Cátedra de Ingeniería Rural

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agrícola de Ciudad Real

En una estructura de hormigón armado prefabricado, se desea calcular la armadura necesaria (longitudinal y transversal) de una viga biapoyada de 5 m de luz y de sección rectangular (b x h = 300 x 450 mm) que está sometida a una carga uniformemente repartida de 50 kN/m. Realizar las comprobaciones de flexión, cortante y fisuración. Además, determinar si es necesario realizar la comprobación a flecha. Datos: Límite elástico del acero (fyk) = 510 N/mm2. Resistencia característica del hormigón: (fck) = 35 N/mm2.

50 kN/m

5m 450 mm

+

300 mm RA

RB

Cálculos previos Al ser una viga isostática, es sencillo calcular el flector y el cortante máximo, así como conocer las secciones que soportan estos máximos:

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Mmáx

q ⋅ l2 50 ⋅ 52 = = = 156.25 m ⋅ kN 8 8

R A = Rb =

q ⋅ l 50 ⋅ 5 = = 125 kN 2 2

Como el enunciado no nos hace referencia a ninguna limitación de ambiente, consideramos que la viga se encuentra en un Ambiente IIb (Exteriores, en ausencia de cloruros, expuestos a lluvia en zonas con precipitación media anual inferior a 600 mm) y los recubrimientos que adoptamos, suponiendo que el diámetro de los redondos de tracción va a ser 20 mm y que la armadura transversal va a estar constituida por barras de diámetro 8 mm, serán: rnom = ∆r + rmin = 0 + 25 = 25 mm Al tratarse de hormigón prefabricado, suponemos un control de ejecución intenso, por lo que hemos utilizado un margen de recubrimiento ∆r de 0 mm d′ = rnom + φ c +

1 1 φ = 25 + 8 + 20 = 43 mm 2 2

d = h − d' = 450 − 43 = 407 mm

Cálculos a flexión Obtenemos el momento límite con objeto de saber si es necesario colocar armadura de compresión en el centro del vano desde el punto de vista estricto de cálculo. 0.85⋅f cd

RC Mlim

ylim d h

σ1· A1 2

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y   Mlim = 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y lim ⋅  d − lim  2   Alargamiento

Acortamiento εc2 3,5‰

0,259· d

10‰

xlim εy

εs1

Por la ecuación de compatibilidad de las deformaciones,

ε yd d − x lim

=

εc 2 x lim

fyk

Como εc 2 = 3.5 ‰ y ε yd

x lim =

510 γ = = s = 1.155 = 2.22 ‰, calculamos xlim E E 2 ⋅ 10 fyd

3 .5 εc 2 ⋅d = ⋅ 407 = 249 mm 2.22 + 3.5 ε yd + εc 2

y lim = 0.8 ⋅ x lim = 199.2 mm Mlim = 0.85 ⋅

35 199.2   ⋅ 300 ⋅ 199.2 ⋅  407 −  = 364.3 m ⋅ kN 1 .5 2  

M d = γ f ⋅ M = 1.6 ⋅ 156.25 = 250 m ⋅ kN Al ser Md < Mlim , comprobamos que no es necesaria la armadura de compresión.

0.85⋅fcd

RC Md

y d

σ1· A1

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Para calcular la armadura, aplicamos las ecuaciones de la Estática: ∑ MA 1 = 0 y  Md − 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y ⋅  d −  = 0 2  250 ⋅ 106 − 0.85 ⋅

35 y  ⋅ 300 ⋅ y ⋅  407 −  = 0 1 .5 2 

y  250 ⋅ 106 − 5950 ⋅ y ⋅  407 −  = 0 2  250 ⋅ 10 6 − 2421650 ⋅ y + 2975 ⋅ y 2 = 0

y1 = 121.3 mm y 2 = 692.7 mm

Por tanto, y = 121.3 mm ∑ FN = 0 σ1 ⋅ A1 = 0.85 ⋅ fcd ⋅ b ⋅ y

σs fyd

35 σ1 ⋅ A 1 = 0.85 ⋅ ⋅ 300 ⋅ 121.3 = 721.735 N 1 .5 x=

y 121.3 = = 151.6 mm 0 .8 0 .8

E

εyd

εs 10‰

0.259 ⋅ d = 105.4 mm Por tanto, 0.259 ⋅ d < x < x lim , por lo que la sección se encuentra en el dominio 3. En este dominio, σ 1 = f yd , de modo que:

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A1 =

721735 = 1627.4 mm 2 510 1.15

Si elegimos barras de diámetro 20, obtendremos: 1627.4 = 5.2 → 6 φ20 20 2 π⋅ 4 Comprobamos que caben en la sección: 6φ20 :

25 + 8 + 6 ⋅ 20 + 5 ⋅ 20 + 8 + 25 = 286 mm < b

Cuantía mecánica mínima: A S ≥ 0.04 ⋅ A c ⋅ AS = 6 ⋅ π ⋅

fcd f yd

202 = 1885 mm 2 4

A C = 450 ⋅ 300 = 135000 mm 2 35

0.04 ⋅ 135000 ⋅

1.5 = 284.1 mm 2 510 1.15

Cuantía geométrica mínima: Según la EHE, para vigas y acero B 500S es 2.8‰ A 1CGM = 2.8 ⋅

450 ⋅ 300 = 378 mm 2 1000

A 2CGm = 30% ⋅ A 1CGM = 113.4 mm 2

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Por tanto, adoptamos: A1 = 6φ20 A2 = 2φ16

Vamos, antes de seguir con los esquemas de armado, a determinar los puntos de momento mitad: Mmáx = 156.25 m ⋅ kN Mmáx q⋅l q ⋅ x2 = 78.125 = ⋅x− 2 2 2 78.125 = 125 ⋅ x − 25 ⋅ x 2 x1 = 0.73 m

25 ⋅ x 2 − 125 ⋅ x + 78.125 = 0

x 2 = 4.27 m

125 m⋅kN

125 m⋅kN 250 m⋅kN

0.73 m

3.54 m

0.73 m

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Longitudes de anclaje Cara superior: lbII = 1.4 ⋅ m ⋅ φ 2 / 0′02 b⋅d

Al anclar la armadura de tracción se comprueba que en toda la sección va a haber 6φ20, por lo que se obtiene: As = 6 ⋅

ρ1 =

π ⋅ 202 = 1885 mm 2 4

1885 = 1.54 ⋅ 10 − 2 300 ⋅ 407

(

Vcu = 0.10 ⋅ 1.70 ⋅ 100 ⋅ 1.54 ⋅ 10 − 2 ⋅ 35

)

1 3

⋅ 300 ⋅ 407 = 78408 N

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Para comprobar si la separación entre cercos cumple todas las limitaciones de la EHE, vamos a ver la condición impuesta de la fisuración por esfuerzo cortante.

Fisuración por esfuerzo cortante: Vd − 3 ⋅ Vcu ⋅ senα Aα ⋅ d Vd − 3 ⋅ Vcu = 200 − 3 ⋅ 78.4 = −35.2 kN Por lo tanto, la limitación de St ≤ 300 mm se cumple. Vsu = A 90 ⋅ f y 90,α ⋅ 0.90 ⋅ d

A 90 =

π ⋅ 82 4 = 0.42 240

2⋅

Vsu = 0.42 ⋅

510 ⋅ 0.90 ⋅ 407 = 68227 N 1.15

Vu 2 = Vcu + Vsu = 78408 + 68227 = 146635 N Vu 2 < Vd

por lo que no es admisible.

Si decidimos mantener como armadura transversal 2φ8, vamos a comprobar la separación que nos exige este esfuerzo cortante. Vd − Vcu = 200000 − 78408 = 121592 N 121592 = A 90 ⋅

510 ⋅ 0.90 ⋅ 407 1.15

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A 90

π ⋅ 82 2⋅ 4 = 0.75 = S

S = 134 mm. Por tanto, adoptamos una separación entre cercos de 130 mm en la zona más solicitada a cortante, es decir, en las proximidades de los apoyos. A una distancia de 1.25 m de los apoyos, el esfuerzo cortante vale la mitad, Vd =100 kN. Una separación de 240 mm permite absorber con seguridad estos esfuerzos. Esta separación se mantiene en los 2.5 m centrales de la viga.

Comprobación a fisuración Wk ≤ Wmáx

Al der hormigón prefabricado, la anchura máxima de fisura vale: Wmáx = 0.2mm La anchura característica de fisura viene dada por la expresión: Wk = β ⋅ s m ⋅ ε sm β = 1 .7 s m = 2 ⋅ c + 0 .2 ⋅ s + 0 .4 ⋅ k 1 ⋅

φ ⋅ A c,eficaz As

s es la distancia entre ejes de la armadura longitudinal en la sección de estudio. En este caso, la sección más desfavorable corresponde al vano central, donde la armadura traccionada es 6φ20. 300 − 2 ⋅ 25 − 2 ⋅ 8 − 2 ⋅ 20 = 194 mm 11

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194 − 4 ⋅ 20 = 114 mm 114 = 22.8 mm 5 s = 22.8 + 20 = 42.8 < 15 ⋅ φ k1 = 0.125 7.5 ⋅ φ = 7.5 ⋅ 20 = 150 A c ,eficaz = b ⋅ (7.5 ⋅ φ + c ) = 300 ⋅ (150 + 25 ) = 52500 mm 2 sm = 2 ⋅ 25 + 0.2 ⋅ 42.8 + 0.4 ⋅ 0.125 ⋅

ε sm

σ σ  = s ⋅ 1 − k 2 ⋅  sr Es   σs 

σs =

M = 0 .8 ⋅ d ⋅ A s

  

2

20 ⋅ 52500 = 86.4 mm π ⋅ 202 6⋅ 4

 σ 