CÓDIGO DE HAMMING PARA DETECCIÓN Y CORRECCIÓN DE ERRORES

ALVARO HUMBERTO CISNEROS ROSERO DANIEL SEPÚLVEDA NÚÑEZ

INFORMACIÓN Y CODIFICACIÓN

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE INGENIERÍA MAESTRÍA EN CIENCIAS DE LA INFORMACIÓN Y LAS COMUNICACIONES BOGOTÁ 2012

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

2

1. OBJETIVOS

3

1.1 GENERAL

3

1.2 ESPECÍFICOS

3

2. TÉCNICAS DE DETECCIÓN DE ERRORES

4

3. TÉCNICAS DE CORRECCIÓN DE ERRORES

5

4. RICHARD WESLEY HAMMING

6

5. CÓDIGO HAMMING

7

5.1. CONCEPTOS BÁSICOS

7

5.2. DISTANCIA DE HAMMING

7

5.3 VARIABLES PARA GENERACIÓN HAMMING

8

5.4. GENERACIÓN DEL CÓDIGO DE HAMMING

9

5.5. EL SÍNDROME Y DETECCIÓN SISTEMÁTICA DEL CÓDIGO DE HAMMING. 5.6. DETECCIÓN Y EFICIENCIA SOBRE CANAL

13

6. EXTENSIÓN DEL CÓDIGO DE HAMMING.

17

7. TAREA

18

8. CONCLUSIONES

19

9. BIBLIOGRAFÍA

20

15

INTRODUCCIÓN

Desde que Claude Shanon desarrollo su teoría de la información, la transmisión de la información digital presenta un reto constante para los ingenieros de comunicaciones, puesto que los medios de transmisión pueden corromper y dañar los datos, por ende es necesario crear un métodos que permitan detectar errores y mejor aún corregirlos, uno de estos métodos es el método de Hamming, desarrollado por Richard Wesley Hamming, este método será el pilar desarrollado en este trabajo, pero para entender de una forma más concisa es necesario conocer técnicas de corrección y detección de errores que las veremos en los capítulos 2 y 3, veremos una breve historia sobre Richard Hamming que se muestra en el capítulo 4 y el capítulo 5 se desarrolla el código Hamming y un método para lograr una mejor comprensión. El código Hamming permite detección y corrección de los datos enviados por un canal susceptible a ruido, esté método se utiliza en canales donde la retransmisión de un mensaje puede congestionar el canal, este método se utiliza comúnmente en redes de Wi –Fi para la transmisión de mensajes, su estudio nos mostrará como detecta y corrige errores de un bit y como puede ser escalado para que detecte más errores mejorando la eficiencia en el canal.

1. OBJETIVOS

1.1 GENERAL 

Estudiar y comprender los aspectos relacionados con el código Hamming.

1.2 ESPECÍFICOS Conocer las técnicas fundamentales para la detección y la corrección de errores relacionados con el código Hamming. Examinar y analizar el método de Hamming para la corrección y su posterior corrección de errores. Determinar un sistema para el análisis y comprensión del código Hamming. Indagar sobre sistemas de mayor complejidad como el método de Hamming Extendido. Relacionar la eficiencia del código Hamming frente al aprovechamiento del canal de transmisión.

2. TÉCNICAS DE DETECCIÓN DE ERRORES

Códigos VRC (Vertical Redundancy Check). En esta técnica, un bit redundante, denominado bit de paridad, se añade al final de cada bloque de datos. Código LRC (Longitudinal Redundancy Check). Esta técnica consiste en VRC de dos dimensiones, se agrupa un determinado número de unidades de datos en un bloque, cada uno con su bit VRC correspondiente. Se calcula el bit de paridad entre cada bit de todas y cada una de las unidades de datos (primeros bits, segundos, etc.). Se reúnen los bits de paridad de todas las posiciones en una nueva unidad de datos y se añade al final del bloque. Comprobación de redundancia cíclica (CRC). Dado un bloque o mensaje de k bits, el transmisor genera una secuencia de n bits, denominada secuencia de comprobación de trama (FCS Frame Check Sequence), la trama resultante, de n + k bits sea divisible por algún número predeterminado (patrón de bits). El receptor dividirá la trama recibida por el mismo patrón de bits y, si el resto en la división (resto 0), indica que la transmisión ha sido correcta, sin error.

3. TÉCNICAS DE CORRECCIÓN DE ERRORES

Requerimiento automático de repetición (ARQ) Pare y espere ( stop and wait ARQ ): Cuando el receptor recibe una trama procede a validarla, si no contiene errores envía una señal de confirmación hacia el emisor ACK (acknowledge). Si hay error envía una señal de recepción errónea llamada NAK (negative acknowledge). Envío continuo ( Continuos ARQ ): Presenta el inconveniente de reducir el tiempo de utilización efectiva de los canales de comunicación dado que cada mensaje debe ser confirmado individualmente y todo se paraliza hasta que ello ocurre. Corrección de errores hacia adelante (FEC) Códigos de bloque: Un código de bloques convierte k bits de entrada en n bits de salida con n>k, este es un código sin memoria. Códigos de árbol: Un código de árbol es producido por un codificador con memoria, a este grupo pertenecen los códigos convolucionales, los cuales tienen como característica que a cada bit de una secuencia se le aplica una operación binaria especifica.

4. RICHARD WESLEY HAMMING

Matemático estadounidense de gran importancia en el área de la informática y de las telecomunicaciones, nació en Chicago, Illinois, el 11 de febrero de 1915. Estudio su licenciatura en la Universidad de Chicago en 1937, en 1939 realiza un master en la Universidad de Nebraska y se doctoró en la Universidad UrbanaChampaign de Illinois en 1942. Mientras se desarrollaba la Segunda Guerra Mundial, fue profesor en la Universidad de Louisville, trabajo que abandonaría para integrarse en 1945 en el proyecto Manhattan. Allí desarrolló su trabajo programando una de las primeras calculadoras numéricas electrónicas, para determinar la solución a algunas ecuaciones proporcionadas por los físicos del proyecto. El objetivo del programa era descubrir si la detonación de una bomba atómica podría incendiar la atmósfera. Entre los años 1946-1976, trabajó en los laboratorios Bell, en donde colaboró con Claude E. Shannon. El 23 de julio de 1976 se trasladó a la Naval Postgraduate School, en donde trabajó como profesor adjunto hasta 1997, llegando a ser Professor Emeritus. Fue fundador y presidente de la Association for Computing Machinery. Murió en Monterey, California el 7 de enero de 1998.

5. CÓDIGO HAMMING

Es un código que se utiliza en la detección y corrección de errores que se producen en la transmisión de códigos binarios, la palabra de código se conforma por los bits de comprobación y los bits de información. 5.1. CONCEPTOS BÁSICOS: Para poder continuar con el desarrollo del código es necesario tener en cuenta algunas generalidades y conceptos básicos:   

Código binario: Es una representación unívoca de las cantidades, de tal forma que a cada una de éstas se le asigna una combinación de símbolos binarios. Distancia entre dos combinaciones binarias: Viene dada por el número de bits que hay que cambiar en una de ellas para obtener la otra. Distancia mínima de un código: Es la menor de las distancias entre dos combinaciones binarias cualesquiera pertenecientes a dicho código.

5.2. DISTANCIA DE HAMMING El código Hamming se genera a partir de una distancia mínima de 3, ya que una distancia de 1 o 2 es inconveniente para poder generar un código para detectar un error. La distancia mínima de Hamming está dada por la siguiente ecuación: Dm= 2X+1 Donde Dm es la distancia mínima de un código para permitir la corrección de datos y X es las líneas de datos. Si se tuviese una distancia de 1 no tendríamos valores para saber si hay o no un error. Si se tienen una distancia de 2 se podría lograr un sistema de corrección de error con un bit de paridad pero el problema que esto lleva es que un sistema con distancia 2 puede tener datos erróneos que pueden pasar como datos correctos.

Con la distancia de 3 se tiene que los códigos no van a tener datos o resultados similares por ende se puede detectar el error y se puede desarrollar un sistema para su corrección como el Hamming 5.3. VARIABLES PARA GENERACIÓN HAMMING Para la generación del código Hamming se deben tener en cuenta tres variables que mencionaremos a continuación: n: número de bits del código original que se pretende transmitir. p: número de bits de paridad par generados en el transmisor, o sea, número de líneas que añadimos al código inicial. c: número de bits detectores de paridad par generados por el receptor. El valor de p = c, ya que los bits de paridad generados tanto en el transmisor como en el receptor debe ser la misma. El número de combinaciones que se pueden formar con los c bits detectores de paridad tiene que ser mayor o igual que el número de líneas del código original (n) más el número de líneas de paridad añadidas (p) más uno, este último para contemplar el caso de no error.

Esta ecuación nos muestra que existen unas combinaciones, estas no pueden ser asignadas de forma aleatoria a un evento, para asignar estas combinaciones a un evento específico este debe estar en uno de los tres grupos diferenciados. 1. Combinación asignada a la situación en que no haya error en la transmisión. 2. Combinaciones asignadas a los bits de paridad generados en el transmisor. 3. Combinaciones asignadas a los bits de datos del código original. Podemos tener un manejo de esta ecuación para poder obtener la cantidad mínima de bits de información que nosotros podemos enviar.

Si se despeja n Teniendo en cuenta que p =c Si contamos con los valores de bits de paridad podemos encontrar los bits de información que se pueden manejar. Para obtener el número de bits total de la cadena del mensaje (s) se debe realizar la siguiente operación:

Ejercicio 1: Si deseo enviar un nibble cuantos bits de paridad necesito para enviar el mensaje y poderlo corregir si existe un error. Nibble = 4 bits Si c = 3 entonces

n=4 Con 3 bits de paridad podríamos manejar y codificar un nibble de información. 5.4. GENERACIÓN DEL CÓDIGO DE HAMMING

El código Hamming plantea la generación de una tabla para poder asignar los valores de las posibles combinaciones que generen los bits de paridad. A continuación manejaremos un código ASCII de 7 bits

Si se tienen 7 bits de información se necesitan entonces que c = 4, esto nos conlleva a que se generan 2c combinaciones y es igual a 24 = 16 combinaciones a continuación se establece una tabla de 16 combinaciones con un rango de 0 a 15

#b

Combinaciones

b0 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010

b11 b12

11 12

1011 1100

b13

13

1101

b14

14

1110

b15

15

1111

# DE "1" 2^3 2^2 2^1 2^0 CORRESPONDENCIA SITUACION DE NO 0 0 0 0 0 ERROR 1 0 0 0 1 BIT DE PARIDAD "1" 1 0 0 1 0 BIT DE PARIDAD "2" 2 0 0 1 1 DATO 1 1 0 1 0 0 BIT DE PARIDAD "3" 2 0 1 0 1 DATO2 2 0 1 1 0 DATO 3 3 0 1 1 1 DATO 4 1 1 0 0 0 BIT DE PARIDAD "4" 2 1 0 0 1 DATO 5 2 1 0 1 0 DATO 6 NO SE USA EN EL 3 1 0 1 1 EJEMPLO 2 1 1 0 0 DATO 7 NO SE USA EN EL 3 1 1 0 1 EJEMPLO NO SE USA EN EL 3 1 1 1 0 EJEMPLO NO SE USA EN EL 3 1 1 1 1 EJEMPLO

TABLA 1. Generación código Hamming.

Para la asignación de los eventos se realiza lo siguiente: 1. Contar Número de unos en las combinaciones 2. Si el número de unos es cero es una situación de no error y no se utiliza para enviar dato.

3. Si el número de unos es 1, debemos empezar a organizar los bits de paridad desde el primero hasta el último y darles su respectiva asignación. 4. Si el número de unos es 2 en estos deben colocarse para los datos, si las combinaciones de 2 unos no son suficientes para los datos debemos empezar con los de 3 y luego los de 4 así sucesivamente, se prefiere que se coloquen los datos primero en los grupos de 2. 5. Si no se tienen más datos esas líneas no son válidas y se omiten en el sistema de verificación. Los bits de paridad b1, b2, b4, b8, no tienen un valor fijo este valor se encuentra por las siguientes relaciones: b1 = b3 ⊕ b5 ⊕ b7 ⊕ b9 ⊕ b11 ⊕ b13 ⊕ b15; b2 = b3 ⊕ b6 ⊕ b7 ⊕ b10 ⊕ b11 ⊕ b14 ⊕ b15; b4 = b5 ⊕ b6 ⊕ b7 ⊕ b12 ⊕ b13 ⊕ b14 ⊕ b15; b8 = b9 ⊕ b10 ⊕ b11 ⊕ b12 ⊕ b13 ⊕ b14 ⊕ b15; Esto se debe a que los bits de paridad se conforman de las combinaciones en donde el bit de paridad es uno, por ejemplo el bit1 es el bit de paridad para las combinaciones impares, se conforman de las combinaciones impares b3, b5, b7, b9, b11, b13, b15. A continuación se muestra una tabla para ver cómo se realiza la operación de EXOR

En la tabla se organizan y se suma para obtener los valores de b1, b2, b4, b8.

#b b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b14 b15

b1 b2 d1 b4 d2 d3 d4 b8 d5 d6 d7

2^3 2^2 2^1 2^0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

b8 b4 b2 b1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0

0 1

1 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

Tabla 2. Coeficientes de paridad. Terminada la tabla se procede a enviar el dato o la trama de datos La cual sería 00100011000100 Los datos que no se utilizan por lo general se envían en cero. Para saber si existe un error en la transmisión o si el mensaje de transmitió correctamente se deber realizar una comprobación del sistema para esto se realiza con una codificación de los componentes c1, c2, c3, c4 de la siguiente manera: c1 = b1 ⊕ b3 ⊕ b5 ⊕ b7 ⊕ b9 ⊕ b11 ⊕ b13 ⊕ b15; c2 = b2 ⊕ b3 ⊕ b6 ⊕ b7 ⊕ b10 ⊕ b11 ⊕ b14 ⊕ b15; c3 = b4 ⊕ b5 ⊕ b6 ⊕ b7 ⊕ b12 ⊕ b13 ⊕ b14 ⊕ b15;

c4 = b8 ⊕ b9 ⊕ b10 ⊕ b11 ⊕ b12 ⊕ b13 ⊕ b14 ⊕ b15; Los resultados que vemos aquí son calculados con los datos que llegan al receptor, si los datos de c1, c2, c3, c4 nos dan cero en todos el mensaje se transmitió sin error pero si uno o varios de estos elementos se convierten en 1 quiere decir que hay un error, por ejemplo si el resultado de los indicadores ci son: c1 = 0, c2=1, c3=1, c4=0, esto quiere decir que hay un error en la combinación b6 por ende si hay un uno en esta posición quiere decir que el verdadero valor es cero, entonces podemos cambiar el valor de este y corregir de esta manera el error presentado. 5.5. EL SÍNDROME Y DETECCIÓN SISTEMÁTICA DEL CÓDIGO DE HAMMING. Para el ejemplo anterior del código ASCII se tienen 7 bits de información para transmitir, se observa el mismo dato que se envía en la tabla a en la tabla b se encuentra el dato recibido con un error DATOS TX #b b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b14 b15

DATOS RX

b8 b4 b2 b1 b1 b2 d1 b4 d2 d3 d4 b8 d5 d6

0 0 1 0 0 0 1 1 0 0

d7 1

1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0

0 1

1 0

0 0 1 0 0 0 0

b8 b4 b2 b1 b1 b2 d1 b4 d2 d3 d4 b8 d5 d6

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0

0 d7 1 0

0 0 0

0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0

0 0

0 0

0 0 1 0 0 0 1

0 0

0 0 1

0 1

Tabla 3. Ejemplo trama de datos enviados y se recibe una trama con el dato 4 erróneo o bit 7.

Como se observa en la recepción hay un valor diferente de los datos transmitidos, si se realizan los valores de b1, b2, b4, b8, son distintos en ambos lados, ahora si se comparan con los valores de c1 c2, c3, c4 se obtiene que:

1

1

1

0

bloque 1 recibido

par

1

par

0

bloque 0 enviado

0 1 1 1 7 2^3 2^2 2^1 2^0 #b dato dañado Tabla 4. Detección del número del bit dañado. En la figura se suman los valores de bits de paridad encontrados en el receptor con los valores de paridad envidados, se debe realizar una operación EXOR uno a uno y el resultado que se obtiene son los valores de c1, c2, c3, c4, como vemos el resultado es 0111 si esto se pasa a decimal es 7 si vemos en la tabla del ejemplo el dato que se encuentra erróneo se encuentra en la combinación 7 la cual es la asignada al dato 4. El síndrome Al cálculo que se realizó anteriormente de sumar cada bit de paridad en el receptor se le denomina Síndrome, el síndrome se desarrolla bit a bit y se suma con una función EXOR en módulo 2.

5.6. DETECCIÓN Y EFICIENCIA SOBRE CANAL Si m es igual a la distancia mínima de un código Haming podemos determinar que el factor de detección y corrección de un código depende de:

Además si n = número de bits de la cadena de salida k = número de bits de información La eficiencia sobre el canal de transmisión será la siguiente: n/k Con estos datos se puede obtener la siguiente tabla

Tabla 5. Tabla de eficiencia, tomada del trabajo de Hamming desarrollado por: Luis Gabriel Clavijo Castro, Vivian Andrea Garcia Balaguera

Como vemos si la distancia de Hamming aumenta la longitud de la información aumenta pero los bits de información de corrección serán menores que los de detección , pero si vemos bien la tabla con una distancia de Hamming 3 la longitud total del paquete son 7 y se transportan 4 bits de información, los otros son de corrección, ahora si vemos el 10 la longitud total serían 1023 se transportan 1013 bits de información y el restante que son solo 10 bits se utilizan para la detección y la corrección como vemos este es un proceso mucho más eficiente ya que podemos transportar 1013 bits de información procesando solo 10 bits de detección y corrección, esto permite que los procesos de transporte de datos se optimicen logrando tasas porcentuales realmente altas.

6. EXTENSIÓN DEL CÓDIGO DE HAMMING.

La extensión del código Hamming plantea ingresar a la tabla un número adicional con el propósito de encontrar más de un bit dañado, esto lo logra mediante el desarrollo de matrices estas matrices se computan para poder detectar y corregir un bit dañado e informar cuando hay dos o más bit dañados en el proceso. El proceso matricial es como lo desarrollaría realmente un sistema de cómputo. Como se mencionó el código Hamming extendido añade un símbolo adicional que computa todos los anteriores símbolos de la palabra de código, este tiene una distancia de Hamming de 4, con esto se logra detectar todos los errores dobles y al mismo tiempo se corrigen todos los errores individuales. La decodificación se realiza así: Si el último dígito del síndrome es 2, entonces el número de errores debe ser impar. La corrección se realizaría de la manera habitual. Si el último dígito del síndrome es 0, pero el síndrome no es todo ceros, no hay corrección posible, porque se ha producido más de un error, pero los errores dobles son detectados.

7. TAREA

Encontrar los valores de los bits de paridad para los siguientes datos: Dato a transmitir: 1100110011 Dato a transmitir: 1001110110 Dato a transmitir: 1010100011 Si el síndrome que se obtuvo en el dato de transmisión es:

1

1

1

bloque 1 enviado

par

Y el síndrome que se recibe en el receptor es:

0

0

1

bloque 0 recibido

En que bit se presentó el daño de la información

par

8. CONCLUSIONES



La integración de código redundante permite realizar la corrección en cierta medida de los errores presentados en la transmisión; sin embargo hace menos eficiente el proceso de codificación, por lo cual se deberá lograr un equilibrio entre codificación redundante y eficiente dadas las características del canal.



Aunque los parámetros de los códigos AG son mejores que los clásicos para códigos de longitud arbitrariamente grande, las aplicaciones técnicas no se han visto aún en la necesidad práctica de sustituir los códigos que actualmente se utilizan por otros de mayor longitud sin que se dispare simultáneamente el coste y la tasa de error.



El Código Hamming, es un sistema de detección y corrección automática de errores en información electrónica, el cual asocia una serie de bits de validación o paridad a los bits de datos, de tal forma que una alteración en cualquiera de esos bits de datos pueda ser detectada y corregida adecuadamente.



La distancia Hamming permite establecer el número de bits erróneos que pueden ser corregidos ó detectados mediante las formulas:

 

Detección= (m-1) Corrección= (m-1)/2



El síndrome es una operación que relaciona los bits de paridad por medio de una función EXOR bit a bit, si este resultado es 0 en cada bit de paridad no indica que el paquete de datos llego sin errores pero si nos indica un error o un 1 nos debe indicar el lugar donde se presenta dicho problema.



Para entender de una manera más sencilla la elaboración del código se utilizaron tablas pero por lo general se utilizan matrices y relaciones entre ellas para poder lograr relaciones cruzadas y obtener los valores de bits de paridad.



El sistema de códigos Haming es muy utilizado en elementos como memorias y en comunicaciones en las tramas de Wifi.

9. BIBLIOGRAFÍA

       

Comunicaciones y Redes de Procesamiento de Datos. Nestor Gonzáles Sainz. Ed Mac Graw . 1987. Wikipedia.[online]. Algoritmos de Código de Redundancia Cíclica. Tio Petros. [online]. Aritmética Modular. Códigos Detectores y Correctores de Errores. Códigos de Redundancia Cíclica. < http://www.argo.es/~jcea/pics/artic/ecc-crc.htm> MODIANO, Eytan. [online]. La capa de enlace de Datos: Entramado y Detección de Errores< http://mit.ocw.universia.net>. Demeter. Codificación de Señales. Ver. 1.1. 2 de Diciembre de 2003 [email protected]. Apuntes de IIC 3512 -- El nivel de enlace. Dic. 1996. Códigos Lineales. http://jungla.dit.upm.es/~trdt/apuntes