Consecutivo: INF-INV-GAMS-FI-YY/Z

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Gambit

Autor:

CESAR LEONARDO GARIBELLO Director Unidad Informática:

Henry Martínez Sarmiento

Tutor Investigación:

Laura Vanessa Hernández

Coordinadores:

Alejandro Nieto Ramos Juan Felipe Reyes Rodríguez

Coordinador Servicios Web:

Miguel Ibañez

Analista de Infraestructura y Comunicaciones:

Alejandro Bolivar

Analista de Sistemas de Información:

Mesias Anacona Obando

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Consecutivo: INF-INV-GAMS-FI-YY/Z

GAMBIT Director Unidad Informática: Tutor Investigación:

Henry Martínez Sarmiento Laura Vanessa Hernández

Auxiliares de Investigación: GLORIA STELLA DAVID FELIPE PEDRO ANDRES IVAN ALBEIRO SANDRA MILENA EDGAR ANDRES CESAR LEONARDO FRANCISCO LILIANA CAROLINA LUIS CARLOS JEIMMY PAOLA LINETH JOHANA JAVIER ALEJANDRO CINDY LORENA JUAN DAVID CAMILO ALEXANDRY DIEGO ARMANDO DANIEL FRANCISCO JUAN CARLOS CAMILO ALBERTO

BARRERA ARDILA BELTRAN GOMEZ BOHORQUEZ CABEZAS MARTINEZ CASTELLANOS PÁEZ GARCIA HERNANDEZ GARIBELLO OSPINA GONZÁLEZ BUITRAGO HERRERA PRIETO MARTÍNEZ RUIZ MUÑOZ SORACIPA NIETO CHAVEZ ORTIZ VARELA PABÓN GÓMEZ PÁEZ ALVAREZ PEÑA TALERO POVEDA ZAMORA ROJAS MARTÍN TARAPUEZ ROA ZAPATA MARTINEZ

Este trabajo es resultado del esfuerzo perteneciente a la Unidad de Informática.

de

todo

el

equipo

Se prohíbe la reproducción parcial o total de este documento, por cualquier tipo de método fotomecánico y/o electrónico, sin previa autorización de la Universidad Nacional de Colombia.

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GAMBIT

TABLA DE CONTENIDO TABLA DE CONTENIDO..................................................................................................................... 3 1.

RESUMEN ...................................................................................................................................... 4

2.

ABSTRACT ..................................................................................................................................... 4

3.

INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................... 6

4.

INSTALACION DE GAMBIT ..................................................................................................... 7

5.

INTERFACE GRAFICA............................................................................................................... 11

6.

INTRODUCCION TEORIA DE JUEGOS ............................................................................... 13

7.

CRITERIOS DE DECISION EN TEORIA DE JUEGOS ........................................................ 15 7.1.

ESTRATEGIAS ESTRICTAMENTE DOMINANTES .................................................... 15

7.2.

ESTRATEGIAS DEBILMENTE DOMINANTES ............................................................ 16

7.3.

DOMINANCIA ITERADA ................................................................................................. 16

7.4.

SELECCIÓN DE CRITERIOS EN GAMBIT .................................................................... 16

7.5.

EQUILIBRIOS DE NASH ................................................................................................... 19

8.

ESTRATEGIAS MIXTAS ............................................................................................................ 22

9.

GAMBIT EN ESTRATEGIAS MIXTAS ................................................................................... 23

10.

JUEGOS DINAMICOS.......................................................................................................... 25

11.

CRITERIOS DE DECISIÓN EN JUEGOS DINAMICOS ................................................ 26

12.

JUEGOS DINAMICOS EN GAMBIT ................................................................................. 28

13.

CONCLUSIONES................................................................................................................... 31

14.

BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................... 31

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GAMBIT

1. RESUMEN La teoría de juegos es una parte importante de las ciencias económicas dado que se encarga del estudio de las diferentes interacciones entre agentes, dicha teoría se basa en supuestos de racionalidad económica de los individuos y su evolución a través de los años a conseguido desarrollar diferentes herramientas encontrando entre la gran cantidad de posibles estrategias realizables por los individuos un equilibrio que garantice a todos obtener la mínima perdida posible sin importar la táctica utilizada por los otros involucrados, logrando así otorgar un incentivo que garantice a los involucrados mantener la estrategia ejercida. Otra característica importante para el estudio de las relaciones entre individuos el momento en el cual se toma la decisión (antes o después de un evento concreto) y la información disponible para los individuos; la importancia de estas dos últimas variables mencionadas es que modifican de manera sustancial la percepción de los involucrados modificando las estrategias a utilizar. El presente manual pretende dar las herramientas para conseguir dichos equilibrios por medio de GAMBIT el cual nos facilita encontrar el equilibrio para diferentes juegos ya sea en forma dinámica o en forma estática utilizando equilibrios de Nash o estrategias dominantes.

2. ABSTRACT Game theory is an important part of economics because it deals with the study of different interactions between agents, the theory is based on assumptions of economic rationality of individuals and their evolution through the years managed to develop different tools found among the large number of possible strategies achievable by individuals with a balance that ensures all get the minimum possible loss regardless of the tactics used by the other parties, thus providing an incentive to ensure those involved to continue the strategy pursued. Another important feature to study the relationships between individuals at which time a decision is made (before or after a specific event) and the information available to individuals, UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 4 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT the importance of these two last mentioned variables which change substantially involved changing perception of the strategies to use. This manual aims to provide the tools to achieve such balance by GAMBIT which enables us to find the balance for different games either dynamically or statically using Nash equilibria or dominant strategies.

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3. INTRODUCCIÓN Dado que en la vida las interacciones con nuestros semejantes son parte vital de la vida económica, es necesario calcular de manera adecuada los puntos óptimos en los cuales ninguno de los agentes tenga algún tipo de incentivo para cambiar la estrategia seleccionada permitiendo así la reducción de la máxima pérdida que pueda sufrir. Para hacer esto existe un proceso complejo que se caracteriza por determinar el numero de jugadores, el numero de estrategias posibles por cada jugador, la información de la cual se disponen, y cuantificar (es decir otorgar pagos) dichas estrategias, una vez se tenga esto lo siguiente a establecer es cual de todas las estrategias es la que permite a todos los integrantes del juego minimizar la máxima perdida posible, para esto existen una serie de herramientas, entre las cuales se destaca el “equilibrio de Nash" el cual se caracteriza por utilizar herramientas de tipo estadístico como la esperanza matemática. Sin embargo dicho proceso en algunas ocasiones tiende a volverse bastante complejo por el número de jugadores que intervienen o por el número de estrategias relacionadas; además el momento de la toma de la decisión o la información disponible para cada jugador no siempre pueden ser claras de establecer. El siguiente texto pretende proveer las explicaciones correspondientes para simplificar de manera sustancial el proceso de detectar la estrategia más adecuada para un número de jugadores y alguna interacción específica en la cual se utilicen los criterios de selección como equilibrio de Nash o selección de estrategias dominantes

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GAMBIT

4. INSTALACION DE GAMBIT El proceso de instalación de GAMBIT 0.2007.12.04 es bastante sencillo; dado que el software es libre se puede descargar sin ningún inconveniente de internet, dos link en los cuales se puede descargar el programa son: http://linux.softpedia.com/get/Science-and-Engineering/Mathematics/Gambit8009.shtml http://descargar.portalprogramas.com/Gambit.html ES IMPORTANTE MENCIONAR QUE GAMBIT 0.2007.12.04 POR EL MOMENTO SE LIMITA A JUEGOS INFINITOS Y NO COOPERATIVO1 Luego de tener el instalador guardado en el equipo procedemos a ejecutarlo, este proceso consta de 4 pasos que resultan esenciales a la hora de instalar cualquier programa, una en el cual el ejecutable del programa da a conocer el nombre del software a instalar y unas recomendaciones básicas para la instalación; es importante resaltar que el programa no necesita de grandes requerimientos técnicos del computador dadas sus características (solamente ocupa 56MB de espacio en disco).

1

Si necesita información respecto a juegos finitos y juegos cooperativos remítase al apartado introducción a teoría de juegos del manual

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Posteriormente el programa da a conocer al usuario los términos y condiciones de la licencia.

A continuación se escoge el directorio en el cual se va a instalar el programa, por defecto la ubicación es: C:\Archivos de programa\Gambit aunque dicha ubicación es sujeta a cambios es recomendable instalar el software en el disco C; dado que directorio no existe el programa nos pide autorización para crearlo, hacemos clic en “SI” y luego en “STAR”, en este momento comienza la instalación UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 8 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT

Antes de concluir y si todo a salido bien el instalador va a mostrar la siguiente ventana en la cual notifica que el proceso de instalación fue exitoso.

Finalmente el programa hace los agradecimientos correspondientes a la compañía que se encargo de realizar el instalador del programa; finalmente el programa esta listo para ser utilizado en TEORIA DE JUEGOS Es importante resaltar que la versión del 1 de septiembre de 2010 está disponible UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 9 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT pero por el momento esta diseñada para otro sistema operativo.

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GAMBIT

5. INTERFACE GRAFICA GAMBIT 0.2007.12.04 consta de interface gráfica muy amigable para el usuario, caracterizada por dos paneles principales; en la parte derecha un campo donde se puede visualizar la estrategia utilizada por los jugadores y en la parte izquierda el número de jugadores que están interviniendo en juego:

GAMBIT soporta más de cien jugadores; por defecto cada archivo tiene como predeterminado un total de dos jugadores y tiene la opción de presentar los pagos asociados a las diferentes estrategias como diagrama de árbol el cual es el presentado anteriormente o en forma de tabla, con respecto a la barra de herramientas manejadas por el software, se presentan diecinueve accesos directos que tienen los siguientes usos: Create a new extensive (tree) game: crea un nuevo archivo con la vista de juego de árbol. Create a new strategic (table) game: crea un nuevo archivo con la vista UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 11 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT de juego de árbol. Open a file: abre un archivo de GAMBIT trabajado anteriormente; las extensiónes soportadas son: .gbt, .efg, y .nfg Save this game: guarda el actual juego en formato GAMBIT WORKBOOK (.gbt) Save to diferent file: guarda el actual juego con un nombre diferente, es similar a la función Guardar como utilizada en Microsoft Office. Print this game: imprime en papel el juego actual. Print preview: muestra una vista previa del juego al momento de ser impreso Undo the last action: deshace el último movimiento. Redo the undone action: rehace el último movimiento, para que esté activa esta función se debe haber deshecho con antelación el movimiento. Add a new player: ingresa un nuevo jugador Zoom in: aumenta el zoom del panel utilizado para mostrar las estrategias utilizadas por los jugadores; no esta disponible cuando la estrategia utilizada se representa en forma de tabla Zoom out: disminuye el zoom del panel utilizado para mostrar las estrategias utilizadas por los jugadores; no esta disponible cuando la estrategia utilizada se representa en forma de tabla Fit to Windows: ajusta el tamaño por el diagrama de árbol a la resolución del monitor; no esta disponible cuando la estrategia utilizada se representa en forma de tabla Increase the number of decimal displayed: aumenta el número de decimales mostrado en las diferentes estrategias. Decrease the number of decimal displayed: disminuye el número de decimales mostrado en las diferentes estrategias Display the reduced strategic representation of the game: representa UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 12 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT el actual juego cuando se encuentra en forma de árbol en forma de tabla; no esta disponible cuando la estrategia utilizada se representa en forma de tabla View the list of computer strategy profiles: muestra el perfil de los diferentes jugadores Compute the Nash equilibria of this game: calcula el equilibrio de Nash del actual juego; si existe About GAMBIT: muestra la versión del programa, los derechos de autor y algunos links relacionados con la organización gestora de GAMBIT.

6. INTRODUCCION TEORIA DE JUEGOS La teoría de juegos inicia con el descubrimiento hecho por el matemático hungarojudıo John von Neumann en el año de 1928 en el cual logró demostrar que existía una estrategia racional para el juego clásico del lanzamiento al aire de una moneda; en dicho juego dos oponentes se enfrentan a un problema de elección clásico a la hora de apostar, dicha teoría era aplicable para otro tipo de juegos como el ajedrez y el póker; Neumann encontró que en todos los casos existía la posibilidad de seleccionar una mejor estrategia que le permitiera al individuo (o jugador) minimizar la máxima perdida posible (minimax) sin importar las acciones de los demás jugadores emprendieran utilizando herramientas matemáticas. Sin embargo, dicha estrategia no siempre es práctica de implementar principalmente cuando las estrategias posibles por cada jugador son muchas. A pesar de esto y gracias a los estudios de Oskar Morgenstern en el campo de la economía específicamente en la interacción de individuos a la hora de la toma de decisiones se logro la elaboración del libro Theory of Games and Economic Behavior en 1944 y la aceptación de la teoría de juegos como una disciplina científica creando una teoría de asignación de recursos con varios criterios de eficiencia, logrando así abrir el camino para que diferentes teóricos como John Nash, Conurnot, Bertrand entre otros realizaran valiosos aportes teóricos como por ejemplo la creación de bastantes modelos bajo competencia imperfecta en campos como la microeconomía, la organización industrial o la economía del trabajo que se destacan por llevarse a cabo bajo una sola estructura y en un único concepto solución (conocido como equilibrio de Nash).

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GAMBIT La teoría de juegos busca aclarar alguna situación que genere conflicto entre individuos eliminando características que pueden ser consideradas como innecesarias a la hora de comprender la naturaleza real del problema; una vez eliminadas estas características es necesario establecer estrategias óptimas que minimicen la máxima perdida tolerable es indispensable ciertas características mínimas para el juego entre las cuales son: 1. Los jugadores 2. Las estrategias disponibles 3. El pago recibido por los jugadores dados las diferentes combinaciones de estrategias. Luego de conocer los integrantes es necesario establecer si se le puede asignar o no probabilidad a las decisiones Después de tener claro estas características, es importante conocer la información que poseen los jugadores; si estos conocen todas las estrategias, pagos y los individuos con los que se enfrentan en el juego se dice que tiene información completa, de lo contrario hay información incompleta. Otra característica importante es el tiempo en el cual se toma la decisión por que esto puede hacer que la persona cambie su estrategia, si un jugador no conoce las decisiones tomadas anteriormente por sus contrincantes o si estas se toman simultáneamente se dices que el juego tiene información imperfecta de no ser así el juego tiene información perfecta. El siguiente paso es la representación gráfica de las estrategias y los pagos que están disponibles para cada jugador de manera que sea de fácil comprensión e interpretación, para esto se utilizan dos tipos de representaciones; la forma extensiva que se caracteriza por se representación grafica en forma de árbol como la siguiente:

Ilustración 1: Forma extensiva de un juego

En la ilustración 1 se muestra la interacción de dos jugadores y las posibles decisiones que pueden estos jugadores, la siguiente forma de representación gráfica de los juegos se denomina forma estratégica (también conocida como forma normal) en la cual se

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GAMBIT representan las diferentes estrategias de cada jugador y los pagos recibidos por este en una bimatriz nombrada de esta forma por que contiene los pagos asociados a cada estrategia; el primer numero indica el pago recibido por el jugador que esta ubicado en la fila y el segundo numero indica lo que conseguirá el segundo jugador ubicado en la columna. En caso de que se especifique algo diferente en todas las bimatrices hay información completa pero imperfecta.

Ilustración 2: forma estratégica de un juego

En la anterior bimatriz el jugador rojo (jugador 1) si realiza la estrategia 1 recibirá un pago de $15, mientras que si el jugador azul (jugador 2) también realiza la estrategia 1 recibirá un pago de $20; en este punto puede resultar mas clara la utilidad de la teoría de juegos, puesto que si el jugador 1 se inclina por la estrategia 2 aumentaría el pago recibido a $30, sin embargo si el jugador 2 por alguna razón cambiara sus preferencias y jugara la estrategia 3 el pago asociado para el jugador 1 seria solamente de $12; de este ejemplo tan sencillo se puede ver la necesidad de la implementación de la teoría que se encargue de la disminución de las máximas perdidas posibles en estrategias en la que sea necesaria la interacción con otras personas u organizaciones y además de una teoría en la que se establezcan de criterios de decisión.

7. CRITERIOS DE DECISION EN TEORIA DE JUEGOS 7.1.

ESTRATEGIAS ESTRICTAMENTE DOMINANTES

Las estrategias estrictamente dominantes son aquellas que sin importar la acción por la cual se incline el adversario el jugador siempre la va a elegir puesto que en ningún caso recibirá un pago mayor, para esto se tiene que basar en el supuesto de que el agente es racional en el sentido en el cual siempre va a preferir pagos altos a pagos bajos. En la bimatriz presentada anteriormente se puede ver que el jugador 2 por ningún motivo y sin importar lo que haga el jugador 1 va a escoger la estrategia 2 por que los pagos asociados a esta estrategia siempre son inferiores UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 15 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT a los pagos ofrecidos por la estrategia 3 (-1 contra 25, 5 contra 30 y 1 contra 18). De este concepto se desprende la definicion de estrategia estrictamente dominada la cual es la estrategia que sin importar lo que haga los adversarios siempre tendra unos pagos asociados menores a otra estrategia, es decir siempre habra una accion que en todo momento es mejor; de aquí se desprende un principio basico: “Siempre que sea posible, un jugador escogerá estrategias estrictamente dominantes, y no tomará ninguna que sea estrictamente dominada” (Monsalve, 2002).

7.2.

ESTRATEGIAS DEBILMENTE DOMINANTES

Las estrategias débilmente dominadas son aquellas que sin importar la acción por la cual se incline el adversario el jugador siempre va a recibir un pago mayor o igual al de las otras estrategias, se diferencia de las estrategias estrictamente dominantes por que en estas ultimas el pago recibido por el jugador en todas las ocasiones va ser mayor a que si escogiera una estrategia estrictamente dominante, mientras que en las estrategias débilmente dominantes el pago recibido por el jugador por pequeño que sea va a ser igual al de la estrategia débilmente dominada.

7.3.

DOMINANCIA ITERADA

Este principio de solución se basa en el principio de conocimiento común el cual establece que si bien un agente nunca escogerá una estrategia estrictamente dominada por otra, nuestro agente sabe que sus contrincantes tampoco escogerán una estrategia que sea estrictamente dominada por otra así que actuaran bajo ese principio así que escogerán su estrategia pensando lo que hará el otro jugador.

7.4.

SELECCIÓN DE CRITERIOS EN GAMBIT

Una vez se tiene claridad sobre dos de los principios para la toma de decisiones es

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GAMBIT hora de utilizar GAMBIT para ver su aplicación, para esto se plantea el siguiente ejemplo2: hay dos jugadores: un peatón y un conductor los cuales tienen dos estrategias, caminar sin cuidado y caminar con cuidado para el peatón y conducir sin cuidado y conducir con cuidado para el conductor los pagos son los presentados a continuación

Conductor

Peatón

Sin cuidado

Con cuidado

Sin cuidado

-100,0

-100,-10

Con cuidado

-110,0

-20,-10

Tabla 1: peatón Vs conductor; fuente (Monsalve, 2002)

Vale la pena resaltar que estos pagos no tienen en cuenta ciertas complicaciones legales y morales por conducir sin las debidas normas de seguridad. aplicando el primer criterio de solución tenemos que la estrategia con cuidado del conductor es estrictamente dominada por la estrategia por la estrategia sin cuidado (0 contra 10 y 0 contra -10); sin embargo para el peatón no hay una estrategia estrictamente dominante por que -100 es mayor a -110 pero -100 es menor a -20 pero aplicando el tercer criterio de decisión tenemos que el peatón sabe que el conductor va a conducir sin cuidado y por ende escogerá la estrategia sin cuidado por que es la que mejor pago le representara, así que este pequeño juego ya estaría solucionado, la estrategia para el conductor será manejar sin cuidado y para el peatón será manejar sin cuidado. Para dar solución a este sencillo juego en GAMBIT el procedimiento es el siguiente: 1. Abrir GAMBIT: Inicio- todos los programas- GAMBIT-GAMBIT 2.

Hacer clic en el segundo botón : Create a new strategic (table) game

2

Monsalve, 2002,Introducción a los Conceptos de Equilibiro en Economia, pag 175

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GAMBIT

3. Cambiar el nombre de los jugadores, para esto se hace clic sobre el nombre del primer jugador (player 1) y se digita el nombre correspondiente que este caso es el peatón, es importante que el color del texto en el que se escribe el nombre del jugador sea el mismo con el que se escriben los pagos

4. El siguiente paso es el de colocar el nombre a las respectivas estrategias, para ello se hace clic sobre el numero de la estrategia y se digita el nombre correspondiente

5. Una vez se tiene el nombre de los dos jugadores, el siguiente paso es ingresar los pagos para esto se hace clic en el pago de la primera estrategia del primer jugador y se escribe el pago correspondiente teniendo cuidado de que el pago sea el correspondiente con el color del jugador

6.

Hacer clic sobre la opción Tools ubicada en la barra de herramientas y hacer clic en dominate

7. Automáticamente GAMBIT eliminara la estrategia que es estrictamente dominante y se desplegara un nuevo panel en el cual podemos seleccionar otra ronda de eliminación o si queremos que se utilice el segundo criterio de decisión y se elimine la otra estrategia; en caso de que para resolver el juego sea necesario utilizar el segundo principio de solución (estrategias débilmente dominantes) es necesario escoger la opción strictly or weakly en UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 18 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT el cuadro de texto en el donde se escoje las estrategias a ocultar.

8. Al hacer clic sobre el botón Eliminate iteratively automáticamente nos mostrara la solución de este sencillo juego

Si se quiere volver a todas las estrategias y dejar el juego como estaba antes de aplicar algún criterio de solución se hace clic en el botón tools y se hace clic en la opción dominance, la cual debe de estar con un visto bueno al lado el cual significa que ese es el criterio solución que se esta aplicando.

7.5.

EQUILIBRIOS DE NASH

Se dice que hay equilibrio de Nash cuando bajo ninguna circunstancia el jugador puede mejorar su pago escogiendo unilateralmente otra estrategia, teniendo en cuenta que el contrincante va a escoger la misma estrategia que escogió anteriormente; para ilustrar mejor a lo que se refiere este ejemplo contemplemos el siguiente ejemplo3 en el cual tenemos otra vez a los jugadores peatón y conductor, pero en esta ocasión las estrategias que pueden llevar a cabo son 3: con cuidado, algo de cuidado y sin cuidado. Los pagos asociados son los que se relacionan en la siguiente bimatriz:

CONDUCTOR Sin cuidado

Algo cuidado

50,-3

-99,-2

PEATON Sin cuidado

3

de Con cuidado -100,-3

Ibíd. pág. 177

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GAMBIT Algo cuidado

de -2,-99

Con cuidado

-50,-100

-51,-51

-101,-3

-3,-101

-3,-3

Tabla 2: juego peatón vs conductor con 3 estrategias fuente: (Monsalve, 2002)

Como se puede ver, ninguna de las estrategias de los dos jugadores es dominada estrictamente por otra así que no se pueden utilizar los criterios de solución que se han establecido hasta el momento; sin embargo por medio del criterio solución de equilibrio de Nash se puede deducir que la solución que el peatón cruce la calle de una manera precavida( con cuidado) y el conductor maneje su vehículo con cuidado porque si se hacen estas estrategias ninguno de los jugadores estarán motivados a cambiar su estrategia puesto que no recibirán un pago mejor; es importante resaltar que en ocasiones los juegos pueden tener varios equilibrios de Nash, sin embargo GAMBIT esta en la capacidad de calcular todos los equilibrios de Nash existentes en un determinado juego Para dar solución a este pequeño juego por medio de GAMBIT se debe seguir los siguientes pasos: 1. Hacer clic en el segundo botón : Create a new strategic (table) game

2. Cambiar el nombre de los jugadores, para esto se hace clic sobre el nombre del primer jugador (player 1) y se digita el nombre correspondiente que este caso es el peatón, es importante que el color del texto en el que se escribe el nombre del jugador sea el mismo con el que se escriben los pagos

3. Una vez se tienen establecidos los nombres de los jugadores y dado que GAMBIT trae por defecto solo dos estrategias por cada jugador, el siguiente paso es insertar una nueva estrategia para cada jugador, para esto se debe hacer clic en add new estrategy for this player, de esta manera podemos agregar las estrategias necesarias para el desarrollo de nuestro juego. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 20 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT

4. El siguiente paso es darle el respectivo nombre a las estrategias de cada jugador haciendo clic en el cuadro superior en el que están los pagos de los dos jugadores

5. El paso siguiente es colocar los respectivos pagos asociados a cada una de las estrategias

6. El siguiente paso es calcular el equilibrio de Nash para este juego, para esto se hace clic en compute the Nash equilibria for this game, una vez hacemos esto, GAMBIT nos mostrara una ventana en la cual podemos establecer si queremos que nos calcule todos los equilibrios de Nash existentes en el juego, si queremos solamente que nos compute solo uno o si queremos que además de esto, GAMBIT proporciona tres formas diferentes para calcular el equilibrio de Nash: resolviendo un sistema de ecuaciones polinomiales, enumerando los puntos extremos o por el medio recomendando por GAMBIT

7. Seleccionamos compute as many Nash equilibria as possible y dado que en este juego no hemos establecido probabilidades asociadas a cada uno de los eventos que puede hacer cada uno de los jugadores (por ejemplo no se a establecido si cabe la posibilidad de que alguno de los participantes ya sea el peatón o el conductor se encuentren en estado de embriaguez) UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 21 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT seleccionamos la opción by looking for pure strategy equilibria, el programa desplegara una ventana en la cual nos mostrara el numero de equilibrios encontrados en el juego y las estrategias asociadas a este; adicionalmente en la parte izquierda de la pantalla debajo del nombre de cada jugador el pago asociado a dicha estrategia, una vez damos clic en ok en la ventana en la que se nos muestra un resumen, en la parte inferior se almacenara un perfil en el cual se mostrara el tipo de método utilizado para calcular el equilibrio, las estrategias asociadas a dicho equilibrio, si queremos cambiar el perfil hacemos clic en la pestaña donde esta el nombre del perfil. Si queremos ocultar la lista de perfiles hacemos clic en view the list of computed strategy profiles

Sin embargo el concepto de equilibrio de Nash puede verse opacado porque hay estrategias que pueden ser mas factibles de que se den que otras, para solucionar este inconveniente el paso a seguir es asignar probabilidad a las diferentes estrategias, a esto se le denomina estrategias mixtas

8. ESTRATEGIAS MIXTAS Una estrategia mixta es aquella en la que se asigna una distribución de probabilidades a todas las estrategias posibles por los jugadores, en el ejemplo anterior en el cual se daban las diferentes estrategias del peatón y del conductor, no se estaba teniendo en cuenta por ejemplo que el juego se estaba desarrollando a altas horas de la noche y es mas probable que alguno de los participantes haya ingerido licor que si el juego se diera a medio día, de ahí se desprende que las estrategias puras son variaciones de las estrategias mixtas en las que se le asigna una probabilidad de uno a cada estrategia. Consideremos el siguiente juego conocido como matching pennies (tirar la moneda) en el cual hay dos jugadores y se lanzan dos monedas al aire, los resultados posibles son: (cara, cara), (cara, sello), (sello, cara), (sello, sello); si las dos monedas caen del mismo lado (cara, cara o sello, sello) el jugador uno se lleva las dos monedas, caso contrario el jugador 2 se llevara las dos monedas. La bimatriz UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 22 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT quedara de la siguiente forma

JUGADOR 2

Jugador 1

CARA(Q)

SELLO(1-Q)

CARA(P)

100,-100

-100,100

SELLO(1-P)

-100,100

100,-100

Tabla 3: Matching pennies

Como se puede ver en este juego no existe equilibrio de Nash ni tampoco se puede dar solución con los criterios de decisión vistos anteriormente, en este juego es necesario establecer elementos de incertidumbre puesto que ninguno de los jugadores tiene certeza de cómo va a caer las monedas, es preciso establecer probabilidad a cada uno de los eventos. De ahí se desprende que la definición de equilibrio de Nash es la misma que se explico anteriormente. Para asignar la probabilidad a cada uno de los eventos que maximice la utilidad de los jugadores hay que igualar el pago recibido por el jugador uno si hace la estrategia cara con el pago recibido por el jugador uno si hace la estrategia sello. Jugador 1

Jugador 2

100Q+(-100)*(1-Q)=-100Q+1001-Q) Q= ½

100P+(1-P)=100P-100(1-P) P=1/2

Dado que los jugadores no tienen ningún incentivo para elegir entre las estrategias por que no hay seguridad de cómo jugara el adversario no pueden elegir ninguna y dado que solo ahí dos eventos la probabilidad que se le asigna a cada uno de ellos es de ½, ahora asiendo uso del valor de esperanza matemática se puede establecer que con esas probabilidades el pago esperado será de cero.

9. GAMBIT EN ESTRATEGIAS MIXTAS Considere el siguiente juego: UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 23 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT

Jugador 2 Jugador 1

Atrás

Adelante

Arriba

500,250

100, 300

Abajo

200,400

600,100

Tabla 4: GAMBIT en estrategias mixtas

La forma de solucionar este juego por medio de GAMBIT es Digitar el nombre de los jugadores, las estrategias y los pagos asociados a cada una de las estrategias en el programa Una vez que se tengan digitados los puntos anteriormente mencionadas, es necesario decirle a GAMBIT por que método se va a calcular el equilibrio de Nash para esto se hace clic en tools-Equilibrium

En la ventana que se despliega y dado que vamos a calcular todos los equilibrios de Nash existentes en este juego, y utilizaremos el método recomendado por GAMBIT

Como resultado de este juego se tiene que por equilibrio de Nash en estrategias mixtas el jugador 1 utilizara la estrategia arriba con una probabilidad de 6/7, el jugador 2 jugara la estrategia atrás con una UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 24 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT probabilidad de 5/8 y los pagos asociados a dichas estrategias serian: para el jugador 1 350 y para el jugador 2 de 271,42.

10. JUEGOS DINAMICOS En la sección anterior del presente texto se exploró la teoría de juegos mirando las interacciones de los jugadores en el mismo momento es decir simultáneamente, en esta parte del manual vamos a explorar el uso del programa en juegos dinámicos. Los juegos dinámicos son aquellos en los cuales las decisiones de los jugadores se toman en diferentes momentos del tiempo, los elementos a tenerse en cuenta para los juegos dinámicos son los siguientes: El numero de jugadores que intervienen en el juego El momento del tiempo en el cual ejerce su acción el jugador La información que esta disponible para cada jugador El numero de estrategias que puede llevar a cabo cada jugador Los pagos asociados a cada estrategia ejercida por los diferentes jugadores. La forma como se representan las decisiones en los diferentes momentos del tiempo es por medio la forma extensiva la cual se representa por el diagrama de árbol, no obstante es importante mencionar que los juegos de forma extensiva se pueden representar por medio de la forma estratégica de los juegos, la forma manual de hacer dicha representación es haciendo la forma estratégica por cada momento del tiempo, el diagrama de árbol se compone de nodos, los nodos son los momentos en los cuales el respectivo jugador toma las decisiones; otro componente importante para la representación grafica de los juegos dinámicos es la información que conoce cada jugador a la hora de tomar la decisión, en caso de que algún jugador no conozca las decisiones anteriores que a tomado su adversario, y por ende no sepa en cual de los dos nódulos debe tomar la decisión, esta falta de información se representa en los diagramas de árbol por medio de líneas punteadas las cuales unen los nódulos de los cuales no se conoce la información anteriormente sucedida. UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 25 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT Otra característica importante en los juegos dinámicos es el lugar en donde se colocan la utilidad asociada a las diferentes estrategias que pueden ser utilizadas por los jugadores; estas utilidades se colocan a los extremos de los diagramas de árbol, a continuación se muestra un diagrama de árbol en los cuales se puede identificar los diferentes componentes del mismo:

Ilustración 3: diagrama de árbol

Otro componente importante en el diseño de los diagramas de árbol son los jugadores, GAMBIT muestra las decisiones de cada jugador con un color diferente, en el diagrama mostrado anteriormente solamente hay dos jugadores representados por los colores azul y verde claro, el color verde oscuro no representa a ningún jugador, representa es el numero de eventos que pueden ocurrir, lo cual va a condicionar la decisión del primer jugador.

11. CRITERIOS DE DECISIÓN EN JUEGOS DINAMICOS Con respecto a los criterios de decisión aplicables a los juegos dinámicos se puede distinguir entre tres que son los más importantes: el criterio de dominancia estricta, el de equilibrio de Nash que fueron descritos anteriormente en la sección de juegos estativos, además de estos existe otro criterio de solución denominada UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 26 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT inducción hacia atrás, dicho criterio de solución se puede utilizar en juegos con información perfecta y completa y lo que busca es encontrar el equilibrio mas factible en el juego, la forma de aplicar este criterio de solución es comenzando a mirar la solución más óptima para el último jugador que toma la decisión en cada escenario provocado por el anterior jugador, una vez se encuentran las estrategias que mayor pago ofrece al último jugador en tomar la decisión, se mira la estrategia a seguir por parte de jugador que toma la anterior decisión y con base a esta información se selecciona la estrategia que mayor pago le representa a este jugador; miremos el siguiente ejemplo: El jugador 1 tiene dos estrategias: arriba (Ar) y abajo (Ab), a lo cual es jugador puede escoger entre dos estrategias Ar’ y Ab’, si el jugador uno escoge Ar y el jugador dos Ar’ el pago asociado es 8, 3 respectivamente, si el jugador uno escoge Ar y el jugador dos escoge Ab’ el pago será de 5, 6, si el jugador uno escoge Ab y el jugador dos escoge Ar el pago será de 7, 3 y finalmente si el jugador la estrategia Ar y el jugador dos escoge Ab el pago será de 4, 3.

Ilustración 4: ejemplo juego dinámico

Lo primero que hay que hacer es encontrar los equilibrios de Nash en este juego, para eso resolvemos el problema del jugador dos en el nodo 2 (superior), si el jugador 1 escoge la estrategia Ar el jugador dos escogerá la estrategia Ab’ por que es la que mejor pago le representa, en cambio si el jugador 2 escoge la estrategia Ab el jugador dos va a escoger la estrategia Ar’ por representar los mejores pagos posibles, para este ejemplo los equilibrios de Nash serian las estrategias asociadas a los pagos 5, 6 y 7, 3, ahora bien para encontrar cual de los dos será el que utilicen los jugadores hay que mirar la estrategia utilizada por el jugador uno, dado que este juego tiene información perfecta y completa el jugador uno sabe las opciones que va a utilizar el jugador dos el escogerá la estrategia que bajo estas condiciones UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 27 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT le dará el máximo pago (7,3)

12. JUEGOS DINAMICOS EN GAMBIT Consideremos un juego de póker entre dos personas: Juan y Ana, Juan tiene la opción de sacar una carta (por simplicidad se va a suponer que solamente hay dos tipos de cartas altas y bajas y cada una tiene una probabilidad de 50%). Para indicar en GAMBIT la probabilidad se arrastra del icono change al primer nódulo

El número superior es el que indica como se va a denominar la rama del árbol, el de abajo la probabilidad, para cambiar el nombre de dicha rama se hace doble clic en el nombre y se digita el nombre correspondiente en la ventana que aparece, en esta ventana se puede cambiar también la probabilidad

Una vez Juan escoge su carta el tiene dos opciones o sigue jugando o abandona el juego, para representar esto se arrastra desde el icono que corresponde a Juan a los nódulos de decisión y se cambia el nombre igual que como se hizo con las UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 28 UNI-FO-02 V 1.0

GAMBIT primeras ramas del árbol,

Si se retira Ana va a ganar lo apostado (5 pesos) y Juan va a perder lo apostado (5 pesos), dichos valores se digitan en donde esta inscrito (u), para copiarlos en ambas ramas donde Juan se retira se sostiene oprimida la tecla control y se arrastra la utilidad al nódulo

Si Juan no se retira entonces el juego continua y Ana tiene la posibilidad de seleccionar una carta, y tendrá la opción de retirarse o no, sin embargo ella no sabe si se encuentra en el nódulo de la carta alta o baja, para mostrar esto entonces primero se arrastra el icono de Ana al nódulo del árbol de sigue de la carta alta y se copia por medio de la tecla control al nódulo de sigue de la carta baja

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GAMBIT

Al hacer esto GAMBIT automáticamente muestra la simbología de falta de información, finalmente hace falta los pagos asociados a las ultimas estrategias, si Ana sigue y Juan tiene una carta alta ella va a perder diez y Juan a ganar cinco puesto que la apuesta solo aumento en cinco, si Juan tiene una carta alta y Ana se retira ella va a perder solo cinco, ahora bien si Juan tiene una carta baja y Ana sigue entonces ella va a ganar diez y Juan va a perder diez (cinco para entrar a escoger su carta y cinco para la apuesta), mientras que si Ana se retira cuando Juan tiene una carta baja ella va a perder diez y Juan va ganar cinco, entonces se digitan estos valores en el diagrama de árbol y se procede a calcular el equilibrio por medio de estrategias dominadas y el equilibrio de Nash , el procedimiento es exactamente el mismo que se utilizo para juegos estáticos

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GAMBIT

Como resultado del juego se puede ver que la estrategia seguir es dominada y que en equilibrio de Nash el pago recibido por Juan es de 10 y el pago recibido por Ana es de -10

13. CONCLUSIONES Una vez estudiado GAMBIT 0.2007.12.04 se puede concluir que: El programa presenta características que pueden resultar útiles para apoyar a los estudiantes de la carrera de economía El programa no es lo suficientemente robusto como para dictar un curso libre en la unidad de informática de la facultad de ciencias económicas y en algunos temas a la materia Teoría de la decisión ofertada por la Escuela De Administración Y Contaduría Publica El tamaño del software es apropiado para crear una monitoria de una sesión de dos horas con el fin de explicar el desempeño del mismo y su aplicación en las ciencias económicas por medio del cálculo de equilibrios ya sea por medio de las estrategias dominantes o por el cálculo de equilibrios de Nash.

14. BIBLIOGRAFIA Monsalve, S. (2002). Introduccion a los concepto de equilibrio en economía. Bogotá D.C.: Publicaciones Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Económicas. Gambit: Software Tools for Game Theory. (s.f.). Recuperado el 12 de 29 de 2010, de http://www.gambit-project.org/doc/index.html UNIVERSIDAD NACIONAL COLOMBIA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS UNIDAD DE INFORMÁTICA Y COMUNICACIONES 31 UNI-FO-02 V 1.0

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