Capítulo 8

POLINOMIOS

8.1.1 – 8.1.3

El capítulo explora funciones polinómicas en mayor profundidad. Los alumnos aprenderán cómo bosquejar funciones polinómicas sin su herramienta de graficación utilizando la forma factorizada del polinomio. Además, aprenderán el proceso inverso, es decir, cómo hallar la ecuación polinómica a partir del gráfico. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.1.1, 8.1.2, y 8.1.3.

Ejemplo 1 Indica si cada una de las siguientes expresiones es o no un polinomio. Si no lo es, explica por qué no. Si lo es, indica el grado del polinomio. a.

–7x4 +

2 x3 3

+ x2 – 4.1x – 6

c.

9x3 + 4x2 – 6x–1 + 7x

b.

8 + 3.2x2 – πx5 – 61x10

d.

x(x3 + 2)(x4 – 4)

Un polinomio es una expresión que puede escribirse como la suma o diferencia de términos. Los términos están en la forma axn, donde a es cualquier número y se denomina coeficiente de x, y n, el exponente, debe ser un número entero. La expresión del punto (a) es un polinomio. Un coeficiente que es una fracción 23 es aceptable. El grado del polinomio está dado por el exponente más grande de la variable, que en este caso sería cuatro. La expresión del punto (b) también es un polinomio, y su grado es 10. La expresión del punto (c) no es un polinomio por dos motivos. En primer lugar, no se permite x–1 porque los exponentes de la variable no pueden ser negativos. En segundo lugar, por 7x. La variable no puede ser una potencia en un polinomio. Aunque la expresión del punto (d) no es la suma ni la diferencia de términos, puede escribirse como la suma o diferencia de términos multiplicando la expresión y simplificando. Hacer esto da como resultado x8 + 2x5 – 4x4 – 8x, que es un polinomio de grado 8.

( )

Ejemplo 2 Sin usar tu herramienta de graficación, realiza un dibujo de cada uno de los siguientes polinomios usando la orientación, las raíces y el grado. a.

f (x) = (x + 1)(x – 3)(x – 4)

b.

y = (x – 6)2(x + 1)

c.

p(x) = x(x + 1)2(x – 4)2

d.

f (x) = –(x + 1)3(x – 1)2

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91

A través de investigaciones, los alumnos aprenden diferentes cosas sobre los gráficos de las funciones polinómicas. Las raíces del polinomio son los puntos de corte con el eje x, que se encuentran fácilmente cuando el polinomio está en forma factorizada, como es el caso de todos los polinomios anteriores. Hazte esta pregunta: ¿qué valores de x harán que esta expresión sea igual a 0? La respuesta te dará las raíces. En el punto (a), las raíces de este polinomio de tercer grado son x = –1, 3, y 4. En el punto (b), las raíces de este polinomio de tercer grado son 6 y –1. El grado de un polinomio te indica el número máximo de raíces posibles, y como este polinomio de tercer grado solo tiene dos raíces, seguramente te preguntes dónde está la tercera raíz. La expresión x = 6 se denomina una raíz doble, dado que está elevada al cuadrado y, por lo tanto, es equivalente a (x – 6)(x – 6). El gráfico solo tocará el eje x en x = 6, y “rebotará”. El polinomio de quinto grado del punto (c) tiene tres raíces, 0, –1, y 4, y tanto –1 como 4 son raíces dobles. El polinomio de quinto grado del punto (d) tiene dos raíces, –1 y 1; 1 es una raíz doble, y –1 es una raíz triple. La raíz triple “aplana” el gráfico al nivel del eje x. Con las raíces, podemos dibujar los gráficos de cada uno de estos polinomios. a.

b. y

–1 3

y

–1

4

x

c.

6

x

d. y

y

1 –1

x

–1 0

4

x

Verifica que las raíces se ajusten a los gráficos. Además, el gráfico del punto (d) era el único cuya orientación estaba “volteada”. Normalmente, un polinomio con un grado impar comienza de forma negativa (a medida que nos movemos a la izquierda del gráfico) y finaliza de forma positiva (a medida que nos movemos hacia la derecha). Como el polinomio del punto (d) tiene un coeficiente principal negativo, su gráfico hace lo opuesto.

92

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Capítulo 8

Ejemplo 3

y

Escribe la ecuación exacta del gráfico que se muestra a la derecha. (–3, 0) (3, 0)

A partir del gráfico podemos escribir una ecuación general basada en la orientación y las raíces del polinomio. Dado que los puntos de corte con el eje x son –3, 3, y 8, sabemos que (x + 3), (x – 3), y (x – 8) son factores. Además, puesto que el gráfico toca el eje en −3 y rebota, (x + 3) es una raíz doble, de modo que podemos escribir esta función como f (x) = a(x + 3)2(x – 3)(x – 8). Necesitamos determinar el valor de a para tener la ecuación exacta.

(8, 0)

x (0, –2)

Teniendo en cuenta el hecho de que el gráfico atraviesa el punto (0, –2), podemos escribir:

−2 = a(0 + 3)2 (0 − 3)(0 − 8) −2 = a(9)(−3)(−8) −2 = 216a a=−

2 216

1 = − 108

1 (x + 3)2(x – 3)(x – 8). Por lo tanto, la ecuación exacta es f (x) = – 108

Problemas Indica si cada una de las siguientes expresiones es o no una función polinómica. Si lo es, indica el grado. Si no lo es, explica por qué no. 1.

1 x7 8

+ 4.23x6 – x4 – πx2 +

2.

45x3 – 0.75x2 –

3.

x(x + 2)(6 +

1 x

3 100

x+

5 x

2 x – 0.1

+ 15

)

Dibuja el gráfico de cada uno de los siguientes polinomios. 4.

y = (x + 5)(x – 1)2(x – 7)

5.

y = –(x + 3)(x2 + 2)(x + 5)2

6.

f (x) = –x(x + 8)(x + 1)

7.

y = x(x + 4)(x2 – 1)(x – 4)

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93

A continuación figuran los gráficos completos de algunas funciones polinómicas. Sobre la base de la forma y la ubicación del gráfico, describe todas las raíces de la función polinómica, su grado y orientación. Asegúrate de incluir información, como por ejemplo si la raíz es o no doble o triple. y

8.

y

9.

y

10. x

x

x

Usando los siguientes gráficos y la información dada, escribe la ecuación específica para cada función polinómica. 11.

Punto de corte con el eje y: (0, 12)

12.

y

Punto de corte con el eje y: (0, –15)

13.

y

y

x

Punto de corte con el eje y: (0, 3)

x

x

Respuestas 1.

Sí, grado 7.

2.

No. No puedes tener x en el denominador.

3.

No. Cuando lo multiplicas, aún tienes x en el denominador.

4.

Las raíces son x = –5, 1, y 7, y x = 1 es una raíz doble. Recuerda que una raíz doble muestra donde el gráfico es tangente. Este gráfico tiene orientación positiva.

y

x

94

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Capítulo 8

5.

Las raíces son x = –3 y x = –5, que es una raíz doble. El término x2 + 2 no produce ninguna raíz real dado que esta expresión no puede ser igual a cero. La orientación es negativa. El gráfico cruza el eje y en y = –150.

y

x

y

6.

Este gráfico tiene una orientación negativa y las raíces son x = –8, –1, y 0. Asegúrate de incluir a x = 0 como raíz.

x

y

7.

x2 – 1 nos da dos raíces. Dado que se factoriza como (x + 1)(x – 1), las cinco raíces son: x = –4, –1, 0, 1, y 4. El gráfico tiene orientación positiva.

x

8.

Un polinomio de tercer grado (cúbico) con una raíz en x = 0, y una raíz doble en x = –4. Tiene orientación positiva.

9.

Un polinomio de cuarto grado con raíces reales en x = –5 y –3, y una raíz doble en x = 5. Tiene orientación negativa.

10.

Un polinomio de quinto grado con cinco raíces reales: x = –5, –1, 2, 4, y 6. Tiene orientación positiva.

11.

y = (x + 3)(x – 1)(x – 4)

12.

y = –0.1(x + 5)(x + 2)(x – 3)(x – 5)

13.

y=

1 12

(x + 3)2(x – 1)(x – 4)

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95

NÚMEROS COMPLEJOS

8.2.1 y 8.2.3

Se les da a los alumnos una introducción al sistema de números complejos. Los números complejos surgen naturalmente cuando se intenta resolver algunas ecuaciones tales como x2 + 1 = 0. Hasta ahora, los alumnos pensaban que ese tipo de ecuaciones no tenían solución. Los alumnos ven cómo la solución a esta ecuación se relaciona con su gráfico, sus raíces y cómo los números imaginarios y complejos también surgen en otras ecuaciones polinómicas. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.2.1, 8.2.2, y 8.2.3.

Ejemplo 1 Resuelve la ecuación siguiente utilizando la Fórmula cuadrática. Explica qué te indica la solución sobre el gráfico de la función. 2x 2 − 20x + 53 = 0

Como repaso rápido, podemos decirte que la Fórmula cuadrática indica: Si ax2 + bx + c = 0 entonces x =

−b± b 2 −4ac 2a

. Aquí, a = 2, b = –20, y c = 53. Por lo tanto, x=

−(−20)± (−20)2 − 4(2)(53) 2(2)

=

20± 400− 424 4

=

20± −24 4

Ahora tenemos una expresión con un número negativo debajo del radical. Hasta ahora, los alumnos sostenían que esta ecuación no tenía solución. De hecho, no tiene una solución real, pero sí una solución compleja. Definimos i = −1 como un número imaginario. Cuando combinamos un número imaginario con un número real, lo denominamos “número complejo”. Los números complejos se escriben en la forma a + bi. Usando i, podemos simplificar la respuesta anterior.

x=

20± −24 4

=

20± −1⋅4⋅6 4

=

20±2i 6 4

=

2 10±i 6

(

= 10±i2 96

)

4 6

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Capítulo 8

Dado que esta ecuación no tiene soluciones reales, si quisiéramos graficar y = 2x2 – 20x + 53 veríamos una parábola que no cruza el eje x. Si completáramos el cuadrado y lo pasáramos a forma de graficación, obtendríamos y = 2(x – 5)2 + 3. El vértice de esta parábola se encuentra en (5, 3), y dado que se abre hacia arriba, nunca se cruzará con el eje x. Verifica esto con tu herramienta de graficación. Entonces, pues, el gráfico de la función y = 2x2 – 20x + 53 no tiene puntos de corte con el eje x, pero sí tiene dos raíces complejas, x = 10±i2 6 . Recuerda que dijimos que el grado de una función polinómica nos indica el máximo número de raíces. De hecho, el grado nos indica el número exacto de raíces; algunas (o todas) pueden ser complejas.

Ejemplo 2 Simplifica cada una de las siguientes expresiones. −16

a.

3+

c.

(4i)(–5i)

b.

(3 + 4i) + (–2 – 6i)

d.

(8 – 3i)(8 + 3i)

Recuerda que i = −1 . Por lo tanto, la expresión en (a) puede escribirse como 3 + −16 = 3 + 4 −1 = 3 + 4i. Esta es la forma más simple; no podemos combinar partes reales e imaginarias del número complejo. Sin embargo, como ocurre en el punto (b), podemos combinar partes reales con partes reales y partes imaginarias con partes imaginarias: (3 + 4i) + (–2 – 6i) = 1 – 2i. En el punto (c), podemos utilizar la propiedad conmutativa para reorganizar esta expresión: (4i)(–5i) = (4 ⋅ –5)(i ⋅ i) = –20i2. No obstante, recuerda que i = −1 , de modo que i2 = ( −1 )2 = –1. Por ello, –20i2 = –20(–1) = 20. Finalmente, en el punto (d), multiplicaremos utilizando métodos que hemos usado previamente para multiplicar binomios. Puedes usar la propiedad distributiva o los rectángulos genéricos para calcular este producto.

(8 − 3i)(8 + 3i) = 8(8) + 8(3i) − 3i(8) − 3i(3i) = 64 + 24i − 24i + 9 = 73

8

–3i

8

64

–24i

3i

24i

9

Las dos expresiones del punto (d) son similares. De hecho, son iguales salvo por el signo del medio. Estas dos expresiones se denominan conjugados complejos, y son útiles cuando se trabaja con números complejos. Como puedes ver, ¡multiplicar un número complejo por su conjugado da como resultado un número real! Esto va a suceder siempre. Además, cuando una función con coeficientes reales tiene una raíz compleja, siempre tiene también al conjugado como raíz.

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97

Ejemplo 3 Dibuja un gráfico de la función polinómica p(x) de forma tal que p(x) = 0 solo tenga cuatro soluciones reales. Cambia el gráfico de modo que tenga dos soluciones reales y dos soluciones complejas. y 5

Si p(x) = 0 tiene solo cuatro soluciones reales, entonces p(x) tendrá cuatro raíces reales. Será un polinomio de cuarto grado que cruce el eje x en exactamente cuatro lugares diferentes. A la derecha se muestra el gráfico.

–10

–5

5

10

x

–5

Para que el gráfico tenga solo dos raíces reales y dos raíces complejas, debemos cambiarlo para que una de las “caídas” no llegue al eje x. A la derecha se muestra un ejemplo.

y 5

–10

–5

5

10

x

–5

Problemas Simplifica las siguientes expresiones. −16

1.

(6 + 4i) – (2 – i)

2.

8i –

4.

(5 – 7i)(–2 + 3i)

5.

(3 + 2i)(3 – 2i)

3.

(–3)(4i)(7i)

6.

( 3 – 5i)( 3 + 5i)

A continuación se encuentran los gráficos completos de algunas funciones polinómicas. Sobre la base de la forma y la ubicación del gráfico, describe todas las raíces de la función polinómica. Asegúrate de incluir información, como por ejemplo si las raíces son dobles o triples, reales o complejas, etc. 7.

8.

y

y x

x

9. 98

Escribe la ecuación específica para la función polinómica que atraviesa el punto (0, 5) y que tiene las raíces x = 5, x = –2 y x = 3i. © 2015 CPM Educational Program. All rights reserved.

Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 8

Respuestas 1.

4 + 5i

2.

4i

3.

84

4.

11 + 29i

5.

13

6.

28

7.

Un polinomio de tercer grado con orientación negativa y una raíz real en x = 5 y dos raíces complejas.

8.

Un polinomio de quinto grado con orientación negativa y una raíz real en x = –4 y cuatro raíces complejas.

9.

1 (x2 – 3x – 10)(x2 + 9) y = – 18

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99

FACTORIZACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS

8.3.1 y 8.3.3

Los alumnos aprenden a dividir polinomios como método para factorizar polinomios de grados superiores a dos. A través de la división y con dos teoremas, los alumnos pueden reescribir polinomios en una forma más apropiada para su graficación. También pueden hallar fácilmente las raíces de los polinomios, tanto reales como complejas. Para más información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 8.3.1, 8.3.2, y 8.3.3.

Ejemplo 1 Divide x3 + 4x2 – 7x – 10 por x + 1. Los alumnos han aprendido a multiplicar polinomios utilizando diversos métodos, uno de los cuales utiliza rectángulos genéricos. El rectángulo genérico es un método que también funciona para la división de polinomios. Para hallar el producto de dos polinomios, los alumnos dibujan un rectángulo y anotan las dimensiones con los dos polinomios. El área del rectángulo es el producto de los dos polinomios. Para la división, comenzamos con el área y una dimensión del rectángulo, y usamos el modelo para hallar la otra dimensión. Para repasar, considera el producto (x + 2)(x2 + 3x – 7). Usamos las dos expresiones como las dimensiones de un rectángulo y calculamos el área de cada parte más x pequeña del rectángulo. En este caso, el rectángulo 3 superior izquierdo tiene un área de x . El siguiente rectángulo a la derecha tiene un área de 3x2. Continuamos calculando el área de cada rectángulo más 2 pequeño, y sumamos todo para hallar el área total. El área total representa el producto.

3x

–7

x3

3x2

–7x

2x2

6x

–14

Aquí, el área total es x3 + 3x2 – 7x + 2x2 + 6x – 14, o x3 + 5x2 – x – 14 una vez simplificada. Ahora realizaremos el proceso inverso para nuestro ejemplo. Confeccionaremos un rectángulo que tenga x x3 3 2 un ancho de x + 1 y un área de x + 4x – 7x – 10. Tenemos que movernos lentamente, sin embargo, ya que no sabemos qué longitud tendrá. Agregaremos 1 información a la figura gradualmente, ajustándola a medida que avancemos. El rectángulo superior izquierdo tiene un área equivalente al término con la potencia más alta: x3. Ahora trabajaremos hacia atrás: si el área del rectángulo es x3 y el lado tiene una longitud de x, ¿cuál debe ser la longitud del otro lado? Sería x2. Si completamos esta información encima del pequeño rectángulo superior izquierdo, podemos usarla para calcular el área del rectángulo inferior izquierdo. 100

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Capítulo 8

x

x

1

1

El área total es x3 + 4x2 – 7x – 10, pero hasta el momento solo tenemos 1x3 y 1x2. Necesitaremos sumar 3x2 más al área total (más algunos términos adicionales, pero recuerda que estamos dando un paso por vez). Una vez que completamos el área “x2”restante, podemos descifrar la longitud del lado superior. Recuerda que parte del lado izquierdo tiene una longitud de x. Esto significa que parte del lado superior debe tener una longitud de 3x.

x

1

Usa este nuevo dato para calcular el área del rectángulo que se encuentra a la derecha del rectángulo x3, y luego el pequeño rectángulo debajo de ese resultado. Nuestra área total tiene un total de –7x, pero solo tenemos 3x hasta el momento. Esto significa que necesitamos sumar –10x más. Coloca esta porción de área en el rectángulo a la derecha de 3x2. –10 Con esta nueva porción de área agregada, podemos calcular la longitud de la parte superior y usarla –10x x para calcular el área del rectángulo debajo de –10x. Observa que nuestro término constante en el área total es de –10, que es también lo que tiene nuestro 1 –10 rectángulo. 3

2

−7 x−10 = x2 + 3x – 10, o Por lo tanto, podemos escribir x +4 xx+1 x3 + 4x2 – 7x – 10 = (x + 1)(x2 + 3x – 10). Ahora que uno de los términos es cuadrático, los alumnos pueden factorizarlo. En consecuencia, x3 + 4x2 – 7x – 10 = (x + 1)(x + 5)(x – 2).

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101

Ejemplo 2 Factoriza el polinomio y halla todas sus raíces.

P(x) = x 4 + x 2 − 14x − 48 Los alumnos aprenden el Teorema del cero entero, que establece que los ceros o raíces de este polinomio deben ser factores del término constante. Esto significa que las raíces reales posibles de este polinomio son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, o ±48. ¡En este caso hay 20 posibles raíces que verificar! Podemos verificarlas de diferentes maneras. Un método consiste en dividir el polinomio por la expresión binómica correspondiente (por ejemplo, si –1 es una raíz, dividimos el polinomio por (x + 1) para ver si es un factor). Otro método consiste en reemplazar cada cero del polinomio para ver cuál de ellos, si fuera el caso, hace que el polinomio sea igual a cero. Aún tenemos que hacer la división por la expresión correspondiente una vez que tengamos la raíz, pero esto implica que, a la larga, haya que dividir menos. Al reemplazar P(x), obtenemos: P(1) = (1)4 + (1)2 − 14(1) − 48 = 1+ 1− 14 − 48 = −60

P(−1) = (−1)4 + (−1)2 − 14(−1) − 48 = 1 + 1 + 14 − 48 = −32

P(2) = (2)4 + (2)2 − 14(2) − 48 = 16 + 4 − 28 − 48 = −56

P(−2) = (−2)4 + (−2)2 − 14(−2) − 48 = 16 + 4 + 28 − 48 =0

Podríamos seguir, pero ya hallamos una raíz, x = –2. Por ese motivo, x + 2 es un factor del polinomio. Ahora podemos dividir el polinomio por este factor para hallar los demás factores. 5x x 2

–24 –24x

10x

–48

Este otro factor, sin embargo, es de grado tres, aún demasiado alto para utilizar métodos más fáciles de factorización. Por ello, debemos emplear nuevamente el Teorema del cero entero y hallar otro cero en la lista ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24. Podemos comenzar donde dejamos, pero ahora usaremos Q(x) = x3 – 2x2 + 5x – 24, un polinomio más simple de evaluar.

102

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Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 8

Q(3) = (3)3 − 2(3)2 + 5(3) − 24 = 27 − 18 + 15 − 24

Es ciertamente útil hallar una raíz tan rápidamente. Dado que x = 3 es una raíz, x – 3 es un factor. Así, pues, podemos volver a dividir.

=0

8

x

8x

x –3

–3x

–24

x2 + x + 8 = 0 x=

Ahora tenemos P(x) = x4 + x2 – 14x – 48 = (x + 2)(x – 3)(x2 + x + 8). ¡Por fin! El último polinomio es cuadrático (grado 2) de modo que podemos factorizarlo o usar la Fórmula cuadrática. Si intentas factorizar, no tendrás éxito ya que este polinomio cuadrático no se factoriza con enteros. Por lo tanto, debemos utilizar la Fórmula cuadrática para hallar las raíces como se muestra a la derecha.

−1± 12 − 4(1)(8) 2(1)

=

−1± 1− 32 2

=

−1± −31 2

=

−1±i 31 2

En conclusión, el polinomio original se factoriza así:

(

−1+i 31 2

2.

Divide x3 + x2 – 5x + 3 por x – 1.

P(x) = x 4 + x 2 − 14x − 48 = (x + 2)(x − 3) x −

)(x −

−1−i 31 2

)

Problemas 1.

Divide 3x3 – 5x2 – 34x + 24 por 3x – 2.

3.

Divide 6x3 – 5x2 + 5x – 2 por 2x – 1.

Factoriza los polinomios manteniendo los factores reales. 4.

f (x) = 2x 3 + x 2 − 19x + 36

5.

g(x) = x 4 − x 3 − 11x 2 − 5x + 4

Halla todas las raíces para cada uno de los siguientes polinomios. 6.

P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12

7.

Q(x) = x3 – 14x2 + 65x – 102

Respuestas 1.

x2 – x – 12

2.

x2 + 2x – 3

3.

3x2 – x + 2

4.

f (x) = (x + 4)(2x2 – 7x + 9)

5.

g(x) = (x + 1)(x – 4)(x2 + 2x – 1)

6.

x = –1, 3, 2i, –2i

7.

x = 6, 4 + i, 4 – i

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103

PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT 1.

(5 + 6)2 = ? a. (2 ⋅ 5) + (2 ⋅ 6) b.

2.

d.

61

e.

52 × 62

b.

13

c. –1

d.

420

e.

–42

El promedio (la media aritmética) de tres números es 25. Si dos números son 25 y 30, ¿cuál es el tercer número? a. 35

4.

c. 112

Si 6x – 7y = 12, ¿cuál es el valor de –2(6x – 7y)? a. –24

3.

52 + 62

b.

30

c. 25

d.

20

e.

15

Los habitantes del país Turpa utilizan distintas unidades de medida. Cada curd mide 7 garlongs de largo y cada garlong consiste en 15 bleebs. ¿Cuántos curds completos hay en 510 bleebs? a. 105

b.

15

c. 5

d.

4

e.

2

5.

Si x2 – y2 = 12 y x – y = 2, ¿cuál es el valor de x + y?

6.

Cinco enteros consecutivos suman 25. ¿Cuál es el mayor de estos números consecutivos?

7.

Para todos los enteros positivos m y n, definimos a m ↗ n como el resto de número entero cuando se divide m por n. Si 11 ↗ k = 3, ¿a qué equivale k ?

8.

En Tartas R Us, se corta cada tarta en pociones como se muestra en la imagen de la derecha. Cada porción de tarta tiene un ángulo central de 30°. Las tartas se venden por porción. Si el peso de cada tarta está uniformemente distribuido y es de 108 gramos, ¿cuánto pesa cada porción en gramos?

30°

En la imagen de la derecha, ¿cuál es el área de la región sombreada si esa región es un cuadrado?

2

9.

10.

4

¿Cuál es el sexto término de la progresión que comienza con 432, 72, 12, … ?

6

Respuestas

104

1. C

2.

A

3. D

4.

D

5.

6

6. 7

7.

8

8. 9 g

9.

20

10.

1 18

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