Página: 1

APUNTE TEÓRICOTEÓRICO-PRÁCTICO: PRÁCTICO: POLINOMIOS UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asignatura: Razonamiento y Resolución de Problemas Carreras: Lic. en Economía, Lic. en Administración, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo Profesor: Prof. Mabel Susana Chrestia Semestre: 1ero - Año: 2014


EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Definición Una Expresión Algebraica (EA) es una combinación de letras y números relacionados entre sí por operaciones aritméticas. Por ejemplo: 8ab 2 − 5 ;

2 2a + 1 m ; x + y ; a 2 − 2ab + b 2 ; ; 1 + z5 7 5

(

)

3

Las EA nos permiten hallar áreas y perímetros de figuras, volúmenes de cuerpos, costos de fabricación de un artículo, ingresos por ventas de un artículo, distancia a la que se encuentran dos móviles, etc. Consideremos por ejemplo la siguiente expresión: 2 ⋅ π ⋅ r , donde r es el radio de una circunferencia y

π = 3,1415... Esta EA nos permite encontrar la longitud L de la circunferencia de radio r . Podemos decir entonces que la “variable” es r , o, en otras palabras, la longitud depende del valor del radio r . Entonces escribimos:

L(r ) = 2 ⋅ π ⋅ r Valor numérico de una EA Siguiendo el ejemplo anterior, podemos darle un valor al radio. Por ejemplo, sea r = 3 cm . Entonces la longitud de la circunferencia será

L(3) = 2 ⋅ π ⋅ 3 = 6 ⋅ π ≅ 18,84 cm Entonces: El valor numérico de una EA es el valor que se obtiene al reemplazar cada letra por un número dado. El valor numérico de la EA anterior cuando r = 3 es 18,84 . Ejercicio Nro. 1 Dadas las siguientes EA, hallar sus valores numéricos para los valores de las variables indicados: 2 a) A( x ) = 7 x − 8 x + 5

A(2) =

A(−3) =

1 A  = 2

B (−2 ; 5) =

1 1 B ;  = 2 4

M (1 ; 2 ; 3) =

M ( 0 ; 8 ; 4) =

2 3 b) B ( x; y ) = 3 xy − x + 2 y − 1

B (0 ; 1) = c) M (a; b; c) = (a − 1)(b − 2)(c − 3)

M (1 ; − 1 ; − 1) =

Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014

Página: 2




MONOMIOS

Definición Un monomio es una EA en la cual solamente aparecen entre las variables y los números, las operaciones de producto, cociente y/o potenciación. Por ejemplo: − ab 4 ;

2 2a 8 2 6 m ; xy ; am z ; . 3 7 5

Partes de un monomio En un monomio distinguimos el coeficiente (el número) y la parte literal (las letras), Por ejemplo, en el monomio

8 8 2 6 a m z el coeficiente es y la parte literal es a 2m6 z . 3 3

Grado de un monomio Es un número que se obtiene sumando todos los exponentes de las variables. Por ejemplo, en los monomios del ejemplo anterior, los grados de cada uno son 5, 1, 2, 9 y 1, respectivamente. Monomios Semejantes Dos monomios son semejantes cuando sus partes literales son iguales. Por ejemplo, los monomios − 4mnt 5 y 12mnt 5 son semejantes. Ejercicio Nro. 2 Completar la siguiente tabla: Monomio 8

Coeficiente

Parte Literal

Grado

9

− 2a bm 45e3 f 2 g 2 − x2 p 2m 2 Operaciones con Monomios Suma y Resta Dos monomios semejantes pueden sumarse y/o restarse entre sí. Se obtiene un nuevo monomio cuya parte literal es la misma que los monomios dados, y cuyo coeficiente es la suma (o resta) de los coeficientes de los monomios dados. Ejemplo: dados − 4mnt 5 y 12mnt 5 , la suma entre ambos es: − 4mnt 5 + 12mnt 5 = 8mnt 5 y la diferencia entre ambos es: − 4mnt 5 − 12mnt 5 = −16mnt 5 . Producto de un número por un Monomio En este caso se multiplican el número y el coeficiente del monomio entre sí. La parte literal no varía.

(

)

Ejemplo: 5 ⋅ − 4mnt 5 = −40mnt 5 Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014

Página: 3

Producto entre Monomios En este caso se multiplican entre sí los coeficientes de ambos monomios, y la parte literal resultante se obtiene sumando los exponentes de letras iguales. 2 3 3 6 2 5 7 3 2 Por ejemplo, el producto entre 5ax yz y − 3 x y mt es − 15ax y z mt

División entre Monomios En este caso se dividen entre sí los coeficientes de ambos monomios, y la parte literal resultante se obtiene restando los exponentes de letras iguales. 2 3 3 6 2 Por ejemplo, el cociente entre 5ax yz y 3 x y mt es

5 −1 − 5 3 −1 − 2 5az 3 ax y z m t = 3 3xy 5mt 2

Potencia de un Monomio En este caso se eleva todo el monomio (coeficiente y parte literal a la potencia dada. Se debe aplicar la propiedad de la potenciación “potencia de otra potencia” en la cual se multiplican entre sí los exponentes.

(

2 3 Por ejemplo, 5ax yz

)

2

( )

2

( )

2

= 52 ⋅ a 2 ⋅ x 2 ⋅ y 2 ⋅ z 3 = 25a 2 x 4 y 2 z 6

Ejercicio Nro. 3 Realizar las operaciones indicadas: a) 7mn3 a 5 − 3mn3a 5 = b)

1 2 2 2 x y z + x2 y 2 z = 2 5 2

 3  c)  − x 3 y 5 z 2  =  4 

(

)

d) 4 ⋅ 3 xy 6 z =

5 3

  6 3 3 2 t am q  =   7 

e)  t 2 m 2vq  ⋅  −


POLINOMIOS

Definición Un polinomio es una EA de la forma siguiente:

P ( x) = an ⋅ x n + an −1 ⋅ x n −1 + an − 2 ⋅ x n − 2 + ... + a3 ⋅ x 3 + a2 ⋅ x 2 + a1 ⋅ x + a0 donde:

x es la variable ; ai ∈ R son los coeficientes ; an es el coeficiente principal ; n ∈ N es el grado del polinomio ; a0 es el término independiente : a1 ⋅ x es el término lineal ; a2 ⋅ x 2 es el término cuadrático.

Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014

Página: 4

Grado de un polinomio El grado de un polinomio es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x. Tipos de polinomios Según el grado los polinomios pueden ser de: Primer Grado  P ( x) = 4 x + 1 Segundo Grado  P ( x) = 6 − 2 x 2 − 3,2 x Tercer Grado  P ( x) = x 3 − x + 1 Cuarto Grado  P ( x) = −4 x3 + 8 x 2 + 12 x 4 etc. Según la cantidad de términos los polinomios pueden ser: Monomios  P ( x) = − x 7 Binomios  P ( x) = x + 2 Trinomios  P ( x) = x3 − x + 1 Cuatrinomios  P ( x) = 1 − 4 x 3 + 8 x 2 + 12 x 4 Además, si un polinomio tiene todos los coeficientes iguales a cero, se llama nulo. Por ejemplo: P ( x) = 0 x 2 + 0 x + 0 Si un polinomio tiene todos sus términos, desde el término independiente hasta el término de mayor grado, se dice que está completo. Sino, se dice que está incompleto. Por ejemplo: P ( x) = 1 − 4 x 3 + 8 x 2 + 12 x 4 + 5 x está completo pero P ( x) = x3 + 5 está incompleto. Un polinomio está ordenado si está escrito de manera que el grado de sus términos va de mayor a menor. Por ejemplo: P ( x) = x 3 + 3 x 2 − 4 está ordenado. Ejercicio Nro. 4 Unir:

P( x) = 3x 2 − 4 P ( x) = 0,1x 3 + 3 x 2 + 2,5 x − 4,1 P( x) = x 2 − 1 − 9 x P( x) = 3 +

4 x 5

Ordenado Completo Primer grado Segundo grado Tercer grado Binomio Trinomio Cuatrinomio

Valor Numérico de un polinomio Es el resultado que se obtiene al sustituir la variable x por un número dado. 2 Ejemplo: si P ( x) = x − 1 − 4 x y x = 2 entonces P ( 2) = 4 − 1 − 8 = −5 .

Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014

Página: 5

Operaciones con Polinomios Suma y Resta de Polinomios En este caso, se suman (o restan) solamente los términos semejantes entre sí. 3

2

Por ejemplo: sean P ( x) = 3 x 3 − 5 x + 7 ; Q ( x ) = 2 − 9 x + x − 5 x Entonces:

(

) (

)

(

) (

)

P ( x) + Q( x) = 3 x 3 − 5 x + 7 + 2 − 9 x3 + x 2 − 5 x = 3 x 3 − 5 x + 7 + 2 − 9 x 3 + x 2 − 5 x = −6 x 3 + x 2 − 10 x + 9 P ( x) − Q( x) = 3 x 3 − 5 x + 7 − 2 − 9 x 3 + x 2 − 5 x = 3 x 3 − 5 x + 7 − 2 + 9 x 3 − x 2 + 5 x = 12 x 3 − x 2 + 5 Producto de un número por un Polinomio En este caso se multiplica el número por cada uno de los coeficientes del polinomio.

(

)

Por ejemplo: si P ( x) = 3 x 3 − 5 x + 7 entonces 4 ⋅ P ( x) = 4 ⋅ 3 x 3 − 5 x + 7 = 12 x 3 − 20 x + 28 Producto entre Polinomios Se aplica la propiedad distributiva, teniendo en cuenta los signos y que los exponentes de iguales bases se suman. Por ejemplo: sean P ( x) = 3 x 3 − 5 x + 7 ; Q ( x) = −2 x 2 + 5 .

(

)(

)

Entonces: P ( x) ⋅ Q ( x) = 3 x 3 − 5 x + 7 ⋅ − 2 x 2 + 5 = − 6 x 5 + 15 x 3 + 10 x 3 − 25 x − 14 x 2 + 35

= − 6 x 5 + 25 x 3 − 14 x 2 − 25 x + 35 División entre Polinomios Sólo veremos el caso de división en la cual el polinomio divisor es un binomio del tipo ( x + a ) o Para esto aplicamos la conocida por Regla de Ruffini.

(x − a ) .

Veamos un ejemplo. (*) Supongamos que queremos realizar P ( x) / Q ( x) siendo P ( x) = −3 x 2 + x 4 + 2 y Q ( x) = x − 3 Primero se completa y ordena el polinomio dividendo. En nuestro ejemplo quedará:

P( x) = x 4 + 0 x 3 − 3x 2 + 0 ⋅ x + 2 Luego armamos una tabla colocando en la parte superior los coeficientes del dividendo y en la parte inferior izquierda el opuesto del término independiente del divisor. Se baja el primer coeficiente.

Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del coeficiente del siguiente término.

(*)

El ejemplo ha sido tomado de http://www.vitutor.com Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014

Página: 6

Sumamos los dos coeficientes, y escribimos el resultado debajo de la línea.

Repetimos el proceso anterior.

Y otra vez.

El último número obtenido es el resto de la división. En este caso, 56. El cociente es un polinomio de un grado inferior al polinomio dividendo. En este caso será de grado 3. Se forma por todos los coeficientes que están debajo de la línea.

C ( x) = x 3 + 3 x 2 + 6 x + 18 2 4 3 2 Por lo tanto la división entre P ( x) = −3 x + x + 2 y Q ( x) = x − 3 es C ( x) = x + 3 x + 6 x + 18 y el resto es 56.

En el caso de ser el resto cero, se dice que la división es exacta. Ejercicio Nro. 5 Dados P ( x) = 2 x 5 − 3 x3 + x + 8 ; M ( x) =

1 3 x + x − 5 ; N ( x) = 2 x − 5 ; Q ( x) = x − 2 hallar: 2

3P ( x) − 2 M ( x) =

M ( x) ⋅ N ( x) =

P( x) : Q( x) =

2 − N ( x ) + Q ( x ) + 3M ( x ) = 3 Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014

Página: 7

Teorema del Resto El resto de dividir un polinomio P (x) por otro del tipo ( x − a ) es el valor numérico del polinomio cuando x = a . Es decir, el resto es P (a ) . Ejemplo: sean P ( x) = 3 x 3 + 2 x 2 − 1 y Q ( x) = x − 2 . Entonces el resto de dividir P ( x) / Q ( x) es:

P (2) = 3 ⋅ 8 + 2 ⋅ 4 − 1 = 24 + 8 − 1 = 31 . Luego, el resto es 31. Ejercicio Nro. 6 Hallar los restos de las siguientes divisiones, aplicando el Teorema del Resto: a) P ( x) = − x 3 + 3 x − 4 ; Q ( x) = x − 3


b) P ( x) = 5 x 2 − x − 40 ; Q ( x) = x + 5

FACTORIZACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Veremos los tres principales casos en los cuales una E.A. puede factorizarse, es decir, transformarse en un producto de varias E.A. o

1er Caso: Factor Común

Consiste en “extraer” un coeficiente y/o letras que se encuentren en todos los términos de una E.A. Por ejemplo: Sea 6ab 2 c 3 + 8a 4 b 2 − 2a 3b 3 c . Vemos que el 2 es un coeficiente común en los tres términos y las letras ab 2 también.

(

2 3 3 2 Por lo tanto nos queda: 6ab 2 c 3 + 8a 4 b 2 − 2a 3b 3 c = 2ab ⋅ 3c + 8a − a bc

o

)

2do Caso: Binomio al cuadrado

Veamos a qué es igual un binomio elevado al cuadrado.

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 2 = (a − b)(a − b) = a 2 − ab − ba + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 Entonces:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ;

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Nota: Cuando un binomio se eleva al cuadrado se obtiene un Trinomio cuadrado perfecto. o

3er Caso: Diferencia de cuadrados

Veamos a qué es igual una diferencia entre dos cuadrados.

a 2 − b 2 = a 2 + ab − ab − b 2 = a (a + b) − b(a + b) = (a + b)(a − b) Entonces:

a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)

Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014

Página: 8

Ejercicio Nro. 7 a) Extraer factor común:

− 15m 2 an 6t + 20an 4t 3 − 45t 2 n 9 m 2 a = 12 3 5 9 36 6 2 2 5 a b cd − a m c b = 5 5 b) Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado:

(3 + y ) 2 = (5 − mn) 2 =

(a

2

)

2

+1 =

c) Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados:

1 − m2n2 = 25a 2 − 100 z 4 = x 8 −1 = p4 − q4 = Raíces de Polinomios Una raíz de un polinomio es el valor de la variable x que hace que el valor numérico del polinomio sea cero. En otras palabras, es el valor que hace que el polinomio sea nulo. Es decir: sea P (x) un polinomio. Entonces si cuando x = a sucede que P ( a ) = 0 diremos que x = a es una raíz de P . Ejemplo: Sea P ( x) = x 2 − 8 x + 7 . Veamos que si x = 1 o x = 7 el polinomio se anula.

P (1) = 12 − 8 ⋅1 + 7 = 1 − 8 + 7 = 0

;

P (7) = 7 2 − 8 ⋅ 7 + 7 = 49 − 56 + 7 = 0

Luego, x = 1 y x = 7 son raíces de P ( x) = x 2 − 8 x + 7 . Ejercicio Nro. 8 a) Encuentra las raíces de los siguientes polinomios de primer grado:

P ( x ) = −4 x + 8

;

P( x) =

2 1 x+ ; P ( x ) = 6 x ; P ( x ) = −1 − 9 x 5 2

b) Encuentra las raíces de los siguientes polinomios de segundo grado:

P( x) = x 2 − 1 ; P( x) = x 2 + 1 ; P( x) = 2 x 2 − x ; P( x) =

1 2 3 x + x 4 4

Apunte Prof. Mabel Chrestia – RRP (Lic. en Admin., Lic. en Economía, Lic. en Hotelería, Lic. en Turismo) – UNRN – 2014