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Cointegración g El caso bivariado Definición: La serie Yt es integrada g de orden d ((denotada I(d)) si al menos debe ser diferenciada d veces para que sea estacionaria. Ejemplos: 1. El proceso random walk es I(1) dado que:
Yt = Yt −1 + ε t
ΔYt = ε t
el cual es estacionario. 2.
Cualquier proceso estacionario es trivialmente I(0).
Econometria. Walter Sosa Escudero
Definción: Dos series Yt y Xt están cointegradas si: 1. 2.
Ambas son I(d), d ≠ 0 y el mismo d para las 2 series. Existe una combinación lineal de ambas que es I(0), es decir, decir existe a = (a1,a a2) distinto de cero tal que:
a1Yt + a2 X t
es
I ( 0)
el vector a es llamado vector de cointegración (CV) (CV).
Econometria. Walter Sosa Escudero
Discusión • Se refiere a la relación entre p procesos no estacionarios con raíces unitarias. Cuando dos series están cointegradas, a pesar de que ambos procesos son no estacionarios existe una relación de equilibrio a largo estacionarios, plazo que vincula a ambas series tal que esta relación es estacionaria. • Problema de la no unicidad: si a es un CV, luego ba es también un CV para algún b. Solución: “normalizar” normalizar imponiendo a1=1, =1 es decir, decir el CV normalizado es (1,a2), donde g a2 = coeficiente de cointegración. Econometria. Walter Sosa Escudero
Discusión • Regresiones espúreas: si Yt y Xt son ambas I(1), el modelo lineal bajo j los supuestos p clásicos:
Yt = α + βX t + ut no tiene sentido, a menos que las series estén cointegradas. g Por q qué?
Econometria. Walter Sosa Escudero
Test de Cointegración La aproximación de Engle-Granger: Engle Granger: •
•
Paso 1: Testear que ambas variables tengan el mismo orden de integración, por ejemplo, que ambas sean I(1) (test de raíz unitaria en cada serie). Paso 2: Suponer que X e Y están cointegradas con coeficiente de cointegración b. b Si conocemos b, b luego Yt − a − bX t debe ser I(0) para algún a. Engle-Granger: g g aybp pueden ser estimados consistentemente por OLS en Yt = a + bX t + ut estimar a y b por OLS y formar los residuos e. Econometria. Walter Sosa Escudero
Test de Cointegración • Paso 3: test de raíz unitaria en los residuos ε t . tiene raíz unitaria rechazar cointegración t
ε
Este E t es un test t t donde d d la l hipótesis hi ót i nula l es d de no cointegración. 9 Confusión: Aceptar raíz unitaria en los residuos rechazar cointegración. cointegración 9 Necesitamos usar una tabla diferente dado que el test no se basa in ut, sino en ε t . Econometria. Walter Sosa Escudero
Ejemplo Empírico • Consumo e ingreso. • 100 años. • x1 = consumo • yy1 = ingreso g
50 40 30 20 10 0
(no es un caso real)
-10 1920
1940 X1
1960
1980
2000
Y1
Econometria. Walter Sosa Escudero
50 40 30 X X1
La fuerte relación positiva podría ser espúrea! p
20 10 0 -10
0
10
20
30
40
50
Y1
Econometria. Walter Sosa Escudero
Test de cointegración Paso 1: Test de raíz unitaria en cada serie En ambos casos se incorporó un intercepto, tendencia y 2 rezagos (ADF)
a) Consumo (x1) ADF Test Statistic S
-3.301963
1% % C Critical Value** 5% Critical Value 10% Critical Value
-4.0550 -3.4561 -3.1536
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root root.
•
No se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria (5% y 1%)
b) Ingreso (y1) ADF Test Statistic
-4.018827
1% Critical Value* 5% Critical Value 10% Critical Value
-4.0550 -3.4561 -3.1536
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
• •
Este caso está muy cerca de la región de rechazo. Procederemos como si hubiera raíces unitarias (aún cuando no está claro para el ingreso). Econometria. Walter Sosa Escudero
Paso 2: Estimar la relación de cointegración de largo plazo OLS of x1 in y1 Variable Coefficient C 1.346856 Y1 0 .959203 R-squared Adjusted R-sq S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson
•
Std. Error Std 0.524970 0.020268
0.958081 0 958081 0.957653 2.179373 465.4675 -218.7875 218.7875 0.832551
tt-Statistic Statistic 2.565587 47.32702
Prob. Prob 0.0118 0.0000
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic F statistic Prob(F-statistic)
23.94998 23 94998 10.59064 1.577872 1.629975 2239.846 0.000000
Notar que si las series no están cointegradas, es probable que sea una regresión espúrea.
Econometria. Walter Sosa Escudero
Paso 3: Test de raíz unitaria en los residuos Test de raíz unitaria, sin intercepto, 2 rezagos. ADF Test Statistic -4.165693 1% Critical Value* 5% Critical Value 10% Critical Value
-2.5871 -1.9434 -1.6175
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Valores críticos (Engle and Granger (1987) No lags With lags
1% -4.07 -3 73 -3.73
5% -3.37 -3 17 -3.17
10% -3.03 -2 91 -2.91
Se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria en los residuos. Rechazamos la hipótesis nula de no-cointegración!! Econometria. Walter Sosa Escudero
Ejemplo Empírico: caso real 5.E+08
• Argentina: • Consumo e Ingreso. • 1950 – 2000
4.E+08 3.E+08 2.E+08 1 E+08 1.E+08 0.E+00 50
55
60
65
70
75
CONSUMOA
80
85
90
95
00
95
00
INGRESOA
0000000
• Paraguay: • Consumo e Ingreso. • 1951 - 2000
5000000 0000000 5000000 0000000 5000000 0 50
55
60
65
70
75
CONSUMOP
Fuente: Penn World Table 6.1
80
85
90
INGRESOP
Econometria. Walter Sosa Escudero
• La fuerte relación positiva podría ser espúrea!
consumop
2.0e+07
consumoa
2.9e+08
7 5e+07 7.5e+07 1.1e+08
2 0e+06 2.0e+06 ingresoa
4.2e+08
3.4e+06
ingresop
2.7e+07
Econometria. Walter Sosa Escudero
Análisis de Cointegración Caso 1: Argentina Caso 2: Paraguay
Econometria. Walter Sosa Escudero
Test de cointegración: Argentina P Paso 1 Test 1: T t de d raíz í unitaria it i en cada d serie i En ambos casos se incorporó un intercepto, tendencia y 2 rezagos (ADF)
a) Consumoa ADF Test Statistic
1% Critical Value* 5% Critical Value 10% Critical Value *M Ki *MacKinnon critical iti l values l ffor rejection j ti off h hypothesis th i off a unitit root. t
•
-1.323172
-4.1584 -3.5045 -3.1816
No se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria (10%, 5% y 1%).
b) Ingresoa ADF Test Statistic
-1.841233
1% Critical Value* 5% Critical Value 10% Critical Value
-4.1584 -3.5045 -3.1816
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
• •
No se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria (10%, 5% y 1%). Procederemos como si hubiera raíces unitarias en ambas series series. Econometria. Walter Sosa Escudero
Paso 2: Estimar la relación de cointegración de largo plazo
•
Notar que si las series no están cointegradas, es probable que sea una na regresión espúrea espúrea. Econometria. Walter Sosa Escudero
Paso 3: Test de raíz unitaria en los residuos Test de raíz unitaria, sin intercepto, 2 rezagos. ADF Test Statistic -2.535221 2 535221 1% Critical Value* Value 5% Critical Value 10% Critical Value
-2.6110 2 6110 -1.9476 -1.6194
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Se rechaza la hipótesis p nula de raíz unitaria en los residuos al 5% y 10%.
Rechazamos la hipótesis nula de no-cointegración!!
Econometria. Walter Sosa Escudero
Test de cointegración: Paraguay P Paso 1 Test 1: T t de d raíz í unitaria it i en cada d serie i En ambos casos se incorporó un intercepto, tendencia y 2 rezagos (ADF)
a) Consumop ADF Test Statistic
1% Critical Value* 5% Critical Value 10% Critical Value *M Ki *MacKinnon critical iti l values l ffor rejection j ti off h hypothesis th i off a unitit root. t
•
-1.780470
-4.1630 -3.5066 -3.1828
No se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria (10%, 5% y 1%).
b) Ingresop ADF Test Statistic
-2.240166
1% Critical Value* 5% Critical Value 10% Critical Value
-4.1630 -3.5066 -3.1828
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
• •
No se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria (10%, 5% y 1%). Procederemos como si hubiera raíces unitarias en ambas series series. Econometria. Walter Sosa Escudero
Paso 2: Estimar la relación de cointegración de largo plazo
•
Notar que si las series no están cointegradas, es probable que sea una regresión espúrea. Econometria. Walter Sosa Escudero
Paso 3: Test de raíz unitaria en los residuos Test de raíz unitaria, sin intercepto, 2 rezagos. ADF Test Statistic -3.641872 3 641872 1% Critical Value* Value 5% Critical Value 10% Critical Value
-2.6120 2 6120 -1.9478 -1.6195
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Se rechaza la hipótesis p nula de raíz unitaria en los residuos al 1%,, 5% y 10%.
Rechazamos la hipótesis nula de no-cointegración!!
Econometria. Walter Sosa Escudero