UNIDAD 4

OPERACIONES CON POLINOMIOS EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas en los que apliques las operaciones de suma, resta, multiplicación y división de polinomios.

Objetivo 1.

Diferenciarás monomios, binomios, trinomios y polinomios en general.

Ejercicios resueltos: a.)

Identifica con una P si la expresión es un polinomio y con una X si no lo es:

1.)

6 x5 y 6 z

(

)

( X )

2.)

x- y

(

)

( P )

3.)

x2  5x  6

(

)

( P )

4.)

x2 y 4a 3

(

)

( X )

2a 3b 4c x 1

5.)

(

)

( P )

b.)

Identifica con una M si la expresión es un monomio, con una B si es un binomio y

con una T si es un trinomio:

1.)

7a - 9b

(

)

( B )

-71a 3

2.)

(

)

(M )

3 2 1 2 a b - a b  a2b 5 2

3.)

(

)

( T )

x 2 y 3a

4.)

(

)

(M )

Objetivo 2.

Identificarás y determinarás el grado de un monomio y el de un

polinomio.

Ejercicios resueltos: Determina el grado de los polinomios: 1.) x 3 y La variable x está elevada a la tercera potencia, y la variable y a la primera. El grado del monomio es 4.

2.)

7 3 2 c p m 12 La suma de los exponentes de c, p y m es 3 + 2 + 1. El grado del monomio es 6.

3.) P  x   x 4  x 3  x El término de grado más alto es el primero, que es de grado 4. El polinomio es de grado 4.

4.) P  x   5 En el polinomio solamente aparece una constante, diferente de cero. El grado es 0.

5.) x 4  4 x 3  6 x 2 y 4  4 xy 5 Los términos que aparecen en el polinomio son, respectivamente, de grados 4, 3, 6 y 6. El polinomio es de grado 6.

Objetivo 3.

Reducirás términos semejantes en un polinomio.

Ejercicios resueltos:

Reduce los términos semejantes: 1.) x  2 x

x  2 x = 3x

2.)

1 1 a a 2 2 1 1 a  a = a. 2 2

3.) 3 x3  4 x 2 y  3xy 2  2 x 3  yx 2  y 2 x Agrupando los términos se obtiene

 3x

3

 2 x 3    4 x 2 y  x 2 y    3 xy 2  xy 2    x 3  3x 2 y  4 xy 2

4.) m 2 n  7 m 2 n  3nm 2  m3  2 Reacomodando las variables en los términos, queda

m 2n  7 m 2 n  3m 2 n  m3  2 y agrupando

m3   m 2 n  7m 2 n  3nm 2   2

 m3  5m 2 n  2



 

5.) 2 xy 2  4  7 xy 2  12



Quitando paréntesis y reagrupando queda

2 xy 2  4  7 xy 2  12

  2 xy 2  7 xy 2    4  12   5 xy 2  8

Objetivo 4.

Determinarás cuándo dos polinomios son iguales.

Ejercicios resueltos:

Identifica, si lo hay, cuál polinomio de la columna izquierda es igual al de la columna derecha:

1.) 3 x 2  6 xy 2

 2 x 2 y  6 y 4 x5  7

2

2.) x y  9 xy  xyz 5

2

2

 5 x y  4 xy  yx

3

3 x 3 y 7  6 x 4 y 4  3x 3 y 4

4.) xy 3  4 xy 2  5 x 2 y 2

6 yx  3x 2

5.) 6 x 3 y 7  6 x 3 y 4  12 x 4 y 4

 7  6 y 4 x5  2 yx 2

Ejercicios resueltos:

2

2

3.) 6 x y  2 x y  7

Objetivo 5.

4

3

         

 3  4   1  3

Recordarás el procedimiento general para sumar y restar polinomios.

a) Sumas: 1.) Suma los monomios: 2 xy, 5 xy 2 , 8 xy , 3 xy 2 , z 2 . Solución:

2 xy  5 xy 2  8 xy  3 xy 2  z 2 Se reducen los términos semejantes:

2

 8  xy   5  3 xy 2  z 2

El resultado final es:

10 xy  8 xy 2  z 2 .

2.) Suma los monomios:

 2 5 x 2 , 3 4 xy , 2 3 y 2 ,  1 2 xy, 310 x 2 ,  1 3 y 2 . Solución:

  2 5 x   3 4 xy  2 3 y    1 2 xy   310 x    13 y  2

2

2

2

Se reducen los términos semejantes:

  2 5  310  x   3 4  1 2  xy   2 3  13  y 2

2

El resultado es:

 110 x 2  1 4 xy  13 y 2 . 3.) Suma los polinomios: 3 x 2 y  5 xy 2 , 3 xy 2  5 x 2 y, 8 xy 2  2 x 2 y . Solución:

 3x

2

y  5 xy 2    3xy 2  5 x 2 y    8 xy 2  2 x 2 y 

Se eliminan paréntesis::

3 x 2 y  5 xy 2  3xy 2  5 x 2 y  8 xy 2  2 x 2 y El resultado se obtiene al reducir los términos semejantes:

4 x 2 y  6 xy 2 .

4.) Suma los polinomios: 3 x 2 y  4 xy  y, Solución:

x 2 y  2 xy  3 y  2 .

3 x 2 y  4 xy  y x 2 y  2 xy  3 y  2 4 x 2 y  2 xy  4 y  2

5.) Suma los polinomios:

4 x 2  6 x  3, 5 x  2 x 2  1,  2 x 2  4 x  12, 4  x 2  2 x . Solución:

4 x2  6 x  3 2 x2  5 x  1 2 x 2  4 x  12  x2  2 x  4

3x 2  x  6

b) Restas: 1.) Resta: 4xy , de 2xy . Solución:

2 xy  ( 4 xy ) Es decir:

2 xy  4 xy Se reducen términos semejantes y se obtiene:

2xy , que es el resultado final.

2.) Resta: 4 x 2 y 2 , de 3 x 2 y 2 . Solución:

3 x 2 y 2   4 x 2 y 2  Es decir:

3x2 y 2  4 x 2 y 2 Se reducen términos semejantes y se obtiene:

7x 2 y 2 , que es el resultado final.

3.) Resta: 2 x 2  4 x  4, de 3 x 2  4 x  3 . Solución:

3x2  4 x  3   2 x2  4 x  4  Es decir:

3x2  4 x  3  2 x2  4 x  4 Se reducen términos semejantes y se obtiene:

x 2  7 , que es el resultado final.

4.) Resta: 2 x 2 y  3 y 2  4, de x 2 y  4 xy 2  5 . Solución:

x 2 y  4 xy 2 2

5 2

2 x y

 3y  4

 x 2 y  4 xy 2  3 y 2  1

5.) Resta: 6 y 2  3 y  4, de 9 y 2  3 y . Solución:

9 y2  3y 6 y2  3 y  4 15 y 2  6 y  4

Objetivo 6.

Recordarás la multiplicación de monomios.

Ejercicios resueltos:

Multiplica los monomios que se dan: 1.)

 3a b  2a b   3a b  2a b   6a 5 4

2

5 4

2

5 2

 2b 41  1  6a 7b5

2.)

 2xy z   x yz   2xy z   x yz   2x 2

3

2

3.)

2

3

2

 2 x  4 x   2 x  4 x   8x 4

1 3

y 2 1 z1 2  2x 4 y 3 z 3

3

4

Objetivo 7.

3

4 3

 8x 7

Recordarás la regla para la multiplicación de polinomios por un

monomio. Ejercicios resueltos:

Efectúa los productos indicados:

1.) 3 x 2 por  6 x3  5 x 2 

 3x  6 x 2

3

 5 x 2   3 x 2  6 x 3   3x 2  5 x 2   18 x5  15 x 4

2.)  x por  3 x  2 yz 2 

  x   3x  2 yz 2    x  3x   x  2 yz 2   3x 2  2 xyz 2 3.)  6a 2b 4c 3  2a 2b 3c  por 2ab 2c 2

 6a b c

2 4 3

 2a 2b3c  2ab 2c 2    6a 2b 4c 3  2ab 2c 2   2a 2b3c  2ab 2c 2 12a 3b6 c 5  4a3b5 c3

Objetivo 8.

Recordarás el procedimiento general para la multiplicación de

polinomios por polinomios.

Ejercicios resueltos: Efectúa las multiplicaciones indicadas:

1.)

3  2 x   4  x  3  2x   4 3  2 x   x 3  2x   4  3  4  2 x   x  3  x  2 x 

4  x

2

por

2

2

2

 12  8 x 2  3x  2 x3  2 x 3  8 x 2  3 x  12

2.)

x 2 

4x

por

2

 9x  2

4 x2  9 x  2 x2

 8 x 2  18 x  4

4 x3  9 x 2  2 x 4 x 3  x 2  20 x  4

3.)

 5xy

2

 3 xy  por

 5xy

2

 3 xy 

5 xy 2  3xy 5 xy 2  3 xy 15 x 2 y 3  9 x 2 y 2

25 x 2 y 4 15 x 2 y 3 25 x 2 y 4

Objetivo 9.

9 x 2 y 2

Recordarás la división entre monomios.

Ejercicios resueltos:

Efectúa las divisiones indicadas:

1.)

22 x3 y 2 z entre 4 xyz 2

2

2

22 x3 y 2 z  22   x3  y 2   z         2  4 xyz 2  4   x  y   z 

11 x 2 y  2 z 12a5b 7 entre  3ab3 c 2

2.)

12a 5b7  12   a5  b7   1      3ab3c 2  3   a  b3   c 2  

4a 4b 4 c2

18 p 3 r 2t 3 entre  3 p 2 r 2t 2

3.)

18 p 3 r 2t 3  18   p 3  r 2  t 3       3 p 2 r 2t 2  3   p 2  r 2  t 2 

 6 pt

Objetivo 10.

Recordarás la regla para la división de un polinomio entre un

monomio.

Ejercicios resueltos:

Efectúa las divisiones indicadas:

1.)

a 2  ab entre a

a 2  ab a 2 ab    a b a a a

2.)

3 x 2 y 3  5a 2 x 4 entre  3 x 2

3 x 2 y 3  5a 2 x 4 3 x 2 y 3 5a 2 x 4 5     y3  a2 x2 2 2 2 3 x 3 x 3 x 3

x m 2  5 x m  6 x m1  x m1 entre x m 2

3.)

x m  2  5 x m  6 x m 1  x m 1 x m 2 5 x m 6 x m 1 x m1  m 2  m 2  m 2  m 2 x m 2 x x x x

 x 4  5 x 2  6 x3  x

Objetivo 11.

Recordarás el procedimiento general para la división de

polinomios entre polinomios.

Ejercicios resueltos: 1.)

Divide: a 2  2a  3 , entre a  3 .

a 1 a  3 a 2  2a  3

 a 2  3a  a 3 a3

0 2.)

Divide: f  x   x 5  12 x 2  5 x , entre g  x   x 2  2 x  5 .

x 3 2x 2  x x 2  2 x  5 x 5  0 x 4  0 x 3  12 x 2  5 x

 x5  2 x 4  5 x 3 2 x 4  5 x 3  12 x 2

 2 x 4  4 x 3  10 x 2  x3  2 x 2  5x

x3  2 x 2  5 x 0

3.)

Divide: p  a   a x 3  a x , entre q  a   a  1 .

a x  2 a x1 a x a  1 a x 3  0a x  2  0a x 1  a x

 a x3  a x  2  a x2

a x  2  a x 1 a x1  a x

 a x 1  a x 0

4.)

Divide:

1 2 5 1 1 1 a  ab  b 2 , entre a  b 6 36 6 3 2

1 1 a b 2 3 1 1 1 5 1 a  b a 2  ab  b 2 3 2 6 36 6

1 1  a 2  ab 6 4 1 1  ab  b 2 9 6

1 1 ab  b 2 9 6

0

Objetivo 12. Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de ejercicios algebraicos.

Ejercicios resueltos:

Obtén el resultado de las operaciones indicadas:

1.)

 2a 2 b  3ab 2     3ab  b  2a  3ab   ab  

2a 2b  3ab 2  2a  3b ab y

 3ab  b  2a  3ab   6a 2b  9a2b2  2ab  6ab2 Por tanto:  2a 2 b  3ab 2     3ab  b  2a  3ab   ab     2a  3b  6a 2b  9a 2 b 2  2ab  6ab 2   12a 3b  18a 3b 2  4a 2b  12a 2b 2 18a 2b 2  27a 2 b3  6ab2  18ab3

 12a 3b  18a 3b 2  4a 2b  30a 2b 2  27a 2b3  6ab 2  18ab3

2.)

 a b

2 2

 a 2  3ab 2  2a 2b  2b  b 2  4ab    a 2b  a 3  4a 2 b 2  4ab3  2ab  6ab 2  a3b  4b 2    a  2b  

Solución:

 a b

2 2

 a 2  3ab 2  2a 2b  2b  b 2  4ab    a 2b  a 3  4a 2 b 2  4ab3  2ab  6ab 2  a3b  4b 2    a  2b  

  a 2  2a 2 b  a 2b 2  4ab  3ab 2  2b  b 2   a 3  a3b  a 2b  4a 2b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b2    a  2b  

Como:

a 2 a 2b 3ab 2ab 2 2b a  2b  a 3  a 3b  a 2b  4a 2b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b 2

a3

 2a 2b a 3 b  3a 2 b  4a 2 b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b 2

 a 3b

2a 2b 2 3a 2b  2a 2b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b 2

3a 2b

 6ab2 2a 2b 2  2ab

 4ab3  4b 2

2a 2b2

 4ab3 2ab

 4b 2

2ab

 4b 2 0

Entonces:

a

2

 2a 2 b  a 2b 2  4ab  3ab 2  2b  b 2    a 3  a 3b  a 2b  4a 2b 2  2ab  6ab 2  4ab3  4b 2    a  2b     a 2  2a 2 b  a 2b 2  4ab  3ab 2  2b  b 2  

 a

2

 a 2 b  3ab  2ab 2  2b 

 3a 2b  a 2b 2  ab  5ab 2  b 2 .

3.)  x3  5x 2  5x  2   2 x 2  3 x  1   x 3  2 x 2  3 x  2      x 2  4 x  3    x2  

Solución: Como:

 2x

2

 3 x  1   x 3  2 x 2  3 x  2 

 2 x 2  3 x  1  x 3  2 x 2  3x  2   x3  3 y:

x 2 3x -1 x  2 x3  5x 2  5x  2

 x3  2 x 2 3x 2  5 x  2

 3x 2  6 x x2 x2

0 entonces: x3  5x 2  5x  2   x 2  4 x  3 x2  x 2  3x -1   x 2  4 x  3

 x 2  3x -1  x 2  4 x  3  x  4

y queda: 2  3   2 x 2  3 x  1   x 3  2 x 2  3 x  2    x  5 x  5 x  2   x 2  4 x  3    x2   3    x  3   x  4

 x 4  4 x 3  3 x  12

4.)

 2 xy  3 x  y  x  z  1   2 x 2 y  xy  zy  x  y  z 1

Solución:

2 xy  3x  y x  z 1

2 xy  3 x  y 2 xyz  3xz  yz

2 x2 y  3x 2

 yx

2 x 2 y  3 x 2  2 xyz  3xz  yz  yx  3x  y

Por lo que:

 2 xy  3 x  y  x  z  1   2 x 2 y  xy  zy    2 x 2 y  3x 2  2 xyz  3 xz  yz  yx  3 x  y    2 x 2 y  xy  zy 

 2 x 2 y  3 x 2  2 xyz  3 xz  yz  yx  3 x  y  2 x 2 y  xy  zy  3x 2  2 xyz  2 xy  3 xz  3x  y  2 yz

y como:

3x 2 yz 5y

x  y  z  1 3x 2  2 xyz  2 xy  3 xz  3x  y  2 yz

3x2

 3 xy  3xz  3 x 2 xyz  5 xy

 y  2 yz

2 y 2 z

 2 xyz

5 xy  2 y 2 z

 2 yz  2 yz 2  y  4 yz  2 yz 2

 5 y  5 yz

5 xy 2 y2z

 5 y2

 6 y  9 yz  2 yz 2  5 y 2

queda:

 2 xy  3 x  y  x  z  1   2 x 2 y  xy  zy  x  y  z 1  3 x  2 yz  5 y 

Objetivo 13.

2 y 2 z  6 y  9 yz  2 yz 2  5 y 2 x  y  z 1

Aplicarás las operaciones con polinomios en la resolución de problemas

de casos reales.

Ejercicios resueltos: 1.)

En una comisión del Congreso los diputados del PRD son la mitad que los

PRI. Los del PRI con los del PAN suman 8 y los del PT son la mitad que

los

del del

PAN ¿Cuántos diputados forman la comisión?

Solución: La información del enunciado establece que el número de los diputados de los diferentes partidos es:

PRD 

1 PRI 2

PRI  PAN  8

PT 



PRI  8  PAN

1 PAN 2

Al sumar a los diputados de todos los partidos y sustituir las igualdades anteriores queda

PRD  PRI  PAN  PT  

1 1 PRI   8  PAN   PAN  PAN 2 2

1 1  8  PAN    8  PAN   PAN+ PAN 2 2

1 1  4  PAN  8-PAN  PAN  PAN 2 2  8  4  12 La comisión tiene 12 miembros.

2.) Una persona camina a un ritmo de 2 kilómetros por hora al subir una cuesta y al de 4 kilómetros por hora al bajarla. ¿Cuál es la velocidad media para el recorrido total?

Solución: Sea L la longitud de la cuesta. El tiempo que tarda en subirla es L/2; mientras que el tiempo que tarda en bajarla es L/4; entonces el tiempo total será:

T 

L L 3L   4 2 4

Como el recorrido total es de 2L , la velocidad media es:

Vm 

2L T



2L 8   2.666 km/h 3L 3 4

3.) El depósito del anticongelante de un autobús contiene 8 litros de una mezcla de 60% de agua y 40% de anticongelante puro. Sin embargo, las bajas temperaturas invernales requieren que la mezcla contenga 60% de anticongelante. ¿Qué cantidad de la mezcla actual deberá desecharse y reemplazarse por anticongelante puro para que se obtenga la cantidad requerida?

Solución: La cantidad de anticongelante puro en la mezcla actual es el 40% de 8 litros:

0.4  8   3.2 litros; La cantidad que debe tener la nueva composición es:

0.6  8   4.8 litros.

Cuando se desechan x litros de la mezcla actual se debe añadir una cantidad igual de x litros de anticongelante para mantener el volumen total, pero con el desecho se pierden

0.4x litros del mismo anticongelante. Entonces, para obtener una mezcla con el 60% de anticongelante se tiene la expresión:

3.2  x  0.4 x  4.8 o bien

x 1  0.4   4.8  3.2 0.6 x  1.6 x 

1.6  2.666 litros 0.6

4.) Un padre al morir dejó establecido que el hijo mayor recibiría $100,000 más la quinta parte del resto. El siguiente recibiría $200,000 más la quinta parte del nuevo resto. Y en la misma forma cada hijo iría recibiendo $100,000 más que el anterior y la quinta parte del resto. Con esta forma de repartir la herencia, el padre se aseguró que todos recibieran la misma cantidad. ¿Cuántos herederos había y qué cantidad recibió cada uno?

Solución: Sea H el importe total de la herencia. El primer hijo recibió

100,000 

H  100,000 5

El segundo hijo recibió $200,000 más la quinta parte de lo que quedaba después de que el primero recibió su parte y de los 200,000 que le correspondían a él:

1 H  100,00  200,000   H  100,000   200,000 5 5  Como cada hijo debe recibir la misma cantidad, se igualan los dos polinomios para obtener el valor de H:

100,000 

H  100,000 5

1 H  100,00   200,000   H  100,000   200,000 5 5  Después de hacer las operaciones queda

100,000 

H H H  20,000  200,000   20,000   4,000  40,000 5 5 25

y, al despejar

H  200,000  20,000  4,000  40,000  100,000  20,000 25

H  25  64,000 H  1,600,000 Entonces, dado que la herencia era de $1,600,000 y cada hijo recibió la misma cantidad, eran 4 hijos y cada uno recibió $400,000.

5.)

La edad de Juan es el doble de la que tenía Pedro cuando Juan tenía la que ahora tiene Pedro. En total suman 49 años. ¿Cuáles son sus edades?

Solución: Sea x la edad actual de Juan. Dado que la suma de las edades de ambos es 49, la edad actual de Pedro será

 49  x  .

La expresión algebraica sobre la comparación de las edades: “la edad actual de Juan es el doble de la que Pedro tenía cuando Juan tenía la que tiene ahora Pedro” se obtiene como sigue:

Pedro es menor que Juan y la diferencia de edades entre ellos es

 x   49  x   . En aquel momento, la edad de Juan era la edad actual de Pedro:  49  x  ; al restar a ésta la diferencia de edades entre ambos, se obtiene la edad que tenía Pedro cuando Juan tenía  49  x  y, como la edad actual de Juan es el doble de ésta entonces:





x  2  49  x    x   49  x  

x  2  49  x    x  49  x  x  2 49  x  2 x  49 x  2 98  3 x

x  196  6 x 7 x  196 x  28 Y la edad de Pedro es: 49  28  21

6.) Encuentra tres números enteros consecutivos tales que cuando se forman las 6 fracciones posibles tomados de dos en dos, la suma de ellas es un número entero.

Solución: Sean x  1 , x y x  1 los tres números enteros consecutivos que se buscan. Las 6 fracciones que se pueden formar con ellos, tomados de dos en dos son:

x 1 , x

x , x 1

x 1 , x 1

x 1 , x 1

x , x 1

x 1 x

Y la suma de las seis fracciones será:

x 1 x x 1 x 1 x x 1      x x 1 x  1 x 1 x  1 x





( x  1)2 ( x  1)  x 2 ( x  1)  x( x  1) 2  x( x  1)2  x 2 ( x  1)  ( x  1)( x  1) 2 x( x  1)( x  1)

x3  x 2  x  1  x3  x 2  x3  2x 2  x  x3  2x 2  x  x3  x 2  x3  x 2  x  1 x( x  1)( x  1) 

6x3 6x2  x( x 2  1) x 2  1

Ahora bien, x 2 y x 2  1 son números primos entre sí porque difieren en una unidad, por lo tanto esta fracción será un número entero sólo si x 2  1 divide a 6, lo que ocurre para x  2 , por lo tanto, los tres números buscados son: x  1  1 ; x  2 ; x  1  3 .