VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

3.3 UTILIZACIÓN Y FUNCIONES DE CircuitosNudosConComplejos PROGRAMA DE RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS POR EL MÉTODO DE NUDOS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS

CircuitosNudosConComplejos

3.3.1 INTRODUCCIÓN CircuitosNudosConComplejos es un package que hemos creado en Mathematica para resolver circuitos eléctricos, en régimen estacionario, cuyos generadores sean todos de corriente continua o todos de corriente alterna sinusoidal de la misma frecuencia. Dichos circuitos pueden estar formados por generadores de tensión, generadores de intensidad, resistencias, bobinas y condensadores.

Las soluciones las ofrece tanto en valor eficaz de forma binómica compleja.

Además,

podemos

obtener

los

resultados,

en

régimen

permanente, en el dominio del tiempo de forma analítica y gráfica. La forma de mostrar las soluciones puede ser de forma individual para un elemento, nudo o rama, o bien en forma de vector. También puede obtenerse una tabla con los resultados para todas las ramas o para todos los elementos.

327

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

En cuanto a la introducción de datos que describa el circuito, es la misma que requiere CircuitosNudos. Es más, pueden ejecutarse ambos a la vez siendo sólo necesario introducir los datos en uno de ellos.

Además, en todo momento se dispone de indicaciones para introducir los datos y sobre la forma de obtener los resultados y ayuda. Todas las funciones disponen de información sobre su utilización.

Dispone de numerosas funciones que permiten obtener un completo análisis de las potencias, tanto del circuito en su conjunto como de cada una de las ramas o de cada elemento. Además, cargando el package TheveninConComplejos podemos obtener los el circuito equivalente de Thevenin entre dos nudos.

A

continuación

veremos

algunas

de

las

características

de

CircuitosNudosConComplejos. Seguiremos con la explicación de cómo se lleva a cabo su ejecución. Continuaremos con un apartado que indica cómo obtener ayuda. Finalizaremos con la exposición de una lista de todas las funciones de este programa, describiéndolas y mostrando ejemplos.

3.3.2 EL PROGRAMA CircuitosNudosConComplejos La principal característica de CircuitosNudosConComplejos es que analiza circuitos eléctricos en régimen permanente, tanto en corriente continua como en alterna sinusoidal. Las soluciones del análisis las muestra en valor eficaz de forma binómica compleja, pudiéndose obtener también en el dominio del tiempo de forma analítica y gráfica. Otra característica de este package es la gran cantidad de funciones de que dispone para analizar el circuito. Obtiene la tensiones en los nudos, en las ramas, en los elementos; intensidades de las ramas; potencias activas 328

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

y reactivas y aparentes en las ramas y en los elementos; incluso el factor de potencia del circuito y desfase de la intensidad respecto de la tensión suministradas por el generador. Pero CircuitosNudosConComplejos no sólo obtiene soluciones para un circuito específico, sino que es capaz de obtener soluciones para circuitos genéricos

en

los

que

sus

parámetros

(resistencias,

inductancias,

condensadores, generadores de intensidad y de tensión), o algunos de ellos, poseen un valor simbólico. Es decir, admite, por ejemplo, que una resistencia tenga valor R1, y obtendrá las soluciones con el parámetro R1. Mathematica permite sustituir los parámetros por un valor, de modo que definiendo un circuito genérico podemos obtener las soluciones para cualquier valor de sus parámetros.

Adviértase que esta característica dota al programa de un importante valor didáctico, ya que permite analizar circuitos “tipo” o genéricos utilizados para explicar la parte teórica de multitud de temas de contenido eléctricos.

Sin olvidar que ofrece una solución analítica tanto en forma

binómica compleja como el dominio del tiempo. Esto hace que sea un material excelente para el estudiante de Ingeniería, puesto que durante su formación tendrá que resolver multitud de circuitos eléctricos por procedimientos analíticos, cuyas soluciones son, en ocasiones, de difícil comprobación o muy laboriosas. CircuitosNudosConComplejos brinda la posibilidad de comprobar las soluciones de forma directa.

Y no sólo es una material útil para el estudiante, sino que también lo es para el profesor, y quizás más, pues puede ahorrar mucho tiempo en la preparación del material didáctico y en las comprobaciones.

329

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3.3.3 EJECUCIÓN DE CircuitosNudos Ejecutaremos CircuitosNudosConComplejos desde un Notebook (archivo de extensión .nb) de Mathematica. Simplemente hay que teclear la siguiente instrucción y ejecutar la celda en la que se ha escrito.

> En forma de TABLAS DE RESULTADOS. (Teclea TablasResultadosC para más información). >> Soluciones de las distintas magnitudes para una rama, un nudo, un elemento (R, L, C, Eg, Ig) o para todas las ramas o nudos en forma de vector. (Para más información teclea ResultadosC).

>>>>>>> > > > >

VGR

< < < < <

matriz.

Siempre al inicio del nombre.

U

->

Tensión.

Al inicio del nombre o después de v o m.

I

->

Intensidad. Al inicio del nombre o después de v o m.

Ie

->

Intensidad que circula por R, L, C y/o Eg de una rama. Va al inicio del nombre o después de v o m.

P

->

Potencia.

Al inicio del nombre.

337

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Eg, Ig, R, L, C ->

Van después de U o al principio del nombre.

r

->

rama.

Después de U o I y al final o antes que s.

n

->

nudo.

Después de U, I o r.

j

->

solución con complejos.

Siempre irá al final del

nombre.

Consulta ?FuncionesC para ver las todas las funciones disponibles.

Y tecleando y ejecutando Funciones se muestra el conjunto de funciones disponibles para obtener los resultados del análisis del circuito.

In[5]:=

FuncionesC

Con resultados en forma Binómica Compleja: Egj[k,i,j], Igj[k,i,j], Lj[k,i,j], Cj[k,i,j]; vUnj, Unj[i];

Uj[i,j], Urj[k], vUrj;

Irnj[k,i,j], Irj[k], vIrj; UEgj[k,i,j], UIgj[k,i,j]; PRj[k], PLj[k], PCj[k]; PSgrj[k];

mYnj,MatrizAdmitnaciasj;

Ierj[k,i,j], Ierj[k], vIerj;

URj[k,i,j], ULj[k,i,j], UCj[k,i,j], URrj[k], ULrj[k], UCrj[k], UEgrj[k],Igrj[k];

PPrj[k], PQrj[k], PSrj[k];

PPj, Pqj, PSj;

PSgj;

Fdp;

En el Dominio del Tiempo: RP[X], vRP[X];

Srj[k];

AnguloUI, DesfaseI.

Grafica[k,x1,x2],

GraficaU[k,x1,x2], GraficaI[k,x1,x2].

Otras Funciones: ValorMedio[X], NValorMedio[X], ValorEficaz[X], NValorEficaz[X], ValorMaximo[X], NValorMaximo[X]; NTiempo, Tiempo.

En el último párrafo se indica cómo puede conseguirse información sobre una función específica; esto es, escribiendo ?NombreDeLaFuncion. Por ejemplo, conozcamos que hallan las funciones Irnj[k,i,j] y Urj[k]:

In[6]:=

?Irnj

Irnj[k,i,j] obtiene el valor eficaz de la intensidad que circula por la Rama-k en sentido del Nudo-i al Nudo-j en forma Binómica Compleja.

338

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In[7]:=

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?Urj

Urj[k] da el valor eficaz de tensi\[OAcute]n de la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Esta ayuda es de suma importancia, pues sin ella podríamos encontrar dificultades para interpretar los resultados correctamente.

En consecuencia con todo lo visto hasta ahora podemos afirmar que CircuitosNudosConComplejos dispone de una ayuda completa, estructurada y de fácil acceso; fundamental para familiarizarnos rápidamente con el programa y sacarle el máximo rendimiento.

3.3.5 FUNCIONES DE CircuitoNudosConComplejos Para abordar este apartado nos valdremos de un ejemplo para facilitar la explicación sobre el modo en que las funciones muestran los resultados.

Este será el ejemplo que emplearemos:

1

20 Ω

R2 100 √2 Cos (100 t) V

Eg 1

Ig 1

500 µF

C3

√2 Cos (100 t) A

2 L2

200 mH

R4

20 Ω

0

Los

datos

del

circuito

que

hay

que

introducir

en

CircuitosNudosConComplejos son 339

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Eg[1,1,0]:= 100*Sqrt[2]*Cos[100 t]; R[2,1,0]:= 20;

Ig[1,0,1]:= Sqrt[2]*Cos[100 t];

R[4,2,0]:= 20;

L[2,1,0]:= 2/10; C[3,1,2]:= 500*10^(-6);

Advirtamos cómo para definir el circuito hemos formado una rama con varios elementos (rama 2) y ramas con sólo un elemento a pesar de estar en serie (ramas 3 y 4). Esta versatilidad es una de las virtudes de CircuitosNudos frente a otros programas, como PSpice en el que sólo pueden definirse elementos entre sus bornes y no entre nudos de rama. NOTA: Si algún dato es introducido en formato decimal los resultados se mostrarán en este formato; si se escriben todos en forma de fracción las soluciones se obtendrá en formato racional, respetándose las constantes numéricas como Pi (π), Sqrt[2] (√2), E (℮), etc. Si se introducen datos simbólicos y constantes como Pi (π), Sqrt[2] (√2), etc., puede aumentar el tiempo de ejecución, por lo que debe tenerse en cuenta para circuitos con muchos elementos.

A continuación conoceremos cada una de las funciones de CircuitosNudosConComplejos,

auque

no

sin

antes

hacer

algunas

consideraciones.

Ya vimos en apartado anterior cómo obtener ayuda sobre una función cuando

estamos

ejecutando

CircuitosNudosConComplejos.

Para

ello

bastaba con escribir el signo “?” seguido del nombre de la función y ejecutar la celda. Aprovecharemos estas definiciones para conocer los argumentos requeridos por la función y cuál es la salida que ésta ofrece, construyendo de este modo, a continuación, un manual con todas las funciones.

Por último, antes de comenzar con la lista de funciones, interesa indicar cual es el convenio de signos adoptado por las funciones, aún a 340

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

pesar de que éste quede reflejado en la descripción de cada función, puesto que agilizará una rápida comprensión del criterio general:

CRITERIO DE SIGNOS Funciones con tres argumentos o entradas: Función[k, i, j].

o k siempre representa el número de la rama. −

Para TENSIONES

o i corresponde al nudo positivo. o j es el nudo negativo. o La tensión tendrá valor positivo si el nudo-i está a mayor potencial que el nudo-j. Será negativo en caso contrario.

−

Para INTENSIDADES

o i se considera nudo entrante de la intensidad. o j es el nudo por el que sale de la intensidad. o La intensidad será de valor positivo si realmente la intensidad entra por el nudo-i (sale por el nudo-j). Tendrá valor negativo si entra por el nudo-j (sale por el nudo-i). Funciones con dos argumentos o entradas: Función[i, j].

−

Sólo para TENSIONES

o i corresponde al nudo positivo. o j es el nudo negativo. o La tensión tendrá valor positivo si el nudo-i está a mayor potencial que el nudo-j. Será negativo en caso contrario. Funciones con un argumento o entrada: Función[k] y Función[i].

−

Función[i] (para tensión)

o i corresponde al nudo del que se quiere conocer el valor de su tensión respecto del nudo 0.

341

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−

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Función[k]

o k siempre representa el número de la rama. o Equivale a una función del tipo Función[k, i, j] en la que se han fijado los argumentos i y j de acuerdo al siguiente criterio: ƒ

i corresponde al nudo mayor, numéricamente, de la rama k.

ƒ

j es el nudo menor, numéricamente, de la rama k.

Por ejemplo, para una rama con nudos 2 y 5 el nudo-i sería el 5 y el nudo-j el 2, ya que 5 es mayor que 2.

LISTA DE FUNCIONES

1. Egj ?Egj Egj[k, i, j] obtiene el valor eficaz del generador de tensión de la rama k entre los nudos i (positivo) y j (negativo) en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[2]:=

Egj[1,1,0]

Out[2]=

100

In[3]:=

Egj[1,0,1]

Out[3]=

-100

El valor de Egj entre los nudos 0 y 1 tiene signo contrario al obtenido entre 1 y 0. Egj[1,1,0] tiene valor positivo, lo cual indica que realmente el nudo-1 es el positivo y el nudo-0 el negativo. Por el contrario, Egj[1,0,1] es negativo, con lo que deducimos que el nudo de mayor potencial es el 1 y el de menor el 0.

342

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

2. Igj ?Igj Igj[k, i, j] obtiene el valor eficaz del generador de intensidad de la rama k entre los nudos i (positivo) y j (negativo) en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[4]:=

Igj[1,0,1]

Out[4]=

1

In[5]:=

Igj[1,1,0]

Out[5]=

-1

El valor de Igj entre los nudos 0 y 1 tiene signo contrario al obtenido entre 1 y 0. Igj[1,0,1] tiene valor positivo, lo cual indica que realmente la intensidad entra por el nudo-0 y sale por el nudo-1 a través de la rama-1. Por contra, Igj[1,1,0] es negativo, o sea, el sentido de circulación de la intensidad es del nudo 0 al 1.

3. Lj ?Lj Lj[k, i, j] obtiene el valor de la impedancia inductiva de la rama k entre los nudos i y j en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[6]:=

Out[6]=

In[7]:=

Out[7]=

Lj[2,1,0] 20

Lj[2,0,1] 20

343

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Una impedancia, ya sea inductiva como capacitiva o resistiva, siempre tiene el mismo valor, ya se defina en un sentido u otro.

En estos primeros ejemplos hemos obtenido los valores de las distintas magnitudes tanto en sentido del nudo i al j como del j al i, siendo i el nudo positivo

para tensiones o entrante para intensidades, y j el nudo

negativo para tensiones o saliente para intensidades. Además hemos comentado los resultados en lo que ha interpretación del signo de éstos se refiere. Consideramos suficientes estos

ejemplos para que ya se haya

aprendido a interpretar los signos de los resultados. En consecuencia, nos abstendremos de hacer más comentarios respecto a este tema en los ejemplos sucesivos omitiendo la solución dual por mera transposición en el orden de los nudos.

4. Cj ?Cj Cj[k, i, j] obtiene el valor de la impedancia capacitiva de la rama k entre los nudos i y j en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[8]:=

Out[8]=

Cj[3,1,2] −20

5. mYnj ?mYnj mYnj devuelve la matriz de Admitancias de Nudos de dimensión (nN-1) x (nN-1) donde nN es el nº de Nudos.

Ejemplo: In[9]:=

mYnj

Out[9]=

::

1 1 + >, :− + >> ,− , 40 40 20 20 20 20

344

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

6. MatrizAdmitanciasj ?MatrizAdmitanciasj MatrizAdmitanciasj muestra la matriz de Admitancias en la forma representativa de matriz. Los resultados son más claros visualmente, pero no son operativos, es decir, no pueden usarse en cálculos.

Ejemplo: In[10]:=

MatrizAdmitanciasj

Out[10]//MatrixForm=

i 1 + k

40

−

40

20

−

20

y

1 + 20 20 {

7. vUnj ?vUnj vUnj devuelve un vector con las tensiones en valor eficaz de cada Nudo respecto del Nudo-1 en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[11]:=

vUnj

Out[11]=

80, 100, 50 + 50 <

8. Unj ?Unj Unj[i] halla el valor eficaz de la tensión en el Nudo-i respecto del Nudo-1 en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[12]:=

Unj[0]

Out[12]=

0

345

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

In[13]:=

Unj[1]

Out[13]=

100

In[14]:=

Unj[2]

Out[14]=

50 + 50

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

9. Uj ?Uj Uj[i,j] obtiene el valor eficaz de la tensión entre los Nudos i,j en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[15]:=

Uj[1,0]

Out[15]=

100

In[16]:=

Uj[1,2]

Out[16]=

50 − 50

In[17]:=

Uj[2,0]

Out[17]=

50 + 50

10. Urj

?Urj Urj[k] da el valor eficaz de tensión de la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

346

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Ejemplos: In[18]:=

Urj[1]

Out[18]=

100

In[19]:=

Urj[2]

Out[19]=

100

In[20]:=

Urj[3] −50 + 50

Out[20]=

In[21]:=

Urj[4]

Out[21]=

50 + 50

Urj es equivalente a Uj siempre que se desee hallar la tensión en una rama. No obstante, Uj también halla tensiones entre dos nudos no pertenecientes a una rama común, y permite indicar el sentido en que se desea obtener la intensidad. En el caso de Urj el sentido viene forzado desde el nudo mayor y hacia el menor numéricamente; si se quisiera obtener en sentido contrario bastaría con poner un signo negativo delante: -Urj[k].

11. vUrj ?vUrj vUrj devuelve un vector con las tensiones eficaces de cada Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[22]:=

vUrj

Out[22]=

8100, 100, − 50 + 50 , 50 + 50 <

347

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

12. Iernj ?Iernj Iernj[k,i,j] obtiene el valor eficaz de la intensidad Ie (que circula por R, L, Co y/o Eg) de la Rama-k en sentido del Nudo-i al Nudo-j en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[23]:=

Iernj[1,0,1] 4

Out[23]=

In[24]:=

Iernj[2,1,0] 5 5 − 2 2

Out[24]=

In[25]:=

Iernj[3,1,2] 5 5 + 2 2

Out[25]=

In[26]:=

Iernj[4,2,0] 5 5 + 2 2

Out[26]=

13. Ierj ?Ierj Ierj[k] calcula el valor eficaz de la intensidad Ie (que circula por R, L, Co y/o Eg) de la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[27]:=

Ierj[1]

Out[27]=

-4

348

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

In[28]:=

Ierj[2]

Out[28]=

5 5 − 2 2

In[29]:=

Ierj[3]

Out[29]=

−

In[30]:=

Ierj[4]

Out[30]=

5 5 + 2 2

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

5 5 − 2 2

Fácilmente se aprecia que esta función es equivalente a Iernj salvo en que Ierj no permite indicar el sentido en que se desea obtener la intensidad, dado que este viene forzado desde el nudo mayor y hacia el menor (numéricamente). Para hallar el valor en sentido contrario bastaría con poner un signo negativo delante: −Ierj[k]. In[31]:=

-Ierj[4]

Out[31]=

−

5 5 − 2 2

14. vIerj ?vIerj vIerj devuelve un vector con los valores eficaces de las intensidades Ie (que circulan por R, L, Co y/o Eg) de cada Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[32]:=

vIerj

Out[32]=

:−4,

5 5 5 5 5 5 − + > ,− − , 2 2 2 2 2 2

349

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

15. Irnj ?Irnj Irnj[k,i,j] obtiene el valor eficaz de la intensidad que circula por la Rama-k en sentido del Nudo-i al Nudo-j en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[33]:=

Irnj[1,1,0]

Out[33]=

5

In[34]:=

Irnj[2,1,0]

Out[34]=

In[35]:=

Out[35]=

In[36]:=

Out[36]=

5 5 − 2 2

Irnj[3,1,2] 5 5 + 2 2

Irnj[4,2,0] 5 5 + 2 2

Ésta es una función equivalente a Ierns si en la rama en cuestión no hay generador de corriente. Es la suma de Ierns[k,i,j] e Igs[k,i,j].

16. Irj ?Irj Irj[k] calcula el valor eficaz de la intensidad que circula por la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[37]:=

Irj[1]

Out[37]=

-5

350

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

In[38]:=

Irj[2]

Out[38]=

5 5 − 2 2

In[39]:=

Irj[3] −

Out[39]=

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

5 5 − 2 2

In[40]:=

Irj[4]

Out[40]=

5 5 + 2 2

17. vIrj ?vIrj vIrj devuelve un vector con los valores eficaces de las intensidades que circulan por cada Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[41]:=

vIrj

Out[41]=

:−5,

5 5 5 5 5 5 − + > ,− − , 2 2 2 2 2 2

En caso de no existir generadores de intensidad esta función es equivalente a vIerj.

18. URj ?URj URj[k,i,j] halla el valor eficaz de la caída de Tensión en la Resistencia de la Rama-k en sentido del Nudo-i al Nudo-j en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[42]:=

Out[42]=

URj[2,1,0] 50 − 50

351

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

In[43]:=

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

URj[4,2,0] 50 + 50

Out[43]=

19. ULj ?ULj ULj[k,i,j] halla el valor eficaz de la caída de Tensión en la Bobina de la Rama-k en sentido del Nudo-i al Nudo-j en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[44]:=

ULj[2,1,0] 50 + 50

Out[44]=

20. UCj ?UCj UCj[k,i,j] halla el valor eficaz de la caída de Tensión en el Condensador

de la Rama-k en sentido del Nudo-i al Nudo-j

en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[45]:=

UCj[3,1,2]

Out[45]=

50 − 50

21. UEgj ?UEgj UEgj[k,i,j] devuelve el valor eficaz de Tensión del Generador de Tensión de la Rama-k en sentido del Nudo-i al Nudo-j en forma Binómica Compleja.

352

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Ejemplo: In[46]:=

UEgj[1,1,0]

Out[46]=

100

22. UIgj ?UIgj UIgj[k,i,j] devuelve el valor eficaz de Tensión del Generador de Intensidad de la Rama-k en sentido del Nudo-i al Nudo-j en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[47]:=

UIgj[1,1,0]

Out[47]=

100

23. URrj ?URrj URrj[k] halla el valor eficaz de la caída de Tensión en la Resistencia de la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al

Nudo-2; 5>2) en forma Binómica

Compleja.

Ejemplos: In[48]:=

Out[48]=

URrj[2] 50 − 50

In[49]:=

URrj[4]

Out[49]=

50 + 50

353

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

24. ULrj ?ULrj ULrj[k] halla el valor eficaz de la caída de Tensión en la Bobina de la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[50]:=

ULrj[2]

Out[50]=

50 + 50

25. UCrj ?UCrj UCrj[k] halla el valor eficaz de la caída de Tensión en el Condensador de la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[51]:=

UCrj[3]

Out[51]=

−50 + 50

26. UEgrj ?UEgrj UEgrj[k] devuelve el valor eficaz de Tensión del Generador de Tensión de la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[52]:=

UEgrj[1]

Out[52]=

100

354

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

27. UIgrj ?UIgrj UIgrj[k] devuelve el valor eficaz de Tensión del Generador de Intensidad de la Rama-k en sentido del Nudo-MAYOR al Nudo-MENOR (p.e.: Nudo-5 al Nudo-2; 5>2) en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[53]:=

UIgrj[1]

Out[53]=

100

28. PRj

?PRj PRj[k] halla el valor medio de la Potencia Activa consumida por la Resistencia de la rama-k.

Ejemplos: In[54]:=

PRj[2]

Out[54]=

250

In[55]:=

PRj[4]

Out[55]=

250

29. PLj

?PLj PLj[k] halla el valor medio de la Potencia Reactiva almacenada en la Bobina de la rama-k en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[56]:=

Out[56]=

PLj[2]

250

355

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UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

30. PCj ?PCj PCj[k] halla el valor medio de la Potencia Reactiva almacenada en el Condensador de la rama-k en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[57]:=

PCj[3] −250

Out[57]=

31. PEgj ?PEgj PEgj[k] halla el valor medio de la Potencia suministrada por por el Generador de Tensión de la rama-k en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[58]:=

PEgj[1]

Out[58]=

-400

El signo negativo indica que la potencia es suministrada al circuito. Las unidades son vatios, W.

32. PIgj ?PIgj PIgj[k] halla el valor medio de la Potencia suministrada por por el Generador de Intensidad de la rama-k en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[59]:=

PIgj[1]

Out[59]=

-100

356

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Como en el caso anterior, el signo negativo indica que la potencia es suministrada al circuito. Las unidades son vatios, W.

33. PPrj

?PPrj PPrj[k] halla el valor medio de la Potencia Activa consumida por la Resistencia de la rama-k.

Ejemplos: In[60]:=

PPrj[2]

Out[60]=

250

In[61]:=

PPrj[4]

Out[61]=

250

Las funciones PRj[k] y PPrj[k] son la misma. La existencia de las dos es simplemente por cuestiones nominales (potencia en la resistencia, potencia activa).

34. PQrj

?PQrj PQrj[k] halla el valor medio de la Potencia Reactiva almacenada en el Condensador y la Bobina de la rama-k en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[62]:=

PQrj[2]

Out[62]=

250

357

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

In[63]:=

PQrj[3]

Out[63]=

−250

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

35. PSrj ?PSrj PSrj[k] halla el valor medio de la Potencia Aparente de la Impedancia de la rama-k en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[64]:=

PSrj[2]

Out[64]=

250 + 250

In[65]:=

PSrj[3]

Out[65]=

−250

In[66]:=

PSrj[4]

Out[66]=

250

36. Srj ?Srj Srj[k] halla el valor medio de la Potencia Aparente de la rama-k en forma Binómica Compleja.

Ejemplos: In[67]:=

Srj[1]

Out[67]=

-500

In[68]:=

Srj[2]

Out[68]=

250 + 250

358

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

In[69]:=

Srj[3]

Out[69]=

−250

In[70]:=

Srj[4]

Out[70]=

250

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

37. PSqrj PSgrj PSgrj[k] halla el valor medio de la Potencia Aparente entregada por los Generadores de la rama-k en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[71]:=

PSgj[1]

Out[71]=

-500

Esta función es la suma de PEgj[k] + PIgj[k].

38. PPj ?PPj PPj halla el valor medio de la Potencia Activa Total consumida por las Resistencias del circuito en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[72]:=

PPj

Out[72]=

500

359

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

39. PQj

?PQj PQj halla el valor medio de la Potencia Reactiva Total almacenada por las Bobinas y Condensadores del circuito en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[73]:=

PQj

Out[73]=

0

En este caso, el circuito, desde el punto de vista de los generadores, es resistivo puro, de ahí que sea nula la energía almacenada por la bobina y el condensador.

40. PSj

?PSj PSj halla el valor medio de la Potencia Aparente Total de las Impedancias del circuito en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[74]:=

PSj

Out[74]=

500

Tal y como era de esperar, al tratarse de un circuito resistivo, desde el punto de vista de los generadores, coincide con la potencia consumida por las resistencias.

360

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

41. PSgj ?PSgj PSgj halla el valor medio de la Potencia Aparente Total entregada por los Generadores del circuito en forma Binómica Compleja.

Ejemplo: In[75]:=

PSgj

Out[75]=

-500

42. Fdp ?Fdp Fdp obtiene el Factor de Potencia del Circuito.

Ejemplo: In[76]:=

Fdp

Out[76]=

1

43. AnguloUI ?AnguloUI AnguloUI halla el Ángulo de Desfase en rad entre la tensión y la intensidad absorbidas por el circuito.

Ejemplo: In[77]:=

AnguloUI

Out[77]=

0

361

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

44. DesfaseI ?DesfaseI DesfaseI halla el Ángulo de Desfase en rad de la Intensidad respecto de la tensión absorbidas por el circuito.

Ejemplo: In[78]:=

DesfaseI

Out[78]=

0

45. RP ?RP RP[X] obtiene la Función en el Dominio del Tiempo de una intensidad o de una tensión expresada en forma binómica compleja.

Ejemplos: è

In[79]:=

RP[Urj[2]]

Out[79]=

100

In[80]:=

RP[Irj[2]]

Out[80]=

2 Cos@100 tD

5 CosB

π

4

− 100 tF

Una de las aplicaciones de esta función es poder conocer fácilmente el desfase de la intensidad respecto de la tensión, que para nuestro ejemplo, resulta que la intensidad del la rama 2 se encuentra retrasada π/4 radianes (45º) respecto de su tensión.

46. vRP ?vRP RP[X] obtiene la Función en el Dominio del Tiempo de un vector intensidad o de tensión expresado en forma binómica compleja.

362

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Ejemplo: In[81]:=

RP[vIrj]

Out[81]=

:−5

è

2 Cos@100 tD, 5 CosB

π

4

− 100 tF, 5 CosB

3π π − 100 tF, 5 CosB + 100 tF> 4 4

47. $w ?$w $w Indica el valor de la pulsación o frecuencia angular del sistema en rad/s.

Ejemplo: In[82]:=

$w

Out[82]=

100

48. $f ?$f $f obtiene el valor de la frecuencia del circuito en Hz.

Ejemplo: In[83]:=

$f

50 Out[83]=

π

49. $T

?$T $T muestra el valor del periodo de la onda u ondas de excitación del circuito es segundos.

363

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Ejemplo: In[84]:=

$T π

Out[84]=

50

50. Grafica ?Grafica Grafica[k,x1,x2] obtiene la representación Gráfica, en función del tiempo, de un Out[k] desde el t=x1 hasta t=x2.

Ejemplo: In[85]:=

RP[Unj[2]]

Out[85]=

100 CosB

In[86]:=

Grafica[85,0,0.15]

π

4

+ 100 tF

100

50

0

-50

-100 0

Out[86]=

0.02

0.04

0.06

0.08 tHsL

0.1

0.12

0.14

Graphics

Es necesario que nos detengamos en esta función para estudiarla en mayor profundidad. En realidad, Grafica es una función Plot de Mathematica, en la que se ha simplificado la entrada de datos y fijado parámetros. Grafica sólo representa un Out[k], obligando, para introducir los datos, a que se ejecute la 364

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

función a representar con anterioridad a Grafica y así indicar en ésta el número k del Out[k]. El porqué se ha obligado a que Grafica sólo represente un Out[k] y no una función directamente se debe a que Mathematica emplearía gran cantidad de tiempo en realizar los cálculos internos oportunos para representar el gráfico y, sobre todo, porque en multitud de ocasiones se producirían errores mientras efectúa el cómputo de datos para representar la función. Centrémonos ya en la aplicación de la función Grafica, que es lo que realmente nos interesa. Indudablemente resulta muy útil para conocer la forma de onda de una magnitud eléctrica, observar el comportamiento en régimen transitorio, picos de corriente y tensión, etc. Pero hay más, pues las gráficas de Mathematica permiten obtener las coordenadas de cualquier punto que, con buenas acotaciones de la gráfica y ampliando su tamaño, se consiguen buenas aproximaciones. Veamos cómo se realizan estas acciones.

−

Ampliar la gráfica. Seleccionamos la gráfica, al hacerlo aparecen ocho

puntos en los borde de la gráfica. Situamos el cursor sobre ellos; aparece una flecha que indica la dirección en que podemos modificar el tamaño. Pinchamos con el ratón sobre ellos y desplazamos el cursor hasta conseguir el tamaño deseado y dejamos de pulsar el botón del ratón.

−

Obtener una ampliación de una zona de la gráfica. Para ello basta

con reducir las cotas del tiempo introducidas y volver a ejecutar la gráfica. Por ejemplo, para determinar el valor máximo de potencia de la gráfica anterior reducimos el rango a representar:

In[87]:=

Grafica[85,0.034,0.04];

365

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

100 98 96 94 92 90 88 0.05

−

0.052

0.054

tHsL

0.056

0.058

0.06

Obtener las coordenadas de un punto de la gráfica. Seleccionamos

la gráfica, pulsamos la tecla Control y, manteniéndola pulsada, pinchamos con el cursor en el punto, o en los puntos, que nos interesa. Ya podemos dejar de pulsar Control. Con los comandos Copiar y Pegar, obtenemos las coordenadas. En el ejemplo anterior, para el punto máximo, resultan estas coordenadas: {0.0549655, 100.177}

−

Comparar varias gráficas. Se hace con el comando Show. La

estructura de esta función es Show[gráfica1, gráfica2,…].

51. GraficaU ?GraficaU GraficaU[k,x1,x2] obtiene la representación Gráfica, en función del tiempo, de un Out[k] desde el t=x1 hasta t=x2. El eje vertical es para Tensiones.

Ejemplo: In[88]:=

RP[Urj[2,1,0]]

Out[88]=

100

In[89]:=

GraficaU[88,0,0.15];

è

2 Cos@100 tD

366

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

100

V HV L

50

0

-50

-100

0

0.02

0.04

0.06

0.08 tHsL

0.1

0.12

0.14

La función GraficaU es igual que Grafica, tan solo se ha cambiado el color de la curva (azul) y se ha puesto la etiqueta V(V) en el eje vertical.

52. GraficaI ?GraficaI GraficaI[k,x1,x2] obtiene la representación Gráfica, en función del tiempo, de un Out[k] desde el t=x1 hasta t=x2. El eje vertical es para Intensidades.

Ejemplo: In[90]:=

RP[Irnj[2,1,0]]

Out[90]=

5 CosB

In[91]:=

GraficaI[90,0,0.15];

π

4

− 100 tF

4

IHAL

2

0

-2

-4

0

0.02

0.04

0.06

0.08 tHsL

0.1

0.12

0.14

367

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

La función GraficaI es igual que Grafica, tan solo se ha cambiado el color de la curva (rojo) y se ha puesto la etiqueta I(A) en el eje vertical.

Al disponer de colores distintos para las gráficas de tensión y de intensidad podemos representar conjuntamente las dos curvas quedando claramente identificadas.

Hagamos, seguidamente, una representación conjunta de la tensión y la intensidad de la rama 2. Si observamos las gráficas por separado y nos fijamos en las escalas de valores vemos como la intensidad alcanza máximos de 5 A, mientras que los de la tensión son de 100·√2 V. Para poder apreciar la curva de la intensidad interesa aplicarle un factor de escala, por ejemplo 10.

In[92]:=

10*RP[Irnj[2,1,0]]; (* 10 es el factor de escala *)

In[93]:=

Grafica[92,0,0.15];

40

IHAL

20

0

-20

-40

0

In[94]:=

0.02

0.04

0.06

0.08 tHsL

0.1

0.12

0.14

Show[Out[89],Out[93]];

368

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

100

VHVL

50

0

-50

-100

0

0.02

0.04

0.06

0.08 tHsL

0.1

0.12

0.14

Fijémonos cómo la intensidad se encuentra retrasada 45º respecto de la tensión.

53. ValorMedio ?ValorMedio ValorMedio[K] halla el Valor Medio de una función K periódica o continua de valor constante.

Ejemplo: In[95]:=

potenciaR2 = RP[URrj[2]]*RP[Ierj[2]]

Out[95]=

500 CosB

In[96]:=

ValorMedio[potenciaR2]

Out[96]=

250

π

4

− 100 tF

2

Por supuesto, PRj[2] nos hubiera mostrado el mismo resultado de forma inmediata, pero entiéndase el ejemplo como tal, una demostración.

369

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

54. NValorMedio ?NValorMedio NValorMedio[K] obtiene el valor numérico de la función ValorMedio[k].

Ejemplo: In[97]:=

NValorMedio[potenciaR2]

Out[97]=

250.

55. ValorEficaz ?ValorEficaz ValorEficaz[K] halla el Valor Eficaz de una función K periódica o continua de valor constante.

Ejemplo: In[98]:=

ValorEficaz[RP[Irj[2]]] è2

5

Out[98]=

Evidentemente, este resultado podríamos haberlo obtenido más fácilmente con Abs[Irj[2]]. Entiéndase sólo como ejemplo.

56. NValorEficaz ?NValorEficaz NValorEficaz[K] obtiene el valor numérico de la función ValorEficaz[k].

Ejemplo: In[99]:=

NValorEficaz[RP[Irj[2]]]

Out[99]=

3.53553

370

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

57. ValorMaximo ?ValorMaximo ValorMaximo[K] halla el Valor Maximo de una función K periódica o continua de valor constante.

Ejemplo: In[100]:=

ValorMaximo[RP[Irj[3]]]

Out[100]=

100

58. NValorMaximo ?NValorMaximo NValorMaximo[K] obtiene el valor numérico de la función ValorMaximo[k].

Ejemplo: In[101]:=

NValorMaximo[RP[Irj[3]]]

Out[101]=

100.

Las funciones anteriores, empleadas para calcular el valor medio, eficaz y máximo no son muy prácticas para analizar magnitudes de estos circuitos, pues de antemano sabemos que el valor medio de las tensiones e intensidades será cero para generadores sinusoidales; el valor eficaz lo muestra automáticamente el resultado en forma binómica compleja, y el valor máximo es el eficaz multiplicado por √2.

Pero por otra parte, puede ser necesario comparar los resultados obtenidos en forma binómica compleja con otros obtenidos en función el tiempo. Por ejemplo, para la rama 2, tenemos la solución 4·sin (100 t) +

371

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

3·cos (100 t). Con ValorEficaz podemos comprobar si coincide con el obtenido con CircuitosNudosConComplejos:

In[102]:=

Abs[Irj[2]]] è2

5

Out[102]=

In[103]:=

ValorEficaz[4*Sin[100t]+3*Cos[100t]]

è2

5

Out[103]=

59. NTiempoj ?NTiempoj NTiempoj muestra el tiempo, en segundos, empleado en procesar los datos.

Ejemplo: In[104]:=

NTiempoj

Out[104]=

2.

60. Tiempoj ?Tiempoj NTiempoj muestra el tiempo, en minutos y segundos, empleado en procesar los datos.

Ejemplo: In[105]:=

Out[105]=

Tiempo 0 min

2. seg

372

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

Por fin, hemos concluido la extensa lista de funciones de CircuitosNudosConComplejos. Aunque son muchas tienen una estructura fácil de aprender. Pero, sin duda, lo mejor es ver los ejemplos que proponemos en el apartado de problemas del presente trabajo.

Además hay otra forma de mostrar los resultados, de la que ya hablamos en el apartado de obtención de resultados; ésta es en forma de tablas. A continuación exponemos con detalle este modo de exponer las soluciones.

3.3.6 TABLAS DE RESULTADOS DE CircuitoNudosConComplejos. Tras

ejecutar

CircuitosNudosConComplejos

éste

escribe

automáticamente cómo obtener resultados:

4.

**

OBTENCIÓN DE RESULTADOS

**

Hay dos formas de obtener resultados: >> En forma de TABLAS DE RESULTADOS. (Teclea TablasResultadosC para más información). >> Soluciones de las distintas magnitudes para una rama, un nudo, un elemento (R, L, C, Eg, Ig) o para todas las ramas o nudos en forma de vector. (Para más información teclea ResultadosC).

Pues

bien,

tecleemos

TablasResultadosC

para

obtener

más

información:

373

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

In[2]:=

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

TablasResultadosC

Podemos obtener TABLAS DE RESULTADOS para todas las ramas y todos los elementos con las siguientes funciones : ResultadosRamasC NResultadosRamasC

(resultados con números complejos) (result. numéricos con números complejos)

ResultadosElementosC NResultadosElementosC

(resultados con números complejos) (result. numéricos con números complejos)

Las soluciones se muestran desde el Nudo MAYOR al Nudo MENOR de la Rama; así, p.e., para una Rama 3 con nudos 2 y 4 los resultados se muestran desde el nudo 4 al 2.

La ayuda obtenida tecleando TablasResultadosC es suficiente para entender para qué sirve cada función, aunque sí resulta conveniente poner algunos ejemplos que es el mejor modo de ver el funcionamiento y las diferencias de cada una de estas funciones. Para estos ejemplos nos aprovecharemos el circuito definido para el estudio de funciones. Ejemplo: In[3]:=

ResultadosRamasC

Ramas Nudos

Uj@i,jD

Irj@kD Hi−jL

Iej HI Z−EgL

81, 0< 81, 0< 82, 1< 82, 0<

100 100 −50 + 50 50 + 50

−5

−4

5 − 5 2 2 −5− 5 2 2 5 + 5 2 2

5 − 5 2 2 −5 − 5 2 2 5 + 5 2 2

1 2 3 4

In[4]:=

−500 250 + 250 −250 250

NResultadosRamasC

Ramas Nudos 1 2 3 4

Pot. rama

81, 0< 81, 0< 82, 1< 82, 0<

Uj@i,jD

Irj@kD Hi−jL

Iej HI Z−EgL

100. 100. −50. + 50. 50. + 50.

− 5.

− 4.

2.5 − 2.5 − 2.5 − 2.5 2.5 + 2.5

2.5 − 2.5 − 2.5 − 2.5 2.5 + 2.5

Pot. rama − 500. 250. + 250. − 250.

250.

Las columnas de ResultadosRamasC pueden obtenerse por separado escribiendo ramas, nudosramas, uramasC, iramasC, ieramasC y pramasC respectivamente. 374

VICENTE GRIÑÁN RUIZ

In[5]:=

ResultadosElementosC

Ramas Nudos 1 2 3 4

In[6]:=

81, 0< 81, 0< 82, 1< 82, 0<

U en R@kD

U en L@kD

U en C@kD

U en Eg@kD

U en Ig@kD

0 50 − 50 0 50 + 50

0 50 + 50 0 0

0 0 − 50 + 50 0

100 0 0 0

100 0 0 0

NResultadosElementosC

Ramas Nudos 1 2 3 4

UTILIZACIÓN Y FUNCIONES

81, 0< 81, 0< 82, 1< 82, 0<

U en R@kD

U en L@kD

U en C@kD

U en Eg@kD

U en Ig@kD

0 50. − 50. 0 50. + 50.

0 50. + 50. 0 0

0 0 − 50. + 50. 0

100. 0 0 0

100. 0 0 0

Las columnas de la función Resultados Elementos se muestran tecleando ramas, nudosramas, uRj, uLj, uCj, uEgj y uIgj respectivamente.

375