Tema 1

Conjuntos y proposiciones ´Indice del Tema 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Introducci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proposiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . Negaci´ on de proposiciones. . . . . . . . . . . Implicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . Subconjuntos y condiciones. . . . . . . . . . Implicaciones rec´ıprocas y contrarrec´ıprocas. Uni´ on de conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . Intersecci´ on de conjuntos. . . . . . . . . . . Diferencia de conjuntos. . . . . . . . . . . . . Teoremas y demostraciones. . . . . . . . . .

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Introducci´ on.

El an´alisis matem´atico real est´a basado en el conjunto de los n´ umeros reales. Ese es el motivo por el que nuestro curso tendr´a como primer objetivo el estudio de sus propiedades, el cual no debes pasar por alto sino, muy al contrario, debes esforzarte para conseguir manejar sus propiedades con destreza. Puedes que est´es pensando en que lo que te pido es que memorices unas pocas de propiedades o procedimientos. No es eso. Debemos cambiar nuestro concepto de ”estudiar”. Dici´endolo de una forma simple, quiz´a demasiado, de lo que se trata es de lo siguiente: vamos a partir de unas pocas de afirmaciones que consideraremos verdaderas (axiomas) y definiremos algunos conceptos. A partir de ellos comenzaremos a realizar deducciones para llegar a un conocimiento lo m´as exhaustivo posible de los n´ umeros reales. Para llevar a cabo ese ”estudio” necesitaremos, por un lado, disponer de un lenguaje en el cual vamos a hacer aquellas afirmaciones y definiciones y, por otro, debemos tener muy claro lo que significa aquello de deducir. Ese lenguaje al que me refiero ser´a el que nos aporta la teor´ıa de conjuntos y para la deducci´on usaremos la regla de la l´ogica. Pero ni lo uno ni lo otro vamos a estudiar aqu´ı a pesar de ser nuestro punto de partida; nos limitaremos a hacer una presentaci´on intuitiva de lo que necesitaremos sin pretensiones de formalizaci´on.

TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

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Conjuntos.

Partiremos de los conceptos primitivos de conjunto y elemento. Cuando escribimos x ∈ A indicamos con ello que x es un elemento del conjunto A (x pertenece a A) y escribimos x ∈ / A para indicar que x no es un elemento de A (x no pertenece a A). Ning´ un conjunto puede ser elemento de ´el mismo; esto es, A ∈ A es siempre falso si A es un conjunto y, por tanto, A ∈ / A es verdadero. Con el s´ımbolo ∅ representamos al conjunto que no posee ning´ un elemento y que llamaremos conjunto vac´ıo. Un conjunto est´a determinado cuando conocemos sus elementos y estos elementos pueden venir dados de dos formas: • por extensi´on, escribiendo entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, A = {0, 2, 4, 6, 8}. Lo leeremos as´ı: ”A es el conjunto formado por los elementos 0, 2, 4, ...” • por comprensi´on, dando una propiedad caracter´ıstica de los elementos del conjunto. Por ejemplo, A = {x : x es un entero no negativo, m´ ultiplo de dos y menor que 10}. Lo leeremos as´ı: ”A es el conjunto formado por los elementos x tales que x es un entero no negativo, m´ ultiplo de dos y menor que 10. Ejercicio I.1. Escribe por extensi´on el conjunto P = {z : z es un entero no negativo, m´ ultiplo de dos y de tres y menor que 8}. Ejercicio I.2. Escribe por comprensi´on el conjunto M = {1, 3, 5, 7}.

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Proposiciones.

Haremos muchas afirmaciones como las que venimos haciendo, por ejemplo, ”8 es un entero no negativo, m´ ultiplo de dos” o bien, ”13 es divisible por dos” Estas afirmaciones ser´an llamadas proposiciones y podr´an ser de tres tipos distintos y mutuamente excluyentes: verdadera es una afirmaci´on que, o bien es un axioma o se deduce de otras verdaderas. falsa es una afirmaci´on cuya negaci´on resulta una proposici´on verdadera. Quico Ben´ıtez

´ DE PROPOSICIONES. 4. NEGACION

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indecidible es una afirmaci´on que no se deduce de los axiomas y que, de hecho, ni esa proposici´on ni su negaci´on se contradicen con los axiomas. La teor´ıa de conjuntos la hemos aprendido en nuestra ´epoca escolar de forma muy intuitiva y los axiomas no fueron dados de forma expl´ıcita. Tampoco creemos que ´este sea el momento, pero para que te sirva de ejemplo, algunos axiomas son ”existe el conjunto vac´ıo”, o tambi´en ”un conjunto no puede ser elemento de s´ı mismo”. Esas proposiciones son, por tanto, verdaderas. Otros axiomas de la teor´ıa de conjuntos se refieren a la existencia de conjuntos como la uni´on, intersecci´on, etc. que veremos m´as adelante. Tendremos que dar muchos axiomas y definiciones antes de poder afirmar que 1 + 1 = 2, as´ı que necesitaremos usar los conocimientos que tenemos de nuestros estudios anteriores para poder adornar los contenidos con ejemplos. La veracidad o no de las proposiciones que daremos van a depender entonces de nuestros conocimientos y no del desarrollo de nuestro tema. Seamos pacientes. Eso s´olo va a ocurrir ahora, en estos preliminares y con fines puramente did´acticos. De hecho ya hemos puesto ejemplos usando n´ umeros, el concepto de m´ ultiplo, etc.. Seguiremos usando proposiciones que espero no tengas duda de si son verdaderas o falsas (las indecidibles no est´an a nuestro alcance, olv´ıdalas por el momento).

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Negaci´ on de proposiciones.

Si una proposici´on es verdadera y la niegas resulta otra proposici´on que ser´a falsa y si fuera falsa al negarla resulta otra verdadera. Esto te parecer´a claro, pero no siempre es f´acil hacer negaciones. Considera la afirmaci´on ”todas las luces del aula est´an encendidas”. ¿Cu´al es la afirmaci´on contraria?; esto es, ¿cu´al es su negaci´on? El camino f´acil ser´ıa colocar un ”no” por delante y ya est´a. Bueno esto es una posibilidad, pero necesitamos ir m´as all´a. Lo mejor que uno puede hacer para encontrar la negaci´on es convertir en pregunta la afirmaci´ on que estudiamos: ¿todas las luces del aula est´an encendidas? Miro las luces y contesto s´ı o no. ¿Cu´ando digo que no? Cuando veo alguna luz no encendida. De esta forma he encontrado la negaci´on: alguna luz del aula no est´a encendida Como sabemos que lo contrario de estar encendida es estar apagada, podemos decirlo tambi´en as´ı: alguna luz del aula est´a apagada Muchas de las proposiciones que usaremos tendr´an esa estructura: ”todos verifican la propiedad P ”, su negaci´on ser´a ”existe alguno que no verifica P ”, o bien, ”existe alguno que verifica no P ”. Y si negamos frases con esta estructura obtendremos la anterior. Veamos algunos ejemplos (no pienses en si las proposiciones son o no verdaderas, no te fijes en eso ahora): Introducci´on al an´alisis matem´atico

TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

• x ≤ 3,

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x ∈ A.

En esta proposici´on se dice que x es menor o igual que 3 cuando x ∈ A. En otras palabras, todos los elementos de A son menores o iguales que 3. Como ves, esta frase tiene la estructura anterior, su negaci´on es ”hay alg´ un elemento de A que no es menor o igual que 3”. Pero esto mismo se puede decir de varias maneras, por ejemplo, si un n´ umero no es menor o igual que 3 entonces debe ser mayor, luego su negaci´on puede escribirse as´ı: existe x ∈ A tal que x > 3. • Dado ε > 0, se verifica Kε ∈ F . Aqu´ı se dice que sea cual sea ε > 0, resulta que Kε (no s´e lo que es ni me importa) est´a en el conjunto F (que tampoco s´e lo que es). Ahora al negarla debo decir que hay alg´ un ε > 0 para el que no se verifica lo otro. As´ı que digo: ”existe un ε > 0 tal que Kε ∈ / F” • Existe un n´ umero real α tal que 2α = 8. Vamos a negarla. Aqu´ı se dice que hay alg´ un n´ umero real que verifica algo, la negaci´on es decir que ninguno lo verifica; o sea, que todos verifican lo contrario: ”todo n´ umero real α verifica 2α 6= 8”; o mejor, ”2α 6= 8, α ∈ R” Ejercicio I.3. Niega las siguientes proposiciones (olv´ıdate de si son o no verdaderas): (a) Todos los n´ umeros naturales son pares. (b) Para cada x ∈ T se verifica x2 > 5. √ (c) x2 + 1 ∈ K, x ∈ S. √ (d) Existe r ≤ 0 para el que −r = 0. (e) |a| > 0 si a ∈ A. (f) Dado x ∈ R+ se verifica que

√

x es positivo .

(g) Todos los elementos de Z son n´ umeros enteros. (h) Hay un n´ umero racional q que verifica que q ∈ / R. (i) a · e = a (a ∈ G). (j) Existen n´ umeros pares n para los que n3 + 1 es par. √ (k) Para ning´ un n´ umero impar q se verifica que q es impar. (l) Existe un δ > 0 tal que |x − 2| > δ. No deber´ıas seguir si no has realizado todas las anteriores negaciones correctamente. Demos ahora un paso m´as y neguemos proposiciones con estructuras similares a las siguientes: — Para cada. . .(lo que sea) . . .existe . . .(lo que sea) . . .que verifica . . .(lo que sea). . . Quico Ben´ıtez

´ DE PROPOSICIONES. 4. NEGACION

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— Existe. . .(lo que sea) . . .tal que para cada . . .(lo que sea) . . .se verifica . . .(lo que sea). . . C´omo veremos, al negar una de ellas se obtiene la otra. Es necesario hacer un par de observaciones. La primera es que ese tipo de proposiciones no van a aparecer siempre exactamente as´ı, en ocasiones en vez de usar, por ejemplo, ”para cada”, diremos ”para todos” o tambi´en, ”dado...”. En fin, creo que esto ya lo habr´as observado en los ejercicios anteriores. La segunda es que estas frases se componen de dos de las que has negado en los ejercicios, as´ı que para negarlas debes seguir el mismo esquema. Ve´amoslo en unos ejemplos. • Para cada x ∈ P , existe un δ > 0 tal que |x − 2| > δ. F´ıjate en su estructura: se dice que todos los elementos de P verifican ”algo”, ¿y qu´e es ese algo?, pues que existe un δ > 0 tal que |x − 2| > δ. La negaci´on de la frase: ”todos los elementos de P verifican algo” ser´a ”existe un elemento de P que no verifica ese algo”. Recordemos que ese ”algo” es que ”existe un δ > 0 tal que |x − 2| > δ”. Si no verifica esto verificar´a lo contrario as´ı que neguemos esta u ´ltima frase (observa el ejercicio anterior): para cada δ > 0 se verifica |x − 2| ≤ δ. Por tanto, la negaci´on de la proposici´on dada podr´ıa ser: existe x ∈ P tal que para cada δ > 0 se verifica |x − 2| ≤ δ. O, en otro estilo, existe x ∈ P tal que |x − 2| ≤ δ, para δ > 0. Como ves esta proposici´on tiene la otra estructura. • Existe e ∈ G que verifica a · e = a (a ∈ G). Su estructura es: existe un elemento en G que verifica ”algo”, y ese ”algo” es que a · e = a para cada a ∈ G. Si negamos esa estructura nos dar´a que cualquier elemento de G verifica lo contrario (no verifica ese algo). Neguemos entonces a · e = a (a ∈ G): ”existe a ∈ G tal que a · e 6= a”. La negaci´on de la proposici´on dada quedar´a: Para cada e ∈ G existe a ∈ G tal que a · e 6= a. Ahora ya puedes imaginarte que aparecer´an proposiciones con otras estructuras que espero ya puedas negarlas. Por ejemplo, las del tipo: Para cada. . .(lo que sea) . . .se verifica. . .(lo que sea). . .para cada. . .(lo que sea). . . Existe. . .(lo que sea) . . .tal que existe . . .(lo que sea) . . .que verifica . . .(lo que sea). . . Tambi´en puedes tener proposiciones compuestas por tres o m´as de las que has visto, entre los siguientes ejercicios te topar´as con alguna. Introducci´on al an´alisis matem´atico

TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

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Ejercicio I.4. Niega las siguientes proposiciones: (a) Dado x ∈ R existe y ∈ R tal que x + y = 0. (b) Existe u ∈ R tal que xu = x, (x ∈ R). (c) Para cada a ∈ A existe un b ∈ B tal que a = b. (d) |a + b| ≤ |a| + |b|, a, b ∈ R. 1 (e) Para cada γ > 0 existe un natural n0 tal que < γ, n ≥ n0 . n (f) Existe un natural M tal que para cada n0 existe n ≥ n0 con |n2 | ≤ M . (g) Para cada h ∈ H, existe un n ∈ N tal que nm > h, para cada m ∈ M . (h) Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que si |x| < δ entonces |x2 − x| < . 1 < ε, para todo n ≥ n0 . n x (j) Para todo x ∈ R y n ∈ N existe δ > 0 tal que < δ. n x (k) Dados x ∈ R y δ ∈ R+ existe n ∈ N tal que < δ. n (i) Para cada ε > 0 existe un natural n0 tal que

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Implicaciones.

Considera dos proposiciones p y q (no olvides que son dos afirmaciones). Es corriente decir que ”q se deduce de p”, o tambi´en que ”p implica a q”, o tambi´en ”si p entonces q” y en el lenguaje formal se escribe as´ı: p⇒q ¿Pero cu´ando debemos hacer cualquiera de esas afirmaciones? No se te escapar´a que estamos hablando de una proposici´on que denotamos por p ⇒ q y que leemos con cualquiera de las frases anteriores. Como tal, podremos hacerla cuando queramos, otra cosa es que sea verdadera o falsa. Pongamos un ejemplo, sup´on que p es la proposici´on referida a un n´ umero natural x que dice ”x es un n´ umero par” Sup´on tambi´en que q es la proposici´on ”x es m´ ultiplo de 6” Hagamos ahora la afirmaci´on ”p implica q”, ¿es verdadera o falsa? En esa afirmaci´on lo que decimos es que si x es par entonces x es m´ ultiplo de 6. Pero, conozco casos en los que esa afirmaci´on no es verdadera; por ejemplo, 8 es un n´ umero natural que es par y sin embargo no es m´ ultiplo de 6. As´ı que podemos afirmar que aquella implicaci´on no es verdadera; esto es, de p no se deduce q. Analicemos entonces cu´ando una implicaci´on es verdadera, de tal modo, que cuando estemos en situaciones algo complicadas podamos usar alg´ un mecanismo para comprobar la veracidad de nuestras deducciones o implicaciones. Quico Ben´ıtez

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6. SUBCONJUNTOS Y CONDICIONES.

¿Cu´al ha sido el motivo por el que hemos afirmado que p ⇒ q es falsa? Lo hemos hecho porque hemos encontrado un caso en el que p es verdadera y q falsa. Pues tomemos entonces esta idea como referencia para afirmar que: Una implicaci´on p ⇒ q es verdadera si q es verdadera cuando p es verdadera. Observa que si p es falsa no importa lo que ocurra con q, en este caso la implicaci´on es verdadera. ¿Te parece esto extra˜ no? Vamos a verlo desde otro punto de vista o, m´as bien, con otro lenguaje m´as cotidiano. La implicaci´on p ⇒ q se cumple (es verdadera) cuando al cumplirse p tambi´en se cumple q, ¿no es esto? Pues bien, supongamos que dices a un compa˜ nero: – Si Rosa va al cine yo la ver´e esta tarde. Esta afirmaci´ on es una implicaci´on (Rosa va al cine implica que yo la veo esta tarde) de la que vamos a suponer que es verdadera; esto es, t´ u no has mentido: tienes razones para asegurar que eso es verdad. Sup´on que sabemos que Rosa no ha ido al cine, entonces la proposici´on ”Rosa va al cine” es falsa, ahora te da igual si la ves o no esta tarde (no olvides que puedes verla en cualquier otra parte menos en el cine, claro). T´ u implicaci´on es verdadera. Observa tambi´en otra cosa que m´as adelante trataremos: si t´ u no la ves esta tarde entonces Rosa no ha ido al cine. Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si p ⇒ q y q ⇒ p, en lenguaje formal se escribe: p

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⇔

q

Subconjuntos y condiciones.

Volvamos a nuestros conjuntos. Si A y B son dos conjuntos escribiremos A ⊂ B para decir que los elementos de A son tambi´en elementos de B; es decir, si x ∈ A entonces x ∈ B. Formalmente, podemos escribirlo as´ı: x∈A ⇒ x∈B En tal caso se dice que A est´a incluido o contenido en B o tambi´en que A es subconjunto de B o que A es parte de B. Dos conjuntos A y B son iguales si A ⊂ B y B ⊂ A; esto es, si tienen los mismos elementos. Hemos dicho que muchos conjuntos vendr´an determinados por comprensi´on a partir de una propiedad P que los caracteriza: A = {x : x verifica P }. Esto significa que si un elemento a verifica P ; esto es, la afirmaci´on ”a verifica P ” es verdadera, entonces a ∈ A y si es falsa entonces a ∈ / A. Sup´on que A viene dado por la propiedad P y el conjunto B viene dado por la propiedad Q. Si la implicaci´on ”x verifica P entonces x verifica Q” es verdadera, decimos tambi´en en este caso que la condici´on o propiedad P implica la condici´on Q y lo escribimos P ⇒ Q, significa que si x ∈ A (ya que verifica P ) entonces x ∈ B (puesto que entonces x verifica Q). As´ı que A ⊂ B. Considera en el conjunto de los n´ umeros naturales la condici´on ”ser par” y ll´amale Q y considera la condici´ on ”ser m´ ultiplo de 6” y ll´amale P . Tomemos los conjuntos A = {x : x verifica P }

y

B = {x : x verifica Q}.

Introducci´on al an´alisis matem´atico

TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

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Ya que P implica Q; es decir, ser m´ ultiplo de 6 implica ser par, resulta que A ⊂ B. Que es una forma de escribir que los m´ ultiplos de 6 son parte de los pares. Cuando una condici´on P implica una condici´on Q solemos decirlo tambi´en de cualquiera de las dos siguientes formas: • ”P es condici´on suficiente para Q” • ”Q es condici´on necesaria para P ” En el ejemplo anterior podemos decir que ser m´ ultiplo de 6 es suficiente para ser par o que ser par es necesario para ser m´ ultiplo de 6. Cuando la condici´on P implica la condici´on Q y tambi´en Q implica P , decimos que ambas condiciones son equivalentes y tambi´en solemos decirlo as´ı: • ”P se verifica si y s´olo si se verifica Q” • ”P es condici´on necesaria y suficiente para Q” En el caso de que P sea la condici´on que define el conjunto A y Q la que define B, y si P y Q son equivalentes entonces A = B. Ejercicio I.5. Enuncia las condiciones que intervienen en las siguientes implicaciones y se˜ nala cu´al es necesaria para cu´al y cu´al suficiente: (a) Si a ∈ M entonces a · a = a. (b) Si para cada x ∈ T se verifica x2 > 5 entonces 1 ∈ / T. (c) Si existe un δ > 0 tal que |x − 2| > δ entonces x 6= 2. (d) Si para todo z ∈ K es |z − 5| > 2 entonces z ∈ / P. 1 (e) Si para cada ε > 0 existe n ∈ N tal que < ε entonces para cada M < 0 existe n ∈ N tal que n −n < M . n (f) es un n´ umero natural si y s´olo si n es par. 2

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Implicaciones rec´ıprocas y contrarrec´ıprocas.

Si la condici´on P implica la condici´on Q, llamamos su rec´ıproca a la implicaci´on Q implica P . Por ejemplo, la rec´ıproca de la implicaci´on ”si n es un n´ umero natural par entonces 2n es m´ ultiplo de 4” es ”si 2n es m´ ultiplo de 4 entonces n es un n´ umero natural par” Una implicaci´on puede ser verdadera y sin embargo su rec´ıproca no serlo, como ocurre en el ejemplo anterior; ya que 23 es m´ ultiplo de 4 y sin embargo 3 no es par. Quico Ben´ıtez

´ DE CONJUNTOS. 8. UNION

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Se denomina contrarrec´ıproca de la implicaci´on ”P implica Q” a la implicaci´on ”no Q implica no P ”. Para escribir la contrarrec´ıproca de la implicaci´on del ejemplo anterior tendremos que negar las dos proposiciones que intervienen: • La negaci´on de ”n es un n´ umero natural par” ser´a ”n no es un n´ umero natural par”. • La negaci´on de ”2n es m´ ultiplo de 4” es ”2n no es m´ ultiplo de 4”. La contrarrec´ıproca quedar´a entonces ”si 2n no es m´ ultiplo de 4 entonces n no es un n´ umero natural par”. Algo que nos ser´a de gran utilidad para realizar demostraciones (cadena de deducciones) de implicaciones es el hecho de que una implicaci´on (no olvides que es una proposici´on) es equivalente a su contrarrec´ıproca; en otras palabras, una implicaci´on es verdadera si y s´olo si lo es su contrarrec´ıproca. Ejercicio I.6. Escribe la rec´ıproca y contrarrec´ıproca de cada una de las implicaciones del u ´ltimo ejercicio.

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Uni´ on de conjuntos.

Dados dos conjuntos A y B se llama uni´on de A y B, y se escribe A ∪ B, al conjunto formado por los elementos que est´an en A o en B: A ∪ B = {x :

x ∈ A o x ∈ B}

Observa que x ∈ A es una proposici´on, si adem´as el conjunto A viene definido mediante una condici´on P , decir x ∈ A es lo mismo que decir que x verifica P . Por otro lado, x ∈ B es otra proposici´on, que, si adem´as B viene definido mediante la condici´on Q, decir x ∈ B es lo mismo que decir que x verifica Q. ¿Cu´al ser´a entonces la condici´on que define el conjunto A ∪ B? Seg´ un la definici´on de la uni´on x ∈ A ∪ B significa que x ∈ A o x ∈ B, as´ı pues, x verifica P o Q. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Si A = {x ∈ N : x es m´ ultiplo de dos} y B = {x ∈ N : x no es m´ ultiplo de tres} entonces A ∪ B = {x ∈ N : x es m´ ultiplo de dos o no es m´ ultiplo de tres}. Creo que te vendr´ıa bien dar algunos elementos de B. Y si un elemento x no est´a en la uni´on, ¿qu´e verifica? Si x ∈ / A ∪ B entonces es falsa la afirmaci´ on ”x verifica P o Q”; esto es, x no puede verificar ni P ni Q. La condici´on que verifica x ser´a entonces: ”x no verifica P y no verifica Q”. O lo que es lo mismo ”x verifica no P y verifica no Q” Introducci´on al an´alisis matem´atico

TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

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Como ves, si x ∈ / A ∪ B entonces x ∈ /Ayx∈ / B. Esta observaci´on nos sirve para tener claro como negar proposiciones en las que se afirma que se verifica una u otra cosa. Su negaci´on ser´a que no se verifica ni la una ni la otra. Ejercicio I.7. Niega las siguientes proposiciones: (a) Si x ∈ N entonces x es par o x es impar. (b) Para cada n´ umero real α se verifica que

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√

α es un n´ umero real o

√

−α es un n´ umero real.

Intersecci´ on de conjuntos.

Dados dos conjuntos A y B se llama intersecci´ on de A y B, y se escribe A ∩ B, al conjunto formado por los elementos que est´an en A y en B:

A ∪ B = {x :

x ∈ A y x ∈ B}

Como antes, si el conjunto A viene definido mediante una condici´on P y, por otro lado, B viene definido mediante la condici´on Q, entonces la condici´ on que define el conjunto A ∩ B ser´a que x verifica P y Q. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} entonces A ∩ B = {2, 3}. Si A = {x ∈ N : x es m´ ultiplo de dos} y B = {x ∈ N : x no es m´ ultiplo de tres} entonces A ∩ B = {x ∈ N : x es m´ ultiplo de dos y no es m´ ultiplo de tres}. De nuevo, te vendr´ıa bien dar algunos elementos de B. Si x ∈ / A ∩ B entonces es falsa la afirmaci´on ”x verifica P y Q”; esto es, x no verifica P o bien no verifica Q (puede que ninguna de las dos). La condici´on que verifica x ser´a entonces: ”x no verifica P o no verifica Q”. O lo que es lo mismo ”x verifica no P o verifica no Q” Como ves, si x ∈ / A ∩ B entonces x ∈ / A o x ∈ / B. En esta ocasi´on, esto nos va a servir para negar proposiciones en las que se afirma que se verifican simult´aneamente dos condiciones. Su negaci´on ser´a que no se verifica alguna de ellas. Ejercicio I.8. Niega las siguientes proposiciones: (a) Si x ∈ N entonces x es par y divisible por tres. (b) Para cada n´ umero real α se verifica que

√

α es un n´ umero real y α2 ≥ 0.

Quico Ben´ıtez

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10. DIFERENCIA DE CONJUNTOS.

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Diferencia de conjuntos.

Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia del conjunto A menos el B (o tambi´en, complemento de B en A), y se escribe A \ B, al conjunto formado por los elementos que est´an en A y no est´an en B: A \ B = {x :

x∈Ayx∈ / B}

Si el conjunto A viene definido mediante una condici´on P y, por otro lado, B viene definido mediante la condici´on Q, entonces la condici´on que define el conjunto A \ B ser´a que x verifica P y no Q. Si A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 4, 5} entonces A \ B = {1}. Si A = {x ∈ N : x es m´ ultiplo de dos} y B = {x ∈ N : x no es m´ ultiplo de tres} entonces A \ B = {x ∈ N : x es m´ ultiplo de dos y m´ ultiplo de tres}. De nuevo, te vendr´ıa bien dar algunos elementos de B. Si x ∈ / A \ B entonces es falsa la afirmaci´ on ”x verifica P y no Q”; esto es, x no verifica P o bien verifica Q. La condici´on que verifica x ser´a entonces: ”x no verifica P o verifica Q”. O lo que es lo mismo ”x verifica no P o verifica no Q”

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Teoremas y demostraciones.

Como te dije al comienzo, vamos a partir de unos axiomas (proposiciones verdaderas) a partir de los cuales deduciremos otras proposiciones que ser´an igualmente verdaderas. Todas estas proposiciones est´an formadas b´asicamente por implicaciones (o dobles implicaciones) y, por tanto, tendr´an la estructura t´ıpica: ”si tal cosa es cierta entonces se verifica tal otra”. Estas proposiciones ser´an demostradas a partir de los axiomas y de las proposiciones que, por haber sido demostradas antes, sean tambi´en verdaderas. En definitiva, ver´as que las proposiciones (resultados) las expondremos de la siguiente forma: ´ n 11.1 Hip´ Proposicio otesis ( Dados tal y cual, si esto y lo otro) entonces tesis ( se verifica tal y cual). ´ n Aqu´ı empezaremos a probar que la proposici´on es verdadera. Demostracio Proposiciones de este tipo reciben el nombre gen´erico de teoremas, en ellos se distinguen el enunciado, formado por las hip´otesis y la tesis, y la demostraci´on. Una proposici´on no tiene el rango de teorema si no ha sido demostrada. Sin embargo, es usual restringir la palabra teorema s´olo a aquellas proposiciones con cierta importancia dentro del desarrollo matem´atico que se est´e realizando, a pesar de que, como he dicho, todas ellas ser´ıan teoremas. Incluso si dichos resultados tienen bastante importancia, suelen acompa˜ narse Introducci´on al an´alisis matem´atico

TEMA 1. CONJUNTOS Y PROPOSICIONES

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esos teoremas con el de uno o m´as matem´aticos que lo establecieron o con alguna frase que describe su contenido; as´ı por ejemplo, recordar´as el teorema de Pit´agoras o tambi´en el teorema de los incrementos finitos. Algunas proposiciones se deducen directamente de otras, casi sin demostraci´on, en tales casos dichas proposiciones se llaman corolarios. Por otra parte, en ocasiones, se demuestran proposiciones que son usadas para demostrar una o m´as proposiciones, y se les da el nombre de lema. El objeto de los lemas es no desviar la atenci´on del lector de los pasos fundamentales en la demostraci´on de un teorema. Tampoco debemos abusar de esto. En ocasiones se oye decir: en tal sitio aparece una demostraci´on muy cortita de tal teorema. Cuando se le hecha una mirada, vemos que hay demasiados lemas previos. Hablemos ahora de las demostraciones. Como has visto, en general, las proposiciones son implicaciones: si es cierta la proposici´on p (hip´otesis) entonces se verifica q (tesis). y que, como ya dijimos, viene enunciada en el lenguaje de condiciones necesarias o suficientes o ambas. Se usan, b´asicamente, una de las tres siguientes posibilidades para demostrar una implicaci´on: Directamente: partimos de p y vamos usando los axiomas y los teoremas anteriores hasta llegar a q Por el contrarrec´ıproco: partimos de no q y del mismo modo que antes llegamos a deducir no p. Por reducci´ on al absurdo: partimos de p y tambi´en de no q y llegamos a una proposici´on falsa (se contradice con los axiomas o teoremas anteriores). Pero no es posible llegar a una proposici´on falsa a partir de una verdadera, as´ı que el punto de partida (p y no q) es falso, luego o bien p es falso o bien no q es falso. Pero p (hip´otesis) es verdadera por lo que nos quedar´ıa que no q es falsa y, por tanto que q es verdadera. A continuaci´on vamos a usar esas tres posibilidades para demostrar la siguiente: ´ n 11.2 Si A = A ∪ B entonces B ⊂ A. Proposicio ´ n (directamente) Demostracio A partir de la igualdad A = A ∪ B, vamos a probar que B ⊂ A, que, por definici´on, significa que si x ∈ B entonces x ∈ A. Esto es lo que debemos probar. Si x ∈ B, entonces x ∈ A ∪ B (por la definici´on de uni´on), como A = A ∪ B, entonces x ∈ A, como quer´ıamos probar. ´ n (por el contrarrec´ıproco) Demostracio Ahora negamos que B ⊂ A y llegaremos a que A 6= A ∪ B. Supongamos que B no es subconjunto de A, B 6⊂ A, en tal caso es falso que todo elemento de B sea elemento de A, luego existe alg´ un elemento z ∈ B que no est´a en A: z 6∈ A. Pero ese elemento z estar´a en A ∪ B, ya que est´a en B, y no est´a en A, as´ı que A ∪ B y A no pueden ser iguales. ´ n (por reducci´on al absurdo) Demostracio Ahora partiremos de que A = A ∪ B y de que B 6⊂ A. Con esos supuestos vemos que B 6⊂ A y A = A ∪ B luego B 6⊂ A ∪ B, que se contradice con la definici´on de uni´on de conjuntos. Ejercicio I.9. Demuestra cada una las siguientes proposiciones de tres formas diferentes, directamente, por el contrarrec´ıproco y por reducci´on al absurdo: (a) Si A = A ∩ B entonces A ⊂ B. (b) Si A = A \ B entonces A ∩ B = ∅.

Quico Ben´ıtez