Eduacero.. Una revista metálica estudiantil

COMPARATIVA DE DIVERSOS MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MOMENTO CRÍTICO DE PANDEO LATERAL Noemí Duarte Gómez Doctoranda del Departamento Ingeniería de la Construcción (DEC). Camins Barcelona-Tech E-mail: [email protected]

RESUMEN La determinación del momento crítico de pandeo lateral en estructuras en las que el cordón comprimido no se encuentre arriostrado arr en etapa constructiva, es un aspecto relevante en el cálculo de la inestabilidad de estructuras flectadas en su plano. Este es un estudio en el que se comparan diversas formulaciones y metodologías con las que cuantificar dicho valor. Palabras clave:pandeo pandeo lateral, lateral inestabilidad por flexión, estructuras metálicas

1. ITRODUCCIÓ Son on muchas las estructuras reales en las que es necesario abordar el estudio del fenómeno del pandeo lateral, siendo las más habituales las secciones bijácenas en puentes o pasarelas en las que o bien en su fase constructiva o bien en la situación ación definitiva el cordón comprimido no se encuentra arriostrado por la losa superior. Un fenómeno similar al del pandeo lateral es el del pandeo del cordón comprimido en puentes de celosía sin cerramiento superior. Para abordar el cálculo de la inestabilidad idad por flexión fuera del plano de la viga (esté ésta arriostrada lateralmente o no), existen formulaciones de carácter general, recogidas en la EN 1993-1-11 [1], basadas en los mismos procedimientos que el análisis por inestabilidad frente a fuerzas axiles. axile En la fase de diseño el proyectista se encuentra con tres posibles formas de abordar el cálculo del pandeo lateral: mediante las formulaciones generales (poco aplicables en puentes), realización de un estudio detallado 3D del problema con elementos finitos o programasespecíficos de análisis de pandeo lateral, o mediante modelos simplificados que

convierten erten el fenómeno del pandeo lateral en un problema de inestabilidad por compresión del cordón comprimido.. Estos métodos simplificados quedan recogidos en e diferentes normativas como EN1993-22 [2] o RPX-95 RPX [3]. El objetivo de este trabajo es el estudio y comparación paración de los diversos métodos de análisis centrándose especialmente en cuantificar y validar los resultados del método simplificado.

2. ESTADO DEL COOCIMIETO OOCIMIETO

2.1.

Formulación del fenómeno

El pandeo lateral es un fenómeno de inestabilidad que se presenta en piezas p flectadas con insuficiente arriostramiento lateral y cargadas según el plano perpendicular al eje de máxima inercia. Para un valor determinado del momento exterior la pieza empieza a flectar y girar fuera del plano, tal y como se indica en la figura 1. La coacción que impone el alma al desplazamiento transversal del ala comprimida, como consecuencia de su inestabilidad provoca el giro torsional de la sección, de manera que el pandeo por flexión del ala en su plano se convierte en un pandeo por torsión. torsión El valor del momento para el cual se produce la

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inestabilidad se conoce como momento crítico (Mcr).

Fig.1: Deformación por pandeo lateral de una sección en doble T

El cálculo básico del momento crítico, para un elemento de sección constante doblemente simétrica y apoyos tipo horquilla (apoyos que impiden el giro por torsión), solicitado por un momento de valor constante, está gobernado por tres ecuaciones diferenciales planteadas en la configuración deformada de la viga: flexión según el eje η, flexión flexi alrededor del eje ζ y giro de torsión φ. El giro φ y la flexión alrededor del eje ζ se encuentran acoplados, siendo la flexión alrededor del eje η un problema de flexión pura. La ecuación diferencial que rige el problema de pandeo lateral es del tipo:

La ecuación (2),, presente en la gran mayoría de normativas, puede plantearse a su vez, según lo establecido en la RPX-95 RPX [3] como suma vectorial del momento crítico debido al comportamiento de la pieza en torsión uniforme y el momento crítico para torsión no uniforme (que genera el alabeo de la sección).

Mcr = Mcr,t2 +Mcr,w2 =

π Lc

EIz·GIt +

π2 Lc2

EIZ·EIw (3)

siendo: -

Mcr,t= momento crítico debido a la l pieza en torsión uniforme Mcr,w= momento crítico debido a la pieza en torsión no uniforme (por efecto de la coacción a la torsión que ejerce el apoyo tipo horquilla)

La mayoría de casos existentes en la realidad distan del problema canónico anteriormentee expuesto. La ecuación diferencial que gobierna el fenómeno de pandeo lateral, debería resolverse para cada nueva situación de cálculo.

2

EI w

d 4ϕ ( x) d 2ϕ ( x) M y − Gt − ϕ ( x) = 0 (1) dx4 dx 2 EI Z

Para el caso básico analizado de viga biapoyada de sección simétrica en I con apoyos tipo horquilla y momento de valor constante, constante la solución de (1) proporciona el siguiente valor de momento crítico de pandeo lateral: lateral

La expresión (4) es una generalización de la (2) en la que se contempla, a través de diversos coeficientes, la posibilidad posibil de tener diferentes tipos de carga, diferentes condiciones de apoyo o bien el hecho de que la sección no sea doblemente simétrica. Los coeficientes básicos que gobiernan la expresión (4) ( son: -

π EI z  I w 2

M cr =

Lc

2

Lc GI t   + 2   I z π EI z  2

(2) -

siendo: -

E: módulo de elasticidad del acero. G: módulo de elasticidad asticidad transversal del acero. Iz: inercia de la sección en relación con el eje z-z. It: módulo de torsión. Iw: inercia al alabeo de la sección Lc: distancia entre apoyos que coaccionan el pandeo lateral

-

C1, C2 y C3 : factores que dependen del tipo de carga y de las condiciones de apoyo k; kw: coeficientes que dependen del tipo de apoyo. zg: distancia entre la coordenada del punto de aplicación de la carga (za) y la coordenada del centro de esfuerzos cortantes (zs) (negativa negativa si la carga está situada entre el centro de esfuerzos cortantes y el ala traccionada). zj:característica sectorial de la sección (zj=0 en secciones doblemente simétricas). Relaciona la posición del centro de esfuerzos cortantes con el centro de gravedad de la sección

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

2



2 2 π 2 EI z  I w  k  ( kLc ) GI t    + - C z -C z  M =C ⋅ + C z -C z 2 g 3 j 2 g 3 j 2 cr 1 (kL ) 2 k  I π EI z  z w  c

2.2.

(

) (



(4)



Análisis global de una estructura flectada en su plano mediante métodos no lineales.

EN 1993-1-1 [1] así como EAE [4] permiten analizar la capacidad resistente de una estructura flectada (Mb,rd) en su plano mediante métodos no lineales en los que se considere tanto la no linealidad geométrica como del material. Los efectos de segundo orden, debidos a la deformación de la estructura, se consideran incorporando en el modelo las imperfecciones geométricas iniciales correspondientes, generalmente afines al primer modo de pandeo, es decir, se realiza un análisis de estabilidad estab global de la estructura.Este Este método de análisis es aplicable a vigas con diferentes geometrías (simétricas, no simétricas o de inercia variable), así como a elementos estructurales con diversas condiciones de vinculación.

estabilidad, las normativas [1] y [4] recogen la influencia de los efectos de segundo orden en la reducción de la capacidad resistente (Mb,rd) de ciertos elementos mediante coeficientes reductores incluidos en sus formulaciones resistentes, siguiendo con los mismos criterios establecidos en otros fen fenómenos de inestabilidad. A partir del momento crítico de pandeo lateral (Mcr) y del valor de la curva de pandeo consideradase determina el valor del coeficiente reductor (χLT) por el que se debe multiplicar el momento máximo áximo resistente de la sección. M b , rd = χ LT ·W y ·

En el caso de elementos comprimidos, com los métodos de cálculo de estabilidad global de estructuras así como las imperfecciones geométricas iniciales, quedan correctamente recogidas en la EN 1993-1-1 [1]. [1] Sin embargo las imperfecciones asociadas al problema de inestabilidad por pandeo lateral no están claramente definidas en las normativas vigentes. vigentes En estos stos casos, la incorporación al modelo de dichas imperfecciones geométricas afines a las formas de pandeo no es directa. Durante la inestabilidad por flexión de la pieza, los valores dee las deformaciones geométricas iníciales transversales (η) y torsionales (φ), (φ) ver figura 1, se encuentran acopladas, no quedando recogidos en la normativa mecanismos de cómo proceder para amplificar la deformada afín al modo crítico de pandeo.

Estado límite ite de inestabilidad según E 1993-1-11 y EAE-07. EAE

Para evitar un cálculo sofisticado mediante un análisis global complejo de

fy

(5)

γ m1

−

1

χ LT =

2.3.

)

−

φLT + φLT 2 − λ LT

siendo -

2

≤ 1 ; λ LT =

Wy · f y M cr

(6)

fy: el límite elástico del acero Wy: el módulo resistente de la sección según la clase λLT:esbeltez relativa de la sección χLT: factor reductor asociado a la correspondiente esbeltez relativa

En concreto, esta formulación es válida para elementos de sección transversal constante, no arriostrados, sometidos a momento flector alrededor de su eje fuerte. La determinación del Mcr como se ha visto en el apartado 1.1 depende de muchos parámetros. tros. La actual EN-1993-1-1 EN [1] proporciona simplemente la formulación del momento crítico para el caso de una viga biapoyada según la formulación (2). ( Al igual que EC3,, EAE [4] propone que el Mcr se obtendrá considerando las características de la sección transversal bruta y

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teniendo en cuenta los estado de carga, la distribución real de momentos flectores y los arrastramientos laterales

M cr =

Por ello, nuevamente el paso clave es la determinación del momento crítico de pandeo lateral debiendo ser calculado considerando cons las condiciones de apoyo, cargas y geometrías reales del problema.

I L 2GI  M cr ≈ cr ,ala ·2  w + c 2 t   I z π EI 

En la actualidad existen algunos softwares diseñados específicamente para obtener el valor de Mcr a partir de una modelo de elementos tipo barra como son el LTBeam o el Alpha_cr. Estos stos programas determinan el Mcr a partir de la solución de un problema de autovalores, considerando siete grados de libertad por nodo en lugar de los seis clásicos, incorporando en cada nodo la curvatura a torsión (θ’x), que permite calcular el alabeo cualquier punto de la sección.

1/2

π 2 EI z 2  I w Lc 2GI t  ·  +  Lc 2 2  I z π 2 EI 

(7)

1/2

(8)

Para la gran mayoría de perfiles laminados abiertos el módulo de torsión It es muy pequeño y consecuentemente la contribución al momento crítico de la parte de torsión uniforme (de Sant-Venant) Sant es muy pequeña,pudiéndose udiéndose despreciar. Adicionalmente, en las secciones en I simétricas la inercia Iw se puede expresar

I z h2

Iw ≈

(9)

4 Consecuentemente

M

cr

=

π 2 EI z h L2

(10)

2

Para el caso de secciones simétricas el axil crítico del cordón comprimido se puede expresar como Fig.2: Grados de libertad considerados por nodo en el programa LT-Beam

2.4.

Métodos simplificados de cálculo basados en el pandeo cordón comprimido sobre lecho elástico.

En muchas ocasiones el estudio del pandeo lateral de una viga se asimila al pandeo de su cordón comprimido. La EN 1993-1-1 1993 [1] recoge esta posibilidad como un método simplificado para secciones en I. Estas metodologías ampliamente recogidas en [5] y [6]. [

quedan

En efecto, la expresión (7) ( se puede expresar fácilmente en términos de axil crítico del ala comprimida, para el caso de elementos estructurales de secciones simétricas.

cr

=

π 2 EI c L2

≈

π 2 EI z 2 L2

(11)

Por tanto, el momento crítico de pandeo lateral de la sección se puede determinar de forma aproximada como el producto del axil crítico del cordón comprimido por la separación entre ejes de alas M cr = cr ·h

(12)

donde -

Ncr: es el axil crítico del cordón comprimido h: distancia entre centros de gravedad de las almas de la sección.

Esta metodología es la idea básica de los procedimientos simplificados. El problema de pandeo lateral se simplifica al análisis del cordón comprimido, o el ala en compresión

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(ala+1/3 de alma comprimida), frente a pandeo como si de un pilar con axil variable se tratase. Para perfiles mono--simétricos, la expresión (12) se mantiene, determinándose Ncrcomo el axil crítico del ala más un tercio del alma comprimida. En muchas ocasiones en el diseño de puentes la presencia de coacciones laterales, pórticos en forma de U, hacen que q el cordón comprimido se compruebe como un elemento con apoyos elásticos como se verá más adelante. Las disposiciones de dichos arriostramientos stramientos obedecen a la necesidad de coaccionar el movimiento transversal del cordón comprimido. Las distancias entre diafragmas transversales fijadas en la RPX-95 RPX [6](LD) se basan en las formulaciones simplificadas del cordón comprimido con apoyos elásticos. elá La formulación que fija la RPX-95 95 para el cálculo de la longitud de pandeo del cordón comprimido (13)) se basa en la solución de Engensser o bien de Timoshenko para el problema de carga crítica de un soporte apoyado sobre muelles. El soporte comprimido es, en este caso, caso el cordón comprimido.

Lp = π 4

1 EI cordon·a·δ 4

(13)

siendo -

3.

a: la distancia entre diaffragmas δ: la deformación ón que estos sufren por la fuerza unidad

COMPARATIVA DE LAS FORMULACIOES.

Según lo expuesto el valor del momento crítico depende de muchos factores, entre otros de la formulación o metodología de su cálculo, siendo la cuantificación de su valor un problema fundamental en la posterior obtención delaa resistencia de cálculo a pandeo lateral Mb,rd. Se detallan diversos casos y situaciones donde se estudia la validez de los diferentes métodos de cálculo del momento crítico.

3.1.

Caso 1.

Viga biapoyada de 20 metros de luz, de sección constantey simétrica, simétrica con apoyos tipo horquilla y momento constante de valor 1kN·m. Las características seccionales son b=500 mm, espesor de ala 30 mm, espesor de alma 12 mm y 1900 mm de altura de alma. Se compara el Mcr obtenido de la siguiente manera: mediante la expresión (2), ( mediante el programa Alpha_cri y mediante la expresión aproximada (122). Los resultados obtenidos son: 1/2

π 2 EI z  I w Lc2GIt  · +  = 3509k ·m Lc 2  I z π 2 EI 

a)

M cr =

b)

M cr , alpha _ cri = 3583 k ·m

c)

M cr = cr ·h = 1619, 23·1,93 = 3125,1k ·m

Observaciones: Los valores de Mcr obtenidos en a) y b) son muy similares ya que la viga es doblemente simétrica y la condiciones ciones de apoyo y carga son las estrictamente canónicas, canónicas siendo por ello válida la expresión (2) o bien el cálculo mediante un modelo numérico que resuelve la ecuación diferencial (1). Sin embargo, el valor del Mcr calculado a partir del axil crítico del cordón comprimo,, caso c), es sensiblemente inferior al obtenido con las expresiones a) y b) ya que en el método simplificado del cordón comprimido se desprecia la contribución co de la torsión uniforme.

3.2.

Caso 2.

Vigabiapoyada de 20 metros de luz, de sección constante pero asimétrica, asimétrica con apoyos tipo horquilla y momento to constante de de 1kN·m. Se han realizado dos estudios: A. Las características seccionales son: son ala superior de b=425 mm y espesor de ala 30 mm, espesor de alma 12 mm y 1900 mm de altura de alma y ala inferior de 700 mm con espesores tf variables

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B. Las características seccionales son: son ala superior de b=425 mm y espesor de ala 30 mm, espesor de alma 12 mm y 1900 mm de altura de alma y ala inferior de 25 mm de espesor con binfvariable Se compara nuevamente el Mcr obtenido con las siguientes metodologías (nótese que en este caso la expresión (2) no es de aplicación por ser tratarse de sección asimétrica): -

Opción a) mediante diante el programa Alpha_cri Opción b) mediante la expresión generalizada (4). Opción c) mediante ediante el método simplificado, formulación (12)

21

1870

1908,5

1595,6

25

1951,2

1935,5

1597,3

30

2077,4

1998,5

1599,3

35

2240

2118,3

1601,4

40

2447

2349

1603,5

Tabla 2. Soluciones del estudio A

La tabla 3 recoge los valores del estudio B cuya sección tiene un ancho de ala inferior, binf ,variable y un espesor constante de tf =25 mm. C3·zj (mm)

Mcr(a) (k·m)

Mcr(b) (k·m)

Mcr (d) (k·m)

425

0

1825

1831

1595

450

78,3

2040

1845

1595

500

219,38

2083

1872

1595

binf

550

338,95

2152

1896

1595

600

438,95

2168

1918

1595

650

519,74

2217

1984

1595

700

586,5

2255

1955

1595

Tabla3: Soluciones del estudio B * La variación del momento crítico es debida a la variación de la distancia entre centros de gravedad gr de las alas de la sección (h).

Fig3: Definición geométrica de la sección de estudio caso 2

Los resultados obtenidos para el caso de estudio A (sección de binf=700 mm y twinfvariable) en función de las 4 opciones de cálculo del Mcr se resumen en las tablas 1,2. 1,2 zs C3·zj twinf(mm) (mm) (mm) 20

480,9 523,9

21

483,8 537,6

25

488,5 586,5

30

484,1 639,1

35

473,5 685,9

40

460

Se observa como omo la influencia del valor de C3·zj (siendo C3=1) condiciona el valor de Mcr, A medida que aumenta el valor de la característica seccional (zj) el valor de Mcraumenta. Los valores res obtenidos con el programa Alpha_cri son ligeramente superiores a los obtenidoss con la formulación general del caso b. El valor del momento crítico calculado a partir del axil crítico es independiente del valor zj y por ello es constante y de valor inferior infe al obtenido con las formulaciones de los casos a y b ya que en este método no se considera la contribución de la torsión uniforme. uniforme

a)

728,8

Tabla 1. Valores de zsy C3zj para caso A

b) Mcr (a) Mcr(b) tfinf(mm) (k·m) (k·m) 20

1125

1904

c)

Mcr(d)* (k·m) 1595,2

Fig,3: Valores de momento crítico en (Kn·m) en función de

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la característica sectorial sección y formulación de cálculo, cálculo Estudio B

3.3.

Caso3.

Se analiza el ejemplo de un puente isostático bijácena del Manual de aplicación de la RPX-95 95 [5] sometido a una carga uniformemente iformemente repartida de 1kN/m (figura (f 4).

que no recogen en sus expresiones la presencia de coacciones laterales a la inestabilidad por flexión de la viga. Para el caso de estudio la comparativa de valores de Mcr se realiza entre dos casos: -

La sección de la viga,, de 30 metros de luz, está formada mada por un cordón superior de 450x25 mm, alma de 1900x12 mm y platabanda inferior de 600x40 en la zona central y de 600x25 mm en los extremos. El acero es S355. S355 Para controlar la inestabilidad por flexión de la estructura, see disponen diafragmas separados cada seis metros, a modo de pórticos en U. Estos diafragmas han sido dimensionados según los criterios de longitud entre arrostramientos y rigidez fijada por la RPXRPX 95.Loss diafragmas están compuestos por una viga transversal de sección simétrica en I con alas de 350x15 mm y alma de 470x10 mm, y por dos montantesde alas de 240x12 y 350x15 y alma de 150x10mm. A partir del siguiente esquema de cálculo se puede cuantificar la rigidez del diafragma ante solicitacionesque que tiendan a flectar los montantes.

Caso A:se se realiza un análisis simplificado de pandeo del cordón comprimido considerando una ley de axiles variable ble y las coacciones laterales existentes..La ley variable de axiles se ajusta a la variación de momento flector de la viga sometida a una carga uniformemente repartida de 1kN/m. Caso B: mediante ediante el programa prog Alpha_cri,see modelizala modeliza viga con las coacciones laterales ejercidas por los arriostramientos. aso A Observaciones caso

Mediante un programa de cálculo comercial de estructuras basado en el método de los elementos finitos (ROBOT) se ha determinado, mediante un análisis de autovalores, el axil crítico del cordón comprimido, cuyo valor es de 11.740kN.El 11 momento crítico se determina ermina a partir de la expresión c, siendo:

M cr = cri ·h = 11.740 k ·1, 925m = 22.599 k ·m

Fig,5: 5: Esquema de cálculo para evaluar la rigidez del pórtico

La deformación del pórtico de la figura 5 ante la aplicación de una carga unitaria, obtenida en el ejemplo dee la RPX-95, RPX es de 0,0154 mm/kN, Laa rigidez del pórtico es por tanto de 65.000 kN/m. Estos pórticos invertidos cumplen con el criterio de suficiente rigidez, es decir la longitud de pandeo verifica la expresión (13). Para este ejemplo,, la existencia de apoyos elásticos intermedios, hace que la formulación (2) y (4) no sean de aplicación, ya

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:

Fig.4. Cordón dón comprimido con ley variable de axiles y coacciones laterales y deformada asociada al primer modo de pandeo del cordón comprimido.

Fig,6: Deformada del primer modo de pandeo y factores críticos (Aplha_cri) considerandoque los diafragmas son infinitamente rígidos.

Fig,7: Deformada del primer modo de pandeo y factores críticos (Aplha_cri) considerándola la rigidez real de los diafragmas

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De la figura 4 se observa la validez de la hipótesis de rigidez de los diafragmas ya que coaccionan el movimiento del el cordón superior de la viga cada seis metros. Observaciones Caso B Paralelamente se analiza la viga con el programa Alpha_cri considerando en primera instancia que los diafragmas son infinitamente rígidos. En la figura 6 se puede observar como la deformada del primer modo de pandeo, coincide con la obtenida en la figura 5. El momento crítico es el obtenido al multiplicar m el momento elástico (112.55 kN·m) por el factor crítico siendo su valor de 29.521 521 kN·m. kN·m Se realiza el mismo cálculo con la rigidez real de los muelles (65.000 (65 kN·m), figura 7. En este caso, se comprueba como las longitudes de pandeo son sensiblemente sensiblem mayores a seis metros en los tramos intermedios, es decir los diafragmas no son infinitamente rígidos. El valor del momento crítico para este caso es de 29.081 081 kN·m. kN·m Métodos Alpha_cri con diafragmas rígidos Alpha_cri con rigidez real diafragmas Análisis cordón comprimido

Mcr

La formulación generalizada (4), puede ser aplicada con bastante exactitud, en todos aquellos casos en que la sección transversal sea monosimétricaa y sin presencia de arriostramientos laterales.Ante Ante configuraciones asimétricas de viga o bien situaciones de carga y vinculaciones complejas, el momento crítico de la estructura debe obtenerse a partir de un análisis de autovalores. Los métodos simplificados, simplifi que asimilan el cálculo del problema de pandeo lateral al del pandeo del cordón comprimido. comprimido son generalmente conservadores, pudiendo llegar a proporcionar momentos críticos entre un 30- 40% más bajos. Un estudio más detallado, en el que se analicen diversos factores como la influencia de diversas geometrías, la rigidez de los arriostramientos tanto internos como de apoyo, o bien diferentes tipos de carga sería importante, para validar la utilización de dichos métodos simplificados como herramientas de d diseño y determinar cuan conservadores son.

5. REFERECIAS

(kN·m)

29.521 29.081 22.599

4. COCLUSIOES. La obtención del momento crítico de pandeo lateral es una de las claves en el cálculo de inestabilidad de una viga o elemento flectado en su plano. El valor de Mcr depende de muchos factores: tipo de carga y punto de aplicación, aplicación geometría de la sección de la viga, presencia de diafragmas laterales que coaccionen el movimiento de la viga, etc. La aplicación de las formulaciones existentes en las normativas y bibliografía, afía, pueden proporcionar valores diferentes en función de si el problema analizado dista del caso canónico. canónico

[1] EN 1993-1-1. 1. European Committee for Standardization Eurocode 3.Design 3. of steel structures. Part 1-3: 3: General Rules. [2] EN1993-2.2006European .2006European Committee for Standardization Eurocode 3. Design of steel structures. Part 2: Steel Bridges. [3] Recomendaciones para el proyecto de puentes mixtos para carreteras RPX-95. RPX Ministerio de Fomento. Centro de Publicaciones. 2003. Serie normativas. normativas [4] Instrucción de acero estructural (EAE).Ministerioo de fomento 2012. [5] Manual de aplicación de las Recomendaciones RPM-RPX/95 RPX/95.Ministerio de Fomento. Centro de Publicaciones. Publicaciones 2003. Serie normativas. [6] Proyecto y construcción de puentes metálicos y mixtos.Viñuelas,L, Viñuelas,L, Martinez,J, Martinez, PublicacionesAPTA. 2010.

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