Cálculo Integral

GESTIÓN DITORIAL

Clemente Mora González Jefe del Departamento de Fomento Editorial Leticia Mejia García Coordinadora de Fomento Editorial Miguel Antonio González Vidales Gestión Administrativa Ulises Ramírez Hernández Coordinador de Diseño Gráfico

DIRECCIÓN GENERAL Av. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires. Col. Cuauhtémoc Sur Tels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08 Correo Electrónico: [email protected] Página Web: www.cecytebc.edu.mx CICLO ESCOLAR 2011-2 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra incluido el diseño tipográfico y de portada por cualquier medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.

Nota: Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradecemos hacernos llegar sus comentarios o aportaciones a los siguientes correos:

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TORIO DIREC José Guadalupe Osuna Millán Gobernador del Estado de Baja California Javier Santillán Pérez Secretario de Educación y Bienestar Social del Estado CECYTE BC Héctor Montenegro Espinoza Director General Olga Patricia Romero Cázares Directora de Planeación Argentina López Bueno Directora de Vinculación Jesús Gómez Espinoza Director Académico Ricardo Vargas Ramírez Director de Administración y Finanzas Alberto Caro Espino Jefe del Departamento de Docencia MUNICIPIO DE MEXICALI Cristina de los Ángeles Cardona Ramírez Directora del Plantel Los Pinos Carlos Zamora Serrano Director del Plantel Bella Vista Jesús Ramón Salazar Trillas Director del Plantel Xochimilco Rodolfo Rodríguez Guillén Director del Plantel Compuertas Humberto Ignacio Ibarra Velazco Director del Plantel Misiones Francisco Javier Cabanillas García Director del Plantel Vicente Guerrero Cristopher Diaz Rivera Director del Plantel San Felipe MUNICIPIO DE TIJUANA Martha Xóchitl López Félix Directora del Plantel El Florido María de los Ángeles Martínez Villegas Directora del Plantel Las Águilas Jorge Ernesto Torres Moreno Director del Plantel Zona Río Rigoberto Gerónimo González Ramos Director del Plantel Villa del Sol Joel Chacón Rodríguez Director del Plantel El Pacífico Efraín Castillo Sarabia Director del Plantel El Niño Benito Andrés Chagoya Mortera Director del Plantel Cachanilla Gabriel Valdéz Manjarrez Director del Plantel Altiplano Juan Martín Alcibia Martínez Director del Plantel la Presa MUNICIPIO DE ENSENADA Alejandro Mungarro Jacinto Director del Plantel Ensenada Emilio Rios Macias Director del Plantel San Quintín MUNICIPIO DE ROSARITO Manuel Ignacio Cota Meza Director del Plantel Primo Tapia Héctor Rafael Castillo Barba Director del Plantel Rosarito Bicentenario MUNICIPIO DE TECATE Oscar Ambríz Salinas Director del Plantel Tecate

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, dado la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros. Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional. Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad. En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.Como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán de CECYTE BC. Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN Alumno de CECYTE BC: La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social. Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior y ofrecerles programas de estudios tecnológicos, que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores. El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro. Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios. La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda la indusdustria especializada que se asienta en la región. Además de eso, el Colegio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, que es una responsabilidad compartida. Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel de CECYTE BC, y te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal y utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

PRESENTACIÓN El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico. Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato. Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica. Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos.

Atentamente

Héctor Montenegro Espinoza DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

gradecimiento Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico. El Colegio • MANUAL DE QUÍMICA I

• CÁLCULO INTEGRAL

Mario Báez Vázquez

Manuel Norberto Quiroz Ortega

APOYO INSTITUCIONAL DIRECCIÓN DE VINCULACIÓN

• ÁLGEBRA Andrés Sarabia Ley

COORDINADOR DEL COMPONENTE PROPEUDÉUTICO

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Silvia Elisa Inzunza Ornelas DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Eloisa Morales Collin

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Ismael Castillo Ortíz

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Karla Grisel Duarte Sarabia COLABORADORA

• INGLÉS I y V

• GEOMETRÍA ANALÍTICA Emma Ayala Rodríguez

Verónica Murillo Esquivias

DOCENTE DEL PLANTEL MISIONES

Blanca Belén Torres Medina

DOCENTE GRUPO PORTALES

Adriana Ceras Morales

DOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

Antonio Caro Espino

DOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

Mario Alberto Curiel Ponce

DOCENTE GRUPO PORTALES

Arturo Sánchez Mariscal

• INGLÉS III

Joaquín Alberto Pineda Martínez

Verónica Murillo Esquivias

Manuel Arvizu Ruíz

Adriana Cera Morales

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

DOCENTE GRUPO PORTALES

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• BIOLOGÍA

• QUÍMICA I

Aidé Pedraza Mendoza

Aidé Araceli Pedraza Mendoza

Clara Angélica Rodríguez Sánchez

Juana Ramírez Rodríguez

Evelia Escalante Gámez

César Quintero Hernández

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• CTSyV II

• TIC’s

Blanca Azucena Casillas Cortéz

Alma Delia Valenzuela Márquez

Blanca Delia Román Palomares

Melchizedec Romero González

Martha Celia Román Palomares

Saúl Torres Acuña

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL MISIONES

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO

• FÍSICA II

DOCENTE DEL PLANTEL LOS PINOS

Javier Iribe Mendoza

• CTSyV I

María Del Carmen Equihua Quiñónez

Oscar David Bustos Torres Roberto Rosales Zepeda

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

Diana Fernández Serrano

Gilberto Méndez Fierros

Omar Romero Robles

Alvaro Soto Escalante

Susana Pérez Correa

Israel Cruz Muñoz

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

DOCENTE DEL PLANTEL ENSENADA

• CTSyV III

• LEOyE I

Clara Angélica Rodríguez Sánchez

Cecilia Armida Ante Navarro

Martha Moreno Ramírez

Gabriela Órnelas Bravo

David A. Rodríguez Carrasco

Jessica Melig Núñez

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS

DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS DOCENTE DEL PLANTEL BELLAVISTA

• COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA Maria Elena Padilla Godoy

COORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL

Alberto Caro Espino

JEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA

INDICE

UNIDAD I. Las Razones De Cambio y La Derivada Competencia 1.1 La derivada…………………………………………………………………………..18 1.2 Interpretación geométrica de la derivada…………………………………………19 1.3 Razón de cambio promedio e instantánea……………………………………….25 1.4 La derivada como razón de cambio instantánea………………………………..28 1.5 Reglas de derivación………………………………………………………………..29 1.6 Reglas de la potencia……………………………………………………………….30 1.7 Reglas del producto y del cociente de funciones………………………………..31 1.8 Regla de la cadena………………………………………………………………….33 1.9 Derivadas de funciones trigonométricas………………………………………….35 1.10 Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas………………………...36 Ejercicios propuestos UNIDAD II. Métodos de integración Competencia 2.1 Inmediatas……………………………………………………………………………43 2.2 Integración por partes……………………………………………………………….46 2.3 Integración por sustitución o cambio de variable………………………………...49 2.4 Integración por fracciones parciales………………………………………………52 UNIDAD III. La integral como área bajo la curva Competencia 3.1 Áreas por aproximación de límites de sumas……………………………………62

13  

3.1.1 Suma de Riemann………………………………………………………………...68 3.1.2 Integral definida……………………………………………………………………69 3.1.3 Teorema fundamental del cálculo……………………………………………….79 3.1.4 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas……………....79 UNIDAD IV. Aplicaciones de la integral Competencia 4.1 Calculo de volúmenes……………………………………………………………....81 4.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría…………………………………..86 4.3 Aplicación del cálculo integral en la física………………………………………...91 4.4 Aplicaciones a la economía………………………………………………………...93 

14  

UNIDAD I

RESULTADOS DE APRENDIZAJE: Analiza y resuelve problemas relacionados con los conceptos de algebra, derivadas e integrales, Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones, áreas, volúmenes, longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos .Que se puedan modelar situaciones de la vida real.

COMPETENCIAS A DESARROLLAR: 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas.(Atributo: 4.1) 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. (Atributos: 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 y 5.6) 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. (Atributos: 6.1 y 6.3) 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. (Atributos: 7.1) 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. (Atributos: 8.1, 8.2 y 8.3)

Las Razones De Cambio y La Derivada Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La expansión y la elevación de los globos son de los buenos ejemplos.

15  

Objetivo: El alumno:

Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable.

16  

Mapa Conceptual de Unidad

17  

1.1 LA DERIVADA  

En los siglos XVI y XVII surgió la necesidad de establecer la forma en que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto se introdujeron conceptos de magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial, que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio. El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio y cómo puedes ver que nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo. La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes problemas observados por europeos en el siglo XVII: 1. El problema de la tangente. 2. El problema de la aceleración. 3. El problema de máximos y mínimos. 4. El problema del área. Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite y sirvió para introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.

18  

1.2 Interpretación geométrica de la derivada. Sea f (x) una función cualquiera, si tomamos los puntos ( x1, ( f(x1),(x2,f(x2)), como se muestra en la figura:

 

Llamaremos ms a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos ( x1, ( f(x1),(x2,f(x2)), la cual la podemos calcular de la siguiente manera:

Si hacemos que el punto x2 se aproxime al punto x1, la pendiente de las rectas secante que se van generando la podemos calcular utilizando la misma fórmula, esto lo podemos observar en la siguiente figura:  

19  

 

Apoyándonos en la gráfica anterior se puede observar también que conforme x2 se aproxima a x1, las rectas secantes que se generaron se aproximan a la recta tangente a f (x) en el punto x1, y por lo tanto las pendientes de las rectas secantes se estarán aproximando a la pendiente de la recta tangente, la cual la denotaremos como m t. Si recuerdas, al proceso de ir aproximando lo relacionamos con el concepto de límite; de tal manera que podemos afirmar que el valor de la pendiente de la recta tangente de una función f (x) en el punto x1 es igual al límite de las pendientes de las rectas secantes cuando el punto x2 se aproxima a x1 y esto lo podemos escribir de la siguiente manera:

m t = lim ms Es decir:

Si en la formula hacemos h= x2 – x1 se puede observar fácilmente que si x2 se aproxima a x1 , la diferencia x2 − x 1 se va haciendo cada vez más pequeña; de tal manera que podemos decir que si x2 se aproxima a x1 , entonces h = x2 – x1 se aproxima a cero. Por otro lado, si de la igualdad h = x 2− x1 despejamos x2, obtenemos X2 = x1 + h; si estos cambios los sustituimos en:

20  

Ecuación 1.1 Se obtiene:

Ecuación 1.2

Ejemplos:

1) Hallar el valor de la pendiente de la recta tangente ( mt ) de la función f (x) = x2 +1 en el punto x1 = 2. Para utilizar la fórmula, debemos calcular: f(x1) = (x1)2 + 1 F(x1 + h) = (x1 + h)2 + 1 Si estos valores los sustituimos en:

Por lo tanto mi = 2 (x1), si sustituimos x1= 2 obtenemos m t = 2(2), m t = 4 El punto es P (2,2) Ya que x1 =2 y f(x1) = (x1)

2

- 2 = (2)2 – 2 = 4 -2= 2

Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta y – f(x1) = m obtenemos: Y – 2 =4(x -2) desarrollando

21  

t

(x –x1),

Y -2 = 4x – 8 igualando a cero R t = -4x – y – 6 = 0 que corresponde a la ecuación de la recta tangente a f(x) = x2 – 2 en el punto x1 = 2.

Realizar los siguientes ejercicios y comprueba con los compañeros. 1.- Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

1) F(x) = x2 -2x + 3 en x= 0 en x= 4 2) F(x) = 3) F(x) = 3x2 + 6x + 4 en x= - ½

2.- Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

1) F(x)= x2 – 1 en x= -1 2) F(x)= en x= 1 3) F(x)= - x2 + 2 en x= 1 4) F(x)= x2 + 4x + 3 en x= -3 5) F(x)= x3 en x= -1  

Definición:  La derivada de una función f(x) que representamos como f`(x) se define como el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en el punto x, es decir:

Ecuación 1.3 Existen otras formas para representar a la derivada, las cuales puedes encontrar en diferentes bibliografías, algunas de ellas son:

22  

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición (Ecuación 1.3). 1)

F(x)= 3x-2

Para poder resolverlo, necesitamos encontrar. F(x-h) =3 (x-h) -2= 3x - 3h – 2 F(x) = 3x +2 Si estas expresiones las sustituimos en la ecuación 1.3, obtenemos:

Por lo tanto:

2)

F(x)= x2 -2x + 5

Calculamos: F(x +h) = (x+h)2 – 2(x + h) + 5 = x2 + 2xh + h2 – 2x -2h + 5 F(x)= x2 – 2x + 5 Sustituyendo en la ecuación 1.3, se obtiene:

23  

Si factorizamos h

Por lo tanto:

3)

F(x) =

Si multiplicamos cruzado para realizar la resta de las fracciones obtenemos:

Por lo tanto:

24  

1.3 Razón de cambio promedio e instantánea.

En Geometría Analítica se estudia a la pendiente de una recta que pasa por los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) denotada como “ m” , la cual la podemos calcular utilizando la formula:

La podemos transcribir como:

Donde x2 – x1. Es la diferencia de las abscisas(x) y2 – y1. Es la diferencia de las ordenadas (y) Como se muestra en la siguiente grafica:

Por lo tanto: se lee como “razón de cambio de “y” con respecto a “x”.

25  

Lo que nos permite definir: Razón de cambio promedio. Sea f una función tal que y=f(x) y P1(x1,y1) y P2(x2,y2) un par de puntos de f. Denominamos la razon de cambio promedio de “y” con respecto a “x” como:

Ejemplo 1: Determina la razón de cambio promedio de la función F(x)= x2 + 2x + 3 En el intervalo [-2,1] Solución:

Si tomamos x1= -2

y x2= 1 entonces

F(x1)= (-2)2 + 2(-2) + 3 = 4-4+3=3 F(x2)= (1)2 + 2(1) + 3 = 1+2+3=6

Sustituimos en la formula de la razón de cambio promedio para ver resultados.

26  

Geométricamente, =1 es la pendiente de la recta secante que une los dos puntos (-2,3) y (1,6) como se muestra en la figura

Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con tus compañeros. 1.-Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan. a) y= x2, para x= [-3,4] b) y= x2 (7x-3), para x= [1,6] 2.-Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se te da en las siguientes funciones:

a) y= x2 + 5x – 8, x= [1,1.2]

Respuesta:

= 7.2

b) y= x2 + 2x, x= [1,1.5]

Respuesta:

= 4.5

27  

1.4 La derivada como razón de cambio instantánea.

Razón de cambio instantáneo Sea y=f(x) una función definida en todos los puntos del intervalo(x1,x2). Definiremos la razón de cambio instantáneo de la función en x.

O bien:

La que corresponde, a la ecuación 1.1 que representa la pendiente de la recta tangente a la función. Una definición más general de la derivada seria entonces: La derivada es la razón de cambio instantánea de una función en un intervalo.

28  

1.5 REGLAS DE DERIVACION Existen reglas que nos permiten encontrar la derivada de una función de una manera más practica las cuales están basadas en la definición formal mediante limites, pero tiene la desventaja de que es muy laborioso y en algunas ocasiones difícil de aplicar. Algunas de estas reglas son:

1.5.1 REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS

Regla de la función constante.

Ejemplo: Calcular la derivada de las siguientes funciones F(x)=5 F´(x)=0

Regla de una constante por una función identidad:

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones: 1)

f(x) = 4x f´(x)= 4

2)

g(x)=

x

f´(x)= - 5 / 3

29  

1.6 Regla de la función potencia

1)

f(x)= x2

f´(x)= 2x 2-1 =2x

2) f(x)= Si recuerdas

  -3, 

  = 1x entonces  

f´(x)= -3x -3-1 = -3x-4 = 1/ x-4

3) f(x)= 5 x3  f´(x)= 5(3) x= 15x2

Regla de la suma o diferencia de funciones:

  Es decir la derivada de una suma es la suma de las derivadas, o bien la derivada de una resta es la resta de las derivadas. Ejemplo: Calcular la derivada de las siguientes funciones. 1) f (x)=4x -6 f´(x)= 4-0 = 4 2) g(x)=-2x4 + 8x – 7 g´(x)= - 8x3 + 8

30  

1.7 Regla del producto de funciones

La derivada de un producto de funciones es igual a la primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la derivada de la primera. Ejemplo:

si sumamos los términos semejantes, obtenemos:

Hay ocasiones que es mucho más práctico multiplicar primero y después derivar por ejemplo: Como puedes darte cuenta, tenemos un producto de binomios conjugados. Si recuerdas el resultado de la multiplicación es una diferencia de cuadrados, es decir f(x) la podemos expresar de la siguiente manera:

31  

1.7.1 Regla del cociente de funciones

La derivada del cociente de funciones es igual a la abajo por la derivada de la de arriba menos la de arriba por la derivada de la de abajo todo sobre la de abajo elevada al cuadrado. Ejemplo:

Al igual que en el caso de las multiplicación, hay ocasiones que es mucho mas practico dividir primero y después derivar, por ejemplo:

como puedes observar tenemos una diferencia de cuadrados que podemos factorizar como el producto de binomios conjugados de tal manera que la función f(x) podemos expresarla de la siguiente manera:

32  

1.8 REGLA DE LA CADENA Teorema de la regla de la cadena

Antes de ejemplificar ejercicios se utiliza la regla de la cadena para derivar, es necesario que veamos unos ejemplos donde puedas encontrar la función compuesta: Ejemplos:

Como puedes darte cuenta, para encontrar la función compuesta (f o g)(x) lo que tuvimos que hacer fue sustituir la función g(x) donde aparece la variable x en la función f(x). Si encuentra la función compuesta (g o f)(x) te darás cuenta que no es la misma que la función compuesta (f o g )(x), veámoslo:

Para aplicar el teorema de la regla de la cadena en la derivación de funciones compuestas, primero resolveremos un ejemplo haciendo una separación de las funciones:

33  

Para calcular f´(x) utilizando la regla de la cadena que como anteriormente lo mencionamos está dada por 1. F´(x) = g´(h (x))h´(x) Tenemos que calcular:

Si comparamos el ejercicio original con el resultado que obtuvimos al derivar, se observa los siguientes:

Puedes darte cuenta de que lo que sucedió fue que el exponente 3 lo bajamos multiplicando a (x2 + 9 ) y se le resto 1 al exponente para que nos quedara el 2: y el resultado de esto se multiplico por 2x que corresponde a la derivada de lo que aparece dentro del paréntesis. Esto último es lo que estaremos aplicando para hallar la derivada de una función compuesta utilizando la regla de la cadena.

34  

Resolvamos algunos ejemplos: Ejemplo: Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1.9 DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS TEOREMAS DE LAS TRIGONOMETRICAS

DERIVADAS

35  

DE

FUNCIONES

1.10 DERIVADA LOGARITMICAS

DE

FUNCIONES

EXPONENCIALES

Derivada de la función exponencial.

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones exponenciales.

Derivada de la función logarítmica natural.

36  

Y

Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

Hay ocasiones en las cuales es conveniente aplicar las leyes de los logaritmos, antes de derivar porque al hacerlo se facilita el cálculo de la derivada. Estas leyes las viste en el curso de Matemáticas 4, pero si no las recuerdas te las volvemos a presentar.

Leyes de Logaritmos:

Veamos un ejemplo donde, al aplicar estas leyes, se facilita el cálculo de la derivada: Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones.

Necesario aplicar primeramente la regla de la cadena, el teorema de la división y el teorema de la función logaritmo, sin embargo si aplicamos las leyes de los

37  

logaritmos anteriormente mencionadas te darás cuenta que encontrar la derivada de la misma funciones hará de una manera más fácil. En seguida te la presentaremos:

Ejercicios Propuestos

INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con compañeros. 1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:

38  

INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios en equipo de 3 personas y comprueba los resultados con tus compañeros. 1.- Determina la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te proporcionan.

INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones y comprueba los resultados con tus compañeros.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 39  

13. 14. 15.

INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; en equipo de 3 personas.

INSTRUCCIONES: Dadas las siguientes funciones, encuentra la función composición señalada en cada uno de los siguientes ejercicios y resuelve en equipo de 3 personas.

40  

INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15.

41  

INTRUCCIONES: Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas y resuelve en equipo de 2 personas. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

12. 13. 14. 15.

42  

UNIDAD II MÉTODOS DE INTEGRACIÓN COMPETENCIA: Formula y resuelve problemas relacionados con la integral indefinida, aplicando diferentes métodos.

SABERES: 1. Inmediatas. 2. Integración por partes. 3. Integración por sustitución o cambio de variable. 4. Integración por fracciones parciales.

2.1 Inmediatas Para el cálculo de integrales indefinidas por el método de integración inmediato se utilizan las reglas básicas de integración. Reglas básicas y propiedades de la integral indefinida: 1.

 0dx  C

7.

2.

 kdx  kx  C

8.  sec 2 xdx  tan x  C

3.

 kf ( x)dx  k  f ( x)dx

9.  sec x tan xdx  sec x  C

4.

 [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx

10.

 csc

x n1  C, n 1 la potencia)

11.

 csc x cot xdx   csc x  C

5.

6.

n  x dx 

n  1

(Regla de

 senxdx   cos x  C

2

xdx   cot x  C

 cos xdx  senx  C

EJEMPLO 1: Encontrar:

 12 x dx   5

Utilizando la regla de la potencia

n  x dx 

x n1  C, n 1

43  

n  1 :

 x6   x 51    12   2 x 6  C Solución:  12  6  5 1

EJEMPLO 2: Encontrar:

6

x

dx

4

 x 3   x 41  2    3  C   6 Solución: reescribimos 6 x 4 dx  6 x  3   4  1  

  EJEMPLO 3: Encontrar:



3



x  2 x dx  1  Solución: reescribimos   x 3  2 x dx     13   4  x 3 3 2 x11   x 3 2 x 2  3 4   x 3  x2  c     2  4  1  3 11   4      3 3   3

    EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar” Individualmente completa la tabla reescribiendo la integral original y resuelve por el método de integración inmediata. Integral original

1

1.

x

2.



5

Reescribir

Integrar

dx

x dx

3.  3senxdx 4.



5.

 x( x  4)dx

3

x dx

44  

Simplificar

EJERCICIO 2. En equipo de tres personas resuelve las siguientes integrales por el método de integración inmediata utilizando las fórmulas y reglas de integración. Ejercicios

Solución

 ( x  4)dx

1 2 x  4x  c 2

 (3  x)dx

3x 

 (4 x  6 x  (4 x  (x

3

2

1 2 x c 2

2 x 2  2 x3  c

)dx

3

 9 x 2  5)dx

x 4  3x 3  5 x  c

2

 4 x  3)dx

2 2 x  2 x 2  3x  c 5

5

1     x  x dx

2 2 x  2x 2 c 3

 ( x  2)(2 x  1)dx

2 3 3 2 x  x  2x  c 3 2

 (2t  3)

4 3 t  6t 2  9t  c 3

2

3

dx

1

 (4senx  2 cos x)dx

 4 cos  2 senx  c

 (4  csc x cot x)dx

4 x  csc x  c

SOLUCIONES:

EJERCICIO 1. “Reescribir antes de integrar” 1. 

1 c 4x4

4

3

2.

2 2 x c 3

3.  3 cos  c

1 3 x  2x2  c 3

45  

4.

3 3 x c 4

5.

2.2 Integración por partes. De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la derivación por partes.  

(u.v )'  u '.v  u.v ' que se puede escribir d (u.v )  du .v  u.dv

Tomando integrales en los dos miembros de la igualdad tendremos:

 d (u.v)   du.v   u.dv    

Teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una función es la misma función y utilizando la notación de integral tendremos: u.v   du .v   u.dv  

Despejando llegamos a la fórmula de integración por partes

 u.dv  u.v   v.du que permite calcular la integral de un producto de dos funciones Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso. Teniendo en cuenta que dv = v’ y que du = u’ La fórmula también se puede escribir:

  Ejemplos: 1.- Hallar la

 xsenxdx

Solución: Sean ux

du  dx

dv  senxdx

v   cos x

46  

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

 cos xdx  x cos x   cos xdx

x cos x 

dado que

 xsenxdx

 cos udu  senu  c finalmente nos queda:  x cos x  senx  c

2.- Hallar la

x

2

ln xdx

Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces. Solución: Sean

dx x3 dv  x 2 dx v x 3 Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:

u  ln x

du 

x 3 ln x 1  3 3



x3 x 3 ln x 1 dx   x 3 3



x 2 dx 

x 3 ln x 1 x 3     3 3  3 

por lo tanto:



x 3 ln x x 3  c x ln xdx = 9 3 2

3.- Hallar la

x

1  x dx

Solución: Sean u x

du  dx

dv  1 x dx

v

3 2 1 x  2 3

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos:   5 2  2  3 5 3 3 3 1 x 4 2 2 2 2   1 x  2 = x 1 x  2   x 1 x  2   1 x  2 dx  x 1 x  2     15 3 3 3 3  5  3  2 



47  



por lo tanto:

x

3 5 2 4 x 1 x  2  1 x  2  c 3 15

1  x dx =

4.- Hallar la

 sen

2

xdx

Solución: Sean u  senx

du  cosxdx

dv  senxdx

v  cos x  c

Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos: cos xsenx 

 cos x cos xdx   cos xsenx   cos

2

xdx 

1 Aplicando la identidad senx cos x  sen2x 2 1 1 tenemos:  sen2x   1 sen 2 xdx   sen2x  2 2 ya que la expresión original es

 sen

2

 dx   sen xdx  2

xdx y nuevamente nos resulta en el

procedimiento, se procederá a sumar ambas expresiones:

 sen xdx   2 sen2x   dx   sen xdx  2  sen xdx   2 sen2x   dx   2 sen2x  x 1

2

2

2

por lo tanto:

 sen

2

1 4

xdx =  sen2x 

x c 2

48  

1

1

2.3 Integración por sustitución o cambio de variable. Con un cambio de variables formal se puede reescribir la integral en términos de u y du (o cualquier otra variable), esto resulta útil para integrandos complicados. Si u=g(x) y du=g’(x) dx la integral toma la siguiente forma:

 f ( g ( x)) g ' ( x)dx   f (u )du  F (u)  c EJEMPLO 1: Encontrar:



3x  1dx Solución: u  3 x  1



3x  1dx   u

du 3

du  3dx

du 3

Integrar en términos de u.

 3 1 1u2 u du   3 3 3   2 1 2

dx 

 3  2   c  u2  c 9   

3

2 (3x  1) 2  c 9

Resultado en términos de x.

EJEMPLO 2: Encontrar:

x

3x  1dx

Solución: u  3 x  1

du  3dx

dx 

du 3

x

u 1 3

 u  1   du   x 3x  1dx    3 u 2  3  Integrar en términos de u. 1

3  5 3 1 u2 u2  1  2 1  u  u 2 du    9   9 5  3    2 2

49  

 5 3  2 2 2 2 c  u  u c 45 27   

5

3

2 2  (3x  1) 2  (3x  1) 2  c Resultado en términos de x. 45 27

EJEMPLO 3:

 (sen2 x)

Encontrar:

2

cos 2 xdx

Solución: u  sen2 x

du  2 cos 2 xdx

 (sen2 x)

du 2

2

cos 2 xdx   u 2 

du  cos 2 xdx 2

Integrar en términos de u.

1 2 1  u3  1    c  u 3  c  u du  2 2 3  6

1  ( sen2 x) 3  c 6

Resultado en términos de x.

EJERCICIO 1. “Identificando a u y du” Individualmente completa la tabla identificando u y du para cada integral. Integral en términos de x 1.

 (4 x

2.

x

3.



2

U

du

 2) 2 8 xdx

x 3  2dx

x x 2 2

dx

4.  (2 x 3  4) 4 (6 x 2 )dx 5.

dx

 (5x  3)

4

50  

EJERCICIO 2. Individualmente integra con cambio de variable. Ejercicios

Soluciones



3  2 x dx

1 3



dx 1 2x

 1 2x  c

x

3 x  2 dx 2



xdx 2x2  3



x 2 dt

4

3x

2

c

 2  c 3

1 ln 2 x 2  3  c 4 2 3

x3  1

 1  4 x 

1 9

3  2 x 3

( 4 ) dx

x3 1  c

1 1  4 x 5  c 5



3  x 2 (  2 x ) dx

2 (3  x 2 ) 2  c 3



1 dt 4t

1 2

xdx

 (2  x

t

2

2

)

3

1  t dx

3

4t  c

1 c 4(2  x 2 ) 2

2 3

1  t 3  4 1  t 5  2 1  t 7  c 5

51  

7

SOLUCIONES:

EJERCICIO 1. “Identificando a u y du” Número

u

Du

1

4x2  2

8 xdx

2

x3  2

3x 2 dx

3

x2  2

2 xdx

4

2 x3  4

6 x 2 dx

5

5x  3

5dx

2.4 Integración por fracciones parciales. Función Racional Una función racional es aquella en que tanto el numerador como el denominador son expresiones en donde la variable tiene solamente exponentes enteros y positivos.

Es una función racional, donde P y Q son polinomios. Si el grado de P es menor que el grado Q entonces f(x) es una fracción racional propia; en caso contrario es impropia. Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma de fracciones simples. EJEMPLO 1. Calcular por fracciones parciales

Dividiendo entre x+3, entonces:

52  

Para poder aplicar este método de integración, es importante recordar los siguientes puntos: a) Factorización b) Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales c) Solución de integrales inmediatas. Una vez que Q(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y cuadráticos. Se pueden presentar cuatro casos. CASO 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos.

Factorizando denominador:

La descomposición por fracciones parciales seria:

Simplificando la fracción:

53  

A=1

Sustituyendo:

Simplificando

Caso 2. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten

Por división sintética:

54  

Eliminando A de (1) y (2):

………(4) Eliminando A de (1) Y (3)

Formando un sistema con (4) y (5)

     

55  

CASO 3: Todos los factores cuadráticos del denominador son distintos Resolver:



2x 2  x dx  x 4  3x 3  4 x 2  3x  1

Resolviendo el denominador por división sintética 1

3

4

3

1

1

-1

-2

-2

-1

1

2

2

1

0

-1

 x 3  2x 2  2x  1

1

2

2

1

1

-1

-1

-1

1

1

1

0

-1

 x 2  x  1  x  1

2

Ax 2  x  1 Bx  1x 2  x  1 Cx  Dx  1 A B Cx  D   = 2  2 x  1 x  1 x 2  x  1 x  1 x 2  x  1 2

Ax 2  Ax  A  Bx 3  2Bx 2  2Bx  B  Cx 3  2Cx 2  Cx  Dx 2  2Dx  D

x  1 x 2  x  1 2

x 3 B  C   x 2 A  2B  2C  D  x A  2B  C  2D  A  B  D

x  1 x 2  x  1 2

formando un sistema de ecuaciones: B +C A +2B +2C +D A +2B +C +2D A +B +D

=0 =2 =1 =0

(1) (2) (3) (4)

56  

=

RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES ELIMINANDO B DE (1) Y (2) (-2)

B +C A +2B +2C +D

=0 =2

(1) (2)

-2B -2C A +2B +2C +D

=0 =2

(1) (2)

A

+D

=2

(5)

Eliminando B de (1) y (3) (-2)

B +C A +2B +C

=0 +2D =1

(1) (3)

-2B

2C A +2B +C

=0

(1)

+2D =1

(3)

A

+2D =1

(6)

+D

=0 =0

(1) (4)

+D

=0 =0

(1) (4)

-C

ELIMINANDO B DE (1) Y (4) (-1)

B A +B

+C

-B A +B

-C

A

-C

+D

=0

(7)

-C -C

+2D =1 +D =0

(6) (7)

ELIMINANDO C DE (6) Y (7) A A

57  

(-1)

A -A

-C +C

+2D =1 -D =0 D

DESPEJANDO A DE (5) A=2-D

A=2-1

A=1

Despejando C de (6) C=A+2D-1

C= (1)+2(1)-1

C=2

Despejando B de (1) B=-C

B=-(2)

B=-2

Sustituyendo incógnitas en integral:  1 2 2x  1       x  1 2 x  1 x 2  x  1dx =   



1

x  1

2

dx  2 

1 dx  x 1

x

2x  1 dx =  x 1

2

u  x 1

u  x2  x 1

du  dx

du  2x  1dx

=

u

=

2

du  2lnx  1  lnx 2  x  1

1  2lnx  1  lnx 2  x  1 c x 1

58  

=1

(6) (7)

CASO 4: Algunos factores cuadráticos del denominador se repiten. Por cada

ax

factor de la forma

2

 bx  c  que resulte de la factorización de Q(x), le n

corresponde una suma de n fracciones de la forma:

Ax  B

ax

2

 bx  c 

n



Cx  D

ax

 bx  c 

n1

2

 .........

Lx  M ax 2  bx  c

Ejemplo:



2x 3  x  3 dx = x 2  2x 2  1

factorizando el denominador: x 2  2 x 2  1  x 2  1  x 2  1x 2  1 2

como los factores cuadráticos se repiten:

2x 3  x  3

x

2

 1

2

2x 3  x  3

x

2

 1

2





Ax  B

x

2

 1

2



Cx  D x2 1

Ax  B  Cx  Dx 2  1

x

2

 1

2



Ax  B  Cx 3  Cx  Dx 2  D

x

Formando un sistema de ecuaciones: C D A

+C B

+D

=2 =0 =1 =3

(1) (2) (3) (4)

DESPEJANDO A DE (3) A=1-C

A=1-2

A=-1

DESPEJANDO B DE (4) B=3-D

B=3-0

B=3

La integral a resolver es:

59  

2

 1

2

  x  3 2x     2 2  x 2  1dx = x  1 



x  3

x

dx 

 1

2

2

x

2x dx 2 1

u  x2 1

du  2xdx

3 1  du  lnx 2  1   lnx 2  1 c = 2 u 

3 2

u

=

2x  1

2

3

2

 lnx 2  1 c

1.- EJERCICIOS: Individualmente resolver las siguientes integrales por fracciones parciales

1.-

2.-

x

x

x2 dx 2  x 6

2x 3

2

9 4 Solución:  lnx  3  lnx  2  c 5 5

 3x  2

 4 x  6x  4 2

dx

1 Solución: 2lnx  2  tan1 x  1  c 2

0

3.-

4.-

x2 dx  2 1 2x  2x  1



4 x

2

 5x  20

x 3  3x 2 10x

Solución:

dx

Solución: 2lnx   3lnx  5 1lnx  2  c au

 

60  

1 2

UNIDAD III. Competencia: La integral como área bajo la curva. 3.1 Áreas por aproximación de límites de sumas 3.1.1 Suma de Riemann 3.1.2 Integral definida 3.1.3 Teorema fundamental del cálculo 3.1.4 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas

Unidad IV. Aplicaciones de la integral. 4.1 calculo de volúmenes 4.2 Aplicación del cálculo integral en la geometría 4.3 Aplicación del cálculo integral en la física 4.4 Aplicaciones a la economía.                                       

61  

3.1 Áreas por aproximación de límites de sumas.  

Notación sigma En el capitulo anterior se estudio la antiderivada. En esta capitulo se estudiara el problema de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista estas dos ideas parecen no relacionarse entre sí. Aunque se estudiara que se relacionan de una manera muy estrecha por medio del teorema fundamental del cálculo. Por lo cual empezaremos estudiando la notación sigma. Debido a que se nota con la letra griega mayúscula sigma.∑. Notación sigma La suma de n términos a₁,  a₂, a ,……an se escribe en notación matemática como

                                 

 

Donde i es índice de suma, ai es el i-esimo término de la suma y los limites superior e inferior de la suma son n y 1

Nota: los límites inferior y superior han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo el límite inferior no siempre tiene que ser uno, puede tomar cualquier valor menor o igual al límite superior.

Ejemplo 1. Como desarrollar una sumatoria.

  d) 

   

62  

e)  f) 

En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma de sumatoria, en los siguientes ejemplos intentaremos aclarar cómo se realiza.

 , el termino inicial es i =1 Por ejemplo en la siguiente suma: y el termino final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es mayor por una unidad que el numerador, por ello una posible representación de la sumatoria es:

 

Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se dice a las propiedades asociativas y conmutativas de la suma y de las propiedades distributivas de la suma sobre la multiplicación.(Primera propiedad, k es una constante).          

Teorema suma:  

     

63  

El problema del área. Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto y se puede demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego Antifón alrededor del año 430 a.C. y se conoce como el "método del agotamiento". Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exacción de Eudoxo y el mismo fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo. Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que:    

el área de una región plana es un número (real) no negativo, regiones congruentes tienen áreas iguales, el área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de las áreas de las dos regiones y si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el área de la segunda.

Aproximación del área de una región plana. ¿Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos si conocemos la expresión analítica de la función que la limita? , desde x = 0 a x = 3.

El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente.

64  

Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta región se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo es f(0) = 3 y la altura del segundo rectángulo es  . El ancho de cada rectángulo es 1.5 

El área total de los dos rectángulos es:  

 

Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, 3] en tres partes iguales, cada uno de una unidad de ancho.  

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(2). En todos los casos el ancho del sub-intervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad. El área total de los tres rectángulos es:

65  

  Área

 

8,0644 unidades cuadradas.

Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es mayor que el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades.

rectángulo  1  2 

x  0  0.5 

3 

F(x)  3 

Ancho de base  0.5  0.5 

Área  1.5  1.4790 

1 

0.5 

1.4142 

4 

1.5 

0.5 

1.2990 

5 

2.0 

0.5 

1.1180 

6 

2.5 

0.5 

0.8291 

 

 

Área total  

7.6395 U² 

 

¿Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla para resolver este problema...? Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al área real de la región.

66  

En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece indefinidamente, lo que puede escribirse: Área =

(suma de las áreas de los n rectángulo)

Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión intuitiva del Cálculo Integral.

Ejercicios de evaluación: A. Desarrolla las siguientes sumas.

1.

6.-

2.

7.

3.

=

 

8.

4.

=                                                                9. 

5.

=                                                            10. 

    

    B. expresa las siguientes sumas en notación de sumatorias.     11.          12.  

   

       13.  

      

       14.  

 

      15.         16.  

    

67  

      17.  

 

      18.  

   

      19.         20.  

 

 

3.1.1 Suma de Riemann. Suma de Riemann como te darás cuenta las aproximaciones son mejor que las anteriores (entre mas rectángulos se tengan). Imagínense que ahora podemos dividir el intervalo en una infinidad de sub-intervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes e inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la curva seria ahora la función evaluada en cada sub-intervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto del límite tal como se hizo con la derivada, es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva como por encima de esta. En la definición de área, las particiones tenían sub-intervalos de igual ancho. Esto se hizo por conveniencia del cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es necesario tener sub-intervalos de igual ancho.                                                                                 

Ejemplo Una partición con anchos desiguales. , como se

Considere la región acotada por la grafica de muestra en la figura, encontrar el límite.

                           

Donde

ci

 

es

el

punto

terminal

derecho

de

.  Solución: el ancho del i-esimo intervalo esta dado por:

De tal modo el límite es:

68  

la

partición

dada

por

    y 

       

   

Definición de la suma de Riemann. , y sea  una partición de

Sea f definida en el intervalo cerrado

dada por

 

Donde es el ancho del i-esimo sub-intervalo. Si ci es cualquier punto en el i-esimo sub-intervalo entonces la suma.                                     

Se denomino suma de Riemann de f para la partición

.

  en n sub-intervalos iguales y finalmente calcule el área del poligonal circunscrito

C.

correspondiente. 21. 22. 23. 24.

f(x) = 2x +3; a=1, b=2 y n=3 f(x) = 3x-2; a=1, b=3 y n= 4 f(x)= x² + 2; a=0, b=2 y n= 6 f(x)= 2x² +1; a=-1, b=1 y n=8

3.1.2 Integral definida. Sea f una función continua definida para a  x  b. Dividimos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos de igual ancho

. Sean x0  a y xn  b y además x0, x1,...., xn los puntos extremos de cada

sub-intervalo. Elegimos un punto ti en estos sub-intervalos de modo tal que ti se encuentra en el iésimo sub-intervalo [xi1, xi] con i  1, .., n. Entonces la integral definida de f de a b es el número .La integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral.

69  

Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x. Observación: La suma

    que aparece en la definición de integral definida se llama

suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además sub-intervalos de distinta longitud.

  Signo de integración                                                               

Límite superior de integración

x, la variable a integrar  

  Límite inferior de integración   Propiedades de la integral definida: 1.

El valor de la i ntegral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2.

Si los límites que integración coinciden, la integral definida v a l e cero.

3.

Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral definida s e descompone com o una s u ma de dos integr al es extendidas a los intervalos [ a , c] y [ c, b ] .

4.

La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

70  

5.

La integr al del producto de una const ante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

  In t e g r a l Sea f(t) una función cont i n u a e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] . A partir de esta función se define la función integral :

Dep e n d e d e l límite su p e rio r d e int egración. Para evit ar confusiones cuando se hace refe rencia a la variable de f, se la llam a t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llam a x. G e o m é t r ic a m e n t e l a f u n c i ó n i n t e g r a l , F ( x ) , r e p r e s e n t a e l á r e a curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.

limitada por la

A l a f u n c i ó n i n te g ral , F (x), ta m bién se l e l l a m a f u n c i ó n d e á r e a s d e f e n e l intervalo [a, b].

La regla de Barrow dice que la integral def inida de una función contin ua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

71  

Ejemplos: C a l c u l a r l a s s i g u i e n t e s i n t e g r a l e s d efinidas aplic and o la regla de Barrow. 1.

                     

2.

 

=  

3.

 

                

 

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x) El teorema fundamental del cálculo nos in dica que la derivac ión y la integración son oper aciones inversas. Al integrar una función c o ntinua y luego de rivarla s e recupera la función original.

Problemas propuestos:  

1 2

 = 

 

3

             

72  

. Evalúa las siguientes integrales.  25.       

                                                     37).  

26.       

                                                         38).  

 

27.      

                                                       39 .  

 

28.       

                                                     40). 

29.       

                                        41). 

30.

42)

31.

43

32.

44)

33.

45)

34.

46)

35.

 

= 

 

47)

36.

48)

 

Te o re ma d e la me d ia o d e l v a lor medio para int egrales Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:

73  

Ej emp l o : Hallar el valor de c, del teorema de la m edia, de la función f( x) = 3x 2 e n e l intervalo [ − 4 , − 1]. Como la función es continua en el intervalo [− 4 , − 1 ] , s e p u e d e aplic ar el teorema de la media.

63=

f ( c) = 2 1

3

=21

c=

La soluc i ón positiva no es válida porque no pertenece al int ervalo Ár ea entre una función y el eje de abscisa.

La función es positiva Si la función es positiva en un interval o [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, hac iendo f(x)=0 y resolviendo l a ecuación. 2º El área es igual a la int egral def inida de la función que tiene como lí mites de integración los puntos de corte.

74  

Ejemplo:  

1. Calcular el área del rec int o limit ado por la curva y = 9 − x 2 y e l e j e X . En p r i m e r l u g a r h a l l a m o s los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración .

C o m o l a p a r á b o l a e s s im é t r i c a r e s p e c t o a l e j e Y , e l á r e a s e r á i g u a l a l d o b l e d e l área comprendida entre x = 0 y x = 3.

2. Calcular el área limitada por la curva

, y el eje X las rectas= 6, x=12

75  

3. Calcular el área del triángulo de vér t i c e s A ( 3 , 0 ) , B ( 6 , 3 ) , C( 8 , 0 ) . Ecuación de la recta que pasa por AB:

Ecuación de la recta que pasa por BC:

=

=

=

2. Cuando la función es negativa  

Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

76  

Ejemplo 1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje X.

2 . Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje x entre π/2 y 3π/2.

77  

4. cuando la función toma valores positivos y negativos En ese caso de que la grafica tiene zonas por abajo y por arriba del eje x. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites a integrar 3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. 

Ejemplos: 1) Hallar el área limitada por la recta

, el eje de abscisas y las ordenadas

correspondientes a x = 0 y x = 4.

78  

3.1.3 Teorema fundamental del cálculo integral: (relación entre integral definida e indefinida) x  x

x

Definimos la siguiente función: S(x) =  f ( x )dx

y por lo tanto S(x+x) =

a

S = S(x+x)-S(x)=

 f (x )dx a

x  x

x

x  x

a

a

x

 f (x )dx -  f (x )dx =  f (x )dx  f (c)x

S s   S'(x)=f(x) pues c tiende a x cuando incremento de x  f (c) lim  lim f (c) x 0 x x 0 x tiende a cero. Por lo tanto S(x) es una primitiva de f(x).

3.1.4 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas. El calcular el área comprendida entre dos unciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Ejemplos 1). Calcular el área limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).

79  

y=x²+2 

Y=2x+2 

2) Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2 en los puntos de corte de la parábola y la recta y = x.    

                                                    

De x=0 x = 1, la recta queda por encima de la parábola

De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola

80  

 

 

Evalúa las siguientes áreas bajo la curva. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, en el eje x y las ordenadas x = 2 y x = 8. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 - x² en el eje  0X. Calcular el área del triangulo de vértices A ( 3 , 0 ), B ( 6 ,3 ), C ( 8 ,0 ). Calcular el área limitada por la grafica de las funciones y² = 4x e y = x². Calcular el área limitada por la curva xy=36 en el eje X y las rectas x=6, x=12. Calcular el área limitada por la curva y = 2(1- x²) y la recta y = -1. Calcular el área del resinto limitado por la parábola y = x² + 2 y la recta que pasa por los puntos (-1, 0) y (1, 4).

8) Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4. 9) Calcular el área limitada por la curva y = 6x 2 − 3x 3 y el eje de abscisas. 10) Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y l o s e j e s coo rde n a d o s. 11) Calcular el área de la región del plano limit ada por el círculo x 2 + y 2 = 9. 12) Hallar el área de una elips e de semiejes a y b. 13) Calcular el área de la región del plano limit ada por la curva: f(x) = |x 2 − 4x + 3| y el eje OX. 14) Hallar el área de la figura limitada por: y = x 2 , y = x, x = 0, x = 2 15) Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x 2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX      

4.0 Aplicaciones de la integral definida 4.1 calculo de volúmenes. El volum en del cuerpo de revolución engendr ado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por :

81  

Ejemplos 1 . Hallar el volumen engendr a d o p o r l a s s u p e r f i c i e s l i m i t a d a s p o r l a s c ur v a s y l a s rectas dadas al girar en torno al eje OX: y = sen x = 0x = π

2 . Calcular el volumen del cilindro engendr a do por el rectángulo limita do por las rectas y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.

3 . Calcular el volumen de la esfera de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². Girando un semicírculo en torno al e j e d e a b s c i s a s s e o b t i e n e u n a esfera.

4 . Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limita da por la parábola y 2 = x y la recta x = 2, alrededor del eje OY. 82  

Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:

El

volumen

será

la

diferencia

del

engendrado

por

la

recta

y

el

engendrado por la parábola entre los extremos y = − 4 e y = 4.

Como la parábola es simétrica con r espec t o a l e j e O X , e l v o l u m e n e s i g u a l a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4.

5 . Hallar el volumen del elipsoid e engendrado por la elips e 16 x 2 + 25y 2 = 4 0 0 , a l girar: 1 Alrededor de su eje mayor. 2 Alrededor de su eje menor.

83  

Como la elips e es simétrica al resp ecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.

6 . Calcular el volumen engendrado al gira r a l r e d e d o r d e l e j e O X e l r e c i n t o limitado por las gráficas de y = 2x − x 2 , y = − x + 2. Puntos de intersección entre la parábola y la recta:

84  

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de inte gración.

Evalúa los siguientes volúmenes. 1 ) H a l l a r e l vol umen d e l tro n co de co no engendrado po r la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4. 2) Calcular el volumen qu e e n g e n d r a u n t r i á n g u l o d e v é r t i c e s A ( 3 , 0 ) , B ( 6 , 3 ) , C ( 8 , 0 ) a l gi ra r 3 6 0 ° al re d edor del eje OX. 3) Hallar el volumen del tronco de co no engendr ado por el tr apecio que l i m i ta el eje de abscisas , la recta y = x + 2 y las c oordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX. 4) Calcular el volum en engendrado por una semionda de la sinu soide y = sen x, al girar alrededor del eje OX. 5) Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el re cinto limitado por las gráficas de y = 2x − x 2 , y = − x + 2. 6) Hallar el volumen del cuer po revoluc i ó n e n g e n d r a d o a l girar alrededor del eje OX, la región determinada por la func ión f(x) = 1/2 + cos x, el ej e de abscisas y las rectas x = 0 y x = π. 7) Calcular el volumen de l cuerpo engendrado al girar alrededor del eje O X e l recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x 2 , y = x.

85  

8) Hallar el volumen eng e n d r a d o p o r e l c í r c u l o x 2 + y 2 − 4 x = − 3 a l g i r a r alrededor del eje OX.

9) Hallar el volumen de la figur a engendrada al g i rar la e l ipse alrededor del eje OX.

4. 2 Aplicación del cálculo integral en la geometría. 1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x² +2 que sea paralela a la recta 8x – y +3 = 0

Solución: y = 2x² +2 sea : m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 4x (1) 8x – y +3 =0 ,  y = 8X +3      (2)  Si m1 = 8 (3) Ahora como las dos rectas de interés son paralelas entre sí, tienen pendientes iguales, por lo que se iguala la ecuación (1) y (3) se obtiene: 4x =8 , x = 2 (4)

2) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva la recta  x - y =0

Solución:

86  

, que sea perpendicular a

Sea m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = -2/3 x (1) x – y = 0, y = x (2) Si m1 es la pendiente de la recta definida por (2) entonces m1 = 1 (3) Ahora como las rectas referidas son perpendiculares entre si, el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es (m)(m1) = -1

m = -1/m1

(4)

sustituyendo (3) en (4), se obtiene m = -1/1, m = -1 (5) Igualando (5) en (1), se obtiene Para obtener la ordenada del punto de tangencia , sustituimos (6) en ecuación original, se tiene:

87  

 

(7) De (5), (6) y (7) y la forma del punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:             

  

               

               

            Por lo tanto

 

, es la ecuación buscada.

, en el punto (2,4) 3) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva Solución: Y = x³ -4 (0) Sea m= pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 3x² (1) m(2) = 3(2)² = 3x4 =12 (2) el punto de tangencia P, coordenadas es P(2,4) (3) de (2) y (3) y la forma punto pendiente para la ecuación de una recta se tiene; y= 12 ( x – 2 ) - 4 , y = 12x – 28 por lo tanto 12x –y -28 =0 es la ecuación buscada.

grafica de ecuación

88  

4) Determine una ecuación de la recta normal de la curva y = 10(14 - x²) en el punto (4,5).

Solución: Y = 10 / (14 - x²) =

(0)

Sea m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces: m = y' =

         (1)

 = 

 = 20        (2)  Hemos hallado que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (4. -5) tiene un valor numérico de 20.

Como la recta normal a la curva en un punto determinado es aquella recta perpendicular a la tangente en dicho punto, el valor de la pendiente m1 de la normal que buscamos es:            (3)

El punto tangente P, coordenadas, es P (4,-5) (4) De (3) y (4) y de la forma punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene:   Por lo tanto x + 20y + 96 =0 ecuación buscada

89  

5) Determine una ecuación para cada una de las rectas normales de la curva y = x³ -4x, paralelas a la recta x +8y -8 =0

90  

4.3 Aplicación del cálculo integral en la física.

91  

 

92  

4.4 Aplicaciones a la economía. 

93  

94  

95  

Bibliografía:  

Calculo diferencial e integral Pearson (Pretice Hall) Purcell, Varberg, Rigdon Novena edición Calculo diferencial e integral Mc Graw Hill Larson-Hostetler- Eduards Séptima edición Cálculo trascendente temprano Internacional Thomson Editores Steward,James Quinta edición http://www.vitutor.com/index.html http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/IntegralDefinida.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integraciondefinida/html/integracion.pdf

 

96