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Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
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Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel en el marco de la Enseñanza para la Comprensión
Rocío Lopera Echeverri
Mg. Zaida Margot Santa Ramírez Asesora
Universidad de Antioquia Instituto de Matemáticas Maestría en Enseñanza de las Matemáticas Medellín 2014
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
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Contenido
1.
Introducción ................................................................................................................ 9
2.
Justificación ............................................................................................................... 14
3.
Antecedentes .............................................................................................................. 18
3.1
Marco Legal ......................................................................................................... 18
3.2
Volumen ............................................................................................................... 21
3.2.1
Breve historia del concepto de Volumen. ....................................................... 21
3.2.2
Comprensión del concepto de volumen.......................................................... 23
3.2.3
¿Qué es el concepto de volumen?................................................................... 24
3.2.4
Volumen de los Sólidos Platónicos ................................................................ 26
3.3
4
Breve Historia del Origami .................................................................................. 28
3.3.1
Clasificación del Origami. .............................................................................. 32
3.4
Aplicaciones del origami en la química ......................................................... 34
3.5
Importancia del doblado de papel ........................................................................ 35
3.6
Axiomas de la geometría del doblado de papel ................................................... 36
Problema del estudio ................................................................................................. 41
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3
4.1
Planteamiento del problema ................................................................................. 41
4.2
Pregunta Problematizadora .................................................................................. 44
4.3
Objetivo General .................................................................................................. 44
4.4
Objetivos Específicos ........................................................................................... 44
5
Marco Teórico: Enseñanza para la Comprensión ................................................. 46
5.1
Generalidades ....................................................................................................... 46
5.2
Elementos de la Enseñanza para la Comprensión ................................................ 48
5.2.1
Tópicos Generativos ....................................................................................... 50
5.2.2
Metas de Comprensión. .................................................................................. 50
5.2.3
Desempeños de Comprensión. ....................................................................... 50
5.2.4
Evaluación diagnóstica Continua ................................................................... 52
5.3
Dimensiones de comprensión .............................................................................. 52
5.4
Niveles de comprensión ....................................................................................... 53
5.4.1
Comprensión ingenua ..................................................................................... 53
5.4.2
Comprensión de novatos ................................................................................ 54
5.4.3
Comprensión de aprendiz ............................................................................... 54
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5.4.4
6
4
Comprensión de maestría ............................................................................... 54
Marco Metodológico ................................................................................................. 55
6.1
Paradigma ............................................................................................................ 55
6.2
Participantes ......................................................................................................... 57
6.3
Métodos para Recolectar la Información ............................................................. 57
6.3.1
La Observación ............................................................................................... 58
6.3.2
El cuestionario ................................................................................................ 58
6.3.3
Revisión del material de los estudiantes ......................................................... 58
6.4
Unidad Curricular ................................................................................................ 59
6.4.1
Generalidades de la unidad curricular ............................................................ 59
6.4.2
Desempeños. ................................................................................................... 60
7
Análisis ....................................................................................................................... 78
7.1
Actividad Fase Exploratoria................................................................................. 78
7.1.1
Construcción del cubo .................................................................................... 78
7.1.2
Actividad de indagación familiar ................................................................... 79
7.2
Fase de investigación guiada ............................................................................... 82
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5
7.2.1
Construcción de un tren de cubos ................................................................... 82
7.2.2
Construcción de la caja ................................................................................... 84
7.2.3
Actividad de cálculo de volumen en una caja de diferentes dimensiones ...... 86
7.3
8
Fase del proyecto final de síntesis ....................................................................... 86
Conclusiones y recome48ndaciones ......................................................................... 89
Bibliografía.......................................................................................................................... 93
9
Anexos ........................................................................................................................ 97
9.1
Anexo 1: Encuesta diagnóstica ............................................................................ 97
9.2
Anexo 2: Convenciones del Origami. .................................................................. 99
9.3
Anexo 3: Consentimiento informado ................................................................. 102
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Tabla de Figuras
Figura 1. Doblez resultante de la aplicación del axioma 1. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 343). .................................................................................................................................. 37
Figura 2. Doblez resultante de la aplicación del axioma 2. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 344). .................................................................................................................................. 38
Figura 3. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 3. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 344). ....................................................................................................... 38
Figura 4. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 4. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 345). ....................................................................................................... 39
Figura 5. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 4. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 345). ....................................................................................................... 39
Figura 6. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 6 (Santa y Jaramillo, 2010, p. 349). ....................................................................................................... 40
Figura 7. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 7 (Santa y Jaramillo, 2010, p. 350) ........................................................................................................ 40
Figura 8. Elaboracion de base para cubo. Pasos 1 a 4. ........................................... 61
Figura 9. Elaboración de base para cubo. Pasos 5 a 8 ............................................. 62
Figura 10. Método para ensamblar el cubo ............................................................. 63
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Figura 11. Cubo ensamblado ................................................................................... 63
Figura 12. Armado de cubos unidos ........................................................................ 66
Figura 13. Primera forma que puede armarse con los cubos unidos. ...................... 67
Figura 14. Segunda forma que puede armarse con los cubos unidos ...................... 68
Figura 15. Construcción caja. Pasos 1 a 3. .............................................................. 70
Figura 16. Construcción caja. Pasos 4 a 8. .............................................................. 71
Figura 17. Construcción caja. Pasos 9 a 13. ............................................................ 72
Figura 18. Construcción caja. Pasos 14 a 17 ........................................................... 73
Figura 19. Cálculo del algoritmo matemático para hallar el volumen de un cubo .. 75
Figura 20. Cálculo del algoritmo matemático para hallar el volumen de la caja .... 76
Figura 21. Construcción del cubo ............................................................................ 81
Figura 22. Construcción del cubo ............................................................................ 82
Figura 23. Construcción tren de cubos .................................................................... 83
Figura 24. Construcción tren de cubos .................................................................... 83
Figura 25. Construcción de la caja .......................................................................... 85
Figura 26. Fase síntesis, exposición en equipos ...................................................... 88
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Figura 27. Símbolo valle en origami (Della, p. 30). ................................................ 99
Figura 28. Símbolo montaña en origami (Della, 2013, p. 31). .............................. 100
Figura 29. Simbolos utilizados en Origami (Della 2013 p. 32) ............................. 101
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1.
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Introducción
En la actualidad, los retos y la consecución de todo aquello que permita vivir en un mundo globalizado, obliga a los procesos educativos a transformarse, a renovarse a cada instante, de modo que los estudiantes puedan enfrentarse a la resolución de los problemas emergentes en sus quehaceres diarios. Es por ello que la geometría, como una parte de las matemáticas intuitiva, concreta y enlazada con la realidad del entorno de las personas y latente en la vida cotidiana de los estudiantes, se debe retomar no como un relleno presente en unos estándares curriculares, sino como la interacción que el estudiante tiene con su entorno. A pesar de su importancia, es una de las ramas más olvidadas del currículo escolar en matemáticas, quizás, porque los docentes se limitan a la transmisión de los contenidos geométricos sin adentrar al estudiante en un mundo de experiencias, en el conocimiento del espacio que percibe y, en general, en el desarrollo del pensamiento espacial; además, a esto se le debe sumar la poca comprensión de los conceptos, en particular, el de volumen, que es el objeto matemático de estudio del presente trabajo.
De acuerdo con lo anterior, la poca comprensión de los conceptos genera dificultades en los desempeños escolares, debido a que sin la conceptualización y los métodos apropiados, los estudiantes no tendrían la posibilidad de expresar ideas, ni tener representaciones de las mismas, es decir, no podría ser posible dar significado a los conceptos ni valorarlos, por lo que tampoco se podrían relacionar con la realidad ni con el quehacer cotidiano. Una posible causa de las dificultades en la comprensión, puede estar relacionada con la desarticulación que se presenta entre la teoría y la práctica, que se materializa en una desarticulación entre los conceptos y los procedimientos. Por ejemplo,
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¿cómo calcular el volumen de un cuerpo, si no se comprende el concepto como tal? Es claro que un estudiante podría hacer el cálculo respectivo de una forma mecánica, al repetir un algoritmo, pero que, posiblemente, no haya logrado trascendencia en el conocimiento matemático para aplicarlo en otras disciplinas.
Es importante resaltar que cuando el nombre de un concepto, como en el caso del volumen, se utiliza en diferentes contextos (intensidad del sonido, por ejemplo), puede generar ciertas confusiones, lo que podría ocasionar dificultades a la hora de relacionarlo con el desarrollo del pensamiento espacial, debido a que los estudiantes, normalmente, tienen la tendencia a generalizar todo y a obviar los contextos en los que están inmersos los conceptos. Es decir, con frecuencia, los alumnos manejan la intuición o el sentido común, sin obtener una formalidad conceptual, lo que les impide tener una concepción más precisa de los conceptos, que les permita aplicarlos en otros escenarios con asertividad.
Debido a las diferentes connotaciones que tiene el concepto de volumen en diferentes contextos, este puede generar ambigüedades cuando se trae a un contexto matemático tradicional, en el que algunas representaciones no son muy claras, tal es el caso del dibujo bidimensional hecho en la pizarra. Esto genera la necesidad de diseñar estrategias motivantes en las aulas que puedan contrastar con las teorías permitiendo aclarar dichas ambigüedades.
Por otro lado, en el caso de los cuerpos geométricos, los estudiantes parten de una visión simplista de los objetos, al enmarcarlos en un contexto de dos dimensiones, debido a las influencias de los medios electrónicos, como pantallas de computador, tabletas o celulares, que permiten una visualización plana de los objetos, como si no tuvieran un
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grosor determinado. Esta situación complica y complejiza la apreciación del concepto de volumen como un concepto espacial y, claro está, una magnitud tridimensional.
La anterior circunstancia tiene lugar, debido a la dificultad de representar un objeto tridimensional en un plano de dos dimensiones. Por ejemplo, el hecho de que los estudiantes estén tan atraídos por las pantallas bidimensionales de los dispositivos electrónicos los está alejando de la interacción con el mundo tridimensional, a pesar de que existen programas de computador que generan imágenes de volúmenes coloridos y muy estimulantes, no dejan de ser representaciones en un plano bidimensional.
Cuando se coge un objeto real y se gira lentamente, cambia su perspectiva y la representación formada en el cerebro; sin embargo, cuando se repite este proceso en una pantalla, es posible que la imagen que se transmite al cerebro, a través de la visualización, permanezca invariante, perdiendo la capacidad de interpretación tridimensional de lo que allí se encuentra plasmado e, incluso, hasta llegar a un punto que la imagen se pierde por completo y aparece ante los ojos como una representación bidimensional simple, que puede ilustrar un exuberante paisaje de interacción, pero en dos dimensiones. La frustrante sensación que conlleva el girar la pantalla o fotografía y encontrarse con una imagen tan opaca y tan poco estimulante, que es la cara inversa del dispositivo, hace pensar que el sistema-mundo no va más allá de un rectángulo de escasa dimensión. Esta situación, sin juzgarla positiva o negativa, permite establecer un contraste de sucesos; sin embargo, podría ser solucionada si se toman como ingredientes conductores los factores asociados con el tiempo para comprender conceptos espaciales.
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Es posible que en un futuro, el desarrollo de la realidad virtual tridimensional pueda subsanar esta falencia; no obstante, se puede afirmar que no se podrá comparar con la interacción del espacio tiempo real, es decir, aunque se sienta que las imágenes saltan de la pantalla, al girar en torno a ella no cambiará ni la percepción, ni la representación que obtenemos de la imagen bidimensional representada. En este sentido, podría suceder que los estudiantes vean los objetos como si fueran una pintura o una pantalla en su visión simplista, visión que solo adquiere un contexto tridimensional con la acción o movimiento.
Al respecto, Lappan y Winter (1991, citados por Hoyos, 2012) afirman que:
A pesar de que vivimos en un mundo tridimensional, la mayor parte de las experiencias matemáticas que proporcionamos a nuestros niños son bidimensionales. Nos valemos de libros bidimensionales para presentar las matemáticas a los niños, libros que contienen figuras bidimensionales de objetos tridimensionales [….]. Tal uso de “dibujos” de objetos le supone al niño una dificultad adicional en el proceso de comprensión. Es empero, necesario que los niños aprendan [….] las representaciones bidimensionales de su mundo. En nuestro mundo moderno, la información seguirá estando diseminada por libros y figuras, posiblemente en figuras en movimiento, como en la televisión, pero que seguirán siendo representaciones bidimensionales del mundo real. (p. 48)
Por lo tanto, Hoyos (2012) hace referencia a un cuestionamiento importante del pensamiento espacial como es el rastreo del espacio tridimensional en las situaciones cotidianas y la representación de objetos sólidos ubicados en el espacio. En esta perspectiva, sería entonces razonable, en la comprensión del concepto de volumen, hacer procesos de enseñanza apoyados en desarrollos de aprendizaje que utilicen modelaciones
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gráficas o físicas que se inclinen por la observación y la construcción del concepto mediante figuras que se puedan manipular y transformar. De esta manera, con el objetivo de que los estudiantes del grado 10°1 de la Institución Educativa La Paz de Envigado, comprendan el concepto de volumen, se propone el diseño de una unidad curricular intencionada, bajo los parámetros del marco de la Enseñanza para la Comprensión, con actividades que les permita, de una forma paulatina, avanzar en sus procesos de comprensión del concepto de volumen.
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2.
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Justificación
Las dificultades que presentan los estudiantes de la I.E. La Paz, como reducir el concepto de volumen a una fórmula o confundirlo con la forma de un cuerpo o con su masa, entre otras, permite hacer una reflexión sobre las acciones pedagógicas que podrían posibilitar el fortalecimiento de las prácticas de aula. En esta perspectiva, González (2001) precisa que:
[…] en secundaria, la consideración del volumen como medida es el aspecto predominante, quedando en segundo plano las actividades encaminadas a la adquisición del concepto de volumen. Además, de las distintas posibilidades que tenemos para medir el volumen, la que nunca falta en los libros de texto de secundaria es el uso de fórmulas. Estas se presentan frecuentemente como productos terminados, cuya justificación se obvia, quizás por considerarla fuera del alcance de la etapa en que se usan. (p. 3)
Adicionalmente, Saucedo, Carbó y Mántica (2009), al hacer un análisis de las razones por las cuales los estudiantes no tienen claridad acerca del concepto de volumen, concluye que:
Al revisar el tratamiento escolar que se da a las magnitudes nos encontramos que el volumen parece ser una de la más descuidadas en cuanto a las actividades que se realizan, ya que no solo se dejan de lado algunas de sus variadas relaciones con otros temas, sino que muchas veces se confunde la propiedad que estamos midiendo (volumen) con su medida. Y esto se debe en parte a la influencia que tiene el Sistema Métrico Decimal (SMD) en el currículo escolar, ya que medir se lo asocia al trabajo con el SMD, dando por supuesto que ya se sabe qué es el volumen. (pp. 1-2)
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Por su parte, Sanmiguel y Salinas (2011) analiza en su trabajo diferentes situaciones donde evidencia algunos obstáculos que impiden que los estudiantes puedan comprender el concepto de volumen. Este autor, resalta el hecho que “la mayoría del alumnado no ha adquirido la noción de trilinealidad ni la estructura multiplicativa del volumen, presentando fundamentalmente la noción de volumen “tipo superficie” (calculado a partir de capas)” (p. 552).
De la misma manera, la tendencia en la I.E. La Paz, es asociar el concepto de volumen con la aplicación de fórmulas para calcularlo, dejando de lado la comprensión misma del concepto. Este tipo de situaciones trae consigo dificultades para usarlo en otros contextos diferentes al algorítmico.
Nuestro entorno está lleno de objetos tridimensionales, algunos de los cuales se les debe calcular su volumen. Esto no implica la comprensión del concepto, aunque se percibe de una forma intuitiva. Este concepto nos permite desarrollar nociones espacio temporales que nos posibilitan, por ejemplo, pasar por lugares sin hacernos daño y sin tocar los demás objetos, ya que estamos midiendo el nuestro al compararlo implícitamente con lo que hay alrededor. Según Piaget (citado por Rivera y Zanocco, 1982), el concepto de volumen crea una confusión entre la cantidad de materia, que es algo concreto, y el volumen físico, o sea el espacio ocupado, que es algo del orden de lo abstracto.
Una posible vía para intentar resolver la poca comprensión del concepto de volumen, en los estudiantes de la I.E. La Paz, es utilizando los sólidos platónicos, dado que estos construidos con doblado de papel, podrían ayudar al avance en la comprensión de dicho concepto; en primer lugar, porque son hermosos por su simetría; en segundo lugar,
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porque generan curiosidad, cualidad que es motivante e inquietante y, además, son figuras tridimensionales; finalmente, si a esto se le abona el construirlos mediante una técnica diferente, que en este caso es el doblado de papel, podría generar representaciones más claras del concepto de volumen.
Por lo tanto, teniendo en cuenta que la educación cambia y transforma la vida de las personas, permitiendo la innovación y la resolución de los problemas, se hace necesario generar estrategias que propendan porque los estudiantes comprendan los conceptos matemáticos. Estas estrategias deben considerar los intereses, necesidades y motivaciones de los estudiantes, para que puedan propiciar dicha comprensión.
En este sentido, comprender los conceptos matemáticos y, en particular, comprender el concepto de volumen, permite a los estudiantes generar y adoptar actitudes que les posibilite enfrentar la resolución de los problemas que se les presenten en su quehacer cotidiano. Según el MEN (2006):
En las dimensiones de la comprensión se incluye no solo la más usual de los contenidos y sus redes conceptuales, sino que se proponen los aspectos relacionados con los métodos y técnicas, con las formas de expresar y comunicar lo comprendido y con la praxis cotidiana, profesional o científico-técnica en que se despliegue dicha comprensión. (p. 49)
En este orden de ideas, se hace necesario que los estudiantes se desempeñen de una forma activa en la interpretación de la información matemática requerida en la toma de decisiones y en la resolución de problemas cotidianos. Es por eso que la unidad curricular que se propondrá, podría aportar a la organización de los programas curriculares alrededor
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de las dificultades que se presentan en la comprensión de conceptos matemáticos. De esta manera, se espera generar actividades que permitan enriquecer, profundizar y desarrollar habilidades y destrezas, en cuanto a la apropiación y comprensión del concepto específico de volumen.
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3.
3.1
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Antecedentes
Marco Legal
Según el Ministerio de Educación Nacional (1998), los Lineamientos Curriculares deben generar espacios de reflexión, análisis crítico y ajustes progresivos por parte de los maestros; esto trae consigo proponer la creatividad, el trabajo en grupos de estudio e incrementar la autonomía de los estudiantes, lo que permite pensar y reestructurar las prácticas de enseñanza y aprendizaje en las aula de clase. El proyecto de intervención propuesto en este trabajo, no solo tiene en cuenta la finalidad de los Lineamientos, sino también el enfoque que está orientado a la conceptualización por parte de los estudiantes y al desarrollo de competencias que les permita afrontar los retos actuales, como son la complejidad de la vida y del trabajo.
Para tal efecto, se tomarán como guía los siguientes pensamientos matemáticos:
El pensamiento espacial. Implica el “examen y análisis de las propiedades de los espacios en dos y en tres dimensiones, y en las formas y figuras que estas contienen […] y en las nociones de perímetro, área y volumen” (MEN, 2006, p. 4). Según los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998):
Es considerado como un conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones a representaciones materiales. En este sentido, la inteligencia espacial se convierte en un elemento esencial para el desarrollo
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del pensamiento científico, ya que es usada para representar y manipular información en el aprendizaje y en la resolución de problemas. (p.61)
En síntesis, el pensamiento espacial precisa los desarrollos cognitivos mediante los cuales se instalan y se realizan las representaciones mentales de los objetos en el espacio, con sus características y propiedades y, a la par, este pensamiento va de la mano con la visualización, que precisa la comprensión del concepto con sus propiedades y caracterizaciones en el espacio físico. Para lograr este desarrollo, los estudiantes disponen de la geometría y el sistema de medidas donde no solo desarrollan el conocimiento intuitivo en el reconocimiento de las diferentes formas sino también la caracterización de los cuerpos sólidos.
El pensamiento espacial, que puede ser desarrollado a través de la geometría, hace parte del pensamiento matemático que debe ser trabajado en todos los grados escolares, desde la escuela elemental hasta la superior. Sin embargo, desde la experiencia docente, se puede constatar que los estudiantes presentan dificultades en aceptar y concretar los conceptos geométricos.
Una forma de contribuir a la enseñanza de la geometría, con miras a la comprensión de los conceptos, es generar estrategias que les permitan a los estudiantes interactuar con diferentes medios, como es la construcción de las figuras geométricas, la comunicación de los hallazgos, el argumentar y reflexionar sobre la situación que se está viviendo. Este tipo de estrategias darán cuenta de la comprensión del concepto geométrico que, además, podría permitir la integridad con otras áreas.
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Otro de los pensamientos que se desarrollará en este trabajo, es el pensamiento métrico y sistemas de medidas, en el que se “generalizan procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y volúmenes de sólidos” (MEN, 2003, p. 5).
De igual manera se tendrá en cuenta Los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas sugeridos por el MEN (2006):
Pensamiento espacial y sistemas geométricos:
“Conjeturo y verifico propiedades de congruencia y semejanza entre figuras
bidimensionales y entre objetos tridimensionales en la solución de problemas” (p. 86).
Pensamiento métrico y sistema de medidas:
“Calculo áreas y volúmenes a través de composición y descomposición de
figuras y cuerpos”. (p. 85).
“Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de
regiones planas y el volumen de los sólidos”. (p. 87).
En consecuencia, trabajando estos pensamientos se intenta aportar al mejoramiento de la calidad educativa que, de acuerdo con la Ley General de Educación 115 de 1994, en su artículo 4, compromete a toda la comunidad educativa en pro de hacer todas las acciones necesarias para que sea de calidad, en favor de la ciudadanía que requiere personas competentes, capaces de dar solución a las problemáticas que se suscitan en un país tan complejo como el nuestro.
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3.2
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Volumen
3.2.1 Breve historia del concepto de Volumen.
Para abordar el concepto de volumen, es significativo mirarlo desde un recorrido histórico, partiendo, por ejemplo de la pregunta ¿por qué la necesidad de tener un concepto que signifique la palabra volumen? Tal vez, se podría relacionar con la necesidad de almacenar que sintieron nuestros antepasados: aquella cantidad de granos que había que guardar para un tiempo después, o la cantidad de sustancias necesarias para alimentarse; estos orígenes remotos, siguen siendo tan actuales en nuestra época, porque se sigue almacenando en grandes silos o en recipientes que de una u otra forma cumplen esta función; sin embargo, siempre fue necesario calcular la capacidad de estos contenedores para que puedan almacenar de una forma eficaz aquella cantidad de material.
No obstante, en Sáiz (1999) se recomienda mirar el concepto de volumen a través de la historia del cálculo o del desarrollo de la geometría. Por la parte de la geometría, se han encontrado hallazgos de cálculos hechos por los babilonios, egipcios y los chinos para estimar volúmenes de pirámides truncadas; de hecho, se puede encontrar en el papiro de Rhind, en los problemas 10 y 14, el cálculo del área de superficie y el volumen de un cono truncado. Al respecto, Gillings (1982, citado en Sáiz, 1999), afirma:
De aquella época, las matemáticas que hoy se conocen son las que se conservan en las tablas babilónicas y los papiros egipcios. Respecto al volumen, en las primeras se encuentran varios problemas prácticos en los que se requiere calcular el volumen de sólidos geométricos sencillos. En cuanto a los egipcios, la fórmula para obtener el volumen de una
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pirámide truncada aparece en el papiro de Moscú (1890 a.C.) y el cálculo del volumen de un cilindro como el producto del área de la base por la altura se encuentra en el papiro de Rhind. (p. 146)
Posteriormente, se pueden encontrar cálculos de volúmenes algo más formalizados, en Sáiz (2002), por Eudoxo (408 a. C), quien demuestra la fórmula de Demócrito por un método que él llamaba de exhaución; él calculaba las áreas y los volúmenes descomponiendo los cuerpos en regiones o partes de áreas o volúmenes conocidos; además, Arquímedes continúa con el método de exhaución descomponiendo cuerpos en regiones; Tartaglia trabajó el volumen del tetraedro; Kepler, el volumen de la esfera.
Sin embargo, la historia sobre el concepto de volumen tuvo un momento muy especial con Bonaventura Cavalieri como precursor del cálculo infinitesimal, quien utilizó métodos infinitesimales intuitivos para calcular y resolver problemas de áreas y volúmenes (Sáiz, 2002). Su idea para medir volúmenes era medir los sólidos que se forman al cortar el cuerpo con planos paralelos a su base, a partir de la información que se obtiene de los volúmenes de tajadas transversales del sólido (Sáiz, 2002). En 1635, con el libro Geometría Indivisibilibus Continuorum, Bonaventura Cavalieri (citado por Sáiz, 2002) precisa:
Si dos solidos tienen las alturas iguales y dos secciones hechas por planos paralelos a las bases a la misma distancia de la base están en una determinada proporción entonces los volúmenes de los sólidos están también en esa proporción. (p. 31)
En Marsden (1991, citado por Sáiz, 2002), menciona que Newton y Leibniz fueron considerados los inventores del cálculo; ellos, por medio de la integración, concluyeron que
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era posible calcular el volumen de un cuerpo acotado por dos superficies y obtener el volumen de sólidos de revolución. Esta forma de calcular el volumen los llevó a una formulación matemática. De igual manera, en una forma más cotidiana, se usa el cálculo de volúmenes mediante conteo de unidades:
[…] este cambio de perspectiva entre procedimientos de cálculo de volúmenes en los que el proceso involucrado consiste en un conteo eficiente de unidades de la misma naturaleza de aquello que se pretende medir y otros procedimientos, en los cuales los cálculos involucran comparaciones entre unidades de distinta naturaleza a la que se está midiendo, como son longitudes y áreas en el caso del volumen, acarrea dificultades cognitivas en el proceso de aprendizaje. (Sáiz, 2002, p. 26)
3.2.2
Comprensión del concepto de volumen.
Una de las cualidades del volumen, es su medida y esto hace que en su evolución se encuentren formulaciones que permitan más estimarlo que comprenderlo; sin embargo, a medida que se va desarrollando el concepto de volumen por sus múltiples aplicaciones, se ha hecho necesario consolidar su concepto. La dificultad que presentan los estudiantes en la comprensión del concepto de volumen, se ha abordado por varios investigadores, que han mostrado en sus trabajos no solo sus observaciones, sino también algunas soluciones que han logrado poner en marcha con sus estudiantes y les ha permitido ir avanzando en la solución de este problema.
Sanmiguel y Salinas (2011), al analizar las dificultades de los estudiantes en relación al concepto de volumen y su medida, observó que a ellos se les dificulta su
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conceptualización, por la confusión que tienen entre el concepto de área y volumen. Esta dificultad es manifestada a través del vocabulario empleado y la poca familiarización con situaciones claras de medida y de comparación de volúmenes de cuerpos diferentes.
Por su parte, Sáiz (2003) expone algunos resultados sobre las concepciones de los maestros de primaria sobre el concepto de volumen y su enseñanza; para ello, empleó un taller sobre este tema tomando como base el modelo teórico local enunciado por Filloy (1999, citado por Sáiz, 2003), en el cual el objeto de estudio se enfocaba a través de cuatro componentes: el modelo de enseñanza, el modelo del proceso cognitivo, el modelo de competencia normal y el modelo de comunicación. Con este modelo de referencia la autora obtiene una serie de datos que le permiten concluir que los maestros propenden por enseñar la parte cuantitativa del volumen, posición basada en los esquemas de enseñanza con que ellos estudiaron, privilegiando el sistema de medición y uso de fórmulas.
Por otro lado, Jaimes y Romo (2012) propone identificar las habilidades espaciales y de geometría 3D para desarrollar en los estudiantes de dibujo técnico, el aprendizaje del concepto de volumen a través de la construcción de sólidos. Este trabajo, además, corrobora la relación intrínseca que hay entre el dibujo técnico y la geometría, que es potencializar las habilidades espaciales de los estudiantes en la construcción de conceptos geométricos con un sentido y una aplicabilidad.
3.2.3 ¿Qué es el concepto de volumen?
Para la unidad curricular que se presenta en este trabajo, se toma como referencia la definición del concepto de volumen que se encuentra en el trabajo de Sáiz (2002):
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Puede ser entendido como el espacio que ocupa un cuerpo en relación con otros objetos, como la cantidad de unidades que forman un cuerpo o como un espacio desplazado al sumergir un objeto en un líquido, como un espacio libre encerrado en una superficie cerrada, o bien, como una función de medida o una integral e incluso de algunas otras maneras. (p.450)
Adicionalmente, se debe considerar que la generación de un volumen se puede dar por: plegado cuando se hacen dobleces buscando la formación de figuras volumétricas, por superposición cuando se pone una figura encima de la otra formando figuras volumétricas o simplemente cuando se pone a girar una figura sobre un eje formando los sólidos de revolución. Aunque se den las definiciones y generación del concepto de volumen, es pertinente que se tenga en cuenta que la construcción de dicho concepto es un proceso complejo, que no se desarrolla inmediatamente, sino que se da de una forma paulatina a través de la experiencia, la visualización y, sobre todo, mediante la manipulación que permite distinguir las propiedades de los objetos estudiados.
Como la finalidad es la comprensión del concepto de volumen, es necesario, además, comprender que los conceptos de volumen y capacidad son diferentes. En esta línea, Del Olmo, Moreno y Gil (1993) establecen:
Comúnmente volumen y capacidad se expresan como sinónimos, sin embargo ambos términos conllevan a diferentes significados. Volumen sugiere el espacio ocupado mientras que capacidad es el espacio vacío con posibilidad de ser llenado. La relación entre capacidad y volumen es complicada por ello debemos distinguir entre “capacidad como
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espacio creado (espacio vacío) y volumen como espacio reclamado (espacio ocupado)”. (p.98)
Estos mismos autores consideran que los objetos que son susceptibles de ser medidos en relación a la capacidad, se denominan recipientes; estos son objetos en los que se pueden albergar otros elementos o sustancias; todos los recipientes son objetos cuyo volumen es medible, pero no todos los volúmenes medibles son recipientes, tal es el caso de una bola de billar, una canica, un lingote de oro, entre otros. En el momento que se requiera resolver un problema, en el que se encuentren inmersos el concepto de volumen y el de capacidad, es necesario tener la claridad si lo que se necesita es medir el volumen (el lugar que ocupa el cuerpo) o la capacidad (que es lo que se aloja dentro de ese cuerpo).
3.2.4 Volumen de los Sólidos Platónicos.
En la unidad curricular propuesta en este estudio, se trabajan algunos sólidos platónicos, por sus simetrías, belleza y la curiosidad que despiertan, permitiendo la motivación y el asombro en los estudiantes. La idea es que estos puedan construirlos, mediante el doblado de papel, con el propósito de utilizar métodos matemáticos para calcular y explicar su volumen, a partir de la visualización de los dobleces.
Quesada (2006), en su trabajo, se refieren al origen de los sólidos platónicos al ser estudiados matemáticamente en la antigua Grecia; de estos poliedros se encontraron yacimientos neolíticos en Escocia, donde se hallaron figuras de barro de aproximadamente 2000 a.C, identificados exactamente, como los poliedros platónicos. Vinculándolos directamente al concepto de volumen, es fundamental considerar que los sólidos platónicos
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presentan múltiples simetrías. De hecho, tienen todos los tipos de simetrías que existen en el espacio, es decir, respecto a un punto, respecto a un eje y respecto a un plano. Esto es:
- “Simetría puntual: Para cada uno de los 5 sólidos existe un punto, que es siempre el punto central del poliedro que es el centro de simetría en la simetría puntual” (Quesada, 2006, p. 11). - “Simetría axial: Todos los sólidos tienen además varios ejes de simetría. Para cada poliedro la cantidad varía; pero en todos ellos el eje de simetría pasa por el centro de simetría” (p. 11). - “Simetría de plano: De nuevo todos los sólidos platónicos presentan simetrías respecto a planos, en las que los planos de simetría contienen al centro de simetría, y a combinaciones de los ejes de simetría” (p. 11).
En los sólidos platónicos existen dimensiones que es importante conocer. Estas son el área de la superficie y el volumen del sólido. Un polígono puede ser dividido en triángulos de los que sabemos calcular su área; por lo tanto, el área total del polígono es la suma de las otras áreas. Para calcular el área de los poliedros, simplemente se suman las áreas de cada una de las caras. Calcular el volumen es, en cambio, mucho más complejo, pues es necesario utilizar trucos parecidos al de la triangulación, pero con volúmenes. Sea a el tamaño de la arista de un sólido platónico, entonces tendríamos la siguiente tabla:
Tabla 1. Dimensiones de los poliedros regulares. (Quesada, 2006, p.10). POLIEDRO
CARAS
VÉRTICES
ARISTAS
ÁREA SUPERFICIAL
VOLUMEN
Cubo
6 cuadrados
8
12
6a2
a3
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel Tetraedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
4 triángulos equiláteros
4
8 triángulos equiláteros
6
12 pentágonos regulares
20
20 triángulos equiláteros
12
6
12
28
√3 a2
√2
2√3 a2
√2
12
3
30
30
a3
a3
√25 + 10√5 a2
√15+7√5
5√3 a2
√2
4
3
a3
a3
Es fundamental considerar que el análisis de los sólidos platónicos y sus propiedades, permiten la unión entre la ciencia y el arte, dado que estos se observan de diferentes formas en la naturaleza dándole a los elementos que los contienen características especiales. Por tal motivo, tomarlos como referente para estudiar el concepto de volumen, es una herramienta introductoria que cautiva la atención.
3.3
Breve Historia del Origami
El origami, también conocido como papiroflexia, es un arte que consiste en hacer figuras de papel plegado que sean reconocibles; los dobleces se deben realizar a partir de un trozo único de papel cuadrado y no se permite realizar cortes, ni utilizar pegamento, de acuerdo con posiciones ortodoxas (Royo, 2002). Los términos origami y papiroflexia son de origen japonés y latino, respectivamente, y significan doblar papel (Covadonga, 2005). Otras palabras relacionadas con origami son: cocotología, que de acuerdo con Miguel de Unamuno (1902) viene del francés cocotte (pajarita) y del griego logia (tratado); kirigami, que procede de la composición de las palabras japonesas kiru (cortar) y kami (papel) y que en esencia es el arte de trabajar el papel cortado con tijeras (Hans, Muñoz, Fernández y
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Redondo, 2008) y el maquigami, mezcla del término quechua maki (mano) y kami (papel) que sería el arte de crear figuras rasgando el papel con las manos (Hans et al., 2008)
Engel (1994) establece que el doblado de papel surge en china entre los siglos I y II D.C., posteriormente llega a Japón en el siglo VI, donde recibe el nombre de origami. Este autor subdivide el desarrollo del origami en varios periodos, a saber:
Periodo Helan (785-1181): periodo en el cual el origami tuvo un importante componente en la vida ceremonial de la nobleza japonesa, dado que el papel era escaso y estaba reservado solo para las personas más adineradas. Los guerreros Samurai tenían como práctica intercambiar regalos adornados con noshi, que son un tipo de adorno de papel doblado, como símbolo de buena suerte; los maestros de ceremonia de Te recibían sus diplomas doblados como un método de seguridad, ya que una vez desdoblados, no podían volverse a doblar sin dejar nuevas marcas de doblez (Engel, 1994). Rodríguez (2010) relata que en este periodo, cerca del año 1000, Murasahi Shikibu, escribió "La historia del Príncipe Genji", en la que describe cómo eran escritas las cartas de amor y cómo eran utilizados papeles de muy alta calidad; igualmente describía la forma en que eran plegadas; en las cartas no solo tenía importancia su contenido, la escritura, la elección del papel, sino también la forma del plegado, ya que era elegido según su contenido.
Periodo Muromachi (1338-1573): en esta época el papel se hace más accesible a las personas y, de esta manera, el origami tiene otra connotación como medio para distinguir la estratificación social, es decir, cada persona de acuerdo a su condición, realizaba el plegado de papel (Engel, 1994).
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Periodo Tokugawa (1603-1867): en este periodo se produce la democratización del origami y aparece la base pájaro, que fue documentada en el libro más antiguo de esta técnica Embazuru Orikata (Cómo Plegar Mil Grullas) de 1797; también, en este periodo, se publica la primer obra que muestra en forma comprensiva una colección de figuras de origami Kan No Mado (Ventana en pleno invierno) de 1845, en la cual aparece por primera vez la base de la rana (Engel, 1994). Con la aparición de esta base, el origami adquiere un nuevo uso ceremonial, dado que en japonés la palabra rana y la palabra regresar se dicen de la misma forma, por lo que las geisha la usaban después de entretener a su patrón favorito con la esperanza que él regresaría (Engel, 1994).
Los japoneses no fueron los únicos que desarrollaron el arte del origami, otras culturas como los moros y los musulmanes cultivaron el arte de doblar papel y fueron estos quienes lo introdujeron en España en el siglo VIII cuando la invadieron (Engel, 1994). Según Royo (2002), si no hubiera sido por los Reyes Católicos y el Cardenal Cisneros, el origami habría tenido mucha difusión en la península ibérica.
De acuerdo con Engel (1994), el origami resurge en España de la mano del filósofo Miguel de Unamuno, quien escribió dos libros sobre origami. Rodríguez (2010) considera que esas creaciones no influyeron solo en este país, sino que también lo hicieron en los países de América del Sur.
En relación a Occidente, se puede decir que las formas de pajarita y de rana son conocidas en Europa en el año 1853. La primera publicación que reconoce esto, fue la revista Inglesa "The Boys Own Paper", donde son publicadas las instrucciones preliminares (Rodríguez, 2010).
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En épocas más recientes, Akira Yoshizawa, considerado uno de los padres del origami, se ideó un sistema de representación gráfica, diferenciando dobleces en valle y en montaña, que dio a conocer en su libro "Atarashi Origami Geijutsu" ("El nuevo arte del origami"). En este nuevo sistema de representación incluye la diferenciación clásica de líneas de puntos o de rayas para significar pliegues "en valle" (hacia adentro) o "en montaña" (hacia fuera), así como también se incluyeron nuevos símbolo (Rodríguez, 2010). Samuel Randlett y Robert Harbin le introdujeron modificaciones al sistema propuesto por Yoshizawa y, entonces, empieza la idea de "bases" como principio para la ejecución de dobleces y se presenta la necesidad de unificar los nombres de los pliegues: de valle, montaña, escalón, oreja de conejo, crushed, pétalo y sink; o bases: cometa, bomba de agua, preliminar, ave y rana (Rodríguez, 2010). Hoy en día, el sistema de representación es llamado Yoshizawa – Randlett.
En la actualidad, el desarrollo que ha tenido el origami ha llegado a tal punto que existe una gran variedad de publicaciones que enseñan el plegado de papel, algunas de ellas con temas especializados tales como aviones, flores, animales, etc. y otros con una temática general; igualmente se han desarrollado programas informáticos dedicados a la enseñanza del doblado de papel tales como Paper folding 3D, Origami for Windows 8, Origami Master, entre otros. Además, existen otros programas como por ejemplo Tree Marker y OriPa que permiten, a partir de una imagen tridimensional, elaborar el patrón de pliegues para poder crear figuras de origami.
Cuando las personas realizan actividades de origami, presentan múltiples beneficios en sus desempeños motores, senso- perceptivos, cognitivos, psicológicos y sociales, tales
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como coordinación, destreza, relaciones viso - espaciales, etc. (Rodríguez y Fernández 2006). Rodríguez (2006) precisa que para que el origami pueda trascender la dimensión estética, “…sería necesario que la actividad del plegado de papel sea adaptada para los propósitos planteados en los diversos contextos de aplicación (terapéutico, educativo, etc.)” (p. 23). Lang (citado por Rodríguez, 2006) piensa que el origami presenta ventajas en relación con otras artes ya que, aunque tiene una serie de reglas definidas para producir unos modelos base, permite, según sea el nivel de la persona que realiza los dobleces, reproducir una figura propuesta o crear una nueva o diferente, incluso, más compleja que la que inicialmente se le propuso.
Finalmente, Rodríguez (2006) resalta que:
La lógica del origami se basa en la geometría, cuenta con un sistema de símbolos estandarizados empleados para diagramar los modelos propuestos y es una actividad donde es preciso coordinar la percepción visual con el ejercicio motor manual, que brinda simulación sensorial a las manos y ojos, induciendo la actividad hemisférica bilateral del cerebro. (p. 24)
3.3.1 Clasificación del Origami.
El origami nos ofrece diferentes posibilidades para su realización:
3.3.1.1 Origami tradicional. Según Della (2013) es el más ampliamente conocido y difundido, y su desarrollo se dio en Japón; para su realización, se parte de una hoja cuadrada, utiliza formas básicas y por medio de dobleces se logra obtener la figura deseada.
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3.3.1.2 Origami de acción. Según Della (2013), con la técnica de origami no solo pueden obtenerse figuras estáticas e inmóviles, pues algunas de ellas pueden volar; requieren ser infladas para tomar la forma definitiva o necesitan la aplicación de un movimiento por parte de la mano humana, para imprimirle movimiento a la figura; hay quienes sostienen que solo este último hace parte del origami de acción. La primera figura con esta característica fue el pájaro aleteador japonés tradicional; otra figura muy común es la rana que salta o los instrumentalistas de Robert Lang que cuando se halan las cabezas de las figuras en sentido contrario a sus cuerpos, sus manos se moverán, asemejándose a la acción de tocar música.
3.3.1.3 Origami modular. Rodríguez (2010) lo define como aquel que se realiza a partir de varias hojas, las cuales se doblan en unas formas simples que al ensamblarse adquieren formas más complejas. Una variante es el origami 3D o, en algunos casos, también llamado 4D, el cual utiliza una gran cantidad de piezas de forma básica, en muchos casos son más de cien piezas, para formar piezas volumétricas complejas de gran belleza y que por la cantidad de módulos que utiliza, requiere de bastante tiempo para su realización.
3.3.1.4 Origami Húmedo. Esta técnica fue desarrollada por Akira Yoshizawa. Rodríguez (2010) menciona que “es una técnica de origami para producir modelos con curvas finas en vez de pliegues rectos y superficies planas. Consiste en humedecer el papel para que permita ser moldeado fácilmente. El modelo final mantiene su forma cuando se seca”. (p. 15).
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3.3.1.5 Pureland origami u origami puro. Rodríguez (2010) precisa que se trata de una técnica en la cual solo se permite un doblez por cada paso y no permite dobleces más complejos como los invertidos.
3.3.1.6 Teselados o Teselaciones. Rodríguez (2010) asevera que un teselado es un patrón de figuras que cubre una superficie plana sin dejar huecos ni superponer las figuras. Buhzo Fujimoto, uno de los primeros maestros japoneses del Origami, publicó algunos libros que incluyeron teselados; otros reconocidos artistas que han trabajado teselaciones son Ron Resch, Chris Palmer (quien ha trabajado teselados de origami en seda), Robert Lang y Alex Bateman (quienes utilizan programas de computadora para sus diseños de teselados).
3.4
Aplicaciones del origami en la química.
Garrido (2007), en su trabajo de papiromoléculas, afirma que a muchos estudiantes les cuesta entender, reconocer o pensar sobre problemas químicos en tres dimensiones y, en general, en los cursos básicos de Química no se consigue introducir adecuadamente este tema. Una de las razones por las cuales se da esta dificultad, se debe a que la temática se desarrolla en un plano bidimensional; debido a que las estructuras moleculares son tridimensionales y son la base para la química y la bioquímica, es necesario intervenir esta situación haciendo estructuras en origami que permitan la observación espacial y suministre datos para ir formando los juicios. (p. 27)
Se pueden observar, en tres dimensiones, los enlaces químicos; por ejemplo, del carbono diamante, que tiene una forma tetraedral; también se puede con los dobleces,
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formar las hibridaciones del carbono, donde se puede observar los enlaces en forma digonal, trigonal y tetraedral; adicionalmente, el acoplamiento magnético tridimensional; se pueden construir fullerenos que son formas alotrópicas del carbono. Así mismo, construir moléculas de diferentes elementos donde se puedan visualizar sus propiedades.
3.5 Importancia del doblado de papel
El doblado de papel es un arte y como arte es importante considerarlo en los procesos de aprendizaje de los estudiantes. Según Coronado (2011):
El aprendizaje de las artes en la escuela tiene consecuencias cognitivas que preparan a los alumnos para la vida; entre otras el desarrollo de habilidades como el análisis, la reflexión, el juicio crítico y en general lo que denominamos el pensamiento holístico; justamente lo que determinan los requerimientos del siglo XXl. Ser "educado" en este contexto significa utilizar símbolos, leer imágenes complejas, comunicarse creativamente y pensar en soluciones antes no imaginadas. Permite desarrollar habilidades como el análisis, la reflexión y el juicio crítico. En este se significan algunos objetos geométricos a través de la visualización y mediante la comprobación de propiedades, el interés y la retentiva para continuar con los procedimientos propuestos. (p. 2)
El doblado de papel es una herramienta pedagógica fácil de conseguir y de utilizar en las aulas de clase, que ayuda a desarrollar los contenidos conceptuales y procedimentales; no necesita utilizar reglas, escuadras, graduadores ni compás. Con gran precisión se pueden realizar construcciones geométricas, sin temor a perder la observación con claridad de las características de las mismas.
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Este medio le permite a los docentes hacer fácilmente la integridad entre varias áreas; por ejemplo, con la Educación Artística, porque permite crear diseños con un material que es moldeable y posibilita diferentes combinaciones de colores y formas; con la Educación en ética y valores, porque permite valorar el trabajo de sí mismo y de los demás, así como el trabajo colaborativo y cooperativo a medida que se hacen los diferentes diseños, fortalece la paciencia, la tolerancia e, incluso, la autoestima. En Matemáticas, permite seguir instrucciones, fortaleciendo la concentración y vivenciando conceptos que son abstractos y difíciles de observar con otros medios; además, le permite al docente ir afianzando conceptos previos geométricos que se hayan perdido en el paso de un nivel escolar a otro, pero necesarios para seguir avanzando en la comprensión de otros.
3.6
Axiomas de la geometría del doblado de papel
Loa axiomas de la geometría del doblado de papel, son guías para construir, comprobar y analizar los objetos geométricos; son axiomas que aún están en construcción y estudio por autores, tanto a nivel nacional, como internacional. La revisión de la literatura permite observar que sus trabajos se van refinando a medida que avanza el tiempo, porque están convencidos de que es una técnica en construcción que merece tenerse en cuenta por su utilidad y sus cualidades.
Según el trabajo de Santa y Jaramillo (2010), la geometría del doblado de papel, tiene sus raíces en seis axiomas postulados por Humiaki Huzita (1989, citado por Santa y Jaramillo, 2010) en 1989 y el séptimo axioma postulado por Koshiro Hatori (2003, citado por Santa y Jaramillo, 2010) en 2003. Pero antes de enunciar los axiomas, es interesante
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37
definir los conceptos primitivos de la geometría del doblado de papel, establecidos también por Santa y Jaramillo (2010):
Doblez: “representa de una manera abstracta una línea recta”. (p. 341).
Punto: “se establece una relación directa de manera natural con la intersección de dos dobleces o con las esquinas (ángulos) de la hoja de papel”. (p.341).
Hoja de papel: “una cara de la hoja de papel se puede tomar como una porción del plano”. (p. 342).
A continuación, se presentan los axiomas de Huzita – Hatori (Santa y Jaramillo, 2010):
Axioma 1: “dados dos puntos P1 y P2, se puede hacer un doblez que pasa a través de ellos” (p. 343).
Figura 1. Doblez resultante de la aplicación del axioma 1. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 343).
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Axioma 2: “dados dos puntos P1 y P2 se puede hacer un doblez que lleva a P1 sobre P2” (p. 343).
Figura 2. Doblez resultante de la aplicación del axioma 2. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 344).
Axioma 3: “dadas dos líneas L1 y L2, se puede hacer un doblez que pone a L1 sobre L2” (p. 344).
Figura 3. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 3. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 344).
Axioma 4: “dado un punto P1 y una línea L1, se puede hacer un doblez que pone a L1 sobre sí misma y pasa por P1” (p. 345).
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Figura 4. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 4. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 345).
Axioma 5: “dados dos puntos P1 y P2 y una línea L1, se puede hacer un doblez que pone a P1 sobre L1 y pasa por P2” (p. 346).
Figura 5. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 4. (Santa y Jaramillo, 2010, p. 345).
Axioma 6: “dados dos puntos P1 y P2 y dos líneas L1 y L2 se puede hacer un doblez que pone a P1 sobre L1 y a P2 sobre L2”. (p. 346).
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Figura 6. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 6 (Santa y Jaramillo, 2010, p. 349).
Axioma 7: “dados un punto P1 y dos líneas L1 y L2, se puede hacer un doblez perpendicular a L2 que ponga el punto P1 sobre la línea L1”. (p. 349).
Figura 7. Doblez (punteado) resultante de la aplicación del axioma 7 (Santa y Jaramillo, 2010, p. 350)
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4
4.1
41
Problema del estudio
Planteamiento del problema
Como punto de partida del trabajo, se hizo una actividad diagnóstica (Anexo 1) que incluyó una serie de preguntas relacionadas con el concepto de volumen y cuyo objetivo fue analizar el estado actual de comprensión de dicho concepto. Se aplicó a 62 estudiantes del grado décimo de la Institución Educativa La Paz. Después de hacer una interpretación de los resultados obtenidos en cada una de las preguntas, se pudo inferir que los estudiantes no definen el concepto de volumen con claridad. Es decir,
Un 37 % lo definen como la cantidad de masa que tiene un objeto.
Un 11,3% como una magnitud escalar.
El 13% como el tamaño de un objeto.
Un 17,7% como el espacio que ocupa un cuerpo.
1,6% como el espacio interior de un objeto.
1,6% como algo que contiene dimensiones.
1,6% como la semejanza de una figura y el cuerpo.
4,8% como la medición de un objeto en el espacio.
3,4% como la cantidad de algo.
A pesar de que pueden intuir que dos cuerpos con forma diferente pueden tener el mismo volumen, cuando justifican esta respuesta, su argumento se relaciona con el tamaño total del objeto, porque consideran que los cuerpos tienen el mismo peso. Como consecuencia, se convierten en argumentos que no concretan el concepto.
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De acuerdo con lo anterior, los estudiantes del grado décimo de la I. E. La Paz, presentan dificultades en la comprensión del concepto de volumen. Es decir, no han logrado concretar dicho concepto, a lo largo de los años escolares, a través del proceso curricular, comenzado en la básica primaria y continuada en la básica secundaria. En este sentido, es importante mencionar que, por la poca apropiación que los estudiantes muestran del concepto de volumen, es prudente implementar acciones que tiendan por esa apropiación, tomando objetos de su entorno que motiven a los estudiantes, desde la curiosidad y los retos, a comprenderlo y querer involucrarse con sus propiedades.
Hay varios investigadores que han detectado también estas dificultades. Tal es el caso de Raviolo, Moscato y Schnersch (2005), quien argumenta que:
Los conceptos masa, volumen y densidad, son conceptos básicos e iniciales en el currículo de ciencias. Sin embargo, la diferenciación conceptual entre ellos no es un logro muy extendido en la mayoría de los alumnos, incluso se encuentran dificultades en estudiantes de nivel terciario y universitario. (p. 11)
Guillén (1991) afirma en su trabajo sobre las dimensiones que: “cualquier representación bidimensional de objetos tridimensionales implica la distorsión de algunas de las propiedades del objeto, en el paso del espacio al plano” (p. 173). De hecho, se pone en juego la percepción del espacio que tienen los estudiantes, poco adiestrada, porque aunque ellos construyen sus conocimientos espaciales desde que nacen, son las acciones pedagógicas las que hacen que estructuren estos conocimientos, en especial la habilidad de imaginar la manera en que verían un objeto al cambiarle de posición en el espacio.
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Las afirmaciones de los autores anteriores, corroboran lo que ya se había manifestado con respecto a la comprensión del concepto de volumen. Por lo tanto, con el trabajo de intervención que se diseñará y evaluará, el estudiante pasará por varias fases que involucrarán la integridad entre las áreas: Educación en ética y valores, Competencias Ciudadanas, Ciencias Naturales, Educación en artística, y el área de Matemáticas, permitiendo que interactúe con sus pares, pueda comunicar sus hallazgos y mostrar sus habilidades y competencias.
Puesto que la formación de los estudiantes no está únicamente enfocada a resolver algoritmos matemáticos sino también a comprender los conceptos, es necesario hacer una intervención que lleve a los estudiantes del grado décimo de la I.E. La Paz a comprender e interiorizar el concepto de volumen. La conceptualización y la resolución de algoritmos matemáticos se necesitan y se justifican mutuamente; no puede haber una ruptura entre ellos, porque generaría grandes dificultades en la toma de decisiones y en la resolución de los problemas. La conceptualización del volumen es un referente como guía para comparar, revisar y modificar las situaciones habituales que se vivencian, como por ejemplo, el hecho de subir una nevera a un apartamento que queda en un quinto piso o, más complejo, como la caracterización de un sólido de revolución.
Atendiendo a estas consideraciones, el trabajo de intervención que se pretende hacer para solucionar esta dificultad, está constituido por un conjunto de actividades en una unidad curricular, que permitan a los estudiantes ir avanzando en la comprensión del concepto de volumen. Las actividades tendrán unos objetivos claros que paulatinamente irán perfilando el concepto de una forma tal que se llegue a este. En este sentido, se espera
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que permitan una interacción con el concepto de una forma lúdica, mediante el doblado de papel, de tal manera que los estudiantes tengan la posibilidad de compartir sus producciones con sus compañeros, fortaleciendo su tolerancia y paciencia para hacer sus diseños, desarrollando su motricidad fina, su capacidad de seguir instrucciones, la observación y, claro está, su comprensión.
4.2
Pregunta Problematizadora
De acuerdo con el planteamiento del problema, la pregunta que se responderá con este trabajo es: ¿Cómo diseñar una unidad curricular, en el marco de la Enseñanza para la Comprensión, que permita la comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel, en los estudiantes del grado 10º de la I.E. La Paz del municipio de Envigado?
4.3
Objetivo General
Diseñar una unidad curricular, en el marco de la Enseñanza para la Comprensión, que permita la comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel, en los estudiantes del grado 10º de la I.E. La Paz de Envigado.
4.4
Objetivos Específicos
Diseñar una fase exploratoria, donde se promueva la indagación del
concepto de volumen.
Diseñar una fase de investigación guiada, que lleve al estudiante a la
comprensión del concepto de volumen.
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Diseñar una fase de proyecto final de síntesis, que le permita al estudiante
comunicar su comprensión del concepto de volumen, mediante la realización de un trabajo grupal final.
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Marco Teórico: Enseñanza para la Comprensión
5.1 Generalidades
Dentro de las metas propuestas en las actividades escolares, está la comprensión de los contenidos establecidos en los programas curriculares; esta comprensión debe estar por encima de la transmisión de los contenidos y, por esta razón, se deben generar estrategias pedagógicas que propendan por tal fin. Según Escobedo (2004) “comprendemos un proceso cuando contamos con una teoría que nos permite orientar nuestra acción en relación con ese proceso en forma exitosa” (p.530). En la búsqueda de esta comprensión, el marco de la Enseñanza para la Comprensión nos permite llegar a esas metas.
Pero, además, hay otro ingrediente básico en la comprensión, que es la flexibilidad en el desempeño del saber comprendido; esto se aprecia fuertemente en los desempeños que los estudiantes realizan y va más allá de lo aprendido, cuando logran articular con otros saberes y en la resolución de los problemas que se les presentan. Al respecto, Stone (1999) afirma, en su trabajo, que las personas reconocen la comprensión por medio del desempeño flexible:
La comprensión se presenta cuando la gente puede pensar y actuar con flexibilidad a partir de lo que sabe. Por contraste, cuando un estudiante no puede ir más allá de la memorización y el pensamiento y la acción rutinarios, esto indica falta de comprensión. (p.72)
Así mismo, Stone (1999) describe un criterio de desempeño para la comprensión; en este sentido, los estudiantes no solo alcanzan conocimientos sino que piensan a partir de ello y lo articulan con otros contextos. Para apreciar la comprensión en los estudiantes, se
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les puede, en un momento determinado, pedir que expliquen lo comprendido, resuelvan un problema, construyan un argumento o armen un producto de lo aprendido; con estos indicadores, el estudiante podrá demostrar el nivel de comprensión actual y esto le permitirá avanzar en su comprensión.
Sin embargo, no se pueden dejar de lado factores adversos que influyen fuertemente en los estudiantes y en la comprensión de los conceptos, como son: la cobertura de todos los contenidos propuestos en los currículos, la baja comprensión y la falta de adiestramiento en la abstracción y reflexión de los conceptos, que por diferentes situaciones se van atrasando en el desarrollo de los mismos, entre otros. Según Juber (2013):
El mayor enemigo de la comprensión es la cobertura. Desde el momento en que un docente (alumno, padre o administrador) está empeñado en querer cubrir todo lo que está en el currículo o en el programa a expensas de un alto costo, sin dar a los estudiantes varias oportunidades desde diferentes ángulos que muestren tanto sus comprensiones como sus malas comprensiones, será poca la comprensión genuina que se logre. (p. 5)
Pero esto también va de la mano con la heterogeneidad de los estudiantes en las aulas de clase, en sus formas de aprender y comprender, pues no todos comprenden en los mismos tiempos y de las mismas formas, hay que priorizar lo que son, lo que saben y lo que pueden hacer; la motivación y el compromiso son claves para que ellos lleguen a aprender y comprender. Lo anterior, debe llevar al docente constantemente a revaluar sus prácticas pedagógicas, para observar y concretar las diferentes formas y posibilidades que los estudiantes deben tener para poder alcanzar las metas de comprensión, que les permita
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no solo dar cuenta de sus aprendizajes sino proyectarse a una sociedad que los requiere competentes para poder mejorar la calidad de vida de sus integrantes.
El marco teórico con el que se fundamentará la intervención pedagógica que se hará con los estudiantes de la I. E. La Paz, es la Enseñanza para la Comprensión (EpC), como soporte para la comprensión del concepto de volumen. Se espera que su paso por la unidad curricular, los lleve a superar las dificultades que presentan en la comprensión y, al tener la posibilidad de analizar y encontrar sus fortalezas y debilidades, puedan avanzar en la articulación de sus saberes disciplinares con lo cotidiano, para ser más productivos en la sociedad en la cual están inmersos.
5.2
Elementos de la Enseñanza para la Comprensión
El marco teórico EpC fue un trabajo colaborativo entre investigadores como David Perkins, Howar Gardner, Vito Perrone, S. J. Bruner, R. F, Elmore, M.W. McLaughlin, (citados por Stone, 1999), entre otros, quienes gestaron una propuesta en la interaccion masetro- estudiante. En esta perspectiva, Pogré (2001) precisa:
Si bien propone un modelo de planificacion, encierra en él una lógica de concepción acerca de la enseñanza, el aprendizaje y una postura ética sobre la certeza de que todos somos capaces de comprender y que, además, se puede ayudar a que esto sea posible a través de una enseñanza pertinente. (p. 3)
La Enseñanza para la Comprensión, surgida en la Escuela de Educación de Harvard, se fundamenta en que comprender un tema “es poder realizar una presentación flexible de él: explicarlo, justificarlo, extrapolarlo, relacionarlo y aplicarlo de maneras que vayan más
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49
allá del conocimiento y la repetición rutinaria de habilidades. Comprender implica poder pensar y actuar flexiblemente utilizando lo que uno sabe” (Perkins, 1999, p. 70). Cuando un estudiante evidencia la comprensión de un tema, él puede reproducir el conocimiento recibido y re solucionar problemas cotidianos utilizando de una forma creativa y apropiada sus conocimientos.
De acuerdo con Stone (1999), el proyecto de la EpC definió un modelo de cuatro elementos que incorporan las características de la enseñanza particularmente efectiva para la comprensión y parte de las siguientes preguntas esenciales a toda práctica educativa.
Un marco conceptual guía debe abordar cuatro preguntas clave:
1. “¿Qué tópicos vale la pena comprender?” (p. 95).
2. “¿Qué aspectos de esos tópicos deben ser comprendidos?” (p. 95).
3. “¿Cómo podemos promover la comprensión?” (p. 95).
4. “¿Cómo podemos averiguar lo que comprenden los alumnos?” (p. 95).
Estas preguntas las responde Stone (1999) bajo la EpC, en la cual se define los cuatro pilares de la siguiente manera:
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50
5.2.1 Tópicos Generativos.
Según Pogré (2001) se definen como “conceptos, ideas, temas relativos a una disciplina o campo del conocimiento” (p.9) cuya característica es ser habilitadores del aprendizaje; en el tópico generativo pueden ramificarse varias líneas de comprensión.
Además, según Pogré (2001), se deben tener unos criterios para evaluar la generatividad de los tópicos: “ser centrales en el campo disciplinar” (p. 9), y “ricos en conexiones posibles con el contexto y con los recursos disponibles” (p. 10) y, a su vez, “accesibles e interesantes para los alumnos, interesantes e importantes para el docente”. (p. 10).
5.2.2 Metas de Comprensión.
De acuerdo con Stone (1999), las metas de comprensión parten de lo que se quiere que los estudiantes aprendan y adquieren mayor importancia cuando son explícitas y se hacen públicas; esta autora realza que “deben centrarse en las ideas, modalidades de indagación y formas de comunicación que resultan esenciales si se quiere que los alumnos entiendan la materia en cuestión” (p. 108). Se formulan de dos maneras: como enunciados y como preguntas abiertas. Es de anotar que en las metas de comprensión se habla de unas metas generales, en las cuales se centra la comprensión, llamadas hilos conductores.
5.2.3 Desempeños de Comprensión.
De acuerdo con Stone (1999) este elemento es determinante en el marco de EpC, debido a que estos ayudan a desarrollar y a demostrar la comprensión. En la línea de esta
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51
autora, “la visión vinculada con el desempeño subraya la comprensión como la capacidad e inclinación a usar lo que se aprende en el mundo” (p. 109). A estos desempeños de la comprensión se les asignan tres etapas:
5.2.3.1 Etapa exploratoria. Según Stone (1999) son las actividades que ayudan a que los alumnos vean conexiones entre los tópicos generativos, sus propios intereses y experiencias previas. Esta etapa ofrece al docente como al estudiante, información acerca de lo que los estudiantes están interesados en aprender; también sirve para atraerlos al dominio de un tópico generativo; las actividades planeadas son de final abierto y se pueden abordar de múltiples formas para irse involucrándose en el tema en cuestión. Esta etapa puede diseñarse, además, para comprometer a los estudiantes a poner en práctica sus comprensiones anteriores y confrontar algunos de los fenómenos o enigmas que presenta el tópico generativo.
5.2.3.2 Investigación guiada. Stone (1999) precisa que:
Los desempeños de investigación guiada involucran a los alumnos en la utilización de ideas o modalidades de investigación que el docente considera centrales para la comprensión de metas identificadas. Durante las etapas iniciales de una unidad o un curso de estudio, los desempeños pueden ser relativamente simples o elementales. En rigor, los docentes pueden centrarse en habilidades básicas tales como la observación cuidadosa, el registro preciso de datos, el uso de un vocabulario rico o la síntesis de notas de fuentes múltiples alrededor de una pregunta específica. (p.112)
5.2.3.3 Proyecto final de síntesis: De acuerdo con Stone (1999):
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52
Los proyectos finales de síntesis pueden ser similares a los proyectos y exposiciones que muchos docentes asignan como tareas finales para completar una unidad curricular. Su rasgo distintivo en el marco conceptual de la EpC es que demuestran con claridad el dominio que tienen los alumnos de las metas de comprensión establecidas. Tales desempeños necesariamente invitan a los alumnos a trabajar de manera más independiente de como lo hicieron en sus desempeños preliminares y a sintetizar las comprensiones que han desarrollado a lo largo de una unidad curricular o de una serie de unidades”. (p. 113)
5.2.4 Evaluación diagnóstica Continua
Pogré (2001) establece que “es el proceso de brindar respuestas claras a los Desempeños de Comprensión de los estudiantes, de modo tal que permita mejorar sus próximos desempeños de comprensión” (p. 15). Se entiende entonces que la evaluación es específica para la meta de comprensión trabajada, ya que estará siempre en un proceso de revisión continua para seguir avanzando en otras metas de comprensión. Según Stone (1999), un componente muy importante en la evaluación diagnóstica continua es analizar cómo están avanzando los alumnos hacia desempeños de alto nivel.
5.3
Dimensiones de comprensión
Las dimensiones, según Boix y Gardner (1999), son las cualidades de la comprensión, válidas en la Enseñanza para la Comprensión. De acuerdo con estos autores, estas se caracterizan de la siguiente manera:
Dimensión de contenidos: “evalúa el nivel hasta el cual los estudiantes han trascendido las perspectivas intuitivas o no escolarizadas y el grado hasta el cual pueden
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53
moverse con flexibilidad entre ejemplos generalizaciones en una red conceptual coherente y rica” (p. 230).
Dimensión de métodos: “evalúa la capacidad de los alumnos para mantener un sano escepticismo acerca de lo que conocen o lo que se les dice, así como su uso de métodos confiables para construir y validar afirmaciones y trabajos verdaderos” (p. 232).
Dimensión del propósito: “se basa en la convicción de que el conocimiento es una herramienta para explicar, reinterpretar y operar en el mundo. Evalúa la capacidad que tienen los estudiantes para reconocer los propósitos e intereses que orientan la construcción del conocimiento” (pp. 234-235).
Dimensión de formas de comunicación: “evalúa el uso, por parte de los alumnos de sistemas de símbolos (visuales, verbales, matemáticos y cenestésicos corporales, por ejemplo) para expresar lo que saben” (p. 237).
5.4
Niveles de comprensión
La EpC, según Boix y Gardner (1999), determina que por cada dimensión esta varía en los siguientes niveles de comprensión:
5.4.1 Comprensión ingenua: se caracteriza por el uso de la intuición, la baja reflexividad y un aprendizaje que no problematiza la información disponible. (p.239)
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5.4.2 Comprensión de novatos: entienden la construcción y expresión del conocimiento como un procedimiento mecánico. A su vez, se basa en la conexión simple de ideas y conceptos.(p.240)
5.4.3 Comprensión de aprendiz: “La construcción de conocimiento se ve como una tarea compleja, que sigue procedimientos y criterios que son prototípicamente usados por expertos en el dominio. Con apoyo, los desempeños en este nivel iluminan la relación entre conocimiento disciplinario y vida cotidiana” (Boix y Gardner, 1999, p. 240).
5.4.4 Comprensión de maestría: estos desempeños son “integradores, creativos y críticos” (p. 241), ya que suponen la consideración del conocimiento como construcción compleja guiada por cosmovisiones y marcos específicos que surgen de argumentaciones públicas que se dan al interior de las comunidades académicas (Boix y Gardner, 1999).
En síntesis, la Enseñanza para la Comprensión “puede ser aplicada fácilmente a actividades de aula relativamente tradicionales, en la medida en que estén diseñadas para involucrar a los alumnos en la puesta en práctica de lo que han comprendido” (Stone, 1999, p. 115). Los estudiantes siempre podrán, bajo este marco conceptual, desarrollar sus habilidades al trabajar colaborativamente en equipo y, a su vez, consolidar la competencia comunicativa, que permite evidenciar los conceptos comprendidos.
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6 6.1
55
Marco Metodológico
Paradigma
El paradigma que guiará la intervención pedagógica, es el cualitativo, pues no solo las actividades se acomodan a los participantes que hacen parte del estudio, sino también que por sus características permite obtener los logros propuestos. Según Hernández, Fernández y Baptista (2006):
La investigación cualitativa da profundidad a los datos, la dispersión, la riqueza interpretativa, la contextualización del ambiente o entorno, los detalles y las experiencias únicas. También aporta un punto de vista “fresco natural y holístico” de los fenómenos, así como flexibilidad. (p.19)
Reafirma este paradigma, el tener en cuenta a todos los estudiantes del grado 10°1 de la I.E La Paz y su contexto socio-cultural. Incluso, se generó información de tipo verbal, escrita y manual y se empleó la inducción y la deducción para analizar las diferentes situaciones. Adicionalmente, se hicieron actividades exploratorias, inductivas y descriptivas. Según Pérez (1994):
La teoría constituye una reflexión en y desde la praxis, ya que la realidad está constituida no solo por hechos observables y externos, sino por significados y símbolos e interpretaciones elaboradas por el propio sujeto a través de una interacción con los demás. (p.10)
Este autor amplía la caracterización del paradigma cualitativo cuando afirma:
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56
La investigación cualitativa no busca la generalización, sino que es ideográfica y se caracteriza por estudiar en profundidad una situación concreta. Desarrolla hipótesis individuales que se dan en casos individuales. No busca la explicación o la causalidad, sino la comprensión, y puede establecer inferencias plausibles entre los patrones de configuración en cada caso. (p.12)
El paradigma cualitativo debe considerar el entorno de los estudiantes, en su hábitat, donde viven, piensan y sienten en su ambiente sociocultural. En esta línea, Pérez (1994) precisa:
Este paradigma nos devuelve al mundo de la vida cotidiana: los seres humanos se mueven en interacciones y comunicaciones con sus semejantes. La vida cotidiana es una muestra de que hay muchas situaciones en las que los sujetos en interacción redefinen mutuamente sus actos. La interacción es circunstancial, por lo que tiene que ser establecida en cada momento por los participantes a través de la interpretación y negociación de las reglas que permitan la convivencia humana. Así, el objeto básico de estudio es el mundo de la vida cotidiana, tal como es aceptado y problematizado por los individuos interaccionando mutuamente. (p.11)
Con los elementos mencionados bajo la caracterización del paradigma cualitativo, se trabajará la unidad curricular propuesta, que tendrá en cuenta la observación y el ambiente que rodea a los estudiantes, para llevarlos a la comprensión del concepto de volumen, mediante el doblado de papel. El cuestionario intencionado permite llegar a la indagación del concepto de volumen en el ambiente familiar y el propio de los estudiantes, insumos que van perfilando las acciones a realizar para cumplir con los objetivos propuestos.
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
6.2
57
Participantes
El grado 10°1 de la I.E. La Paz de Envigado, está conformado por 36 estudiantes (20 mujeres y 16 hombres), con edad promedio de 16 años, en un rango que va desde 15 años a 18 años. Los estudiantes fueron autorizados por sus padres para trabajar en el proyecto y hacer los diferentes registros para sistematizar, realizar y dar a conocer la propuesta de trabajo.
Además, es un grupo heterogéneo, en el que hay cuatro repitentes, el 50% son dispersos y con dificultades en disciplina de estudio, su rendimiento académico en general es básico, el estrato socioeconómico es 2 y 3, vienen en un 60% de hogares disfuncionales con madres cabeza de familia. Son respetuosos y hablan mucho entre ellos, solo escuchan cuando algo les interesa; suelen cuestionar todas las actividades, interrogan casi siempre sobre la utilidad de las temáticas trabajadas, con la intencionalidad de evaluar si es necesario aprenderlas.
6.3
Métodos para Recolectar la Información
Según Hernández et al. (2006), una vez que seleccionamos el diseño de investigación apropiado y los participantes, de acuerdo con nuestro problema de estudio, la siguiente etapa consiste en recolectar información pertinente sobre los atributos, conceptos, cualidades o variables de las personas, casos, sucesos, comunidades u objetos involucrados en la investigación.
En esta perspectiva, la información se recolectó a través de los siguientes métodos:
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58
6.3.1 La Observación. Es una de las técnicas de recolección de información más utilizada en todas las ciencias y se relaciona con la descripción auténtica y detallada de los hechos. Las conversaciones e interacciones que se plantean deben ser transcritas de manera objetiva. En particular, durante la intervención, se realizaron varias observaciones de las situaciones que vivenciaron los estudiantes al desarrollar las actividades de la unidad curricular. Estas fueron grabadas en audio y video, con previo consentimiento informado de los acudientes de los participantes. 6.3.2 El cuestionario. El cuestionario se compone de un conjunto de preguntas abiertas o cerradas, con las que se busca obtener información directa de los participantes, para responder a la pregunta problematizadora y dar consecución a los objetivos. En el presente estudio, se realizaron varios cuestionarios:
Cuestionario inicial para identificar las dificultades que exhibían los estudiantes frente a la comprensión del concepto de volumen.
Cuestionario familiar que permitió reconocer las concepciones previas de los estudiantes y de aquellas personas que representan la ley, desde lo académico y lo disciplinar.
6.3.3 Revisión del material de los estudiantes. Durante las actividades de la unidad curricular, se recolectaron todos los materiales elaborados por los estudiantes (construcciones con doblado de papel y cuestionarios, que se
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59
estructuraron en una carpeta llamada portafolio), para poder analizar de qué manera las actividades con doblado de papel, les permitieron comprender el concepto de volumen.
6.4
Unidad Curricular
Se entenderá por unidad curricular, al conjunto de actividades diseñadas bajo los parámetros de la Enseñanza para la Comprensión, que permitan el avance en los procesos de comprensión del concepto de volumen, en los estudiantes del grado décimo.
6.4.1 Generalidades de la unidad curricular.
6.4.1.1 Tópico Generativo.
¿Cómo comprender el concepto de volumen mediante construcciones con doblado de papel?
6.4.1.2 Metas de Comprensión.
Los estudiantes identificarán el concepto de volumen en construcciones con
doblado de papel.
Los estudiantes encontrarán la diferencia entre los conceptos de volumen,
forma y capacidad.
Los estudiantes reconocerán la importancia del concepto de volumen tanto
en las matemáticas, como en otros contextos.
Los estudiantes usarán el concepto de volumen para resolver problemas
matemáticos o de otras ciencias.
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
60
6.4.1.3 Hilo conductor o meta de comprensión abarcadora.
Los estudiantes comprenderán el concepto de volumen a partir de construcciones con doblado de papel.
6.4.2 Desempeños.
6.4.2.1
Fase de Exploración.
Con el desarrollo de esta fase, se pretende indagar por los conocimientos previos que tienen los estudiantes frente al concepto de volumen. Para ello, se realizarán las siguientes acciones: Construir un cubo mediante el doblado de papel. Encontrar elementos que permitan indagar sobre el concepto de volumen. Indagar el concepto de volumen en el ambiente familiar. Socializar los hallazgos del concepto de volumen con los estudiantes de 10°1. Comunicar y proponer una actividad que contenga el concepto volumen.
6.4.2.1.1
Actividad de construcción. Procedimiento para la construcción del
cubo modular mediante el doblado de papel.
Para la realización del cubo, es necesario disponer de seis hojas cuadradas de 10.5 cm de lado; para ello, se utilizarán figuras con algunas convenciones utilizadas en origami (ver anexo 2) y se describirán los pasos necesarios para su construcción (ver figuras 8 a 11).
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
Figura 8. Elaboracion de base para cubo. Pasos 1 a 4.
61
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
Figura 9. Elaboración de base para cubo. Pasos 5 a 8
62
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Figura 10. Método para ensamblar el cubo
Figura 11. Cubo ensamblado
63
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
6.4.2.1.2
64
Actividad para la casa. Luego de construir el cubo, los estudiantes se lo
llevan para su casa, se lo muestran a sus padres y hermanos y resuelven el siguiente cuestionario:
1.
¿Qué es para ustedes el volumen?
2.
¿Es importante saber qué es el volumen de un cuerpo? ¿Por qué?
3.
¿En qué situaciones diarias se ven relacionados directamente con el volumen?
4.
¿Cómo calcularían el volumen de ese cubo? Explicar.
6.4.2.1.3
Proceso de evaluación. Para evidenciar el proceso de evaluación de
la fase de exploración, se realiza una puesta en común de los hallazgos encontrados por los estudiantes, en sus respectivos hogares, con el propósito de indagar sobre los conocimientos previos de estos y de aquellas personas que representan su autoridad académica. Posteriormente, se continúa con la siguiente fase.
6.4.2.2 Fase de Investigación Guiada.
En esta fase se propenderá por el desarrollo de actividades intencionadas que llevarán a los estudiantes a ir avanzando en su nivel de comprensión con respecto al concepto de volumen.
6.4.2.2.1
Actividad de transformación con diferentes configuraciones
volumétricas. Se hará la construcción de un tren de cubos unidos entre sí, que le permitirá al estudiante comprender que cuerpos con diferente forma pueden tener el mismo volumen, además, que la forma y el volumen son conceptos diferentes.
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
Luego, se continúa con la actividad de representación gráfica de las figuras y cálculo de sus volúmenes. En esta actividad, los estudiantes manipularán ocho cubos, uniéndolos entre sí, tratando de obtener la mayor cantidad de formas diferentes y, posteriormente, se les indicará una manera de pegarlas, de acuerdo con las instrucciones dadas.
Instrucciones de pegado de los ocho cubos.
Se toman los ocho cubos y se hacen
arreglos de filas de 4x2, luego se toman tiras de cinta transparente y se pegan de acuerdo con las figuras siguientes:
65
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
Figura 12. Armado de cubos unidos
66
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Figura 13. Primera forma que puede armarse con los cubos unidos.
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Figura 14. Segunda forma que puede armarse con los cubos unidos
Los estudiantes podrán interactuar con los cubos unidos con cinta y podrán observar diferentes formas, lo que les permitirá sacar conclusiones con respecto a la forma y al volumen.
6.4.2.2.2 Actividad: Diligenciar la siguiente tabla en forma individual. Con el tren de cubos, el estudiante construirá diferentes formas y responderá, de acuerdo a los diseños, la siguiente tabla. Diligenciar la tabla en forma individual.
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
Figura
Cantidad de cubos
Dibujo de la vista de la figura
69
Cálculo del volumen
1
2
3
4
6.4.2.2.3 Actividad construcción de una caja. En esta actividad se espera que los estudiantes comparen el volumen de una caja con el de un cubo y varios cubos. El objetivo será hacer una diferenciación entre el volumen y la capacidad, considerando la cantidad de cubos que caben en dicha caja
Instrucciones para hacer la caja: Se toma una hoja de papel cuadrada de 21 cm de lado y se realizan los pasos indicados en las figuras 15 a 18
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Figura 15. Construcción caja. Pasos 1 a 3.
70
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Figura 16. Construcción caja. Pasos 4 a 8.
71
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Figura 17. Construcción caja. Pasos 9 a 13.
72
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
73
Figura 18. Construcción caja. Pasos 14 a 17
Luego de construida la caja, se analiza la posibilidad de poner en su interior cuatro cubos como los construidos durante la fase de exploración y que surgen de una hoja de papel de forma cuadrada cuyos lados miden la mitad de la hoja con la que se inició la
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74
construcción de la caja (10.5 cm); luego, se discute de qué manera estos se pueden ubicar exactamente en la caja; posteriormente, se indaga por qué se habla de la diferencia entre el volumen y la capacidad, además, se puede concluir que medir el volumen es calcular el número de unidades cúbicas que caben en su interior.
6.4.2.2.4
Proyección y evaluación de la actividad. En equipos de estudiantes, se les plantea las siguientes acciones:
1.
Construir una caja con una hoja de papel, cuyos lados midan el doble de los
lados de la hoja de papel con la que se construyó el cubo. 2.
Construir la cantidad de cubos que caben en su interior.
3.
Analizar ¿cuántos cubos se deberían realizar si la caja se construye con una
hoja de papel cuyos lados midan el triple de los lados de la hoja de papel con la que se construyó el cubo? 4.
Analizar ¿cuántos cubos se deberían realizar si la caja se construye con una
hoja de papel cuyos lados midan n veces los lados de la hoja de papel con la que se construyó el cubo?
6.4.2.2.5
Actividad de modelación matemática. El estudiante llegará al
algoritmo matemático que le permitirá relacionar el volumen de un cubo con la medida del lado de la hoja con que se construye. Para llegar a este algoritmo, el estudiante pinta uno de los lados del cubo y luego desdobla la hoja, tal y como se muestra en la figura 19:
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
75
Figura 19. Cálculo del algoritmo matemático para hallar el volumen de un cubo
Luego de desdoblarla, el estudiante se dará cuenta que el cuadrado inicial queda dividido en 16 cuadrados pequeños congruentes y que sus lados equivalen a ¼ del lado de la hoja cuadrada, por lo tanto: Sea L el lado de la hoja cuadrada y, utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos: 𝐿 2
𝐿 2
4
4
𝑎2 = ( ) + ( ) 𝑎2 =
𝐿² 𝐿² + 16 16
𝑎2 =
𝐿² 8
𝐿² 𝐿 𝐿 √2 𝐿√2 𝑎=√ = = × = 8 √8 2√2 √2 4 Como los estudiantes ya habían investigado la fórmula para hallar el volumen de un cubo, se puede concluir que: 3
𝐿√2 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = ( ) 4
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
76
Para llegar al algoritmo del volumen de la caja, el estudiante pinta cada uno de los lados de la caja construida (largo, ancho y alto), luego, se desdobla la hoja y queda el mosaico de pliegues que se muestra en la figura 20:
Figura 20. Cálculo del algoritmo matemático para hallar el volumen de la caja
Posteriormente, el estudiante debe hallar el valor de C, en términos de L, así: Por el Teorema de Pitágoras, se tiene: 𝐿 2
C2 + C2 = (2) de donde C2 =
Es decir Y
𝐿 2
𝐿2 8
𝐿 2
b2= (2) + (2)
𝐿 2
2C2= (2)
despejando para C=
𝐿√2 4
y despejando para b se tiene b=
𝐿√2 2
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
77
Luego el volumen de la caja es V= C x b x b
V caja =
𝐿√2 4
x
𝐿√2 2
𝐿√2
x
2
=L3
√2 8
Observación: para calcular los cubos que caben en la caja, se calcula la razón entre el volumen de la caja y el volumen del cubo, así: 𝑉𝑐𝑎𝑗𝑎 = 𝐿3 𝑉𝑐𝑎𝑗𝑎 𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜
=
√2 8
√2 8 3 𝐿√2 ( ) 4
𝐿3
𝐿√2
𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜 = (
4
3
) entonces,
= 4 Esto es: 𝑉𝑐𝑎𝑗𝑎 = 4𝑉𝑐𝑢𝑏𝑜
Por lo tanto, con esas medidas, caben cuatro cubos, con lo que se confirma el ejercicio hecho en la práctica cuando se introdujeron los cubos dentro de la caja.
6.4.2.3 Fase del proyecto final de síntesis.
Cada equipo de estudiantes elige una figura modular, con doblado de papel, para realizar las siguientes acciones
Consultar su historia y sus generalidades.
Encontrar la manera de hallar su volumen haciendo uso de métodos
matemáticos.
Presentar un trabajo escrito.
Presentar una exposición al grupo.
Se sugieren algunos poliedros como: el tetraedro, el octaedro, el dodecaedro, el icosaedro, el prisma y la pirámide.
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
7 7.1
78
Análisis
Actividad Fase Exploratoria
7.1.1 Construcción del cubo.
En el proceso de la construcción del cubo, después de ambientar la actividad con papeles de colores llamativos y en un lugar adecuado, se comienza el trabajo; poco a poco se les va indicando cómo hacer los dobleces para ir construyendo el cubo. Estas indicaciones se refuerzan con unas diapositivas previamente elaboradas mostradas en video beam.
A medida que se realizan los dobleces, se indican los conceptos primitivos de la geometría del doblado de papel: lo que representa el punto (intersección de dos dobleces), la línea recta (doblez) y el plano (hoja de papel). Se recuerdan algunos conceptos geométricos como paralelogramo, diagonales, triángulos, la clase de triángulos que se van formando, los rombos, los cuadrados. Se enfatiza en lo que se observa de una arista, de los ángulos, de la superficie; se pregunta por el área, el perímetro, la longitud de los lados, entre otros; es decir se aprovecha el trabajo de la construcción para ir reforzando elementos geométricos.
Durante la actividad, se observaron estudiantes entusiasmados; se percibió que en las diferentes mesas de trabajo, había un ambiente cooperativo, pues entre sus miembros se iban explicando indicaciones no entendidas, se mostraban sus logros y todos procuraban hacer los dobleces lo mejor que podían; algunos comenzaban tímidos por
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79
temor a no hacerlo bien, o por destruir los papeles que se les había dado para la actividad, pero se fue superando a medida que se les motivaba.
Cuando se les preguntó por algunos elementos geométricos, antes mencionados, en variadas ocasiones, era necesario brindarles una ayuda o una pista, o se les debía mostrar lo que se deseaba que recordaran. Cuando finalmente se llegó al ensamble de las partes para formar el cubo y a la construcción misma del cubo, los estudiantes mostraron agrado y exhibían sus productos. En ese instante, se les interpela por el concepto de volumen, para reconocer, nuevamente, sus conocimientos previos. El propósito de esa interpelación, era intentar aproximarse a la comprensión del concepto con el cubo construido.
7.1.2 Actividad de indagación familiar.
El cubo construido se convirtió en un instrumento base para la actividad de indagación en el contexto familiar. Esta actividad generó los siguientes hallazgos, que se evaluaron en una puesta en común, de acuerdo a lo que pensaban los padres y familiares cercanos, sobre el concepto de volumen:
Es la masa que tiene un cuerpo.
Es la magnitud que tiene una cosa en el espacio.
Es el espacio que ocupa un cuerpo.
Son las tres dimensiones de un cuerpo.
Es una propiedad de cuerpo.
Es una medida.
Es el tamaño de un cuerpo.
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
Es la cantidad de algo.
Es todo lo que se puede tocar,
Es el cociente entre la masa y la densidad.
No sabe.
80
Se infiere, con esta actividad, que el medio familiar tiene una gran variedad de opiniones frente al concepto de volumen. Esto trae como consecuencia, confusión y, como algunos conceptos son errados, no ayudan a que los estudiantes comprendan el concepto de volumen y tengan que recurrir a la intuición para poderlo utilizar en sus actividades cotidianas. De acuerdo con los niveles de la EpC, se detecta un desempeño de comprensión de ingenuo, pues tanto los estudiantes como sus familiares, se basan en el conocimiento intuitivo, proceso que les permite captar información disponible del medio.
Cuando se les pregunta sobre la importancia del concepto de volumen, todos afirman que si es importante y explican que:
Con este se puede hallar la densidad de un cuerpo.
Les sirve para resolver problemas matemáticos.
Para controlar el peso.
Para determinar la cantidad de masa.
Para poder ubicar objetos.
Permite saber del tamaño de un cuerpo.
Permite medir los cuerpos.
Permite observar distancias que hay entre los cuerpos.
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
81
En general, se observó que la importancia del concepto de volumen, radica en la medida del espacio que ocupa un cuerpo y se usa, precisamente, para analizar ese espacio que ocuparía en caso de ser movido. Por lo tanto, parece inferirse que en la práctica hay claridad frente a la utilidad de dicho concepto.
En cuanto a la pregunta de cómo hallar el volumen del cubo, hay un acuerdo generalizado en la formulación de elevar la arista del hexaedro regular, al cubo. En esta parte de la unidad curricular, se observó un desempeño de comprensión de novato, pues los estudiantes y sus familiares, saben cómo calcular el volumen algorítmicamente, pero sin la comprensión del concepto.
En la socialización de la actividad anterior, además de lo antes anotado, se percibió que los estudiantes manifestaron deseos de participar y reconocieron la importancia de cambiar la estrategia pedagógica; en este sentido, expresaron el deseo de seguir en el proyecto y de seguir trabajando, se notaron desinhibidos y alegres. Con este resultado, se inicia la fase de investigación guiada.
Figura 21. Construcción del cubo
Comprensión del concepto de volumen mediante el doblado de papel
82
Figura 22. Construcción del cubo
7.2
Fase de investigación guiada
7.2.1 Construcción de un tren de cubos.
Los estudiantes, reunidos por equipos, llevaron cubos previamente construidos, para formar un tren de ocho cubos, que se pegaron de una manera especial para permitir que construyeran diferentes formas. Con esta actividad, se buscó aclarar la respuesta que dieron los estudiantes en el diagnóstico, con respecto a que la forma y el volumen son conceptos similares.
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Figura 23. Construcción tren de cubos
Figura 24. Construcción tren de cubos
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En este proceso se observó el asombro que les generó la construcción del tren de cubos y las variadas formas que pudieron observar; esto los llevó a calcular el volumen de las diferentes configuraciones, de acuerdo a la cantidad de unidades cúbicas que tenía la forma observada. En la evaluación de esta actividad, se dio respuesta a una de las metas de comprensión, en la que los estudiantes identifican el concepto de volumen en construcciones con doblado de papel, permitiendo deshacer la confusión presentada por estos en cuanto a la forma y al volumen, es decir, se pudo determinar que objetos de diferente forma pueden tener el mismo volumen. Además, se logró calcular el volumen de las diferentes formas.
7.2.2 Construcción de la caja.
Durante la construcción de la caja, se percibió la necesidad de hacerlo muy despacio, porque los estudiantes se perdían fácilmente en el seguimiento de las instrucciones, pero, finalmente, lo lograron y se sintieron muy satisfechos cuando la construyeron. Posteriormente, se determinó que la cantidad de cubos que cabían dentro de la caja, era de cuatro. En esta actividad, se trabajó otra meta de comprensión a corto plazo, que se relaciona con encontrar la diferencia entre los conceptos de volumen, forma y capacidad. Esta diferenciación fue nueva para ellos, sin embargo, la visualizaron y consolidaron fácilmente mediante los cubos dentro de la caja. Además, se les recreó la historia de Arquímedes y la corona, con el objetivo de que observaran que a un sólido irregular también se le puede hallar el volumen. Con esta actividad evaluada, se pasó a la siguiente que se centra en la modelación matemática para encontrar la cantidad de cubos que caben en una caja de acuerdo a las medidas del cubo y de la caja.
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Cuando se les solicitó a los estudiantes que con un lapicero marcaran una arista del cubo, una de la base de la caja e identificaran la altura de esta última, y luego desdoblaran la caja y el cubo, no les gustó; argumentaron que sus obras se dañarían pues apreciaban lo que habían construido; para resolver este impase, se les explicó que el doblado de papel era una estrategia flexible que permitía doblar y desdoblar y que no había por qué preocuparse. Superada esta situación, se pasó a observar los dobleces y a precisar las marcas para hacer la modelación matemática. Esta actividad generó sorpresa en ellos cuando, mediante el algoritmo matemático, comprobaron que la cantidad de cubos que cabían en la caja era también de 4, que correspondía con el resultado que ellos habían concluido de forma práctica con el doblado de papel en la construcción de la caja y los cubos.
Figura 25. Construcción de la caja
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7.2.3 Actividad de cálculo de volumen en una caja de diferentes dimensiones.
De la actividad anterior, se pasa a que los estudiantes calculen la cantidad de cubos que caben en una caja que surge de una hoja de papel, cuyo lado mide tres veces el lado L de la hoja de papel con la que se inició la construcción del cubo. Algunos equipos hicieron la construcción de los cubos y mostraron la cantidad que cabía en la caja; a otros les pareció mucho trabajo y eligieron utilizar el algoritmo matemático; esto permite evidenciar que los estudiantes transcienden la construcción y logran dar cuenta del concepto de volumen. En esta fase de investigación guiada, fue necesario resaltar algunas ideas (por ejemplo, recordar conceptos geométricos básicos), para que la actividad planteada fuera exitosa y se lograran las metas de comprensión propuestas.
En esta fase, aproximadamente el 60% de los estudiantes pasaron a un nivel de comprensión de aprendiz, porque lograron trascender de lo concreto a lo abstracto al realizar el cálculo que corresponde a la cantidad de cubos que caben en una caja que surge de una hoja de papel cuyo lado mide tres veces el lado L de la hoja de papel utilizada para construir el cubo, con un desarrollo matemático, donde se evidenció conocimientos y una forma de pensar académica. Los estudiantes mostraron una forma flexible de utilizar el concepto, nivelando la modelación matemática con una situación cotidiana.
7.3 Fase del proyecto final de síntesis
En esta fase, los estudiantes trabajaron en equipos y, aunque se les sugirió algunos poliedros, ellos eligieron el que más les llamó la atención. Se percibió que algunos trabajos
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de exposición fueron más estructurados que otros; sin embargo, todos diseñaron los poliedros con el doblado de papel y le calcularon el volumen.
Esta actividad de comunicación del conocimiento, fue difícil aproximadamente para un 60% de los estudiantes; se notó la poca habilidad que tenían para hablar en público, pues utilizaban estrategias que omitieran el comunicarse directamente, como imágenes, mostrar lo que habían hecho, leer literalmente lo que les pareció importante, utilizar un objeto distractor para mitigar los nervios; pero, a pesar de las dificultades, mostraron respeto y solidaridad entre ellos. Esta fase fue compleja para los estudiantes. Durante el proceso de evaluación, ellos reconocieron que no estaban acostumbrados a hablar en público; sin embargo, manifestaron que disfrutaron las actividades, construyendo sus poliedros en origami y haciendo el cálculo de volumen, al igual que el conocer más sobre la historia de los poliedros consultados ya que nos los reconocían, ni los caracterizaban.
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Figura 26. Fase síntesis, exposición en equipos
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Conclusiones y recomendaciones
Se logró el diseño de una unidad curricular, en el marco de la EpC, que permitió la comprensión del concepto de volumen, mediante el doblado de papel, en los estudiantes del grado 10° 1 de la I.E. La Paz del municipio de Envigado; esto se evidenció en el análisis de las diferentes actividades propuestas y ejecutadas en el grupo mencionado. Esta unidad curricular, se fundamentó totalmente en los parámetros dados por la EpC; adicionalmente, su flexibilidad permitió modificar el diseño, cada vez que fue necesario, para alcanzar las metas de comprensión. Se puede concluir que tanto el marco teórico, como el metodológico, consignados en este proyecto, fueron pertinentes para el diseño y realización de la unidad curricular.
Se priorizó la comprensión del concepto de volumen por encima del sistema de medidas de este. Para ello, se partió de los conceptos previos que tenían los estudiantes, y sus familiares, y se retomaron otros conceptos geométricos necesarios para la comprensión del concepto objeto de estudio.
Se hicieron construcciones de volúmenes mediante el doblado de papel, con el objetivo de hacer, deshacer y rehacer de nuevo la construcción, dando la oportunidad de tener una representación espacial más contundente de la que puede dar un dibujo en una pizarra o en un texto; además, se hicieron comparaciones y estimaciones del volumen de diferentes formas, usando construcciones que conservaron el volumen.
La realización de actividades de empaquetamiento permitió diferenciar el concepto de volumen del de capacidad, conceptos que tienden a confundirse en la cotidianidad. Es
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por ello que se hace indispensable generar material, como el diseñado en la fase de investigación guiada, que posibilite comprender esta diferenciación. En esta actividad, se evidenció que en un 40% de los estudiantes alcanza un nivel de comprensión de aprendiz porque lograron demostrar un uso más flexible del concepto de volumen, al elegir la modelación matemática por encima de la construcción concreta de los cubos y la elaboración de la caja, para responder a la pregunta ¿cuántos cubos caben en la caja si la longitud de la hoja con la que se inició su constricción es n veces la longitud de la hoja de papel con la que se realizó el cubo?
En el diseño de la fase exploratoria, se consideró el ambiente familiar de los estudiantes, dado que los miembros de la familia son piezas fundamentales para que se logre un verdadero proceso de enseñanza y aprendizaje en las aulas de clase. De hecho, para el diseño de las demás actividades, se hizo necesario conocer los referentes académicos de los estudiantes que, normalmente, los representan sus familiares. En particular, fue ineludible reconocer las apreciaciones que tenían del concepto de volumen para generar espacios de discusión de las mismas. La indagación, en esta fase, fue fundamental para que los alumnos fueran comprendiendo el concepto de volumen. En la indagación en los ambientes familiares de los estudiantes, se encontraron variedad de opiniones erradas acerca del concepto, que se aclararon en las socializaciones realizadas.
Adicionalmente, en las actividades de la fase de exploración se logró observar a los estudiantes en un nivel de desempeño de ingenuo; sus apreciaciones se basaron notablemente en la intuición, dando cuenta de una información captada del entorno a través
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de sus sentidos, no formalizada, sin un dominio disciplinar de la comprensión del concepto de volumen.
Durante la fase de investigación guiada, los estudiantes trabajaron en grupos de estudio, en los cuales se delegaron responsabilidades, como hacer registros del tema escogido para compartir con los demás compañeros, por ejemplo. Estas actividades asignadas, junto con la exposición final de la unidad curricular, durante la fase de proyecto final de síntesis, permitieron que los estudiantes no solo trabajaran en temáticas escogidas por ellos, de acuerdo a sus motivaciones, sino que les posibilitó demostrar la comprensión del concepto de volumen en los diferentes poliedros expuestos. Es decir, pusieron en práctica lo aprendido mediante la construcción de poliedros, con doblado de papel, al identificar los elementos necesarios para definir y calcular el volumen de los mismos. Esta tarea, además, se complementó con la historia e importancia de los poliedros elegidos.
Con respecto al uso del doblado de papel, Rodríguez (2006) concluye que “[…] la práctica del origami puede tener una marcada influencia en el desarrollo de la percepción viso-espacial de las personas que lo practican” (p. 63). En este orden de ideas, se puede inferir que la técnica del origami, le permitió a los estudiantes desarrollar sus capacidades senso perceptivas; cuando siguen instrucciones de doblado de papel, lo posicionan en un espacio con tres dimensiones, en las cuales se puede observar el fondo de la figura formada; además, permite la coordinación de las manos, la imaginación, la memoria y el pensamiento, posibilitando una labor de inteligencia y concentración, provocando desarrollos cognitivos y psicomotores en los estudiantes.
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Finalmente, se puede concluir que el doblado de papel recrea con su versatilidad, plasmando ideas que no se pueden expresar a viva voz, accediendo a una forma de comunicación universal, que no requiere protocolos elaborados ni discriminativos. Por ejemplo, un joven con retardo puede mover sus manos y moldear el papel a su gusto, al igual que el estudioso que curiosea una figura; ambos estudiantes pueden expresar su sentir en un diseño que se va perfilando de acuerdo a sus apreciaciones y a lo que quieren comunicar con sus diseños.
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9 9.1
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Anexos
Anexo 1: Encuesta diagnóstica
Se les pide a los estudiantes de la I.E. La Paz del grado décimo, que respondan las siguientes preguntas; se les motiva a hacerlo desde sus saberes previos y se propicia un ambiente tranquilo y de compromiso.
1.
Defina el concepto de volumen.
2.
¿Dos cuerpos con formas diferentes pueden tener el mismo volumen? ¿Por qué?
3.
¿Dos cuerpos con forma semejante pueden tener el mismo volumen? ¿Por qué?
4.
Escriba palabras que le signifiquen lo mismo que volumen.
5.
¿Es importante para usted el concepto de volumen? ¿Por qué?
Defina el concepto de volumen:
11,3% lo definen como una magnitud escalar. 1,6% como el espacio interior de un objeto. 1,6% como algo que contiene dimensiones. 3,2% lo que contiene un objeto. 37% como la cantidad de masa de un objeto. 13% como el tamaño de un objeto. 1.6% como un elemento. 17,7% como el espacio que ocupa un cuerpo. 1,6% como la amplitud por altura. 4,8% como la medición de un objeto en el espacio.
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1,6% como la porción que se ve de un objeto. 3,4% como la cantidad de algo. 1,6% como la capacidad de un cuerpo.
¿Dos cuerpos con formas diferentes pueden tener el mismo volumen. ¿Por qué?
El 82,3% piensan que sí, y el 17,7% piensan que no. No hay explicaciones.
¿Dos cuerpos con forma semejante pueden tener el mismo volumen? Explique El 68% piensan que sí, y el 32% que no. No hay explicaciones.
Escriba palabras que le signifiquen lo mismo que volumen.
Los estudiantes, en esta pregunta, dan varias respuestas, como se tomó una muestra de 62 estudiantes, el porcentaje significa la cantidad que se repitió en la muestra.
Un 50% escriben masa, un 29% escriben tamaño, un 23% escriben peso, un 23% escriben espacio, 16% cantidad, 10% escriben dimensión,10% densidad, 8% cuerpo, 8% forma,8% gravedad, y otros escriben: porción, materia, extenderse, agrandarse, ancharse, amplitud, cubo, relleno, metros, medidas, fórmulas, bulto, tonelaje, forma, pequeño, grande corpulencia, flaco, interior subir, longitud, largo, región, altura, figura.
¿Es importante para usted el concepto de volumen? ¿Por qué?
El 69% responden que sí, el 6% responde que no y el 25% no saben que responder. No hay explicaciones.
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9.2
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Anexo 2: Convenciones del Origami.
En Della (2013), los símbolos usados se basan en el código de líneas y flechas de Akira Yoshizawa, que tienen la siguiente significación en el lenguaje universal de la técnica de origami: Pliegue de valle: Doblar por la mitad hacia adelante, por la línea punteada (figura 27).
Figura 27. Símbolo valle en origami (Della, 2013, p. 30).
Pliegue de montaña o cresta: Doblar por la mitad hacia atrás; punto, raya o punto, punto raya, significa pliegue (figura 28).
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Figura 28. Símbolo montaña en origami (Della, 2013, p. 31).
De acuerdo con Della (2013) las flechas muestran la dirección por la que se debe doblar: izquierda, derecha, arriba, abajo, adelante, atrás y adentro. Así:
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Figura 29. Símbolos utilizados en Origami (Della, 2013, p. 32)
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9.3 Anexo 3: Consentimiento informado
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