Capítulo 4

Modelos Atómicos

Modelo de Thomson (1898) Continuo de carga positiva

r ≈ 10 −10 m

Electrones uniformemente distribuidos

• •

En el estado de energía más bajo los electrones deberían estar fijos en sus posiciones de equilibrio. En estados excitados los electrones vibran alrededor de sus posiciones de equilibrio.

Dificultad con los espectros observados experimentalmente: líneas discretas en vez de contínuas. Los espectros atómicos son discretos:

… Hγ Hβ

Hα

Tarea: ejemplo 4-1 Un electrón en más en una distribución uniforme de carga emitiría una sola frecuencia. Experimento y modelo de Rutherford En 1911, Rutherford (est. de thomson) realize su famoso experimento de dispersión de partículas alfa (α) que mostró la forma de la hipótesis de thomson… microscopio

Colimador θ Fuente α Hoja delgada

Pantalla Centelleo 2ns

De acuerdo a la hipótesis de thomson la desviación de la partícula alfa (α) para ángulos θ > 90º es 2 N (θ > 90º ) = e − ( 90 ) ≈ 10− 3500 I

Es decir, nulo en términos prácticos. El valor experimental del número de párticulas dispersadas es mucho mayor, del orden de 10-14 m. Hipótesis de Rutherford, la carga positiva de un átomo está ---- en una región nuclear muy pequeña, r- 10-14 m. THOMSON RUTHERFORD (1) Fracción de partículas dispersadas a >90º 2 IΘ − Θ Θ 2 e dθ Θ2 N (θ ) > 90 º 180 º N ( Θ) dΘ =∫ 90 º I I 2 = e − ( 90) = 10 −3500 2

N (θ ) dθ =

(2) El resultado experimental

N ( Θ > 90 º ) −10 − 4 I

alfa

(α)  1 N ( Θ ) dΘ =   4πε 0

 zZe 2  2  2 Mυ

t: espesor lámina p: densidad de núcleos I: # de partículas α

 Ipt 2π sen ΘdΘ  × sen 4 Θ  2

( )

(1) Se comprobó la dependencia angular en el intervalo 5º - 150º. (2) Se comprobó la proporcionalidad con t. (3) Se pusó límite suèrior al radio nuclear ~ 10-14 m.

Dibujo D es una constante fijada por

D=

1 zZe 2 4πε 0 M υ 2

2

Numéricamente igual a la distancia de máximo acercamiento al núcleo en una colisión frontal (b=0). Estabilidad del átomo La primera crítica al modelo de Rutherford; es difícil aceptar la hipótesis de electrones en estado estacionario cuando ellos deberian emitir radiación electromagnética; esta energía debe emitirse a expensas de la energía mecánica del átomo.

e

em

a Ze

Esta falla llevó al ‘modelo de Bohr’. Espectros atómicos El espectrógrafo:

Gas enrarecido azul

azul

rojo

rojo

rendija

… Hγ Hβ

H,He,Na, …

Hα

La radiación emitida por átomos libres se concentra en un número de longitudes de onda discretas. Formula empírica para el hidrógeno. Líneas Hα Hβ Hδ Hγ . . . . H∞

λ (Å) 6563 4861 4341 4102 . . . . 3646

N 3 4 5 6 . . . .

Balmer (1885) encontró una relación para explicar las líneas como una serie:

1 1   1 = R 2 − 2  λ n  Z

R: 1.097×107 m-1

Constante de Rydberg

λ = 3646

n2 ; n= 3,4,5,... n2 − 4

capaz de predecir las primeras 9 líneas. Modelo de Bohr (1913) 1. los electrones se mueven en órbitas circulares bajo leyes de la física clásica (leyes Newton + Coulomb). 2. el impulso o momento angular de los electrones están cuantizados L= nħ; n= 1,2,3,… 3. los electrones no emiten radiación em en las órbitas permitidas su energía En permanece constante. 4. unátomo emite energía em cuando un electrón realiza una transición de un estado inicial i a un estado final f, de modo que: ν =

E f − Ei h

El modelo planetario del átomo de Bohr. v e

-

a Fe +e

F = ma υ2 1 e2 Fc = m = r 4πε 0 r 2 luego,

r

1 e2 υ2 = m →υ = 4πε 0 r 2 r

e 4πε 0 mr

La energía de ligadura es negativa

K=

e 1 mυ 2 ; V = − 4πε 0 r 2

La energía total E= K + V E=

mυ 2 e2 − 2 4πε 0 r

Sustituyendo en ‘v’, E=

e2 e2 e2 − =− 8πε 0 r 4πε 0 r 8πε 0 r

Experimentalmente se ha encontrado que E= 13.6 eV la energía necesaria para ionizar un átomo de H, luego, r=

e2 = 5.3 ×10 −11 m 8πε 0 E

radio atómico

La longitud de onda de de Broglie,

λ=

h , donde υ = mυ

luego,

λ=

h e

e 4πε 0 mr

4πε 0 r m

λ = 33 ×10 −11 m Calculamos ahora la circunferencia del átomo, l = 2πr = 2 × 3.14 × 5.3 ×10 −11 m = 33 ×10 −11 m Conclusión la circunferencia de la órbita del electrón en un átomo de hidrógeno corresponde a una onda completa (o un múltiplo entero de ella, nλ) de de Broglie alrededor del átomo.

Podemos postular entonces que un electrón circula en órbitas que contienen un mínimo entero de ondas de de Broglie.

La condición para órbitas estables puede escribirse como nλ = 2πrn

nh 4πε 0 rn = 2πrn e m rn =

n 2h 2ε 0 ; n=1,2,3,... πme 2

La correspondiente expresión para la energía es e2 En = − 8πε 0 rn me 4  1  E =− 2 2  2 = 2 8ε 0 h  n  n

; n=1,2,3,...

n 6 5

0 - 0.54

4

- 0.85

3

- 1.54

2

- 3.4

1

- 13.6

Series espectroscópicas del Hidrógeno De acuerdo al portulado de Bohr hν = E i − E f Donde ν es la frecuencia del fotón emitido.  1  1 1  1  Ei − E f = E1  2 − 2  = − E1  2 − 2  n  n   i nf   f ni  Poniendo E1 = 13.6eV , λν = c nos queda: E  1 1 1  =− 1  2 − 2  λ hc  n f n i  De aquí se originan las series de emisión del hidrógeno: nf 1 2 3 4

Serie Lyman Balmer Poschen Brackett

λ∞ UV lejano Visible - UV Ir mm

n 6 5 4 3

2

1 serie

Lyman

Balmer

Poschen

Brackett

Ej. 4-7 (Eisberg) estimar la temperatura de un gas que contiene átomos de H y para el cual se observa el esèctro de absorción de la serie de Balmer. (utilizamos la distribución de Boltzmann). La relación numérica entre dos estados excitados es −

E2

n 2 e kT = n1 e − E1 kT k : 1.38 × 10 −23 J E1 = −13.6eV ;

ºK

= 8.6 ×10 −6 eV

ºK E 2 = −3.39eV

5 n2 −1 .18 ×10 º K T =e n1

para que excitan un número significativo de átomos en el estado n ~ 1, n2 ≈ 1 → T ≥ 105 º K n1 T 10 102 104 105 106 108

n2

n1 3

e −10 e −12 e −1 e − 0 .1

Corrección de masa finita nuclear Mnucleo = 2000 me Los datos espectroscópicos son lo suficientemente precisos como para exigir ------ átomo de Bohr considere que la masa del núcleo no es infinita xomparada con la del electrón.

electrón

μ

m

c.m M

M núcleo

M fijo μ masa reducida del electrón mM µ= m+M µ ? m

-

Compone

-

µνr = n me M µ M µe = → e = = 0.99945 me + M m me + M

-

Luego los valores de los niveles de energía cambian. Bohr modificó su segundo postulado

L = µυr = n ; n=1,2,3,... entonces, k=

 1 1 1  = Rµ Z 2  2 − 2   n f ni  λ  

donde,

Rµ =

µ R∞ m+ M 2

 1  me 4  R∞ =  3  4πε 0  4π c

Experimento de Franck & Hertz (1914)

gas o vapor

C

A

P I

+ Vr

-

v

+

La energía de los átomos están cuantizados. El experiemtno consiste en medir la corriente de electrones I que alcanzan pP como una función del voltaje acelerado V.

I

V Interpretación de las reglas de cuantización. Modelo Wilson - Sommenfeld. Wilson & Sommerfeld (1916) Generalizaron los postulados de Bohr para la cuantización de cualquier sistema físico.

1. Para cualquier sistema físico en el cual las coordenadas sean funciones periódicas en el tiempo existe una condición cuántica para cada coordenada.

∫γ

q

dq = nq h

q: coordenada γq: impulso -----nq: número cuántico. ∫ : integración sobre un período completo explicar este tema utilizando un oscilador armónico simple unidimensional. Ocsilador armónico simple K

-

Cuantización de la energía. γ 2 k2 E = K +V = x + x 2m 2

m

dividiendo por E γ 2x 2mE

+

x2 =1 2E k

ecuación de la elipse

px

b o

a

X

a = 2E

∫γ

x

dx = πab =

k

b = 2mE

2πE E = ν k m

ν = ( 2π )

T = 2π −1

k m

m k

k = 2πν m cuant. W - S →

E

∫ p dx = ν x

= n x h = nh

E = nhν

-

Cuantización del momento angular

∫ γ dq = n h ∫ Ldθ = nh L ∫ dθ = nh = L 2π q

L= -

q

nh = n 2π

Principio de correspondencia (Bohr 1923): justificación de las reglas de selección. 1. Teoría cuántica → teoría clásica n→∞ 2. las reglas de selección son necesarias para asegurar que

TeoríaCuántica → TeoríaClásica cuandon → ∞