COLEGIO EL LIMONAR. MÁLAGA DEPARTAMENTO DE MÁTEMÁTICAS

RELACIONES DE EJERCICIOS. 1º ESO

RELACIÓN 5: ALGEBRA 1 – Lenguaje algebraico, monomios y polinomios

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es un conjunto de números y letras unidos o relacionados mediante operaciones matemáticas Ejemplos x+3

2x2 + y

3x – 2

2x2y – xy – 5y4 + 1

TÉRMINOS de una expresión algebraica Es cada uno de los sumandos de una expresión algebraica. Cada término tiene dos partes: •

Parte numérica o COEFICIENTE

•

Parte literal o INCÓGNITAS

Pongamos, por ejemplo, la siguiente expresión algebraica … donde podemos distinguir 3 términos

3xy – 2y + 4

3 Coeficiente

xy Parte literal

+4 Coeficiente

–2 y Coeficiente

Parte literal: NO TIENE

Parte literal

•

El signo del coeficiente es el que tiene delante

•

Si no tienen coeficiente es que es 1 … x = 1x, pero ese 1 nunca se pone

•

Los términos que no tienen parte literal se llaman TÉRMINOS INDEPENDIENTES

TIPOS de expresión algebraica según el número de términos Ejs: 2x2

•

MONOMIOS: Expresión algebraica de un solo término

•

POLINOMIOS: Expresión algebraica de más de un término

Ej:

o

BINOMIO: Polinomio de 2 términos

Ejs:

x+1

o

TRINOMIO: Polinomio de 3 términos

Ejs:

x2 + 3x – 2

2xy

– 5x3y

3x2 – 5x + 2y + 4 2x2 – 3x

x–y

2xy – 5y + x

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1    

GRADO de un monomio Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de sus incógnitas (o letras). Ejemplos:

•

2x … grado 1 (si la letra no tiene exponente es que es 1, ya que x1 = x)

•

3xy … grado 2 (x1y1 … sumo los exponentes 1+1 =2)

•

6xy2 … grado 3

•

22xy … grado 2 (solo se suman los exponentes de las incógnitas)

•

7x2y3z … grado 6

•

4 … grado 0 (los términos independientes no tienen incógnitas y por ello grado 0)

GRADO de un polinomio Se llama grado de un polinomio al mayor grado de sus términos (que son como monomios). Ejemplos:

•

2x + 3y + 2 … grado 1

•

2x + 2xy + 3y … grado 2

•

3x2y – 5x4 + y2 … grado 4

(grados de los términos: 1,1,0 … el mayor 1) (grados de los términos: 1,2,1 … el mayor 2) (grados de los términos: 3,4,3 … el mayor 4)

MONOMIOS O TÉRMINOS SEMEJANTES Son los que tienen EXACTAMENTE la misma parte literal, es decir las mismas incógnitas con los mismos exponentes cada una (no importa el orden, ya que el producto es conmutativo) Ejemplos:

•

2xy , 5xy ,

•

2x2 ,

•

3x2y

3x

•

4x y

•

– 3x3y2

NO son semejantes ya que la z no está en el primer monomio 2 2

,

– 3x y ,

SÍ son monomios semejantes

NO son monomios semejantes ya que no tienen el mismo exponente

5x2yz

,

2 2

1 − yx 2

x 2y 3

SÍ son semejantes, tienen las mismas letras con igual exponente NO son semejantes, porque los exponentes no son los mismos en

cada incógnita

VALOR NUMÉRICO de una expresión algebraica Es el valor (un número) que sale al sustituir las incógnitas por un valor cualquiera y realizar las operaciones matemáticas: Ejemplo:

2x + y2 + 3

… para x = 1; y = 2

2·1 + 22 + 3 = 2 + 4 + 3 = 9

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RELACIONES DE EJERCICIOS. 1º ESO

LENGUAJE ALGEBRAICO A. Expresa en lenguaje algebraico 1)

Un número cualquiera.

16) El cociente de dos números impares.

2)

Dos números cualesquiera.

17) El doble del cubo de un número.

3)

Dos números consecutivos.

18) El cubo del doble de un número.

4)

Un número par.

19) La mitad de la suma de dos números.

5)

Un número impar.

20) La tercera parte del producto de dos números

6)

Un número mas siete.

consecutivos

7)

El doble de un número.

21) La quinta parte del cubo de un número

8)

El cuádruple de un número.

22) El cubo de la quinta parte de un número.

9)

La tercera parte de un número.

23) Dos números cuya suma es 10

10) El cuadrado de un número menos el cubo de otro.

24) Un número y su opuesto

11) Un múltiplo de 8.

25) Un número y su inverso

12) El triple de un número menos su mitad.

26) Dos números que suman 25

13) La suma de dos números pares.

27) El cociente entre un número y su cuadrado

14) La diferencia de dos números.

28) El cuadrado de la mitad de un número.

15) El producto de tres números.

29) Dos números impares consecutivos. 30) El cociente entre un número par y el siguiente par.

B. Escribe estas expresiones con lenguaje algebraico. 1) El cociente de dos números.

11) El cociente entre el cubo de un número y su triple.

2) El cociente entre el producto de dos números y

12) El triple del cuadrado de un número. 13) El cuadrado del triple de un número.

el cuadrado de un tercer número. 3) Dos números que se diferencian en cinco unidades.

4) Un número 5 unidades menor que otro.

14) Un número menos su mitad más su doble más su cuadrado.

5) Veinticinco menos el cuadrado de un número.

15) El opuesto del inverso de un número.

6) La suma de un número al cuadrado y su consecutivo.

16) Dos números cuya diferencia es 7.

7) La suma de un número y su consecutivo al cuadrado.

17) Dos números cuya suma es 18.

8) El producto de un número y su consecutivo.

18) Dos números cuyo cociente es 4.

9) Dos múltiplos de tres consecutivos.

19) Dos números cuya división me da 10.

10) La diferencia entre el doble de un número y su mitad

20) El 25% de un número.

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3    

C. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes frases: 1) La edad de Juan dentro de 15 años.

12) La edad de Juan es ocho veces la de Rafael.

2) La edad de Carla hace 6 años.

13) Antonio tiene 20 euros más que Daniel.

3) La edad de mi madre que es el doble que la mía

14) El precio de X libros si cuestan 21 euros cada uno. 15) Un tren tarda tres horas menos que otro en

menos 6 años.

llegar de Málaga a París.

4) El perímetro de un hexágono. 5) El área de un cuadrado.

16) Repartir un caja de manzanas entre 6 personas.

6) El perímetro de un triángulo equilátero.

17) Lo que gano al vender una bicicleta por el doble

7) El perímetro de un triángulo isósceles.

de lo que la compré.

8) El perímetro de un triángulo escaleno.

18) Carmen ha nacido tres años antes que Marta.

9) El área de un rectángulo.

19) El 30% de un número.

10) Dividir 25 en dos partes.

20) Lo que pierdo al vender mi coche por la tercera

11) Lo que cuesta un lápiz si 15 lápices cuestan X euros.

parte de lo que lo compré.

D. Traduce a lenguaje algebraico. a) Si tengo un rebaño de X ovejas: 1. Número de patas del rebaño. 2. Número de patas si mueren 6 ovejas. 3. Número de ovejas si nacen 18 corderillos. (independiente del anterior) 4. Número de ovejas después de 2 años si cada año el rebaño crece un cuarto de su tamaño original. (independiente de los anteriores) 5. Número de orejas de oveja si del rebaño original mueren el 50% b) Si Ana tiene X euros: 6. Enrique tiene 100 euros más Ana 7. Susana tiene el doble que Enrique. 8. Carmen tiene 400 euros menos que Susana. 9. Pedro tiene la mitad del dinero de Susana. 10. Carlos tiene el 80% del dinero de Ana.

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RELACIONES DE EJERCICIOS. 1º ESO

ELEMENTOS DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

GRADOS

CONCEPTOS E. Rellena la siguiente tabla a partir de las siguientes expresiones algebraicas Expresión

Número de términos

Tipo de expresión

Número de incógnitas

Grado

Término independiente

1 2

43 x2yz2

3

x2 + y

4

x+1

5 6 7 8 9 10

F. Escribe una expresión algebraica con las condiciones que se piden: 1) Un binomio con una incógnita y un término independiente. 2) Un monomio con dos incógnitas y coeficiente negativo. 3) Un binomio, usando dos incógnitas y sin término independiente 4) Un trinomio, con una incógnita y un término independiente. 5) Un monomio con una incógnita y grado 4. 6) Un polinomio de cuatro términos, con dos incógnitas, dos coeficientes negativos, un coeficiente fraccionario y sin término independiente. 7) Un binomio con tres incógnitas, grado 4 y sin término independiente. 8) Un polinomio de 5 términos, grado 3, tres coeficientes negativos y con término independiente. 9) Un trinomio con dos incógnitas, de grado 2 y con término independiente. 10) Un polinomio de cuatro términos con tres incógnitas, grado 2 y término independiente.

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5    

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA G. Calcula el valor numérico de los siguientes monomios para los valores de las incógnitas que se indican: 1) 2)

7x2 – 4x

6)

3x 2 = 2y

7)

4x2y2 (para x = – 1; y = 2)

(para x = – 3) (para x = 4)

3)

6x3 (para x = 1)

4)

x2 = 2

(para x = – 2)

2 3 5) x = 3

8) – 6x3y4z5 9)

(para x = 3)

(para x = 6; y = – 1 )

xy = 2y

10) −

(para x = 5; y = 4; z = 0) (para x = 2; y = – 1)

x = y2

(para x = y = – 2)

H. Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para los valores de las incógnitas que se indican: 1) – 7x2 + 3x + 1 2) 2x + 3y 2

3) x + 3y

(para x = – 1 ) (para x = 2; y = – 1 )

2

7) – 5x3 + 2x2 – x + 1 2

8) (– x) + 2x + 1 2

(para x = – 1 ) (para x = – 2 )

(para x = 1; y = – 1 )

9) (– 2x) + 1

(para x = 0 )

4) 2xy + 3y

(para x = – 4 ; y = 2 )

10) 2xy2 + 3x2

(para x = 5; y = 0 )

5) 5x + 3y – 1

(para x = 6; y = 1/3 )

11) – x3y2 + 3x2

(para x = 1; y = – 1 )

3

6) – 2xy + y

2

(para x = – 1; y = – 2 ) 2

12) - x – 3xy + y (para x = – 1; y = – 1 )

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6    

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RELACIONES DE EJERCICIOS. 1º ESO OPERACIONES CON MONOMIOS Para sumar o restar monomios tienen que ser semejantes. ¿Cómo se hace? Se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal Ejemplos: •

2x + 3x = 5x

•

3xy – 5xy = –2xy

•

3x + 2y = no se pueden sumar porque no son semejantes

•

3x2 – 4x2 = – 7x2

Para multiplicar o dividir monomios NO tienen porqué ser semejantes, se pueden multiplicar o dividir todos los monomios entre sí. ¿Cómo se hace? Se multiplican o dividen los coeficientes (si al dividirlos no da exacto, se deja en fracción) y se multiplican o dividen las partes literales como potencias de la misma base (sumando o restando, respectivamente, los exponentes) Ejemplos: •

3x · 2xy = 6x2y

•

4x2y3 · (–3xy2) = –12x3y5

•

7 · 5x = 35x

•

5x 4 y 3z 5xy 2 = 3x 3 yz 3 3z 2

•

4x 2 y = 2x 2xy

I. Suma, resta, cuando se pueda, los siguientes monomios. Si no se puede, déjalo indicado. 1. x2 + 2x =

13. – 4y2 + 6y2 =

2. 2x + 3x =

14. 5xy – 8xy =

3. 4xy + 3yx =

15. – 2x3 – 3x3 =

4. 7x2y + 2 xy2=

16. 3xy – (– xy) =

5. 3ab + ab = 6. 5x – 3y = 7. 6x – 2x= 8. 12x2y3 – x2y3 = 9. 9xy – 9yx = 2

2

10. 2x y – 5x y = 11. 4x2y3 – 5y3x2 = 12. – 3x + 5x2 =

17.

1 3 x+ x= 3 4

18.

2 2 3 2 x − x = 5 10

19. − 3x + 20. −

1 x= 5

4 2 y x − 2 xy 2 = 3

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J. Multiplica los siguientes monomios: 1. x · x = 2

2. 2x · x =

1 2 3 x y = 4

13. (– 12xy) ·

3. 2x2 · 4x3 =

14. (– 3x2y) · (4x2y) =

4. 5xy · (– x) =

15. (2xy) · (xy4) =

5. (– 2x) · 5y = 2

6. 4xy · 4x = 7. 3x2y3 · 5x4y2 =

⎛ 1 2⎞ xy ⎟ = ⎝ 3 ⎠

16. (15 ab2) · ⎜ −

⎛ 1 2⎞ ⎛1 2⎞ xy ⎟ · ⎜ xy ⎟ = ⎝ 3 ⎠ ⎝2 ⎠

8. (– 6x) · x2 =

17. ⎜ −

9. (– 3x) · (– 2x2)

18. 3x · (– 2y) · 3x2 =

10. 12x2 ·

1 2 x = 2

11. 3x2y · (– 2x2y) = 12. 3x2y ·

19. (– 2x) · (– 2x) · (– 2x2) =

(

)

⎛1 ⎞ ⎛ 2 ⎞ xy ⎟ · − 6 x 2 · ⎜ − xy 2 ⎟ = ⎝2 ⎠ ⎝ 3 ⎠

20. ⎜

1 xy = 3

K. Divide los siguientes monomios (deja el resultado en fracción si fuera necesario): 1. x : x = 2.

2x2 = x

3.

2x2 = 4 x3

4.

5 xy = (−2 x)

5.

6.

7.

8.

9. 10.

− 2x = 5 xy 4 xy 2 = 4x

3x 2 y 3 = 5 xy 2 z 2 25 x5 y 4 z 2 = 5x 4 y 2 2x4 y 4 = 8 x5 y − 6x = 2x2

11.

− 3x = − 2x2

(

12. 12x2 :

)

1 2 x = 2

− 3x 2 y 13. = 2x2 y 14. 3x2y :

15.

1 xy = 3

36 x 4 y 5 z 8 = − 6 x 2 yz 2

16. (– 12xy) :

1 2 3 x y = 4

(− 4x y )= 2

17.

(− 6 xy )

⎛ 1 2⎞ xy ⎟ = ⎝ 3 ⎠

18. (15 ab2) : ⎜ −

⎛ 1 2⎞ ⎛1 2⎞ xy ⎟ : ⎜ xy ⎟ = ⎝ 3 ⎠ ⎝2 ⎠

19. ⎜ −

⎛1 5 2 4⎞ ⎛2 3 2⎞ x y z ⎟ : ⎜ xy z ⎟ = ⎝2 ⎠ ⎝3 ⎠

20. ⎜

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8    

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RELACIONES DE EJERCICIOS. 1º ESO L. Opera las siguientes expresiones simplificándolas todo lo posible (atento a la jerarquía): 1. 4x + 5x2 + 3x – 7x2 =

11. (x – y) – 2x – 2y =

2. x – y – 3y – 4x =

12. 4xy + x·(y – 1) + 3x =

3

2

3. 5x + 2x · x =

13. 2y – (3y + 2y2) =

4. 2x3y + 3x · 3x2y =

14. – 4x + 3x + 2x =

5. 2x – 3x · x – 2x2 =

15. – (xy + 2xy) – 2xy =

6. a – (a – b) – (– b) + 3a =

16. 2·(ab2 + 2b) – 3ab2 – 2a2b=

7. 3x – (1 – x) =

17. 2x·(2x2 + x – 2) – 3x2 +1 =

8. 2x + 2·(3x – 2) =

18. 3y·(2y – 6) – (y2 + 2y – 3) =

9. 2·(x – 1) – (– x – 1) =

19. xy – 2·(5x – 7yx + 3) – 4 =

10. 3·(x – 2) – 3·(1 – x) =

20. – (xy + 3) –2x + 3xy – x·(y – 2) + 4x – 5xy =

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9    

OPERACIONES CON POLINOMIOS M. Suma y resta los siguientes pares de polinomios Ej

Polinonio A

Polinomio B

1.

2x – 2

3x +1

2.

2x2 + x

2x – 3

3.

5x2 + 3x +2

2x2 – 4

4.

3x2 – 1

x3 +3x2 – 2

5.

6x4 – 3x2 – 4

2x3 – x2 + 4

6.

3x2 – 5x +1

x2 – 7x + 3

Suma (A + B)

Resta (A – B)

N. Dados los siguientes polinomios, realiza entre ellos las operaciones que se indican: P(x) = x2 + 3x – 1

Q(x) = x + 2

R(x) = 2x2 – x + 2

S(x) = –3x2 + 2x – 1

1.

Q(x) + T(x)

6.

R(x) – 2·S(x)

2.

Q(x) – T(x)

7.

– P(x) – S(x)

3.

P(x) + R(x)

8.

– 3·P(x) – R(x)

4.

P(x) – R(x)

9.

2·R(x) – 2·Q(x)

5.

R(x) + S(x)

10.

S(x) –

T(x) = 2x – 4

1 T(x) 2

O. Dados los siguientes polinomios, realiza entre ellos las operaciones que se indican: A(x) = 2x4 + 3x2 +x – 1

B(x) = –x3 + 4x – 5

C(x) = 3x2 + 4x + 3

1.

A(x) + B(x) + C(x)

6.

– A(x) + D(x)

2.

B(x) – D(x)

7.

1 D(x) + C(x) 2

3.

A(x) – B(x) + C(x)

8.

A(x) – C(x) + D(x)

4.

D(x) – B(x) – A(x)

9.

B(x) – 2A(x)

5.

– C(x) + A(x) – D(x)

10.

D(x) + 2B(x) + C(x)

D(x) = 2x3 + 4x2 + 8x – 6

P. Multiplica o divide los polinomios que se indican: A(x) = 2x4 + 3x2 +x

B(x) = –x2 – 5

C(x) = 3x2 + 4x + 3

D(x) = 3x

1.

D(x) · E(x)

5.

A(x) · B(x)

2.

– C(x) · E(x)

6.

A(x) : E(x)

3.

B(x) · C(x)

7.

– C(x) : D(x)

4.

B(x) · [–E(x)]

8.

– C(x) · B(x)

E(x) = 2x2

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