IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas

OPERACIONES CON FUNCIONES 2º Bachillerato de CCSS

OPERACIONES CON FUNCIONES 1. SUMA Y RESTA DE FUNCIONES
Dadas f (x ) y g (x ) funciones reales de variable real se define la función suma (f + g)(x) como: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x )

con

Dom ( f + g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g )

Es decir, la función ( f + g ) hace corresponder a cada número real ““x” la suma de las l imágenes de dicho número por las funciones f y g. El dominio de la función ( f + g ) es la intersección de los dominios de las funciones f y g. Esto es así porque, tal y como hemos definido la función ( f + g ) , dado un número real “x”, para ara que exista ( f + g )( x ) han de existir f (x ) y g (x ) . Es decir, [x ∈ Dom ( f + g ) ⇔ x ∈ Dom ( f ) y x ∈ Dom ( g )]


Del mismo modo se define la función resta (f – g)(x) como: ( f − g )( x) = f ( x ) − g ( x )

con

Dom ( f − g ) = Dom ( f ) ∩ Dom ( g )

Ejemplos: 1) Dadas las funciones f ( x) =

x −1 x+2 y g ( x) = 2 halla ( f + g )( x) y su dominio. dominio x +1 x −1

f ( x) =

x −1 → Dom( f ) = ℜ − {−1} x +1

g ( x) =

x+2 → Dom( f ) = ℜ − {−1,1} x2 −1

( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) = =

x −1 x + 2 x −1 x+2 ( x − 1) 2 + x + 2 x 2 − 2 x + 1 + x + 2 + 2 = + = = = x + 1 x − 1 x + 1 ( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) x2 − 1

x2 − x + 3 x2 −1 x2 − x + 3 x2 −1

•

Por tanto, ( f + g )( x) =

•

Dom( f + g ) = Dom( f ) ∩ Dom( g ) = (ℜ − {−1}) ∩ (ℜ − {−1,1}) = ℜ − {−1,1}

2) Dadas las funciones p ( x) = x + 1 y l ( x) = x 2 − 4 x + 3 halla ( p − l )( x) y su dominio. p ( x) = x + 1 → Dom( f ) = {x ∈ ℜ / x + 1 ≥ 0} = [−1,+∞) l ( x) = x 2 − 4 x + 3 → Dom( f ) = {x ∈ ℜ / x 2 − 4 x + 3 ≥ 0} = (−∞,1] ∪ [3,+∞) ( p − l )( x) = p ( x) − l ( x) = x + 1 − x 2 − 4 x + 3

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•

Por tanto, ( p − l )( x) = x + 1 − x 2 − 4 x + 3

•

Dom( p − l ) = Dom( p) ∩ Dom(l ) = [−1,+∞) ∩ ((−∞,1] ∩ [3,+∞)) = [−1,1] ∪ [3,+∞ , )

2. PRODUCTO DE FUNCIONES
Dadas f (x ) y g (x ) funciones reales de variable real se define la función producto product (f · g)(x) como: ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x )

con

Dom ( f ⋅ g ) = Dom ( f ) ∩ Dom (g )

Es decir, la función ( f ⋅ g ) hace corresponder a cada número real “x” el producto de las imágenes de dicho número por las funciones f y g. El dominio de la función ( f ⋅ g ) es la intersección de los dominios de las funciones f y g. Esto es así porque, tal y como hemos definido la función ( f ⋅ g ) , dado un número real “x” para ara que exista ( f ⋅ g )( x ) han de existir f (x ) y g (x ) .Es decir, [ x ∈ Dom ( f ⋅ g ) ⇔ x ∈ Dom ( f ) y x ∈ Dom ( g )] Ejemplo: Dadas las funciones j ( x) =

x −1 3− x y s(x ) = hallar ( j ⋅ s)( x) y su dominio. x +1 x −1

j ( x) =

x −1 → Dom( f ) = ℜ − {−1} x +1

s( x) =

3− x → Dom( f ) = ℜ − {1} x −1

( j ⋅ s)( x) = j ( x) ⋅ s( x) =

x −1 3 − x 3 − x ⋅ = x + 1 x −1 x +1 3− x x +1

•

Por tanto, ( j ⋅ s)( x) =

•

Dom( j ⋅ s ) = Dom( j ) ∩ Dom( s) = (ℜ − {−1}) ∩ (ℜ − {1}) = ℜ − {−1,1}

OBSERVACIÓN: No se debe simplificar la expresión analítica (la fórmula) de una operación con funciones si no se indica cual es su dominio; de d lo contrario, el dominio que se deduce después de la simplificación no es el correcto, y la función no es la misma. Observa el ejemplo anterior:

( j ⋅ s)( x) = j ( x) ⋅ s( x) =

x − 1 3 − x 3 − x hemos simplificado y, por tanto, 3− x ⋅ =         →( j ⋅ s)( x) = x +1 x +1 x −1 x +1

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Si calculamos el dominio directamente de la expresión ex simplificada, ( j ⋅ s)( x) =

3− x , obtenemos x +1

Dom( j ⋅ s )( x) = ℜ − {−1} que no coincide con el dominio reall de ( j ⋅ s)( x)

Dom( j ⋅ s)( x) = [ Dom( j ) ∩ Dpm( s)] = ℜ − {−1,1}

3. COCIENTE DE FUNCIONES
Dadas f (x ) y g (x ) funciones reales de variable real se define la función cociente (f / g)(x) como:  f ( x ) = f ( x )  g g ( x)

con

Dom f  = [ Dom( f ) ∩ Dom( g )] − {x ∈ Dom ( g ) / g ( x ) = 0}  g

“ el cociente de las imágenes de dicho Es decir, la función ( f / g ) hace corresponder a cada número real “x” número por las funciones f y g. El dominio de la función ( f / g ) es la intersección de los dominios de las funciones f y g menos aquellos valores que anulan a g (¡recuerda! no se puede dividir por 0). 0) Esto es así porque, tal y como hemos definido la función ( f / g ) , dado un número real “x” “ para que exista ( f / g )( x ) han de existir f (x ) y g (x ) , y además, no anularse g en dicho número ( g ( x ) ≠ 0) para poder efectuar la división [ x ∈ Dom ( f / g ) ⇔ x ∈ Dom ( f ) , x ∈ Dom ( g )

y

f ( x) . Es decir, g ( x)

g ( x ) ≠ 0]

Ejemplo: Dadas las funciones f ( x) = ( f s )( x ) =

1 3− x y s( x) = halla  f (x) y su dominio.  s x −4 x −1 2

f ( x) 1 3− x x −1 x −1 = 2 : = = 2 3 s ( x ) x − 4 x − 1 (3 − x )( x − 4) − x + 3 x 2 + 4 x − 12

x −1 − x + 3x 2 + 4 x − 12

•

Por tanto, ( f / s)( x) =

•

Dom( f / s) = [ Dom( f ) ∩ Dom( s)] − {x / s( x) = 0} = [ℜ − {−2,2} ∩ ℜ − {1}] − {3} = ℜ − {−2,1,2,3}

3

Dom( f ) = ℜ − {−2,2} Dom(s ) = ℜ − {1} s ( x) = 0 ⇔

3− x =0⇔ x=3 x −1

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4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CIONES Otra forma de obtener una función a partir de dos funciones f (x ) y g (x ) , es hacer que actúen una a continuación de la otra. Esta operación se llama composición de funciones.


Dadas f (x ) y g (x ) funciones reales de variable real se define la función f compuesta con g y se denota por ( g o f )( x) como la función que se obtiene aplicando la función g a f (x ) (es decir, aplicando la función g a la imagen de x por la función f)

x

f (x )

g [ f ( x )]

( g o f )( x) = g[ f ( x)] El dominio de la función f compuesta con g es Dom( g o f ) = {x ∈ Dom( f ) / f ( x) ∈ Dom( g )} . Esto es así porque, tal y como hemos definido ( g o f )( x) , dado un número real “x” “ para que exista

( g o f )( x) ha de existir primero f (x ) (es decir x ∈ Dom ( f )) y después f (x ) tiene que pertenecer al Dom(g ) para poder calcular g[ f ( x)] .

Por tanto,

( g o f )( x) = g[ f ( x)] Dom( g o f ) = {x ∈ Dom( f ) / f ( x) ∈ Dom( g )}


Del mismo modo, dadas f (x ) y g (x ) funciones reales de variable real se define la función g compuesta con f y se denota por ( f o g )( x) como la función que se obtiene aplicando la función f a g (x ) (es decir, aplicando la función f a la imagen de x por la función g)

x

g (x )

f [ g ( x )]

( f o g )( x) = f [ g ( x)] El dominio de la función g compuesta con f es Dom( f o g ) = {x ∈ Dom( g ) / g ( x) ∈ Dom( f )} .

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Esto es así porque, tal y como hemos definido ( f o g )( x) , dado un número real “x” “ para que exista

( f o g )( x) ha de existir primero g (x ) (es decir x ∈ Dom (g )) y después g (x ) tiene que pertenecer al Dom( f ) para poder calcular f [ g ( x)] . Por tanto,

( f o g )( x) = f [ g ( x)] Dom( f o g ) = {x ∈ Dom( g ) / g ( x) ∈ Dom( f )}

OBSERVACIÓN: La composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa. Es decir, en general,

( f o g )( x) ≠ ( g o f )( x)

Ejemplo: Dadas las funciones f ( x) =

1 y g ( x) = x − 4 hallar ( g o f )( x) ( f o g )( x) y sus dominios. x −4 2

1 1 − 4 x 2 + 16 − 4 x 2 + 17  1  = − 4 = =
( g o f )( x) = g[ f ( x)] = g  2 2 x2 − 4 x2 − 4  x − 4  x − 4 Dom( g o f ) = {x ∈ Dom( f ) / f ( x) ∈ Dom( g )} = {x ∈ ℜ − {−2,2} /

1 ∈ ℜ} = ℜ − {−2,2} x −4 2

1 ∈ ℜ ∀x ∈ ℜ − {−2,2} x −4 2


( f o g )( x ) = f [ g ( x )] = f [ x − 4] =

1 1 = 2 2 ( x − 4) − 4 x − 8 x + 12

Dom( f o g ) = {x ∈ Dom( g ) / g ( x) ∈ Dom( f )} = {x ∈ ℜ / x − 4 ∈ ℜ − {−2,2}} = ℜ − {2,6} x − 4 ≠ −2 ⇔ x ≠ 2 x−4≠ 2⇔ x≠6 En el ejemplo se ve que la composición de funciones no cumple la propiedad conmutativa, es decir,

( f o g )( x) ≠ ( g o f )( x)

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5. FUNCIÓN INVERSA VERSA RESPECTO A LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Antes de ver el concepto de inversa de una función necesitamos algunas definiciones previas. 5.1. DEFINICIONES
Una función f (x ) es inyectiva ⇔ no hay dos elementos del dominio con la misma imagen ⇔ ⇔ [Si f ( a ) = f (b) ⇒ a = b ]


Una función f (x ) es suprayectiva ⇔ Re c ( f ) = ℜ
Una función f (x ) es biyectiva ⇔ es inyectiva y suprayectiva a la vez EJEMPLOS y = x 3 es inyectiva, es decir, no existen dos elementos del dominio con la misma imagen y = x 3 es suprayecti va ya que Re c ( f ) = ℜ y = x 3 es biyectiva pues es inyectiva y suprayecti va a la vez.

y = x 3 − 3 x 2 + 4 no es inyectiva porque existen elementos del dominio con la misma imagen, por ejemplo, f ( −1) = f ( 2) = 0 y = x 3 − 3 x 2 + 4 es suprayecti va porque Re c ( f ) = ℜ y = x 3 − 3 x 2 + 4 no es biyectiva porque, aunque sí es suprayecti va no es inyectiva.

5.2. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA RESPECTO A LA COMPOSICIÓN
Dada una función f (x) se define la función inversa de f(x) respecto a la composición y se denota por f −1 ( x) como aquella función (si existe) tal que:

( f o f −1 )( x) = ( f −1 o f )( x) = x

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Es decir, si hacemos actuar a las funciones f

“ lo deja y f −1 , una detrás de otra, sobre un número real “x”

igual.

f

x

f (x ) f -1

Es decir, la inversa de la función f es aquella función que invierte ( x, f ( x)) (invierte x e y). Esto es, si la función f hace corresponder a un número real “x” “ el valor f (x) entonces la función f −1 hace corresponder a

f (x) de nuevo x. En un lenguaje coloquial podríamos decir que: que “ f −1 deshace lo que hace f ” OBSERVACIÓN:

PARA

QUE

UNA

FUNCIÓN

TENGA

INVERSA

RESPECTO

A

LA

COMPOSICIÓN ES IMPRESCINDIBLE QUE SEA INYECTIVA. INYECTIVA Si no es así, una misma imagen y = f (x) puede tener más de un original " x" y entonces la correspondencia inversa no sería una función puesto que a un mismo valor y = f (x) le correspondería más de un valor

x = f −1 ( f ( x)) Si f no es inyectiva existen elementos del dominio con la misma imagen: x1 f y x2

Pero entonces, la correspondencia inversa f

–1

no es una función, ya que un mismo original (elemento del

conjunto inicial) tiene más de una imagen. imagen Recuerda ecuerda que para que una relación entre dos conjuntos sea una función a cada elemento del primer conjunto le tiene que corresponder un único elemento del segundo conjunto) x1 f

-1

y x2

Veámoslo con un ejemplo concreto, la función f ( x) = x 2

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f no es inyectiva porque existen elementos del dominio con la misma imagen, por ejemplo, f (−1) = f (1) = 1 Ahora invertimos los papeles de “x”” e “y”. “ Es como si girásemos la gráfica 90º en sentido de las agujas del reloj.

Esta correspondencia no es una función, hay valores del conjunto de partida que tienen más de una imagen.

 f −1 (1) = 1  −1  f (1) = −1 5.3. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN 1) Sustituimos f (x) por y. 2) Se intercambian x e y. 3)) Se busca la expresión que proporciona y en función de x.. Esta expresión es la de la función inversa de f 4) Sustituimos y por f −1 ( x) Para comprobar si dos funciones son inversas tenemos que comprobar que se verifica la definición:

( f o f −1 )( x) = x

y

( f −1 o f )( x) = x

OBSERVACIÓN: Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrante) EJEMPLOS a) Dada la función r ( x) =

2x −1 calcula r −1 x+3


Primero comprobaremos si r ( x) =

2x −1 es inyectiva, es decir, [si r (a ) = r (b) ⇒ a = b] x+3

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r (a) = r (b) ⇒

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2a − 1 2b − 1 = ⇒ (2a − 1) ⋅ (b + 3) = (a + 3) ⋅ (2b − 1) ⇒ 2ab + 6a − b − 3 = 2ab − a + 6b − 3 ⇒ a+3 b+3

⇒ 7a = 7b ⇒ a = b Por tanto, r (x) es inyectiva y existe r −1 ( x)
Ahora calculamos r −1 ( x) 1) Sustituimos r(x) por y → r ( x) = 2) Intercambiamos x e y → x =

2x −1 2x −1 ⇒y= x+3 x+3

2 y −1 y +3

3) Operamos para despejar y en función de x:

x ⋅ ( y + 3) = 2 y − 1 ⇒ xy + 3x = 2 y − 1 ⇒ 3x + 1 = 2 y − xy ⇒ 3x + 1 = y ⋅ (2 − x) ⇒ y = 4) Sustituimos y por r −1 ( x) : r −1 ( x) =

3x + 1 2− x

3x + 1 2− x


COMPROBACIÓN

3x + 1 6x + 2 −1 −1 2⋅ 3 x + 1 6x + 2 − 2 + x 7 x   2− x 2− x (r o r −1 )( x) = r r −1 ( x) = r  = = = = =x  3x + 1 3x + 1 + 6 − 3x 7 7  2− x  +3 2− x 2− x

[

]

2x − 1 6x − 3 3⋅ +1 +1 − 2 x 1 6x − 3 + x + 3 7 x   x+3 x+3 (r −1 o r )( x) = r −1 [r ( x)] = r −1  = = = = =x  2x − 1 2x + 6 − 2x + 1 7 7  x+3  2− x+3 x +1 Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrantes)

Dom(r ) = ℜ − {−3}

Re c(r ) = ℜ − {2}

Dom(r −1 ) = ℜ − {2}

Re c(r −1 ) = ℜ − {− { 3}

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b) Dada la función g ( x) = x 2 − 6 calcula g −1
Primero comprobaremos si g ( x) = x 2 − 6 es inyectiva, es decir, [si g (a) = g (b) ⇒ a = b]

g (a) = g (b) ⇒ a 2 − 6 = b 2 − 6 ⇒ a 2 = b 2 ⇒ a = ±b Por tanto, g (x) NO es inyectiva En consecuencia no existe la función g −1 ( x) (aunque existe la correspondencia inversa g −1 ( x) no es una

función).


Lo que haremos será restringuir el dominio de g (x) a un conjunto en el que sí sea una función inyectiva y, por tanto, sí exista la función g −1 ( x) .

g ( x) = x 2 − 6 1) a = 1 > 0 ⇒ ∪ 2) Vértice (0,−6) 3) Tabla de valores x

−3

−2

−1

0

1

2

3

y

3

−2

−5

−6

−5

−2

3

Restringuimos g ( x) = x 2 − 6 al conjunto [0,+∞)


Ahora calculamos g −1 ( x) 1) g ( x) = x 2 − 6 ⇒ y = x 2 − 6 2) x = y 2 − 6 ⇒ y 2 = x + 6 3) y = x + 6 4) g −1 ( x) = x + 6 con x ∈ [−6,+∞)

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COMPROBACIÓN

[

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]

( g o g −1 )( x) = g g −1 ( x) = ( x + 6 ) 2 − 6 = x ( g −1 o g )( x) = g −1 [g ( x)] = x 2 − 6 + 6 = x Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta y = x (bisectriz del primer y tercer cuadrantes)

Dom( g ) = [0,+∞) Dom( g −1 ) = [−6,+∞)

Re c( g ) = [−6,+∞) Re c( g −1 ) = [0,+∞)