Compendio de Cálculo Estructural II – FCEFyN – UNC

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Capítulo 7

PANDEO DE CILINDROS 1 ECUACIONES PARA CILINDROS DELGADOS El análisis de un cilindro delgado en compresión se inicia definiendo dos coordenadas curvilíneas ortogonales ( x, θ ) sobre la superficie media del sistema indeformado y una tercera coordenada (z) en dirección perpendicular a las dos anteriores, según se muestra en la Figura 1-a. Los desplazamientos también están indicados en la Figura 1-a y se denotan u, v y w. Nos concentraremos en el análisis de la estabilidad de cilindros delgados, por ser estos muy empleados en aplicaciones prácticas.

a) Coordenadas y desplazamientos

b) Esfuerzos resultantes sobre un elemento de cilindro

Figura 1: Convención de signos para las coordenadas cilíndricas, los desplazamientos y los esfuerzos resultantes sobre un elemento de cilindro

Los esfuerzos resultantes y las ecuaciones constitutivas se definen de manera similar al caso de placas, según se indica en la Figura 1-b. Notar que a diferencia del caso de la placa, aquí el sentido positivo del eje z es hacia arriba. Para deducir las relaciones cinemáticas se adopta la hipótesis de Kirchhoff donde se asume que: “las rectas normales al cilindro medio indeformado permanecen rectas y son normales al cilindro medio deformado”. Además, se desprecian las tensiones normales en los planos paralelos al cilindro medio. Planteando el equilibrio de fuerzas (tres ecuaciones) y de momentos (dos ecuaciones), todo en el sistema deformado, se obtienen ecuaciones similares a (15) hasta (19) del Capítulo 6 para el caso de placas. También aquí es posible eliminar los cortes, Qx y Qθ , obteniendo ecuaciones similares a las (24) a (26) del Capítulo 6:

r

∂N x ∂N xθ 0 + = ∂x ∂θ

(1)-a

r

∂N xθ ∂Nθ 0 + = ∂x ∂θ

(1)-b

 Nθ ∂ 2 w  N ∂2w 2 ∂2w − Nx + N + + D ∇4 w + θ = p xθ 2 2 2  ∂x r ∂ x ∂θ r ∂θ  r 

(1)-c

donde r es el radio medio del cilindro, w es el desplazamiento transversal. Los esfuerzos membranales Nx, Nθ, Nxθ, y la presión p están indicados en la Figura 1-b, ∇ 4 es el bilaplaciano en coordenadas cilíndricas, mientras que D es la rigidez flexional, definida en la ecuación (32) del Capítulo 4: ∇4 =

(∇ )

2 2

=

∂4 2 ∂4 1 ∂4 + + ∂ x4 r 2 ∂ x 2 ∂θ 2 r 4 ∂θ 4

D=

E h3 12 (1 − ν 2 )

(2)

Las ecuaciones (1) relacionan los desplazamientos transversales con los esfuerzos membranales y la carga transversal y son conocidas como las ecuaciones de Donnell.

125

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Notar que en el caso lineal de flexión se desprecia el corchete en (1)-c porque se considera que los cambios de curvatura son pequeños. Sin embargo, la contribución membranal asociada a la curvatura propia del cilindro mantiene acoplado el sistema (1) a través de ( Nθ / r) en (1)-c. Las ecuaciones lineales membranales se obtienen haciendo w = 0 : ∂N x ∂N xθ ∂N xθ ∂Nθ 0 0 r = + r = + = Nθ − p r 0 (3) ∂x ∂θ ∂x ∂θ

2 CARGAS CRÍTICAS PARA CILINDROS DELGADOS Las cargas críticas para distintos tipos de carga se pueden obtener haciendo un análisis de bifurcación del equilibrio similar al realizado en el Capítulo 6 referido a pandeo de placas. Los desplazamientos se pueden escribir como en el caso de placas,

ui = ui0 + ui1

i= 1, 2, 3

(4)

0 i

donde: u corresponde a un estado de equilibrio antes del incremento o perturbación, y está sobre la trayectoria principal, que es lineal; ui1 son perturbaciones infinitamente pequeñas y ui representa a un estado de equilibrio adyacente, cuya existencia se investiga. Repitiendo una formulación similar a la usada en el caso de placas, se obtienen ecuaciones equivalentes a las (29) del Capítulo 6 referido a pandeo de placas: ∇ 4u1 = − ∇ 4 v1 = −

ν ∂ 3 w1 r ∂ x3 2 +ν

r2

+

1

r3

∂ 3 w1 ∂ x ∂θ 2

(5)-a

∂ 3 w1 1 ∂ 3 w1 − ∂ x 2 ∂θ r 4 ∂θ 3

(5)-b

 Nθ0 ∂ 2 w1  ∂ 2 w1 2 0 ∂ 2 w1 1 + ν 2 ∂ 4 w1 (5)-c D ∇8 w1 = ∇ 4  N x0 + N + − C  xθ ∂ x2 r ∂ x ∂θ r 2 ∂θ 2  r2 ∂ x4  2 donde ∇8 es el cuadrilaplaciado ∇8 = (∇ 4 )= y C E h / (1 − ν 2 ) es la rigidez membranal definida en la ecuación (27) del Capítulo 4. Las ecuaciones (5) se conocen como las ecuaciones de estabilidad de Donnell en forma desacoplada. Notar que u 1 , v1 y w1 son perturbaciones que se agregan al estado de equilibrio u 0 , v 0 y w0 , y los esfuerzos membranales N x0 , N x0θ y Nθ0 corresponden al estado de equilibrio fundamental u 0 , v 0 y w0 . A continuación se presentan soluciones clásicas del problema de bifurcación del equilibrio, para varios tipos de carga (axial, lateral y presión hidrostática).

2.1 Carga axial y bordes simplemente apoyados En la Figura 2 se muestra un cilindro de largo  , radio r y espesor h, que soporta una carga axial de compresión P. La trayectoria fundamental es aproximada por una solución membranal: = N x0 σ= x h

P

;

2π r

= Nθ0

0 = N xθ

0

(6)

y las condiciones para bordes apoyados son: w1 =

∂ 2 w1 0= ; ∂ x2

0

en x = 0 y en x = 

(7)

Figura 2: Formas de pandeo de un cilindro con carga axial: m semiondas axiales y n ondas circunferenciales

La solución es de la forma: w 1 = Amn sen (n θ ) sen ( m x / r )

(8)

donde: Amn es una constante, m y n son enteros y m = ( m π r  ) . Notar que se propone un número entero de ondulaciones: ‘m semiondas’ en sentido axial y ‘n ondas’ en sentido circunferencial. En la Figura 2 se observan cuatro semiondas en sentido axial (m = 4) y tres ondas completas en sentido

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circunferencial (n = 3). De esa manera se satisfacen las condiciones de apoyo que permiten el giro pero no el desplazamiento transversal en x = 0 y en x = ℓ , y la continuidad del desplazamiento transversal y su derivada en θ = 2π. Reemplazando (8) y (6) en (5)-c se obtiene un problema de autovalores. Interesa el valor propio P que permita obtener un valor no trivial para Amn:

( m2 + n2 ) D 1 (9) = x 2 + ( 1 −ν 2 ) C donde x = 2π r r x m2 Notar que ‘x’ es una variable que toma valores discretos en función de los enteros n y m. Los valores de m y n que producen el menor valor de P se deben encontrar por tanteos. Para cilindros de longitud intermedia, se puede obtener una buena aproximación minimizando (9) en forma analítica respecto a la variable x, esto se hace igualando a cero la derivada de P respecto de x: 2

P

dP = 0 → dx valor que llevado a (9) permite escribir:

σ crít =

xcrít = 12 (1 − ν 2 ) E

r h

(10)

r h

3 (1 − ν 2 )

(11)

Para ν = 0,3 se obtiene la fórmula clásica de la tensión crítica:

σ crit = 0,605 E

h r

(12)

La minimización analítica que condujo a la fórmula clásica no es válida para cilindros muy cortos. Como el largo del cilindro no figura en la ecuación (12), resulta conveniente tenerlo en cuenta definiendo la variable adimensional Z conocida como parámetro de Batdorf, parámetro de Batdorf →

= Z

1 −ν 2

2 rh

(13)

Notar que el parámetro adimensional de Batdorf ( Z ) depende fundamentalmente de las variables geométricas que definen al cilindro: el largo ℓ, el radio r y el espesor h. Introduciendo el valor de Z dado en (13) y el valor de la rigidez flexional = D dado en (2), podemos reescribir la fórmula clásica (12) como sigue: = σ crit

π 2 D   2 h 

12 3 π2

 Z  

= ⇒ σ crit

π 2D 2 h

Eh3 / [12 (1 − ν 2 )]

( 0,702 Z )

(14)

Definiendo el parámetro adimensional K a* , la ecuación (14) puede escribirse como: = σ crit

π 2D * siendo K a* = Ka 2  h

0,702 Z

(15)

Notar que a pesar de su aspecto diferente, las ecuaciones (14) y (15) proveen el mismo resultado que la fórmula clásica (12). La minimización analítica que condujo a las ecuaciones (12), (14) y (15) no es válida para cilindros muy cortos, esto ocurre cuando: Z < 2,85 →

no es válida ni (12) ni (14) ni (15)

(16)

en tales casos se debe utilizar (9) y tanteos. Este procedimiento es válido para cualquier longitud y sus resultados están graficados en la Figura 3. Z < 2,85 →

se debe utilizar (9) y tanteos para obtener σ crit

127

(17)

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Con los resultados del procedimiento basado en encontrar el mínimo de la ecuación (9) por tanteos, en la Figura 3 se ha graficado el coeficiente K a para ser usado como sigue:

σ crit =

π 2D 2 h

Ka

 cilindros no muy cortos Z > 2,85... → ......K a = K a* = 0,702 Z  Z ≤ 2,85... → ......K a de la Figura 3  cilindros muy cortos

(18)

Figura 3: Gráfico del coeficiente Ka para calcular σcrít en función del parámetro de Batdorf

Es importante tener presente que en el caso de un cilindro sometido a carga axial, para que la tensión crítica dada por (12) sea menor que la tensión de fluencia se requiere que la relación h/r sea extremadamente pequeña y esa situación generalmente no se da. Por otro lado para que Z sea menor que 2,85 el largo del cilindro debe ser ínfimo y esa situación generalmente tampoco se da. Para ganar sentido físico consideramos, a modo de ejemplo, un cilindro de gran diámetro, pequeño espesor y extremadamente corto: diámetro 3 m, espesor 3 mm, largo 12 cm (!!), material acero ( E = 2100000 kg/cm2 , ν = 0,3 y σf = 2800 kg/cm2 ). = = h 0,3 =  12 { r 150

}

= 2541 < σ f  (12) → σ crít  Z 3,05 > 2,85  (13) → =

(19)

En conclusión, podemos asegurar que el caso presentado en la ecuación (17) es sólo una curiosidad matemática de muy poca aplicación práctica. Finalizamos esta sección recordando que los cilindros muy esbeltos pueden pandear como columna, por lo cual se los debe verificar como tales.

2.2 Presión lateral y bordes simplemente apoyados Generalmente la carga lateral se debe a la presión de un fluido (o vacío interior), por lo que la carga es siempre perpendicular la superficie deformada. No obstante, en el análisis de bifurcación que se realiza a continuación (siguiendo a Donnell) se considera que p es siempre radial, es decir perpendicular al cilindro no deformado, ver Figura 4. Ignorando el efecto de flexión cerca de los bordes, se puede aceptar una solución membranal ( w 0 = constante ) que simplifica el análisis: (20) σ h= − pr N x0 = 0 Nθ0 = N x0θ = 0 Figura 4: Cilindro con presión lateral uniforme

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Introduciendo (20) en (5)-c: D ∇8 w1 + C

1 + ν 2 ∂ 4 w1

∂ x4

r2

1

+

r

p ∇4

∂ 2 w1 = 0 ∂θ 2

(21)

y considerando bordes simplemente apoyados: = w1

∂ 2 w1 0= ∂ x2

la solución tiene la forma

en x = 0 y en x = ℓ

0

w1 = Amn sen ( n θ ) sen ( m x / r )

(22)

(23)

donde: Amn es una constante, m = m π r  y m y n son enteros (m semiondas y n ondas completas). Introduciendo (23) en (21), se llega a un problema de valores propios. Para obtener un valor no trivial de Amn debe ser: pr =

(m

2

+ n2 )

2

m2

D m4 (1 −ν 2 ) C + 2 2 2 2 2 r n (m + n )

(24)

donde se verifica que el mínimo para la presión p, corresponde al menor valor de m , cuando m = 1. Definiendo los siguientes parámetros adimensionales: 2 r  p= 2 p (25)-a n= n (25)-b π D πr y utilizando el parámetro de Batdorf dado en (13), se puede reescribir (24) como:

(1 + n )

2 2

p =

n

2

+

1

n (1 + n 2

12

)

2 2

π

4

Z2

(25)

(26)

donde el n que produce el menor valor de la presión adimensional, pcrít , se puede encontrar por tanteos. Llevando ese valor mínimo adimensional, pcrít , a (25)-a se obtiene la presión crítica: pcrít =

π2 D

(27) pcrít 2 r Como se muestra a continuación los tanteos pueden evitarse si se divide a los cilindros en dos grupos según su largo: “cilindros largos” y “cilindros no largos”. 2.2.1 Cilindros no largos (ℓ < ℓ2 ) El valor de ℓ a partir del cual un cilindro se considera “largo”, denominado ℓ2, se deduce más adelante y está dado en (33). En el caso de cilindros “no largos”, se puede considerar a la variable discreta n (que según (25)-b depende del entero n) como si fuera continua para minimizar analíticamente la presión adimensional p dada en (26), obteniéndose el resultado graficado en línea continua en la Figura 5.

Figura 5: Gráfico de la presión lateral crítica adimensional pcrít en función del parámetro de Batdorf

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En la Figura 5 se observa que la presión crítica adimensional se puede aproximar haciendo: pcrít =

(27) →

π2 D

pcrít =

(28) Z 2 r ya que usando escalas logarítmicas se trata de una recta de pendiente ½ indicada en línea de trazos. Reemplazando en (28) los valores de Z dado en (13) y D dado en (2) se obtiene la expresión de la presión crítica para cilindros “no largos” simplemente apoyados y con presión lateral: Z

cilindros “no largos” ( ℓ < ℓ2 )

pcrit =

0,822 E

(1 −ν 2 ) 0,75

h    r 

2,5

r 

(29)

2.2.2 Cilindros largos ( ℓ > ℓ2 ) Para cilindros largos, n resulta pequeño y n no puede tratarse como una variable continua, la forma de pandeo corresponde a n = 2 (dos ondas completas) y la presión crítica es independiente de ℓ. En tales casos siendo r  h , por (33)   r . Haciendo n = 2 en (25)-b resulta que n  1 y por lo tanto aplicando (26) se obtiene: 2  (1 + n 2 )2 1 12 2   2   2 1  2 (25)-b → (30) p = p ≈ lim  Z lim n n + ≈ + =  crít     2 n →∞ n 2 (1 + n 2 )2 π 4  n →∞  n2   πr   n Llevando el valor aproximado de pcrít dado en (30) a la ecuación (27) se obtiene: pcrit =

0,333 1 −ν 2

 h E   r 

3

(31)

En la Figura 6, se comparan los resultados provistos por las ecuaciones de Donnell para carga uniforme, actuando en la dirección radial, con resultados de la teoría exacta de cáscaras, con carga actuando en dirección perpendicular a la superficie deformada. Para cilindros largos, las diferencias son significativas, la teoría exacta predice el 80 % del valor provisto por (31), por ello adoptamos: cilindros “largos” ( ℓ > ℓ2 )

pcrit =

0, 267 1 −ν 2

h E   r 

3

(32)

En cambio para cilindros “no largos”, ambas teorías ( ecuaciones de Donnell y teoría de cáscaras) coinciden, por ello conservamos (29).

2 ondas n=2

Figura 6: Presión lateral crítica – Comparación entre la solución exacta y la teoría de Donnell

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2.2.3 Deducción de ℓ2 La longitud que permite considerar al cilindro como “ largo”, que llamaremos ℓ2 , se puede determinar igualando la solución para la presión crítica para cilindros “largos” dada en (32) con la correspondiente a cilindros “ no largos” dada en (29) y resulta: 2 ≈ 3 r

r /h

(33)

2.3 Carga combinada (axial y lateral ) En el caso de carga combinada (axial y lateral ) indicado en la Figura 7, aceptando una solución membranal para la trayectoria fundamental, −P 0 (34) σ x h = Nθ0 = σθ h = N x0 = N x0θ = − pr 2π r se puede obtener el valor crítico de p minimizando (35) p=

(m

2

+ n2 )

(m

2

4

D + m 4 (1 − ν 2 ) C r2

+ n2 )

2

(n

2

(35)

+ R m2 )

donde: R es un parámetro adimensional que relaciona las cargas. (36) R = P /(2 π r 2 p ) Figura 7: Cilindro con carga axial P y presión lateral p

Para cilindros de longitud intermedia, se obtienen gráficos de interacción como los de la Figura 8, donde σ cx y σ cθ son las soluciones clásicas para las tensiones críticas de pandeo para carga axial y presión lateral respectivamente dadas por (11) y (29): E

(11) → σ cx =

3 (1 − ν 2 )

h r

(37) 1,5

(29) σ crít = pcrít

0,822 E  h  r → σ cθ = h (1 −ν 2 )0,75  r 

r 

(38)

Figura 8: Gráfico de interacción σ x y σ θ

La Figura 9 muestra la presión crítica para el caso de presión axial, presión lateral y el efecto combinado en un cilindro sometido a presión hidrostática. En el caso de presión hidrostática predomina el efecto axial en los cilindros cortos, mientras que en los cilindros largos predomina el efecto lateral.

Figura 9: Gráficos de presiones críticas adimensionales pcrít en cilindros en función del parámetro de Batdorf

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3 PANDEO DE CILINDROS REALES En la Figura 10-a, se muestran en línea llena, las trayectorias de equilibrio (fundamental y secundaria) para el desplazamiento axial de un punto del borde de un cilindro perfecto sometido a una carga axial P. En líneas de trazos se graficaron las trayectorias de equilibrio para el caso de dos cilindros reales similares al ideal pero con imperfecciones.

a) Carga axial

b) Presión lateral

Figura 10: Diferente comportamiento de un cilindro ideal y uno real ( imperfecto )

Observando la Figura 10-a, se deducen tres características muy importantes: a) La carga crítica representa la máxima carga portante del cilindro ideal. b) La carga de pandeo de la cáscara real ( imperfecta) puede ser sustancialmente menor que la carga crítica de bifurcación de la cáscara ideal ( perfecta ). c) Las cargas de pandeo de cáscaras nominalmente iguales pueden variar bastante debido a pequeñísimas e involuntarias imperfecciones. En la Figura 10-b se han representado las trayectorias de equilibrio de un cilindro con carga lateral, correspondientes al desplazamiento transversal de un punto alejado del borde del cilindro. Allí también se ve la influencia importante de las imperfecciones sobre las trayectorias. En la Figura 11 se presentan valores experimentales para carga axial, para el caso de bordes empotrados. En ella se observan discrepancias enormes entre los valores teóricos y los experimentales, que se disimulan un tanto por la escala logarítmica usada. Por ejemplo, para Z = 1000, los valores experimentales más bajos son del orden del 20% del valor teórico ( 146 / 700  0, 2 ). Se debe destacar que el grafico de la Figura 11, corresponde al caso de carga axial, donde se presentan las mayores diferencias entre el caso real y el ideal. En menor medida, estas diferencias ocurren en los otros tipos de carga.

Figura 11: Gráfico del coeficiente Ka para calcular σcrít en función del parámetro de Batdorf Valores experimentales y comparación cilindro ideal vs. cilindro real

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En la Figura 12-a se presentan resultados para presión lateral y en la Figura 12-b resultados para presión hidrostática ( cilindro sumergido en un fluido); en ambos casos se observa que las discrepancias son menores que en el caso de carga axial.

Figura 12: Valores teóricos y experimentales de presiones críticas

Debido a estas características, el diseño de las cascaras se debe basar en los resultados teóricos afectados de un factor de reducción K r que depende del tipo de carga. Como un ejemplo de la obtención de factores de reducción, se presenta la Figura 13. En ella se observa que los cilindros más delgados son más sensibles a las imperfecciones. En línea llena se trazó la curva del 90 % de “probabilidad”, que significa que el 90 % de las cáscaras de las mismas características nominales admiten cargas superiores a la de diseño. Este grafico corresponde al caso de carga axial y la tensión crítica se ha normalizado respecto al valor teórico provisto por (12). Lamentablemente no se informó sobre el largo ℓ de las probetas utilizadas.

Figura 13: Factor de reducción Kr correspondiente a carga axial

4 LÍMITES INFERIORES La diferencia entre los resultados teóricos y los experimentales hace que el diseño de una estructura, cuya seguridad depende de la estabilidad de una cáscara, no se pueda basar en las cargas clásicas de la bifurcación. El comportamiento poscrítico permite explicar y estimar las cargas de pandeo que se aproximan a las experimentales. Sin embargo, la evaluación de la trayectoria poscrítica requiere técnicas sofisticadas, como ser el método de elementos finitos para análisis no lineal, y aún en el caso de poseer tal herramienta, el cálculo resulta muy engorroso. En la primera etapa del cálculo resulta imprescindible poder estimar las cargas de pandeo seguras para predimensionar la geometría y en todo caso dejar para la verificación final el uso de elementos finitos. La obtención de límites inferiores ha sido un objetivo buscado por mucho tiempo. En esta sección se presentan los resultados que se obtienen empleando el concepto de rigidez reducida desarrollado inicialmente por J. Croll.

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4.1 Límite inferior para carga axial Las componentes no lineales en el sentido radial dependen de las deformaciones precríticas y son altamente estabilizantes, pero en el caso de existir imperfecciones, la rigidez decrece notablemente. Por ello, Croll y Batista han propuesto un modelo que desprecia desde el principio dicha contribución estabilizante y se llega a: (λ + n 2 ) 2 ( h /r ) /6 + 2(1 − ν 2 ) λ 2 /(λ + n 2 ) 2 2

σ x inf =

donde: λ = (π r  )

2

(39) (2 − ν ) λ + ν n y n debe elegirse por tanteos de modo de lograr el valor mínimo de σ x inf . Hay que destacar que las cargas provistas por (39) constituyen un límite inferior de los resultados experimentales. 2

2

E

4.2 Límite inferior para presión lateral En este caso todas las componentes no lineales membranales y flexionales son desestabilizantes. Las imperfecciones disminuyen la componente lineal membranal en el sentido axial. Utilizando un modelo de rigidez reducida en el que se desprecia la contribución de la rigidez membranal, tanto axial como radial, se llega a una expresión simplificada de la carga de pandeo. Para cilindros de longitud intermedia ( no largos ) y bordes simplemente apoyados, se tiene:

σ θ inf =

1,5 3  0,822 E  h  r      4  (1 − ν 2 )0,75  r   

(40)

Comparando (40) con (29), se observa que el límite inferior es un 75 % del valor clásico de la carga de pandeo.

5 CRITERIOS DE DISEÑO El diseño se debe basar en las cargas clásicas de bifurcación modificadas para tener en cuenta el efecto de las imperfecciones. Esto último, es especialmente importante en el caso de carga axial de compresión. 5.1 Carga axial de compresión El valor de la tensión axial provocada por la carga axial P sobre el cilindro bosquejado en la Figura 14 está dada en (41), mientras que el coeficiente de seguridad CS está dado en (42):

σx =

P 2π r h

σ f σ c x σ E  , CS = menor  ,  σ x σ x σ x 

(41)

(42)

Figura 14: Cilindro real con carga axial

donde:

P: r: h: ℓ: σf : σC x : σE :

carga total radio medio espesor distancia entre apoyos tensión de fluencia en compresión tensión crítica de pandeo de cáscara, incluyendo imperfecciones tensión crítica de pandeo como columna ( Euler )

El valor de tensión crítica de pandeo como columna (Euler ) σ E depende del tipo de apoyo:  ½ π 2 E ( r / ) 2

σE = 

2 2  2 π E ( r / )

bordes apoyados bordes empotrados

134

(43)

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5.1.1 Coeficiente de reducción para la tensión crítica σ c basado en la Figura 13 El valor de la tensión crítica de pandeo de cilindro σ c x se puede obtener a partir de la curva de diseño de la Figura 13, donde lamentablemente no se da información sobre el largo de las probetas:

σ crit = 0,605 E (h /r ) 

1,25

 σ c x ,1 = σ crit K r 1 

K r 1 = (h /r )0,25

h σ c x ,1 = 0,605 E    r 

⇒

(44)

5.1.2 Coeficiente de reducción para la tensión crítica σ c basado en la Figura 11 Otro coeficiente empírico de reducción K r se puede obtener de la Figura 11. Hay que distinguir dos casos dependiendo del largo del cilindro. Caso Z > 7 Cuando el cilindro es “largo” ( Z > 7) K r es independiente de las condiciones de borde en los extremos del cilindro y se tiene: Coeficiente de diseño: K a = 0,88 Z

Coeficiente teórico: K a = 0,702 Z

0,74

(45)

por lo tanto el coeficiente de reducción K r 2 resulta: K= a

Ka Kr 2

⇒

0,88 Z 0,74 =

( 0,702 Z )

Kr 2

⇒

1, 254 Z − 0,26 K= r2

(46)

Utilizando el coeficiente de reducción K r 2 dado en (46) deducido de la Figura 11 se obtiene otra “fórmula para diseño” que tiene en cuenta el largo del cilindro, algo que (44) no considera.

σ c x ,2 =

h /r )] K r 2 [ 0,605 E (h /r )] x 1, 254 Z − 0,26 [0,605 E (=

σ c x ,2 0,76 E ⇒=

h 1,26  0,52 r 0,74

(47)

Notar que las “fórmulas” (47) y (44) pueden dar resultados bastante diferentes. El diseñador debe ejercer su criterio, una posibilidad es utilizar el valor menor para estar del lado de la seguridad. Caso Z < 7 Cuando el cilindro es “corto” ( Z < 7) K r depende de las condiciones de apoyo en los extremos del cilindro y se tiene: Bordes apoyados:

Para el caso Z < 7 y bordes apoyados, se utiliza la ecuación (47).

Bordes empotrados: Observando la Figura 11, para el caso Z < 7 y bordes empotrados se adopta un valor constante e igual a 3,7 para el coeficiente K a .

σ c= x ,3

π2 D 2 h

⇒

3,7

h

3,34 E   σ c= x ,3   

2

(48)

5.2 Presión lateral En la Figura 15 se bosquejó un cilindro sometido a presión lateral p. El valor de la tensión circunferencial provocada por la presión externa p es: r (49) σθ = p h y el coeficiente de seguridad es la menor de las siguientes relaciones:  σ f σ cθ  CS = menor  ,   σθ σθ  Figura 15: Cilindro real sometido a presión lateral

135

(50)

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donde:

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p: r: h: ℓ:

presión externa radio medio espesor distancia entre apoyos σ f : tensión de fluencia en compresión

σ cθ : tensión crítica de pandeo de cáscara, incluyendo imperfecciones ℓ2 :

longitud que determina el límite entre cilindros intermedios ( no largos ) y largos

La tensión crítica de pandeo σ cθ se determina según la longitud ℓ del cilindro: Cilindros largos ℓ > ℓ2 ( tubos) Se aconseja utilizar el 85% del valor dado en (32), por lo tanto: pcrit =

0, 227 1 −ν 2

h E    r 

3

σ cθ =

→

0, 227 1 −ν 2

h E    r 

2

(51)

Cilindros intermedios ℓ < ℓ2 ( recipientes) Según la Figura 12 no hay mucha diferencia entre los valores teóricos exactos, teóricos aproximados y experimentales. Utilizaremos el 90 % del valor clásico dado por (29): = pcrit

0, 74 E K *

(1 −ν 2 )0,75

h    r 

2,5

r 

σ cθ = →

0,74 E K *

h1,5

(1 −ν 2 )0,75 r 0,5 

(52)

donde K * se debe utilizar cuando Z < 500 para corregir las discrepancias que se observan en la Figura 5 entre el resultado exacto en línea llena y la aproximación ( pcrít = Z ) en línea de trazos. 4,8 1,8 (53) − 2 1 < K *< 4 Z Z En las aplicaciones prácticas K* es próximo a la unidad. Por lo tanto en los casos en que se desconoce alguno de los parámetros que definen Z se puede usar K * = 1 y posteriormente verificar si la aproximación es correcta, en caso contrario se puede iterar. 1 < Z < 500 → K * = 1 +

Si al usar (52) se estima K* con un valor de Z superior al real se está del lado de la seguridad. Anillos de refuerzo Para dimensionar los anillos de refuerzos de recipientes ( Figura 16), se aplica la solución clásica de Levy (54) que determina la tensión crítica de pandeo del anillo σcrít. Esto permite calcular el momento de inercia requerido Ireq en función de la carga distribuida q sobre la circunferencia del anillo. Los datos del anillo son: A área de la sección resistente, I momento de inercia de la sección, r radio medio y E módulo de Young. Tensión crítica de pandeo del anillo

σ crít =

Tensión de compresión en el anillo

σ =

3EI

r2 A

qr A

(54) (55)

Igualando la tensión σ a la tensión crítica permite despejar el Ireq I req ≥

q r3 3E

Figura 16: Cálculo del anillo de refuerzo usando la ecuación de Levy

136

(56)

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5.3 Recipiente sometido a presión exterior En una primera etapa del cálculo se ignora el efecto axial. El espesor h de un cilindro como el de la Figura 17-a, se puede despejar en la ecuación (52) para la presión crítica:  C p h ≥ 1, 26 r 1,5 L S *  EK 

  

0,4

(57)

donde se consideró ν = 0,3 y un coeficiente de seguridad. Inicialmente se supone K * = 1 y una vez conocido h se calcula Z, si resulta menor que 500 se usa (53). Notar que si Z > 500 resulta 1 < K * < 1,01. Figura 17: Recipiente con presión exterior ( o vacío interior)

Generalmente, resulta más económico adoptar una chapa más delgada y colocar anillos de refuerzos como en la Figura 17-b. El problema se resuelve por tanteos: a) Se adopta un espesor de chapa h1 y se calcula la distancia entre refuerzos, despejando la longitud a partir de (52) considerando ν = 0,3 y un coeficiente de seguridad CS:  1 = 0,794

h12,5

E K* CS p

(58) r 1,5 b) Se calcula el número de tramos de modo que sea el entero más próximo superior a L  1 :

⇒

m = entero mayor que L  1

número de refuerzos = m – 1

Si este valor no es satisfactorio porque resultan demasiados refuerzos, se propone un valor mayor para h1 y se emplea nuevamente (58). Este procedimiento se repite hasta obtener valores de h y de ℓ que se consideren adecuados. c) Por último, se calcula el momento de inercia requerido para cada anillo de refuerzo, según (56) haciendo : r 3  CS p (59) = q  ( CS p ) → I ≥ 3 E Nota 1: Este procedimiento no es válido cuando la presión proviene de vapor, porque en tal caso se debe tener en cuenta la variación del módulo de elasticidad E con la temperatura. Nota 2: Al aplicar (57) se debe comprobar que el recipiente no fallará por fluencia en compresión, verificando: ( CS p ) r (60) h ≥

σf

5.4 Carga combinada (axial y lateral ) En el caso de carga combinada, se calcula σ crit utilizando (44), (47) ó (48) según corresponda y pcrit usando (51), (52) ó (53) y luego se emplea una curva de interacción. En la Figura 18, se adoptó una curva de interacción con la forma de una elipse. Se pueden dar tres casos: Si σ x y p varían juntos entonces: CS =

OQ1

(61)

OQ

Si σ θ es fijo y σ x varía:

CS = AQ 2 / AQ

(62)

Si σ x es fijo y σ θ varía:

CS = BQ 3 / BQ

(63)

Figura 18: Curva de interacción con forma de elipse

137

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Trabajando con valores normalizados (adimensionales), la elipse se transforma en un círculo. Empleando (61) y observando la Figura 19, resulta obvio que:

CS =

1

(

 σ /σ  θ cθ

) + (σ 2

x / σ cx

)

2

 

1/ 2

(64)

Figura 19: Curva de interacción normalizada ( circular)

En la ecuación (64):

σ cx : se debe calcular para la carga axial actuando sola, utilizando (44) ó (47) ó (48). Tener en cuenta que no puede superar σ f en compresión.

σ cθ : se debe calcular para la presión lateral actuando sola, utilizando (51) ó (52) ó (53). Tener en cuenta que no puede superar σ f en compresión. Para estar del lado de la seguridad, habitualmente se reemplaza la elipse por una recta, como se muestra en la Figura 20 y se llega a una fórmula sencilla para el CS:

σx  σ cx  AQ * = σ x σ cx 

AQ = *

AQ = AQ 

* σθ σ σ + AQ = θ + x σ cθ σ cθ σ cx

*

OQ = *

CS OQ = 1

CS =

1

σ θ /σ cθ + σ x / σ cx

(65)

Figura 20: Recta de interacción normalizada

También se suelen utilizar curvas de interacción que corresponden a una situación intermedia entre la recta y la elipse adoptando una poligonal. A modo de ejemplo se puede mencionar el caso de la Figura 8 donde se muestra una poligonal de tres tramos.

138

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PRÁCTICO

Pandeo de Cilindros

Nota: Todos los datos se dan en unidades [cm] y [kg]

1 Un recipiente cilíndrico de acero de 450 cm de largo y 120 cm de

diámetro debe resistir vacío interior a temperatura ambiente con CS ≥ 4. Material: E = 2100000 kg/cm2

ν = 0,3

σf = 2800 kg/cm2

a) Determinar el espesor h requerido en el caso de no usar anillos de refuerzo. b) Determinar el número de tramos y el espaciamiento de los anillos de refuerzo necesarios para poder usar chapa de 4 mm con CS ≥ 4.

2 Con los mismos datos del Problema 1 se pide: a) Diseñar los anillos de refuerzo necesarios para poder aplicar la solución b) del problema 1. b) Calcular la economía de material de la solución b) respecto de la solución a).

3 Un cilindro delgado de aluminio está cargado axialmente. Datos geométricos del cilindro: h = 1/16” = 0,159 cm

r = 40 cm

ℓ = 100 cm

Propiedades del material: E = 750000 kg/cm2

ν = 0,33 σf = 2500 kg/cm2

a) Calcular el valor de la carga axial crítica de pandeo. b) Determinar el límite inferior para la carga crítica empleando el método de Croll.

4 El casco de un submarino de sección circular de 300 cm de diámetro está rigidizado por cuadernas espaciadas cada 60 cm. Dimensionar el espesor para operar a una profundidad máxima de 120 metros ignorando la presencia de los refuerzos longitudinales. Material acero:

E = 2100000 kg/cm2 ν = 0,3 σf = 2800 kg/cm2

a) Determinar el espesor h considerando falla por fluencia y CS ≥ 2. b) Determinar el espesor h considerando falla por pandeo y CS ≥ 4. c) Responder las preguntas a) y b) considerando solamente la presión lateral y comentar las diferencias encontradas. c) Determinar el coeficiente de seguridad a pandeo usando los límites inferiores de Croll y el criterio de interacción lineal si se utiliza el espesor calculado en la parte b). Dar también el coeficiente de seguridad a fluencia de Von Mises.

139

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SOLUCIÓN del PRÁCTICO

Pandeo de Cilindros

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Nota: Todos los resultados se dan en [cm] y [kg]

1 Dos propuestas para un recipiente con vacío interior (con y sin refuerzos). a) Cilindro sin anillos de refuerzo Comenzamos estimando el espesor necesario considerando sólo la presión lateral. Suponemos que el parámetro de Batdorf es mayor que 500 y consideramos K * = 1. 0,4

0,4

   CS p  4x1 1,5 1,5 Ec. (57) → h ≥  1, 26 r L= = 0,76  1, 26 x 60 x 450 x  *   2100000 x 1  EK    450 2 * Ec. (13) → Z = 1 − 0,3 2 x = 4236 >> 500 por lo tanto la suposición K = 1 es correcta. 60 x 0,76 Adoptamos un espesor comercial algo mayor para tener en cuenta la carga axial ........ h = 0,8 cm A continuación calculamos el coeficiente de seguridad a pandeo usando interacción lineal.

Circunferencial: = pr / h 1= x 60 / 0,8 σ θ 75

Axial: pr / (2h) 1= = x 60 / (2 x 0,8) σ x 37,5

Ec. (44) → σ xc1 = 0,605 = E ( h/ r ) 0,605 x 2100000 = x ( 0,8/60 ) 5756

1,25

1,25

( ignora el largo del cilindro)

1,26 Ec. (47) → σ xc 2 = 0,76 = E h 1,26 / ( 0,52 r 0,74 ) 0,76 x 2100000 x 0,8 = / (450 0,52 x 60 0,74 ) 2429

Ec. (39) →

σ x inf

(λ + n 2 ) 2 ( h /r ) /6 + 2(1 − ν 2 ) λ 2 /(λ + n 2 ) 2 Mín = E 2186 cuando n = 3 (2 − ν 2 ) λ + ν n 2 2

{

}

Consideraremos el valor dado por (47) ........................................................... σ Cx = 2429 kg / cm 2 0,74 E K * h1,5 0,74 x 2100000 x 1 0,8 1,5 x = = 342 σ Cθ = 342 kg / cm 2 2 0,75 2 0,75 0,5 0,5 (1 −ν ) (1 − 0,3 ) r 450 x 60 1 1 1 Ec. (65) → CS = = = = 4, 26 → CS = 4, 26 σ θ /σ cθ + σ x /σ cx 75 / 342 + 37,5/ 2429 0, 2193 + 0,0154

Ec. (52) → σ Cθ =

½

Von Mises Cap. 2 Ec. (32):

* * 37,52 + 752 − 37,5 x 75= 65 → Falla por fluencia: = = CS σ= 2800 /65 43 σ= f /σ

b) Cilindro con anillos de refuerzo b-1) Cantidad de anillos y longitud de los tramos Comenzamos estimando el espaciamiento entre los anillos considerando sólo la presión lateral. Estando del lado de la seguridad consideramos K * = 1. Ec. (58)

 ≤ 0,794 E K * h 2,5 / (r 1,5 = CS p) 0,794 x 2100000 x 1 x 0, 42,5 / (60 1,5 = x 4 x 1) 90,8

Se adopta un espaciamiento menor para tener en cuenta la carga axial ......................

 = 75 cm

Se colocarán 5 anillos de refuerzo para dividir el largo del cilindro en 6 tramos de 75 cm entre centros. b-2) Cálculo del CS a pandeo de los tramos del cilindro considerando interacción lineal Axial: pr / (2h) 1= = x 60 / (2 x 0, 4) σ x 75 Ec. (47) → σ xc 2 =

0,76 E h 1,26 =  0,52 r 0,74

Circunferencial: = pr / h 1= 150 x 60 / 0, 4 σ θ

0,76 x 2100000 x 0, 4 1,26 = 2575 .................. 75 0,52 x 600,74

σ Cx = 2575 kg / cm 2

0,74 E K * h1,5 0,74 x 2100000 x 1 0, 4 1,5 x = = 726,3 σ Cθ = 726,3 kg /cm 2 2 0,75 2 0,75 0,5 0,5 (1 −ν ) r (1 − 0,3 ) 75 x 60 1 1 1 Ec. (65) → CS = = = = 4, 24 → CS = 4, 24 σ θ /σ cθ + σ x /σ cx 150 / 726,3 + 75/ 2575 0, 206 + 0,029

= Ec. (52) → σ Cθ

½

* Von Mises: σ * = 752 + 1502 − 75 x150  = 130 → Falla por fluencia: = CS σ= 2800= /130 21,5 f /σ

140

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2 Diseño de los refuerzos del problema 1.b y comparación del peso de las soluciones 1.a y 1.b. a) Diseño de los anillos de refuerzo Comenzamos proponiendo una sección rectangular b ≈ 6 a

= I a= b3 / 12 a x (6= a )3 /12 18 a 4 = ( CS p ) 75= ( 4 x1 ) 300 Suponemos tentativamente que b ≈ 5 cm → r ≈ 60 + 0, 4/2 + 5 /2 = 62,7 Ec. = (59) → q

Ec. (56) → = I req

q r3 = 3E

300 x (62,7) 3 = 11,74 3 x 2100000

I ≥ I req

→

18 a 4 ≥ 11,74

→

a = 0,899

Adoptamos un espesor comercial algo mayor → ⅜” = 0,95 ..................................... a = 0,95 cm Cálculo de la altura b del anillo rectangular

= I a b3 /12 = 0,95 x b3 /12 = 11,74

→ = b 5,3 .....(se estimó adecuadamente) ...... b = 5,3 cm

b) Economía de material del diseño con refuerzos b.1 Peso del cilindro de espesor h = 0,8 cm ( solución 1.a ) y peso específico ρ = 0,00785 . = Pa 2= π rm hL ρ 2 x π x 60 x 0,8 x 450 x= 0,00785 1065, 4 ................................ Pa = 1065 kg

b.2 Peso del cilindro de espesor h = 0,4 cm ( solución 1.b ) = Pbc 2= π rm hL ρ 2 x π x 60 x 0, 4 x 450 x= 0,00785 532,7 b.3 Peso de los 5 anillos de refuerzo rectangulares de 0,95 x 5,3 cm = = 78,0 Pba 5 (2π= rm A ρ ) 5 x 2 x π x ( 60 + 0, 2 + 5,3 /2) x ( 0,95 x 5,3) x 0,00785 b.4 Peso del recipiente de espesor 0,4 cm con 5 anillos de refuerzo de 0,95 x 5,3 cm

Pb = Pbc + Pba = 532,7 + 78,0 = 610,7 ................................................................. b.5 Economía de material de la solución 1.b respecto de la solución 1.a. Pa − Pb 1065 − 611 x 100 x 100 = = Economía = 42,6 ............................. Pa 1065

Pb = 611 kg

Economía = 43 %

3 Cálculo de la carga crítica de pandeo y el límite inferior de un cilindro de aluminio con carga axial. Datos geométricos:

h = 0,159

r = 40

ℓ = 100

Datos del material:

E = 750000

ν = 0,33

σf = 2500

a) Cálculo de la carga crítica de pandeo Ec. (44) → σ xc1 =

0,605 = E ( h/ r ) 1,25

0,605 x 750000= 452,9 x ( 0,159/ 40 ) 1,25

h 1,26 0,76 x 750000 Ec. (47) → σ xc 2 = = = E 0,52 0,74 0,76 0,159 1,26 334,3 . Se adopta este valor para σ xc 0,52 0,74  r 100 x 40 Área de la sección del cilindro = 2π rh 2= = π x 40 x 0,159 39,96

Carga crítica: = Pcrít σ= xc A

334,3 x 39,96 = 13359 ........................................

Pcrít = 13359 kg

b) Cálculo del límite inferior por el método de Croll (λ + n 2 ) 2 ( h /r ) / 6 + 2(1 − ν 2 ) λ 2 /(λ + n 2 ) 2 2

Ec. (39) → λ =

(π = r /  ) (π x 40/100) = 1,579 σ x inf = 2

φ= (1,579 + n 2 ) 2 n→ σxinf→

1 151106

2

(2 − ν 2 ) λ + ν n 2

σ x inf = (1,975 φ + 3332590 /φ ) / ( 2,99 + 0,33 n 2 ) 2 24881

Pinf σ= Límite inferior:= xinf A

3 5037

4 1379

5 544

6 346

El mínimo ocurre para n = 7 7 331,8

331,8 x= 39,96 13259 ....................................

141

E

8 384

9 470

Pcrít = 13259 kg

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4 Determinación del espesor del casco de un submarino ignorando los refuerzos axiales.

Presión debida a 120 metros de profundidad: = p ρ = H 0,001 x 12000 = 12 kg / cm 2 Circunferencial: = Axial: = σ x pr = / (2h) 12 x 150 = / (2h) 900 / h σ θ pr = / h 12 x 150/ = h 1800 / h

a) Espesor requerido para evitar falla por fluencia con CS = 2 ½

Von Mises: σ * = (900 / h)2 + (1800 / h) 2 − (900 / h) x (1800 / h)  = 1559 / h CS σ * = σ f

→ 2 x (1559 / h) = 2800 → h = 2 x 1559 / 2800 .................................. h = 1,11 cm

b) Espesor requerido para evitar falla por pandeo con CS = 4 60 2 2 Ec. (13) → Z = 1 − 0,3 x → Z = 22,9/ h Suponiendo h = 1,5 → Z = 15,3 Ec. (53) → K * = 1,31 150 x h 0,74 E K * h1,5 0,74 x 2100000 x K * 1,5 Ec. (52) → σ θ c = = h → σ θ c = 2270 x K * x h1,5 → σ θ c = 2974 x h1,5 (1 − ν 2 )0,75 r 0,5  (0,91)0,75 x 1500,5 x 60 h 1,26 0,76 x 2100000 1,26 Ec. (47) → σ xc = 0,76 = E = h 4657 h 1,26 0,52 0,74 0,52 0,74 60 150 x  r Ec. (65) → CS =

σ θ /σ cθ

1 + σ x / σ cx

1800 / h 900 / h + = 1,5 2974 h 4657 h1,26

→

0, 25 .... por tanteos......h = 1,62

* Dado que se estimó K usando un valor de h inferior al real (1,5 en lugar de 1,62 ) se consideró un valor de Z superior al real y por lo tanto se está del lado de la seguridad y se puede aceptar el valor calculado ( 1,62 ) como válido. Por otro lado iterando llegamos a convergencia cuando:

*

Iterando: h = 1,618 → Z = 14,15 → K = 1,330 → σ θ c = 3020 h 1,5 → h = 1,618...... h = 1,62 cm c) Espesor requerido considerando sólo la presión lateral c.1 CS σ * = σ f

→ 2 x (1800 / h )= 2800 → h= 2 x 1800 / 2800 ....................... h = 1, 29 cm

c.2 CS σ θ = σ θ c

→ 4 x (1800 / h)= 2270 x K * h1,5

Suponiendo h = 1,58 →

Ec. (13) →

→ h=

( 3,172 / K )

* 0,4

* Z = 14,5 → Ec. (53) → K= = 1,32 → h

3,172 /1,32] [= 0,4 3,172 /1, 29] [=

* Suponiendo h = 1,42 → Ec. (13) → Z = 16,1 → Ec. (53) → K= = 1, 29 → h A esta altura se logró convergencia. En efecto: * h = 1,43 → Z = 16,01 → K = 1,293 → σ θ c = 2935 h1,5 → h = 1,432 ............

0,4

1, 42 1, 43

h = 1, 43 cm

Comentarios: c.1 Considerando sólo la presión lateral se ignora la interacción con la tensión axial σx y paradógicamente se está del lado de la seguridad ya que resulta un espesor 16 % mayor que el necesario (1,29 en lugar de 1,11). En el criterio de Von Mises resulta beneficioso que las dos tensiones membranales tengan el mismo signo, eso por el signo menos en la ecuación (32) del Capítulo 2. c.2 Al considerar solamente la presión lateral se ignora la interacción con la tensión axial σx y se está del lado de la inseguridad. Resulta un espesor 12 % menor que el realmente necesario (1,43 cm en lugar de 1,62 cm ). d) Determinar el CS a pandeo usando los límites inferiores de Croll cuando h = 1,62 cm / h 12 x 150/1,62 = σx = pr / (2h) 12 x 150 / (2= x 1,62) 555,5 = σ θ pr = = 1111,1

σ* =

( 555,5

2

+ 1111,12 − 555,5 x 1111,1)

1/ 2

= 962 → CS = 2800 / 962 ........ a fluencia... CS = 2,91

3  0,822 E  h  r  =     4  (1 − ν 2 )0,75  r    1,5

Ec. (40) → σ θ inf =

Ec. (39) →

σ x inf

Ec. (65) → CS =

3  0,822 x 2100000 1,62 1,5  x  =  4  (1 − 0,32 )0,75 150 0,5 x 60 

3899

(λ + n 2 ) 2 ( h /r ) /6 + 2(1 − ν 2 ) λ 2 /(λ + n 2 ) 2 = E Mín 10874 (ocurre cuando n = 9) (2 − ν 2 ) λ + ν n 2 1 1 = = 2,98 .. a pandeo... CS = 2,98 σ θ /σ cθ + σ x / σ cx 1111,1/ 3899 + 555,5 /10874

{

2

}

142