Matem´ aticas NS

Conjuntos relaciones y grupos

Tema opcional

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´Indice 1. Conjuntos y relaciones 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Operaciones con conjuntos . . . . . . 1.3. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Relaciones de equivalencia. Conjunto 1.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . cociente. . . . . . . .

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5 5 6 8 10 12

2. Introducci´ on a la teor´ıa de Grupos 2.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . 2.4. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Clases de un grupo m´odulo un subgrupo 2.4.2. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . 2.5. Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Propiedades de los elementos de torsi´on 2.5.2. Consecuencias del teorema de Lagrange

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13 13 17 17 19 19 20 20 20 21

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4

´INDICE

1

Conjuntos y relaciones 1.1.

Introducci´ on

Los conjuntos pueden se utilizados como el fundamento de las matem´aticas. No vamos a dar la teor´ıa axiom´atica de conjuntos, vamos a hacer una introducci´on informal a ellos. Podemos definir un conjunto como una colecci´on de objetos ( el conjunto de los enteros positivos, el conjunto de los colores del arco iris,...). Algunos conjuntos pueden ser descritos por enumeraci´on de sus elementos, por ejemplo A = {a, b, c} ,

B = {rojo, amarillo, verde, azul}.

Estos conjuntos son finitos. El n´ umero de elementos del conjunto recibe el nombre de cardinal del conjunto, |A| = 3 y |B| = 4. Otros conjuntos, como los conjuntos infinitos, pueden ser descritos por una propiedad que les caracteriza o por una regla de construcci´on. P = {2, 4, 6, 8, . . .}

I = {2n − 1/n ∈ N}.

,

Se utiliza el simbolo ∈ para indicar que un elemento pertenece a un conjunto (16 ∈ P , 23 ∈ I). Definici´ on 1.1.1 Se dice que A es un subconjunto de B y se denota por A ⊂ B si todo elemento de A esta en B.

Definici´ on 1.1.2 Dos conjuntos A y B son iguales si A ⊂ B y B ⊂ A. Es decir, x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B. El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos con los que estamos trabajando. Lo denotamos por U . 5

6

1. CONJUNTOS Y RELACIONES

Definici´ on 1.1.3 El complementario de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. Se denota por Ac , A o A0 .

1.2.

Operaciones con conjuntos

Definici´ on 1.2.1 La uni´ on de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos. Se denota por A ∪ B, A ∪ B = {xx ∈ A o x ∈ B}.

Definici´ on 1.2.2 La intersecci´ on de dos conjuntos A y B, se denota por A∩B el el conjunto formado por todos los elementos comunes de A y B. A ∩ B = {xx ∈ A y x ∈ B}

Definici´ on 1.2.3 El conjunto diferencia ArB es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B. A r B = {x x ∈ A y x 6∈ B} = A ∩ B.

1.2. OPERACIONES CON CONJUNTOS

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Definici´ on 1.2.4 La diferencia sim´etrica de dos conjuntos A y B se define como A4B = (A r B) ∪ (B r A) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B).

Observaci´on. A4B = (A ∪ B) r (A ∩ B). A continuaci´on vamos a enumerar propiedades de estas operaciones.

Proposici´ on 1.2.1 Se verifican las siguientes propiedades Idempotente A∪A = A A∩A = A Ley de absorci´ on (A ∪ B) ∩ A = A (A ∩ B) ∪ A = A Conmutativa A∪B = B∪A A∩B = B∩A Asociativa A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Distributiva de la uni´ on respecto a la intersecci´ on y viceversa A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

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1. CONJUNTOS Y RELACIONES El conjunto universal U y el conjunto vacio verifican, A∪∅=A

A∩U =A

A∩∅=∅

A ∪ U = A.

Propiedades del complementario A=A A∪A=U A ∩ A = ∅. Leyes de Morgan A∪B = A∩B A∩B = A∪B Proposici´ on 1.2.2 El principio de dualidad. Si una cierta igualdad en los conjuntos es cierta tambien lo es su dual. S T La dual de una igualdad se obtiene intercambiando e , y los conjuntos ∅ y U . Definici´ on 1.2.5 Dado un conjunto A se define el conjunto partes de A, P(A), como el conjunto de todos los subconjuntos que contienen a A. Ejemplo. Si A = {1, 2, 3} P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, A}. Proposici´ on 1.2.3 Sea A un conjunto finito y |A| = n. Entonces |P(A)| = 2n . Demostraci´ on. efecto, sabemos que el n´ unero de subconjuntos de k elementos de un conjunto de  En  n n elementos es . Entonces el n´ umero de subconjuntos de A es k 

1.3.

n 0



 +

n 1



 + ... +

n n−1



 +

n n



= (1 + 1)n = 2n .

Relaciones

Definici´ on 1.3.1 El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, se denota por A × B, es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B, A × B = {(a, b) |a ∈ A , b ∈ B}. Definici´ on 1.3.2 Una relaci´ on R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del conjunto A × B. Si el par (x, y) ∈ R se dice que x est´ a relacionado con y y se escribe xRy.

1.3. RELACIONES

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Ejemplo. Sean A = {a, b, , c, , d}, B = {1, 2, 3} y R = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (c, 2)}. si los conjuntos A y B son finitos, las relaciones se pueden representar utilizando los diagramas de flechas.

Otra manera de representar las relaciones es mediantes un gr´afico cartesiano.

Una relaci´on puede venir dada por la matriz de  1  1 MR =   0 0

la relaci´on,  1 0 0 0  . 1 0  0 0

Definici´ on 1.3.3 Una relaci´ on binaria en A es una relaci´ on en A × A. Las relaciones binarias pueden venir dadas por su grafo dirigido. Ejemplo El siguiente grafo dirigido

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1. CONJUNTOS Y RELACIONES

corresponde a la relaci´on binaria S = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 3)} Una relaci´on binaria puede cumplir las siguientes propiedades, 1. Reflexiva Para todo a ∈ A, aRa. 2. Sim´ etrica Si aRb, entonces bRa. 3. Antisim´ etrica Si aRb y bRa, entonces a = b. 4. Transitiva Si aRb y bRc, entonces aRc. Definici´ on 1.3.4 Una relaci´ on que cumple las propiedades reflexiva, antisim´etrica y transitiva es una relaci´ on de orden.

1.4.

Relaciones de equivalencia. Conjunto cociente.

Definici´ on 1.4.1 Una relaci´ on que cumple las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva es una relaci´ on de equivalencia. Las relaciones de equivalencia en un conjunto A establecen una ”igualdad”entre los elementos del conjunto. Definici´ on 1.4.2 Sea ∼ una relaci´ on de equivalencia definida en A y a ∈ A. La clase de equivalencia de a, [a], es el conjunto de todos los elementos que estan relacionados con a. [a] = {x ∈ A|x ∼ a} Proposici´ on 1.4.1 Sea ∼ una relaci´ on de equivalencia en A. Entonces, (i) Para todo a ∈ A, a ∈ [a].

1.4. RELACIONES DE EQUIVALENCIA. CONJUNTO COCIENTE.

11

(ii) [a] = [b] ⇐⇒ a ∼ b. (iii) Si a 6∼ b, entonces las clases [a] y [b] son disjuntas. Por verificar la propiedad reflexiva se tiene I. Si [a] = [b] entonces a ∈ [b] y por lo tanto a ∼ b. Por otra parte, si a ∼ b, se tiene x ∈ [a] =⇒ x ∼ a y por hip´otesis a ∼ b =⇒ x ∼ b =⇒ x ∈ [b], y [a] ⊆ [b]. De manera totalmente an´aloga se demuestra que [b] ⊆ [a]. De los dos contenidos se tiene la igualdad de las clases. T Para demostrar la tercera propiedad supongamos que existiese c ∈ [a] [b] entonces c ∼ a y c ∼ b y por la reflexiva y transitiva a ∼ b. Se tendr´ıa entonces [a] = [b], contradicci´on con la hip´ otesis. Definici´ on 1.4.3 Sea ∼ una relaci´ on de equivalencia definida en A. El conjunto cociente A/ ∼ es el conjunto formado por todas las clases de equivalencia. Una relaci´on de equivalencia definida en un conjunto establece una partici´on en el conjunto. Las partes son las clases de equivalencia. Ejemplo 1 En el conjunto A × A siendo A = {1, 2, 3, 4, 5} se define la relaci´on (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c. Veamos que cumple las propiedades de una relaci´on de equivalencia. Reflexiva (a, b) ∼ (a, b) ya que a + b = a + b. Sim´etrica. Si (a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c ⇐⇒ (c, d) ∼ (a, b). Transitiva



(a, b) ∼ (c, d) =⇒ (c, d) ∼ (e, f )



a+d=b+c c+e=d+f

Sumando las dos u ´ltimas igualdades se tiene a + d + c + e = b + c + d + f ⇐⇒ a + e = b + f ⇐⇒ (a, b) ∼ (e, f ). Estudiemos las clases de equivalencia −4 = (1, 5) = {(1, 5)} −3 = (1, 4) = {(1, 4), (2, 5)} −2 = (1, 3) = {(1, 3), (2, 4), (3, 5)} −1 = (1, 2) = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} 0 = (1, 1) = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5)} 1 = (2, 1) = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4)} 2 = (3, 1) = {(3, 1), (4, 2), (5, 3)} 3 = (4, 1) = {(5, 1), (5, 2)} 4 = (5, 1) = {(5, 1)}

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1. CONJUNTOS Y RELACIONES

El representante de una clase puede ser cualquier elemento de la clase. El conjunto cociente consta de todas las clases equivalencia. El cardinal de A × A/ ∼ es 9. Ejemplo 2. Congruencia m´ odulo n. En el conjunto de los enteros se define la relaci´ on de congruencia m´odulo n a ≡ b ( m´odulo n) ⇐⇒ b − a es m´ ultiplo de n. Es f´acil comprobar que la congruencia es una relaci´on de equivalencia. Estudiemos las clases de la congruencia m´odulo 5. 0 = {. . . , −10, −5, 0, 5, 10, . . .} 1 = {. . . , −9, −4, 1, 6, 11, . . .} 2 = {. . . , −8, −3, 2, 7, 12, . . .} 3 = {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, . . .} 4 = {. . . , −6, −1, 4, 9, 14, . . .} El conjunto cociente es Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}.

1.5.

Aplicaciones

Definici´ on 1.5.1 Una aplicaci´ on f : A 7→ B es una correspondencia entre los conjuntos A y B de manera que todo elemento del conjunto inicial tenga una y solo una imagen. El conjunto A es el dominio de la aplicaci´ on, B es el codominio y la imagen de la aplicaci´ on es f (A) = {y = f (x)/x ∈ A}. Definici´ on 1.5.2 Una aplicaci´ on f : A 7→ B es inyectiva si elementos distintos tienen im´ agenes distintas. Es decir, x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y). La implicaci´ on anterior es equivalente a f (x) = f (y) =⇒ x = y. Definici´ on 1.5.3 Una aplicaci´ on f : A 7→ B es sobreyectiva, suprayectiva o exhaustiva si f (A) = B. Esto es, ∀y ∈ B ∃x ∈ A tal que f (x) = y. Definici´ on 1.5.4 Una aplicaci´ on f : A 7→ B es biyectiva si es inyectiva y sobre. Definici´ on 1.5.5 Una aplicaci´ on f : A 7→ B es invertible si la correspondencia inversa f −1 : B 7→ A es aplicaci´ on. Proposici´ on 1.5.1 La aplicaci´ on f : A 7→ B es invertible si y solo si f es una biyecci´ on.

2

Introducci´ on a la teor´ıa de Grupos 2.1.

Grupos

Consideramos G un conjunto y * una operaci´on binaria definida en G. Definici´ on 2.1.1 El par (G, ∗) es un grupo si verifica i. * es ley de composici´ on interna, para todo x, y ∈ G,

x ∗ y ∈ G.

ii. Propiedad asociativa x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z

∀ x, y, z ∈ G.

iii. Existencia de elemento neutro. Existe un e ∈ G que verifica x∗e=e∗x=x

∀ x ∈ G.

iv. Todo elemento tiene su sim´ etrico. Para todo x ∈ G existe x ¯ ∈ G que verifica x∗x ¯=x ¯ ∗ x = e. Si adem´ as se cumple la propiedad conmutativa, para todo x, y ∈ G x ∗ y = y ∗ x, (G, ∗) es un grupo conmutativo o abeliano. Si la operaci´on * es la multiplicaci´on, el elemento neutro es el elemento unidad 1 y el sim´etrico es el inverso. Si la operaci´on * es la adici´on, el elemento neutro es el cero y el sim´etrico es el opuesto. Proposici´ on 2.1.1 Se verifican las siguientes propiedades, (a) Ley de simplificaci´ on x ∗ y = x ∗ z =⇒ y = z y ∗ x = z ∗ x =⇒ y = z 13

´ A LA TEOR´IA DE GRUPOS 2. INTRODUCCION

14 (b) El elemento neutro es u ´nico (c) El sim´etrico de cada elemento es u ´nico. (d) Las ecuaciones

x∗a=b

y

c∗y =d

tienen soluci´ on. (e) El sim´etrico del sim´etrico de cualquier elemento es el mismo, x = x. (f ) x ∗ y = y ∗ x. Demostraci´ on. (a) Multiplicando a la izquierda por el sim´etrico de x los dos miembros de la ecuaci´on se tiene, x ¯ ∗ (x ∗ y) = x ¯ ∗ (x ∗ z), y aplicando la propiedad asociativa y la del elemento neutro (¯ x ∗ x) ∗ y = (¯ x ∗ x) ∗ z

=⇒ e ∗ y = e ∗ z =⇒ y = z.

Con la multiplicaci´on a la derecha se obtiene la otra ley de simplificaci´on. (b) Supongamos que existiesen dos elementos neutros e y e0 . Entonces, e ∗ e0 = e (por ser e’ elemento neutro) e ∗ e0 = e0 (por ser e elemento neutro) de donde e = e0 . (c) Supongamos que x ¯ y x−1 son ambos sim´etricos de x. Por la propiedad asociativa x ¯ ∗ (x ∗ x−1 ) = (¯ x ∗ x) ∗ x−1 ⇓ x ¯ ∗ e = e ∗ x−1 ⇓ x ¯ = x−1 . (d) x∗a = b ⇓

multiplicamos a la derecha por el sim´etrico de a

(x ∗ a) ∗ a ¯ = b∗a ¯ ⇓

asociativa

x ∗ (a ∗ a ¯) = b ∗ a ¯ ⇓

elemento neutro

x∗e = b∗a ¯ ⇓ x = b∗a ¯. De manera an´aloga se obtiene la soluci´on de la otra ecuaci´on.

2.1. GRUPOS

15

(e) Es claro que de x ∗ x = x ∗ x = e se tiene que x = e. (f) De la unicidad del elemento neutro y de (x ∗ y) ∗ x ∗ y = (x ∗ y) ∗ (y ∗ x) = x ∗ (y ∗ y) ∗ x = (x ∗ e) ∗ x = x ∗ x = e x ∗ y ∗ (x ∗ y) = (y ∗ x) ∗ (x ∗ y) = y ∗ (x ∗ x) ∗ y = (y ∗ e) ∗ y = y ∗ y = e. se tiene el resultado. ] Ejemplos. 1. Los enteros con la suma, (Z, +), son un grupo abeliano. 2.

Los racionales con la suma, (Q, +) y los racionales menos el 0 con la multiplicaci´on, (Q∗ , .), son grupos abelianos.

3.

Los reales con la suma, (R, +) y loa reales menos el 0 con la multiplicaci´on, (R∗ , .), son grupos abelianos.

4.

Las matrices con coeficientes reales de dimensin m × n con la adici´on, (R(m.n) , +), tienen estructura de grupo abeliano, en particular los vectores (Rn , +).

5. Las clases residuales de Z m´odulo 4 con la suma (Z(4) , +). Escribimos la tabla (Tabla de Caley) + 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

Observamos que las propiedades comutativa, neutro y opuesto se comprueban facilmente con la ayuda de la tabla. 6.

(Z∗(p) , .) con p primo. Veamos la tabla de Caley para p = 5. . 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

7. El grupo de las permutaciones de orden n con la composici´ on de aplicaciones(Pn , ◦). Consideramos las permutaciones de orden 3, utilizamos la notaci´on de las permutaciones c´ıclicas (tambien se puede utilizar la imagen de la aplicaci´on),

´ A LA TEOR´IA DE GRUPOS 2. INTRODUCCION

16



1 2 3 p1 =  ↓ ↓ ↓ 1 2 3  1 2 3 p2 =  ↓ ↓ ↓ 1 3 2  1 2 3  ↓ ↓ ↓ p3 = 2 1 3 

1 2 3 p4 =  ↓ ↓ ↓ 2 3 1  1 2 3 p5 =  ↓ ↓ ↓ 3 1 2  1 2 3 p6 =  ↓ ↓ ↓ 3 2 1

  se representa por  

se representa por

(2, 3)

se representa por

(1, 2)

 

  se representa por (1, 2, 3)   se representa por (1, 3, 2)   se representa por (1, 3).

Consideramos la operaci´on composici´on de  1  ↓  p2 ◦ p4 =   2  ↓ 3 Este elemento lo colocamos en la fila 4 y Escribimos la tabla p1 p1 p1 p2 p2 p3 p3 p4 p4 p5 p5 p6 p6

e

aplicaciones, por ejemplo  2 3 ↓ ↓   3 1   = (1, 3) = p6 . ↓ ↓  2 1

la columna 2. p2 p2 p1 p5 p6 p3 p4

p3 p3 p4 p1 p2 p6 p5

p4 p4 p3 p6 p5 p1 p2

p5 p5 p6 p2 p1 p4 p3

p6 p6 p5 p4 p3 p2 p1

Proposici´ on 2.1.2 El grupo (G, ∗) es conmutativo si y solo si x ∗ y = x ∗ y Demostraci´ on. Si el grupo es conmutativo se tiene que x ∗ y = y ∗ x = x ∗ y.

2.2. SUBGRUPOS

17

Supongamos ahora que se verifica x ∗ y = x ∗ y, entonces aplicando las propiedades de la proposici´on 1.1.1 (e), (f), la hip´otesis y (e) sucesivamente, se tiene x ∗ y = x ∗ y = y ∗ x = y ∗ x = y ∗ x, y el grupo es conmutativo. ]

2.2.

Subgrupos

Definici´ on 2.2.1 Dado un grupo (G, ∗) y un subconjunto H ⊆ G, H 6= ∅. (H, *) es un subgrupo de (G, ∗), y se denota (H, ∗) ≤ (G, ∗), si H es un grupo con respecto a la operaci´ on * definida en G. Los subgrupos (G, ∗) y ({e},*) se llaman subgrupos impropios de G. Los restantes subgrupos se llaman propios. Proposici´ on 2.2.1 Teorema de caracterizaci´ on Sea H 6= ∅, H ⊆ G y (G, ∗) grupo. Entonces, (H, ∗) ≤ (G, ∗)

⇐⇒

∀x, y ∈ H, se verifica que x ∗ y ∈ H.

Demostraci´ on. =⇒) Supongamos que (H, ∗) es subgrupo, si y ∈ H por la existencia de sim´etrico y ∈ H y como * es ley de composici´on interna en H x ∗ y ∈ H. ⇐) Sea x ∈ H. Entonces x ∗ x = e ∈ H y e ∗ x = x ∈ H, por lo que queda demostrado la existencia del neutro y del sim´etrico de cada elemento en H. Para probar que * es ley de composici´ on interna, basta observar que x ∗ y = x ∗ y ∈ H. Por u ´ltimo, la asociatividad de la operaci´on en H se deduce de la asociatividad de la operaci´on en G. ] Proposici´ o\ n 2.2.2 Sea I un conjunto de ´ındices, y sean Hi, i ∈ I subgrupos de un grupo (G, ∗). Entonces, Hi es un subgrupo de G. i∈H

Demostraci´ on. Sean \ x, y ∈ Hi para todo i ∈ I. Por ser Hi subgrupos, x ∗ y¯ ∈ Hi para todo i ∈ I. Entonces, x ∗ y¯ ∈ Hi. i∈H

]

2.3.

Homomorfismos de grupos

Definici´ on 2.3.1 Sean (G, ∗) y (H, ◦) grupos y sea f : G −→ H una aplicaci´ on entr ellos. Se dice que f es un homomorfismo si verifica f (x ∗ y) = f (x) ◦ f (y). Un homomorfismo inyectivo recibe el nombre de monomorfismo; un homomorfismo suprayectivo, epimorfismo; un homomorfismo biyectivo, isomorfismo; y un isomorfismo de G en s´ı mismo, automorfismo. Si existe un isomorfismo entre (G, ∗) y (H, ◦), se dice que ambos grupos son isomorfos, y se denota (G, ∗) ≈ (H, ◦).

´ A LA TEOR´IA DE GRUPOS 2. INTRODUCCION

18

Proposici´ on 2.3.1 Sean (G, ∗) y (H, ◦) grupos y sea f : G 7→ H un homomorfismo entre grupos. Se verifica que  i.

f (x ∗ y −1 ) = f (x) ◦ f (y)−1 f (y −1 ∗ x) = f (y)−1 ◦ f (x)

ii. f (eG ) = eH . iii. f (x−1 ) = (f (x))−1 . Demostraci´on. i. Como f es homomorfismo de grupos f (x ∗ y −1 ) ◦ f (y) = f ((x ∗ y −1 ) ∗ y) = f (x ∗ (y −1 ∗ y)) = f (x ∗ eG ) = f (x), y operando a la derecha por f (y)−1 , (f (x ∗ y −1 ) ◦ f (y)) ◦ f (y)−1 = f (x) ◦ f (y)−1 V f (x ∗ y −1 ) = f (x) ◦ f (y)−1 . La demostraci´on de la otra igualdad es totalmente an´aloga. ii. Sustituyendo x por y en las igualdades anteriores se tiene el resultado. iii. Basta sustituir x por eG en las primera igualdad y utilizar el apartado anterior, f (eG ∗ y −1 ) = f (eG ) ◦ f (y)−1 = eH ◦ f (y)−1 V f (y −1 ) = f (y)−1 . ] Definici´ on 2.3.2 Sean (G, ∗), (H, ◦) grupos, y sea f : G 7→ H un homomorfismo entre ellos. Se llaman n´ ucleo e imagen de f a los conjuntos ker(f ) = {g ∈ G/f (g) = e} Im(f ) = f (G) = {h ∈ H/ existe g ∈ G : f (g) = h} Proposici´ on 2.3.2 Sean G, H grupos, y f : G 7→ H un homomorfismo. Si G es abeliano, f(G) es abeliano. Demostraci´on. f (x)f (y) = f (xy) = f (yx) = f (y)f (x). ]

2.4. TEOREMA DE LAGRANGE

2.4. 2.4.1.

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Teorema de Lagrange Clases de un grupo m´ odulo un subgrupo

Definici´ on 2.4.1 Sea H un subgrupo de un grupo G. Se llama clase por la izquierda de G m´ odulo H a cada conjunto gH = {gh : h ∈ Hcong ∈ G}. An´ alogamente, se llama clase por la derecha de G m´ odulo H a cada conjunto Hg = {hg : h ∈ H con g ∈ G}. Proposici´ on 2.4.1 Sea H un subgrupo de un grupo G. Entonces, la relaci´ on ∼H definida en G seg´ un x ∼H y ⇐⇒ x−1 y ∈ H es una relaci´ on de equivalencia, con [g] = gH. Demostraci´ on. La relaci´on ∼H es reflexiva ya que x−1 x = e ∈ H por ser H subgrupo. Es sim´etrica, puesto que, si x ∼H y =⇒ x−1 y ∈ H y como H es subgrupo =⇒ (x−1 y)−1 = y −1 x ∈ H =⇒ y ∼H x. Es transitiva ya que, si x ∼H y x−1 y ∈ H =⇒ −1 =⇒ (x−1 y)(y −1 z) = x−1 z ∈ H =⇒ x ∼H z. y ∼H z y z∈H Veamos ahora las clases de equivalencia. Tenemos que demostrar la igualdad de los conjuntos gH = [g]. Supongamos gh ∈ gH, entonces g −1 gh = hinH de donde g ∼H gh y gH ⊂ [g]. Reciprocamente, si x ∈ [g] entonces, g −1 x = h para un cierto h ∈ H. De donde x = gh ∈ gH.. ] Observaci´ on Las clases a la izquierda m´odulo H constituyen una partici´on de G. Proposici´ on 2.4.2 Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo g ∈ G existe una biyecci´ on entre H y gH. Demostraci´ on. Sea α : H 7→ gH h 7→ α(h) = gh. Veamos que es una aplicaci´on inyectiva, si α(x) = α(y) =⇒ gx = gy =⇒ x = y. Por otro lado es claro que α(H) = gH y la aplicaci´on es sobre. ] El cardinal de estos dos conjuntos es el mismo, |H| = |gH|.

´ A LA TEOR´IA DE GRUPOS 2. INTRODUCCION

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2.4.2.

Teorema de Lagrange

Definici´ on 2.4.2 Se llama ´ındice de H en G, y se denota [G : H], al n´ umero de clases por la izquierda de G modulo H. Teorema 2.4.1 (Lagrange) Sea H un subgrupo de un grupo finito G. Entonces, |H| divide a |G|. En particular, se tiene que |G| = [G : H]|H| Esto es consecuencia de que la relaci´on de equivalencia ∼H particiona G en [G : H] clases distintas y todas las clases tiene el mismo cardinal |H|.

2.5.

Grupos c´ıclicos

Definici´ on 2.5.1 Se dice que un grupo (G, ∗) es c´ıclico si existe al menos un elemento a ∈ G tal que G = {an : n ∈ Z}. Se dice que a es un generador de G y se denota por G =< a >. Definici´ on 2.5.2 Sea (G, ∗) un grupo. Se define el orden de a ∈ G como el cardinal del subgrupo generado por a. orden(a) = | < a > |. Si el orden(a) es finito se dice que a es un elemento de torsi´ on en G. Proposici´ on 2.5.1 Sea (G, ∗) un grupo finito, a ∈ G y n = orden(a). Entonces, se tiene que, an = e < a >= {a, a2 , . . . , an−1 , an = e} y todos los elementos de este conjunto son distintos. Demostraci´ on Puesto que G es finito el conjunto {an : n ∈ Z} tiene que ser finito. Sea n el menor natural que verifica an = e, entonces los elementos del conjunto a, a2 , . . . , an−1 , an = e son todos distintos. En efecto, si ar = as , s < r < n entonces ar−s = e contradicci´on con la definici´on de n. ]

2.5.1.

Propiedades de los elementos de torsi´ on

Proposici´ on 2.5.2 Sea (G, ∗) un grupo y a, b ∈ G elementos de torsi´ on. Entonces, i. ak = e ⇐⇒ ord(a) es divisor de k, ord(A)|k. ii. ord(a) = 1 ⇐⇒ a = e. iii. ord(a−1 ) = ord(a) Demostraci´ on.

2.5. GRUPOS C´ICLICOS

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i. Suponemos que ord(a) = n. Si ak = e, y k = nc + r con r < n < k . Entonces, ak = anc ar = ar = e. Por lo tanto, r = 0 y n es divisor de k. El rec´ıproco es trivial. ii. ord(a) = 1 ⇐⇒ a1 = a = e ⇐⇒< a >= e. iii. Si an = e, entonces (an )−1 = (a−1 )n = e−1 = e. ]

2.5.2.

Consecuencias del teorema de Lagrange

Corolario 2.5.1 Para todo g ∈ G con G finito el ord(g) es un divisor de |G|. Demostraci´ on. Esto es debido a que el ord(g) = | < g > | y por el teorema de Lagrange si un grupo es finito, el orden de un subgrupo es divisor del orden de grupo. ] Corolario 2.5.2 Sea G un grupo de orden p 6= 1 primo. Entonces, G es c´ıclico. Demostraci´ on Sea g ∈ G y g 6= e. Como los u ´nicos divisores de p son 1 y p, si ord(g) = 1 entonces g = e. Por lo tanto ord(g) = p y G =< g > .