Cap´ıtulo 18

Conjuntos Medibles Preliminares En el cap´ıtulo anterior vimos que la medida exterior de Lebesgue no resulta σ-aditiva en todo Rn . Ahora vamos a construir una familia M de subconjuntos de Rn , a los que llamaremos medibles, que goza de buenas propiedades conjuntistas y topol´ogicas, y sobre la cual m∗ ser´a una verdadera medida, es decir una funci´on de conjunto numerablemente aditiva. Previamente probaremos que m∗ es ya σ-aditiva sobre los abiertos de Rn . Lema 18.1 Si {Ip } es una colecci´on numerable de semintervalos disjuntos dos a dos entonces: [ X m∗ ( Ip ) = m(Ip ) Demostraci´ on. Por la σ-subaditividad de la medida exterior [ X m∗ ( Ip ) ≤ m(Ip ). P Por lo que de acuerdo con la definici´on de m∗ (∪Ip ) = ´ınf{ m(Js ) : ∪Ip ⊂ ∪Js }, bastar´a probar que si {J Ps } es un colecci´ P on numerable de semintervalos tal que ∪Ip ⊂ ∪Js entonces m(I ) ≤ m(Js ) : p S Puesto que I = I ∩ J , la Proposici´ on 17.7(a) nos dice que m(Ip ) ≤ p s s p P s m(Ip ∩ Js ), luego X XX m(Ip ) ≤ m(Ip ∩ Js ) p

p

=

s

XX s

m(Ip ∩ Js ) ≤

p

X s

181

m(Js ),

182

Conjuntos Medibles

18.1

donde la u ´ltima desigualdad es consecuencia de la Proposici´on 17.7(b), teS niendo en cuenta que p Ip ∩ Js ⊂ Js y los intervalos {Ip ∩ Js }p son disjuntos dos a dos. Lema 18.2 Todo abierto de Rn admite una partici´on numerable mediante n-semicubos que tienen su adherencia contenida en ´el. Demostraci´ on. Llamaremos n-semicubo de lado l a un semintervalo que tiene todos sus lados de la misma longitud l. Si U es abierto, entonces se trata de encontrar una colecci´on numerable (Ck ) de n-semicubos disjuntos dos a dos y tales que Ck ⊂ U . Para ello vamos a proceder as´ı: Consideremos, en primer lugar, una partici´on de Rn mediante n-semicubos de lado 1 (Puede hacerse esto, por ejemplo, se˜ nalando en cada eje los n´ umeros enteros y formando todos los n-productos posibles de semintervalos de R que tienen como extremos dos enteros consecutivos). Denotemos por S1 a la colecci´on (numerable) de los n-semicubos de esta partici´on, y reservemos aquellos que tienen su adherencia contenida en U . Denotemos a dicha subcolecci´on por C1 . A continuaci´on, obtenemos una nueva partici´on de Rn , ahora por nsemicubos de lado 1/2, dividiendo los lados de cada n-semicubo de S1 en dos partes iguales (De cada n-semicubo de lado 1 se obtendr´an entonces 2n n-semicubos de lado 1/2). Sea S2 esta partici´on y llamemos C2 a la subcolecci´on de S2 obtenida tomando los n-semicubos de adherencia contenida en U y que, adem´as, no son subconjuntos de alg´ un n-semicubo de C1 (ya tomado en la etapa anterior). De este mismo modo se conseguir´ıa para cada k = 1, 2, . . . una partici´on de Rn , Sk , formada por n-semicubos de lado 1/2k−1 y una subcolecci´on de ´esta, Ck , en la que est´an aquellos que tienen su adherencia contenida en U y que no proceden de n-semicubos tomados en las etapas anteriores, es decir que no son subconjuntos de ning´ un n-semicubo de C1 , C2 , . . ., Ck−1 . Sea C = ∪Ck la familia de n-semicubos tomados en las distintas etapas. Evidentemente todos ellos son disjuntos entre s´ı y constituyen una cantidad numerable. Vamos a probar que [ U = {C : C ∈ C }. Como por construcci´on, los n-semicubos de C est´an contenidos en U , s´olo hemos de ver que U ⊂ ∪{C : C ∈ C }. Supongamos que x es un punto de

18.4

Conjuntos Medibles

183

Rn que no est´a en ninguno de los n-semicubos de C , y veamos que entonces x 6∈ U . Denotemos por Sk al u ´nico n-semicubo de la partici´on Sk en el que se encuentra el punto x. De acuerdo con nuestra suposici´on, ninguno de los n-semicubos Sk pertenece a la familia C . Puesto que S1 ⊃ S2 ⊃ . . ., esto significa que Sk 6⊂ U, luego existe xk ∈ S k ∩ U c . Entonces xk , x ∈ S k

d∞ (xk , x) ≤ 1/2k−1 (lado de Sk ).

⇒

Se tiene pues que la sucesi´on {xk } converge a x, y como xk ∈ U c , que es un conjunto cerrado, se deduce que x ∈ U c . Corolario 18.3 La medida exterior de Lebesgue es σ-aditiva sobre la familia de los abiertos de Rn . Demostraci´ on. Sea {Up } una colecci´on numerable de abiertos disjuntos dos a dos. Si, aplicando el lema anterior, escribimos cada uno de estos abiertos como uni´on de n-semicubos disjuntos [ Up = Ipk , k

se tiene [ [ X XX X m∗ ( Up ) = m∗ ( Ipk ) = m(Ipk ) = m(Ipk ) = m∗ (Up ). p,k

p,k

p

p

k

Lema 18.4 Dado A ⊂ Rn , para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ A tal que m∗ (U ) ≤ m∗ (A) + ε i.e., m∗ (A) = ´ınf{m(U ) : U (abierto) ⊃ A}. Demostraci´ on. Sea ε > 0 y (Ij ) una colecci´on numerable de semintervalos tales que X A ⊂ ∪ Ij , m(Ij ) ≤ m∗ (A) + ε. Consideremos entonces para cada j un semintervalo Kj tal que o

Ij ⊂ Kj ,

m(Kj ) ≤ m(Ij ) +

ε . 2j

184

Conjuntos Medibles

18.4 o

Obviamente A est´a contenido en el abierto U = ∪ Kj y X X m∗ (U ) ≤ m(Kj ) ≤ m(Ij ) + ε ≤ m∗ (A) + 2ε. El lema anterior asegura que para cada conjunto A (de medida finita) y para cada ε > 0 podemos encontrar alg´ un abierto U que lo contiene tal que ∗ ∗ m (U ) − m (A) < ε. Pero, como veremos, esto no es lo mismo que decir que m∗ (U \ A) < ε. Precisamente la definici´on de conjunto medible se basa en esta distinci´on

La σ-´ algebra de conjuntos medibles Definici´ on 18.5 Un subconjunto B de Rn se dice medible si para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ B tal que m∗ (U \ B) ≤ ε. Como consecuencias directas de la definici´on se obtiene que: 1. Cada abierto de Rn es medible. 2. Cada conjunto de medida nula es medible. Si m∗ (N ) = 0 entonces por el Lema 18.4, para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ N tal que m∗ (U ) < ε, luego m∗ (U \ N ) ≤ m∗ (U ) < ε. 3. El car´acter medible es invariante por traslaciones . Veamos que B medible implica c + B medible. Para ε > 0 sea U un abierto tal que que U ⊃ B y m∗ (U \ B) < ε. Entonces c + U es un abierto tal que c+U ⊃c+B y m∗ (c + U \ c + B) = m∗ (c + (U \ B)) = m∗ (U \ B) < ε. 4. La uni´on numerable de conjuntos medibles es medible. Si Bp , p = 1, 2, . . . son medibles entonces para cada ε existen abiertos Up que contienen a Bp y tales que m∗ (Up \ Bp ) ≤ ε/2p . Entonces X m∗ (∪(Up \ Bp )) ≤ m∗ (∪(Up \ Bp )) ≤ m∗ (Up \ Bp ) ≤ ε. Lema 18.6 Si F1, F2 , . . . , Fp , . T . . es una sucesi´on de compactos tal que F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fp 6= ∅, ∀p entonces ∞ p=1 Fp 6= ∅. T S∞ c Demostraci´ on. Si ∞ Fi , por lo que al ser F1 1 ⊂ p=1 Fp = ∅ entonces i=2T SF compacto existe alg´ un p tal que F1 ⊂ pi=2 Fic = ( pi=2 Fi )c =⇒ F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fp = ∅.

18.7

Conjuntos Medibles

185

Lema 18.7 Sean U1 ⊃ U2 ⊃ · T · · ⊃ Up ⊃ · · · una sucesi´on decreciente de abiertos acotados de Rn tal que ∞ ımp→∞ m∗ (Up ) = 0. p=1 Up = ∅. Entonces l´ Demostraci´ on. Vamos a probar que si existe c > 0 tal que m∗ (Up ) ≥ c, para todo p, entonces existe una sucesi´on de compactos p (p = 1, 2, . . .) T∞ Fp ⊂ UT tal que F1 ∩ F2 ∩ . . . ∩ Fp 6= ∅, ∀p, mientras que p=1 Fp ⊂ ∞ p=1 Up = ∅, en contra del lema anterior. Considerando particiones sucesivas de Rn por n−semicubos de lado 1, 1/2, 1/22 , . . ., podemos escribir U1 =

∞ [

C1r , U2 =

r=1

∞ [

C2r , . . .

r=1

Puesto que Uq ⊃ Up si q < p, es obvio que cada Cpr est´a contenido en un u ´nico Cqs , y es por tanto disjunto con cada Cqj con j 6= s. Sea 0 < ε < c/2. P Puesto que U1 es acotado se tiene que m∗ (U1 ) = P∞ r=1 m(C1r ) < ∞ i.e. esta serie es convergente. Entonces existe N1 tal que r>N1 m(C1r ) < ε/2, lo que implica que N1 X

m(C1r ) =

r=1

∞ X

m(C1r ) −

r=1 ∗

= m (U1 ) −

X

X

m(C1r )

r>N1

m(C1r ) ≥ c − ε/2 > ε.

r>N1

Analogamente, existe N2 tal que N2 X

P

m(C2r ) = m∗ (U2 ) −

r=1

r>N2

X

m(C2r ) < ε/22 , luego m(C2r ) ≥ c − ε/22 > ε

r>N2

existe N3 , . . . ··· S 1 S N2 Denotemos por E1 = N r=1 C1r , E2 = r=1 C2r , . . . y veamos que E1 ∩ E2 ∩ . . . ∩ Ep 6= ∅, ∀p. En caso contrario, y debido a que Ep ⊂ Up , se tendr´ıa: Np [ r=1

Cpr ⊂ U1 \ E1 ∪ U2 \ E2 ∪ . . . ∪ Up−1 \ Ep−1

186

Conjuntos Medibles

18.7

luego cada Cpr (r ≤ Np ) corta a alg´ un Uj \ Ej con j < p y por lo tanto est´a contenido en alguno de los n-semicubos Cjr con r > Nj . Es claro entonces que NP X

X

m(Cpr ) ≤

r=1

m(C1r ) + · · · +

r>N1

X

m(C(p−1)r ) ≤ ε/2 + ε/22 + · · · ≤ ε,

r>Np−1

P P en contra de que N r=1 m(Cpr ) > ε. SNp Si denotamos por Fp = r=1 Cpr ⊂ Up p = T 1, 2, . . . , de lo anterior se T∞ F ⊂ deduce que F1 ∩ . . . ∩ Fp 6= ∅ ∀p, mientras que ∞ p=1 Up = ∅, lo p=1 p que contradice el lema anterior. Corolario 18.8 Cada compacto K de Rn es medible y si U es un abierto que contiene a K entonces m∗ (U \ K) = m∗ (U ) − m∗ (K). Demostraci´ on. Para cada n´ umero natural p consideremos el abierto Up = {x : d(x, K) < 1/p}, donde d es cualquier distancia compatible con la topolog´ıa usual de Rn . Se tiene entonces: K ⊂ Up ,

Up \ K = {x : 0 < d(x, K) < 1/p},

∩p (Up \ K) = ∅.

Puesto que, adem´as, la sucesi´on de abiertos acotados {Up \K} es decreciente, se puede aplicar el lema anterior para deducir que l´ımp m∗ (Up \K) = 0, luego para cada ε > 0 existe ν tal que si p ≥ ν, m∗ (Up \ K) < ε, es decir K es medible. Sea U un abierto que contiene a K. Entonces m∗ (U ) = m∗ (K∪(U \K)) ≤ m∗ (K) + m∗ (U \ K), luego m∗ (U ) − m∗ (K) ≤ m∗ (U \ K). Veamos la desigualdad contraria: Puesto que K es compacto contenido en el abierto U , existe λ > 0 tal que d(K, U c ) > λ y por tanto si p > ν y 1/(p − 1) ≤ λ se tiene (18.1)

K ⊂ U p ⊂ Up−1 ⊂ U,

m∗ (U p \ K) ≤ m∗ (Up−1 \ K) < ε.

Se tiene entonces: m∗ (K) + m∗ (U \ K) ≤ m∗ (Up ) + m∗ (U \ U p ) + m∗ (U p \ K) ≤ m∗ (Up ∪ (U \ U p )) + ε ≤ m∗ (U ) + ε.

18.9

Conjuntos Medibles

187

Hemos probado pues que para cada ε, m∗ (U \K) ≤ m∗ (U )−m∗ (K)+ε, lo que implica m∗ (U \ K) ≤ m∗ (U ) − m∗ (K). N´otese que para ello hemos utilizado que m∗ es aditiva sobre los abiertos y por ello m∗ (Up ) + m∗ (U \ U p ) = m∗ (Up ∪ (U \ U p )). Proposici´ on 18.9 Para un subconjunto B de Rn son equivalentes: (a) B es medible. (b) para cada ε > 0 existe un cerrado F ⊂ B tal que m∗ (B \ F ) ≤ ε. Demostraci´ on. (a) ⇒ (b). Supongamos primero B acotado, luego F compacto. Por el Lema 18.4 sabemos que existe un abierto U ⊃ B tal que m∗ (U ) ≤ m∗ (B) + ε. Se tienen entonces: m∗ (B) + m∗ (U \ B) ≤ m∗ (F ) + m∗ (B \ F ) + m∗ (U \ F ) = m∗ (F ) + m∗ (B \ F ) + m∗ (U ) − m∗ (F ) = m∗ (B \ F ) + m∗ (U ) ≤ m∗ (U ) + ε ≤ m∗ (B) + 2ε. Si B no es acotado, entonces escribiendo B = m∗ (B \ F ) < ε implica

S

r

B∩[−r, r]n , la condici´on

m∗ (B ∩ [−r, r]n \ F ∩ [−r, r]n ) = m∗ (B ∩ [−r, r]n \ F ) ≤ m∗ (B \ F ) < ε. Es decir B ∩ [−r, r]n es medible y por lo tanto B tambi´en por ser uni´on numerable de medibles. (a) ⇒ (b). Si B es medible entonces para cada ε > 0 existe un abierto U ⊃ B tal que m∗ (U \ B) = m∗ (B c \ U c ) < ε, pero esto significa, seg´ un hemos visto en (b) ⇒ (a), que B c es medible. Existe, por tanto, un abierto V ⊃ B c tal que m∗ (V \B c ) < ε ⇒ m∗ (B\V c ) < ε, es decir que se satisface la condici´on (b) para B. Denotemos por M a la familia de los conjuntos medibles. Hasta el momento hemos probado M contiene a los abiertos y tambi´en a los cerrados, de hecho de la proposici´on anterior se deduce que si B ∈ M , entonces B c ∈ M . Tambi´en S vimos que si {Bp } es una colecci´on numerable de elementos de M entonces BP ∈ M . Todo esto nos dice que M es una σ-´algebra de subconjunto de Rn (Por definici´on, una familia A de subconjuntos de un conjunto X se dice que es una σ-´algebra si satisface las condiciones: ∅, X ∈ A , es

188

Conjuntos Medibles

18.9

cerrada respecto a uniones numerables y es cerrada respecto al paso a complementarios). Se deduce , por tanto,Tque tambi´ en la intersecci´on numerable S de conjuntos medibles es medible ( p Bp = ( p Bpc )c ) y que la diferencia de medibles es medible. EnQ particular cada Q T Qsemintervalo es medible, pues si I = [ai , bi ) entonces I = (ai − 1, bi ) [ai , bi ]. Proposici´ on 18.10 La restricci´on de m∗ a M es una medida Demostraci´ on. Veremos primero que si B1 , B2 son medibles y disjuntos entonces m∗ (B1 ∪ B2 ) = m∗ (B1 ) + m∗ (B2 ). Esto ya sabemos que es cierto cuando B1 , B2 son abiertos. Tambi´en es cierto si B1 , B2 son cerrados. En efecto, consideremos los abiertos disjuntos U1 = {x : d(x, B1 ) < d(x, B2 )},

U2 = {x : d(x, B2 ) < d(x, B1 )}.

Puesto que B1 , B2 son cerrados disjuntos se tiene que B1 ⊂ U1 , B2 ⊂ U2 . Por otra parte, para cada ε > 0 existe un abierto U tal que U ⊃ B1 ∪ B2 y m∗ (U ) ≤ m∗ (B1 ∪ B2 ) + ε. Entonces: m∗ (B1 ) + m∗ (B2 ) ≤ m∗ (U ∩ U1 ) + m∗ (U ∩ U2 ) = m∗ (U ∩ (U1 ∪ U2 )) ≤ m∗ (U ) ≤ m∗ (B1 ∪ B2 ) + ε. En general, si B1 , B2 son medibles disjuntos, tomemos para cada ε > 0 cerrados F1 , F2 contenidos en B1 , B2 respectivamente tales que m∗ (Bi \Fi ) < ε, i = 1, 2. Entonces m∗ (B1 ) + m∗ (B2 ) ≤ m∗ (F1 ) + m∗ (B1 \ F1 ) + m∗ (F2 ) + m∗ (B2 \ F2 ) = m∗ (F1 ∪ F2 ) + 2ε ≤ m∗ (B1 ∪ B2 ) + 2ε. Finalmente veamos el caso numerable: sea {Bp } una colecci´on numerable de medibles disjuntos dos a dos, entonces p X k=1

luego

m∗ (Bk ) = m∗ (

p [

k=1

Bk ) ≤ m∗ (

∞ [

Bk ), ∀p,

k=1

P∞

S∞ ∗ ∗ k=1 m (Bk ) ≤ m ( k=1 Bk )

Definici´ on 18.11 A la restricci´on de la medida exterior a la σ-´algebra M de los conjuntos medibles se le denomina medida de Lebesgue. Usaremos la notaci´on m(B) en lugar de m∗ (B) para referirnos a la medida exterior del “conjunto medible” B.

18.12

Conjuntos Medibles

189

Las propiedades de la medida de Lebesgue que damos en el corolario siguiente ser´an consecuencia exclusivamente de la aditividad numerable y de las propiedades conjuntistas de M , es decir estas mismas propiedades las tiene cualquier medida µ definida sobre una σ-´algebra A de subconjuntos de un conjunto arbitrario X. Corolario 18.12 (a) Si B1 , B2 ∈ M y B1 ⊂ B2 entonces, m(B2 ) = m(B1 )+ m(B2 \ B1 ). En particular, si B1 tiene medida finita entonces, m(B2 \ B1 ) = m(B2 ) − m(B1 ). (b) Si B1 ⊂ B2 ⊂ . . . ⊂ Bk . . . , es una sucesi´on creciente de conjuntos medibles, entonces m(∪Bk ) = l´ımk→∞ m(Bk ). (c) Si B1 ⊃ B2 ⊃ . . . ⊃ Bk . . . , es una sucesi´on decreciente de conjuntos medibles de medida finita, entonces m(∩Bk ) = l´ımk→∞ m(Bk ). Demostraci´ on. (a) Escribiendo B2 = B1 ∪(B2 \B1 ) y utilizando la aditividad finita de la medida de Lebesgue, se tiene m(B2 ) = m(B1 ) + m(B2 \ B1 ). Si m(B1 ) < ∞, podemos pasar al otro miembro m(B1 ), con lo que resulta la f´ormula m(B2 \ B1 ) = m(B2 ) − m(B1 ). (b) Puesto que la sucesi´on de conjuntos es creciente, es claro que = B1 ∪(B2 \ B1 ) ∪ . . . ∪(Bk \ Bk−1 ),

Bk ∞

∪ Bk = B1 ∪(B2 \ B1 ) ∪ . . .

k=1

y que los conjuntos Bi \ Bi−1 son disjuntos entre s´ı y medibles. Por lo tanto ∞

m( ∪ Bk ) = k=1

∞ X i=1

m(Bi \ Bi−1 ) = l´ım

k→∞

k X

m(Bi \ Bi−1 ) = l´ım m(Bk ).

i=1

k→∞

(c) Formemos la sucesi´on creciente de conjuntos medibles B1 \ B2 ⊂ B1 \ B3 ⊂ . . . B1 \ Bk ⊂ . . . De la proposici´on anterior resulta que m(∪(B1 \ Bk )) = l´ım m(B1 \ Bk ). k→∞

190

Conjuntos Medibles

18.9

Entonces, teniendo en cuenta que ∪(B1 \ Bk ) = B1 \ ∩Bk y que por ser los conjuntos de medida finita, m(B1 \ Bk ) = m(B1 ) − m(Bk ), resulta m(B1 ) − m(∩ Bk ) = m(∪(B1 \ Bk )) = l´ım m(B1 \ Bk ) = m(B1 ) − l´ım m(Bk ), k→∞

k→∞

lo que implica que m(∩ Bk ) = l´ım m(Bk ). k→∞

El problema de la medida Ya sabemos que, al no ser m∗ σ-aditiva en todo Rn , la familia M es distinta de P(Rn ). Un ejemplo de conjunto no medible lo constituye el conjunto de Vitali. Para comprobar esto s´olo hay que tener en cuenta que las traslaciones mantienen el car´acter medible, pues entonces, si el conjunto V de Vitali fuese medible, los conjuntos Vq (v´ease ejemplo de Vitali P 17.15) ∗ tambi´en lo ser´ıan y, en consecuencia, m (∪Vq ) deber´ıa ser igual a m∗ (Vq ). En cuanto al cardinal de la familia de conjuntos que no son medibles, ´este resulta ser el mismo que la de los medibles. Para verlo, basta observar que si J es un intervalo de R disjunto con V , entonces para todo subconjunto A ⊂ J el conjunto V ∪ A es no medible El ejemplo dado por Vitali puso de manifiesto no s´olo que la medida exterior de Lebesgue no es σ-aditiva en todo R, sino que es imposible construir una medida (σ-aditiva) para todos los subconjuntos de R, que sea adem´as invariante por traslaciones y asigne a cada intervalo su longitud. En efecto, sea V un conjunto de Vitali contenido, por ejemplo, en A = [−1, 1]. Si µ fuese una medida de estas caracter´ısticas definida en P(R), deber´ıa de verificarse que   X 0 µ(∪ Vq ) = µ(Vq ) = , ∞ seg´ un que µ(V ) = 0 ´o µ(V ) > 0. Pero ambas posibilidades se contradicen con el hecho de que [−1, 1] ⊂ ∪ Vq ⊂ [−6, 6]. (Obs´ervese que de la aditividad de µ resulta que µ es tambi´en mon´otona). Si bien, despu´es de lo anterior, no resulta posible extender la medida de Lebesgue a P(R), manteniendo la invariancia por traslaciones, s´ı que se han

18.12

Conjuntos Medibles

191

obtenido extensiones de la misma a familias de conjuntos estrictamente m´as grandes que la σ-´algebra M de los conjuntos medibles ([19], [17]). Como ya hemos se˜ nalado, la existencia de conjuntos no medibles es consecuencia de la presencia en la teor´ıa de conjuntos del Axioma de Elecci´on(AC). Concretamente, si a los axiomas de la teor´ıa de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) a˜ nadimos (AC), entonces aparecen subconjuntos en R que no son Lebesgue-medibles. Pero esto no significa que sin el axioma de elecci´on, es decir s´olo con los axiomas (ZF), se pueda demostrar que todo conjunto es medible. De hecho, si se sustituye (AC) por la Hip´otesis del Continuo (Cohen demostr´o que la hip´otesis del continuo es independiente del axioma de elecci´on [8]), tambi´en se pueden construir conjuntos no Lebesgue-medibles en R. Por otra parte Solovay ([27]) ha demostrado que tambi´en es concebible un modelo matem´atico con la axiom´atica de Zermelo-Fraenkel (ZF), en el que todo subconjunto de R sea Lebesgue-medible. En t´erminos m´as precisos: La proposici´on todo subconjunto de R es Lebesgue-medible, es consistente con los axiomas (ZF).

La σ-´ algebra de Borel Hemos demostrado ya que la familia M de los conjuntos medibles contiene a todos los abiertos y a los cerrados de Rn y, por tanto, a todos los conjuntos que podamos formar a partir de ellos mediante las operaciones: paso a complementarios, uniones e intersecciones numerables, etc., como por ejemplo los conjuntos del tipo Fσ (uniones numerables de cerrados) o los del tipo Gδ (intersecciones numerables de abiertos). Todos estos conjuntos constituir´an la familia de conjuntos de Borel (o borelianos). Veremos que la relaci´on entre estos conjuntos y los conjuntos medibles es mucho m´as estrecha que la de una simple relaci´on de contenido. En primer lugar, recordemos que una familia A de subconjuntos de un conjunto X se dice que es una σ-´algebra si satisface las condiciones siguientes: 1. Los conjuntos ∅ y X pertenecen a A . 2. A es cerrada por paso al complementario, es decir si B ∈ A entonces Bc ∈ A . 3. A es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si Bk ∈ A , k = 1, . . . entonces ∪Bk ∈ A .

192

Conjuntos Medibles

18A

Procediendo como para la σ-´algebra M , se deduce que si A es una σ-´algebra entonces A es cerrada tambi´en respecto a las intersecciones numerables y respecto a la diferencia de conjuntos. Por otra parte es inmediato comprobar que cualquier intersecci´on de σ-´algebras es tambi´en una σ-´algebra. Esto permite dar la siguiente definici´on. Definici´ on 18.13 Si X es un espacio topol´ogico, llamaremos σ-´algebra de Borel sobre X a la menor σ-´algebra sobre X que contiene a los abiertos. Es claro que tal σ-´algebra est´a siempre bien definida, no es m´as que la intersecci´on de todas la σ-´algebras que contienen a los abiertos del espacio topol´ogico X. (N´otese que al menos hay una σ-´algebra con esta propiedad, la familia P(X) de todos los subconjuntos de X). Es obvio que en Rn la σ-´algebra de Borel, B, est´a contenida en M (existen ejemplos que prueban que esta contenci´on es estricta). La relaci´on entre borelianos y conjuntos medibles de Rn se pone de manifiesto en la siguiente proposici´on Proposici´ on 18.14 Un conjunto L es medible si y s´olo si es de la forma L = B ∪ N , donde B es un conjunto Borel y N es un subconjunto de medida nula. Demostraci´ on. Puesto que cada boreliano y cada conjunto de medida nula son medibles, todo conjunto del tipo B ∪ N es medible. Rec´ıprocamente, si L es medible, aplicando la Proposici´on 18.9 podemos encontrar una sucesi´on ∗ de cerrados FP contenidos en L tal S que m (L\Fp ) < 1/p. Tomando entonces el conjunto Fσ (boreliano), B = p Fp , se tiene que m∗ (L \ B) ≤ m∗ (L \ Fp ) < 1/p, ∀p, luego el conjunto N = L \ B es de medida nula y L = B ∪ N .

Ejercicios 18A Probar que para todo A ⊂ Rn , nX o m(Ik ) : A ⊂ ∪Ik m∗ (A) = ´ınf con el ´ınfimo extendido s´olo al conjunto de colecciones numerables, {Ik }, de intervalos “abiertos”que recubren el conjunto A. 18B Sean A1 , A2 dos subconjuntos de Rn tales que d(A1 , A2 ) > 0. Probar que m∗ (A1 ∪ A2 ) = m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ).

18L

Conjuntos Medibles

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18C (Identidad de Caratheodory) Probar que un conjunto B de Rn es medible si y s´olo si para todo conjunto A, se verifica la siguiente identidad m∗ (A) = m∗ (A ∩ B) + m∗ (A \ B). 18D Probar que todo conjunto B de Rn cuya frontera sea un conjunto de medida nula es medible. 18E Sea B ⊂ Rn y supongamos que para cada ε > 0 existen dos conjuntos medibles C, D tales que B ⊂ C, B c ⊂ D y m(C ∩ D) < ε. Probar que B es medible 18F Probar que un conjunto B es medible si y s´olo si, cualesquiera que sean los conjuntos A1 ⊂ B, A2 ⊂ B c , se tiene m∗ (A1 ∪ A2 ) = m∗ (A1 ) + m∗ (A2 ) 18G Obtener la medida del conjunto de n´ umeros reales de [0, 1] que en su expresi´on decimal s´ olo tienen “ceros y unos”. 18H Sea A un conjunto de Rn con m∗ (A) < ∞. Demostrar que si A contiene un conjunto medible B tal que m(B) = m∗ (A), entonces A es medible. ¿Es esto cierto si m∗ (A) = ∞? 18I Demostrar que para cada α ∈ [0, 1) existe un conjunto perfecto, tipo Cantor, de medida igual a α. ´ n. Elegir adecuadamente las longitudes δ1 , δ2 , . . . , de los intervalos cenIndicacio trales que se quitan en cada paso de la construcci´on del conjunto tipo Cantor. 18J Demostrar que para todo conjunto A de Rn y todo α se tiene que m∗ (αA) = |α|n m∗ (A), y que si B es medible entonces αB tambi´en es medible. 18K Probar que existen conjuntos no medibles de cualquier medida. 18L (La Medida de Jordan). Dado un conjunto acotado C ⊂ Rn se define la medida exterior de Jordan de C como X m (C) = ´ınf{ m(Ik ) : C ⊂ ∪Ik }, donde con (Ik ) se denota a las colecciones finitas de semintervalos que recubren al conjunto C. (a) Probar que en la definici´ on anterior los semintervalos Ik se pueden tomar disjuntos entre s´ı.

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An´ alogamente, se define la medida interior de Jordan del conjunto acotado C como X m (C) = sup{ m(Ik ) : C ⊃ ∪Ik }, donde con (Ik ) se denota a las colecciones finitas de semintervalos disjuntos entre s´ı contenidos en C. (b) Probar que m (C) ≤ m∗ (C) ≤ m (C). El conjunto acotado C se dir´a j-medible (Jordan-medible) si m (C) = m (C). (c) Probar que el conjunto Q ∩ [0, 1] no es un conjunto j-medible. (d) Demostrar que si C es un conjunto j-medible entonces su frontera es un conjunto de medida nula. (e) Deducir del apartado anterior que todo conjunto j-medible es Lebesgue medible. (f) Encontrar un abierto de R que contenga al conjunto Q ∩ [0, 1] y cuya frontera tenga medida no nula. 18M Sea A un subconjunto acotado de Rn y I un semintervalo que contenga a A. Se define entonces m∗ (A), la medida interior de Lebesgue de A, como m∗ (A) = m(I) − m∗ (I \ A) (a) Probar que m∗ (A) es independiente del intervalo I que contenga a A. (b) Demostrar que para todo conjunto acotado A m∗ (A) ≤ m∗ (A). (c) Comparar las medidas interiores de Jordan y de Lebesgue del conjunto Q ∩ [0, 1]. (d) Probar que un conjunto acotado B es Lebesgue medible si y s´olo si m∗ (B) = m∗ (B). 18N (a) Probar que si µ es una medida sobre B invariante por traslaciones y con la propiedad µ(K) < ∞ para cada compacto K, entonces existe c ≥ 0 tal que µ(B) = cm(B) para cada B ∈ B. Se sugieren los siguientes pasos: 1. Sea Q0 el semicubo [0, 1)n y Qk = [0, 1/2k )n . Probar que µ(Qk ) = µ(Q0 )m(Qk ). 2. Sea c = µ(Q0 ). Teniendo en cuenta que al ser µ invariante por traslaciones, µ(Q) = µ(Qk ) si Q es un semicubo de lado 1/2k , probar que µ(U ) = cm(U ) para todo abierto U . 3. Para extender la f´ormula anterior a cada B ∈ B, usar que para cada ε > 0 existe un abierto U y un cerrado F tal que F ⊂ B ⊂ U y m(U \ F ) < ε. (b) Sea T : Rn → Rn un aplicaci´on lineal no singular. Probar que mediante la f´ ormula µ(B) = m(T (B)) se define una medida sobre B invariante por traslaciones y finita sobre los compactos. Luego existe c(T ) tal que m(T (B)) = c(T )m(B) (ver 24.2 para probar que c(T ) = |det (T )|). (c) Deducir de (b) que la medida de Lebesgue es invariante por rotaciones.

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˜ Dar ejemplos de conjuntos medibles B1 ⊂ B2 para los que m(B2 \ B1 ) sea, 18N sucesivamente, igual a 0, 1, ∞. 18O (Teorema de Borel-Cantelli) Sea {Bp } un sucesi´on de conjuntos medibles y supongamos que ∞ X m(Bp ) < ∞. p=1

Probar que el conjunto P de los puntos de Rn que est´an en infinitos Bp tiene medida nula. ´ n. Observar que el conjunto P = ∩p ∪j≥p Bj . Indicacio 18P Sea B un conjunto medible contenido en el intervalo cerrado [a, b] y sea h la aplicaci´ on de [a, b] en R definida por h(x) = m(B ∩ [a, x]). (a) Probar que h es continua y creciente. (b) Probar que si B es un abierto denso de [a, b] entonces h es estrictamente creciente. (c) Demostrar que para cada n´ umero real 0 ≤ α ≤ m(B) existe un conjunto medible Bα ⊂ B tal que m(Bα ) = α. (d) Demostrar que si m(B) > 0 entonces, para cada 0 < α < m(B), B contiene un subconjunto no medible V tal que m∗ (V ) = α. 18Q Demostrar que la σ-´ algebra de Borel en Rn est´a generada por las siguientes familias de conjuntos: Los semintervalos, los conjuntos compactos, los conjuntos del tipo {(x1 , . . . , xn ) : x1 ≤ b1 , . . . , xn ≤ bn }. 18R Sean X, Y espacios topol´ ogicos (a) Probar que si h es una aplicaci´ on continua de X en Y entonces la contraimagen por h de un conjunto de Borel en Y es un conjunto de Borel de Y . (b) Utilizar que las proyecciones en un producto topol´ogico son continuas para probar que el producto cartesiano de un conjunto de Borel de X y un conjunto de Borel de Y es un conjunto de Borel en X × Y . 18S Sea B un abierto denso de [0, 1] tal que m(B) < 1 (por tanto m([0, 1]\B) > 0). (a) Demostrar que la aplicaci´ on ϕ(x) =

m(B ∩ [0, x]) m(B)

es un homeomorfismo de [0, 1] en [0, 1] (ver ejercicio (18P). (b) Probar que m(ϕ(B)) = 1.

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(c) Sea V un conjunto no medible contenido en [0, 1] \ B. Probar que ϕ(V ) es un conjunto medible que no es un conjunto de Borel. (d) Observar que ϕ no mantiene el car´acter medible de los conjuntos, a pesar de ser un homeomorfismo. 18T Demostrar que si B es un conjunto medible, entonces m(B) = sup{m(K) : K compacto ⊂ B}. Rec´ıprocamente, si la f´ ormula anterior es cierta y B es de medida finita, entonces B es medible. 18U Probar que todo subespacio vectorial propio de Rn es un conjunto de medida nula de Rn . 18V Probar que la gr´ afica de toda funci´on continua f : U ⊂ Rn → Rp , donde U es un conjunto abierto, es un conjunto de medida nula. En particular, probar que toda variedad diferenciable de Rk de dimensi´on n < k es un conjunto de medida nula de Rk .