CÍRCULOS

7.1.1 – 7.1.2

Los círculos tienen propiedades especiales. El hecho de que puedan girar fácilmente se debe a que el círculo tiene un diámetro constante (la distancia a través del círculo que atraviesa el centro). Si un vehículo tuviera ruedas cuadradas se sacudiría todo el tiempo puesto que, como las diagonales de un cuadrado son más largas que su ancho, este no tiene un diámetro constante. Sin embargo, los círculos no son las únicas formas que tienen un diámetro constante. Las curvas de Reuleaux, que se asemejan a polígonos redondeados, también tienen un diámetro constante. Quizá no lo parezca, pero las curvas de Reuleaux giran con facilidad sin provocar sacudones. Consulta el problema 7-3 del libro de texto para ver una imagen de las curvas. El círculo (circunferencia) no incluye su interior. El círculo es el conjunto de puntos sobre una superficie plana a una distancia fija (el radio) desde un punto fijo (el centro). Esto también significa que el centro, los diámetros y los radios no son parte del círculo. Recuerda que el radio es la mitad del diámetro, y que conecta el centro del círculo con un punto sobre el círculo. El círculo tiene diámetros infinitos y radios también infinitos.

diámetro (ambos segmentos)

centro radio

Consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 7.1.2.

Ejemplo 1

B

Utilizando el círculo de la derecha, escribe una ecuación y resuelve x. Nota: cada punto representa un problema diferente. a.

AO = 3x – 4, OB = 4x – 12.

b.

OB = 2x - 5, AC = x – 7

O

A

Usando la información que tenemos sobre círculos, diámetros y radios, podemos escribir una ecuación que incluya las expresiones del punto (a) y luego resolver x. Tanto AO como OB son radios del círculo O, lo que significa que tienen la misma longitud. En el punto (b), OB es el radio pero AC es el diámetro, por ello, AC mide el doble que OB .

Guía para padres con práctica adicional

C

AO = OB 3x − 4 = 4x − 12 8=x

Resta 3x y suma 12 en ambos lados.

2 (OB ) = AC

2 ( 2x − 5 ) = x − 7 4x − 10 = x − 7 3x = 3 x =1

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93

Problemas Usando el siguiente círculo, escribe una ecuación y resuelve x. Nota: cada punto representa un problema diferente. 1.

OP = 5x – 3, OR = 3x + 9

2.

OQ = 2x + 12, OP = 3x – 1

3.

OR = 12x – 8, OQ = 8x – 4

4.

OP = 5x + 3, PR = 3x + 13

5.

OQ = x – 6, PR = x + 7

Q

P O R

Respuestas 1.

x=6

2.

x = 13

3.

x=1

4.

x=1

5.

x = 19

94

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Core Connections es español, Geometría

SIMETRÍA Y POLÍGONOS

7.1.3 – 7.1.4

A través del uso de transformaciones rígidas (rotaciones, reflexiones, y traslaciones), los alumnos crearon nuevas figuras y descubrieron propiedades de estas figuras. Además, los alumnos utilizaron transformaciones para descubrir el trayecto más corto desde un objeto hasta otro (problemas de optimización), y para definir y estudiar polígonos regulares. Un polígono regular es un polígono que tiene todos sus lados de igual longitud y todos sus ángulos de la misma medida. Consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de la Lección 7.1.4.

Ejemplo 1 En un reciente campamento scout, Zevel estaba caminando de vuelta hacia las tiendas cuando observó que la fogata había aumentado mucho su tamaño. Quiere llenar su cubo en el río y luego caminar hacia la fogata para apagar el fuego. Para asegurarse de que el fuego no esté fuera de control, Zevel desea tomar el camino más corto. ¿Cuál es el camino más corto desde donde Zevel está parado para ir hasta el río y luego regresar a la fogata?

?

La distancia más corta entre dos puntos sobre una superficie plana es una línea recta. ¿Cómo podemos hallar la distancia más corta si se incluye un tercer punto, como el trayecto de Zevel hasta el río? Utilizamos reflexiones para hallar el punto en el río hasta el cual Zevel debería caminar. Realizar una reflexión a través de una recta da como resultado una nueva figura que se encuentra a la misma distancia de la recta que la figura original. Reflejar el punto F a través de la recta del río da como resultado F′ con FX = F′X. Para F Z hallar la distancia más corta desde Z hasta F′ las conectamos. Dado que ∠FXR es un ángulo recto, ∆FXR R ≅ ∆F′XR por la conjetura ≅ LAL. Esto significa que X FR = F′R. Dado que el camino más corto desde Z hasta F′ es la recta dibujada, el trayecto más corto desde Zevel hasta el río y luego hacia la fogata es el que se realiza al F′ caminar desde Z hasta R y luego hasta F.

Ejemplo 2 Si se coloca un espejo con bisagras con un ángulo de 10° y la región central (la región que el espejo con bisagras encierra sobre el papel) es isósceles, ¿cuántos lados tendría el polígono que se reflejaría en el espejo? Si la región central es isósceles, la imagen reflejada será un polígono regular. En un polígono regular, todos los ángulos interiores tienen la misma medida y, si el centro está conectado a cada vértice del polígono, estos ángulos centrales son iguales. Si un ángulo central mide 10° y el ángulo que rodea el centro mide 360°, habrá 360° ÷ 10° = 36 lados en el polígono. Guía para padres con práctica adicional

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95

Problemas

Q

P

1.

2.

Venetia quiere instalar dos luces en su jardín. Cada una estará conectada a un temporizador que encenderá y apagará las luces automáticamente. Ella puede colocar el temporizador en cualquier lugar de su casa, pero desea minimizar la cantidad de cable que utilizará. Si el cable debe conectar la luz en el punto P con el temporizador, y volver al exterior hasta la luz del punto Q, ¿dónde debería Venetia colocar el temporizador? La semana pasada, cuando jugaba golf en miniatura, Myrtle llegó al quinto hoyo y observó que era uno de par 1. Esto significa que ella debería poder realizar un putt para introducir la pelota en el hoyo de un solo golpe. Explícale a Myrtle cómo conocer los problemas de “distancia más corta” puede ayudarla a realizar el putt.

24 pies

15 pies

30 pies

X

CASA

Y

Par 1

Pelota

Hoyo

3.

Si el centro de un dodecágono regular (12 lados) está conectado a cada vértice de la figura, ¿cuál es la medida de cada ángulo en el centro?

4.

Si un ángulo central de un polígono regular mide 18°, ¿cuántos lados tiene el polígono?

5.

El punto central de un pentágono regular está conectado a cada vértice que forma cinco triángulos isósceles congruentes. Halla la medida de cada ángulo de base en los triángulos isósceles y utiliza ese resultado para hallar la medida de un ángulo interior del pentágono.

Respuestas 1.

Venetia debería colocar el temporizador a unos 11.54 pies del punto X o a 18.45 pies del punto Y en el diagrama anterior.

2.

Si Myrtle puede apuntar correctamente y realizar un golpe directo, puede hacer un hoyo en uno. Puede imaginar el hoyo reflejado a través del límite superior para determinar a qué dirección apuntar. Si su pelota golpea la pared en el punto X, esta se trasladará hasta el hoyo.

3.

30°.

4.

20 lados.

5.

Cada ángulo de base mide 54°. Dos ángulos juntos forman un ángulo interior del pentágono, de modo que un ángulo interior mide 108°.

96

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X

Par 1

Core Connections es español, Geometría

CUADRILÁTEROS Y DEMOSTRACIONES

7.2.1 – 7.2.6

Copiando y reflejando triángulos para formar cuadriláteros, los alumnos descubren propiedades sobre los cuadriláteros. Y lo que es aún más importante, desarrollan un método para demostrar que lo que han observado es cierto. Los alumnos ya están familiarizados con el uso de diagramas de flujo para organizar la información, de modo que utilizarán diagramas de flujo para presentar demostraciones. Dado que desarrollaron sus conjeturas reflejando triángulos, sus demostraciones se basarán en gran medida en las conjeturas de congruencia de triángulos del Capítulo 6. Una vez que los alumnos demuestren que sus observaciones son verdaderas, pueden utilizar la información en problemas posteriores. Consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 7.2.1, 7.2.3, 7.2.4, y 7.2.6.

Ejemplo 1 La figura de la derecha, ABCD, es un paralelogramo. Utiliza este hecho y otras propiedades y conjeturas para demostrar que: a.

los lados opuestos son congruentes.

b.

los ángulos opuestos son congruentes.

c.

las diagonales se bisecan entre sí.

A

B

C

D A

B

Dado que ABCD es un paralelogramo, los lados opuestos son paralelos. Siempre que tenemos rectas paralelas, debemos buscar pares de ángulos congruentes. En este caso, como AB || CD, ∠BAC ≅ ∠DCA dado que los ángulos alternos internos son congruentes. Análogamente, puesto que AD || CB, D ∠DAC ≅ ∠BCA. Además, AC ≅ CA por la propiedad reflexiva. Si unimos estos tres datos, podemos concluir que ∆BAC ≅ ∆DCA por la conjetura ≅ ALA. Ahora que sabemos que los triángulos son congruentes, todas las demás partes correspondientes son también congruentes. En particular, AB ≅ CD y AD ≅ CB , lo que demuestra que los lados opuestos son congruentes. Como demostración de diagrama de flujo, podríamos presentar este argumento de la siguiente manera. Def. de paralelogramo

ABCD es un paralelogramo Dado

C

∠DAC ≅ ∠BCA

Def. de paralelogramo

∠BAC ≅ ∠DCA

∠s alternos internos

∆BAC ≅ ∆DCA

Propiedad reflexiva

≅ ALA

∠s alternos internos ≅ ∆s → ≅ partes Guía para padres con práctica adicional

≅ ∆s → ≅ partes

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97

Para el punto (b), podemos continuar con la demostración anterior, utilizando otra vez las partes congruentes de triángulos congruentes para justificar que ∠ADC ≅ ∠CBA. Esto da como resultado un par de ángulos opuestos congruentes. Para obtener el otro par, necesitamos dibujar la otra diagonal. Como en el caso anterior, los ángulos alternos internos son congruentes, ∠ADB ≅ ∠CBD y ∠ABD ≅ ∠CDB, dado que los lados opuestos A B son paralelos. Utilizando la propiedad reflexiva, BD ≅ BD . Por lo tanto, ∆ABD ≅ ∆CDB por la conjetura ≅ ALA. Ahora que sabemos que los triángulos son congruentes, podemos concluir que las partes correspondientes también son congruentes. Por lo tanto, ∠DAB ≅ ∠BCD. Hemos demostrado que los ángulos C D opuestos en el paralelogramo son congruentes. Por último, demostraremos que las diagonales se bisecan entre sí. Para comenzar, necesitamos una imagen que incluya ambas diagonales. Como ahora hay muchos triángulos en la figura, nuestra primera tarea consistirá en decidir respecto de cuáles debemos demostrar la congruencia para ayudarnos con las diagonales. Para demostrar que las diagonales se bisecan entre sí, mostraremos que AE ≅ CE y BE ≅ DE dado que “bisecar” significa cortar en dos partes iguales.

A

B E

C

D

Ya hemos demostrado hechos sobre el paralelogramo que podemos utilizar aquí. Por ejemplo, sabemos que los lados opuestos son congruentes, de modo que AD ≅ CB . Ya sabemos que los ángulos alternos internos son congruentes, por lo tanto ∠ADE ≅ ∠CBE y ∠DAE ≅ ∠BCE. Una vez más tenemos triángulos congruentes: ∆ADE ≅ ∆CBE por ≅ ALA. Dado que los triángulos congruentes dan lugar a partes correspondientes congruentes, AE ≅ CE y BE ≅ DE , lo que significa que las diagonales se bisecan entre sí. Q

P

Ejemplo 2 La figura de la derecha, PQRS, es un rombo. ¿Las diagonales se bisecan entre sí? Justifica tu respuesta. ¿Las diagonales son perpendiculares? Justifica tu respuesta. S

T

R

Por definición, un rombo es un cuadrilátero con cuatro lados de igual longitud. Por lo tanto, PQ ≅ QR ≅ RS ≅ SP . Por la propiedad reflexiva, PR ≅ RP . Como tiene lados congruentes, podemos utilizar la conjetura ≅ LLL para escribir ∆SPR ≅ ∆QRP. Dado que los triángulos son congruentes, todas las partes correspondientes son también congruentes. Por ello, ∠SPR ≅ ∠QRP y ∠PRS ≅ ∠RPQ. El primer par de ángulos congruentes implica que SP  QR . (Si los ángulos alternos internos son congruentes, las rectas son paralelas). Análogamente, el segundo par de ángulos congruentes implica que PQ  RS . Dado que tiene ambos pares de lados opuestos congruentes, este rombo es un paralelogramo. Dado que es un paralelogramo, podemos usar lo que ya hemos demostrado sobre paralelogramos, es decir, que las diagonales se bisecan entre sí. Entonces, la respuesta es sí, las diagonales se bisecan entre sí. 98

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Core Connections es español, Geometría

Para determinar si las diagonales son perpendiculares, usa lo que hicimos para responder la primera pregunta. Luego reúne más información para demostrar que otros triángulos son congruentes. En particular, dado que PQ ≅ RQ , QT ≅ QT , y PT ≅ RT (porque la diagonal está bisecada), ∆QPT ≅ ∆RQT por ≅ LLL. Como los triángulos son congruentes, todas las partes correspondientes son también congruentes, de modo que ∠QTP ≅ ∠QTR. Estos dos ángulos también forman un ángulo recto. Si dos ángulos son congruentes y suman 180°, cada ángulo mide 90°. Si los ángulos miden 90°, las rectas deben ser perpendiculares. Por lo tanto, QS ⊥ PR .

Ejemplo 3 A

En la figura de la derecha, si AI es la mediatriz de DV , ¿∆DAV es isósceles? Demuestra tu conclusión utilizando el formato de demostración en dos columnas. Antes de comenzar con la demostración en dos columnas, te será útil pensar qué estamos intentando demostrar. Si queremos demostrar que un triángulo es isósceles, entonces debemos demostrar que DA ≅ VA porque un triángulo isósceles tiene dos lados congruentes. Demostrando que ∆AID ≅ ∆AIV, podemos concluir que este par de lados es congruente. Ahora que tenemos un plan, podemos empezar a elaborar la demostración en dos columnas.

Enunciados

D

I

Motivo (Este enunciado es verdadero porque…)

AI es la mediatriz de DV

Dado

DI ≅ VI

Definición de mediatriz

∠DIA y ∠VIA son ángulos rectos

Definición de perpendicular

∠DIA ≅ ∠VIA

Todos los ángulos rectos son congruentes

AI ≅ AI

Propiedad reflexiva de la igualdad

∆DAI ≅ ∆VAI

≅ LAL

DA ≅ VA

≅ ∆s → ≅ partes

∆DAV es isósceles

Definición de isósceles

Guía para padres con práctica adicional

V

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99

Problemas Halla la información requerida y justifica tus respuestas. Para los problemas 1 a 4, utiliza el paralelogramo de la derecha. A 1.

Halla el perímetro.

2.

Si CT = 9, halla AT.

3.

Si m∠CDA = 60º, halla m∠CBA y m∠BAD.

4.

Si AT = 4x – 7 y CT = –x + 13, resuelve x.

T

D

Si PS =

6.

Si PQ = 3x + 7 y QR = –x + 17, resuelve x.

7.

Si m∠PSM = 22º, halla m∠RSM y m∠SPQ.

8.

Si m∠PMQ = 4x – 5, resuelve x.

10 C

12 P

Para los problemas 5 a 8, utiliza el rombo de la derecha. 5.

B

Q

6 , ¿cuál es el perímetro de PQRS?

M

S

R

Para los problemas 9 a 12, utiliza el cuadrilátero de la derecha. W 9. Si WX = YZ y WZ = XY, ¿WXYZ debe ser un rectángulo? 10.

Si m∠WZY = 90º, ¿WXYZ debe ser un rectángulo?

11.

Si la información de los problemas 9 a 10 es verdadera en ambos casos, ¿WXYZ debe ser un rectángulo?

12.

Si WY = 15 y WZ = 9, ¿cuánto miden YZ y XZ?

X

Z

Y

W

Para los problemas 17 a 20, utiliza el deltoide de la derecha. 17.

Si m∠XWZ = 95º, halla m∠XYZ.

18.

Si m∠WZY = 110º y m∠WXY = 40º, halla m∠ZWX.

19.

Si WZ = 5 y WT = 4, halla ZT.

20.

Si WT = 4, TZ = 3, y TX = 10, halla el perímetro de WXYZ.

T

Z

X

Y Q

21.

R

Si PQ ≅ RS y QR ≅ SP , ¿PQRS es un paralelogramo? Demuestra tu respuesta. P

22.

S

WXYZ es un rombo. ¿ WY biseca ∠ZWX? Demuestra tu respuesta.

W

X

Z 100

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Y

Core Connections es español, Geometría

Para los problemas 23 a 25, utiliza la figura de la derecha. Fundamenta tu decisión basándote en las marcas, no las apariencias. 23.

¿∆BCD ≅ ∆EDC? Demuestra tu respuesta.

24.

¿ AB ≅ ED ? Demuestra tu respuesta.

25.

¿ AB ≅ DC ? Demuestra tu respuesta.

26.

Si NIFH es un paralelogramo, ¿ ES ≅ ET ? Demuestra tu respuesta.

D B E C A T

N

E I

27.

H

Si DSIA es un paralelogramo y IA ≅ IV , ¿∠D ≅ ∠V? Demuestra tu respuesta.

F

S S

I

D

28.

Si A, W, y K son los puntos medios de TS , SE , y ET respectivamente, ¿TAWK es un paralelogramo? Demuestra tu respuesta.

V

A A

T K

S W

E

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101

Respuestas 1. 44 unidades

2.

9 unidades

3.

60º, 120º

4.

4

5.

6.

2.5

7.

22º, 136º

8.

23.75

9. no

10.

no

11.

sí

12.

12, 15

13. 60º

14.

18.75

15.

8

16.

3

17. 95º

18.

105º

19.

3

20.

10 + 4 29

4 6

21.

Sí. QS ≅ SQ (reflexiva). Este hecho, junto con la información dada, significa que ∆PQS ≅ ∆RSQ (≅ LLL). Eso nos indica que las partes correspondientes son también congruentes, por lo tanto ∠PQS ≅ ∠RSQ y ∠PSQ ≅ ∠RQS. Estos ángulos son alternos internos, por ello, ambos pares de lados opuestos son paralelos. Entonces, PQRS es un paralelogramo.

22.

Sí. Dado que la figura es un rombo, todos los lados son congruentes. En particular, WZ ≅ WX t ZY ≅ XY . Además, WY ≅ WY (reflexiva), de modo que ∆WZY ≅ ∆WXY (≅ LLL). Los triángulos congruentes tienen partes congruentes, con lo cual ∠ZWY ≅ ∠XWY. Por lo tanto, WY biseca a ∠ZWX.

23.

Sí. Como las rectas son paralelas, los ángulos alternos internos son congruentes y, por lo tanto, ∠BDC ≅ ∠ECD. Además, DC ≅ CD (reflexiva) y, por ello, los triángulos son congruentes por ≅ LAL.

24.

No necesariamente, porque no tenemos información sobre AC .

25.

No necesariamente.

26.

Sí. Como MIFH es un paralelogramo, sabemos varias cosas. En primer lugar, que ∠TME ≅ ∠SFE (ángulos alternos internos) y ME ≅ EF (las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí). También, ∠TEM ≅ ∠SEF porque los ángulos verticales son congruentes. Esto implica que ∆MTE ≅ ∆FSE por ≅ ALA. Por lo tanto, las partes correspondientes del triángulo son congruentes, de modo que ES ≅ ET .

27.

Como DSIA es un paralelogramo, DS  AI y por lo tanto ∠D ≅ ∠IAV son ángulos correspondientes. Además, dado que IA ≅ IV , ∆AIV es isósceles, entonces ∠IAV ≅ ∠V. Los dos enunciados de congruencia de ángulos nos permiten concluir que ∠D ≅ ∠V.

28.

Sí. Por el Teorema del segmento medio de un triángulo (consulta el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 7.2.6), dado que A, W, y K son los puntos medios de TS , SE , y ET respectivamente, AW  TE y KW  TS . Por lo tanto, TAWK es un paralelogramo.

102

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Core Connections es español, Geometría

GEOMETRÍA EN COORDENADAS

7.3.1 – 7.3.3

Ahora que están familiarizados con muchas de las propiedades de diversos triángulos, cuadriláteros y cuadriláteros especiales, los alumnos pueden aplicar sus habilidades en álgebra y su conocimiento de la cuadrícula de coordenadas para estudiar geometría en coordenadas. En esta sección, las figuras se dibujan en un gráfico. Utilizando ideas familiares, tales como el Teorema de Pitágoras y la pendiente, los alumnos pueden demostrar si los cuadriláteros tienen propiedades especiales o no. Consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas de las Lecciones 7.3.2 y 7.3.3.

Ejemplo 1 Sobre un par de ejes de coordenadas, dibuja los puntos A(–3, –1), B(1, –4), C(5, –1), y D(1, 2) y conéctalos en el orden dado ¿Este cuadrilátero es un rombo? Justifica tu respuesta. Para mostrar que este cuadrilátero es un rombo, debemos mostrar que sus cuatro lados tienen la misma longitud dado que esa es la característica que define al rombo. Cuando queremos hallar la longitud de un segmento sobre la cuadrícula de coordenadas, utilizamos el Teorema de Pitágoras. Para comenzar, dibujamos los puntos en un gráfico. Si bien la forma parece ser un paralelogramo, y posiblemente un rombo, no podemos basar nuestra decisión en las apariencias. Para utilizar el Teorema de Pitágoras, dibujamos un triángulo de pendiente, creando un triángulo rectángulo con AB como hipotenusa. Las longitudes de los catetos de este triángulo rectángulo son 3 y 4 unidades. Utilizando el Teorema de Pitágoras,

y D

A

C

x

B

32

+ 42

= (AB)2

9 + 16 = (AB)2 25 = (AB)2 AB = 5

A 3 4

B

Análogamente, marcamos triángulos de pendiente para los otros tres lados del cuadrilátero y utilizamos el Teorema de Pitágoras otra vez. En cada caso, hallamos que las longitudes miden 5 unidades cada una. Por lo tanto, dado que los cuatro lados tienen la misma longitud, la figura es un rombo.

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Ejemplo 2 Sobre un par de ejes de coordenadas, dibuja los puntos A(–4, 1), B(1, 3), C(8, –1), y D(4, –3), y conéctalos en el orden dado. ¿Este cuadrilátero es un paralelogramo? Demuestra tu respuesta. Cuando dibujamos los puntos, el cuadrilátero parece ser un paralelogramo, pero no podemos basar nuestra decisión en las apariencias. Para demostrar que es un paralelogramo, debemos mostrar que los lados opuestos son paralelos. Sobre el gráfico de coordenadas, demostramos que las rectas son paralelas mostrando que tienen la misma pendiente. Podemos utilizar triángulos de pendiente para hallar la pendiente de cada lado.

Pendiente de Pendiente de

B A C x D

−4 = − 4 7 7 2 BA = 5 AD = −84 = − 12 DC = 24 = 12

Pendiente de BC = Pendiente de

y

Si bien los valores de las pendientes de los lados opuestos son cercanos, no son iguales. Por lo tanto, este cuadrilátero no es un paralelogramo.

Problemas 1.

Si ABCD es un rectángulo, y A(1, 2), B(5, 2), y C(5, 5), ¿cuál es la coordenada de D?

2.

Si P(2, 1) y Q(6, 1) son los extremos de la base de un triángulo rectángulo isósceles, ¿cuál es la coordenada x del tercer vértice?

3.

Los tres puntos S(–1, –1), A(1, 4), y M(2, –1) son vértices de un paralelogramo. ¿Cuáles son las coordenadas de tres posibles puntos del otro vértice?

4.

Grafica las siguientes rectas sobre el mismo par de ejes. Estas rectas encierran una figura. ¿Cuál es el nombre de esa figura? Justifica tu respuesta. y=

3 5

x+7

y = − 10 6 x −1

y = 0.6x y = − 53 x + 9

5.

Si W(–4, –5), X(1, 0), Y(–1, 2), y Z(–6, –3), ¿qué forma es WXYZ? Demuestra tu respuesta.

6.

Si los extremos de DT son D(2, 2) y T(6, 4), ¿cuál es la ecuación de la mediatriz de DT ?

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Respuestas 1.

(1, 5)

2.

(4, 4)

3.

(4, 4), (0, –6), o (–2, 4)

4.

Dado que las pendientes de los lados opuestos son iguales, esta figura es un paralelogramo. Además, dado que las pendientes de las rectas que se cruzan son recíprocas negativas entre sí, las rectas son perpendiculares. Esto significa que todos los ángulos son rectos y que la figura es un rectángulo.

5.

Las pendientes son: WX = 1, XY = –1, YZ = 1, y ZW = –1. Esto muestra que WXYZ es un rectángulo.

6.

y = –2x + 11

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