Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO EN ARECIBO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PROFA. YUITZA T. HUMARÁN MARTÍNEZ ADAPTADA POR PROFA. CAROLINE RODRÍGUEZ MARTÍNEZ

¿Qué es un conjunto?  Un conjunto es una colección bien definida

de objetos.  “Bien definida” se refiere a que para cualquier objeto que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto.  Una colección no está bien definida si el criterio que determina si un elemento pertenece o no al conjunto depende de opiniones o preferencias.

Ejemplos  Conjuntos bien definido  El

conjunto de las vocales en el idioma español.

?

 Conjunto que NO está bien definido  El ?

conjunto de los mejores sabores de mantecado

Notación de lista para conjuntos  Los objetos que forman un conjunto se llaman los

elementos del conjunto.  Un conjunto se puede representar enumerando sus elementos separados por comas y entre llaves.  Esta notación se conoce como forma de listado o lista. Por ejemplo: 1. Los elementos del conjunto de las vocales del alfabeto español son {a, e, i, o, u}. 2. Los elementos del conjunto de los colores primarios se son {azul, rojo, amarillo}.

Notación de elementos  Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras 

 



minúsculas. Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, y C, para representar conjuntos. Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es un elemento de A (∈ significa “pertenece al conjunto”). Para un conjunto A, escribimos a ∉ A si a NO es un elemento de A (∉ significa “NO pertenece al conjunto”). Por ejemplo:  Sea

B = {☼, ♫, ☺, □} entonces,

 ☺___

B  @ ___B

Conjunto vacío  El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que no

contiene elementos.  Se denota como {} o Ø.  Por ejemplo:  El conjunto de “los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra, la luna.” es un ejemplo de un conjunto vacío. ?

Conjuntos numéricos

Naturales  Números de conteo

{1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

 A este conjunto se le asigna la letra N.

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Cardinales •

•

•

Son utilizados para medir el tamaño de los conjuntos, o sea, el número de elementos en un conjunto dado. Se compone de los números naturales + cero En inglés el conjunto se llama “Whole Numbers” por lo que algunos le designan la letra W. {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, …}

Opuestos de naturales Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero. Por ejemplo:

1 

0

(-5) + ?

=0

2

0

(-10) + ?

=0

En general, cualquier número real más su opuesto es igual a cero. Para n un número real, n + (─n ) = ─n + n = 0.

Enteros  La unión de los naturales, cero y los opuestos

de los naturales {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …} es el conjunto de los enteros.  A este conjunto se le asigna la letra Z.

Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}

Sub-conjuntos de los Enteros   implica “es subconjunto de”  El conjunto de los naturales es subconjunto

del conjunto de los enteros, N  Z, ya que todos los elementos de N están en Z.  El conjunto de los cardinales es un subconjunto de Z, W  Z.

Más sub-conjuntos de los Enteros  Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, …} se le llama el

conjunto de los enteros no negativos pues no contiene enteros negativos.  Al conjunto {…, −4, −3, −2, −1, 0} se le llama el conjunto de los enteros no positivos pues no contiene elementos positivos.  El conjunto de los enteros positivos es {1, 2, 3, 4, …} y se denota 𝑍 +  El conjunto de los enteros negativos es {…, −4, −3, −2, −1} y se denota 𝑍 − .

Naturales N={1, 2, 3, 4, …}

{0}

Enteros, Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

{-1, -2, -3, …}

Racionales  A este conjunto se le asigna la letra Q.

𝑝 𝑄= | 𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑍 𝑦 𝑞 ≠ 0 𝑞  Este conjunto está compuesto por los enteros,

las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales.

Racionales  Ejemplos:

3 5

 Fracciones  de 4 4    naturales  11 11  5 5  8 8

 Opuestos de  fracciones de  2 2  naturales  9 9 

8  4 2

  50  5 10 Enteros  9 3 3  0 0  7

Tipos de números racionales  Cualquier número racional se puede

representar con uno de dos tipos de números decimales: decimal exacto 3 Ejemplo: 1  0.25 = 0.375 4

8

decimal periódico Ejemplo: 1  0.333...  0. 3 3

5 = 0.41666 … = 0.416 12

Naturales N={1, 2, 3, 4, …}

{0}

{-1, -2, -3, …}

Enteros, Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Opuestos de fracciones de naturales

Fracciones de naturales

Racionales

Irracionales  Es un número que NO se puede representar como

el cociente de dos enteros, es irracional (I).  La representación decimal de los números

irracionales a) b)

nunca termina (no es exacta) nunca se repite (no es periódica).

Irracionales  Ejemplos

Comparación entre un número racional y uno irracional 2 1.4142135623730950488 01688724209698078569 671875376948073176679 73799073247846210703 88503875343276415727 35013846230912297024 92483605585073721264 412149709993583141322 26659275055927557999 505011

5 = 7 0.71428571428571428571 428571428571428571428 571428571428571428571 428571428571428571428 571428571428571428571 428571428571428571428 571428571428571428571 428571428571428571428 571428571428571428571 428571428571428571428 5…

Reales  Es la unión del conjunto de los números

racionales y del conjunto de los números irracionales.  Básicamente, es el conjunto que contiene

todos los números que usamos en nuestro diario vivir para hacer cómputos.  Se denota con R.

Naturales N={1, 2, 3, 4, …}

{0}

{-1, -2, -3, …}

Enteros, Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} Opuestos de fracciones de naturales

Fracciones de naturales

Racionales, Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0} Irracionales

Reales, R

Otro diagrama, R Reales, R Racionales, Q



0.25

2 9

Irracionales

π 3 5

Enteros, Z

-7

Naturales, N

0. 3

0

3

-2

7 1

2

4

2

e

Todo número real es un número racional o irracional.

¿Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto?

A=

4 0, −𝜋, , 2 3

3, 1.414,

NATURALES: 7 ENTEROS: RACIONALES: IRRACIONALES:

REALES:

2 , 12. 3, 7, −23 7

Forma constructiva o generadora para nombrar conjuntos

Notación constructiva para conjuntos  Otra representación para un conjunto es la forma

constructiva o generadora de conjuntos.  En esta forma se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos.  Al igual que en forma de listado se utilizan llaves.  Ejemplo:  El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en notación constructiva se puede escribir de varias formas, A = { a | a es un natural menor que 11} A = { a | a es un natural menor o igual a 10} A = {a∈N | a < 11} A = {a∈N | a ≤ 10}

Notación constructiva Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, 100} en notación constructiva.

De notación constructiva a lista  Ejemplo: Escriba el conjunto “los naturales

entre 5 y 10” en notación constructiva usando notación de conjuntos y en forma de lista:  Solución:

La recta numérica real  Los números reales se pueden localizar en una

recta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número.

Práctica  Localice los números reales que se muestran en la

recta numérica.

Solución:

−

𝟏𝟓 , 𝟒

−

𝟓 , 𝟑

𝟓. 𝟐𝟓,

𝟕 , 𝟔

𝟐 𝟑

Notación de intervalo

Subconjuntos de los números reales  Subconjuntos de los Reales se pueden

representar con notación de intervalo 

Un intervalo abierto representa un subconjunto de reales que está entre dos números, pero sin incluirlos.



Ejemplo:

Intervalo cerrado 

Un intervalo cerrado representa un subconjunto de reales entre e incluyendo dos números.

Ejemplo:

Intervalos infinitos 

Un intervalo infinito representa un conjunto de reales mayores que un número dado.

Ejemplo:

Intervalos infinitos 

Un intervalo infinito representa un conjunto de reales menores que un número dado.

Ejemplo:

Práctica 

Complete la tabla.

Exprese cada intervalo en notacion generadora y construya la gráfica

Práctica

𝑎) {𝑥|𝑥 ≥ 5} en notación de intervalo

𝑏) 𝑦 0 < 𝑦 ≤ 10 en notación de intervalo

𝑐) 𝑉 = “naturales menores que 20 pero mayores o iguales a 3”, en notación generadora de conjuntos

Práctica  Localice los números reales que se muestran en la

recta numérica.

−

𝟏𝟓 , 𝟒

−

𝟓 , 𝟑

𝟓. 𝟐𝟓,

𝟕 , 𝟔

𝟐 𝟑