INTRODUCCIÓN Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de números negativos. Así se abre la puerta a un curioso y sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles. En esta Unidad se presenta este mundo: expresión de los números complejos, su representación gráfica, operaciones y su forma polar. El enfoque es muy geométrico para facilitar la comprensión. La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología, ...)

OBJETIVOS •

Entender la necesidad de ampliar los números reales.

•

Relacionar el signo del discriminante de una ecuación de 2º grado con el número de soluciones de la ecuación.

•

Conocer los conceptos: unidad imaginaria, nº complejo, parte real y parte imaginaria.

•

Representar gráficamente números complejos.

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Conocer el concepto de afijo de un complejo.

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Hallar el opuesto y el conjugado de un complejo e interpretarlos gráficamente.

•

Hallar potencias de i (unidad imaginaria).

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Sumar y restar complejos en forma binómica y gráficamente

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Multiplicar y dividir complejos en forma binómica.

•

Expresar un complejo en forma polar.

•

Representar un complejo dado en forma polar.

•

Pasar de forma binómica a forma polar y viceversa.

•

Operar con complejos en forma polar (multiplicación, potenciación y división) e interpretarlo gráficamente.

•

Conocer la fórmula de Moivre.

•

Hallar todas las raíces n-ésimas de un complejo e interpretarlas gráficamente.

. De R (Reales) a C (Complejos) - El conjunto de los números reales (R) no es suficiente 1 a) Intenta resolver en R las siguientes ecuaciones a) x2-2=0

b) 2x2-5x+1=0

c) 5x2-x-2=0

d) x2+1=0

e) x2-2x+1=0

f) 5x2+10=0

1 b) ¿Cuáles de ellas no tienen solución en R? 1 c) ¿Qué signo tiene el discriminante de la ecuación cuando decimos que no tiene solución real? 1 d) ¿Qué operación no se puede resolver con los números reales R?

Comprueba los resultados en la escena Por tanto hay que seguir ampliando el conjunto de números, y la nueva ampliación numérica tendrá que dar validez a estas ecuaciones. Hemos visto que la operación que no se puede resolver con los números Reales es la raíz cuadrada de números negativos. Por ejemplo la ecuación x2-6x+11=0 da como soluciones

La raíz del número negativo se puede expresar así:

Al número Esto es: Entonces

se le llama unidad imaginaria y se designa con la letra i

, y se cumple que las

Al número

soluciones

de

la

ecuación

anterior

se

pueden

expresar

así:

se le llama número complejo.

Al conjunto de los números Los números Reales son también Complejos se le llama C y son de la Complejos, donde b=0, o sea son de forma a+bi, donde a y b son números la forma a+0i reales.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos se representan mediante vectores. Al extremo del vector se le llama afijo del complejo. Por ejemplo, el afijo del número complejo 2+3i es el punto (2,3). En el eje horizontal representamos la parte real del número complejo, por eso se le llama eje real En el eje vertical representamos la parte imaginaria del número complejo, por eso se le llama eje imaginario Mueve con el ratón el afijo del número complejo de esta escena y podrás ver su representación gráfica por un vector. Si quieres representar un número complejo de forma más exacta, puedes introducir en la parte inferior de la escena los valores de la parte real a, y de la parte imaginaria b y pulsar ENTER. EJERCICIO 1 a) Representa en tu cuaderno 5 + 2i , -4 + 3i , -3 - 2i , 4.5 - 3i , -2i , 3 , i

los

siguientes

b) Comprueba tus representaciones en la escena anterior.

números

complejos:

3. OPUESTO Y CONJUGADO Número Complejo

z=a+bi

Opuesto de z

-z=-a-bi

Conjugado de z

z=a-bi

En esta escena puedes ver in, y su representación gráfica. Cambia el valor de n en la parte inferior para ver las sucesivas potencias de i.

Para hallar in, basta dividir n entre 4, y el resto de la división entera será el nuevo exponente. Al ser el divisor 4, el resto sólo puede valer 0, 1, 2 o 3. Así para efectuar i243 haremos:

i243 = i3= -i. EJERCICIO 4 Calcula las siguientes potencias de i en tu cuaderno, representa gráficamente los resultados, y compruébalo todo en la escena anterior: i189, i134, i275, i1284

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 5.1. Suma y resta. La suma y la resta de números complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los números reales. También son equivalentes a la suma y la resta con vectores, teniendo en cuenta que a cada número complejo se le hace corresponder un vector.

En esta escena tienes representados los números complejos: z1=a+bi y z2=c+di Así como su SUMA z1+z2 y su RESTA z1-z2 (Recuerda el paralelogramo que se forma con dos vectores, cuyas diagonales son la suma y la resta de los mismos, fíjate bien en la escena) Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratón, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena. Como es tan fácil, mirando la escena y sus movimientos, tienes que averiguar cómo se SUMAN y se RESTAN números complejos. EJERCICIO 5 Escribe en tu cuaderno, con palabras, cómo se suman números complejos y cómo se restan.

EJERCICIO 6 Efectúa las siguientes operaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena:

Te recuerdo que cuando una imagen se te sale de la escena, puedes cambiar la escala o mover los ejes, en la parte superior de la misma. a) (3+i) + (1-3i) b) (-5+3i) - (6+4i) c) (0.5-4i)+(-1.5-i) d) (-3.8+2.4i) - (1.3+0.5i)

5.2. Multiplicación de números complejos La multiplicación se efectúa igual que si fuesen números reales, pero teniendo en cuenta que i2=-1 ¡ATENCIÓN! la multiplicación de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores. Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto.

En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el producto de dos números complejos, z1·z2=(a+bi)(c+di) Moviendo los AFIJOS de z1 y z2, o introduciendo los valores de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados.

EJERCICIO 7 Efectúa las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobación posterior en la escena: a) (-2-2i)(1+3i) b) (2+3i)(5-6i) c) (2+3i)(-2-3i) d) (-1-2i)(-1+2i)

e) ¿Qué ocurre cuando se multiplica un complejo por su conjugado (apartado d)? Prueba con otros y explica qué tienen de común todos los resultados. f) ¿Qué ocurre cuando multiplicamos cualquier número complejo por i? Compara el número complejo con el resultado y deduce la relación entre ellos.

5.3. División de números complejos. Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de éste, así el divisor pasará a ser un número real. Como en la multiplicación, representaremos los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados en la escena. EJEMPLO

Esta división de complejos es la que aparece en el inicio de esta escena.

Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, o mover los puntos z1 y z2 para hallar otras divisiones. EJERCICIO 8 Efectúa las siguientes divisiones en tu cuaderno y compruébalas en la escena: a) b) c) d)

6. NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Ya hemos visto que a todo complejo se le hace corresponder un vector.

Módulo de un número complejo z es la longitud del vector que lo representa. Argumento de un complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Forma polar de un número complejo Forma binómica de un número complejo

|z|=r arg(z)= r a+bi

En las siguientes escenas puedes ver representado un número complejo cualquiera z=a+bi en forma polar, o sea, dando su módulo y su argumento, y viceversa.

Mirando el triángulo rectángulo formado por z, a y b, puedes deducir que: Conocemos Forma binómica z=a+bi Calculamos

Ya sabemos Forma polar

EJERCICIO 9

r

Pasa los siguientes números complejos a forma polar, y comprueba tus resultados en esta escena: 1+2i , -2+2i , -5 , -7 i

6.2. Paso de forma polar a forma binómica Mirando el triángulo rectángulo formado por z, a y b, puedes deducir que: Conocemos Forma polar r Calculamos a=r·cos( ) b=r·sen( ) Ya sabemos Forma binómica z = a + bi EJERCICIO 10 Pasa los siguientes números complejos a forma binómica, y comprueba tus resultados en esta escena: 1225º 40º 3270º 2295º 1.890º 2.3120º

OPERACIONES CON COMPLEJOS EN FORMA POLAR 7.1. Multiplicación Sólo tienes que mirar esta escena para deducir cómo se multiplican complejos en forma polar r · r' = (r·r') +

Se multiplican los módulos Se suman los argumentos. EJERCICIO 11 Efectúa las siguientes multiplicaciones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena: 315º · 275º z1=460º por su conjugado z2=3150º por su opuesto

7.2. Potencia Como ya sabes, la potencia es un producto de factores iguales, por tanto la regla es la misma que la de multiplicar. Puedes verlo en esta escena, donde r es el módulo del número complejo z, A, su argumento y n el exponente al que elevamos z. Recuerda que si alguna imagen se sale de la escena, puedes cambiar la escala o mover los ejes con los botones de la parte superior. Aunque en el caso de la potencia puede ocurrir que el módulo resultante sea tan grande que no puedas llegar a verlo por completo, pero

aparecerá su valor en la escena. (r

)n= (rn)

n·

El módulo se eleva a n El argumento se multiplica por n En el inicio, pulsa el botón de n, para darle los valores 1, 2, 3,...e irás viendo las distintas potencias del números complejo 1 2 3 z=(1,1)30º esto es, para hallar z , z , z ,... EJERCICIO 12 Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena: Al cambiar el módulo y el argumento respecto a los iniciales, puedes dar al botón limpiar para eliminar los valores iniciales. a) (1.560º)4 b) (390º)2 c) (2120º)3 d) (145º)7

7.3. División Sólo tienes que mirar esta escena para deducir cómo se dividen complejos en forma polar

Se dividen los módulos Se restan los argumentos. EJERCICIO 13 Efectúa las siguientes divisiones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena: 5150º : 230º 6225º : 375º z1=4340º dividido por su conjugado z1=350º dividido por su opuesto

7.4. Fórmula de Moivre Aplicando la propiedad de la potencia de un número complejo, se obtiene la siguiente fórmula llamada fórmula de Moivre: (cos + i sen )n = cos(n ) + i sen(n ) que es útil en trigonometría, pues permite hallar cos(n ) y sen(n ) en función de sen y EJERCICIO 14 Deduce la fórmula de Moivre aplicando la fórmula de la potencia al número complejo de módulo 1 y argumento .

8. RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Ya sabes que la operación de radicación es la inversa que la de potenciación. En esta escena se nos presenta el vector de un número complejo z, y una potencia del mismo, zn.

Veamos que para un único número complejo zn, existen varios complejos z, que al elevarlos a la potencia n, nos da el mismo complejo zn. Para comprobarlo sigue las siguientes instrucciones: En el inicio de esta escena tenemos que (230º)3=890º 1.- Introduce el valor del argumento de z, A=150º y pulsa la tecla ENTER. Puedes ver que (2150º)3=8450º=890º+360º=890º 2.- Introduce el valor del argumento de z, A=270º y pulsa la tecla ENTER. Puedes ver que (2270º)3=8810º=890+2·360º=890º 3.- En resumen tenemos que: (230º)3=(2150º)3=(2270º)3=890º Observa que si unimos los tres afijos (extremos de los vectores) forman un triángulo equilátero. ¿Qué quiere decir todo esto? Pues que si hacemos la raíz cúbica de 890º, nos dará tres soluciones: 230º, 2150º y 2270º Hemos hecho lo contrario que cuando se eleva un complejo al cubo, hemos hecho la raíz cúbica del módulo, y hemos dividido el argumento por 3. OTRO EJEMPLO: 1.- Pulsa el botón inicio 2.- Introduce r=1, A=60º, n=4 y a continuación ENTER 3.- Pulsa el botón limpiar 4.- Ahora tenemos que (160º)4 = 1240º 5.- Introduce A=150º, ENTER 6.Ahora (1150º)4=1600º=1240º+360º=1240º

tenemos

que

7.- Introduce A=240º, ENTER 8.Ahora 4 (1240º) =1960º=1240º+2·360º=1240º

tenemos

que

9.- Introduce A=330º, ENTER 10.Ahora 4 (1330º) =11320=1240º+3·360º=1240º

tenemos

que

11.- Por tanto:

De estos dos ejemplos deducimos que la raíz cúbica tiene tres soluciones, y la raíz cuarta, cuatro.

8. Raíz cuadrada Vamos a hallar

:

.- Primero pasamos z=4+3i a forma polar:

z=4+3i=536.9º 2.- La raíz cuadrada de z, tendrá de módulo la raíz cuadrada del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 2.

3.- Las dos soluciones de esta raíz cuadrada son: Si k=0 --> z1= 18.4º Si k=1 --> z2=

198.4º

Si le seguimos dando valores a k=2, 3, 4, ... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1 y z2 EJERCICIO 15 Calcula en tu cuaderno las dos raíces cuadradas de a) z=1-i b) z=-9 c) z=4i d) z=-2+2i Después comprueba tus resultados en la escena. Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón LIMPIAR. Pero cuando cambias de k=0 a k=1 no es necesario, así verás las dos soluciones a la vez.

8.2. Raíz cúbica Vamos a hallar

:

1.- Primero pasamos z=2+4i a forma polar:

z=2+4i = 4.563.4º 2.- La raíz cúbica de z, tendrá de módulo la raíz cúbica del módulo de z y de argumento, el de z dividido por 3.

3.- Las tres soluciones de esta raíz cúbica son: Si k=0 --> z1=1.621.1º Si k=1 --> z2=1.6141.1º Si k=2 --> z3=1.6261.1º Si le seguimos dando valores a k=3, 4, 5,... veremos que las soluciones que salen coinciden con las ya mencionadas, después de haber dado 1, 2, 3, ... vueltas a la circunferencia. Todas estas operaciones que hemos hecho las puedes ver en la escena, y ver como quedan los vectores, tanto de z como de z1, de z2 y de z3. EJERCICIO 16 Calcula en tu cuaderno las tres raíces cúbicas de

a) z=-i b) z=-8 c) z=6 d) z=-2+3i Después comprueba tus resultados en la escena. Después de introducir los valores de a y b, debes darle al botón LIMPIAR. Pero cuando cambias de k=0 a k=1 y k=2 no es necesario, así verás las tres soluciones a la vez.

8.3. Raíz n-ésima En esta escena podrás calcular las n soluciones de la raíz n-ésima (de índice n) de cualquier complejo z, dado en forma polar. EJERCICIO 17 1.- Calcula en tu cuaderno: a) b) c) d) Comprueba tus resultados en esta escena, que debes darlos en forma polar y en forma binómica. En esta escena hay que introducir los complejos en forma polar: si nos lo dan en forma binómica, hay que hacer previamente el cambio. Cada vez que introduzcas un nuevo complejo hay que LIMPIAR la escena.