Operaciones matemáticas con arreglos

´ Operaciones matematicas con arreglos ´ ´ Curso: Metodos Numericos en Ingenier´ıa ´ Profesor: Dr. Jose´ A. Otero Hernandez Correo: [email protected]

Author: Catalina Jiménez Aranda

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´ Operaciones matematicas con arreglos

´ ´ Curso: Metodos Numericos en Ingenier´ıa ´ Profesor: Dr. Jose´ A. Otero Hernandez Correo: [email protected] web: http://metodosnumericoscem.weebly.com Universidad: ITESM CEM

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Topicos 1

´ Introduccion

2

Operaciones del algebra lineal Suma y resta ´ Multiplicacion ´ Division ´ Exponenciacion

3

Operaciones elemento a elemento ´ Multiplicacion ´ derecha Division ´ izquierda Division ´ Exponenciacion

4

Ejemplos

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Topicos 1

´ Introduccion

2

Operaciones del algebra lineal Suma y resta ´ Multiplicacion ´ Division ´ Exponenciacion

3

Operaciones elemento a elemento ´ Multiplicacion ´ derecha Division ´ izquierda Division ´ Exponenciacion

4

Ejemplos

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Objetivos de la clase ´ Estudiar las operaciones basicas con arreglos. Por ejemplo, Utilizando las reglas del algebra lineal Suma de arreglos, Resta de arreglos, ´ de arreglos, Multiplicacion ´ izquierda de arreglos, Division ´ derecha de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion Utilizando operaciones elemento a elemento ´ de arreglos, Multiplicacion ´ derecha de arreglos, Division ´ izquierda de arreglos, Division ´ de arreglos. Exponenciacion

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Topicos 1

´ Introduccion

2

Operaciones del algebra lineal Suma y resta ´ Multiplicacion ´ Division ´ Exponenciacion

3

Operaciones elemento a elemento ´ Multiplicacion ´ derecha Division ´ izquierda Division ´ Exponenciacion

4

Ejemplos

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

Suma y resta

Suma

A11 A21

A12 A22

A13 A23

+

B11 B21

B12 B22

B13 B23

>> A = [ 1 2 5 7 ; 3 8 1 1 1 9 ] A = 1 2 5 7 3 8 11 19 >> B = [ 3 4 1 0 1 4 ; 6 1 6 2 2 2 9 ] B = 3 4 10 14 6 16 22 29 >> C=A+B C = 4 9

6 24

15 33

21 48

=

A11 + B11 A21 + B21

A12 + B12 A22 + B22

A13 + B13 A23 + B23

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

Suma y resta

Suma

A11 A21

A12 A22

A13 A23

+

B11 B21

B12 B22

B13 B23

>> A = [ 1 2 5 7 ; 3 8 1 1 1 9 ] A = 1 2 5 7 3 8 11 19 >> B = [ 3 4 1 0 1 4 ; 6 1 6 2 2 2 9 ] B = 3 4 10 14 6 16 22 29 >> C=A+B C = 4 9

6 24

15 33

21 48

=

A11 + B11 A21 + B21

A12 + B12 A22 + B22

A13 + B13 A23 + B23

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

Suma y resta

Resta

A11 A21

A12 A22

A13 A23

−

B11 B21

B12 B22

B13 B23

>> A = [ 1 2 5 7 ; 3 8 1 1 1 9 ] A = 1 2 5 7 3 8 11 19 >> B = [ 3 4 1 0 1 4 ; 6 1 6 2 2 2 9 ] B = 3 4 10 14 6 16 22 29 >> C=B−A C = 2 3

2 8

5 11

7 10

=

A11 − B11 A21 − B21

A12 − B12 A22 − B22

A13 − B13 A23 − B23

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

Suma y resta

Resta

A11 A21

A12 A22

A13 A23

−

B11 B21

B12 B22

B13 B23

>> A = [ 1 2 5 7 ; 3 8 1 1 1 9 ] A = 1 2 5 7 3 8 11 19 >> B = [ 3 4 1 0 1 4 ; 6 1 6 2 2 2 9 ] B = 3 4 10 14 6 16 22 29 >> C=B−A C = 2 3

2 8

5 11

7 10

=

A11 − B11 A21 − B21

A12 − B12 A22 − B22

A13 − B13 A23 − B23

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Suma y resta

Suma y resta >> A = [ 1 2 5 7 ; 3 8 1 1 1 9 ] A = 1 2 5 7 3 8 11 19 >> D = 5 +A D = 6 7 8 13

10 16

12 24

>> C = A−2 C = −1 0 1 6

3 9

5 17

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Multiplicacion

A11 A21

A12 A22

∗

B11 B21

B12 B22

=

A11 B11 + A12 B21 A21 B11 + A22 B21

>> A = [ 1 4 2 ; 5 7 3 ; 9 1 6 ; 4 2 8 ] A = 1 4 2 5 7 3 9 1 6 4 2 8 >> B = [ 6 1 ; 2 5 ; 7 3 ] B = 6 1 2 5 7 3 >> C = A∗B C = 28 27 65 49 98 32 84 38

A11 B12 + A12 B22 A21 B12 + A22 B22

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Multiplicacion

A11 A21

A12 A22

∗

B11 B21

B12 B22

=

A11 B11 + A12 B21 A21 B11 + A22 B21

>> A = [ 1 4 2 ; 5 7 3 ; 9 1 6 ; 4 2 8 ] A = 1 4 2 5 7 3 9 1 6 4 2 8 >> B = [ 6 1 ; 2 5 ; 7 3 ] B = 6 1 2 5 7 3 >> C = A∗B C = 28 27 65 49 98 32 84 38

A11 B12 + A12 B22 A21 B12 + A22 B22

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Multiplicacion

>> A = [ 1 4 2 ; 5 7 3 ; 9 1 6 ; 4 2 8 ] A = 1 4 2 5 7 3 9 1 6 4 2 8 >> B = [ 6 1 ; 2 5 ; 7 3 ] B = 6 1 2 5 7 3 >> C = B∗A ??? E r r o r u s i n g == > mtimes I n n e r m a t r i x dimensions must agree .

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Multiplicacion

>> A = [ 1 4 2 ; 5 7 3 ; 9 1 6 ; 4 2 8 ] A = 1 4 2 5 7 3 9 1 6 4 2 8 >> C = 2 ∗A C = 2 8 10 14 18 2 8 4

4 6 12 16

>> C = A∗2 C = 2 8 10 14 18 2 8 4

4 6 12 16

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Division

h

4 2 6

−2 8 10

6 2 3

ih

´ izquierda Division >> A = [ 4 − 2 6 ; 2 A = 4 −2 2 8 6 10 >> B = [ 8 ; 4 ; 0 ] B = 8 4 0 >> x = A\B x = −1.8049 0.2927 2.6341

8 2;6 10 3] 6 2 3

x y z

i

=

h

8 4 0

i

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

´ Division

Calculando inversa >> A = [ 4 − 2 6 ; 2 8 2 ; 6 1 0 3 ] ; >> B = [ 8 ; 4 ; 0 ] ; >> x = A\B x = −1.8049 0.2927 2.6341 >> x = inv ( A) ∗B x = −1.8049 0.2927 2.6341

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Division

[

x

y

z

]

h

4 −2 6

2 8 2

´ derecha Division >> C = [ 4 2 6 ; − 2 8 1 0 ; 6 2 3 ] C = 4 2 6 −2 8 10 6 2 3 >> D = [ 8 4 0 ] D = 8 4 0 >> x = D / C x = −1.8049 0.2927 2.6341

6 2 3

i

=[

8

4

0

]

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

´ Division

Calculando inversa >> C = [ 4 2 6 ; − 2 8 1 0 ; 6 2 3 ] ; >> D = [ 8 4 0 ] ; >> x = D / C x = −1.8049

0.2927

2.6341

>> x = D∗ inv (C) x = −1.8049 0.2927

2.6341

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

´ Exponenciacion

>> A = [ 4 − 2 6 ; 2 8 2 ; 6 1 0 3 ] A = 4 −2 6 2 8 2 6 10 3 >> C = A∗A C = 48 36 38 36 80 34 62 98 65 >> C = Aˆ 2 C = 48 36 38 36 80 34 62 98 65

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Topicos 1

´ Introduccion

2

Operaciones del algebra lineal Suma y resta ´ Multiplicacion ´ Division ´ Exponenciacion

3

Operaciones elemento a elemento ´ Multiplicacion ´ derecha Division ´ izquierda Division ´ Exponenciacion

4

Ejemplos

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Multiplicacion

´ elemento por elemento Multiplicacion >> A = [ 4 − 2 6 ; 2 8 2 ; 6 1 0 3 ] A = 4 −2 6 2 8 2 6 10 3 >> B = [ 2 3 − 1 ; 5 8 1 ; 1 1 3 4 ] B = 2 3 −1 5 8 1 11 3 4 >> C = A . ∗ B C = 8 −6 −6 10 64 2 66 30 12

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ derecha Division

´ derecha elemento por elemento Division >> A = [ 4 − 2 6 ; 2 8 2 ; 6 1 0 3 ] A = 4 −2 6 2 8 2 6 10 3 >> B = [ 2 3 − 1 ; 5 8 1 ; 1 1 3 4 ] B = 2 3 −1 5 8 1 11 3 4 >> C = A . / B c = 2.0000 −0.6667 −6.0000 0.4000 1.0000 2.0000 0.5455 3.3333 0.7500

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ izquierda Division

´ izquierda elemento por elemento Division >> A = [ 4 − 2 6 ; 2 8 2 ; 6 1 0 3 ] A = 4 −2 6 2 8 2 6 10 3 >> B = [ 2 3 − 1 ; 5 8 1 ; 1 1 3 4 ] B = 2 3 −1 5 8 1 11 3 4 >> C = A . \ B C = 0.5000 −1.5000 −0.1667 2.5000 1.0000 0.5000 1.8333 0.3000 1.3333

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

´ Exponenciacion

´ por elemento Exponenciacion >> A = [ 4 − 2 6 ; 2 A = 4 −2 2 8 6 10 >> C = A . ˆ 2 C = 16 4 4 64 36 100

8 2;6 10 3] 6 2 3

36 4 9

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

´ Topicos 1

´ Introduccion

2

Operaciones del algebra lineal Suma y resta ´ Multiplicacion ´ Division ´ Exponenciacion

3

Operaciones elemento a elemento ´ Multiplicacion ´ derecha Division ´ izquierda Division ´ Exponenciacion

4

Ejemplos

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplo 1 Cree las siguientes matrices: 

 5 8 7 A= 1 4 3  6 −2 1

 −3 1 8 B= 4 7 2  −5 3 6 

a) Calcule A + B b) Calcule A − B c) Calcule A ∗ B d) Calcule AB e) Calcule A−1 ∗ B

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

Ejemplo 2 ´ El circuito electrico esta formado por distintas resistencias y ´ Determinar la intensidad de corriente fuentes de alimentacion. que pasa por cada resistencia utilizando para ellos las leyes de ´ de circuitos resistivos. Los datos son: Kirchhoff para la solucion V 1 = 20, V, V2 = 12 V, V3 = 40 V R1 = 18 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 16 Ω R4 = 6 Ω, R5 = 15 Ω, R6 = 8 Ω R7 = 12 Ω, R8 = 14 Ω,

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Ejemplo 2

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones V1 − R1 i1 − R3 (i1 − i3 ) − R2 (i1 − i2 ) = 0 −R5 i2 − R2 (i2 − i1 ) − R4 (i2 − i3 ) − R7 (i2 − i4 ) = 0 −V2 − R6 (i3 − i4 ) − R4 (i3 − i2 ) − R3 (i3 − i1 ) = 0 V3 − R8 i4 − R7 (i4 − i2 ) − R6 (i4 − i3 ) = 0 Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones V1 − i1 (R1 + R2 + R3 ) + i2 R2 + i3 R3 = 0 i1 R2 − i2 (R2 + R4 + R5 + R7 ) + i3 R4 + i4 R7 = 0 −V2 + i1 R3 + i2 R4 − i3 (R3 + R4 + R6 ) + i4 R6 = 0 V3 + i2 R7 + i3 R6 − i4 (R6 + R7 + R8 ) = 0

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones V1 − R1 i1 − R3 (i1 − i3 ) − R2 (i1 − i2 ) = 0 −R5 i2 − R2 (i2 − i1 ) − R4 (i2 − i3 ) − R7 (i2 − i4 ) = 0 −V2 − R6 (i3 − i4 ) − R4 (i3 − i2 ) − R3 (i3 − i1 ) = 0 V3 − R8 i4 − R7 (i4 − i2 ) − R6 (i4 − i3 ) = 0 Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones V1 − i1 (R1 + R2 + R3 ) + i2 R2 + i3 R3 = 0 i1 R2 − i2 (R2 + R4 + R5 + R7 ) + i3 R4 + i4 R7 = 0 −V2 + i1 R3 + i2 R4 − i3 (R3 + R4 + R6 ) + i4 R6 = 0 V3 + i2 R7 + i3 R6 − i4 (R6 + R7 + R8 ) = 0

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones AI = B donde, Ejemplo 2: Sistema de ecuaciones A=

− (R1 + R2 + R3 ) R2 R3 0

R2 − (R2 + R4 + R5 + R7 ) R4 R7

B=

−V1 0 V2 −V3

R3 R4 − (R3 + R4 + R6 ) R6

,

I=

i1 i2 i3 i4

0 R7 R6 − (R6 + R7 + R8 )

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Ejemplo 2 >> V1=20;V2=12;V3=40; >> R1= 1 8 ; R2= 1 0 ; R3= 1 6 ; R4=6; >> R5= 1 5 ; R6 = 8 ; R7= 1 2 ; R8=14; >> A=[ −(R1+R2+R3 ) R2 R3 0 ; R2 −(R2+R4+R5+R7 ) R4 R7 ; R3 R4 −(R3+R4+R6 ) R6 ; 0 R7 R6 −(R6+R7+R8 ) ] A = −44 10 16 0 10 −43 6 12 16 6 −30 8 0 12 8 −34 >> B = [ − V1 ; 0 ; V2;−V3 ] B = −20 0 12 −40

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos

´ Introduccion

Operaciones del algebra lineal

Ejemplo 2 >> I =A\B I = 0.8411 0.7206 0.6127 1.5750

Operaciones elemento a elemento

Ejemplos