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Operaciones con monomios y polinomios Para las operaciones algebraicas se debe de tener en cuenta que existen dos formas para representar cantidades las cuales son números o letras. Al representar una cantidad con letras, se usa el termino variable para llamar a estas letras. Una variable es un símbolo al cual se le puede asignar cualquier valor, ya sea conocido o desconocido. Por ejemplo, se pueden usar las letras 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑜 𝑥, 𝑦, 𝑧. Una expresión matemática donde se usan variables se le conoce como fórmula. Por ejemplo, se conoce la fórmula para calcular el área de un rectángulo: 𝑏×ℎ = 𝑎 Donde: b: representa la base. h: representa la altura. a: representa el área. Con esto podemos saber la forma de calcular el área de un cuadrado sin la necesidad de saber cuánto mide cada lado. Ahora que se tiene una fórmula algebraica se pueden dar valores a cada variable para dar un valor final a la expresión. Por ejemplo, usaremos la siguiente formula: 𝑦 =1+𝑥 Para ésta representación se usó un número y una letra x como variable. Ahora podemos darle distintos valores a x en forma de tabla. Para hacer esto solo se cambia la x por el valor que le damos en la fórmula. Valor de x 1 2 3 4

Valor de y y=1+1=2 y=1+2=3 y=1+3=4 y=1+4=5

Expresión algebraica Una expresión algebraica es una representación dada por una o más operaciones.

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Términos Un término en una expresión algebraica que consta de una o más variables siempre separados entre si por el signo + o -. Por ejemplo: 𝑎, 3𝑏, 2𝑥𝑦,

4𝑎 3𝑥

Un término está formado por las siguientes partes: El signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. El signo es el signo + o – que acompaña al término. El coeficiente es la parte numérica que acompaña al término. La parte literaria son las variables que acompañan al término. El grado está dado por los exponentes que acompañan al término. Existen dos tipos de grado: Grado absoluto: es la suma de todos los exponentes. Grado con relación a una letra: está dado por el exponente de una sola variable. Por ejemplo: −4𝑥 2 𝑦 4 El signo es negativo, el coeficiente es 4, la parte literaria son x junto con y, y finalmente el grado absoluto es de sexto orden o de segundo orden referente a x o cuarto orden referente a y.

Monomio Un monomio es una expresión matemática dada por un solo termino.

Polinomio Un polinomio es una expresión matemática dada por dos o más términos. Por ejemplo: −4𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 8𝑥𝑦 2

Ordenar un polinomio Ordenar un polinomio es escribir sus términos de modo que los exponentes de una letra escogida como letra ordenatriz queden en orden descendente o ascendente. Por ejemplo: Para ordenar el siguiente polinomio de manera ascendente con relación a x: 𝑥 4 𝑦 − 7𝑥 2 𝑦 3 − 5𝑥 5 + 6𝑥𝑦 4 + 𝑦 5 − 𝑥 3 𝑦 2

Colegio Watson y Crick Es resultado queda: 𝑦 5 + 6𝑥𝑦 4 − 7𝑥 2 𝑦 3 − 𝑥 3 𝑦 2 + 𝑥 4 𝑦 − 5𝑥 5 El término independiente de un polinomio con relación a una letra es el término que no tiene la letra ordenatriz.

Términos semejante Son todos los términos que tienen las mismas variables y los mismos exponentes en cada variable. 𝑥 4 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 8𝑥 4 −9𝑥𝑦 2 𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎 4𝑥𝑦 2

Reducción de términos Son operaciones que tiene como objetivo convertir en uno solo término dos o más términos semejantes. Las reglas de las sumas y restas funcionan de igual manera que con los números, se toman los coeficientes de cada termino para hacer las operaciones.

Ejercicios:

Leyes para las operaciones de números. Para las operaciones existen reglas llamadas axiomas que siempre se respetan.

Colegio Watson y Crick Las reglas de las operaciones son:

Igualdad I. II. III.

Axioma de identidad 𝑎 = 𝑎. Axioma de reciprocidad: si 𝑎 = 𝑏, tenemos que 𝑏 = 𝑎. Axioma de transitividad: si 𝑎 = 𝑏 y 𝑏 = 𝑐, tenemos que 𝑎 = 𝑐.

Suma o adición I. II. III. IV.

Axioma de uniformidad: la suma de dos números es siempre igual, es decir, única; así si 𝑎 = 𝑏 y 𝑐 = 𝑑, tenemos que 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑. Axioma de conmutatividad: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎. Axioma de asociatividad: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐). Axioma de identidad, o módulo de la suma: hay un número y solo un número, el cero, de modo que 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎; para cualquier valor de 𝑎. De ahí que el cero reciba el nombre de elemento idéntico o módulo de la suma.

Multiplicación I. II. III. IV. V.

Axioma de uniformidad: el producto de dos números es siempre igual, es decir, único, así si 𝑎 = 𝑏 y 𝑐 = 𝑑, tenemos que 𝑎𝑐 = 𝑑𝑏 Axioma de conmutatividad: 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎. Axioma de asociatividad: (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐). Axioma de distributividad: con respecto a la suma tenemos que 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐. Axioma de identidad, o modulo del producto: hay un número y solo un número, el uno {1}. De modo que 𝑎 ∙ 1 = 1 ∙ 𝑎 = 𝑎, para cualquier valor de 𝑎.

Multiplicación de polinomios Para este caso se tiene que tener en cuenta las leyes de los signos y las leyes de los exponentes que ya se han estudiado. De igual manera se usarán leyes de los coeficientes. El coeficiente del producto de dos factores es el producto de los coeficientes de los factores. Por ejemplo: 2𝑎 ∙ 6𝑏 = 12𝑎𝑏

Regla para la multiplicación Para la multiplicación de dos términos se multiplican los coeficientes y se ordenan las variables con el exponente que tenían en cada termino, luego se usan las leyes de los signos y exponentes para las variables.

Colegio Watson y Crick Por ejemplo: (−2𝑎3 𝑏)(4𝑎𝑏 4 ) = −8𝑎𝑎3 𝑏𝑏 4 = −8𝑎4 𝑏 5

Productos de monomios Es el uso inmediato de la regla para la multiplicación. Ejercicios:

De igual manera se puede aplicar la misma regla para el producto de más monomios. Por ejemplo: (−2𝑎𝑏 2 )(3𝑎𝑏)(2𝑎𝑏 2 ) = −12𝑎𝑎𝑎𝑏𝑏 2 𝑏 2 = −12𝑎3 𝑏5

Multiplicación de monomios por polinomios Para esto se usa el axioma de distibutividad de la multiplicación (clic para revisar) de la siguiente manera: Se ordena el monomio usando el axioma de distibutividad: b−2𝑥(8𝑥 2 + 3) = (−2𝑥)(8𝑥 2 ) + (−2𝑥)(3) La expresión queda dada por productos y sumas de monomios, así se pueden hacer las operaciones adecuadas: (−2𝑥)(8𝑥 2 ) + (−2𝑥)(3) = −16𝑥𝑥 2 + (−6𝑥) = −16𝑥 3 − 6𝑥 Ejercicios:

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