecuaciones de hasta cuarto grado, gracias a Matemáticos como Cardano o Tartaglia. Sin embargo, el intento de resolver algebraicamente ecuaciones de grado mayor que generó frustración en muchos matemáticos, pero también potenció la generación de resultados teóricos interesantes, con la contribución de Matemáticos como Descartes o Ruffini.

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A partir de la demostración de Abel de que no puede haber fórmulas generales para la resolución de ecuaciones polinómicas de quinto grado, se comenzó a gestar la teoría de Galois, que estudia detalladamente las relaciones entre las raíces y polinomios. Actualmente, los polinomios y las funciones polinomiales se utilizan en la mayoría de las ramas científicas o sociales, ya que resuelven infinidad de problemas de nuestro entorno, y por supuesto su utilización está estrechamente relacionado con todas las disciplinas matemáticas: Álgebra, Geometría, Estadística, etc.

2. EL ANILLO DE POLINOMIOS. Anillo de polinomios de r indeterminadas con coeficientes en un anillo A Si A es un anillo unitario y r es un número natural, se puede construir un único anillo unitario conmutativo B (salvo isomorfismos) denominado Anillo de polinomios de r indeterminadas con coeficientes en A y r elementos X 1 , X 2 ,..., X r de B, f ∈B se escribe de manera única como una suma:

tal que A es subanillo de B y cada elemento r

f =∑

∏

i=0 v1v 2...v r=i

V1

V2

Vr

a v v ...v  X 1 . X 2  . ....  X r  . 1

2

r

Dicho anillo se representa mediante A [ X 1 , X 2 , . . . , X r ]. # Ejemplo: 3.X 31 . X 22 . X 3∈ ℤ[ X 1 , X 2 , X 3 ] En el caso de r = 1, se denomina polinomio de una variable con coeficientes en el anillo A. Si (A,+,.) es un Anillo unitario conmutativo, podemos tomar por cuestiones didácticas el anillo de polinomios A[X,Y] (r = 2, para r > 2 se puede generalizar) como ejemplo de anillo de varias indeterminadas. Donde cada f ∈ A[X,Y] se representa como: f =a00 . X 0 . Y 0 a10 . X 1 . Y 0 a 01 . X 0 .Y 1...anm . X n . Y m y donde X, Y son las indeterminadas, y a ij ∈ A para todo i = 0, 1, . . . , n; j = 0, 1, ... , m. Si definimos las operaciones SUMA (+) y PRODUCTO (.) de polinomios en A[X,Y], donde para cada 0 0 1 0 n m 0 0 1 0 n m f =a00 . X . Y a 10 . X . Y ...anm . X .Y , g =b 00 . X .Y b10 . X . Y ...a nm . X . Y ∈ A[ X , Y ] es:

f g =a00b00 . X 0 .Y 0a 10b 10. X 1 .Y 0... anmb nm f.g =a 00 . b 00. X 0 . Y 0  a10 . b 00a 00 . b10 . X 1 .Y 0a 01 . b00a00 . b01 . X 0 .Y 1 + + a 00 . b 11a10 . b01a 01 . b 10a11 . b00 . X 1 . Y 1 + ... + anm . X n. X m Se puede demostrar que (A[X,Y],+,.) es un ANILLO UNITARIO CONMUTATIVO, donde: El polinomio neutro de la suma o nulo es el polinomio 0. ( 0=0. X 0 .Y 00. X 1 .Y 0...0. X n .Y m ) El polinomio simétrico de f es

– f =−1. f . ( − f =−a00 . X 0 . Y 0−a 10 . X 1 . Y 0−...−anm . X n .Y m )

El polinomio neutro del producto o unidad es el polinomio 1. ( 1=1. X 0 . Y 00. X 1 . Y 0 ...0. X n . Y m )

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•

Si f =a00 . X 0 . Y 0 a10 . X 1 . Y 0 ...anm . X n . Y m ∈ A[ X , Y ] reagrupando términos podemos expresar

•

n

f j=∑ aij . X i , teniendo en cuenta que

0 1 2 f = f 0. Y  f 1 . Y  f 2 . Y ... f n , donde

expresar

f ∈ A[ X ,Y ] , tenemos que Análogamente si r

f =∑

∏

f ∈ A[ X ][Y ] , luego

v1

i=0 v1v 2...v r=i

v2

i=1

A[ X , Y ]≈ A[ X ][Y ]

vr

 X 1 .  X 2  . ....  X r 

como se puede expresar como r

r

f = ∑ ∑

∏

 X 1v .  X 2 v . ... . X r −1v  . X r  p 1

p=0 i =0 v 1v 2...v r −1=i

2

r −1

Es decir, siempre lo podemos ordenar según las potencias de la una indeterminada: A [ X 1 , X 2 , . . . , X r ] = A [ X 1 , X 2 , . . . , X r - 1 ]. [ X r ]. •

Luego, para el estudio de algunos casos particulares de varias variables, consideraremos solo una como variable, y el resto como constantes y haremos el estudio como si se tratara de una sola variable y luego aplicar estas propiedades a dichos polinomios.

•

Por ello, en el resto del tema solo estudiaremos el anillo de polinomios de una indeterminada A[X].

En el caso de que el anillo A sea un cuerpo K, como sucede con polinomios K[X] con las operaciones f g , k. f

ℚ ,

ℝ

o

ℂ , el anillo de

∀ f , g ∈ K [ X ] y ∀ k ∈K  es un espacio vectorial.

Valoración polinomial Para cada

2 n p=a0a1. X a 2 . X ...an . X ∈ K [ X ] podemos definir la aplicación VALORACIÓN

POLINOMIAL, dada por p : K  K : x  p  x =a 0a 1. xa 2 . x 2...an . x n Mediante esta aplicación convertimos los polinomios p en los polinomios

p  x , donde x es ahora una

variable o valor desconocido del cuerpo K, y se suele denotar a este conjunto de polinomios por K[x]. Que es la notación que emplearemos en el resto del tema. Para el estudio de algunas propiedades de polinomios de dos variables

p  x , y

una de ellas como si fuera una constante. # Ejemplo.- Para descomponer el polinomio ciclotómico p  x , y =x 3 x 2 . y x . y 2 y 3 Podemos considerar y constante y mediante el algoritmo de Euclides, obtenemos: 1 -y 1

Luego: p  x , y = x y . x 2 y 2 

y

y²

y³

-y

0

- y³

0

y²

0

podemos considerar

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Aprovechando esta estructura vectorial de K[x], Si 2 n p  x =a 0a1. xa2 . x ...an . x ∈K [ x ]; a n ≠0 ,

podemos identificar

p  x  con una sucesión a i i ∈{1,2 ,3 , ... ,n } de K, y que podemos expresar

a0 , a1 , a2 ,… , a n=a0 .1,0 ,0 , … ,0a1 .0,1 ,0 , … ,0…an .0,0 ,0 ,… , 1 Denominando x 0=1,0 ,... ,0 , x 1=0,1,0 , ...,0 ,... , x n=0,...,0 ,1 a 0 , a1 , a2 ,… , a n serán las coordenadas de p(x) respecto de la base { x 0, x1, … , x n }

a n ≠ 0.

a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n ;

Polinomio de una variable o indeterminada Sea K un cuerpo (habitualmente ℝ o ℂ ), a 0 , a1 , a2 ,… , a n una sucesión de K. Un polinomio en una variable x con coeficientes en K es una aplicación1: a : K → K : x → a(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ... + a n xn a 0, a1, … , an ∈K se denominan coeficientes del polinomio a, n∈ℕ y a n≠0 . Se define grado del polinomio a(x) (denominamos gr(x)) al mayor número natural m tal que a m≠0 Es decir:

gr a x={ max j ∈ℕ : a j≠0}

Cuando a 0=a 1=…=an =0 , decimos que a(x) no tiene grado.

Operaciones con polinomios de una variable Si definimos por K[x] al conjunto de polinomios de una variable con coeficientes en el cuerpo K. Podemos definir las operaciones: : K [ x ] X K [ x ]→ K [ x ]: a x  , b  x → a x b  x  Donde : a  x b  x=a 0b0  a1b1 x. ..a pb p  x p. . . *: K [ x ] X K [ x ]→ K [ x ]:a  x , b x  → a  x∗b  x Donde : a  x * b  x=a 0 . b 0a o . b 1a 1 . b 0 x. ..

p

∑

a i . b j x .. .

i j= p

Utilizando las propiedades del cuerpo K, con estas operaciones se comprueba fácilmente que K[x] adquiere la estructura de anillo conmutativo unitario. Es decir, verifica: 1

En general se define para r variables x_1, x_2, x_3, … , x_r , mediante la función:

a : K n → K : x1, x 2, x 3, … , x r  → a  x 1, x 2, x 3, … , x r =a0 a1 . x v1 , x 2v , x 3v ,… , x vr …an . x v1 , x v2 , x v3 , … , x vr  11

r

Siendo

n∈ℕ y

∑ W 1j=1 j=1

r

;

∑ W 2j=2 j=1

13

r

;…;

13

∑ W nj=n j=1

1r

n1

n2

n3

nr

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1. (K[x],+) es un grupo conmutativo, donde el elemento cero es el polinomio nulo y el simétrico de a(x) es −a  x =−a 0−a 1.x−a22.x −...−a nn.x . 2. La operación * producto cumple la propiedad asociativa. 3. Se cumple la propiedad distributiva. 4. ∀ a(x) ∈ K[x] ∃ un elemento unidad 1, tal que tal que 1*a(x) = a(x). Además, como consecuencia de dicha estructura, se cumple: gr a xb x ≤max  gr a  x  , gr b  x ∀ a  x  , b x∈ K [ x ]−{0 } .

a)

a n b n ≠0 ”.

gradoa  x= gradob  x y

“La igualdad se cumple si

gr a x∗b x=gr  a xgr  b x  ∀ a x  , b  x ∈ K [ x]−{0 }

b)

“En caso de anillos que no sean dominios de integridad se cumple la desigualdad ≤” c) El conjunto de polinomios K[x] no tienen divisores de cero. d) Los únicos polinomios que son inversibles son los de grado cero.”. # Demostración: a) Si

gr a x=n y

gr b x=m , será:

{

min n ,m 

n

m i

i

a  x b  x=∑  ai . x ∑ b i . x = i =0

mn

b) a  x ∗b  x = ∑

i =0

∑

i=0 i  j=k

m i

∑

 aibi . x 

∑

 aibi . x 

i=0 min n ,m  i=0

i

∑

bi . x ; si n≤m

∑

ai . x ; si nm

i=n1 n i

i=m1

i

}

a i∗b j . x k

c) Si a(x) * b(x) = 0, tendrá que ser a = (0,0,...,0) ó b = (0,0,...,0) es decir, a(x) = 0 ó b(x) = 0. Luego K[x] no tiene divisores de cero. d) Teniendo en cuenta que el elemento unidad

ℝ[ x ]

es el polinomio 1, si p(x) es el polinomio

inversible de a(x) tendrá que ser a(x)*p(x) = 1. Y teniendo en cuenta la igualdad b) será: gr a x∗ p  x=gr a xgr  p  x=gr 1=0 . Es decir será: gr a x=gr  p  x=0 .

C.q.d.

# Ejemplo: Si

K [ x ]=ℝ [ x] ;

a  x =x x 2 ;

b  x =1x 3 , será:

a  x b  x=1x x 2x 3 ;

a  x ∗b  x =x x 2x 4 x 5

gr a xb x =3 ;

gr a x∗b x=5 .

Además:

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El espacio vectorial de los polinomios de una variable Es evidente que como  K [x ] , + es un grupo conmutativo, si definimos la operación externa: . : ℝ x K [ x ]→ K [ x ]:r , a  x→ r . a  x =r . a 0r . 1. x …r . a p . x p + ... (K[X],+) R tiene estructura de ESPACIO VECTORIAL REAL 2, ya que dicha operación cumple: a)

r . a x b x =r .[a 0b0  a1b1 . x…a p b p . x p ...]= = r . a0r. b0 r.a 1r.b 1 . x…r.a p r.b p . x p... + = = r . a0r. b0 

b)

r s. a  x = rs .[a 0a 1 . x...a p . x p...] = = r s. a 0r s. a 1 . x...r s . a p . x p ... = p p = r.a 0r.a1 . x...r.a p . x ...s.a 0s.a 1 . x...s.a p . x ... = = r.a  x s.b  x 

c)

r . s. a  x = r.s. [a0a1 . x...a p . x p ...]= = r.s . a 0r.s . a1 . x ...r.s . a p . x p... = = r.[ s.a0 s.a1 . x......s.a p . x p ...]= = r. s.a  x 

d)

1. a  x =1.a 01.a 1 . x...1. a p . x p ...=a 0a1 . x...a p . x p...=a  x

 Conviene destacar que una base ortonormal de K[x] es

B={1, x , x 2 , x3 ,.... }

que es infinitamente

generada. Hay que observar, que si consideramos el conjunto

K n [ x ] , conjunto de polinomios, cuyo grado es menor o igual que n

mas el polinomio nulo. Entonces, con la suma + de polinomios y el producto de números reales (escalares del cuerpo K) por polinomios, es un SUBESPACIO VECTORIAL de

K [x] .

Formula de Newton Una importante relación que aparece en todas las estructuras de anillo conmutativo es la fórmula del binomio de Newton, que para el caso particular de polinomios, adquiere la expresión siguiente:

0 

1

n 

n  xa  = n . x n . a 0 n . x n −1 . a1... n . x 0 . a n

Donde, a es un elemento arbitrario del cuerpo K y

tomados de p en p, es decir

np 

el número de combinaciones de n objetos

np =nn !! . n− p !

# Demostración: Por inducción matemática, vemos que: Para n = 1, es: 2

Si consideramos en el espacio vectorial

 K [x ] , +k

 K [x ] , + , . k es un ÁLGEBRA ASOCIATIVA sobre K.

también la operación . de producto de polinomios , decimos que

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( x+ a )

1

 1 1 0 =   . x .a +  0

 1 0 n   . x .a = x + a  1

Supongamos que se cumple para n, entonces:

( x+ a )  n  n+ 1 0 =   . x .a +  0

n+ 1

=

( x + a ) .( x + a ) n

  n n 0 =    . x .a +   0

 n n 1  n 1 n  n n 1   .x .a + ... +   . x .a +   . x .a +  1  n  0

 n  n− 1 1  n  0 n   .x .a + ... +   . x .a  ( x + a ) =  1  n   n  n− 1 2  n  0 n+ 1   .x .a + ... +   . x .a  1  n

  n  n   1 n  n  n+ 1 0   n   n   n 1 =   . x .a +    +    . x .a + ... +    +    . x .a +  0   1  0    n   n − 1 

 n  0 n+ 1   .x .a  n

=

=

 n + 1 n + 1 0  n + 1 n 1  n + 1 0 n + 1 =  . x .a +   . x .a + ... +   . x .a .  0   1   n + 1

C.Q.D.

En la última desigualdad hemos utilizado las propiedades:  n   n + 1  =  ;  0  0 

  n   n    n + 1  +   =   si 1 < p < n+1;   p   p − 1   p 

 n   n + 1  =    n   n + 1

3. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS. División entera de polinomios Teorema (de división entera).- Dado dos polinomios a(x) y b(x) existen dos únicos polinomios q(x) y r(x) tales que: a  x =b  x . q xr  x  . Siendo r  x =0

o bien

grado r  x grado b x  .

Denominándose q(x) = cociente y r(x) = resto de la división entera de a(x) por b(x). # Demostración: n

m

j Sea a  x  , b x∈ℝ [ x ] tal que a  x  = ∑ ai . x ; b  x  = ∑ a j . x i

i=0

1) Si nm



j =0

q(x) = 0; r(x) = a(x) 

Se cumple el teorema.

2) Si n≥m . Denominando, r 0  x =a  x  ; r 1  x=a x – b  x .

 

an . x n−m bm

 Si grado r 1  xgrado b x  , será:

 

q  x =

an . x n−m ; r  x =r 1  x am

 Se cumple el teorema.

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 Si grado r 1  x≥grado b x , Denominando: r 1  x=a x – b  x .

n an n−m 1 i . x =∑ ci . x bm i =1

 



1

1

cn r 2  x =r 1  x – b x . . x n −m bm 1

1

 Si grado r 2  xgradob  x  , será:

  1

 

cn a q  x = n . x n−m . xn − m ; bm bm 1

r  x =r 2  x

1

 Se cumple el teorema.

 Si grado r 2  x ≥grado b x . Denominando:

   

n c1n n −m r 2  x =r 1  x – b  x . . x =∑ ci2 . x i bm i =1 1

2

1

1

cn r 3  x =r 2  x – b  x . . x n −m bm 2

2

... Tras un cierto número finito de divisiones obtendremos:

   

  

c1n c 1n an n−m n −m a  x =b  x . .x  .x + ... + . x n −m r k  x bm bm bm 1

k

1

k

Tal que r k  x=0

ó n k m

que en cualquier caso se cumplirá

grado r k  x grado b x

 Para ver que dichos cocientes son únicos basta tener en cuenta que si q(x), q’(x), r(x) y r’(x) son tales que: a(x) = b(x).q(x) + r(x). a(x) = b(x).q’(x) + r’(x). Se cumplirá: b(x) [q(x) – q’(x) ] = r (x) – r ‘ (x). Y como K es dominio de integridad se cumplirá: grado b(x) + grado [ q(x) – q’(x) ] = grado ( r (x) – r ‘ (x) ). Que es una contradicción, luego ( r(x) - r’(x) ) = 0;

q(x) - q’(x) ) = 0.

Es decir: r(x) = r’(x)

y

q(x) = q’(x).

C. Q. D.

Cuando el resto de la división de a(x) por b(x) es cero, se dice que a(x) es múltiplo de b(x), o que b(x) es un divisor de a(x) “ b(x) | a(x) “. Indicamos por (b(x)) al conjunto de polinomios múltiplos de b(x).

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Ideales de polinomios Un Ideal de polinomios es un subconjunto no vacío 1.- a  x b  x∈ I ; 2.- a  x . c  x ∈ I ;

I ⊂K [ x ] que satisface:

∀ a x  , b  x  ∈ I ∀ a x ∈ I , ∀ c x∈ K [ x ]

El ejemplo mas simple de ideal es el conjunto de polinomios múltiplos de un polinomio dado b(x), es decir: b  x= { a x . b  x :a  x  ∈ K [ x ] } . Teorema .- Si I es ideal de K[x], es I = (b(x)) para algún b  x  ∈ K [ x ] . # Demostración :

 Si I = {0}, “Ideal trivial“. Entonces será I = {b  x ∈K [ x ]:a  x . b x =0, ∀ a x ∈ K [ x ] } . Es decir b(x) = 0. Por tanto será I = ( 0 ).

 Si

I ≠0 , y b(x) el polinomio no nulo de grado mínimo en I, que debe de existir por ser I ≠ {0}.

Como I es un ideal se verifica: b  x ⊂ I  Si a  x  ∈ I , por teorema de división, ∃q  x , r  x  ∈ K [ x ] tales que a(x) = b(x).q(x) + r(x); con r(x) = 0 o

grado (r(x)) < grado (b(x)).

Es decir: r(x) = a(x) + b(x).(-q(x)). Y dado que a  x  , b x ∈ I , y que I es ideal. Se cumplirá que

r  x  ∈ I , y como b(x) es un

polinomio de grado mínimo de I, no puede ser grado ( r(x) ) < grado ( b(x) ). Luego r(x) = 0. Como consecuencia a  x =b  x . q x∈b  x  . Es decir: I ⊂b x Luego: I = (b(x))  Hay que observar que : b  x= { k .b  x  ∀ k ∈ K } b(x) | a(x).

Mínimo común múltiplo (m.c.m.) y Máximo común divisor (M.C.D.) Sea a 1  x , a2  x , . .. , an  x∈K [ x ] . 1.- El conjunto: m x  = a 1  x  ∩ a 2  x  ∩ . . . ∩ an  x .

C. Q. D.

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

Es un ideal de K[x] por ser intersección de ideales. Denominado, Mínimo común múltiplo de a 1  x  , a2  x , . .. , an  x ∈ K [ x ] .

Este

ideal

está

formado

por

todos

los

múltiplos

de

a 1  x  , a2  x , . .. , an  x ∈ K [ x ] : m x  = m.c.m. a1  x  , a 2  x  ,... , an  x . Además, como

m x = { k . m x  ∀ k ∈ K - {0} } . Se cumplirá que es único salvo factor

constante no nula. 2.- El conjunto: d  x  = a 1  x  a 2  x   . ..  an  x  ={ c 1 . a 1  x   c 2 . a 2  x  .. .  c n . an  x :c 1, c 2, ... , c n ∈ K } .

Es un ideal de K[x] . Denominado, Máximo común divisor de ideal está formado por todos los divisores de

a 1  x  , a2  x , . .. , an  x ∈ K [ x ] . Este

a 1  x  , a2  x , . .. , an  x ∈ K [ x ] , pues para cada

polinomio a i  x  se cumple a i  x  = 0 . a 1  x  ... 1 . ai  x  ... 0. an  x ∈ d  x  d  x  = M.C.D. a1  x  , a 2  x  ,... , a n  x  .

Además, si D(x) es un divisor común de todos los

a i  x  , entonces también es divisor de d(x)

ya que d  x  ∈ a 1  x  , a 2  x ,... , a n  x   Y si para cada i ∈ {1, 2, … , n},



d  x  =c 1 . a 1  x   c 2 . a 2  x   . ..  c n . an  x

ai  x = b i  x . D x  , entonces:

d  x  =c 1 . b1  x  c 2 . b 2  x   . . .  c n . b n  x . D  x  Además, como

d  x = { k . d  x∀ k ∈ K - {0} } . Se cumplirá que es único salvo factor

constante no nula. Hay que observar que d  x  = M.C.D. a1  x  , a 2  x  ,... , a n  x   Hay que observar que : d(x) es el mínimo ideal que contiene al conjunto a 1  x∪a2  x∪....∪a n  x  . Ya que a 1  x∪a2  x∪....∪a n  x  no es en general un ideal, pues por ejemplo, si tomamos: a 1  x =  x 21 a 2  x  =  x 2−1 Si

H = a1  x∪a2  x 

fuera un ideal, para cada par de polinomios

un polinomio de  x 21 ó  x 2−1 , y tomando por ejemplo:

p  x q  x 

p  x  =  x 21 ∈  x 21 q  x  = −x 21 ∈  x 2 −1 Se tiene que “ “ x 21 ” ”  ” “−x 21 ” ” = 2 y se cumple 2 ∉  x 2 1 2 ∉  x 2 −1 Luego, a 1  x∪a2  x∪....∪a n  x  no es un ideal.

px

y

qx

de H, sería

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

# Ejemplo: Si a  x =x 2−1 ; b  x = x −12 , será m.c.m. a  x , b x  =  x1. x−12 = x 3− x 2−x1 M.C.D.a  x , b x  =  x−11. x −12 Un método particularmente útil para hallar el M.C.D., es el conocido algoritmo de Euclides y que se basa en la aplicación reiterada del siguiente teorema: Teorema.- Si a  x  = b  x . q  x r  x es la división entera de a  x  por b  x ≠0 , entonces: M.C.D.a  x , b x =m.c.d.b  x , r  x  # Demostración: •

a  xb x⊂ b x r  x  p  x =a  x . c 1  xb x .c 2  x ∈ a x b x 

Si

 p x =b  x . q x. c 1  x c 2  xr  x . c1  x ∈  b x  r  x  . b  xr  x⊂ a x b  x 

•

p  x =b  x . c 1  xr  x .c 2  x ∈ a x b x 

Si

 p x =b  x . c1  x−q x . c 2  xa  x . c 2  x ⊂b  x r  x  .

C.Q.D.

Aplicando reiteradamente este resultado, y dado que los restos sucesivos serán decrecientes, llegará un momento en que el resto será 0, y el último resto no nulo será el M.C.D. de ( a(x) , b(x) ). # Ejemplo: M.C.D.  x 3−x 2x , x 2= M.C.D. x 2 , x =M.C.D. x , 0=x . Pues basta tener en cuenta que: x 3− x 2x =x 2 .  x−1x x 2 =x.x0 .

Polinomios primos entres si Dos polinomios a  x  y

b  x  son primos entre si cuando

M.C.D. a  x , b x =1 .

# Ejemplo: •

Los polinomios

x 2 x1 y

x1 son primos entre si, pues

M.C.D. x 2 x1 , x1=M.C.D. x1 , 1=M.C.D.1,0=1 . •

Si

M.C.D.a  x , b x =d  x , entonces

M.C.D.a  x/ d  x ,b  x/ d  x=1 . Ya que si , M.C.D.a  x , b x =d  x se cumple existen dos polinomios

r  x y

d  x| a  x y

s x tales que:

d  x=r  x.a  x s  x. b x . Luego : 1=r  x.

a x b  x s x. d x d  x

C. Q. D.

d  x| b x  . Además,

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

Teorema (de Euclides) .- Si

a x y b  x son polinomios primos entre si, entonces

a x|b  x. c xa  x|c  x . # Demostración : M.C.D.a  x , b x =1 , se cumple 1| a  x

Si r  x

y

1| b x . Además, existen dos polinomios

s x tales que:

y

1=r  x. a  xs x. b x  . Multiplicando por c(x) c  x=r  x. a  x. c xs x.b x. c x . Como

a x|b x.c  x

p  x tal que:

existe un polinomio

a x. p  x=b  x. c x  Será: c  x=r  x. a  x. c xs x.a  x. p  x=a x.r  x. c x s x p x  . Por tanto: a x|c  x . •

C. Q. D.

Una consecuencia de este teorema es que dados dos polinomios

a x y b  x , existe un

k ∈ K [ x ] tal que: m.c.m.a  x , b x. m.c.d a  x ,b x=k.a  x. b x . # Demostración: Si

d  x=M.C.D. a x ,b  x existirán dos polinomios a x=d  x. r  x  ;

s x , primos entre sí, tales que:

b  x=d  x . s x  .

m x=d  x. r  x . s x 

Además,

r  x y

es

m x=m.c.m.a x , b x . Pues si existiera otro

múltiplo

de

a(x)

y

b(x).

De

hecho

es

el

M  x=m.c.m.a  x  ,b  x , sería:

M  x=a x.c  x=b x. h x . Y se cumplirá d  x. r  x.c  x=d  x. s x. h x . Tenemos pues r  x. c x=s x. h x y, por tanto, r  x| s x. h x . Puesto que

M.C.D.r  x , s x =1 . Por aplicación del teorema de Euclides:

r  x| h x . Supongamos que

h x=r  x. t  x . Entonces,

M  x=b  x. h x=d  x. s x. r  x. t  x . Es decir, múltiplo de

M  x

es múltiplo de

a x y b  x , ya que le

d  x. s x. r  x . Que es una contracción, con ser el mínimo

m x=d  x. s x. r  x  .

C.Q.D.

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

Polinomios irreducibles p  x

Un polinomio

grado p  x0

con

es un polinomio irreducible o primo si sus únicos

k y k.p  x , siendo k ∈ K – 0 .

divisores son

Cabe destacar dos propiedades importantes: • Todo polinomio

p  x∈{ K [ x ]−{ 0 }}

con

grado p  x0

es producto de polinomios

irreducibles. p1  x... pn  x=q 1  x... q m  x . Y todos los factores son polinomios irreducibles, entonces

• Si

m=n

{ p i  x}

y los polinomios

son los mismos que los

{ q i  x}

salvo factores del cuerpo

K −{ 0 } . # Demostración: • Si

p  x

mínimo

es un polinomio primo, es cierto. Y si no es primo, existirá un polinomio primo de grado p 1  x entre los divisores de

p  x= p1  x. a 1  x ; Si

a 1  x

p  x . Y será:

Para algún

a 1  x ∈ K [ x ] .

es Primo es cierto. Y si no es primo ,existirá un polinomio primo de grado mínimo

entre los divisores de

p 2  x

a 1  x . Y entonces será:

p  x= p 1  x. a1  x. a 2  x ; Para algún Repitiendo el proceso y dado que

a 1  x , a 2  x∈ K [ x]

grado a1  xgrado a 2  x...

Existirá un natural n y existirán n polinomios irreducibles: p 1  x , p 2  x ,... , pn−1  x , p n  x∈K [ x] . Tal que: f  x= p 1  x. p 2  x. .... p n−1  x. p n  x • Procediendo por inducción matemática sobre n Si n = 1, entonces, si m = 1 y será Supongámoslo cierto para

p 1  x=q 1  x .

n≤r−1 . Dada la expresión:

p1  x... pn  x=q 1  x... q m  x Tenemos que para algún Si

r ∈ {1, 2, …. , n}

p r  x| q 1  x... q m  x=q 1  x. q 2  x... q m  x .

p r  x no coincide con k.q1  x , para algún

son primos entre si y

k ∈ K −{ 0 } . Entonces,

q1  x 

pr  x dividirá q 2  x… q m  x  .

Repitiendo este razonamiento llegaremos a la deducción de que un p r  x

p r  x y

salvo factor del cuerpo

K −{ 0 }

q j  x

que será igual a

 p r  x=q j  x. k  . Suprimiendo este factor común

será: p 1  x... p r−1  x=q1  x... q j−1  x.k −1 . q j1 ... q m  x

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

Y aplicando la hipótesis de inducción será coinciden con los restantes

q j  x (salvo factores constantes de K), y como en particular se cumple

r−1=m−1 , será r=m y se cumplirá

para

p1  x ,... , p r −1  x ,

r−1=m−1 , y los polinomios

pr  x=q r  x .

Ceros de polinomios Si

a x=a 0 a 1 xa 2 x 2 ...a n x n ∈ K [ x] . Denominaremos, valor de

a x en

x=k inK a

a k =a 0 a 1 ka 2 k 2...a n k n ∈ K [ x] .  Cuando para un

r∈K

ar =0 , diremos que k es un cero o raíz del polinomio

se cumple que

a x (para más de una variable se denomina cero). # Ejemplo.- Si

p  x= x 2 −2 ∈ ℝ [ x]   2 y −  2

son raíces de

p  x , sin embargo, si

2 p  x =x −2 ∈ ℚ[ x ]  p x  .

 En ocasiones, si

C⊂K

nos interesa conocer si un cierto

p  x ∈ K [ x ] tiene raíces en C. Es decir

si U es el conjunto de raíces de p(x), queremos conocer U ∩ C. # Ejemplo.- El polinomio

x 2−4 ∈ ℝ [ x] tiene solo una raíz natural, ya que sus raíces son –2 y 2

 Una importante aplicación práctica cuando queremos factorizar polinomios es: Regla de Ruffini.- Sea un valor fijo k ∈ K . Para cada

px ∈ K[ x]

existe un polinomio

p  x  ∈ K [ x ] tal que: p  x =q  x . x−k  p k  . Además: p k =0  x−k | p x  . # Demostración: Basta obtener la división entera de

p  x  por  x−k  :

p  x =q  x . x−k r  x  Cuyo cociente es q  x  y resto r  x  , con

grado r  x grado x−k  . Por tanto será

grado r  x ≤0 , es decir r  x =r constante. Entonces evaluando para

x=k ambos miembros de la igualdad de la división entera será:

p k =q k . k −k r =r



r = p k  .

Y resulta la regla. # Ejemplo.- Sea

C.Q.D. p  x  ∈ K [ x ] , con

p  x  = x 3−1 . Como

p 1=0 ,

Se cumplirá que

 x−1| p  x  . Es decir: p  x = x−1 . x 2 x1  Algunos resultados importantes, en cuanto a casos particulares y generales de raíces de polinómios, se vuelve a tratar en los temas de ecuaciones y ecuaciones diofánticas.

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

Sin embargo, podemos destacar un resultado importante para encontrar las raíces de un polinomio a  x ∈ℚ [ x ] con coeficientes enteros: •

a  x  = a0 a 1 . xa 2 . x 2...a n . x n ; con

Sea

a 0, a 1 , ... , a n ∈ ℤ . Si

p q

es cero de

ax

con

p , q ∈ ℤ primos entre si. Entonces: p | a0

q | an

y

# Demostración : Si

p q

es raíz de a  x  será: 2



 



p p p p a = a 0a 1 . a 2 . ...a n . q q q q

n

Como p y q son primos entre si obtenemos: n

q . a0 a 1 . p . q

n−1

2

a 2 . p . q

n−2

n

...a n . p = 0

Es decir, podemos obtener la expresión: n

n −1

q . a0 = − p . a1 . q

1

a 2 . p . q

n−2

...a n . p

n−1

0

O bien q . a 0 . q

Y puesto que 

n−1

1

a 1 . p . q

n−2

...a n−1 . p

n −1

M.C.D. p , q=1 , resulta que

. q = −a n . p

p | a0

y

n

q | an

.

Un resultado fundamental sobre las raíces de polinomios es

Teorema fundamental del Álgebra .- Todo polinomio de grado ≥ 1 con coeficientes complejos tiene un cero en el cuerpo ℂ de los números complejos. Como consecuencia de dicho teorema se deduce que todo polinomio de

ℂ[ x ]

se puede descomponer

en factores lineales de grado 1, y en el caso de ℝ[ x ] , se deduce que los polinomios irreducibles son de grado 1 y los de la forma a . x 2 – c  (siendo ±c las raíces complejas)

Los anillos K[x] / p(x) Si

p  x ∈ K [ x]−{ 0} , diremos que

a x , b x ∈ K [ x ] son congruentes módulo

p  x

si

a x−b x ∈  p x . Y escribimos como: a x≡b xmod p x  . Dado que la relación ≡ es de equivalencia, el conjunto cociente

K [ x ]/≡ que representamos por

K [ x ]/ p  x , está formado por las clases de equivalencia de la forma: [ a x]= { b x ∈ K [ x ]: a  x  – b x ∈  p x} . Hay tantas clase de equivalencia como restos posibles en las divisiones enteras por p(x). Además, en el conjunto

K [ x ]/ p  x podemos definir las operaciones:

[ a x][ b x]=[ a xb x] . [ a x] .[ a  x]=[a  x .b x] .

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

Que no dependen de los elementos elegidos y por tanto están bien definidas. Y que como se comprueba fácilmente, con estas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo unitario. Siendo el elemento neutro de la suma la clase

[ a x]

[0] , el opuesto de la clase

respecto de la suma la clase

[−a x]

y el elemento

unidad del anillo el [1] . Hay que observar que en caso de que y

g  x

no nulos tales que

p  x no sea primo, podemos encontrar dos polinomios

f  x. g  x= p  x

y en este caso el anillo

K [ x ]/ p  x

f  x

tiene divisores de

cero. •

Si p(x) es un polinomio irreducible en

•

Si

p  x

será

es primo, el anillo

K[x] ,

K [ x ]/ p  x

K [ x ]/ p  x es un cuerpo. no tiene divisores de cero, y como

∀ a x inp K [ x]

M.C.D.a  x , p x=1 . Aplicando el Teorema de Euclides, existirá dos polinomios

f  x , g  x ∈ K [ x] , tales que: 1= f  x. a x g  x. p x . Es decir: [1] = [ f  x .a  x g  x. p x] = [ f  x. a  x][ g  x. p x] = [ f  x] .[ a  x] Luego: [ f  x]=[ a x]−1 . Y como cada  Si

a x ∈ K [ x]/ p x  , ∃ [ a x]−1  K [ x ]/ p  x es un cuerpo.

p  x es un polinomio irreducible de

K [ x ] . Podemos establecer un aplicación inyectiva :

K → K [ x]/ p x: k →[ k ] Lo que justifica que representemos los elementos

[ k ] de p x

simplemente por k Además con esta

K ⊂K [ x]/ p x .

notación,

Como todo polinomio con coeficientes en K puede también considerarse un polinomio con coeficientes en K [ x ]/ p  x . En particular, el polinomio p  x  = p0 p1 x. .. p n x n . K [ x ]/ p  x . Si ponemos =[ x ]∈ K [ x ]/ p  x 

Puede considerarse con coeficientes en n

n

p  = p0 p1 [ x ].. . p n [ x] = [ p 0 p1 . x .. . pn . x ] = [0]

Y resulta que el polinomio divisor lineal ) en Al cuerpo

px

que era irreducible en

K [ x ]/ p  x .

K [ x ]/ p  x se le denota por

Ejemplo.- si

K [ x] , tiene un cero ( y por tanto tiene un

K  y se llama extensión algebraica de K.

p  x =x 21 , existe una correspondencia biyectiva entre

de los números complejos ℂ .

K [ x ]/ x 21

y el cuerpo

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

4. FRACCIONES ALGEBRAICAS. El cuerpo de las fracciones del anillo de polinomios Igual que a partir del anillo

ℚ , a partir del anillo

K [ x]

relación R de equivalencia en

ℤ

de los números enteros podemos establecer el cuerpo de fracciones K  x  , mediante la

podemos establecer el cuerpo de fracciones algebraicas

K [ x] x { K [ x]−{0 }} , dada por:

a  x  , b x  Rc  x  , d  x a  x . d  x =c  x . b x  Las clases de equivalencia del conjunto cociente

K [ x ] x { K [ x ]−{0 }} son de la forma: R

[a  x  , b x]={c  x  , d  x ∈K [ x ] x { K [ x ]−{ 0 }} : a  x ,b  x  R c  x  , d  x  } Cuyos elementos se representan habitualmente por

cx , y se denominan fracciones algebraicas con d x

coeficientes en el cuerpo K.  Si m.c.d.a  x , b  x=d  x como existen a ’  x  , b ’  x  ∈ K [ x ] tales que: a  x =a ’  x . d  x b  x= p ’  x . d  x Podemos encontrar una fracción algebraica que

a ’  x  , b’  x ∈[a  x , b  x]

(fracción irreducible), tal

m.c.d.a ’  x  , b ’  x=1 , mediante las cuales solemos elegir como representantes de la clase de

equivalencia [a  x  , b x] . En el conjunto de fracciones algebraicas K(x), podemos definir las operaciones: : K  x x K  x → K  x : [a  x ,b  x ][c x , d  x]=[a  x . d  xc  x. b  x ,b  x . d  x ] .: K  x x K  x → K  x : [a  x ,b  x ].[c  x  , d  x]=[ a  x . b x  , b  x . d  x ] Estando dichas operaciones bien definidas, y fácilmente se demuestra 

 K  x , + es un grupo conmutativo.



 K  x−{ 0 } , . es un grupo conmutativo.



La operación producto es distributiva respecto de la suma.



El elemento neutro de la suma es [0, b x]



El recíproco de [a  x  , b x] es



El elemento unidad del producto es [a  x  , a  x ]



El elemento inverso de [a  x  , b x] respecto del producto es [b  x , a x] .

Además, al igual que ocurre en equivalencia de la forma

ℚ ,

– [a  x , b  x]=[−a  x ,b  x ]=[a  x  ,−b x ]

K  x  contiene un subconjunto

H x

[a  x . b  x , b  x ] , que es isomorfo al anillo de polinomios

aplicación f : K [ x ]→ H  x :a  x → f a  x=[ a  x .b  x  , b x ] Habitualmente representamos:

formado las clases de K [ x] , mediante la

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

[a  x . b  x , b  x ]=a  x [b  x , a x. b  x ]=a  x −1 Luego: −1

[ p  x  , q  x]=[ p  x ,1].[1, q  x ]= p x . q  x  =

p x  q x 

Fracciones propias y fracciones simples. Descomposición en fracciones simples. Debido a la ambigüedad en la expresión de una fracción algebraica como cociente de polinomios, es deseable poder encontrar representaciones simplificadas. Para lo que introduciremos dos tipos básicos de fracciones: ax b  x

•

es una fracción propia si

grado a  xgrado b  x  . En caso contrario se dice que es

impropia. •

ax , es una fracción simple si existe un polinomio primo p(x) y un número b  x

Una fracción propia

natural n, tal que b  x= p xr .  Utilizando el algoritmo de división entera para polinomios •

Si

ax b  x

b  x−1=

es una fracción impropia del cuerpo 1 b x

K  x  , entonces, teniendo en cuenta que

es claro que existen dos polinomios

qx

y

r x

con grado r(x) < grado

b(x), tales que: ax r  x = q  x b  x b  x

Teorema .- Sea una fracción

ax . Si la descomposición de polinomios irreducibles de b(x) es: b  x

b  x=c1 . p1  xm . p2  xm . …. pn  xm 1

2

n

Entonces existe una descomposición única de la forma: n m C x ax 1 =q x  . ∑ ∑ ij j b  x c i =1 j=1 pi  x i

Siendo q  x  la parte entera de la fracción y # Ejemplo.- Para descomponer 2 x 27 x 2 A B =  2 2 x  x1 . x  x1 que equivale a resolver: 2 x 27 x2= A. xB . x12 Que identificando coeficientes resulta: A = 3, B = 2.

grado c i1  x grado pi  x

Polinomios. Operaciones. Fórmulas de Newton. Divisibilidad de polinomios. Fracciones algebraicas

Hay que observar que las fracciones simples en ℝ x son de la forma: c ; c , r ∈ ℝ. s ∈ ℕ  x−r s

o bien

axb ; a ,bu ,v ∈ ℝ. s ∈ ℕ  x−u 2 v 2 s

Las fracciones algebraicas las solemos descomponer fracciones simples con el fin de operar con más facilidad, por ejemplo en la resolución de integrales de fracciones racionales.

5. CONCLUSIÓN. Los polinomios aportan importantes resultados todas las ramas de las matemáticas, desde los más simples, como aplicación de cambios de sistemas de numeración, hasta los más complejos en el tratamiento de aspectos teóricos de polinomios de varias indeterminadas. Sin en el caso de polinomios de una variable, se hace mucho más fácil la comprensión de sus propiedades, ya que el comportamiento de los polinomios es similar al de los números enteros, por tener las mismas estructuras algebraicas.