´ APLICACION: EL CIRCUITO RLC. Al comienzo del tema de las E.D.O lineales de segundo orden hemos visto como estas ecuaciones sirven para modelizar distintos sitemas f´ısicos. En concreto el circuito RLC.

Figura 1. Circuito RLC En un circuito RLC, con una resistencia R, una inductancia L y un condensador C, ve´ıamos que al entrar una corriente E(t), que depende del tiempo, sale otra corriente v(t) que ser´a una modificaci´on de la corriente de entrada dependiendo de R, L y C. Seg´ un la ley de Kirchhoff, una corriente en un circuito cerrado presenta una suma algebraica de las ca´ıdas de voltaje igual a cero. Esta ley se determina experimentalmente como las que se indican a continuaci´on: E(t) voltaje de entrada en el circuito. VR = −RI(t) la ca´ıda de voltaje en una resistencia depende de R y de la intensidad de la corriente I(t) ( ley de Ohm). dI(t) ca´ıda de voltaje en el selenoide. VL = −L Zdtt 1 VC = − I(s)ds ca´ıda de voltaje en el condensador. C −∞ dq Adem´as I = , donde q es la carga el´ectrica. dt As´ı por la ley de Kirchhoff se tiene que Z dI(t) 1 t E(t) − L − RI(t) − I(s)ds = 0. dt C −∞ O lo que es equivalente sustituyendo I por E(t) = L

d2 q dq q +R + 2 dt dt C

1

dq dt

(1).

2

Tomando el voltaje por Z 1 t v(t) = I(s)ds C −∞ 1 v 0 (t) = I(t) y C 1 dI(t) 00 , v (t) = C dt y ahora sustituyendo en la ecuaci´on de arriba nos queda E(t) = CLv 00 (t) + CRv 0 (t) + v(t)

(2).

Por u ´ltimo, si derivamos la ecuaci´on anterior, como v 0 (t) = tenemos que

1 I(t), C

I(t) (3). C Tenemos tres ecuaciones, todas E.D.O. lineales de segundo orden y coeficientes constantes, (1),(2) y (3) que describen el circuito. En cada una de ellas, nos fijamos en una magnitud distinta. As´ı en la primera consideramos la carga, en otra el voltaje y la u ´ltima se fija en la intensidad de la corriente. A continuaci´on vamos a estudiar algunas propiedades de estos circuitos. E 0 (t) = LI 00 (t) + RI 0 (t) +

CIRCUITO RL. Vamos a considerar un circuito sin condensador y con una entrada de corriente constante E = v . Adem´as suponemos una condici´on inicial I(0) = 0, es decir el circuito esta abierto antes de que empiece a fluir la corriente.

Figura 2. Circuito RL. E constante.

En este caso la ecuaci´on (1) se convierte en el problema de Cauchy  0 I (t) = L1 (v − RI(t)) I(0) = 0

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Tenemos en este caso una ecuaci´on de primer orden. Integrando Z t Z t I0 R ds v ds = 0 −I + R 0 L v v R ⇔ − log( − I) + log( ) = t R R L R R ⇔ log(1 − I(t) ) = − t. V L Despejando tenemos que

V (1 R

I(t) =

R

− e− L t )

La intensidad pasa de 0 a estabilizarse en el valor VR cuando el tiempo t se hace grande. Veamos ahora, en el mismo circuito, el efecto de cortar la corriente.

Figura 3. Circuito RL con interruptor.

Si el interruptor est´a en al posici´on 1), estamos en el caso anterior. En la posici´on 2) pasamos entonces a una situaci´on descrita por el problema de Cauchy  0 I (t) = − L1 RI(t) I(0) = VR Integrando Z 0

t

I0 ds = I

Z 0

t

R V R − ds ⇔ log I(t) − log( ) = − t L R L

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y despejando

I(t) =

V − R e Lt R

La intensidad pasa de

V R

a anularse, como era de esperar.

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´ CIRCUITO LC. OSCILADOR ARMONICO. Si consideramos un circuito LC, con una corriente de entrada E constante, es decir un circuito RLC donde R = 0 (sin resistencia) y E 0 = 0,

Figura 4. Circuito LC la E.D.O. que lo modeliza, seg´ un la f´ormula (3) en la intensidad, es de la forma 1 LI 00 (t) + I(t) = 0 (Oscilador arm´ onico). C Esta E.D.O. es lineal de segundo orden y homog´enea. La ecuaci´on caracter´ıstica es Lλ2 + C1 = 0 donde C y L son constantes positivas. As´ı las dos soluciones de esta ecuaci´on son complejas conjugadas 1 λ = ±√ i = ±w0 i CL Las soluci´ones de esta ecuaci´on diferencial son I(t) = C1 cos(w0 t) + C2 sen(w0 t)

C1 , C2 ∈ R.

todas son 2π/w0 -peri´odicas. Transformemos un poco esta soluci´on. ! q C C 1 2 I(t) = C12 + C22 p 2 cos(w0 t) + p 2 sen(w0 t) 2 C1 + C2 C1 + C22 p Si llamamos A = C12 + C22 , podemos encontrar un a´ngulo −α ∈ [0, 2π]

Figura 5

6

de modo que C1 cos −α = p 2 C1 + C22

y

−C2 sen −α = p 2 . C1 + C22

Luego nuestra soluci´on se puede escribir (teniendo en cuenta tambi´en que cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b) como I(t) = A (cos(−α) cos(w0 t) − sen(−α) sen(w0 t)) = A cos(w0 t − α).

Figura 6. S´alida de un Oscilador Arm´onico. w0 Vemos que la se˜ nal de salida I tiene una frecuencia de constan2π te. Estamos ante la base matem´atica de la llamada modulaci´ on en frecuencia. Tambi´en sirve para generar corrientes con frecuencia constante que usaremos, ahora un poco m´as adelante, en el llamado efecto de resonancia.

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CIRCUITO RLC COMPLETO CON ENTRADA CONSTANTE. Vamos a estudiar ahora el circuito RLC completo con una entrada E constante. Comprobaremos que lo que se produce en la s´alida son oscilaciones libres amortiguadas.

Figura 7. RLC completo. E constante.

Seg´ un la ecuaci´on general del circuito (3), que vimos al principio, y dado que E 0 (t) = 0, ahora tendremos que estudiar la ecuaci´on I(t) =0 LI 00 (t) + RI 0 (t) + C Esta ecuaci´on es una E.D.O. lineal de segundo orden homog´enea cuya ecuaci´on caracter´ıstica es Lλ2 + Rλ +

1 =0 C

y cuyas soluciones son r r 4L 1 4L 1 (−R + R2 − ) y λ2 = (−R − R2 − ). λ1 = 2L C 2L C Las soluciones de la ecuaci´on dependen del discriminante R2 − 4L . C As´ı tendremos que si R2 −

4L C

> 0, entonces λ1 , λ2 < 0 reales y distintas, luego

I(t) = C1 eλ1 t + C2 eλ2 t

C1 , C2 ∈ R.

Estas soluciones tendr´an unas gr´aficas del tipo

Figura 8. Corriente sobreamortiguada.

8

Si R2 −

4L C

= 0, entonces λ1 = λ2 < 0 reales e iguales, luego

I(t) = C1 eλ1 t + C2 teλ1 t = (C1 + tC2 )eλ1 t

C1 , C2 ∈ R.

Observemos que en este caso tambi´en l´ımt→∞ I(t) = 0. si R2 − 4L < 0, en este caso tenemos dos ra´ıces complejas conjuC gadas R 1 λ=− ± LC 2L

r

4L − R2 i. C

Si notamos r r R2 R2 R 1 y w1 = − 2 = w02 − 2 , γ= LC LC 4L 4L entonces las soluciones en este caso son del tipo I(t) = e−γt (C1 cos w1 t + C2 sen w1 t) = e−γt A cos(w1 t + α) p donde A = C12 + C22 y −α ∈ (0, 2π) verificando C1 = A cos α y C2 = A sen(−α). La corriente de salida del circuito ser´a de la forma

Figura 9. Corriente subamortiguada.

Observemos que la frecuencia de estas soluciones es igual a todas w1 ellas, , aunque la amplitud se debilita con el tiempo. 2π

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CIRCUITO RLC, CON ENTRADA NO CONSTANTE. Como hemos visto anteriormente la resistencia R del circuito hace perder energ´ıa o amplitud a la intensidad hasta anularla. Vamos a introducir una diferencia de potencial E(t) = E0 sen wt( este tipo de se˜ nales las produce el oscilador arm´ onico o circuito LC), de modo que podamos compensar el efecto de la resistencia.

Figura 10. Circuito RLC, E(t) = E0 sen wt. La ecuaci´on (3) adaptada a este caso (E 0 (t) = wE0 cos wt = F0 cos wt) nos da la ecuaci´on 1 LI 00 (t) + RI 0 (t) + I(t) = F0 cos wt C La soluci´on de este problema no homog´eneo vendr´a dada por la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea xh m´as una soluci´on particular de la ecuaci´on no homog´enea xp , as´ı I(t) = xh (t) + xp (t). Como vimos en el apartado anterior xh (t) = e−γt (C1 cos w1 t + C2 sen w1 t) = e−γt A cos(w1 t + α) donde r r R 1 R2 R2 γ= y w1 = − 2 = w02 − 2 , LC LC 4L 4L p 2 2 y donde A = C1 + C2 y −α ∈ (0, 2π) verificando C1 = A cos α y C2 = A sen(−α). En todo caso xh (t) →t→∞ 0. Lema 1. Si R 6= 0, entonces la soluci´on particular xp es igual a F0 xp (t) = p cos(wt − β) 2 2 L (w0 − w2 )2 + R2 w2 p donde w0 = 1/LC y donde β es el ´angulo que verifica que L(w02 − w2 )

cos β = p L2 (w02 − w2 )2 + R2 w2

y

Rw sen β = p . 2 2 L (w0 − w2 )2 + R2 w2

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Antes de hacer la prueba comprobamos que las salidas del circuito verifican que F0 cos(wt−β). I(t) = xh (t)+xp (t) →t→∞ u xp (t) = p 2 2 L (w0 − w2 )2 + R2 w2 A la parte xh se le llama t´ ermino transitorio y a la parte xp se le llama estado estable. Demostraci´ on: Soluci´ on particular de la ecuaci´on 1 LI 00 (t) + RI 0 (t) + I(t) = F0 cos wt C Si R 6= 0, entonces wi no es ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica Lλ2 + Rλ + 1/C = 0. As´ı la soluci´on particular buscasa ser´a del tipo xp (t) = s1 cos wt + s2 sen wt para ciertos valores s1 , s2 ∈ R que hay que calcular. Para ello entraremos con xp en la ecuaci´on. Como 1 1 xp (t) = (s1 cos wt + s2 sen wt) , LC LC R 0 R xp (t) = (−s1 w sen wt + s2 w cos wt) L L y x00p (t) = −s1 w2 cos wt − s2 w2 sen wt, metiendo estos datos en la ecuaci´on queda que R 1 x00p (t) + x0p (t) + xp I(t) L LC   1 R = s1 + s2 w − s1 w2 cos wt LC L   1 R F0 + s2 − s1 w − s2 w2 sen wt = cos wt. LC L L Lo cu´al nos permite plantear el sistema l´ıneal, con inc´ognita s1 y s2  1 R ( CL − w2 )s1 + ws2 = FL0 L 1 −R ws1 + ( CL − w2 )s2 = 0. L p Usando la regla de Cramer y que w0 = 1/CL, tenemos que las soluciones son

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F0 /L Rw/L 0 1/CL − w2



s1 = 2 Rw/L 1/CL − w −Rw/L 1/CL − w2

L2 FL0 (w02 − w2 ) = L2 (w02 − w2 )2 + R2 w2

y 1/CL − w2 /L F0 /L −Rw/L 0



s2 = 2 Rw/L 1/CL − w −Rw/L 1/CL − w2

L2 LF02 Rw = . L2 (w02 − w2 )2 + R2 w2

De la definici´on del a´ngulo β del enunciado se sigue que F0 s1 = p cos β 2 2 L (w0 − w2 )2 + R2 w2

F0 y s2 = p sen β 2 2 L (w0 − w2 )2 + R2 w2

y por tanto la soluci´on particular buscada es F0 xp (t) = p (cos β cos wt + sen β sen wt) L2 (w02 − w2 )2 + R2 w2 F0 cos(wt − β) =p 2 L2 (w0 − w2 )2 + R2 w2 EFECTO DE RESONANCIA. El estado estable calculado anteriormente F0 xp (t) = p cos(wt − β) 2 2 L (w0 − w2 )2 + R2 w2 del circuito RLC reforzado

Figura 11. Oscilaciones reforzadas.

tiene por amplitud (o energ´ıa) √

F0 L2 (w02 −w2 )2 +R2 w2

y por frecuencia w/2π.

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Figura 12. Estado estable xp . Si R, L y C1 son fijos, entonces el valor de la amplitud depende u ´nicamente del valor w. Sea la funci´on F0 δ(w) = p . 2 2 L (w0 − w2 )2 + R2 w2 Vamos a calcular el valor de w que maximiza esta funci´on. Este problema es equivalente a minimizar g(w) = L2 (w02 − w2 )2 + R2 w2 . Derivando 0 = g 0 (t) = −4L2 (w02 − w2 )w + 2wR2 . Despejando w r R2 R2 2 ⇒ w = w − . −w = 0 2L2 2L2 Para este valor la funci´on g alcanza un m´ınimo (obviamente no tiene m´aximos locales) y por tanto la funci´on δ un m´aximo. q R2 Definici´ on 1. Al valor w1 = w02 − 2L 2 se le llama frecuencia de resonancia del sistema (en este caso del circuito RLC). w02

2

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CIRCUITOS MULTIMALLA. SISTEMAS LINEALES DE E.D.O. Los circuitos RLC multimalla necesitan de los sistemas de E.D.O. lineales para ser tratados te´oricamente. Vamos a ver un ejemplo. M´as adelante, en el tema siguiente de la Transformada de Laplace, veremos como pueden ser resueltos. Ejemplo 1. Se considera el circuito multimalla:

Figura 13. Circuito multimalla. donde R1 = 10Ω, R2 = 20Ω, R3 = 30Ω, L1 = 2H, L2 = 4H y E = 50v. Vamos a describir matem´aticamente este sistema. Seg´ un las leyes de Kirchhoff: a: la suma algebraica de intensidades en un nodo es cero,

I = I1 + I2 + I3 ; b: la suma algebraica de las ca´ıdas de tensi´on (o de voltaje) alrededor de una malla cerrada es cero. As´ı en nuestro ejemplo I = I1 + I2 .

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Por otro lado, en la malla ABCEGHA se tiene la ecuaci´on dI1 E = IR3 + L1 + R1 I1 . dt En la malla CDFEC se tiene la ecuaci´on dI2 dI1 + R1 I1 − L2 − R2 I2 = 0. L1 dt dt Juntando las tres ecuaciones nos queda 30I1 + 30I2 + 2I10 + 10I1 = 50 2I10 + 10I1 − 4I20 − 20I2 = 0. Este es un sistema de dos E.D.O. lieales de primer orden y coeficientes constantes. La transformada de Laplace que vamos a estudiar a continuaci´on es un instrumento u ´til para resolver este tipo de problemas. Referencias ´ lisis Matema ´ tico, Facultad de Matema ´ ticas, Departamento de Ana Universidad Complutense, 28040 Madrid, Spain E-mail address: Cesar [email protected]