EL CIRCUITO RLC EN PARALELO SIN FUENTES El primer objetivo es calcular la respuesta natural de un circuito sencillo al conectar R,L y C en paralelo; basta decir entonces que la comprensión del comportamiento natural del circuito RLC en paralelo es de importancia fundamental en los estudios futuros sobre redes de comunicación y diseño de filtros. Cuando un indicador físico se conecta en paralelo con un capacitor , y el inductor tiene asociada a él una resistencia óhmica no nula , puede probarse que la red resultante tendrá un circuito equivalente como el que se muestra en la figura. Las pérdidas de energía en el inductor físico se toman en cuenta por la presencia del resistor ideal, cuya resistencia R depende de la resistencia óhmica del inductor (pero no es igual a ella ). En el siguiente análisis se supondrá que la corriente del inductor y el voltaje del capacito podrán tener valores iniciales diferentes de cero. Con respecto al circuito de la figura se podrá escribir la ecuación de nodos: Obsérvese que el signo menos es una consecuencia de la dirección asignada a i. Ahora debe resolverse(1) sujeta a las condiciones iniciales. Cuando ambos lados de la ecuación (1) se derivan con respecto al tiempo, el resultado de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden: cuya solución v(t) es la respuesta natural buscada. La forma de la ecuación (4) sugiere que podría resultar adecuada ya que deben sumarse tres términos y su suma debe ser cero. Una función cuyas derivadas tienen la misma forma es obviamente una buena elección. Con toda esperanza de éxito se supone, entonces, que que se mantendrá tan general como sea posible, permitiendo que A y s sean números complejos si fuera necesario. Al sustituir (5) en (4) se obtiene para satisfacer esta ecuación en cualquier tiempo, por lo menos uno de los tres factores debe se cero. Si cualquiera de los dos primeros factores se iguala a cero entonces v(t) =0. Esta una solución trivial de la ecuación diferencial que no puede satisfacer la condiciones iniciales dadas. Por lo tanto, hay que igualar a cero el factor que queda Esta ecuación se conoce entre los matemáticos como ecuación auxiliar o característica. Si puede satisfacer, entonces la solución supuesta es correcta. Como la ecuación (6) es cuadratica, hay dos soluciones, identificadas por S1 y S2:

y

respectivamente , A1 y A2 son dos constantes arbitrarias que deben elegirse de acuerdo a las condiciones iniciales. Pero esta respuesta no nos dice mucho, en consecuencia será necesario realizar algunos cambios o sustituciones a fin de aclarar conceptos. 1

Por ejemplo, S1 y S2 deben tener como unidad alguna cantidad adimensional por segundo. Se podría mostrar que las dimensiones de S1 y S2, 1/2RC y ð(1/LC) deben ser todas e(cos), llamándose a las unidades de este tipo frecuencia. El termino 1/ ðLC se le llamará frecuencia resonante (ð(ðð) y al termino 1/2RC frecuencia nepenaría o coeficiente de amortiguamiento exponencial (ð). En resumen, la respuesta natural del circuito RLC en paralelo es:

donde: S1=−

S2=−

y A1 y A2 deben hallarse aplicando las condiciones iniciales dadas. Ahora, la naturaleza de las respuestas dependes de ð y ð(ðð, habrán tres casos para estos valores lo cual nos conduce a el análisis que para esta ocasión, ellos son: • Circuito RLC en paralelo Sobreamortiguado Las características de este circuito están dadas por. ó

ó y por otro lado, y serán reales y de acuerdo a las siguientes desigualdades se ve que tanto como son números reales negativos.

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De acuerdo a esto, las respuesta V(t) puede expresarse como la suma de dos términos exponenciales decrecientes, que tienden a cero cuando el tiempo aumenta sin limite. Esto también se puede escribir como una expresión de limite, para valores de tiempo grande.

cuando debido a que el valor absoluto de es mayor que y el termino que contiene a tiene un decrecimiento más rápido. Para verificar este caso examinaremos un ejemplo numérico: condiciones V(0)=0 iniciales i(0)=10A iR iL iC Se puede determinar y

; 6 7H

; de:

Se deben encontrar las constantes A1 y A2 , como sólo se conoce el valor inicial de V(t)=V(0)=0 ,se hace: 0= A1 + A2 Se debe obtener otra ecuación con A1 y A2 ,y se hace derivando y usando la segunda condición inicial i(0)=10A e igualamos resultados entonces: dv/dt=

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Para t=0 dv/dt =−A1−6A2 t=0 Ahora , a partir de: Ic=Cdv/dt dv/dt=iC/c ,con i(0)=10A Por lo tanto dv/dt =IC(0)/c=(I(0)+IR(0))/c=I(0)/0=10/42−1=420v/seg t=0 se tiene : 420=−A1−6A2 0= A1+−A2 420=−A1−6A2 −A2=A1 A2=−84 A1=84 V(t)=84(e−t−e−6t) esto es una solución numérica final por ,la respuesta natural. • Amortiguamiento Critico Este caso es muy especial y esta dado de modo que y son iguales y sus características son:

ó LC=4R2C2 ó L=4R2 En el ejemplo anterior ,podemos producir este amortiguamiento cambiando el valor de cualquiera de los tres elementos ,elegimos R , el valor de R necesario es 7 /2 ,así pues , hallamos: Para el ejemplo se sustituye V=A1tet+A2et Se determina A1 y A2 primero con e(t)=e(0)=0 por lo que A2=0 La segunda condición inicial se aplica a dv/dt , recordando que A2=0 4

para t=0

=A1 t=0 Expresando la derivada en función de la corriente inicial del condensador

=

t=0 Lo que da : A1=420 Por lo que la respuesta es: V(t)=420te−2.45t c) Circuito RLC en paralelo subamortiguado Este caso se caracteriza porque al aumentar nuevamente R , disminuye y sigue constante , 2 es menor que 2 y el radicando S1 y S2 se vuelve negativo .Todo esto hace que la respuesta sea completamente diferente , pero sin necesidad de volver a la ecuación diferencial original. Usando números complejos , la respuesta exponencial se convierte en una respuesta sinusoidal , esto quiere decir que la respuesta es compuesta solo por cantidades reales , utilizando las compuestas solo para la deducción . Procedemos como sigue , utilizando la forma exponencial V(t)=A1e Donde: S1 , S2=−

Luego: 5

, donde j= Luego se toma una nueva radical, el cual para este caso es real y lo denominaremos Frecuencia Resonante Natural ( )

y construimos la respuesta sumando dos exponenciales V(t)= , Tenemos una respuesta que contiene solo una constante arbitraria , existiendo si dos condiciones iniciales V(0)=0 e i(0)=10A , los cuales deben ser satisfechos por esta constante pero esto es imposible , la primera condición inicial requiere que A3 sea cero , siendo imposible satisfacer la segunda. Entonces , debimos haber comenzado con una suposición incorrecta , y solo se ha hecho una suposición. Originalmente ,se supuso que la ecuación podía resolverse asumiendo una solución exponencial , lo que es incorrecto para este caso, por lo que se debe trata de resolver por otro método. Para solucionar esto debemos darnos cuenta de que lo que nos importa es la forma funcional de la respuesta y no el método por el que se haya obtenido. Ecuación diferencial original: C

, En función de y 0,

, Lo que para el amortiguamiento critico , se convierte en:

6

Luego: Y=

Y la solución es: Y= Por lo tanto

Se resuelve usando el factor integrando :

Finalmente queda la respuesta que buscamos: V=e Luego la respuesta se puede escribir como: V(t)=e ó

También se pueden aplicar dos de las identidades de los números complejos , donde: y

Por lo que :

ó

7

con B1 y B2 Reales En el ejemplo se aumento r de 7 a

y

(rad/seg) A excepciones de B1 y B2 la respuesta es conocida.

derivando:

y cuando t=0 =2B2=iL(0)=420 t=0 por lo que: V(t)=210e−1,414 tsen2t Gráficos: • Sobreamortiguado: V(t) iR iL iC 6 7H

t(s) • Amortiguado critico: 8

V(t) iR iL iC 8,57 7H

t(s) • Subamortiguado: V(t) iR iL iC 14,85 7H

t(s) Conclusiones 1− Se pudo verificar y analizar cada uno de los tres casos posibles para este tipo de circuito, su funcionamiento y como de un caso se puede pasar al otro solo variando un elemento, en este caso solo se varió la resistencia. 2− También se pudo comprobar la existencia de una respuesta que decrece exponencialmente, como lo es la respuesta natural, igual que en los circuitos del tipo RL y RC. 3− Se conoció dos nuevos elementos denominados frecuencias, tales como frecuencia resonancia y frecuencia neperiana o coeficiente de amortiguamiento exponencial, simbolizado por y respectivamente y que ayudaron a simplificar, al menos en forma de ecuaciones, el análisis de los circuitos RLC. 4.− Cuando el amortiguamiento se cambia ajustando el valor de la resistencia en paralelo, la magnitud máxima de la respuesta es mayor cuando el amortiguamiento es menor. 5.− La respuesta es oscilatoria cuando se tiene el caso subamortiguado, y el tiempo mínimo de asentamiento se obtiene para un subamortiguamiento ligero 6.− El tiempo de asentamiento, es decir el tiempo en que la respuesta natural se hace cero depende de los valores que le demos a los elementos del circuito. 7.− En el caso de el coeficiente de amortiguamiento es posible advertir que su valor es inversamente proporcional al doble de la resistencia por la capacitancia Bibliografía Texto análisis de circuitos en Ingeniería quinta edición, autores: William Hayt Y Jack Kemmerly. Universidad Austral de Chile.

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Facultad de Ingeniería. Escuela de Ingeniería Electrónica. TRABAJO DE ANALISIS DE REDES I. EL CIRCUITO RLC Integrantes: − Cristian Casas − Gustavo Flandez Diciembre − 2000.

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