Cap´ıtulo 1

Complejos y Polinomios En este Cap´ıtulo vamos a introducir o recordar algunos temas b´asicos para el desarrollo de la disciplina: los n´ umeros complejos (que ”resuelven” las operaciones con n´ umeros) y los polinomios (una de las herramientas m´as usadas, como veremos a lo largo de la asignatura).

1.1

El plano complejo

Conocemos y manejamos ya diversos conjuntos de n´ umeros, los naturales IN = {0, 1, 2, 3, . . .}, los n enteros ZZ = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}, los racionales Q = { m : n ∈ ZZ, m ∈ ZZ−{0}} y los n´ umeros reales IR (o decimales que completan los “huecos” entre los racionales con los irracionales IR = Q∪II). Cumpliendo IN ⊆ ZZ ⊆ Q ⊆ IR. Nota: Un n´ umero real puede describirse en la forma e.d1 d2 d3 . . . dn . . . , un n´ umero entero seguido de infinitos decimales. Si, a partir de uno de ellos, todos los decimales son cero ´o los decimales se repiten peri´odicamente el n´ umero es racional (as´ı,

1 3

z{

z{

= 0. 3 = 0.33333 . . ., luego 1 = 0. 9 = 0.99999 . . .).

Tenemos definidas unas operaciones de suma y producto en cada conjunto que son “internas” (suma o producto de naturales es natural, suma o producto de enteros es entero, etc.) y coherentes con la cadena de contenciones (si sumamos dos enteros como racionales o reales, el resultado es el mismo que si los sumamos como enteros). A efectos pr´acticos, son las mismas operaciones para todos los conjuntos. Sin embargo, no tienen en cada conjunto las mismas propiedades: en IN ni para la suma ni para el producto existe inverso (ni la resta ni la divisi´on de naturales es, en general, un natural), en ZZ existe el inverso para la suma pero no para el producto (la resta de enteros es entera pero no la divisi´on) y tanto en Q como en IR podemos restar y tambi´en dividir por valores distintos de cero. La otra operaci´on o manipulaci´on b´asica entre n´ umeros, la potencia (una generalizaci´on del pro√ 1 ducto) nos distingue m´as estos dos u ´ltimos conjuntos. As´ı 2 ∈ Q (luego a IR), pero 2 2 = 2 ∈ / Q, 1 aunque s´ı se cumple que 2 2 ∈ IR. En IR, es cierto que si x e y son reales con x ≥ 0, entonces xy ∈ IR; pero no se cumple cuando x < 0. Para resolver este “defecto” se contruyen los n´ umeros complejos: un conjunto C que contenga a IR, que sus operaciones suma y producto permitan restar y dividir y sean coherentes con las operaciones de los subconjuntos, y que para la potencia se verifique adem´as que si z, w ∈ C, entonces z w ∈ C.

1.1.1

N´ umeros complejos

Consideremos el conjunto IR2 y contruyamos en ´el unas operaciones suma y producto que funcionen como deseamos. Sobre IR2 tenemos definida una operaci´on suma que s´ı es interna: (a1 , b1 ) ∈ IR2 , (a2 , b2 ) ∈ IR2 , y (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) ∈ IR2 , con operaci´on inversa la resta (suma de opuestos) y una operacion producto escalar, que no es interna, (a1 , b1 ) ∈ IR2 , (a2 , b2 ) ∈ IR2 , y (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = a1 a2 + b1 b2 ∈ IR y no admite una operaci´on inversa. Dotar a IR2 de una operaci´on “producto” interna, con un funcionamiento an´alogo al funcionamiento del producto en IR crea una nueva estructura conocida como el conjunto de los n´ umeros complejos o el cuerpo complejo.

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2 – Matem´aticas I

1.1 El plano complejo

Esta operaci´on producto “∗” se define de la forma siguiente: (a1 , b1 ) ∗ (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ). As´ı, el conjunto de los n´ umeros complejos, C, est´a formado por el conjunto IR2 con dos operaciones b´asicas: suma “+” (la suma de IR2 ) y el producto complejo “∗” (definido arriba). Es decir, C = (IR2 , +, ∗). 1.1.1.1

Forma bin´ omica de un n´ umero complejo

El producto (complejo) tiene por elemento neutro (1, 0), pues (1, 0) ∗ (a, b) = (a, b) ∗ (1, 0) = (1a − 0b, 0a + 1b) = (1a, 1b) = (a, b). Pero tambi´en, 1(a, b) = (1a, 1b) = (a, b) y, de hecho, para cualquier escalar λ, (λ, 0) ∗ (a, b) = (λa − 0b, 0a + λb) = (λa, λb) = λ(a, b) luego pueden identificarse los elementos (λ, 0) con los n´ umeros reales λ, es decir, en C (λ, 0) = λ a todos los efectos. Como (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) = a + b(0, 1), haciendo (0, 1) = i el n´ umero complejo se escribe (a, b) = a + ib, que se denomina forma bin´ omica del n´ umero complejo. Del elemento i se dice que es la unidad imaginaria. En la forma bin´omica, el producto se efectua como un producto de binomios habitual: (a + ib)(c + id) = ac + iad + icb + i2 bd = (ac − bd) + i(ad + cb) = (ac − bd, ad + cb) = (a, b) ∗ (c, d) sin m´as que tener en cuenta que i2 = ii = (0, 1) ∗ (0, 1) = (−1, 0) = −1. Con esta nueva notaci´on, suele escribirse C = {a + ib : a, b ∈ IR} (a veces C = IR + iIR) y los elementos de C se denotan por z = a + ib. Los elementos de C se representan en el plano IR2 que suele denominarse plano complejo, al eje se abcisas se le denomina eje real y al de ordenadas eje imaginario. Definici´ on 1.- Si z = a + ib es un n´ umero complejo, al valor real a se le llama se llama parte real de z , Re(z) = a, y al valor real b la parte imaginaria, Im(z) = b, es decir, z = Re(z) + i Im(z). Si la parte imaginaria de z es cero, el complejo es un n´ umero real y, suele indicarse con z ∈ IR. Si la parte real de z es cero se dice que es imaginario puro y, suele indicarse con z ∈ iIR. El cero en C es el cero real (0, 0) = 0 + i0 = 0. Proposici´ on 2.- Sea z ∈ C − {0}, entonces existe un u ´nico w ∈ C tal que zw = 1. Demostraci´on: En efecto, si(z = a+ib y w = x+iy =Ã(a+ib)(x+iy) Ã , zw ! ! Ã ! = ax−by+i(ay+bx) y zw = 1 = 1+i0 ax − by = 1 a −b x 1 ⇐⇒ el sistema ←→ = tiene soluci´on u ´nica. Pero esto es cierto, bx + ay = 0 b a y 0 ¯ ¯ ¯ a −b ¯ ¯ ¯ pues ¯ ¯ = a2 + b2 6= 0 al ser z 6= 0. ¯b a ¯

Si z = a + ib, el inverso se denota por z −1 = a b antes, por z −1 = aa−ib 2 +b2 = a2 +b2 − i a2 +b2 . 1.1.1.2

1 z

y viene dado, resolviendo el sistema propuesto

Conjugado de un n´ umero complejo

Definici´ on 3.- Sea z = a + ib un n´ umero complejo, se llama conjugado de z al n´ umero complejo z = a + i(−b) = a − ib. Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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3 – Matem´aticas I

1.1 El plano complejo

Nota: Con la notaci´on de IR2 , el conjugado de (a, b) es (a, −b) y son sim´etricos respecto al eje de abcisas (eje real en el plano complejo). Propiedades 4.- Sean z, w ∈ C, entonces a) z = z . b) z = z ⇐⇒ z = a + i0 ∈ IR; c) z + z = 2 Re(z);

z − z = i2 Im(z).

d) z + w = z + w ; 1.1.1.3

z = −z ⇐⇒ z = 0 + ib ∈ iIR.

z −1 = (z)−1 .

zw = z w ;

M´ odulo de un n´ umero complejo

Definici´ on 5.- Sea√ z = a + ib ∈ C un n´ umero complejo. Se denomina m´ odulo (o norma) de z al valor real |z| = + a2 + b2 . √ √ Nota: Si z es real, z = a + i0 = a, se tiene que |z| = + a2 + 02 = + a2 = |a|, es decir, el m´odulo complejo coincide con el valor absoluto real. Propiedades 6.- Sean z, w ∈ C, entonces a) |z| ≥ 0;

|z| = 0 ⇐⇒ z = 0.

b) |Re(z)| ≤ |z|; c) |z| = |z|:

|Im(z)| ≤ |z|; |z|2 = zz ;

d) |z + w| ≤ |z| + |w|; e) |zw| = |z| |w|;

1 z

|z| ≤ |Re(z)| + |Im(z)|. z zz

=

=

¯ ¯

z |z|2

. ¯ ¯

|z − w| ≥ ¯ |z| − |w| ¯ .

¯ −1 ¯ ¯z ¯ = |z|−1 .

Definici´ on 7.- Se llama distancia entre z y w al valor real d(z, w) = |z − w|. Son inmediatas las propiedades a) d(z, w) ≥ 0;

d(z, w) = 0 ⇐⇒ z = w .

b) d(z, w) ≤ d(z, t) + d(t, w), ∀ t ∈ C.

1.1.2

Forma polar de un n´ umero complejo

Sea z = a + ib = (a, b). Un punto de IR2 queda perfectamente determinado mediante su distancia al origen |z| y el ´angulo θ que forma con el eje polar (el semieje real positivo). Definici´ on 8.- Sea z = x + iy un n´ umero complejo no nulo. Se llama argumento de z y se designa por arg(z) a cualquier n´ umero real θ que verifique que z = x + iy = |z| cos θ + i |z| sen θ = |z| (cos θ + i sen θ). Se dice entonces que z est´a en forma polar (o m´odulo argumental) y denotarse por z = |z|θ . Como las funciones seno y coseno son peri´odicas de per´ıodo 2π , arg(z) est´a determinado salvo m´ ultiplos de 2π ; es decir, hay infinidad de argumentos de z , pero dos cualesquiera de ellos difieren

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4 – Matem´aticas I

1.1 El plano complejo

en m´ ultiplos de 2π . Si fijamos como argumento preferido el arg(z) ∈ (−π, π], puede obtenerse de        

arctg xy , π + arctg xy , ³ ´ arg(z) ∈ (−π, π] = −π + arctg xy ,   π    2,   π −2,

si si si si si

x>0 x n, entonces an+1 = an+2 = · · · = am = 0, es decir, completamos con coeficientes cero. Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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8 – Matem´aticas I

1.2 Polinomios

Nota: gr(P + Q) ≤ m´ax{gr(P ), gr(Q)} Ejemplo.- Para P (X) = 3 + 6X2 − 5X4 y Q(X) = 2 − 8X − 6X2 + 7X6 , se tiene ³

´

³

P + Q = 3 + 6x2 − 5X4 + 2 − 8X − 6X2 + 7X6 ³

´

´

³

= 3 + 0X + 6X2 + 0X3 − 5X4 + 0X5 + 0X6 + 2 − 8X − 6X2 + 0X3 + 0X4 + 0X5 + 7X6

´

= (3 + 2) + (0 − 8)X + (6 − 6)X2 + (0 + 0)X3 + (−5 + 0)X4 + (0 + 0)X5 + (0 + 7)X6 = 5 − 8X + 0X2 + 0X3 − 5X4 + 0X5 + 7X6 = 5 − 8X − 5X4 + 7X6 . y podemos comprobar que gr(P + Q) ≤ m´ ax{gr(P ), gr(Q)} = m´ax{4, 6} = 6. Definici´ on 21.- Llamaremos producto de los polinomios P y Q al polinomio P · Q, obtenido de: P (X) · Q(X) =

à n X i=0

i

ai X

!Ã m X i=0

! i

bi X

=

n+m X

ci Xi ,

i=0

donde ci =

i X

ak bi−k

k=0

Nota: gr(P · Q) = gr(P ) + gr(Q). Observaciones: ? El neutro de la suma es el polinomio cero P (X) = 0 y del producto el polinomio 1, P (X) = 1. ? El inverso para la suma: de P (X) es (−1)P (X) = −P (X). ? No hay inversos para el producto: si el polinomio P (X) = X tuviera un inverso Q(X), tendr´ıa que ocurrir que P (X)Q(X) = 1. Pero entonces 0 = gr(1) = gr(P · Q) = 1 + gr(Q) ≥ 1. ? Se cumplen las propiedades asociativas y distributivas. ? Si P (X) 6= 0 y P (X)Q(X) = 0, entonces Q(X) = 0. En efecto, si fuera gr(Q) = 0 con Q(X) = k 6= 0, entonces P (X)Q(X) = kP (X) 6= 0 (absurdo); y si gr(Q) > 0, entonces gr(P Q) > 0 y P (X)Q(X) 6= 0 (tambi´en absurdo), luego Q(X) = 0. ? Si P (X) 6= 0 y P (X)Q(X) = P (X)R(X), entonces Q(X) = R(X). (Inmediata de la anterior.)

1.2.2

Division eucl´ıdea de polinomios. Divisibilidad y factorizaci´ on

El conjunto IK[X] tiene en muchos aspectos una profunda semejanza con el conjunto ZZ de los enteros (algebraicamente tienen la misma estructura, ambos son anillos conmutativos). Repasamos brevemente algunos hechos b´asicos que ocurren en ZZ, para despu´es hacer el estudio paralelo en IK[X]. ? Dados a, b ∈ ZZ, b 6= 0 existen q, r ∈ ZZ u ´nicos tal que a = qb + r con 0 ≤ r < |b| (la divisi´ on entera o eucl´ıdea, con q y r el cociente y el resto). ? Dados a, b ∈ ZZ, se dice que ”b divide a a” (o que ”a es m´ ultiplo de b”) si existe c ∈ ZZ tal que a = bc. Se escribe b | a y significa que el resto de la divisi´on entera de a entre b es 0. ? Si a, b ∈ ZZ, se llama m´ aximo comun divisor de a y b, mcd(a, b), a un entero d tal que: d | a y d | b y es el mayor, es decir, para cualquier otro δ ∈ ZZ tal que δ | a y δ | b entonces δ | d. ? mcd(a, b) = mcd(±a, ±b) = mcd(b, a). ? El Algor´ıtmo de Euclides permite calcular el mcd(a, b) sin necesidad de utilizar la descomposici´on de a y b en factores. La realizaci´on pr´actica del algoritmo se dispone as´ı:

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9 – Matem´aticas I

1.2 Polinomios

q1 q2 q3 · · · · · · qn−1 qn qn+1 a b r1 r2 · · · · · · rn−2 rn−1 rn r1 r2 r3 · · · · · · rn−1 rn 0

a = bq1 + r1 b = r1 q2 + r2 r1 = r2 q3 + r3 ··· rn−1 = rn qn+1 + 0

donde qi y ri son respectivamente los cocientes y restos de las divisiones, y rn = mcd(a, b). La conclusi´on es correcta, pues por ser a = q1 b + r1 y d un divisor de a y b, a y b se descomponen en a = da1 y b = db1 , luego r1 = a − bq1 = da1 − db1 q1 = d(a1 − b1 q1 ) y d divide a r1 . Luego cualquier divisor de a y b lo es tambi´en de b y r1 . An´alogamente b = q2 r1 + r2 y por el mismo proceso los divisores de b y r1 tambi´en lo son de r1 y r2 . El proceso es mcd(a, b) = mcd(b, r1 ) = mcd(r1 , r2 ) = · · · = mcd(rn−1 , rn ) = rn pues rn | rn−1 y rn | rn . ? Un elemento p ∈ ZZ se dice irreducible si los u ´nicos enteros que lo dividen son 1, −1, p y −p. A los enteros irreducibles positivos se los llama n´ umeros primos. El 1 no suele considerarse primo. ? Todo n´ umero entero n admite una descomposici´on u ´nica (salvo el orden de los factores) de la forma n = (±1)pt11 pt22 · · · ptrr con pi n´ umero primo ∀ i. Ejemplo.- El mcd(711, 243) = 9 y el mcd(−300, 432) = 12 pues 2 1 12 2 711 243 225 18 9 225 18 9 0 1.2.2.1

−1 3 3 1 2 −300 432 132 36 24 12 132 36 24 12 0

Divisi´ on entera o eucl´ıdea de polinomios

Regresemos de nuevo a IK[X], y veamos que podemos encontrar resultados bastante an´alogos: Definici´ on 22.- Dados P (X) y Q(X) con Q(X) 6= 0, existen dos u ´nicos polinomios C(X) y R(X) tales que: P (X) = C(X) · Q(X) + R(X), siendo R(X) = 0 ´o gr(R) < gr(Q). Si R(X) = 0, se dice que Q(X) divide a P (X) y se escribe Q(X) | P (X). Tambi´en se dice que Q(X) es un factor de P (X) (de P (X) = C(X) · Q(X), claramente). Nota: El m´etodo de divisi´on de polinomios es el conocido por los alumnos. Los polinomios constantes, de grado cero, dividen a todos los polinomios y el polinomio cero es m´ ultiplo de cualquiera. Definici´ on 23.- Se dice que D(X) es un m´aximo com´ un divisor de P (X) y Q(X) si se verifica que D(X) | P (X) y D(X) | Q(X) y es el mayor, es decir, si para cualquier otro ∆(X) ∈ IK[X] tal que ∆(X) | P (X) y ∆(X) | Q(X) entonces ∆(X) | D(X). El mcd de dos polinomios est´a determinado salvo un factor constante. En particular, puede elegirse un mcd m´ onico (coeficiente del t´ermino de mayor grado 1) que con esta condici´on adicional es u ´nico. Definici´ on 24.- Un polinomio P (X) de grado n > 0 se dice reducible en IK[X] si existen Q(X) y C(X) polinomios no constantes de IK[X] tales que P (X) = Q(X)C(X). Si no es reducible en IK[X], se dice irreducible en IK[X]. Observaciones: ? Si Q(X) y C(X) reducen a P (X), entonces 0 < gr(Q) < gr(P ) y 0 < gr(C) < gr(P ). ? En consecuencia, los polinomios de grado 1 son siempre irreducibles. ? Las constantes no se consideran irreducibles.

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10 – Matem´aticas I

1.2 Polinomios

? Un polinomio es o no irreducible en IK[X]. As´ı, X2 + 1 es irreducible en IR[X] mientras que no lo es en C[X], pues X2 + 1 = (X − i)(X + i). ? Si Q(X) | P (X), entonces kQ(X) | P (X), para todo k ∈ IK. Por esta raz´on suele trabajarse con divisores m´onicos. ? El Algoritmo de Euclides funciona perfectamente en IK[X] para obtener el m´aximo com´ un divisor de dos polinomios. Teorema 25.- Todo polinomio P (X) ∈ IK[X] admite en IK[X] una descomposici´on u ´nica en la forma ³

´m1 ³

P (X) = k Q1 (X)

´m2

Q2 (X)

³

´mr

· · · Qr (X)

donde k ∈ IK y los Qi (X) son polinomios irreducibles m´onicos. 1.2.2.2

Ra´ız de un polinomio

Dado un polinomio P (X) = a0 + a1 X + · · · + an Xn ∈ IK[X] y α ∈ IK, denotaremos por P (α) al resultado de efectuar en IK los c´alculos: a0 + a1 α + · · · + an αn . Definici´ on 26.- Se dice que α ∈ IK es una ra´ız del polinomio P (X) ∈ IK[X] si P (α) = 0. Teorema 27.- α ∈ IK es ra´ız de P (X) ⇐⇒ (X − α) | P (X). Demostraci´on: Siempre podemos dividir P (X) entre X − α y su divisi´on entera es P (X) = C(X) · (X − α) + R(X) donde R(X) = 0 ´o gr(R(X)) < gr(X − α) = 1, es decir R(X) es cero ´o es una constante distinta de cero luego R(X) = k ∈ IK y tenemos que: P (X) = C(X) · (X − α) + r , luego P (α) = C(α) · (α − α) + r = r . Como P (α) = r se puede concluir que P (α) = 0 ⇐⇒ r = 0 ⇐⇒ P (X) = C(X) · (X − α) ⇐⇒ (X − α) | P (X) Corolario 28.- Un polinomio, de grado mayor que 1, irreducible en IK[X] no tiene raices en IK. Nota: El resultado inverso “si no tiene raices en IK entonces es irreducible en IK[X]” no es cierto. Por ejemplo, en IR[X], el polinomio X4 + 5X2 + 4 = (X2 + 1)(X2 + 4) es reducible, pero no tiene raices en IR. La condici´on “de grado mayor que 1” es obvia, pues los polinomios de grado uno aX+b son siempre irreducibles y siempre tienen una ra´ız. Definici´ on 29.- Diremos que α ∈ IK es una ra´ız de multiplicidad m del polinomio P (X) ∈ IK[X], si P (X) = (X − α)m · Q(X) con Q(α) 6= 0. Lema 30.- Sea P (X) = Q(X)R(X). Si α ∈ IK es ra´ız de P (X) con multiplicidad m y Q(α) 6= 0 (no es ra´ız de Q(X)), entonces α es ra´ız de R(X) con multiplicidad m. Teorema 31.- Un polinomio de grado n posee, a lo m´as, n raices (contadas con sus multiplicidades). Demostraci´on: En efecto, si P (X) tiene r raices α1 , α2 , . . . , αr , de multiplicidades respectivas m1 , m2 , . . . , mr , entonces P (X) = (X − α1 )m1 (X − α2 )m2 · · · (X − αr )mr Q(X), por el Lema 30 anterior. Luego n = gr(P (X)) = m1 + m2 + · · · + mr + gr(Q(X)), por lo que el n´ umero de raices, m1 + m2 + · · · + mr , es a lo m´as n. Corolario 32.- Un polinomio de grado n con n + 1 raices es el polinomio 0.

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11 – Matem´aticas I 1.2.2.3

1.2 Polinomios

Factorizaci´ on de polinomios de coeficientes complejos

El siguiente resultado (que no es elemental) aporta la informaci´on necesaria: Teorema fundamental del Algebra 33.- Todo polinomio con coeficientes complejos, de grado mayor o igual que uno posee al menos una raiz compleja. Corolario 34.- En C[X]: ? Un polinomio de grado n tiene n raices (contadas con sus multiplicidades). ? Todo polinomio de grado n ≥ 1 se descompone en producto de n factores de grado 1. ? Los u ´nicos polinomios irreducibles son los de grado 1. Ejemplos: ³ ´³ ´ ? 4X2 − 8X + 13 = 4 X − (1 + 32 i) X − (1 − 23 i) ?

1 4 2X

1.2.2.4

π

+ 8 = 21 (X4 + 16) = 21 (X − 2ei 4 )(X − 2ei

3π 4

)(X − 2e−i

3π 4

π

)(X − 2e−i 4 )

Factorizaci´ on de polinomios en IR[X]

Puesto que IR ⊆ C, un polinomio de IR[X] puede mirarse como perteneciente a C[X], y se descompone en factores lineales en C[X]. Ahora bien, estos factores puede que no pertenezcan todos ellos a IR[X]. Lema 35.- Sea P (X) =

n P i=0

ai Xi ∈ IR[X]. Si α es una ra´ız compleja (y no real) de P (X), entonces α

tambi´en es ra´ız de P (X), y con la misma multiplicidad que α. Nota: Los polinomios de grado 2 formados como en la demostraci´on del lema anterior (por (X−α)(X−α) con α no real), son irreducibles en IR[X]. Teorema 36.- Todo polinomio de coeficientes reales y grado mayor o igual que 1 se descompone en IR[X] como producto de factores irreducibles de grado 1 o de grado 2. Nota: La factorizaci´on del polinomio as´ı obtenida es u ´nica (por la unicidad de la factorizaci´on compleja): P (X) = an (X − α1 )m1 · · · (X − αr )mr (X2 + c1 X + d1 )n1 · · · (X2 + ct X + dt )nt donde αi ∈ IR son las raices reales, y los coeficientes reales de los polinomios de grado 2 se obtienen con cj = −(βj + βj ) y dj = βj βj , de las raices βj y βj complejas de P (X). Corolario 37.- Un polinomio real de grado impar tiene al menos una ra´ız real. 1.2.2.5

Factorizaci´ on de polinomios de coeficientes racionales

Sea P (X) =

n P mi i ultiplo com´ un a todos los ni X un polinomio de Q[X]. Entonces, tomando un m´

i=0

denominadores ni , m∗ , el polinomio P∗ (X) = m∗ P (X) tiene todos sus coeficientes enteros, y las mismas raices que P (X). En consecuencia, basta estudiar las raices de un polinomio de coeficientes enteros: Teorema 38.- Sea P (X) = a0 + a1 X + · · · + an−1 Xn−1 + an Xn un polinomio con ai ∈ ZZ, ∀ i. Entonces, 1.- Si P (X) posee una ra´ız α ∈ ZZ, entonces α | a0 . 2.- Si P (X) posee una ra´ız α = (La expresi´on de α = Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

p q

p q

∈ Q, entonces p | a0 y q | an .

debe estar simplificada al m´aximo, es decir, mcd(p, q) = 1.) I.T.I. en Electricidad

12 – Matem´aticas I

1.2 Polinomios

Nota: La utilidad del teorema estriba en que se puede construir una lista de candidatos a raices y basta comprobar si cada uno de ellos es o no ra´ız del polinomio. 41 2 3 Ejemplo.- Hallar las raices racionales del polinomio P (X) = 7X4 + 95 4 X + 4 X − 20X − 3. 4 3 2 Buscamos las raices racionales de Q(X) = 4P (X) = 28X + 95X + 41X − 80X − 12.

? Como 12 = 22 3, sus divisores son 1, 2, 3, 4 (22 ), 6 (2 · 3) y 12 (22 3) y los negativos −1, −2, −3, −4, −6 y −12. Comprobamos si Q(1) = 0, si Q(2) = 0, si Q(−1) = 0, etc. Si lo hacemos usando la divisi´on por Ruffini, tenemos adem´as la descomposicion del polinomio −2

28 95 41 −80 −12 + −56 −78 74 12 28 39 −37 −6 0= Q(−2)

y se tiene Q(X) = (X + 2)(28X3 + 39X2 − 37X − 6)

Buscamos ahora las raices de Q1 (X) = 28X3 + 39X2 − 37X − 6, y la lista de candidatos se reduce a ±1, ±2, ±3 y ±6 (desaparecen ±4 y ±12) 28 39 −37 −6 −2 + −56 34 6 28 −17 −3 0= Q1 (−2)

y se tiene Q(X) = (X + 2)2 (28X2 − 17X − 3)

Buscamos ahora las raices de Q2 (X) = 28X2 − 17X − 3, y la lista de candidatos se reduce a ±1 y ±3. Ninguno de ellos es ra´ız, por lo que buscamos las raices fraccionarias: ? Como 28 = 22 7, sus divisores positivos son 1, 2, 7, 4, 14 y 28. Las posibles raices racionales de ±1 ±1 ±1 ±1 ±3 ±3 ±3 ±3 ±3 Q2 son: ±1 an simplificadas 2 , 4 , 7 , 14 , 28 , 2 , 4 , 7 , 14 y 28 (son todas distintas y est´ al m´aximo). − 71

28 −17 −3 + −4 3 28 −21 0= Q2 ( −1 7 )

y se tiene Q(X) = (X + 2)2 (X + 17 )(28X − 21)

Luego la descomposici´on final es: Q(X) = 28(X + 2)2 (X + 71 )(X − 34 ). (Por supuesto, como el polinomio Q2 es de grado 2, es m´as f´acil y sencillo obtener sus raices de √ 17± (−17)2 −4(−3)28 la manera habitual α = .) 2·28 Nota: Para evaluar un polinomio real a mano o con calculadora, es muy u ´til reescribirlo de manera que se pueda hacer con sumas y productos sucesivos, sin almacenaje. Por ejemplo, P (X) = a4 X4 + a3 X3 + a2 X2 + a1 X + a0 = (a4 X3 + a3 X2 + a2 X + a1 )X + a0 = ((a4 X2 + a3 X + a2 )X + a1 )X + a0 = (((a4 X + a3 )X + a2 )X + a1 )X + a0 y basta realizar las operaciones, sucesivamente de dentro a fuera. Descomposici´ on en fracciones simples Dados P (X), Q(X) ∈ IK[X], se considera la fracci´on raP (X) cional Q(X) . Se dice que est´a simplificada, si P (X) y Q(X) no tienen divisores comunes (salvo las constantes), es decir, considerando los divisores m´onicos, mcd(P (X), Q(X)) = 1. Las fracciones racionales reales y complejas admiten una expresi´on equivalente que es suma de fracciones racionales m´as simples que simplifican su manejo. El proceso para encontrar dicha expresi´on se denomina descomposici´ on en fracciones simples (de esta manera se usa en integraci´ on, series de potencias, variable compleja, etc.). P (X) Supondremos que la fracci´on Q(X) est´a simplificada y gr(P (X)) < gr(Q(X)). De no ser as´ı, podremos hacer: ? Si

P (X) Q(X)

y mcd(P (X), Q(X)) = D(X) 6= 1, la expresi´on equivalente

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P (X)/D(X) Q(X)/D(X)

est´a simplificada. I.T.I. en Electricidad

13 – Matem´aticas I

1.2 Polinomios

? Si gr(P (X)) ≥ gr(Q(X)), entonces

P (X) Q(X)

= C(X) +

R(X) Q(X) ,

con gr(R(X)) < gr(Q(X)).

y obtener una fracci´on que s´ı lo cumple. Consideremos la descomposici´on de Q (eliminamos el soporte X del nombre de los polinomios, por m2 mr 1 comodidad) en producto de polinomios m´onicos irreducibles: Q = Qm 1 Q2 · · · Qr . En C[X], todos los polinomios irreducibles son de grado 1 luego los Qi son de grado 1, es decir, Qi (X) = X − αi . Pero en IR[X], los polinomios irreducibles pueden ser de grado 1 o de grado 2, es decir, de la forma Qi (X) = X − ai o de la forma Qi (X) = X2 + bi X + ci . P Se plantea entonces la fracci´on Q como suma de un cierto n´ umero de fracciones: por cada factor Qi se tendr´an mi sumandos, en la forma ··· +

Tim Ti1 Ti2 Tij + 2 + · · · + j + · · · + mii + · · · Qi Qi Qi Qi

donde gr(Tij ) < gr(Qi ). Entonces, ? En C[X], todos los numeradores son Tij (X) = tij ∈ C. ? En IR[X], los numeradores son Tij (X) = tij ∈ IR si Qi (X) = X − ai (si Qi es de grado 1) y de la forma Tij (X) = pij X + qij ∈ IR[X] si Qi (X) = X2 + bi X + ci (de grado 2). Para determinar los coeficientes de los numeradores se realiza la suma indicada, poniendo como denomr 1 minador com´ un Qm 1 · · · Qr , es decir, Q. El polinomio obtenido en el numerador, se iguala a P y, de esta igualdad de polinomios, se extrae el sistema de ecuaciones que nos permite obtener los valores concretos: este sistema tiene siempre soluci´ on u ´nica. El n´ umero de incognitas es siempre igual al gr(Q) y como el polinomio obtenido en el numerador al sumar es (inicialmente) de grado gr(Q) − 1 tambi´en tiene gr(Q) coeficientes. Luego el sistema de ecuaciones tiene gr(Q) ecuaciones y gr(Q) inc´ognitas. (Ver ejercicio 19) Ejemplo 39.- Sea

P (X) Q(X)

=

X3 +X2 +3 X3 (X−1)(X2 +1)2

.

En IR[X], Q(X) = X3 (X − 1)(X2 + 1)2 , pero en C[X], Q(X) = X3 (X − 1)(X − i)2 (X + i)2 . Luego X3 + X2 + 3 = X3 (X − 1)(X2 + 1)2 en IR[X], siendo tij , pij , qij ∈ IR. X3 (X

t11 t12 t13 + 2 + 3 X X X

+

t21 X−1

+

p31 X + q31 p32 X + q32 + 2 X2 + 1 (X + 1)2

Y en C[X], con los valores tij ∈ C, se tiene

X3 + X2 + 3 t11 t12 t13 t21 t31 t32 t41 t42 = + 2 + 3 + + + + + − 1)(X − i)2 (X + i)2 X X X X−1 X − i (X − i)2 X + i (X + i)2

Para calcular los coeficientes en el caso de IR[X], hacemos: a b c d eX + f gX + h aX2 +bX+c d eX3 + f X2 + (e+g)X + f +h P = + 2+ 3+ + 2 + 2 = + + Q X X X X−1 X +1 (X + 1)2 X3 X−1 (X2 + 1)2 · ¸ (aX2 +bX+c)(X−1)(X2 +1)2 + dX3 (X2 +1)2 + (eX3 +f X2 +(e+g)X+f +h)(X−1)X3 C(X) = = X3 (X − 1)(X2 + 1)2 Q(X) 7 +(b−a+f −e)X6 +(c−b+2a+2d+e+g−f )X5 +(2b−2a−c+f+h−e−g)X4 +(a−2b+2c+d−f −h)X3 +(b−a−2c)X2 +(c−b)X−c

= (a+d+e)X

X3 (X−1)(X2 +1)2

e igualando los coeficientes de P (X) = 0X7 + 0X6 + 0X5 + 0X4 + X3 + X2 + 0X + 3 con los del polinomio construido C(X), se obtiene el sistema (1) de 8 ecuaciones y 8 inc´ognitas con soluci´on u ´nica. Tambi´en puede construirse un sistema equivalente obligando a que ambos polinomios coincidan en 8 valores (uno m´as que el grado), pues si P (αi ) = C(αi ) para α1 , . . . , α8 todas distintas, el polinomio P (X) − C(X) tiene 8 raices y, por el corolario 32, es el polinomio 0; luego P (X) = C(X). Por ejemplo, podemos construir un sistema a partir de (2): Prof: Jos´ e Antonio Abia Vian

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14 – Matem´aticas I

1.2 Polinomios

  0=a+d+e     0=b−a+f −e      0 = c − b + 2a + 2d + e + g − f   

(1)

0 = 2b − 2a − c + f + h − e − g

 1 = a − 2b + 2c + d − f − h     1 = b − a − 2c      0=c−b   

3 = −c

             

(2)

            

3=P (0) =C(0) 5=P (1) =C(1) 3=P (−1)=C(−1) 15=P (2) =C(2) −1=P (−2)=C(−2) 39=P (3) =C(3) −15=P (−3)=C(−3) 83=P (4) =C(4) 4

1.2.3

Ejercicios

14. Encontrar las ra´ıces de P (X) = X3 − 2X2 − 5X + 6 y Q(X) = 2X5 − 5X3 + 2X en IR[X], y sus expresiones factorizadas. Hacerlo tambi´en en Q[X]. 15. Probar que el polinomio X2 + 2X + 2 divide a P (X) = X4 + 4, y obtener de ello todas las ra´ıces de P (X) en C[X], as´ı como su expresi´on factorizada en IR[X]. 16. Sean P (X) = X5 + 3X4 + 3X3 + 3X2 + 2X y Q(X) = X3 − 3X2 + X − 3 dos polinomios de coeficientes reales. a) Usar el algoritmo de Euclides para hallar su m´aximo com´ un divisor. b) Encontrar su m´ınimo com´ un m´ ultiplo. c) Factorizar ambos polinomios en IR[X]. d) ¿Cu´ales son sus factorizaciones en C[X]? 17. Calcular el polinomio real m´onico, m´aximo com´ un divisor de X19 − 9X18 + 21X17 + X16 − 30X15 y 4 3 2 X − 6X − 16X + 54X + 63 ¿Qu´e ra´ıces tienen en com´ un? ¿Podemos usar esto para obtener todas las ra´ıces de ambos polinomios? ¿Son todas sus ra´ıces reales? 18. ¿Cu´antos polinomios reales de grado 2 que tengan por ra´ıces el 0 y el 1 hay? ¿Cu´al es su expresi´on? 19. El polinomio, P (X), de coeficientes reales y grado 3, tiene a 1 y −1 por ra´ıces. ¿Puede asegurarse que la tercera ra´ız es tambi´en real? Si P (0) = 1, ¿cu´al ser´ıa la tercera ra´ız de P ? 20. Resolver la ecuaci´on 2x4 − x3 − 4x2 + 10x − 4 = 0 sabiendo que 1 − i es una de las ra´ıces del polinomio asociado. 21. Probar que si α es una ra´ız de multiplicidad 5 del polinomio P , entonces α es una ra´ız de multiplicidad 4 de P 0 (el polinomio derivado de P ). 22. Encontrar la multiplicidad de la ra´ız r : a) r = 2, en X5 − 5X4 + 7X3 − 2X2 + 4X − 8. b) r = −2, en X5 + 7X4 + 16X3 + 8X2 − 16X − 16. c) r = 1, en X5 − 5X4 + 7X3 − 2X2 + 4X − 5. ³

´

23. Sea P (X) = (1 − X) X(X + a)(X − 1 − b) − (a + X)(a − aX + ba) . Hallar todas las ra´ıces y estudiar su multiplicidad en funci´on de los valores de los par´ametros a y b.

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15 – Matem´aticas I

1.2 Polinomios 

a  24. Sea la matriz A =  −a b valores de los par´ametros

−a a 0 a y



0  0  . Encontrar las ra´ıces, y su multiplicidad en funci´on de los 2b b, del polinomio P (X) = det(XI − A).

25. Expresar como suma de fracciones simples los cocientes siguientes, sin hallar los valores de los coeficientes: a) d)

X2 +1 X4 −6X3 −16X2 +54X+63 X2 +2 X5 +7X4 +16X3 +8X2 −16X−16

b) e)

X−5 (X−1)(X3 −1) X3 −3X2 +X−3 X5 +3X4 +3X3 +3X2 +2X

c) f)

X+5 2X4 −X3 −4X2 +10X−4 X5 +3X4 +3X3 +3X2 +2X (X3 −3X2 +X−3)3

(Nota: Todos los polinomios de aqu´ı aparecen en alguno de los ejercicios anteriores.)

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