Cónicas y Cuádricas con Surfer Daniel Alejandro Grimaldi 29/08/2016 - 2do Cuatrimestre de 2016

Denición: Se conoce como cuádrica polinomio de grado del caso

a la supercie en

Rn

que representa los ceros de un

2 con n variables. Nosotros, por razones de fuerza mayor, visualizaremos las

n ≤ 3.

Para ello, utilizaremos un programa llamado Surfer que, si bien nació con el propósito de 3 hacer arte matemático, nosotros lo usaremos para que ustedes puedan ver las cuádricas en R gracadas de forma más precisa y con la capacidad de moverse en las tres dimensiones. Cabe destacar que el Surfer

sólo graca supercies que representan ceros de polinomios. De

hecho, la forma de gracar es escribiendo el polinomio que uno tiene igualado a cero en una barra de texto, y el programa hace el resto. Una vez más aclaro, sólo supercies que representan ceros de polinomios. Ni funciones en general, ni curvas en el espacio. Quiero comentarles unas cosas más respecto a cómo vamos a usar el Surfer: Para unir dos supercies, se lo tenemos que decir a la manera matemática. Esto es, tomamos cada ecuación, las separamos con paréntesis y multiplicamos una con la otra. La ecuación resultante dibuja la unión de ambas supercies. Esto sucede porque Si

pq = 0 ⇒ p = 0

ó

q = 0,

o sea, si el punto pintado es un cero del polinomio

entonces es un cero del polinomio

p

o del polinomio

pq ,

q.

También podríamos intersecar supercies (diciéndoselo a la manera matemática), pero eso por lo general da curvas que, por la forma en que Surfer graca, nos serán invisibles. Después de todo, las curvas no tienen grosor... Surfer viene con ciertos parámetros que uno puede ir usando en las ecuaciones e ir modicando su valor en una barra que aparecerá en la pantalla. Éstos se van a ir usando a 3 medida que aparezcan las diferentes cuádricas en R . Para descargar el programa e información sobre cómo usarlo, pueden visitar la página ocial o bien la página de Moebius.

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El objetivo de esta clase es que, con práctica, puedan identicar de qué cuádrica se trata viendo sólo su ecuación, sin necesidad de que tengan que gracarla. Por una cuestión de simplicidad, todas las cuádricas que veremos están centradas en el punto

(x0 , y0 , z0 ) (x − x0 ).

moverlas al punto la reemplazo por

1 El

(0, 0, 0).

La forma de

es cambiando las variables por su trasladado. Por ejemplo, a

programa es gratuito y se puede descargar desde la página https://imaginary.org/program/surfer.

En http://moebius.dm.uba.ar/page.php?code=4 van a poder encontrar además Artículos Introductorios

1

(x)

Cónicas Se conoce como cónicas a las cuádricas en

R2 . Esto se debe a que se las descubrió

original-

mente intersecando al cono con planos en diferentes posiciones (pueden encontrar al cono en la sección de supercies con singularidades, llamada también supercies récord). Por ejemplo, si tienen el gráco del cono, pueden ir uniendo planos (a la manera matemática) y ver qué resulta en los bordes de la intersección. Si intersecan con z − 1 = 0, aparece la 2 2 circunferencia ((x/a) + (y/a) − 1 = 0, si lo hacen con 2 · z + x − 1 = 0 obtendrán la elipse 2 2 2 ((x/a) + (y/b) − 1 = 0), la parábola (x − a · y = 0) surge al intersecar con z + x − 1 = 0 y la 2 2 hipérbola ((x/a) − (y/b) − 1 = 0) con x − y − 1 = 0.

Figura 1: Cónicas: Circunferencia, Elipse, Parábola e Hipérbola. Ustedes pueden elegir la recta que más les guste y obtendran alguna de las cuatro cónicas que les presenté, siempre y cuando la recta no pase por el punto vértice del cono. Si lo hiciéramos, obtendríamos otros tipos de cónicas llamadas degeneradas. Se las diferencia del resto porque en realidad son unión de supercies más sencillas. Por eso, el vértice del cono es un punto especial, que se los conocen como singularidades.

El Cono y los Hiperboloides El cono es nuestra primera cuádrica a presentar.

Figura 2: Cono

(x/a)2 + (y/b)2 − (z/c)2 = 0. que el c lo estira o achata.

La ecuación del cono es bocas del cono, mientras

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Los parámetros

a

y

b

deforman las

Si a la ecuación del cono le sumamos una constante, obtendremos los hiperboloides. En el surfer, la fórmula del cono viene con un parámetro

a

y que va de

−1

a

1.

Al moverla,

veremos que si la constante que sumamos a la fórmula del cono es positiva o negativa, el gráco cambia considerablemente. Si la constante es positiva, veremos el hiperboloide de dos hojas, que cuanto mayor sea la constante, mayor será la distancia entre las hojas. Si la constante es negativa, tendremos el hiperboloide de una hoja. Cuanto menor sea la constante, mayor será la apertura de la boca. El resto de los parámetros se comportan de igual forma que con el cono.

Figura 3: Hiperboloides de 2 hojas y de 1 hoja

Pregunta: ¾Qué debemos cambiar de la ecuación para cambiar la posición del cono (o los Hiperboloides) a una horizontal? ¾Cómo afecta eso a los roles de los parámetros?

Respuesta: Al signo (−) que tiene z , intercambiarlo por el signo (+) que tienen x o y. El

que tenga el signo (−) es el que estira o achata, mientras que los otros deforman las bocas del cono.

Elipsoides Otro conjunto de cuádricas muy conocido es el de las Elipsoides. Éstas tienen la paricularidad 3 de ser las únicas acotadas de las cuádricas en R . La más famosa, sin duda, es la esfera, que se encuentra en la sección introductoria del programa.

Figura 4: Esfera Su ecuación es

x2 +y 2 +z 2 −a2 = 0

o, equivalentemente,

3

(x/a)2 +(y/a)2 +(z/a)2 −1 = 0.

Notar que con la segunda notación, pasamos a tener tres parámetros, como en el cono, pero en este caso los tres son iguales. Esa es la característica (en la ecuación) que diferencia a la esfera del resto de los elipsoides. En general, un elipsoide puede tener los tres parámetros distintos:

(x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 − 1 = 0 Si dos de los parámetros son iguales, lo llamamos Esferoide.

Figura 5: Esferoide y Elipsoide

Pregunta: ¾Qué valores pueden tomar los parámetros? ¾Podríamos interesarnos sólo en un subconjunto de

R3

para los parámetros? ¾Cuál? ¾Cómo afectan los valores de los parámetros al

dibujo de la elipsoide? ¾Qué hay que cambiar de la ecuación del elipsoide para obtener un cono o los hiperboloides?

Respuesta:

Los parámetros pueden tomar cualquier valor real distinto de cero, pero sólo

nos interesan los postitivos, ya que al elevarlos al cuadrado el signo no importa`. Los valores de los parámetros inan el elipsoide en la dos direcciones del eje asociado a la incógnita. A mayor el valor, más inado el elipsoide. Si le cambiamos un signo a exactamente uno de los términos cuadráticos, obtendremos el hiperboloide de una hoja, si le cambiamos a exactamente dos términos cuadráticos, el hiperboloide de dos hojas (notar que es la ecuación que vimos antes con todos los términos con signo cambiado) y si hacemos alguna de las dos anteriores y le sacamos la constante, obtenemos un cono.

Paraboloides Existen dos tipos de paraboloides. En ambos casos podremos ver qué relación guardan con las parábolas en lo que corresponde a su aspecto una vez que vean los grácos, aunque las 2 2 supercies son bien diferentes. El Paraboloide Elíptico, de ecuación (x/a) + (y/b) − z = 0, se lo puede pensar como un elipsoide que tiene un punto en el innito... O, un poco más real, con la forma de una bala o un cuenco que, según los parámetros, puede ser circular (Caso a = b) o 2 2 no. Y el Paraboloide Hiperbólico, de ecuación (x/a) − (y/b) − z = 0, se lo conoce mejor como silla de montar. (o Papa Frita, la otra, no la de bastones). Notemos que, en particular, al 2 2 Paraboloide Hiperbólico se lo puede pensar como el gráco de z = f (x, y) = (x/a) − (y/b) . Más adelante, veremos que el punto

(0, 0)

anula la derivada de esta función, pero que no es

ni máximo ni mínimo. Sin embargo, se puede notar que es mínimo para algunos puntos del gráco y máximo para otros. A los puntos parecidos a éste en este sentido los llamaremos Punto Silla, en referencia a esta cuádrica.

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Figura 6: Paraboloide Eliptico e Hiperbólico

Pregunta: ¾Qué similitudes hay entre las ecuaciones de los dos paraboloides respecto de los elipsoides y los hiperboloides? ¾Qué característica en la ecuación distingue a los paraboloides del resto de las cuádricas vistas?

Respuesta: En el caso del Paraboloide Elíptico y los elipsoides, las incógnitas cuadráticas

siempre están acompañadas por un signo postivo, mientras que en el Paraboloide Hiperbólico y los Hiperboloides hay exactamente una incógnita cuadrática con signo negativo. La característica que distinque a los Paraboloides de las otras cuádricas es que

y una incógnita lineal.

tienen dos incógnitas cuadráticas

Cilindros Un conjunto de cuádricas curioso es el de los Cilindros, ya que tenemos presente sólo uno (x/a)2 + (y/b)2 − 1 = 0, y que si a = b lo llamamos Circular. Pero hay dos 2 2 2 más: El Hiperbólico (x/a) − (y/b) − 1 = 0, y el Parabólico x + ay = 0.

de ellos, el Elíptico:

Figura 7: Cilindro: Circular, Elíptico, Hiperbólico y Parabólico.

Pregunta:

¾Qué caracteriza a la ecuación de los cilindros respecto a las otras cuádricas

que ya vimos? ¾Qué similitudes hay en cada ecuación de los Cilindros respecto de las otras cuádricas?

Respuesta: Que en la ecuación sólo intervienen dos incógnitas, donde al menos una de ellas

aparece al cuadrado. Las similitudes son: en el caso elíptico, las incógnitas cuadráticas positivas,

en el caso hiperbólico, una única incógnita cuadrática negativa, y en el caso parabólico, una única incógnita lineal.

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En resumen Cono Elíptico:

(x/a)2 + (y/b)2 − (z/c)2 = 0

Circular si

a=b=c

Hiperboloide

•

De una hoja:

•

De dos hojas:

Elipsoide:

(x/a)2 + (y/b)2 − (z/c)2 − 1 = 0 (x/a)2 + (y/b)2 − (z/c)2 + 1 = 0

(x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 − 1 = 0

Esferoide si

a=b

Paraboloide

•

Hiperbólico:

•

Elíptico:

(x/a)2 − (y/b)2 − z = 0

(x/a)2 + (y/b)2 − z = 0

Circular si

a=b

(x/a)2 + (y/b)2 − 1 = 0

Circular si

a=b

Cilindro

•

Elíptico:

•

Hiperbólico:

•

Parabólico:

(x/a)2 − (y/b)2 − 1 = 0

x2 + ay = 0

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Esfera si

a=b=c