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´ NUMEROS COMPLEJOS Como ya sabemos, conocemos distintos cuerpos num´ericos en matem´aticas como por ejemplo el cuerpo de los n´umeros racionales, irracionales, enteros, negativos,. . . Sin embargo, para completar el conjunto de los n´umeros matem´aticos nos queda por conocer el algebra y la aritm´etica de un conjunto m´as amplio y completo que el correspondiente al de los n´umeros reales, R ; este es el ´ cuerpo de los numeros complejos, representado por C. ´ DE LOS NUMEROS ´ CLASIFICACION Complejos, C z }| { − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− Reales, R Imaginarios Puros z }| { − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− Racionales, Q Irracionales, I z }| { −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Enteros, Z Fraccionarios z }| { −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Naturales, N Cero Enteros negativos

Cuando intentamos resolver√en el cuerpo de los n´umeros reales la ecuaci´on x2 + 1 = 0 obtenemos como soluci´on el valor x = −1, es decir, un valor fuera del alcance de los n´umeros reales y decimos que no tiene soluci´on. De igual forma ln (−3) o la ra´ız cuadrada de cualquier n´umero negativo tampoco tienen soluci´on dentro del cuerpo de R. Para resolver estas ecuaciones polin´omicas se hace necesario introducir el cuerpo matem´atico ´ de los C. Estos son entidades matem´aticas dadas por un par de n´umeros reales, donde el primer elemento se denomina parte real y al segundo parte imaginaria. z = (x, y)

x, y ∈ R

y

z∈ C

As´ı, el n´umero complejo z = (a, 0) representa al n´umero real a. Los n´umeros complejos que tienen parte imaginaria no nula, se los llama n´umeros imaginarios; y si tienen parte real nula, se denominan n´umeros imaginarios puros. El n´umero imaginario puro m´as sencillo viene representado por (0,1) y se denota por i. El cuerpo C tiene estructura de cuerpo conmutativo no ordenado. Es decir, posee las siguientes caracter´ısticas: Elemento neutro para la suma y diferencia, 0 = (0, 0) Elemento Opuesto, −z = (−x, −y) Elemento unidad para la multiplicaci´on o divisi´on, 1 = (1, 0)

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Elemento inverso,

1 z

=



x , − zy2 z2



con z , 0. Esto es consecuencia directa de, z−1 =

1 1 z¯ z¯ = = 2 z z z¯ |z|

Siendo |z|2 = z¯z

o

|z| =

√ z¯z ≡ MO´ DULO

El termino z¯ o z∗ , se denomina complejo conjugado. La conjugaci´on en n´umeros complejos es propia de e´ stos, en e´ lla se produce el cambio de signo de la parte imaginaria. Si

z = (a, b) =⇒ z¯ = z∗ = (a, −b)

Tomando z1 = (a, b) y z2 = (c, d) se definene las siguientes operaciones, Suma y Resta: z1 ± z2 = (a, b) ± (c, d) = (a ± c, b ± d) Producto por un escalar rz1 = r(a, b) = (ra, rb) Multiplicaci´on z1 · z2 = (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) Igualdad z1 = z2

si (a, b) = (c, d)

⇒

a=c

si (a, b) = −(c, d)

⇒

a = −c

d=b

y

Opuesto z1 = −z2 Divisi´on

y

d = −b

z1 (a, b) (ac + bd, bc − ad) ac + bd bc − ad = = = 2 , 2 2 z2 (c, d) c +d c + d 2 c2 + d 2

!

Tened en cuenta que esto es una consecuencia directa de la eleminaci´on del denominador de la parte imaginaria, para ello se multiplica y se divide por el conjugado complejo. z1 z1 z¯2 = · z2 z2 z¯2 Por tanto, por lo visto en las operaciones podemos definir la unidad imaginaria i o j como el valor, i = (0, 1)

⇒

(a, 0) · (0, 1) = (0, a)

Quedando entonces el cuadrado de i, i2 = i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 ⇒ i =

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√ −1

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´ FORMAS DE EXPRESAR UN NUMERO COMPLEJO ´ FORMA BINOMICA Si tomamos C como un espacio vectorial isoformo a R2 , se obtiene la forma bin´omica. z = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi

z¯ = a − bi

⇒

El m´odulo de un n´umero complejo se define como el m´odulo del vector que lo representa. As´ı, si z = a + bi su m´odulo vendr´a dado por, p |z| = a2 + b2 = |¯z| ⇒ z¯z = |z|2

Eje imaginario

Para visualizar de un modo geom´etrico un n´umero complejo se realiza el diagrama de Ar´ gand. Este consiste en tomar el eje de abcisas como el eje de los n´umeros reales y el eje de ordenadas como el eje de los n´umeros imaginarios, quedando entonces la siguiente representaci´on,

bi

z = a + bi

|z| a

−z = −a − bi

Eje real

z¯ = a − bi

Tomando z1 = a1 + b1 i y z2 = a2 + b2 i, las propiedades del cuerpo de los C en forma bin´omica quedan, • Suma y Resta: z1 ± z2 = (a1 ± a2 ) + (b1 ± b2 )i • Producto por un escalar rz1 = ra1 + rb1 i • Multiplicaci´on z1 · z2 = (a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

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• Divisi´on

    z1 z1 z¯2  a1 a2 + b1 b2   b1 a2 − a1 b2   +   i = · =  z2 z2 z¯2 a22 + b22 a22 + b22

• Potencia: En este caso, si el n´umero es imaginario puro, sus potencias se repiten en ciclos cuaternarios, por tanto podemos apoyarnos en la f´ormula recurrente, i(4n+k) = ik Sin embargo, si el n´umero complejo tambi´en tiene parte real, tendremos el caso correspondiente a un binomio de Newton, ! ! ! ! ! 4 4 4 4 4 (2 + 3i)4 = (2)4 + (2)3 (3i) + (2)2 (3i)2 + (2)(3i)3 + (3i)4 0 1 2 3 4

Eje imaginario

´ FORMA TRIGONOMETRICA. En esta forma se utilizan las funciones trigonom´etricas para hallar los valores correspondientes a la parte real e imaginaria del n´umero complejo z. As´ı, sobre el diagrama de Argand podemos reconocer f´acilmente el valor de a y de b haciendo uso del a´ ngulo formado por el afijo del n´umero real y el eje real.

z = a + bi

bi |z|

α a Eje real cos α =

a |z|

y sin α =

b |z|

El a´ ngulo α se denomina argumento y viene dado por α = arc tg

b a

Hay que tener cuidado por que en el circunferencia goniom´etrico, como ya sabemos, existen 2 a´ ngulos con la misma tangente, por eso hay que estar atentos a los signos de a y b para saber el cuadrante correspondiente al afijo y por tanto, el a´ ngulo asociado. El m´odulo de z se corresponde con, r = |z| = ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

p √ a2 + b2 = z¯z 4

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y por tanto utilizando las funciones coseno y seno nos queda, z = a + bi = r cos α + ir sen α

⇒

z = r (cos α + i sen α)

´ FORMA POLAR (MODULO-ARGUMENTO) La forma trigonom´etrica es la antesala de la forma polar, tambi´en conocida como m´oduloargumento, ya que en la forma polar nos quitamos las funciones trigonom´etricas para dar la expresi´on del complejo conjugado de la forma, z = r (cos α + i sen α) ⇒ z = rα Siendo r el m´odulo y α el argumento vistos anteriormente. En esta forma se realizan m´as rapidamente las operaciones producto, divisi´on, potenciaci´on y radicaci´on. Teniendo dos n´umeros complejos escritos en forma polar como, z1 = rα y 0 z2 = rα0 , • PRODUCTO: 0

0

z1 · z2 = rα · rα0 = (r · r )α+α0 • COCIENTE: z1 rα  r  = 0 = 0 z2 r 0 r α−α0 α • POTENCIA: n zn1 = (rα )n = rnα

• RAICES: En este caso las soluciones de un radicando nos dar´an las soluciones de los vertices de un poligono regular de n lados inscrito en una circunferencia. Es decir, sea z1 = rα las soluciones correspondientes vendr´an dadas por sβ , √n √ z1 = sβ → n rα = sβ Aplicando la propiedad de la potencia, ( √  n r = sn ⇒ s = n r n
rα = sβ = s nβ ⇒ α = nβ ⇒ β = α+2kπ n

siendo k = 0, 1, 2, . . . , n − 1

Como podemos ver, s´olo existe una raiz para el m´odulo pero aparecen tantos argumentos posibles como el valor que tenga el exponente n. Cuando tengamos un polinomio hay que tener en cuenta el teorema fundamental del algebra, e´ l cu´al dice que en todo polinomio de grado n (siendo n natural), con coeficientes reales o complejos, tiene n raices.

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