12 Conservación de la energía Contenidos del módulo 12.1 Gases ideales 12.2 Teoría cinética corpuscular 12.3 El equivalente mecánico del calor 12.4 Primera ley de la termodinámica

James Prescott Joule (1818-1889). Hizo aportes notables a la física, particularmente en electricidad y termodinámica.

Objetivos del Módulo 1. Establecer una relación entre los fenómenos termodinámicos y la mecánica. 2. Establecer la ley de conservación de la energía como principio fundamental de la física.

Preguntas básicas 1. Si al agitar un líquido se aumenta su energía cinética y, en consecuencia, su temperatura, ¿por qué se utiliza este procedimiento cuando se quiere enfriar una bebida caliente? 2. Si como miembro de un comité asesor para las inversiones en innovaciones tecnológicas de una empresa se solicita su concepto sobre la propuesta de financiar la construcción de una máquina que genere diez veces la energía que consume, ¿cuál sería su opinión? 3. Si en un recinto herméticamente cerrado se pone a oscilar un péndulo que después de cierto tiempo se detiene, ¿cómo se manifiesta la ley de conservación de la energía en las condiciones del recinto? 4. Un cuerpo se desliza con velocidad constante a lo largo de un plano inclinado de 50 cm, desde una altura de 30 cm. Si la masa del cuerpo es de 1 kg, ¿cuántas calorías se generaron al llegar a la base del plano? 5. En el problema anterior demuestre que el trabajo realizado por la fuerza de fricción sobre el cuerpo es igual a la energía disipada en forma de calor. 6. Explique los cambios de estado de la materia a partir del modelo cinético corpuscular. 7. Considere un recipiente lleno de gas a cierta temperatura T que se encuentra en el vacío. ¿Qué sucede con la temperatura del gas si súbitamente se retira una de las paredes del recipiente y el gas se puede expandir libremente? 8. Al soplar el dorso de la mano a muy corta distancia el aire se siente caliente. Explique por qué al retirar el dorso a una distancia de unos 20 cm el mismo chorro de aire se siente a menor temperatura.

Vea el módulo 12 del programa de televisión Física Conceptual

Física Conceptual

129

Capítulo 3: Termodinámica

Introducción Debido a sus características particulares, los gases enrarecidos manifiestan ejemplarmente los fenómenos termodinámicos, que se sintetizan en una ecuación de estado que se puede establecer experimentalmente. La posibilidad de deducir la ecuación de los gases ideales a partir de las leyes de Newton para el movimiento de los cuerpos y del modelo cinético corpuscular hace posible la reducción de la termodinámica a la mecánica y el establecimiento de la ley de conservación de la energía.

130

Módulo 12: Conservación de la energía

12.1 Gases ideales Al estudiar el comportamiento de un gas muy diluido lejos de condiciones extremas de presión y temperatura es posible determinar algunas relaciones sencillas entre la presión, el volumen y la temperatura, que se han denominado leyes de los gases ideales. En el siglo XVII Robert Boyle estableció la ley que hoy lleva su nombre (figura 12.1), de acuerdo con la cual para un gas a temperatura constante la presión y el volumen son inversamente proporcionales, o, PV = constante

(12.1)

P1 P2 V1 V2

P1V1 = P2V2 Figura 12.1. Ilustración de la ley de Boyle

Por su parte, Jacques Alexandre Charles y Joseph Louis Gay-Lussac estudiaron el comportamiento del volumen de un gas en función de la temperatura mientras la presión permanecía constante y pudieron establecer que el volumen es directamente proporcional a la temperatura, relación que se conoce como ley de Charles-GayLussac para los gases ideales (figura 12.2) y que se puede expresar así: V α T + constante

(12.2)

V

T

Figura 12.2. Ilustración de la ley de Gay-Lussac

Si se determinan experimentalmente una serie de valores del volumen de un gas para determinados valores de la temperatura y se representan en una gráfica de V vs T, con la temperatura medida en la escala centígrada para la cual el cero corresponde al punto de congelación del agua y los cien grados al punto de ebullición, los datos experimentales se distribuyen a lo largo de una línea recta. Si la recta se prolonga

Escuche Móvil perpetuo , un programa de la serie radial Historias de la Ciencia.

Física Conceptual

131

Capítulo 3: Termodinámica hasta el punto donde cruza el eje horizontal que representa a la temperatura se obtiene un valor que se denomina cero absoluto de temperatura, ya que para este valor el volumen del gas se hace cero, lo cual nos recuerda que estamos tratando con gases ideales, una de cuyas supuestas características es su indefinida compresibilidad. El valor correspondiente al cero absoluto en la escala centígrada es –273.16 °C. Tomando este valor como el cero de una nueva escala se construye la escala absoluta o escala Kelvin de temperatura. En esta nueva escala el punto de congelación del agua es de 273.16 ºK y el de ebullición es de 373.16 ºK (figura 12.3).

P

T C0 -273 -200

-100

0

100

200

300

Figura 12.3. Diagrama de P vs T con extrapolación

Las relaciones conocidas respectivamente como ley de Charles-Gay-Lussac y ley de Boyle-Mariotte se pueden reunir en una sola expresión conocida como ecuación de estado de los gases ideales, con la temperatura expresada en grados Kelvin: PV = NkT

(12.3)

donde N es el número de moléculas del gas y k es una constante de proporcionalidad conocida como constante de Boltzmann. La ecuación de los gases ideales tiene una aplicación limitada a condiciones de baja presión y baja densidad del gas y a que sea válida la suposición de que las moléculas del gas tienen un volumen despreciable y no interactúan entre sí. Cuando se estudia el comportamiento de un gas a presiones mayores que aquellas para las que se cumple la ecuación (12.3) es necesario tener en cuenta el volumen de cada molécula y las colisiones y las fuerzas de interacción entre ellas, lo que llevó a Johannes Diderik van der Waals a proponer en 1873 una modificación de la ecuación anterior que condujo a la ecuación que lleva su nombre y describe con mejor aproximación el comportamiento de los gases en condiciones reales.

12.2 Teoría cinética corpuscular Aunque la teoría más difundida y aceptada inicialmente sobre el calor suponía que éste era algún tipo de sustancia que se encontraba en la materia ordinaria y que podía fluir y manifestarse como cambios de temperatura, todos los intentos por determinar sus propiedades físicas como su peso, por ejemplo, fracasaron y poco a poco se fue afianzando la idea de que el calor era una forma de movimiento microscópico de la materia. Esta idea sugería algún tipo de estructura y de composición corpuscular o atómica para la materia, en concordancia con los descubrimientos hechos por John Dalton sobre la composición atómica de los elementos químicos y la necesidad de explicar las diferencias en el calor específico de las sustancias. De esta manera surgió el modelo cinético corpuscular que supone que un gas es un

132

Módulo 12: Conservación de la energía agregado de partículas microscópicas que se mueven en todas las direcciones. A partir de este modelo es posible explicar propiedades como la presión de los gases ideales, la cual no sería más que el resultado de múltiples choques elásticos de las partículas del gas contra las paredes del recipiente que lo contiene. Para demostrarlo consideremos un recipiente cúbico de arista l que contiene N partículas de un gas ideal, esto es, de un gas muy diluido (figura 12.4). Si tenemos en cuenta que N puede ser del orden del número de Avogadro, 6,02 x 1023, se comprende que es técnicamente imposible conocer la velocidad de cada una de las partículas, por lo que se puede hacer la suposición de que una partícula típica tiene masa m y velocidad cuadrática media v2.

Figura 12.4. Ilustración de una caja con partículas de gas

La velocidad cuadrática media se puede expresar en términos de sus componentes a lo largo de los ejes x, y, z, como: v2 = vx2 + vy2 + vz2

(12.4)

Puesto que en un gas ideal no hay direcciones preferidas, las componentes vx2, vy2 y v z2 deben ser iguales, de modo que (12.3) se puede escribir: v2 = 3vx2

(12.5)

Ahora consideremos la fuerza que ejerce una partícula al chocar sobre la pared perpendicular al eje x, y tengamos en cuenta que la colisión es elástica, o sea que se conservan la energía cinética y la magnitud de la velocidad. La cantidad de movimiento en la dirección x antes del choque era mvx y después del choque será  mvx, de modo que el cambio de momentum en x será: ∆px = 2mvx

(12.6)

Si el cubo tiene aristas de longitud l, el tiempo que tarda una partícula entre dos choques sucesivos es: 't

2l v x

(12.7)

De acuerdo con la segunda ley de Newton, F 'p 't , y por tanto la fuerza que ejerce una partícula sobre una cara del cubo será: Fx

mv x2 l

(12.8)

Física Conceptual

133

Capítulo 3: Termodinámica

mv

-mv

Figura 12.5. Ilustración del choque de una partícula contra la pared

Se define la presión como la fuerza que se ejerce perpendicularmente sobre una superficie, o fuerza por unidad de área. El área A de una de las caras del cubo es l2 y el volumen V es l3. De acuerdo con (12.4) la velocidad cuadrática en x se puede expresar en términos de la velocidad cuadrática media, de modo que obtenemos la siguiente expresión para la presión p que ejerce una partícula al chocar sobre una de las caras del cubo:

p

1 3 mv 2

l3

(12.9)

Si tenemos en cuenta que hay N partículas, la presión total P será:

P

 N 3 mv 2

V

Puesto que la energía cinética de una partícula es Ek

(12.10)

 1 2 mv , 2

la ecuación

(12.9) se puede escribir como:

PV

 2 3 NEk

(12.11)

En primer lugar debemos notar que NEk corresponde a la energía total del sistema, que, dadas las características del mismo, es una cantidad constante, de modo que de la ecuación (12.11) obtenemos la ley de Boyle tal como se expresa en la ecuación (12.1). Si comparamos la ecuación (12.11) con la ecuación de estado para los gases ideales, ecuación (12.3), encontramos que: Ek = (3/2)kT

(12.12)

La ecuación (12.12) nos permite identificar la temperatura con la energía cinética promedio de las partículas que componen un gas y, por extensión, con las partículas que componen cualquier cuerpo. Es importante tener en cuenta que a la luz del modelo cinético corpuscular la temperatura es una magnitud estadística asociada al movimiento microscópico de la materia. La transferencia de calor entre dos cuerpos

134

Módulo 12: Conservación de la energía que se ponen en contacto no es más que el efecto de las colisiones entre las partículas de las respectivas superficies con el consiguiente intercambio de energía cinética. El equilibrio térmico se alcanza cuando el promedio de la energía cinética es el mismo para las partículas de los dos cuerpos.

12.3 El equivalente mecánico del calor La teoría mecanicista del calor se fue conformando durante la primera mitad del siglo XIX a través del aporte de diversos investigadores, entre los que se encontraban ingenieros constructores de máquinas térmicas, como Nicolas Leónard Sadi Carnot; fabricantes de cañones, como Bejamin Thompon, conde de Rumford; fisiólogos, como Robert Mayer; físicos teóricos, como Hermann Ludwig von Helmholtz; y experimentalistas, como James Prescott Joule. Desde cada una de sus diversas disciplinas y actividades todos llegaron a la conclusión de que el calor era una forma de movimiento microscópico de la materia, en contradicción con la teoría vigente en la época que consideraba que el calor era un fluido imponderable llamado calórico. Lo único que tenían en común las dos teorías enfrentadas era que el calor consistía en una forma de transporte de energía. La prueba decisiva de que el calor era una forma de movimiento fue aportada por las delicadas mediciones que realizó Joule y que permitieron establecer el equivalente mecánico del calor. Al contrario de la apreciación intuitiva de que los líquidos se enfrían cuando se agitan, Joule comprobó lo que ya otros habían supuesto, es decir, que un líquido se calienta al ser agitado, y midió con suficiente precisión a cuánto calor equivale el trabajo mecánico necesario para elevar la temperatura. El experimento realizado por Joule consistió en medir el incremento de temperatura de cierta cantidad de agua contenida en un recipiente térmicamente aislado, después de haber sido agitada por una rueda de paletas accionada por una polea impulsada por un peso que descendía desde una altura conocida (figura 12.6). Si la masa del agua es ma y el incremento de temperatura es 't , sabiendo que el calor específico del agua es 1, el calor que absorbió el sistema es igual a ma 't , de acuerdo con la ley de Black, ecuación (11.12). Si el peso que acciona la polea es mg y desciende desde una altura h, el trabajo realizado sobre el agua al mover las paletas será mgh. Como resultado final del experimento y de una serie de cuidadosas mediciones y después de igualar los valores correspondientes a ma 't y a mgh, se pudo establecer que una caloría equivale a 4.186 joules.

12.4 Primera ley de la termodinámica Teniendo en cuenta que el calor corresponde a un tipo de movimiento microscópico de la materia y que el movimiento de los cuerpos se puede asociar al concepto de energía, es posible generalizar el concepto de energía mecánica que se había definido previamente a partir del movimiento macroscópico y la configuración de los sistemas físicos como E = Ek + Ep, incluyendo el calor en el balance de la energía total del sistema, U; de esta manera se puede expresar la primera ley de la termodinámica de acuerdo con la siguiente expresión:

'U

'Q  'W

(12.13)

Escuche Invernadero, un programa de la serie radial Historias de la Ciencia.

Escuche Calorías, un programa de la serie radial Historias de la Ciencia.

De acuerdo con (12.13) la variación de la energía total de un sistema es igual a la energía absorbida en forma de calor menos el trabajo realizado por el sistema. Esta definición proviene del estudio de las máquinas térmicas cuya eficiencia se mide Física Conceptual

135

Capítulo 3: Termodinámica

Escuche Cuna de Newton, un programa de la serie radial Historias de la Ciencia.

mg T1

h

T2 mg T2

T1 Figura 12.6. Ilustración del experimento de Joule

como una relación entre el trabajo realizado y el calor absorbido por la máquina. La ecuación (12.13) también se puede interpretar como una definición termodinámica del concepto de calor, pues si se escribe

'Q

'U  'W

(12.13a)

se puede decir que del calor total absorbido por la máquina, 'Q , parte se transforma en trabajo mecánico, 'W , y el resto contribuye a la energía interna del sistema. A partir de la ecuación (12.13) se puede establecer la condición que define a un sistema aislado como: 'U

0

(12.14)

La expresión (12.14) significa que en un sistema aislado la energía total permanece constante y por esta razón a la primera ley de la termodinámica se la denomina “ley de conservación de la energía”. Es frecuente escuchar la frase de que la energía ni se crea ni se destruye sino que se transforma, lo que sugiere la existencia de diversas tipos de energía, aunque, desde el punto de vista de la física, el concepto de energía corresponde a una sola magni-

136

Módulo 12: Conservación de la energía tud. Se suele hablar de diferentes formas de energía: mecánica, térmica, hidráulica, química, eólica, solar, etc., haciendo alusión a la forma como se manifiesta la energía de un sistema físico o a los parámetros con los que se mide, pero en realidad todas estas formas corresponden a la misma entidad física y tienen algo en común: todas se pueden “convertir” en calor, aunque lo contrario no siempre sea cierto. Al postular la validez de la primera ley de la termodinámica se establece la imposibilidad de la existencia de máquinas de movimiento perpetuo, o sea de máquinas que pueden producir trabajo indefinidamente sin tener que recurrir a ninguna fuente externa de energía. Resulta paradójico que la búsqueda de un móvil perpetuo que hiciera posible la construcción de autómatas haya conducido al principio de conservación de la energía que permite descartar su existencia. También es notable que la búsqueda de fuentes inagotables de energía siga siendo uno de los más importantes estímulos a la investigación científica y tecnológica.

Resumen A partir del establecimiento del equivalente mecánico del calor queda claro que si el trabajo es una medida de la transferencia mecánica de energía entre dos sistemas que interactúan, el calor es una medida de la energía transferida que no se puede medir por parámetros mecánicos, como posición y velocidad, sino termodinámicos, como presión, volumen y temperatura. El principio de conservación de la energía permite establecer la relación entre las variaciones de los parámetros del sistema a partir de la conservación de la energía total del sistema aislado. Las diferentes denominaciones de la energía hacen referencia a la forma particular como se manifiesta la energía de un sistema y los parámetros utilizados para su medición, pero no significa que correspondan a diferentes magnitudes físicas pues la energía es una sola entidad.

Bibliografía 1. 2. 3. 4. 5.

Arons A. 1970. La evolución de los conceptos de la física. México: Editorial Trillas. Ballif J, Dibble W. 1969. Conceptual physics. New York: Wiley. Dampier WC. 1971. Historia de la ciencia. Londres: Cambridge University Press. Dias de Deus J, Pimenta M, Noroña A, Peña T, Brogueira P. 2001. Introducción a la física. Madrid: McGraw-Hill. Sepúlveda A. 2003. Los conceptos de la física. Evolución histórica. Medellín: Editorial Universidad de Antioquia.

Física Conceptual

137