Capítulo

5

CINEMÁTICA Cinemática es una parte de la mecánica que se encarga de estudiar única y exclusivamente el movimiento de los cuerpos sin considerar las causas que lo originan. Cabe mencionar que la palabra “Cinema” significa movimiento.

CONCEPTOS FUNDAMENT ALES FUNDAMENTALES Móvil.- Es el cuerpo que realiza el movimiento. Trayectoria.- Línea recta o curva que describe un móvil. Desplazamiento.- Es aquel vector que une el punto de partida con el punto de llegada ( d = ∆r = r 2 − r 1 ) su módulo toma el nombre de distancia. Espacio Recorrido.- Longitud o medida de la trayectoria. Intervalo de Tiempo.- Tiempo empleado en realizarse un acontecimiento. (∆t = tf – to) Instante.- Se define así como un intervalo de tiempo pequeño, tan pequeño que tiende a cero. (∆t) = (tf – to) → 0

Jorge Mendoza Dueñas

98

MOVIMIENTO

IMPORTANTE − La aceleración aparece cuando varía la velocidad. − El sentido del vector aceleración no necesariamente coincide con el sentido del movimiento del cuerpo.

Es aquél fenómeno físico que consiste en el cambio de posición que realiza un cuerpo (móvil) en cada instante con respecto a un sistema de referencia, el cual se considera fijo. Se afirma también que un cuerpo está en movimiento con respecto a un sistema de coordenadas rectangulares elegido como fijo, cuando sus coordenadas varían a medida que transcurre el tiempo.

CLASIFICACIÓN DEL MOVIMIENTO

MEDIDAS DEL MOVIMIENTO

1.-

POR SU TRAYECTORIA

VELOCIDAD ( v )

A)

Rectilíneo.- Cuando la trayectoria es una línea recta.

B)

Curvilíneo.- Cuando la trayectoria es una línea curva. Entre las más conocidas tenemos:

Magnitud vectorial cuyo módulo indica cual es el espacio recorrido por un móvil en cada unidad de tiempo. Físicamente, el módulo o valor de la velocidad indica la rapidez con la cual se mueve un cuerpo. Se representa por “v”.

Circular.- Cuando Parabólico.- Cuando la trala trayectoria es una yectoria es una parábola. circunferencia.

Elíptico.- Cuando la trayectoria es una elipse.

El sentido del vector velocidad indica siempre el sentido del movimiento.

2.- POR SU RAPIDEZ

Unidad de velocidad en el S.I. metro m/ s segundo

A)

b g

Uniforme.- Cuando el módulo de la velocidad permanece constante.

ACELERACIÓN (a) Es una magnitud vectorial cuyo módulo mide el cambio de la velocidad por cada unidad de tiempo. Físicamente el módulo de la aceleración mide la rapidez con la cual varía la velocidad. Se representa por “a”.

Unidad de la aceleración en el S.I. metro m / s2 segundo2

d

i

B)

Variado.- Cuando el módulo de la velocidad varía con respecto al tiempo.

Cinemática

99

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniforme cuando cumple las siguientes condiciones: A) B)

La trayectoria que recorre es una línea recta. La velocidad ( v ) es constante.

Ilustración

OBSERVACIÓN En esta clase de movimiento, el móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales.

FÓRMULA QUE RIGE EL M.R.U.

v=

d t

EXPERIENCIA: MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME OBJETIVO Demostrar que el valor de la velocidad de una burbuja es constante, ahora, como quiera que la trayectoria es una línea recta el movimiento de dicha burbuja será M.R.U.

2.-

Llenar el tubo con agua coloreada hasta el borde.

3.-

Tapar el tubo con el corcho o tapón, de manera que dentro del tubo quede atrapado una burbuja (tratar en lo posible que dicha burbuja sea lo más pequeña que se pueda).

4.-

Colocar el tubo en la posición mostrada, con la burbuja abajo.

5.-

Al subir la burbuja, tomar el tiempo que demora ésta en recorrer:

MATERIAL A EMPLEARSE − Un tubo transparente de 1,50 m de longitud, aproximadamente. − Un corcho o tapón que permita tapar el extremo libre del tubo. − 4 cronómetros. − Una cinta métrica.

NÚMERO DE ALUMNOS: Cuatro

0 – 30 cm : 1er alumno

PROCEDIMIENTO:

0 – 60 cm : 2do alumno

1.-

0 – 120 cm : 4to alumno

Graduar el tubo de 30 en 30 cm como muestra la figura.

0 – 90 cm : 3er alumno

Jorge Mendoza Dueñas

100 6.-

Repetir los pasos 4 y 5 (tres veces más) y anotarlas en la tabla.

PROCESO ADICIONAL En un papel milimetrado hacer el gráfico d vs t

Tiempo (s) d (m)

1era vez

2da vez

3era vez

0 - 0,30 0 - 0,60 0 - 0,90 0 - 1,20

PREGUNTAS 1.-

¿Es constante la velocidad de la burbuja?

2.-

¿Cuánto vale su velocidad?

3.-

¿Qué figura se origina en el gráfico d vs t?

4.-

¿Cuánto vale la pendiente de la recta (en el gráfico)?

5.-

¿El movimiento de la burbuja es M.R.U.?

4ta vez

Tiempo Promedio

v=

d (m / s) t

Cinemática Ciencia y Tecnología

101

Gol de tir o libre tiro ¿Podría un jugador hacer un gol de de tiro libre? Para que un jugador realice esta jugada espectacular, tendría que practicar muchas veces; y tener en cuenta la distancia pelota-arco, la fuerza y dirección del viento, la presión atmosférica, entre otros parámetros. Si el jugador fuese un robot que pudiese medir y calcular todos los parámetros antes mencionados, es seguro que su procesador interno, calcularía la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación que debería darle al balón para que éste ingrese al arco contrario por muy eficiente que sea su arquero. En realidad el jugador es una persona y lo más que puede hacer es practicar constantemente en su campo de fútbol (local). Sin embargo ayudaría bastante en nuestro medio crear dicho “Robot” que pueda cuantificar todos los parámetros y calcular la fuerza, velocidad y ángulo de inclinación desde un punto preferido para diferentes horas y días para que así el jugador con dichos datos y su inteligencia pueda tener mayores herramientas para lograr su objetivo: el gol.

Reloj de arena En realidad, existen muchos instrumentos que sirven para medir el tiempo; antiguamente uno de los aparatos usados para dicho efecto era el “reloj de arena”. Para iniciar el conteo del tiempo, se voltea el aparato del tal modo que la arena quede depositado en la zona superior, de este modo los granos caerán lentamente hacia la base hasta que al final todo el material queda depositado en la zona inferior. El tiempo que demora la arena en caer totalmente siempre será el mismo.

102

Jorge Ciencia Mendoza y Tecnología Dueñas

Móvil, tra yectoria y desplazamiento tray Se muestran dos móviles: el muchacho y el automóvil, los cuales parten del mismo punto (A) con la intención de llegar al punto (B). Ambos eligen trayectorias diferentes, el muchacho elige el camino peatonal y el automóvil el de la pista; no obstante, el desplazamiento será el mismo para ambos.

Velocidad constante Conseguir que un móvil tenga velocidad constante en las pistas de una ciudad es casi imposible, debido al uso contínuo del acelerador y el freno. Sin embargo no es difícil obtener una velocidad constante, ello se puede conseguir en una autopista de tráfico rápido y mejor aún si el tramo es una línea recta.

Transmisión del mo vimiento cir cular movimiento circular

Las fajas y engranajes se utilizan en los árboles ó equipos para transmitir el movimiento circular, con los engranajes se evitan que una pieza resbale respecto a la otra.

Cinemática

103

TEST 1.-

Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento en x = 12 m y luego de 8 s está en x = 28 m. Hallar su velocidad. a) b) c)

2 m/s 8 m/s 4 m/s

d) e)

a) b) c) d)

6 m/s 7 m/s

e) 6.-

2.-

Señalar verdadero o falso respecto al M.R.U. I.- La velocidad es tangente y contraria al movimiento. II.- La aceleración es igual a cero. III.- El radio de curvatura de la recta de movimiento es considerado infinitamente grande. a) b) c)

3.-

VVV FVV FVF

FFF VVF

Se muestran la velocidad de dos móviles en M.R.U., al cabo de 5 s estarán separados: a) b) c)

7.-

a) b) c)

∆x ∆t

4 m/ s 5 8 − m/ s 5

d) e)

25 m 30 m

Señalamos las velocidades de 4 móviles en M.R.U., al cabo de 10 s, que alternativa se cumple si salen del mismo punto.

a) b) c) d)

−4 m/s

e)

4 m/s

8.-

12 m/ s 5

∆x ∆t

9.-

b) a)

–5 m/s

d)

b)

+5 m/s

e)

N.A.

c)

20 m/ s 6

Los móviles“A”y“B” parten de las posiciones mostradas simultáneamente con vA = 4 m/s y vB = 3 m/s. ¿Qué podemos opinar?

c) d) e) 10.-

d) e)

C dista de D 40 m A dista de B 25 m

78 m 48 m 30 m

d) e)

18 m N.A.

Marque la proposición correcta. a)

10 − m/ s 6

A dista de B 40 m C dista de D 55 m A dista de B 30 m

La figura muestra dos móviles en M.R.U. que parten del mismo punto. Al cabo de 6 s ¿qué distancia los separa? a) b) c)

Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la figura, podemos decir que su velocidad media es: Vm =

5.-

10 m 15 m 20 m

Para el movimiento de la partícula en M.R.U. en la figura podemos decir que su velocidad media es: Vm =

4.-

d) e)

“A” llega primero a “P”. “B” llega primero a “P”. Ambos llegan simultáneamente a “P”. Falta precisar información para decidir que responder. Ninguno llega.

En el M.R.U. el vector velocidad cambia contínuamente. En el M.R.U. la trayectoria no siempre es una línea recta. En el M.R.U. la aceleración siempre es cero. El espacio es una magnitud vectorial. Todas las anteriores son falsas.

Marque la proposición correcta según el siguiente esquema. a) b) c) d) e)

El móvil tiene velocidad constante. La velocidad del móvil aumenta. El cuerpo se detendrá en el plano inclinado. La velocidad del móvil disminuye. Todas son falsas.

Jorge Mendoza Dueñas

104

PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1.-

problemas de aplicación Cuantas horas dura un viaje hasta una ciudad sureña ubicado a 540 km, si el bus marcha a razón de 45 km/h?

e A = v At = 40t eB = v Bt = 60t

Solución:

OBSERVACIÓN Tiempo de Encuentro: tE =

e v A + vB

e : espacio de separación inicial

d = vt ⇒ 540 = 45t o De la figura:

t = 12 horas

2 000 = e A + eB

NOTA

2000 = 40t + 60t ⇒ 2000 = 100t

Antes de realizar cualquier operación es necesario homogenizar el sistema de unidades, si fuese necesario. 2.-

Un cazador se encuentra a 170 m de un “Blanco” y efectúa un disparo saliendo la bala con 85 m/s (velocidad constante), ¿después de que tiempo hará impacto la bala?

t = 20 s

4.-

Dos autos se mueven en el mismo sentido con velocidades constantes de 40 m/s y 60 m/s. ¿Después de que tiempo uno de ellos alcanza al otro? ver figura.

Solución:

Solución: e A = v At = 60t d = vt ⇒ 170 = 85t

eB = vBt = 40t

t = 2s

3.-

Dos autos se mueven en sentidos contrarios con velocidades constantes. ¿Después de que tiempo se encuentran si inicialmente estaban separados 2 000 m? (velocídad de los autos 40 m/s y 60 m/s). Solución: o De la figura: e A = eB + 200 60t = 40t + 200 t = 10 s

⇒

20t = 200

Cinemática

105 2.-

OBSERVACIÓN Tiempo de Alcance: t AL =

e v A − vB

e : espacio de separación inicial v A > vB

Tres móviles pasan simultáneamente por los puntos A, B, C con velocidades de 10, 15 y 13 m/s. Si la distancia entre A y B es 8 m, y entre B y C es de 32 m. Luego de qué tiempo la distancia entre los móviles serán iguales, si en ese instante guardan el mismo ordenamiento. Solución:

5.-

Un móvil “A” que se desplaza con una velocidad de 30 m/s, se encuentra detrás de un móvil “B” a una distancia de 50 m, sabiendo que los móviles se mueven en la misma dirección y sentido, y que la velocidad de “B” es de 20 m/s. ¿Calcular después de qué tiempo, “A” estará 50 m delante de “B”? Solución: o De la figura: 8 + 32 + e 3 = e1 + 2x 40 + v 3t = v1t + 2x 40 + 13t = 10t + 2x 40 + 3t = 2x

o También:

e A = v At = 30t

e 2 = e1 + x − 8

eB = v Bt = 20t

v 2t = v1t + x − 8

o De la figura:

15t = 10t + x − 8

eA = 50 + eB + 50 30t = 50 + 20t + 50

5t = x − 8 ⇒ 10t = 100

t=

1.-

............ (2)

o De (1) y (2):

t = 10 s

B

............ (1)

problemas complementarios

3.-

Un barco navega rumbo al Norte recorriendo 540 m. Luego va hacia el Este recorriendo 720 m. Determinar el espacio y distancia que recorrió el barco (en m).

24 s 7

Un muchacho para bajar por una escalera empleó 30 s. ¿Cuánto demoraría en subir la misma escalera si lo hace con el triple de velocidad? Solución:

o Cuando el muchacho baja

Solución:

b g

L = v 30 ..... (1) o Cuando el muchacho sube

Cuando el muchacho baja

bg

L = 3v t ..... (2) o Espacio = ?

o Distancia = ?

e = OA + AB

d = OB

e = 540 + 720

d=

e = 1 260 m

d = 900 m

o De (1) y (2): 2

2

b540g + b720g

t = 10 s

Cuando el muchacho sube

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106 4.-

Una persona sale todos los días de su casa a la misma hora y llega a su trabajo a las 9:00 a.m. Un día se traslada al doble de la velocidad acostumbrada y llega a su trabajo a las 8:00 a.m. ¿A que hora sale siempre de su casa?

6.-

Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h, al ingresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s en salir de él ¿Cuál es la longitud del tren? Solución:

Solución: o De la fig (1):

fig (1)

d = vt ..... (α) o De la fig (2): La distancia que recorre el tren es el mismo que recorre el punto A.

b g

d = 2v t − 1 .... (β) o De (α) y (β):

d = vt

fig (2)

b g

vt = 2v t − 1

200 + L = 10 50

t = 2h

L = 300 m

b g 7.-

Rpta: Sale de su casa a las 7:00 a.m. 5.-

Dos móviles A y B situados en un mismo punto a 200 m de un árbol, parten simultáneamente en la misma dirección. ¿Después de que tiempo ambos móviles equidistan del árbol? (vA = 4 m/s y vB = 6 m/s).

De Lima a Huacho hay aproximadamente 160 km; de Lima a Barranca hay 200 km, un auto va de Lima con velocidad constante saliendo a las 8 a.m. y llega a Barranca al medio día. ¿A qué hora habrá pasado por Huacho? Solución:

Solución:

o Lima a Barranca: d = vt

bg

200 = v 4

De la figura: o

dB = dA + 2x

o Lima a Huacho:

v B t = v A t + 2x

Dato: velocidad constante = 50 km/h

6t = 4 t + 2x ⇒ 2t = 2x

d = vT

t = x ............ (1)

o

160 = 50 T ⇒ T = 3, 2 h

dA + x = 200

Rpta: Pasó por Huacho a las 11.2 a.m. ó 11h 12m a.m.

4 t + x = 200 ............ (2) o

(1) en (2): 4 t + t = 200 t = 40 s

⇒ v = 50 km / h

8.-

Un auto debe llegar a su destino a las 7:00 p.m., si viaja a 60 km/h llegará una hora antes, pero si viaja a 40 km/h llegará una hora después. Si en ambos casos la hora de partida es la misma, encontrar dicha hora de partida.

Cinemática

107 o Sabemos que el tren (1) se mueve con velocidad de 15 m/s y el tren (2) con velocidad de 20 m/s, pero en sentido contrario. Respecto al pasajero. ¿Qué velocidad creerá él, que tiene el tren (2)?. La respuesta es (15 + 20) es decir 35 m/s, y esto es lógico pues el pasajero verá moverse al tren (2) con mayor rapidez. Visto esto, podemos suponer al tren (1) en reposo, pero el tren (2) tendrá una velocidad de 35 m/s.

Solución: fig. (1)

fig. (2)

fig. (3)

o Tren (2) a punto de pasar por el pasajero,

o De la figura (1):

d = vt ........................ (a)

o De la figura (2):

d = 60 t − 1 ............ (b)

o De la figura (3):

d = 40 t + 1 ............ (c)

b g

b g

o De (b) y (c):

b g b g

60 t − 1 = 40 t + 1 ⇒ t = 5 h o Tren (2) ya pasó por completo al pasajero. Rpta: La hora de partida será las 2:00 p.m. 9.-

Dos trenes corren en sentido contrario con velocidades de v1 = 15 m/s y v2 = 20 m/s. Un pasajero del primer tren (el de v1) nota que el tren 2 demora en pasar por su costado 6 s. ¿Cuál es la longitud del segundo tren? (Se supone que el pasajero está inmóvil mirando a través de la ventana). Solución: o Supongamos que el pasajero se encuentra en la parte delantera del tren (1) o Para el pasajero:

bg

e = vt ⇒ L = 35 6

L = 210 m

10.-

Dos móviles se mueven con M.R.U. en dos carreteras que se cruzan en 90° simultáneamente del punto de cruce con velocidades v1 = 4 m/s y v2 = 2 m/s. Si las carreteras están desniveladas 10 m. ¿Qué tiempo después, la distancia de separación entre móviles es de 90 m?

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108

o Al formar el triángulo DFE, se tiene:

Solución:

L=

o Por motivos didácticos tomaremos parte de las carreteras los lados AB y CD de un paralelepípedo.

2

b2tg + b4tg

2

L = 2 5t o Ahora, en el triángulo DEB: 902 = L2 + 102 2

902 = 2 5t + 102

d

i

8100 = 20t2 + 100 8 000 = 20t 2

t2 = 400 t = 20 s

PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-

problemas de aplicación Dos móviles parten de un punto A en direcciones perpendiculares con velocidades constantes de 6 m/s y 8 m/s respectivamente. ¿Determinar al cabo de que tiempo se encontrarán separados 100 m? Rpta.

6.-

Una moto y un auto se encuentran a una distancia de 1 000 m. Si parten simultáneamente en la misma dirección y con velocidades de 25 m/s y 15 m/s respectivamente. ¿En que tiempo se produce el encuentro?

10 s Rpta.

2.-

Un móvil que va con M.R.U. inicia su movimiento en: x = −12 m y luego de 8 s está en x = +28 m, hallar su velocidad. Rpta.

3.-

5 m/s

Javier un joven estudiante, desea saber a qué distancia se encuentra el cerro más próximo, para lo cual emite un grito y cronómetro en mano, comprueba que el eco lo escucha luego de 3 s. ¿Cuál es esa distancia en metros? (vsonido = 340 m/s). Rpta.

7.-

Dos móviles con velocidades constantes de 40 y 25 m/s parten de un mismo punto, y se mueven en la misma recta alejándose el uno del otro. ¿Después de cuanto tiempo estarán separados 13 km? Rpta.

8.-

510 m

Dos atletas parten juntos en la misma dirección y sentido con velocidades de 4 m/s y 6 m/s, después de 1 minuto. ¿Qué distancia los separa? Rpta.

5.-

9.-

120 m

10.200 m

100 km/h

Dos móviles se mueven en línea recta con velocidades constantes de 10 m/s y 20 m/s, inicialmente separados por 15 m. ¿Qué tiempo transcurre para que el segundo después de alcanzar al primero se aleje 15 m? Rpta.

Hallar el espacio que recorre una liebre en 10 s. Si en un quinto de minuto recorre 40 m más. Rpta.

200 s

Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitad del camino sufre una avería que lo detiene 1 h, ¿con que velocidad debe continuar su viaje para llegar a tiempo a su destino? Rpta.

4.-

25 s

3s

Dos móviles con velocidades constantes parten simultánea y paralelamente de un mismo punto. Si la dife-

Cinemática

109

rencia de sus velocidades de 108 km/h. Hallar la distancia que los separa después de 30 s. Rpta.

B 1.-

Un auto vá de una ciudad a otra en línea recta con velocidad constante a razón de 30 km/h, pensando cubrir la travesía en 8 h. Pero luego de 3 h, el auto se malogra; la reparación dura 1 h, ¿con qué velocidad debe proseguir para que llegue a su destino con 1 h de adelanto?

Rpta. 4.-

5.-

15 s

Dos móviles están en “A” y “B” en la misma recta. El primero parte de “A” hacia “B” a las 7 a.m. a razón de 90 km/h, el segundo parte de “B” hacia “A” a las 12 m. Si se encuentran a las 3 p.m. Hallar AB, sabiendo además que el espacio del primero es al del segundo como 2 es a 1. Rpta.

8.-

1 080 km

1 190 m

Un avión desciende con velocidad constante de 100 km/h bajo un ángulo de 16° con el horizonte. ¿Qué tiempo tardará su sombra en llegar a tocar un objeto que se encuentra a 4 km? (cos 16° = 24/25). Rpta.

10.-

120 m

Un alpinista se encuentra entre dos montañas y emite un grito. Si registra los ecos después de 3 s y 4 s de haber emitido el grito. ¿Cuál será la distancia que separa las montañas? velocidad del sonido en el aire, considerar 340 m/s. Rpta.

9.-

v2 =2 v1

Dos autos separados a una distancia, parten simultáneamente con velocidades constantes de 30 m/s y 20 m/s en el mismo sentido para luego encontrarse en un punto “P”. Si el segundo auto partiese 2 s después, el encuentro de los autos sería “x” m antes de “P”, calcular “x”. Rpta.

600 m

Dos móviles se desplazan en la misma pista con velocidades constantes. Luego de 10 s el móvil “A” gira 180° y mantiene su rapidez constante. ¿Qué tiempo emplean hasta encontrarse desde las posiciones indicadas?

Rpta.

7.-

15 s

“A” y “B” realizan una carrera de 300 m, con velocidades constantes en módulo de 5 m/s y 10 m/s. Al llegar “B” a la meta regresa donde “A” y luego así sucesivamente hasta que “A” llega a la meta. ¿Qué espacio total recorrió “B”?

Un alumno sale de su casa todos los días a las 7:00 y se dirige al colegio a velocidad constante v1 llegando siempre a las 8:00. Si el alumno un día sale de su casa a las 7:15 y a medio camino observa que no llegará a tiempo por lo que aumenta su velocidad a v2 (cte), llegando finalmente a tiempo. Determinar v2/v1. Rpta.

50 km/h

Un tren de pasajeros viaja a razón de 72 km/h y tiene una longitud de 100 m. ¿Qué tiempo demorará el tren en cruzar un túnel de 200 m? Rpta.

3.-

900 m

problemas complementarios

Rpta. 2.-

6.-

150 s

Dos trenes de longitudes diferentes van al encuentro por vías paralelas con velocidades v 1 y v2 demorando en cruzarse 20 s. Si van al encuentro con velocidades v1 y (8/5)v2 respectivamente demoran en cruzarse 15 s. ¿Cuánto tiempo tardarán en cruzarse si viajan en la misma dirección con velocidades v 1 y v2 respectivamente. Rpta.

180 s

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110

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME MENTE V ARIADO (M.R.U.V .) UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)

Un cuerpo posee movimiento rectilíneo uniformemente variado cuando cumple las siguientes condiciones: A) B)

FORMULAS DEL M.R.U.V M.R.U.V..

La trayectoria que recorre es una línea recta. La velocidad cambia, permaneciendo constante el valor de la aceleración.

vF = v o ± at

En esta clase de movimiento, el móvil efectúa variaciones de velocidad iguales en tiempos iguales.

OBSERVACIONES

1.-

Si la velocidad del móvil aumenta: (movimiento acelerado)

−

La velocidad y la aceleración tienen el mismo sentido. El signo de la aceleración es positivo.

−

a=

vF − v o t

1 e = v ot ± at2 2

vF2 = v o2 ± 2ae

2.-

Si la velocidad del móvil disminuye: (movimiento retardado)

−

La velocidad y la aceleración tienen sentidos contrarios. El signo de la aceleración es negativo.

−

e=

FG v + v IJ t H 2 K F

o

Usar : (+); si el movimiento es acelerado. Usar : (−); si el movimiento es retardado. Donde:

vF = velocidad final vo = velocidad inicial a = aceleración t = tiempo e = espacio

Cinemática

111

TEST 1.-

− − − −

a) b) c) 2.-

b) c) d) e)

FFVV N.A

c) d) e) 7.-

El movimiento es desacelerado cuando la aceleración y la velocidad tienen sentidos contrarios. El movimiento es acelerado cuando la aceleración y velocidad tiene el mismo sentido. Siempre que la aceleración es cero el móvil está detenido. Cuando la velocidad es cero no necesariamente la aceleración es cero. N.A.

a) b) c) d) e) 8.-

Está siempre acelerado. Está siempre frenando. Tienen el mismo sentido. Son de igual valor numérico. Se mantienen constantes.

−

a)

−

Respecto al M.R.U.V. de una partícula como se muestra no se puede afirmar. a) b) c) d) e)

Lleva movimiento desacelerado y luego será acelerado. La velocidad en un instante será cero. Se mueve hacia la derecha. Se mueve hacia la izquierda. Cuando la velocidad se hace cero la aceleración se mantiene.

a) b) c) 10.-

Velocidad – constante Aceleración – constante Velocidad – en dirección Aceleración – la velocidad Aceleración – variando

Durante el desaceleramiento en el M.R.U.V. señalar verdadero o falso. −

Tendrá 9 m/s de velocidad a los 8 s. Tendrá 9 m/s a los 2 s. Habrá recorrido 20 m en 2 s. Tarda 8 s en recorrer 20 m. El movimiento es desacelerado.

Es proporcional al cuadrado del tiempo. Es proporcional al tiempo y depende de la velocidad inicial. No depende de la velocidad inicial y si de la aceleración. Es función del cuadrado del espacio recorrido. No depende del espacio recorrido.

En el M.R.U.V. la.................. se mantiene ........... y es acelerado cuando tiene el mismo sentido que la velocidad. a) b) c) d) e)

9.-

Es proporcional al tiempo. Es inversamente proporcional al cuadrado del tiempo. Es proporcional al cuadrado del tiempo. Es independiente de la velocidad inicial. Es independiente de la aceleración.

Respecto a la velocidad en el M.R.U.V. podemos afirmar:

Respecto al M.R.U.V. para una partícula como mostramos en la figura y que tiene la velocidad inicial señalada, que podemos afirmar:

b) c) d) d) 5.-

d) e)

Respecto al espacio recorrido en el M.R.U.V. podemos afirmar: a) b)

Respecto a la velocidad y aceleración de un móvil en M.R.U.V. como se muestra podemos decir que es correcto: a) b) c) d) e)

4.-

VFVF VVVV VFFV

6.-

En el M.R.U.V. no se cumple que: a)

3.-

Siempre que la aceleración tiene el mismo sentido de la velocidad el movimiento es acelerado. Desplazamiento o trayectoria es lo mismo. Siempre que el desplazamiento y la aceleración tienen la misma dirección, el movimiento es acelerado. Cuando el móvil tiene velocidad inicial y final igual a cero, se puede asegurar que tuvo primero M.R.U.V. acelerado y después M.R.U.V. retardado.

La velocidad y aceleración tienen sentidos contrarios. El espacio en el tiempo “t” viene dado por: 1 e = at 2 2 Cuando se detiene, la aceleración siempre desaparece. VFF VVV VVF

d) e)

VFV FFF

Si una partícula es acelerada desde el reposo con una aceleración “a”, el espacio recorrido en el 4to segundo viene dada por: a) b) c)

3 a 2 5 a 2 7 a 2

d)

9 a 2

e)

1 a 2

Jorge Mendoza Dueñas

112

PROBLEMAS RESUEL TOS RESUELTOS A 1.-

problemas de aplicación Un móvil aumenta su velocidad de 10 m/s a 20 m/s acelerando uniformemente a razón de 5 m/s2. ¿Qué distancia logró aumentar en dicha operación? Solución:

4.-

vF2 = v 2o ± 2ad

Un avión parte de reposo con M.R.U.V. y cambia su velocidad a razón de 8 m/s2, logrando despegar luego de recorrer 1 600 m. ¿Con qué velocidad en m/s despega? Solución:

Notamos que el movimiento es acelerado. v F2 = v 2o + 2ad 2

2

b20g = b10g + 2b5gd d = 30 m 2.-

Un automóvil corre a razón de 108 km/h y luego frena, de tal modo que se logra detener por completo en 6 s. ¿Cuál es su aceleración?

vF2 = v 2o ± 2ae Notamos que el movimiento es acelerado.

Solución:

v F2 = v 2o + 2ad

b gb

vF2 = 0 + 2 8 1 600

g

v F = 160 m / s

5.-

v o = 108 km / h = 60 m / s

Un móvil posee una velocidad de 20 m/s y acelera uniformemente a razón de 2 m/s2 durante 5 segundos. ¿Qué distancia recorrió en el 5to segundo de su movimiento? Solución:

v −v 0 − 60 a= F o ⇒ a= t 6 a = − 10 m / s2 Movimiento retardado 3.-

Una partícula recorre 30 m en 5 s con un M.R.U.V. si al partir tenía una velocidad de 4 m/s. ¿Que velocidad tuvo al término del recorrido?

Distancia recorrida hasta los 5 segundos

Solución: d=

FG v H

o

IJ K

FG H

IJ K

+ vF 4 + vF 5 t ⇒ 30 = 2 2

vF = 8 m / s

Distancia recorrida hasta los 4 segundos

Cinemática

113

La distancia recorrida en el 5to segundo será: x = d5 − d4

1 d = v ot + at 2 2 d= 0 +

1 4 8 2

b gb g

2

d =128 m

LM b g b g OP − LMv b4g + 1 ab4g OP 2 N Q N Q 1 1 L O L O x = M20b5g + × 2 × b25gP − M20b 4 g + × 2 × b16gP 2 2 N Q N Q 1 x = vo 5 + a 5 2

2

2

2.-

o

Solución:

x = 29 m

B 1.-

Un tren que lleva una velocidad de 216 km/h, aplica los frenos y produce un retardamiento de 4 m/s en cada segundo, hasta detenerse. Determinar el espacio que recorrió en el último segundo de su movimiento.

216 km / h = 60 m / s

problemas complementarios Un móvil que parte del reposo, recorre en el décimo segundo de su movimiento 20 metros más que lo recorrido en el quinto segundo; determinar el espacio recorrido desde que inicio el movimiento hasta el final del octavo segundo de su movimiento.

o Calculando el tiempo que demora en detenerse .

Solución:

v F = v o ± at

o Espacio recorrido en el quinto segundo. x = d5 − d4

0 = 60 − 4 t

⇒

t = 15 s

8 0

Reposo:

1 d = v ot + at 2 2 1 d = at 2 2

1 2 1 x= a 5 − a 4 2 2

bg

x=

bg

2

25 a − 8a ..................... (1) 2

o El espacio que recorrió en el último segundo.

o Espacio recorrido en el décimo segundo.

x = d15 − d14

x + 20 = d10 − d9 1 2 1 x + 20 = a 10 − a 9 2 2

b g

x + 20 = 50a −

LM b g b g OP − LMv b14g − 1 ab14g OP 2 N Q N Q 1 1 L O L O x = M60b15g − × 4 × b15g P − M60b14 g − × 4 × b14 g P 2 2 N Q N Q

1 x = v o 15 − a 15 2

2

bg

81 a ............ (2) 2

2

2

o

2

2

o De (1) y (2): a = 4 m / s2 x=2m

o Nos piden el espacio recorrido desde el inicio del movimiento hasta el final del octavo segundo. 3.-

Dos móviles que parten del reposo se dirigen al encuentro con movimiento uniformemente acelerado desde dos puntos distantes entre si 180 m y tardan 10 s en cruzarse. Los espacios recorridos por estos móviles están en la relación de 4 a 5. Calcular las aceleraciones de dichos móviles.

Jorge Mendoza Dueñas

114 5.-

Solución:

Un automóvil está esperando en reposo que la luz del semáforo cambie. En el instante que la luz cambia a verde, el automóvil aumenta su velocidad uniformemente con una aceleración de 2 m/s2 durante 6 segundos, después de los cuales se mueve con velocidad uniforme. En el instante que el automóvil empezó a moverse después del cambio de luz, un camión lo sobrepasa en la misma dirección, con el movimiento uniforme a razón de 10 m/s. ¿Cuánto tiempo y cuán lejos del semáforo el automóvil y el camión volverán a estar juntos?

o Distancia total: Solución:

180 = 5x + 4 x x = 20 o Con el móvil (1): 1 d = v o 10 + a1 10 2

2

b g b g b5gb20g = 0 + 21 a b100g 1

⇒

a1 = 2 m / s2

⇒

a2 = 1, 6 m / s2

o Con el móvil (2): 1 d = v o 10 + a2 10 2

b g

b g

2

b4gb20g = 0 + 21 a b100g 2

4.-

Un automóvil que parte del reposo a razón de 2 m/s2 se encuentra a 20 m detrás de un ómnibus que marcha con velocidad constante de 8 m/s. ¿Después de cuanto tiempo el auto sacará al ómnibus una ventaja de 64 m? Solución:

o Con el camión: e = x + y = 10 T .......................... (1) o Con el automóvil: Entre A y B : vF = v o + at

bg

vB = 0 + 2 6

v B = 12 m / s

Entre A y C : y 67 4 x4 8 6 47 4 8 1 2 x + y = 2 6 + vB T − 6 2

b gb g

o Con el auto (vo = 0)

b g

b g

x + y = 36 + 12 T − 6 .............. (2)

1 d = v ot + a t 2 2 20 + x + 64 = 0 +

1 2 t2 2

bg

84 + x = t ...... (1) 2

o Con el camión (v = 8 m/s = cte)

o (1) = (2)

b g

10 T = 36 + 12 T − 6

10 T = 36 + 12T − 72 T = 18 s

x = vt

Finalmente:

x = 8t .............. (2)

e = x + y = 10 T = 10 18

o De (1) y (2):

t = 14 s

b g

e = 180 m

Cinemática 6.-

115 o Entre B y C :

Dos trenes de 200 m y 400 m de longitud avanzan en vías paralelas en sentidos opuestos y cuando se encuentran, sus velocidades son 12 y 18 m/s y sus aceleraciones constantes son iguales a 3 m/s2. Hallar el tiempo que demoran los trenes en cruzarse completamente.

v F2 = v 2o − 2aeBC (mov. retardado)

b g

2

b g

0 = 20 − 2a 44 88a = 400

Solución: o Cuando los trenes están a punto de cruzarse

8.-

⇒

a = 4 , 55 m / s2

Dos moviles A y B se encuentran inicialmente separados una distancia “d” (B detrás de A). Si ambos se mueven en el mismo sentido “B” con velocidad constante de 10 m/s y “A” partiendo del reposo con a = 2 m/s2. Después de que tiempo de iniciado el movimiento la distancia de separación es mínima. (Ambos móviles no se encuentran). Solución:

o Momento en que “A” cruza a “B” completamente. 1 e A = 600 = v ot + at 2 2 1 600 = 30t + 6 t 2 2

bg

7.-

b

g

eB = d + eA − x .............. (1)

t 2 + 10t − 200 = 0

De donde:

t = 10 s

1 2 o e A = v ot + at 2

Un conductor viaja por una autopista recta con una velocidad inicial de 20 m/s. Un venado sale a la pista 50 m más adelante y se detiene. ¿Cuál es la aceleración mínima que puede asegurar la parada del vehículo justamente antes de golpear al venado si el chofer demora 0,30 s en reaccionar?

1 e A = 0t + ⋅ 2 ⋅ t 2 2 eA = t 2 .............. (2)

o eB = v B t eB = 10t .............. (3)

Solución:

o (2) y (3) en (1): 10t = d + t 2 − x

e

j

10t = t2 − x + d x = t 2 − 10t + d

b g

2

x = t − 5 + d − 25

o Antes que el conductor reaccione su velocidad sigue siendo constante

Para que x sea mínimo: t − 5 = 0

b g b g

e AB = v 0 , 30 = 20 0 , 30

t = 5s

e AB = 6 m

Cuando el conductor reacciona, éste presiona los frenos y el movimiento pasa a ser M.R.U.V. cuya velocidad final es cero (para no atropellar al venado). eBC = 50 − 6 = 44 m

9.-

Un pasajero desea subir a un microbús que se encuentra detenido y corre tras él con una velocidad uniforme de 5 m/s y cuando estaba a 6 m del microbús, éste parte con aceleración constante de 2 m/s2. Hallar el tiempo que demora el pasajero en alcanzar al microbús. (Si lo alcanza).

Jorge Mendoza Dueñas

116 10.-

Solución: o Suponiendo que lo alcanza: Para ello en el instante de alcance la velocidad del microbús no deberá ser mayor que la del pasajero (5 m/s).

Sale un tren hacia el norte con velocidad de 30 km/h, luego de 10 minutos sale otro también hacia el norte y con la misma velocidad. ¿Con qué velocidad en km/h constante venía un tren desde el norte, si se cruzó con el primer tren en cierto instante y luego de 4 minutos con el segundo tren? Solución:

eH − eM = 6

FG IJ H K F 1 I 5t − G 0t + ⋅ 2t J = 6 H 2 K 1 5t − v ot + at 2 = 6 2 2

⇒

5t − t 2 = 6

t 2 − 5t + 6 = 0 De donde:

o Cálculo del tiempo de encuentro entre “B” y “C” t = 2s ó t = 3s

t=

o Analizando:

o De la figura:

Si: t = 2 s ⇒ v M = v o + at

b gb g

FG H

vM = 0 + 2 2

x = 30t − 30 t −

vM = 4 m / s < 5 m / s Si:

10 60

IJ K

x = 5 km

bg

t = 3 s ⇒ vM = 0 + 2 3

o (2) en (1):

v M = 6 m / s > 5 m / s (no cumple)

o Finalmente:

4 x ............ (1) = 60 v + 30

t = 2s

4 5 = 60 v + 30

v = 45 km / h

PROBLEMAS PROPUESTOS A 1.-

problemas de aplicación Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza 50 m en 5 s. ¿Cuál es su aceleración en m/s2? Rpta.

2.-

4 m/s2

Una gacela pasa por dos puntos con velocidad de 3 m/s y 7 m/s y M.R.U.V. Si dichos puntos están separados 50 m. ¿Qué tiempo empleó en el recorrido? Rpta.

3.-

10 s

Un móvil parte con una velocidad 36 km/h y una aceleración de 6 m/s2. ¿Qué velocidad en m/s tendrá luego de 5 s? Rpta.

4.-

40 m/s

Un móvil que se desplaza a razón de 10 m/s ve incrementada su velocidad por una aceleración de 5 m/s2. ¿Qué distancia habrá logrado avanzar durante los 2 primeros segundos de este movimiento variado? Rpta.

30 m

Cinemática 5.-

Un auto al pasar por dos puntos separados 180 m demoró 8 s. Si por el primer punto pasa con una velocidad de 20 m/s. Determinar con qué velocidad pasa por el segundo punto (en m/s). Rpta.

6.-

8.-

9.-

1.-

– 4 m/s2

Lo atrapa a 1 m del agujero

Un auto que se mueve describiendo un M.R.U.V. en cierto instante, pasó con una rapidez de 15 m/s por un punto “A” situado entre dos montañas como se muestra. Si en este instante toca el claxón, con que aceleración deberá moverse a partir de ese instante, para escuchar los ecos simultáneamente (vsonido = 320 m/s).

Rpta. 8.-

Durante que segundo de movimiento, un móvil que parte del reposo y tiene M.R.U.V. recorrerá el triple del espacio recorrido en el quinto segundo.

8 m/s

Dos móviles que parten del reposo en la misma dirección y sentido, están separados 200 m, si se observa que el alcance se produce 10 s después de iniciado los movimientos. Determinar sus aceleraciones si estas están en la relación de 3 a 1. Rpta.

9.-

a2 = 2 m/s2 ; a1 = 6 m/s2

6 m/s

Dos móviles se encuentran en una recta, inicialmente en reposo, separados por una distancia de 400 m. Si parten al mismo instante acercándose mutuamente con aceleraciones de 3 m/s2 y 5 m/s2. Calcular después de qué tiempo vuelven a estar separados por segunda vez una distancia de 200 m. Rpta.

10.-

2

10 m/s

Una zorra trata de atrapar una liebre que se encuentra en reposo. Cuando la zorra se encuentra a 9 m de la liebre, ésta acelera a 2 m/s2. Calcular la velocidad mínima constante de la zorra de tal modo que pueda atrapar a la liebre ¿y comérsela? Rpta.

N = 14avo segundo

Un auto corre una pista horizontal con una aceleración de 2 m/s2, después de 5 s de pasar por el punto A, posee una velocidad de 72 km/h. ¿Qué velocidad tenía el auto cuando le faltaba 9 m para llegar a A? Rpta.

3.-

Un ratón de regreso a su agujero, a la velocidad constante de 1 m/s, pasa al lado de un gato, despertándo2 lo, si el gato acelera a razón de 0,5 m/s y el agujero está a 5 m. ¿Atrapa el gato al ratón?. Si lo atrapa, ¿a qué distancia del agujero lo hace? Rpta.

7.-

18 s ; 180 m

6s

problemas complementarios

Rpta. 2.-

x = 96 m

10 m

2

Durante el 6to segundo de su desplazamiento una pelota logró avanzar 6 m, si su velocidad al inicio era de 28 m/s. ¿Con qué aceleración retardó uniformemente su movimiento? Rpta.

B

6.-

602,08 m

Un bote inicialmente en reposo acelera a razón de 2 m/s durante 6 s, después de la cual se mueve con velocidad constante. En el instante que el bote parte, una lancha que se mueve en la misma dirección y sentido con velocidad constante de 10 m/s lo pasa. ¿Después de qué tiempo y a qué distancia se encontrarán nuevamente? Rpta.

Un auto se mueve con velocidad de 45 m/s, desacelerando constantemente. Si luego de 3 s su velocidad se ha reducido a 30 m/s. ¿Cuánto tiempo más debe transcurrir para lograr detenerse? Rpta.

10.-

5.-

Una partícula parte del reposo con M.R.U.V., y en 5 s recorre 50 m. Calcular el espacio que recorre en el tercer segundo de su movimiento. Rpta.

Un tren va frenando y lleva un movimiento uniformemente retardado, sabiendo que emplea 20 s y luego 30 s en recorrer sucesivamente un cuarto de kilómetro. Hallar el espacio que recorrerá antes de pararse. Rpta.

e = 3 600 m

Un móvil parte del reposo con una aceleración constante y en 4 s recorre 32 m. Calcular el espacio que recorre en los 4 s siguientes. Rpta.

4.-

25 m/s

Un móvil parte del reposo con una aceleración constante. Si su velocidad aumenta a razón de 10 m/s cada 5 s. Calcular el espacio que habrá recorrido en 1 minuto (en metro). Rpta.

7.-

117

13,10 s

Una partícula parte del origen hacia la derecha con una velocidad de 10 m/s y con una aceleración de 1 m/s2 hacia la izquierda. ¿Cuáles son los instantes en que su distancia desde el origen es 1 m? Rpta.

t = 0,1 s ; t = 19,9 s ; t = 20,1 s